Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij

Opomba. Ta tabela vrednosti za trigonometrične funkcije uporablja znak √ za označevanje kvadratnega korena. Za označevanje ulomka - simbol "/".

Poglej tudi uporabni materiali:

Za določanje vrednosti trigonometrične funkcije, ga poiščite na presečišču črte, ki označuje trigonometrično funkcijo. Na primer, sinus 30 stopinj - iščemo stolpec z naslovom sin (sinus) in najdemo presečišče tega stolpca tabele s črto "30 stopinj", na njihovem presečišču preberemo rezultat - ena drugo. Podobno ugotavljamo kosinus 60 stopnje, sinus 60 stopinj (spet na presečišču stolpca sin (sinus) in vrstice 60 stopinj najdemo vrednost sin 60 = √3/2) itd. Na enak način se najdejo vrednosti sinusov, kosinusov in tangentov drugih "priljubljenih" kotov.

Sinus pi, kosinus pi, tangens pi in drugi koti v radianih

Spodnja tabela kosinusov, sinusov in tangentov je primerna tudi za iskanje vrednosti trigonometričnih funkcij, katerih argument je podano v radianih. Če želite to narediti, uporabite drugi stolpec vrednosti kotov. Zahvaljujoč temu lahko pretvorite vrednost priljubljenih kotov iz stopinj v radiane. Na primer, poiščimo kot 60 stopinj v prvi vrstici in pod njim preberimo njegovo vrednost v radianih. 60 stopinj je enako π/3 radianov.

Število pi enolično izraža odvisnost obsega kroga od stopinjske mere kota. Torej je pi radian enak 180 stopinj.

Vsako število, izraženo s pi (radian), je mogoče zlahka pretvoriti v stopinje tako, da število pi (π) zamenjate s 180.

Primeri:
1. sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
tako je sinus pi enak sinusu 180 stopinj in je enak nič.

2. kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
tako je kosinus pi enak kosinusu 180 stopinj in je enak minus ena.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
tako je tangens pi enak tangensu 180 stopinj in je enak nič.

Tabela vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa za kote 0 - 360 stopinj (pogoste vrednosti)

kot α (stopinje)	kot α v radianih (prek pi)	greh (sinusi)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)	sek (sekant)	vzrok (kosekans)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Če je v tabeli vrednosti trigonometričnih funkcij namesto vrednosti funkcije označen pomišljaj (tangens (tg) 90 stopinj, kotangens (ctg) 180 stopinj), potem je za dano vrednost mere stopnje kota, funkcija nima določene vrednosti. Če pomišljaja ni, je celica prazna, torej še nismo vnesli želene vrednosti. Zanima nas, po kakšnih zahtevah se uporabniki obračajo k nam in tabelo dopolnjujemo z novimi vrednostmi, kljub temu, da so trenutni podatki o vrednostih kosinusov, sinusov in tangensov najpogostejših vrednosti kotov dovolj za rešitev večine težave.

Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij sin, cos, tg za najbolj priljubljene kote
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stopinj
(številčne vrednosti "po Bradisovih tabelah")

vrednost kota α (stopinje)	vrednost kota α v radianih	greh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Sinus je ena od osnovnih trigonometričnih funkcij, katere uporaba ni omejena samo na geometrijo. Tabele za izračun trigonometričnih funkcij, tako kot inženirski kalkulatorji, niso vedno pri roki, izračun sinusa pa je včasih potreben za reševanje različnih problemov. Na splošno bo izračun sinusa pomagal utrditi risarske sposobnosti in poznavanje trigonometričnih identitet.

Igre z ravnilom in svinčnikom

Preprosta naloga: kako najti sinus kota, narisanega na papir? Za rešitev potrebujete običajno ravnilo, trikotnik (ali šestilo) in svinčnik. Sinus kota najenostavneje izračunamo tako, da skrajni krak trikotnika s pravim kotom delimo z daljšo stranjo - hipotenuzo. Tako morate najprej dokončati ostri kot do figure pravokotnega trikotnika, tako da narišete črto, pravokotno na enega od žarkov na poljubni razdalji od vrha kota. Upoštevati bo treba kot natančno 90 °, za kar potrebujemo klerikalni trikotnik.

Uporaba kompasa je nekoliko natančnejša, vendar bo trajala dlje. Na enem od žarkov morate na določeni razdalji označiti 2 točki, na kompasu nastaviti polmer, ki je približno enak razdalji med točkama, in narisati polkroge s središči na teh točkah, dokler se te črte ne sekata. S povezovanjem presečišč naših krogov med seboj, bomo dobili strogo pravokotno na žarek našega kota, ostane le, da podaljšamo črto, dokler se ne preseka z drugim žarkom.

