Seštevanje dolžin vektorjev. II.6

Opomba. Dejanja z vektorji, izvedena v primeru 2.10, lahko izvedete na osebnem računalniku. Za iskanje skalarnega produkta vektorjev v MS Excelu se uporablja funkcija SUMPRODUCT(), kjer so kot argumenti podani naslovi obsegov elementov matrike, katerih vsota produktov je treba najti. V MathCAD-u se pikčasti produkt dveh vektorjev izvede z uporabo ustreznega operaterja orodne vrstice Matrix

Primer 2.11. Izračunajte delo sile, če se točka njegove aplikacije premakne premočrtno od položaja A(2;4;6) na položaj A(4;2;7). Pod kakšnim kotom AB usmerjena sila ?

rešitev. Vektor pomika najdemo tako, da odštejemo koordinate njegovega koncazačetne koordinate

. Po formuli (2.28)(enote dela).

Kotiček φ med in najdemo s formulo (2.29), tj.

6. Trije nekoplanarni vektorji, vzeto v tem vrstnem redu, oblikidesno tri, če gledamo s konca tretjega vektorjanajkrajši obrat iz prvega vektorjana drugi vektorizvaja v nasprotni smeri urinega kazalca inlevo če v smeri urinega kazalca.

vektorska umetnost vektor v vektor imenovan vektor , ki izpolnjuje naslednje pogoje:

– pravokotno na vektorje In ;

- ima dolžino enako, Kje φ je kot, ki ga tvorita vektorja In ;

– vektorji tvorijo desno trojko (slika 2.15).

Izrek 2.4.Nujen in zadosten pogoj za kolinearnost dveh vektorjev je enakost nič njunega vektorskega produkta

Izrek 2.5. Navzkrižni produkt vektorjev, podana z njihovimi koordinatami, je enaka determinanti obrazca tretjega reda

(2.32)

Opomba. Determinanta (2.25) se razširi glede na lastnost 7 determinant

Posledica 1.Nujen in zadosten pogoj za kolinearnost dveh vektorjev je sorazmernost njunih koordinat

Posledica 2. Vektorski produkti enotskih vektorjev so enaki

Posledica 3.Vektorski kvadrat katerega koli vektorja je nič

Geometrijska interpretacija vektorskega produkta je, da je dolžina nastalega vektorja številčno enaka ploščini S paralelogram, zgrajen na vektorjih-faktorjih kot na stranicah, reduciranih na isto izhodišče. Dejansko je po definiciji modul navzkrižnega produkta vektorjev enak. Po drugi strani pa območje paralelograma, zgrajenega na vektorjih in , je prav tako enako . torej

. (2.33)

Prav tako lahko z navzkrižnim produktom določite moment sile na točko in linearno hitrost vrtenja.

Naj pri bistvu A uporabljena sila naj gre O - neka točka v prostoru (slika 2.16). Iz tečaja fizike je znano, da moment sile glede na točko Oimenovan vektor , ki poteka skozi točkoOin izpolnjuje naslednje pogoje:

Pravokotno na ravnino, ki poteka skozi točke O, A, B;

Njen modul je številčno enak zmnožku sile in kraka.

- tvori desno trojko z vektorji in.

Zato je moment sile glede na točkoOje vektorski produkt

. (2.34)

točko osi (slika 2.17).

Primer 2.12. Poiščite površino trikotnika s pomočjo navzkrižnega produkta ABC, zgrajen na vektorjihreduciran na isti izvor.

