Izredno pomemben predmet teorije verjetnosti je vsota neodvisnih naključnih spremenljivk. Prav preučevanje porazdelitve vsot neodvisnih naključnih spremenljivk je postavilo temelje za razvoj analitičnih metod teorije verjetnosti.
Porazdelitev vsote neodvisnih naključnih spremenljivk
V tem razdelku bomo pridobili splošno formulo, ki nam omogoča izračun distribucijske funkcije vsote neodvisnih naključnih spremenljivk, in preučili več primerov.
Porazdelitev vsote dveh neodvisnih naključnih spremenljivk. Konvolucijska formula
neodvisne naključne spremenljivke s porazdelitvenimi funkcijami
oz
Nato distribucijska funkcija F vsote naključnih spremenljivk
lahko izračunate z naslednjo formulo ( konvolucijska formula)
Da bi to dokazali, uporabimo Fubinijev izrek.
Drugi del formule dokazujemo podobno.
Gostota porazdelitve vsote dveh neodvisnih naključnih spremenljivk
Če imata porazdelitvi obeh naključnih spremenljivk gostoto, potem lahko gostoto vsote teh naključnih spremenljivk izračunamo s formulo
Če ima porazdelitev naključne spremenljivke (ali ) gostoto, potem lahko gostoto vsote teh naključnih spremenljivk izračunamo po formuli
Za dokaz teh trditev zadošča uporaba definicije gostote.
Več zvitkov
Izračun vsote končnega števila neodvisnih naključnih spremenljivk se izvede z zaporedno uporabo konvolucijske formule. Funkcija porazdelitve vsote k neodvisne enako porazdeljene naključne spremenljivke s porazdelitveno funkcijo F
klical k–kratna konvolucija porazdelitvene funkcije F in označeno
Primeri izračuna porazdelitve vsot neodvisnih naključnih spremenljivk
V tem odstavku so podani primeri situacij, ko se pri seštevanju naključnih spremenljivk oblika porazdelitve ohrani. Dokaz so vaje seštevanja in računanja integralov.
Vsote neodvisnih naključnih spremenljivk. Normalna porazdelitev
Vsote neodvisnih naključnih spremenljivk Binomska porazdelitev
Vsote neodvisnih naključnih spremenljivk Poissonova porazdelitev
Vsote neodvisnih naključnih spremenljivk Gama porazdelitev
Poissonov postopek
zaporedje neodvisnih enako porazdeljenih naključnih spremenljivk z eksponentno porazdelitvijo s parametrom
Naključno zaporedje točk
na nenegativni pol-osi se imenuje Poissonov (točkovni) postopek.
Izračunajmo porazdelitev števila točk
Poissonov proces v intervalu (0,t)
enakovredni, torej
Toda porazdelitev naključne spremenljivke
je Erlangova porazdelitev reda k, torej
Tako je porazdelitev števila točk Poissonovega procesa v intervalu (o,t) Poissonova porazdelitev s parametrom
Poissonov proces se uporablja za simulacijo trenutkov nastanka naključnih dogodkov - procesa radioaktivnega razpada, trenutkov klicev na telefonsko centralo, trenutkov pojava strank v servisnem sistemu, trenutkov okvare opreme.
V praksi je pogosto potrebno najti porazdelitveni zakon za vsoto naključnih spremenljivk.
Naj bo sistem (X b X 2) dva neprekinjena s. v. in njihova vsota
Poiščimo gostoto porazdelitve c. v. U. V skladu s splošno rešitvijo prejšnjega odstavka najdemo območje ravnine, kjer x + x 2 (slika 9.4.1):
Če ta izraz diferenciramo glede na y, dobimo ap. naključna spremenljivka Y \u003d X + X 2:
Ker je funkcija φ (x b x 2) = Xj + x 2 simetrična glede na svoje argumente, potem
Če z. v. X in X 2 sta neodvisni, potem imata formuli (9.4.2) in (9.4.3) obliko:
V primeru, ko je samostojna c. v. x x in X 2, govoriti o sestavi distribucijskih zakonov. Proizvajaj sestava dva porazdelitvena zakona - to pomeni iskanje porazdelitvenega zakona za vsoto dveh neodvisnih c. c., razdeljen po teh zakonih. Simbolični zapis se uporablja za označevanje sestave distribucijskih zakonov
ki je v bistvu označen s formulama (9.4.4) ali (9.4.5).