V nastalem trikotniku morate z ravnilom izmeriti stran nasproti vogala in dolgo stran na enem od žarkov. Razmerje med prvo meritvijo in drugo bo želena vrednost sinusa ostrega kota.

Poiščite sinus za kot, večji od 90°

Pri topem kotu naloga ni veliko težja. Iz oglišča je treba z ravnilom potegniti žarek v nasprotni smeri, da z enim od žarkov kota, ki nas zanima, tvori ravno črto. Z nastalim ostrim kotom morate postopati, kot je opisano zgoraj, sinusi sosednjih kotov, ki skupaj tvorijo razvit kot 180 °, so enaki.

Računanje sinusa iz drugih trigonometričnih funkcij

Prav tako je izračun sinusa možen, če so znane vrednosti drugih trigonometričnih funkcij kota ali vsaj dolžine stranic trikotnika. Pri tem nam bodo pomagale trigonometrične identitete. Poglejmo pogoste primere.

Kako najti sinus z znanim kosinusom kota? Prva trigonometrična istovetnost, ki izhaja iz Pitagorovega izreka, pravi, da je vsota kvadratov sinusa in kosinusa istega kota enaka ena.

Kako najti sinus z znanim tangensom kota? Tangens dobimo tako, da oddaljeni krak delimo z bližnjim ali tako, da sinus delimo s kosinusom. Tako bo sinus produkt kosinusa in tangensa, kvadrat sinusa pa kvadrat tega produkta. Kvadrat kosinusa nadomestimo z razliko med enoto in kvadratnim sinusom glede na prvo trigonometrično identiteto in s preprostimi manipulacijami pripeljemo enačbo za izračun kvadratnega sinusa skozi tangento, oziroma za izračun sinusa boste morali iz dobljenega rezultata izvlecite koren.

Kako najti sinus z znanim kotangensom kota? Vrednost kotangensa lahko izračunamo tako, da dolžino bližnjega kota kraka delimo z dolžino oddaljenega kota in kosinus delimo tudi s sinusom, to pomeni, da je kotangens inverzna funkcija tangensa z glede na število 1. Za izračun sinusa lahko izračunate tangens s formulo tg α \u003d 1 / ctg α in uporabite formulo v drugi možnosti. Po analogiji s tangento lahko izpeljete tudi neposredno formulo, ki bo videti takole.

Kako najti sinus treh strani trikotnika

Obstaja formula za iskanje dolžine neznane stranice katerega koli trikotnika, ne samo pravokotnega trikotnika, glede na dve znani stranici z uporabo trigonometrične funkcije kosinusa nasprotnega kota. Izgleda takole.

No, sinus lahko nadalje izračunamo iz kosinusa v skladu z zgornjimi formulami.

Cilji lekcije:

Glavni didaktični cilj: razmisliti o vseh možnih načinih reševanja te enačbe.

Izobraževalni: preučevanje novih metod za reševanje trigonometričnih enačb na primeru lekcije-seminarja v ustvarjalni situaciji.

Razvijanje: oblikovanje splošnih metod za reševanje trigonometričnih enačb; izboljšanje miselnih operacij učencev; razvoj spretnosti in zmožnosti ustnega monološkega matematičnega govora pri predstavitvi rešitve trigonometrične enačbe.

Vzgojitelji: razvijati samostojnost in ustvarjalnost; prispevajo k razvoju želje in potrebe učencev po posploševanju dejstev, ki se preučujejo.

Vprašanja za pripravo in nadaljnjo razpravo na seminarju.

Vsi učenci so razdeljeni v skupine (2-4 osebe) glede na skupno število učencev ter njihove individualne sposobnosti in želje. Samostojno določijo temo za pripravo in predstavitev na učni uri-seminarju. Ena oseba iz skupine govori, ostali učenci pa po potrebi sodelujejo pri dopolnjevanju in popravljanju napak.

Organiziranje časa.

Študentom se reče:

Tema lekcije:

“Različni načini reševanja trigonometrične enačbe sin x - cos x = 1

Oblika obnašanja: lekcija - seminar.

Epigraf lekcije:

»Veliko znanstveno odkritje nudi rešitev velikega problema, a v rešitvi vsakega problema je zrno odkritja. Naloga, ki se je lotevate, je lahko skromna, a če izziva vašo radovednost in vas sili k iznajdljivosti ter če jo rešujete sami, potem lahko doživite napetost uma, ki vodi v odkrivanje in uživate v veselju zmage. ”

(D. Poya)

Cilji lekcije:

a) razmislite o možnosti reševanja iste enačbe na različne načine;
b) spoznati različne splošne metode reševanja trigonometričnih enačb;
c) študij nove snovi (uvedba pomožnega kota, univerzalna zamenjava).