Končno sem dobil v roke obsežno in dolgo pričakovano temo analitično geometrijo. Najprej nekaj o tem delu višje matematike... Zagotovo ste se zdaj spomnili šolskega tečaja geometrije s številnimi izreki, njihovimi dokazi, risbami itd. Kaj skrivati, neljuba in pogosto nejasna tema za precejšen del študentov. Analitična geometrija, nenavadno, se morda zdi bolj zanimiva in dostopna. Kaj pomeni pridevnik "analitični"? Takoj prideta na misel dva žigosana matematična obrata: »grafična metoda rešitve« in »analitična metoda rešitve«. Grafična metoda, seveda, je povezano z gradnjo grafov, risb. Analitično enako metoda vključuje reševanje problemov pretežno skozi algebraične operacije. V zvezi s tem je algoritem za reševanje skoraj vseh problemov analitične geometrije preprost in pregleden, pogosto je dovolj, da natančno uporabite potrebne formule - in odgovor je pripravljen! Ne, seveda brez risb sploh ne bo šlo, poleg tega jih bom za boljše razumevanje gradiva poskušal prinesti preko potrebe.

Odprti tečaj pouka geometrije ne trdi, da je teoretična popolnost, osredotočen je na reševanje praktičnih problemov. V svoja predavanja bom vključil le tisto, kar je z mojega vidika pomembno v praktičnem smislu. Če potrebujete popolnejšo referenco o katerem koli pododdelku, priporočam naslednjo precej dostopno literaturo:

1) Zadeva, ki jo, brez šale, pozna več generacij: Šolski učbenik o geometriji, avtorji - L.S. Atanasyan in družba. Ta obešalnik za šolsko garderobo je zdržal že 20 (!) Ponovnih izdaj, kar seveda ni meja.

2) Geometrija v 2 zvezkih. Avtorji L.S. Atanasjan, Bazilev V.T.. To je visokošolska literatura, potrebovali jo boste prvi zvezek. Redke naloge lahko padejo iz mojega vidnega polja, tutorial pa mi bo v neprecenljivo pomoč.

Obe knjigi lahko brezplačno prenesete na spletu. Poleg tega lahko uporabite moj arhiv z že pripravljenimi rešitvami, ki jih najdete na strani Prenesite primere višje matematike.

Od orodij spet ponujam lasten razvoj - programski paket o analitični geometriji, kar bo močno poenostavilo življenje in prihranilo veliko časa.

Predpostavlja se, da bralec pozna osnovne geometrijske pojme in like: točka, premica, ravnina, trikotnik, paralelogram, paralelopiped, kocka itd. Priporočljivo je, da si zapomnite nekaj izrekov, vsaj Pitagorov izrek, pozdravljeni ponavljalci)

In zdaj bomo zaporedno obravnavali: koncept vektorja, dejanja z vektorji, vektorske koordinate. Nadalje priporočam branje najpomembnejši člen Točkovni produkt vektorjev, tako dobro, kot Vektor in mešani produkt vektorjev. Lokalna naloga ne bo odveč - Delitev segmenta v zvezi s tem. Na podlagi zgornjih informacij lahko enačba premice v ravnini z najenostavnejši primeri rešitev, ki bo omogočila naučijo se reševati geometrijske probleme. V pomoč so tudi naslednji članki: Enačba ravnine v prostoru, Enačbe premice v prostoru, Osnovni problemi na premici in ravnini , drugi razdelki analitične geometrije. Seveda bodo na poti upoštevane standardne naloge.

Koncept vektorja. prosti vektor

Najprej ponovimo šolsko definicijo vektorja. Vektor klical usmeril segment, za katerega sta označena njegov začetek in konec:

V tem primeru je začetek odseka točka , konec odseka pa točka . Sam vektor je označen z . Smer je bistvenega pomena, če prestavite puščico na drugi konec segmenta, dobite vektor, to pa je že popolnoma drugačen vektor. Koncept vektorja je priročno poistovetiti z gibanjem fizičnega telesa: priznati morate, da sta vstop v vrata inštituta in izstop iz inštituta povsem različni stvari.

Primerno je obravnavati posamezne točke ravnine, prostora kot ti ničelni vektor. Takšen vektor ima enak konec in začetek.

!!! Opomba: Tukaj in spodaj lahko predpostavite, da vektorji ležijo v isti ravnini ali pa predpostavite, da se nahajajo v prostoru - bistvo predstavljenega gradiva velja tako za ravnino kot za prostor.