Primer 1. Upoštevano je delo dveh tehničnih naprav (TD). Prvič, TU deluje po tem, ko je njegova okvara (odpoved) vključena v delovanje TU 2. Čas delovanja TU TU TU 2 - x x in X 2 - so neodvisni in porazdeljeni po eksponentnih zakonih s parametri A,1 in X 2. Zato čas Y nemoteno delovanje TU, sestavljenega iz TU! in TU 2 bo določen s formulo
Zahtevano je najti p.r. naključna spremenljivka Y, sestava dveh eksponentnih zakonov s parametri in X 2.
rešitev. S formulo (9.4.4) dobimo (y > 0)
Če obstaja sestava dveh eksponentnih zakonov z enakimi parametri (?c = X 2 = Y), potem v izrazu (9.4.8) dobimo negotovost tipa 0/0, ki jo razširimo, dobimo:
Če primerjamo ta izraz z izrazom (6.4.8), smo prepričani, da je sestava dveh enakih eksponentnih zakonov (?c = X 2 = x) je Erlangov zakon drugega reda (9.4.9). Pri sestavljanju dveh eksponentnih zakonov z različnimi parametri x x in A-2 dobite posplošen Erlangov zakon drugega reda (9.4.8). ?
Problem 1. Zakon porazdelitve razlike dveh s. v. Sistem z. v. (X in X 2) ima skupno r.p./(x x x 2). Najdi p.r. njihove razlike Y=X - X 2.
rešitev. Za sistem z v. (X b - X 2) itd. bo / (x b - x 2), to pomeni, da smo razliko nadomestili z vsoto. Zato je a.r. naključna spremenljivka U bo imela obliko (glej (9.4.2), (9.4.3)):
Če z. v. X x iX 2 neodvisen, torej
Primer 2. Poiščite f.r. razlika dveh neodvisnih eksponentno porazdeljenih s. v. s parametri x x in X 2.
rešitev. Po formuli (9.4.11) dobimo
riž. 9.4.2 riž. 9.4.3
Slika 9.4.2 prikazuje p. g(y). Če upoštevamo razliko dveh neodvisnih eksponentno porazdeljenih s. v. z enakimi nastavitvami (A-i= X 2 = AMPAK,), potem g(y) \u003d / 2 - že poznano
Laplaceov zakon (slika 9.4.3). ?
Primer 3. Poiščite porazdelitveni zakon za vsoto dveh neodvisnih c. v. X in X 2, porazdeljena po Poissonovem zakonu s parametri a x in a 2.
rešitev. Poiščite verjetnost dogodka (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,
Zato je s. v. Y= X x + X 2 porazdeljena po Poissonovem zakonu s parametrom a x2) - a x + a 2. ?
Primer 4. Poiščite porazdelitveni zakon za vsoto dveh neodvisnih c. v. x x in X 2, porazdeljena po binomskih zakonih s parametri p x ri p 2, str oz.
rešitev. Predstavljajte si z. v. x x kot:
kje X 1) - indikator dogodka AMPAK wu "th izkušnja:
Razpon distribucije z. v. X,- ima obliko
Podoben prikaz bomo izdelali tudi za s. v. X 2: kjer X] 2) - indikator dogodka AMPAK v y"-ti izkušnji:
Posledično
kje je X? 1)+(2), če je indikator dogodka AMPAK:
Tako smo to pokazali v. Znesek tasta (u + n 2) indikatorji dogodkov AMPAK, od koder izhaja, da je s. v. ^ porazdeljena po binomskem zakonu s parametri ( n x + n 2), str.
Upoštevajte, da če verjetnosti R v različnih serijah poskusov so različni, nato kot rezultat dodajanja dveh neodvisnih s. c., porazdeljeno po binomskih zakonih, se izkaže c. c., porazdeljena ne po binomskem zakonu. ?
Primera 3 in 4 zlahka posplošimo na poljubno število izrazov. Pri sestavljanju Poissonovih zakonov s parametri a b a 2, ..., a t S parametrom ponovno dobimo Poissonov zakon a (t) \u003d a x + a 2 + ... + in t.