Načrt seminarja

1. Zmanjšanje enačbe na homogeno glede na sinus in kosinus.
2. Faktorizacija leve strani enačbe.
3. Uvedba pomožnega kota.
4. Pretvarjanje razlike (ali vsote) trigonometričnih funkcij v produkt.
5. Redukcija na kvadratno enačbo glede na eno od funkcij.
6. Kvadriranje obeh strani enačbe.
7. Izraz vseh funkcij skozi tg x (univerzalna substitucija).
8. Grafična rešitev enačbe.

1. Besedo ima prvi udeleženec.

Enačba sin x - cos x \u003d 1 postane homogena glede na sinus in kosinus.
Levo stran razširimo po formulah dvojnega argumenta, desno stran pa zamenjamo s trigonometrično enoto z uporabo osnovne trigonometrične identitete:

2 sin cos - cos + sin \u003d sin + cos;

2 sin cos - cos = 0;
cos = 0;
Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič, drugi pa ne izgubijo pomena, zato sledi

cos =0; =

= 0 - homogena enačba prve stopnje. Obe strani enačbe delimo s cos. (cos 0, ker če je cos = 0, potem je sin - 0 = 0 sin = 0, kar je v nasprotju s trigonometrično istovetnostjo sin + cos = 1).

odgovor:
2. Besedo dobi drugi udeleženec.

Faktorizacija leve strani enačbe sin x - cos x = 1.

sin x - (1+ cos x) = 1; uporabite formule 1+ cos x = 2, dobimo ;
naprej podobno:

produkt je enak nič, če je vsaj eden izmed faktorjev enak nič, ostali pa ne izgubijo pomena, zato sledi

cos =0; =
= 0 - homogena enačba prve stopnje. Obe strani enačbe delimo s cos. (cos 0, ker če je cos = 0, potem je sin - 0 = 0 sin = 0, kar je v nasprotju s trigonometrično identiteto sin + cos = 1)

Dobimo tg -1 = 0 ; tg = 1; =
odgovor:

3. Besedo dobi tretji udeleženec.

Reševanje enačbe sin x - cos x = 1 z uvedbo pomožnega kota.

Razmislite o enačbi sin x - cos x = 1. Pomnožite in razdelite vsak člen na levi strani
enačbe za. Dobiti in odstranite oklepaje na levi strani enačbe. Dobiti ; Obe strani enačbe delimo z in uporabljamo tabelarične vrednosti trigonometričnih funkcij. Dobiti ; Uporabimo formulo sinusne razlike.
;

Enostavno je ugotoviti (z uporabo trigonometričnega kroga), da dobljena rešitev spada v dva primera:

;

odgovor:

4. Besedo dobi četrti udeleženec.

Reševanje enačbe sin x - cos x = 1 s pretvorbo razlike (ali vsote) trigonometričnih funkcij v produkt.

Enačbo zapišemo v obliki , z uporabo formule za zmanjšanje . Z uporabo formule za razliko dveh sinusov dobimo

;

odgovor:

5. Besedo dobi peti udeleženec.

Reševanje enačbe sin x - cos x = 1 z redukcijo na kvadratno enačbo glede na eno od funkcij.

Razmislite o osnovni trigonometrični identiteti , od koder sledi
Zamenjajmo dobljeni izraz v to enačbo.
sin x - cos x = 1 ,

Kvadratirajmo obe strani dobljene enačbe:

Pri reševanju sta bila oba dela enačbe kvadrirana, kar bi lahko povzročilo pojav tujih rešitev, zato je preverjanje potrebno. Izvedimo ga.

Dobljene rešitve so enakovredne uniji treh rešitev:

Prva in druga rešitev sovpadata s prej pridobljenima, zato nista tuji. Ostaja še preveriti tretjo rešitev Zamenjajmo.
Leva stran:

Desna stran: 1.

Prejeto: torej, je zunanja odločitev.

odgovor:

6. Besedo ima šesti udeleženec.

Kvadriranje obeh strani enačbe sin x - cos x = 1.

Razmislite o enačbi sin x - cos x = 1. Kvadriramo obe strani te enačbe.

;

Z uporabo osnovne trigonometrične identitete in formule sinusa dvojnega kota dobimo; sin 2x = 0; . nima smisla, tj.

Treba je preveriti, ali so te enačbe rešitve. Te rešitve nadomestite z levo in desno stranjo enačbe.

Leva stran: .

Desna stran: 1.

Dobil 1=1. Prav tako je rešitev te enačbe.

odgovor:

8. Besedo ima osmi udeleženec.

Razmislite o grafični rešitvi enačbe sin x - cos x = 1.

Obravnavano enačbo zapišemo v obliki sin x = 1 + cos x.