Oznake: Mnogi so takoj opozorili na palico brez puščice v oznaki in rekli, da so tudi puščico postavili na vrh! Tako je, s puščico lahko pišete: , vendar dopustno in zapis, ki ga bom uporabil kasneje. Zakaj? Očitno se je takšna navada razvila iz praktičnih razlogov, moji strelci v šoli in na univerzi so se izkazali za preveč raznolike in kosmate. V izobraževalni literaturi se včasih sploh ne ukvarjajo s klinopisom, ampak črke poudarijo krepko: , s čimer namigujejo, da je to vektor.

To je bil slog, zdaj pa o načinih pisanja vektorjev:

1) Vektorje lahko zapišemo z dvema velikima latiničnima črkama:
in tako naprej. Medtem ko je prvo pismo Nujno označuje začetno točko vektorja, druga črka pa končno točko vektorja.

2) Vektorji so zapisani tudi z malimi latiničnimi črkami:
Zlasti lahko naš vektor zaradi jedrnatosti na novo označimo z malo latinično črko.

Dolžina oz modul neničelni vektor imenujemo dolžina odseka. Dolžina ničelnega vektorja je nič. Logično.

Dolžina vektorja je označena z znakom modula: ,

Kako najti dolžino vektorja, se bomo naučili (ali ponovili, za koga kako) malo kasneje.

To so bile osnovne informacije o vektorju, ki jih poznajo vsi šolarji. V analitični geometriji je t.i prosti vektor.

Če je čisto preprosto - vektor lahko narišemo iz katere koli točke:

Včasih smo takšne vektorje imenovali enaki (definicija enakih vektorjev bo podana v nadaljevanju), čisto matematično gledano pa gre za ISTI VEKTOR oz. prosti vektor. Zakaj brezplačno? Ker med reševanjem problemov lahko "pripnete" enega ali drugega "šolskega" vektorja na KATERO koli točko ravnine ali prostora, ki ga potrebujete. To je zelo kul nepremičnina! Predstavljajte si usmerjen odsek poljubne dolžine in smeri - lahko ga "kloniramo" neskončno velikokrat in na kateri koli točki v prostoru, pravzaprav obstaja POVSOD. Obstaja takšen študentski pregovor: Vsak predavatelj v f ** u v vektorju. Konec koncev ne gre samo za duhovito rimo, vse je skoraj pravilno - tudi režirani segment je mogoče pripeti tja. Toda ne hitite se veseliti, učenci sami pogosteje trpijo =)

Torej, prosti vektor- To kup identične smerne odseke. Šolska definicija vektorja, podana na začetku odstavka: "Usmerjeni segment se imenuje vektor ...", pomeni specifična usmerjeni segment, vzet iz dane množice, ki je vezan na določeno točko v ravnini ali prostoru.

Opozoriti je treba, da je z vidika fizike koncept prostega vektorja na splošno napačen in da je točka uporabe pomembna. Dejansko je dovolj neposreden udarec enake moči v nos ali čelo, da se razvije moj neumni primer, ki ima drugačne posledice. vendar ni zastonj vektorje najdemo tudi v poteku vyshmat (ne hodite tja :)).

Dejanja z vektorji. Kolinearnost vektorjev

V šolskem tečaju geometrije se upoštevajo številna dejanja in pravila z vektorji: seštevanje po pravilu trikotnika, seštevanje po pravilu paralelograma, pravilo razlike vektorjev, množenje vektorja s številom, skalarni produkt vektorjev itd. Kot seme ponovimo dve pravili, ki sta še posebej pomembni za reševanje problemov analitične geometrije.

Pravilo seštevanja vektorjev po pravilu trikotnikov

Razmislite o dveh poljubnih neničelnih vektorjih in:

Potrebno je najti vsoto teh vektorjev. Ker vsi vektorji veljajo za proste, vektor preložimo iz konec vektor:

Vsota vektorjev je vektor . Za boljše razumevanje pravila je priporočljivo, da vanj vnesemo fizični pomen: naj neko telo naredi pot po vektorju , nato pa po vektorju . Potem je vsota vektorjev vektor nastale poti, ki se začne na točki odhoda in konča na točki prihoda. Podobno pravilo je formulirano za vsoto poljubnega števila vektorjev. Kot pravijo, lahko telo gre svojo pot močno cik-cak ali morda na avtopilotu - vzdolž nastalega vektorja vsote.