Pri sestavljanju binomskih zakonov s parametri (n r); (i 2, R) , (n t, p) spet dobimo binomski zakon s parametri (“(“), R), kje n (t) \u003d u + n 2 + ... + itd.
Dokazali smo pomembne lastnosti Poissonovega zakona in binomskega zakona: »lastnost stabilnosti«. Distribucijski zakon se imenuje trajnostno,če iz sestave dveh istovrstnih zakonov nastane zakon iste vrste (razlikujejo se le parametri tega zakona). V pododdelku 9.7 bomo pokazali, da ima normalni zakon enako lastnost stabilnosti.
Uporabimo zgornjo splošno metodo za rešitev enega problema, in sicer za iskanje distribucijskega zakona za vsoto dveh naključnih spremenljivk. Obstaja sistem dveh naključnih spremenljivk (X,Y) z gostoto porazdelitve f(x,y). Upoštevajte vsoto naključnih spremenljivk X in Y: in poiščite zakon porazdelitve vrednosti Z. Da bi to naredili, zgradimo črto na ravnini xOy, katere enačba je (slika 7). To je ravna črta, ki na oseh odreže segmente, enake z. Ravna črta deli ravnino xy na dva dela; desno in nad njim; levo in spodaj.
Območje D je v tem primeru spodnji levi del ravnine xOy, osenčen na sl. 7. Po formuli (16) imamo:
Če ta izraz diferenciramo glede na spremenljivko z, vključeno v zgornjo mejo notranjega integrala, dobimo:
To je splošna formula za gostoto porazdelitve vsote dveh naključnih spremenljivk.
Zaradi simetrije problema glede na X in Y lahko zapišemo drugo različico iste formule:
ki je enakovreden prvemu in ga je mogoče uporabiti namesto njega.
Primer sestave normalnih zakonov. Razmislite o dveh neodvisnih naključnih spremenljivkah X in Y, za katere veljajo običajni zakoni:
Izdelati je treba sestavo teh zakonov, tj. najti porazdelitveni zakon količine: .
Uporabimo splošno formulo za sestavo distribucijskih zakonov:
Če odpremo oklepaje v eksponentu integranda in prinesemo podobne člene, dobimo:
Zamenjava teh izrazov v formulo, s katero smo se že srečali
po transformacijah dobimo:
in to ni nič drugega kot normalen zakon z disperzijskim središčem
in standardni odklon
Do istega sklepa je veliko lažje priti s pomočjo naslednjega kvalitativnega sklepanja.
Brez odpiranja oklepajev in brez izvajanja transformacij v integrandu (17) takoj pridemo do zaključka, da je eksponent kvadratni trinom glede na x oblike
kjer vrednost z sploh ni vključena v koeficient A, je koeficient B vključen v prvo stopnjo, koeficient C pa je na kvadrat. S tem v mislih in z uporabo formule (18) sklepamo, da je g(z) eksponentna funkcija, katere eksponent je kvadratni trinom glede na z in gostoto porazdelitve; te vrste ustreza običajnemu zakonu. Tako, mi; pridemo do povsem kvalitativnega zaključka: zakon porazdelitve z mora biti normalen. Za iskanje parametrov tega zakona - in - uporabljamo izrek seštevanja matematičnih pričakovanj in izrek seštevanja varianc. Z adicijskim izrekom matematičnih pričakovanj. Z disperzijskim adicijskim izrekom ali od koder sledi formula (20).
Če preidemo od povprečnih kvadratnih odstopanj na verjetna odstopanja, ki so sorazmerna z njimi, bomo prejeli: .
Tako smo prišli do naslednjega pravila: ko sestavimo normalne zakone, spet dobimo normalni zakon, matematična pričakovanja in variance (oz. kvadrat verjetnih odstopanj) pa seštejemo.
Pravilo sestave za normalne zakone lahko posplošimo na primer poljubnega števila neodvisnih naključnih spremenljivk.