Mimogrede, če je vektor prestavljen iz začetek vektor , potem dobimo ekvivalent pravilo paralelograma dodajanje vektorjev.

Najprej o kolinearnosti vektorjev. Dva vektorja se imenujeta kolinearniče ležijo na isti premici ali na vzporednih premicah. Grobo rečeno, govorimo o vzporednih vektorjih. Toda v zvezi z njimi se vedno uporablja pridevnik "kolinearni".

Predstavljajte si dva kolinearna vektorja. Če so puščice teh vektorjev usmerjene v isto smer, se takšni vektorji imenujejo sosmerno. Če puščice gledajo v različnih smereh, bodo vektorji nasprotno usmerjeni.

Oznake: kolinearnost vektorjev zapišemo z običajno ikono za vzporednost: , detajliranje pa je možno: (vektorji so sousmerjeni) ali (vektorji so nasprotno usmerjeni).

delo neničelnega vektorja s številom je vektor, katerega dolžina je enaka , vektorja in sta sousmerjena in nasprotno usmerjena na .

Pravilo množenja vektorja s številom je lažje razumeti s sliko:

Razumemo podrobneje:

1) Smer. Če je množitelj negativen, potem vektor spremeni smer v nasprotje.

2) Dolžina. Če je faktor vsebovan znotraj ali , potem je dolžina vektorja zmanjša. Torej je dolžina vektorja dvakrat manjša od dolžine vektorja. Če je modulo množitelj večji od ena, potem je dolžina vektorja poveča pravočasno.

3) Upoštevajte to vsi vektorji so kolinearni, medtem ko je en vektor izražen skozi drugega, na primer . Velja tudi obratno: če je en vektor mogoče izraziti z drugim, potem so taki vektorji nujno kolinearni. Torej: če vektor pomnožimo s številom, dobimo kolinearno(glede na original) vektor.

4) Vektorja sta sosmerna. Tudi vektorja in sta sosmerna. Vsak vektor prve skupine je nasproten kateremu koli vektorju druge skupine.

Katera vektorja sta enaka?

Dva vektorja sta enaka, če sta sosmerna in imata enako dolžino. Upoštevajte, da sosmernost pomeni, da so vektorji kolinearni. Definicija bo netočna (odvečna), če rečete: "Dva vektorja sta enaka, če sta kolinearna, sousmerjena in imata enako dolžino."

Z vidika koncepta prostega vektorja sta enaka vektorja enaka vektorja, o čemer je bilo govora že v prejšnjem odstavku.

Vektorske koordinate na ravnini in v prostoru

Prva točka je obravnavanje vektorjev na ravnini. Narišite kartezični pravokotni koordinatni sistem in ga odmaknite od izhodišča samski vektorji in:

Vektorji in pravokoten. Ortogonalno = pravokotno. Priporočam, da se pojma počasi navadimo: namesto vzporednosti in pravokotnosti uporabljamo besedi oz. kolinearnost in ortogonalnost.

Oznaka: ortogonalnost vektorjev zapišemo z običajnim predznakom za pravokotnico, npr.: .

Obravnavani vektorji se imenujejo koordinatni vektorji oz orts. Ti vektorji tvorijo osnova na površini. Kaj je osnova, mislim, da je mnogim intuitivno jasno, podrobnejše informacije najdete v članku Linearna (ne)odvisnost vektorjev. Vektorska osnova.Poenostavljeno povedano, osnova in izhodišče koordinat določata celoten sistem - to je nekakšen temelj, na katerem vre polno in bogato geometrijsko življenje.

Včasih se imenuje konstruirana osnova ortonormalno osnova ravnine: "orto" - ker sta koordinatna vektorja pravokotna, pridevnik "normaliziran" pomeni enoto, tj. dolžine baznih vektorjev so enake ena.

Oznaka: osnovo običajno zapišemo v oklepaju, znotraj katerega v strogem redu bazični vektorji so navedeni, na primer: . Koordinatni vektorji je prepovedano zamenjati mesta.

Kaj ravninski vektor edina pot izraženo kot:
, Kje - številke, ki se imenujejo vektorske koordinate v tej osnovi. Ampak sam izraz klical vektorska dekompozicijaosnova .

Večerja postrežena:

Začnimo s prvo črko abecede: . Risba jasno kaže, da se pri razgradnji vektorja glede na osnovo uporabljajo pravkar obravnavani:
1) pravilo množenja vektorja s številom: in ;
2) seštevanje vektorjev po pravilu trikotnika: .

Zdaj pa mentalno odmaknite vektor od katere koli druge točke na ravnini. Povsem očitno je, da mu bo pokvarjenost »neizprosno sledila«. Tukaj je, svoboda vektorja - vektor "vse nosi s seboj." Ta lastnost seveda velja za vsak vektor. Smešno je, da samih baznih (prostih) vektorjev ni treba ločiti od izhodišča, enega lahko narišemo na primer levo spodaj, drugega pa desno zgoraj in s tem se ne bo nič spremenilo! Res je, da vam tega ni treba storiti, ker bo tudi učitelj pokazal izvirnost in vam na nepričakovanem mestu narisal "prepustnico".

Vektorji , natančno ponazarjajo pravilo za množenje vektorja s številom, vektor je sousmerjen z baznim vektorjem , vektor je usmerjen nasproti baznega vektorja . Za te vektorje je ena od koordinat enaka nič, lahko natančno zapišemo na naslednji način:


In bazni vektorji, mimogrede, so takšni: (pravzaprav so izraženi skozi sebe).

In končno: , . Mimogrede, kaj je vektorsko odštevanje in zakaj vam nisem povedal o pravilu odštevanja? Nekje v linearni algebri, ne spomnim se kje, sem zapisal, da je odštevanje poseben primer seštevanja. Torej so razširitve vektorjev "de" in "e" mirno zapisane kot vsota: . Sledite risbi, da vidite, kako dobro staro dobro seštevanje vektorjev po pravilu trikotnika deluje v teh situacijah.

Upoštevana razgradnja forme včasih imenovana vektorska dekompozicija v sistemu ort(tj. v sistemu enotskih vektorjev). Vendar to ni edini način za pisanje vektorja, pogosta je naslednja možnost:

Ali z znakom enačaja:

Bazični vektorji so zapisani takole: in

To pomeni, da so koordinate vektorja navedene v oklepajih. Pri praktičnih nalogah so uporabljene vse tri možnosti zapisa.

Dvomil sem, ali naj govorim, a vseeno bom rekel: vektorskih koordinat ni mogoče preurediti. Strogo na prvem mestu zapišite koordinato, ki ustreza enotskemu vektorju, strogo na drugem mestu zapišite koordinato, ki ustreza enotskemu vektorju. Dejansko in sta dva različna vektorja.

Na letalu smo ugotovili koordinate. Zdaj razmislite o vektorjih v tridimenzionalnem prostoru, tukaj je vse skoraj enako! Dodana bo samo še ena koordinata. Težko je izvajati tridimenzionalne risbe, zato se bom omejil na en vektor, ki ga bom zaradi enostavnosti odložil od izvora:

Kaj 3D vesoljski vektor edina pot razširiti v ortonormirani osnovi:
, kjer so koordinate vektorja (števila) v podani bazi.

Primer iz slike: . Poglejmo, kako tukaj delujejo vektorska pravila. Najprej pomnožimo vektor s številom: (rdeča puščica), (zelena puščica) in (magenta puščica). Drugič, tukaj je primer dodajanja več, v tem primeru treh vektorjev: . Vsoto vektorja se začne na začetni točki odhoda (začetek vektorja) in konča na končni točki prihoda (konec vektorja).