Če obstaja n neodvisnih naključnih spremenljivk: zanje veljajo normalni zakoni z razpršilnimi centri in standardnimi odkloni, potem tudi za vrednost velja normalni zakon s parametri
Namesto formule (22) lahko uporabimo enakovredno formulo:
Če je sistem naključnih spremenljivk (X, Y) porazdeljen po normalnem zakonu, vendar sta količini X, Y odvisni, potem je enostavno dokazati, tako kot prej, na podlagi splošne formule (6.3.1), da je porazdelitveni zakon količine tudi normalen zakon. Razpršilni centri se še vedno dodajajo algebraično, vendar za standardne odklone pravilo postane bolj zapleteno: , kjer je r korelacijski koeficient vrednosti X in Y.
Pri seštevanju več odvisnih naključnih spremenljivk, ki se v celoti držijo normalnega zakona, se s parametri izkaže za normalnega tudi porazdelitveni zakon vsote
ali verjetna odstopanja
kjer je korelacijski koeficient količin X i , X j , seštevek pa se razširi na vse različne parne kombinacije količin.
Videli smo zelo pomembno lastnost normalnega zakona: ko normalne zakone združimo, spet dobimo normalni zakon. To je tako imenovana "lastnost stabilnosti". Pravimo, da je zakon porazdelitve stabilen, če s sestavljanjem dveh zakonov te vrste ponovno dobimo zakon iste vrste. Zgoraj smo pokazali, da je normalni zakon stabilen. Zelo malo distribucijskih zakonov ima lastnost stabilnosti. Zakon enakomerne gostote je nestabilen: pri sestavi dveh zakonov enakomerne gostote v odsekih od 0 do 1 smo dobili Simpsonov zakon.
Stabilnost normalnega zakona je eden od bistvenih pogojev za njegovo široko uporabo v praksi. Lastnost stabilnosti pa imajo poleg normalne tudi nekatere druge distribucijske zakonitosti. Značilnost normalnega zakona je, da ko je sestavljeno dovolj veliko število praktično poljubnih porazdelitvenih zakonov, se izkaže, da je skupni zakon poljubno blizu normalnemu, ne glede na to, kakšni so bili porazdelitveni zakoni členov. To lahko na primer ponazorimo s sestavo treh zakonov enakomerne gostote v odsekih od 0 do 1. Dobljeni porazdelitveni zakon g(z) je prikazan na sl. 8. Kot je razvidno iz risbe, je graf funkcije g (z) zelo podoben grafu normalnega zakona.
Naj obstaja sistem dveh naključnih spremenljivk X in Y, katerih skupna distribucija je znana. Naloga je najti porazdelitev naključne spremenljivke. Kot primeri SV Z dobiček lahko prinesete iz dveh podjetij; število volivcev, ki so glasovali na določen način iz dveh različnih volilnih enot; vsota točk na dveh kockah.
1. Primer dveh DSV. Ne glede na vrednosti, ki jih imajo diskretni življenjepisi (v obliki končnega decimalnega ulomka, z različnimi koraki), se lahko situacija skoraj vedno zmanjša na naslednji poseben primer. Količine X in Y lahko sprejme samo celoštevilske vrednosti, tj. 
kje 
. Če so bili sprva decimalni ulomki, jih je mogoče narediti cela števila z množenjem z 10 k. In manjkajočim vrednostim med najvišjimi in najnižjimi vrednostmi je mogoče dodeliti ničelne verjetnosti. Naj bo skupna porazdelitev verjetnosti znana. Potem, če oštevilčimo vrstice in stolpce matrike v skladu s pravili: , potem je verjetnost vsote:
Elementi matrike se seštevajo vzdolž ene od diagonal.
2. Primer dveh NSW. Naj bo gostota porazdelitve spojev znana. Potem je gostota porazdelitve vsote:
Če X in Y neodvisen, tj. , potem
Primer 1 X, Y– neodvisen, enakomerno porazdeljen SW:
Poiščimo gostoto porazdelitve naključne spremenljivke.
To je očitno 
,
JZ Z lahko sprejme vrednosti v intervalu ( c+d; a+b), vendar ne za vse x. izven tega intervala. Na koordinatni ravnini ( x, z) obseg možnih vrednosti količine z je paralelogram s stranicami x=z; x=a; z=x+d; z=x+b. V formuli za meje integracije bo c in a. Vendar zaradi dejstva, da v zamenjavi y=z-x, za nekatere vrednosti z funkcija . Na primer, če c 
za vse x in z. To bomo storili za poseben primer, ko a+d< b+c
. Razmislimo o treh različnih območjih spremembe količine z in za vsakega od njih najdemo.