Vsi vektorji tridimenzionalnega prostora so seveda tudi prosti, poskusite mentalno odložiti vektor s katere koli druge točke in razumeli boste, da njegova širitev "ostane z njim."

Podobno kot v primeru letala, poleg pisanja različice z oklepaji se pogosto uporabljajo: bodisi .

Če v razširitvi manjka eden (ali dva) koordinatna vektorja, se namesto njih postavijo ničle. Primeri:
vektor (natančno ) - zapisati ;
vektor (natančno ) - zapisati ;
vektor (natančno ) - zapisati .

Bazni vektorji so zapisani na naslednji način:

Tukaj je morda vse minimalno teoretično znanje, potrebno za reševanje problemov analitične geometrije. Morda je izrazov in definicij preveč, zato priporočam neumnim, da te informacije še enkrat preberejo in razumejo. In za vsakega bralca bo koristno, da se občasno obrne na osnovno lekcijo za boljšo asimilacijo gradiva. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormirana baza, vektorska dekompozicija - ti in drugi koncepti bodo pogosto uporabljeni v nadaljevanju. Ugotavljam, da materiali spletnega mesta niso dovolj za opravljanje teoretičnega preizkusa, kolokvija o geometriji, saj skrbno kodiram vse izreke (razen brez dokazov) - v škodo znanstvenega sloga predstavitve, vendar plus za vaše razumevanje predmeta. Za podrobne teoretične informacije vas prosim, da se priklonite profesorju Atanasjanu.

Zdaj pa preidimo na praktični del:

Najenostavnejši problemi analitične geometrije.
Dejanja z vektorji v koordinatah

Naloge, ki jih bomo obravnavali, je zelo zaželeno, da se naučite, kako jih rešiti popolnoma samodejno, in formule zapomni si, niti se ga ne spomnite namenoma, sami si ga bodo zapomnili =) To je zelo pomembno, saj drugi problemi analitične geometrije temeljijo na najpreprostejših elementarnih primerih in bo nadležno porabiti dodaten čas za uživanje kmetov. Ni vam treba zapeti zgornjih gumbov na srajci, marsikaj vam je znano iz šole.

Predstavitev gradiva bo potekala vzporedno - tako za letalo kot za vesolje. Iz razloga, da vse formule ... boste videli sami.

Kako najti vektor glede na dve točki?

Če sta podani dve točki ravnine in , ima vektor naslednje koordinate:

Če sta podani dve točki v prostoru in , ima vektor naslednje koordinate:

to je iz koordinat konca vektorja morate odšteti ustrezne koordinate vektorski začetek.

Vaja: Za iste točke zapišite formule za iskanje koordinat vektorja. Formule na koncu lekcije.

Primer 1

Glede na dve točki v ravnini in . Poiščite vektorske koordinate

rešitev: po ustrezni formuli:

Druga možnost je, da se uporabi naslednji zapis:

Esteti se bodo odločili takole:

Osebno sem navajen na prvo različico plošče.

odgovor:

V skladu s pogojem ni bilo potrebno sestaviti risbe (kar je značilno za probleme analitične geometrije), a da bi lutkam razložil nekatere točke, ne bom preveč len:

Treba je razumeti razlika med koordinatami točke in vektorskimi koordinatami:

Koordinate točk so običajne koordinate v pravokotnem koordinatnem sistemu. Mislim, da vsi znajo risati točke na koordinatni ravnini že od 5. do 6. razreda. Vsaka točka ima strogo določeno mesto na ravnini in jih ni mogoče nikamor premakniti.

Koordinate istega vektorja je njegova razširitev glede na osnovo, v tem primeru. Vsak vektor je prost, zato ga lahko po želji ali potrebi enostavno ločimo od katere koli druge točke v ravnini (da se izognemo zmedi, ga preimenujemo na primer v ). Zanimivo je, da za vektorje sploh ne morete zgraditi osi, pravokotnega koordinatnega sistema, potrebujete samo osnovo, v tem primeru ortonormirano osnovo ravnine.

Zdi se, da so zapisi koordinat točke in vektorskih koordinat podobni: , in občutek za koordinate absolutno drugačen, in te razlike bi se morali dobro zavedati. Ta razlika seveda velja tudi za prostor.

Dame in gospodje, polnimo roke:

Primer 2

a) Glede na točke in . Poišči vektorje in .
b) Točke so podane In . Poišči vektorje in .
c) Glede na točke in . Poišči vektorje in .
d) Točke so podane. Poiščite vektorje .

Morda dovolj. To so primeri za samostojno odločitev, poskusite jih ne zanemariti, obrestovalo se bo ;-). Risbe niso potrebne. Rešitve in odgovori na koncu lekcije.

Kaj je pomembno pri reševanju problemov analitične geometrije? Pomembno je, da ste IZJEMNO PREVIDNI, da se izognete mojstrski napaki "dva plus dva je enako nič". Že vnaprej se opravičujem, če sem naredil napako =)

Kako najti dolžino segmenta?

Dolžina je, kot smo že omenili, označena z znakom modula.

Če sta podani dve točki ravnine in , lahko dolžino segmenta izračunamo po formuli

Če sta podani dve točki v prostoru in , potem lahko dolžino segmenta izračunamo po formuli

Opomba: Formule bodo ostale pravilne, če bodo ustrezne koordinate zamenjane: in , vendar je prva možnost bolj standardna

Primer 3

rešitev: po ustrezni formuli:

odgovor:

Zaradi jasnosti bom naredil risbo

Odsek črte - to ni vektor, in ga seveda ne moreš nikamor premakniti. Poleg tega, če dokončate risbo v merilu: 1 enota. \u003d 1 cm (dve tetradni celici), potem lahko odgovor preverite z navadnim ravnilom z neposrednim merjenjem dolžine segmenta.

Da, rešitev je kratka, vendar je v njej nekaj pomembnih točk, ki bi jih rad pojasnil:

Najprej v odgovoru določimo dimenzijo: “enote”. Pogoj ne pove, KAJ je to, milimetre, centimetre, metre ali kilometre. Zato bo splošna formulacija matematično kompetentna rešitev: "enote" - skrajšano kot "enote".

Drugič, ponovimo šolsko snov, ki je uporabna ne samo za obravnavani problem:

Bodi pozoren na pomemben tehnični trik – vzeti množitelj izpod korena. Kot rezultat izračunov smo dobili rezultat in dober matematični slog vključuje vzetje množitelja izpod korena (če je mogoče). Postopek je bolj podrobno videti takole: . Če pustite odgovor v obrazcu, seveda ne bo napaka – vsekakor pa gre za pomanjkljivost in tehten argument za zaničevanje s strani učitelja.

Tu so še drugi pogosti primeri:

Pogosto je dovolj veliko število pridobljeno pod korenino, na primer. Kako biti v takih primerih? Na kalkulatorju preverimo, ali je število deljivo s 4:. Da, popolnoma razdeljen, tako: . Ali pa se mogoče število spet deli s 4? . Torej: . Zadnja številka števila je liha, zato tretjič deljenje s 4 očitno ni mogoče. Poskušam deliti z devet: . Kot rezultat:
pripravljena

Zaključek:če pod korenom dobimo popolnoma neizvlečno število, potem poskušamo faktor izvleči izpod korena - na kalkulatorju preverimo, ali je število deljivo s: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Pri reševanju različnih problemov se pogosto najdejo korenine, vedno poskušajte izluščiti faktorje izpod korena, da se izognete nižji oceni in nepotrebnim težavam z dokončanjem svojih rešitev po pripombah učitelja.

Ponovimo kvadriranje korenov in druge potence hkrati:

Pravila za dejanja z diplomami v splošni obliki lahko najdete v šolskem učbeniku algebre, vendar mislim, da je vse ali skoraj vse že jasno iz navedenih primerov.