1) c+d ≤ z ≤ a+d. Potem 
2) a+d ≤ z ≤ b+c. Potem 
3) b+c ≤ z ≤ a+b. Potem 
Ta porazdelitev se imenuje Simpsonov zakon. Sliki 8, 9 prikazujeta grafe gostote porazdelitve SW pri z=0, d=0.
TEMA 3 |
||
koncept distribucijske funkcije |
||
matematično pričakovanje in varianco |
||
enakomerna (pravokotna) porazdelitev |
||
normalna (Gaussova) porazdelitev |
||
Distribucija |
||
t- Razporeditev študentov |
||
F- distribucija |
||
porazdelitev vsote dveh naključnih neodvisnih spremenljivk |
||
primer: porazdelitev vsote dveh neodvisnih enakomerno porazdeljene količine |
||
transformacija naključne spremenljivke |
||
primer: porazdelitev harmoničnega valovanja z naključno fazo |
||
centralni mejni izrek |
||
momenti naključne spremenljivke in njihove lastnosti |
||
NAMEN CIKLA PREDAVANJA: | SPOROČITE ZAČETNE INFORMACIJE O NAJPOMEMBNEJŠIH DISTRIBUCIJSKIH FUNKCIJAH IN NJIHOVIH LASTNOSTIH |
|
RAZDELITEVNE FUNKCIJE
Pustiti x(k) je neka naključna spremenljivka. Potem je za katero koli fiksno vrednost x naključen dogodek x(k) 
x definiran kot niz vseh možnih rezultatov k tako da x(k) x. V smislu prvotne verjetnostne mere, podane na vzorčnem prostoru, distribucijska funkcijaP(x) definirana kot verjetnost, dodeljena nizu točk k x(k) x. Upoštevajte, da niz točk k zadovoljevanje neenakosti x(k) x, je podmnožica množice točk, ki izpolnjujejo neenakost x(k)
.
Formalno
To je očitno
Če je obseg vrednosti naključne spremenljivke zvezen, kar je predpostavljeno spodaj, potem gostota verjetnosti(enodimenzionalno) p(x) je določen z diferencialno relacijo
(4)
Posledično
(6)
Da bi lahko obravnavali diskretne primere, je treba dopustiti prisotnost delta funkcij v sestavi gostote verjetnosti.
PRIČAKOVANA VREDNOST
Naj naključna spremenljivka x(k) zavzema vrednosti iz območja od - do + . Pomeni(sicer, pričakovana vrednost oz pričakovana vrednost) x(k) se izračuna z uporabo ustreznega prehoda do meje v vsoti produktov vrednosti x(k) o verjetnosti, da se ti dogodki zgodijo:
(8)
kje E- matematično pričakovanje izraza v oglatem oklepaju z indeksom k. Podobno je definirano matematično pričakovanje realne zvezne funkcije z eno vrednostjo g(x) iz naključne spremenljivke x(k)
(9)
kje p(x)- gostota verjetnosti naključne spremenljivke x(k). Zlasti jemanje g(x)=x, dobimo srednji kvadrat x(k) :
(10)
Razpršenostx(k) definirana kot srednji kvadrat razlike x(k) in njegova povprečna vrednost,
tj v tem primeru g(x)= 
in
Po definiciji, standardni odklon naključna spremenljivka x(k), označeno , je pozitivna vrednost kvadratnega korena variance. Standardni odklon se meri v istih enotah kot povprečje.
NAJPOMEMBNEJŠE DISTRIBUCIJSKE FUNKCIJE
ENAKOMERNA (PRAVOKOTNA) RAZDELITEV.
Predpostavimo, da je eksperiment sestavljen iz naključne izbire točke iz intervala [ a,b], vključno s končnimi točkami. V tem primeru kot vrednost naključne spremenljivke x(k) lahko vzamete številčno vrednost izbrane točke. Ustrezna distribucijska funkcija ima obliko
Zato je gostota verjetnosti podana s formulo
V tem primeru daje izračun povprečja in variance z uporabo formul (9) in (11).
NORMALNA (GAUSSOVA) RAZDELITEV
, - aritmetična sredina, - RMS.