Naloga za samostojno rešitev z odsekom v prostoru:

Primer 4

Glede na točke in. Poišči dolžino odseka.

Rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Kako najti dolžino vektorja?

Če je podan ravninski vektor, se njegova dolžina izračuna po formuli.

Če je podan prostorski vektor, se njegova dolžina izračuna po formuli .

Te formule (kot tudi formule za dolžino segmenta) je enostavno izpeljati z uporabo razvpitega Pitagorovega izreka.

Nekatere fizikalne količine, na primer sila ali hitrost, niso označene le z numerično vrednostjo, temveč tudi s smerjo. Take količine imenujemo vektorske količine: F⃗ - moč, v⃗ - hitrost.
Dajmo geometrijsko definicijo vektorja.
Vektor imenuje se segment, za katerega je navedeno, katera od njegovih mejnih točk se šteje za začetek in katera je konec.
Na risbah je vektor prikazan kot odsek črte s puščico, ki označuje konec vektorja. Vektor je označen z dvema velikima latinskima črkama s puščico nad njima. Prva črka označuje začetek vektorja, druga - konec.

Vektor lahko označimo tudi z eno samo malo latinično črko s puščico nad njo.

Dolžina vektorja je dolžina segmenta, ki predstavlja ta vektor. Navpični oklepaji se uporabljajo za označevanje dolžine vektorja.
Imenuje se vektor, katerega konec je enak njegovemu začetku nič vektor. Ničelni vektor je predstavljen s piko in označen z dvema enakima črkama ali ničlo s puščico nad njo. Dolžina ničelnega vektorja je enaka nič: |0 ⃗|= 0.

Predstavimo koncept kolinearni vektorji. Vektorji, ki niso nič, se imenujejo kolinearni, če ležijo na isti premici ali na vzporednih premicah. Ničelni vektor velja za kolinearnega kateremu koli vektorju.

Če imajo neničelni kolinearni vektorji isto smer, bodo takšni vektorji sosmerni. Če sta njuni smeri nasprotni, ju imenujemo nasprotno usmerjeni.
Za označevanje sousmerjenih in nasprotno usmerjenih vektorjev obstajajo posebni zapisi:
- m ⃗ R⃗ če so vektorji m⃗ in R⃗ sorežiran;
- m ⃗ ↓ n⃗ če so vektorji m⃗ in n⃗ Nasprotno usmerjeno.
Razmislite o gibanju avtomobila. Hitrost vsake njene točke je vektorska količina in je predstavljena z usmerjenim segmentom. Ker se vse točke avtomobila gibljejo z enako hitrostjo, imajo vsi usmerjeni segmenti, ki predstavljajo hitrosti različnih točk, isto smer in so enake dolžine. Ta primer nam daje namig, kako ugotoviti, ali so vektorji enaki.
Za dva vektorja pravimo, da sta enaka, če sta v isti smeri in sta njuni dolžini enaki. Enakost vektorjev lahko zapišemo z enakim znakom: a ⃗ = b ⃗, KH ⃗ = OE ⃗
Če točka R vektorski začetek R⃗, potem menimo, da je vektor R⃗ odloženo s točke R.

Dokažimo to s katere koli točke O lahko postavite vektor, ki je enak danemu vektorju R⃗ in samo enega.

Dokaz:
1) Če R⃗ je torej ničelni vektor OO ⃗ = R ⃗.
2) Če je vektor R⃗ različno od nič, točka R je začetek tega vektorja in točka T- konec.
Pojdi skozi piko O ravno, vzporedno RT. Na konstruirani ravni črti odložimo segmente OA 1 in OA 2 enak segmentu RT.

Izbirajte med vektorji OA 1 in OA 2 vektor, ki je sosmeren z vektorjem R⃗. Na naši risbi je to vektor OA 1. Ta vektor bo enak vektorju R⃗. Iz konstrukcije sledi, da je tak vektor edinstven.