Vrednost z, ki ustreza verjetnosti P(z)=1-, tj.
CHI - KVADRATNA RAZDELITEV
Pustiti 
- n neodvisnih naključnih spremenljivk, od katerih ima vsaka normalno porazdelitev z nič povprečjem in enotsko varianco.
Hi-kvadrat naključna spremenljivka z n prostostnimi stopnjami.
gostota verjetnosti .
DF: 100 - odstotne točke - porazdelitve so označene z , tj.
povprečje in varianca sta enaki
t - RAZDELITEV ŠTUDENTOV
y, z sta neodvisni naključni spremenljivki; y - ima - porazdelitev, z - normalno porazdeljen z nič povprečjem in enotsko varianco.
vrednost - ima t- Studentova porazdelitev z n prostostnimi stopnjami
DF: 100 - odstotna točka t - porazdelitev je prikazana
Srednja vrednost in varianca sta enaki
F - DISTRIBUCIJA
Neodvisne naključne spremenljivke; ima - porazdelitev s prostostnimi stopnjami; porazdelitev s prostostnimi stopnjami. Naključna vrednost:
,
F je porazdeljena naključna spremenljivka s prostostnimi stopnjami in .
,
DF: 100 - odstotna točka:
Povprečna vrednost in varianca sta enaki:
RAZDELITEV ZNESKA
DVE NAKLJUČNI SPREMENLJIVKI
Pustiti x(k) in y(k) so naključne spremenljivke, ki imajo skupno gostoto verjetnosti p(x,y). Poiščite gostoto verjetnosti vsote naključnih spremenljivk
Pri fiksnem x imamo y=z–x. Zato
Pri fiksnem z vrednote x zaženite interval od – do +. Zato
(37)
od koder je razvidno, da je za izračun želene gostote vsote treba poznati prvotno skupno gostoto verjetnosti. Če x(k) in y(k) so neodvisne naključne spremenljivke z gostotami oz. tedaj in
(38)
PRIMER: VSETA DVEH NEODVISNIH, ENAKOMERNO RAZDELJENIH NAKLJUČNIH SPREMENLJIVK.
Naj imata dve naključni neodvisni spremenljivki gostoto oblike
V drugih primerih 
Poiščimo gostoto verjetnosti p(z) njihove vsote z= x+ y.
Gostota verjetnosti 
za 
tj za 
Posledično x manj kot z. Poleg tega ni enako nič za S formulo (38) ugotovimo, da
Ilustracija:
Gostota verjetnosti vsote dveh neodvisnih, enakomerno porazdeljenih naključnih spremenljivk.
NAKLJUČNA PRETVORBA
VREDNOTE
Pustiti x(t)- naključna spremenljivka z gostoto verjetnosti p(x), naj gre g(x) je realna zvezna funkcija z eno vrednostjo x. Najprej razmislite o primeru, ko je inverzna funkcija x(g) je tudi zvezna funkcija z eno vrednostjo g. Gostota verjetnosti p(g), ki ustreza naključni spremenljivki g(x(k)) = g(k), lahko določimo iz gostote verjetnosti p(x) naključna spremenljivka x(k) in izpeljanka dg/dx ob predpostavki, da izpeljanka obstaja in je različna od nič, in sicer:
(12)
Zato v meji dg/dx#0
(13)
Z uporabo te formule sledi na desni strani namesto spremenljivke x nadomestite ustrezno vrednost g.
Razmislite zdaj o primeru, ko je inverzna funkcija x(g) velja n-vrednotena funkcija g, kje n je celo število in vseh n vrednosti je enako verjetnih. Potem
(14)
PRIMER:
RAZDELITEV HARMONIČNE FUNKCIJE.
Harmonična funkcija s fiksno amplitudo X in pogostost f bo naključna spremenljivka, če bo njen začetni fazni kot = (k)- naključna vrednost. Zlasti naj t fiksen in enak t o, in naj ima harmonična naključna spremenljivka obliko
Pretvarjajmo se, da (k) ima enakomerno gostoto verjetnosti p( ) prijazen
Poiščite gostoto verjetnosti p(x) naključna spremenljivka x(k).
V tem primeru neposredna funkcija x( ) nedvoumno in obratno funkcijo (x) dvoumen.