Zgradimo grafe funkcij, ki ustrezajo levemu in desnemu delu enačbe v koordinatnem sistemu Oxy. Abscise presečišč grafov so rešitve te enačbe.

y = sin x - graf: sinusoida.
y = cos x +1 - graf: kosinusni val y = cos x premaknjen za 1 navzgor vzdolž osi Oy. Abscise presečišč so rešitve te enačbe.

odgovor:

Povzetek lekcije.

Seznam uporabljene literature:

1. Tatarchenkova S.S. Lekcija kot pedagoški fenomen - Sankt Peterburg: Karo, 2005
2. Vygodsky N.V. Priročnik za osnovno matematiko.-M .: Nauka, 1975.
3. Vilenkin N.Y. in drugi Za stranmi učbenika matematike: Aritmetika. Algebra. Geometrija: knjiga za učence 10-11 razreda - M .: Izobraževanje, 1996.
4. Gnedenko B.V. Eseji o zgodovini matematike v Rusiji - M.: OGIZ, 1946.
5. Depman I.Ya. in drugi Za stranmi učbenika matematike - M .: Izobraževanje, 1999.
6. Dorofeev G.V. in drugi Matematika: za kandidate na univerzah - M .: Drofa, 2000.
7. Matematika: Veliki enciklopedični slovar. – M.: TSB, 1998.
8. Mordkovich A.G. in dr. Priročnik za šolarje iz matematike. 10-11 razredov Algebra in začetki analize. – M.: Akvarij, 1997.
9. 300 tekmovalnih nalog iz matematike. – M.: Rolf, 2000.
10. 3600 nalog iz algebre in začetki analize. – M.: Bustard, 1999.
11. Šolski kurikulum v tabelah in formulah. Odlična univerzalna referenčna knjiga. – M.: Bustard, 1999.
12. Torosyan V.G. Zgodovina šolstva in pedagoške misli: učbenik. za študente. - M .: Založba VLADOS-PRESS, 2006.- 351 str.
13. Krylova N.B. Pedagoška, ​​psihološka in moralna podpora kot prostor za osebne spremembe pri otroku in odraslem. / / Razrednik. - 2000. - št. 3. –S.92-103.

Če konstruiramo enotski krog s središčem v izhodišču in nastavimo poljubno vrednost argumenta x0 in štejemo od osi Ox kotiček x 0, potem ta kot na enotskem krogu ustreza neki točki A(slika 1) in njegovo projekcijo na os Oh bo točka M. Dolžina reza OM enaka abscisi točke A. dana vrednost argumenta x0 preslikana vrednost funkcije l= cos x 0 kot abscisa točke A. Skladno s tem bistvo IN(x 0 ;pri 0) pripada funkcijskemu grafu pri= cos X(slika 2). Če točka A ki se nahaja desno od osi OU, tokozin bo pozitiven, če bo levo negativen. Ampak v vsakem primeru bistvo A ne more zapustiti kroga. Zato se kosinus giblje od -1 do 1:

-1 = cos x = 1.

Dodatna rotacija za poljuben kot, večkratnik 2 str, vrne točko A na isto mesto. Zato funkcija y= cos xstr:

cos ( x+ 2str) = cos x.

Če vzamemo dve vrednosti argumenta, ki sta enaki v absolutni vrednosti, vendar nasprotni v predznaku, x In - x, poiščite ustrezne točke na krogu A x in A-x. Kot je razvidno iz sl. 3 njihovo projekcijo na os Oh je ista točka M. Zato

cos(- x) = cos ( x),

tiste. kosinus je soda funkcija, f(–x) = f(x).

Torej lahko raziščemo lastnosti funkcije l= cos X na segmentu , in nato upoštevajte njegovo pariteto in periodičnost.

pri X= 0 točk A leži na osi Oh, njegova abscisa je 1, zato je cos 0 = 1. S povečanjem X pika A giblje po krogu navzgor in v levo, njegova projekcija seveda samo v levo in za x = str/2 kosinus postane 0. Točka A v tem trenutku se dvigne na največjo višino, nato pa se še naprej premika v levo, vendar že pada. Njegova abscisa se zmanjšuje, dokler ne doseže najmanjše vrednosti, ki je enaka -1 at X= str. Tako na segmentu funkcija pri= cos X monotono pada od 1 do –1 (sl. 4, 5).

Iz parnosti kosinusa sledi, da je na intervalu [– str, 0], funkcija monotono narašča od –1 do 1 in pri tem zavzame ničelno vrednost x =–str/2. Če vzamete več obdobij, dobite valovito krivuljo (slika 6).

Torej funkcija l= cos x na točkah zavzame ničelne vrednosti X= str/2 + kp, Kje k- poljubno celo število. Največje vrednosti, enake 1, so dosežene v točkah X= 2kp, tj. z 2. korakom str, in minimumi enaki –1 v točkah X= str + 2kp.

Funkcija y \u003d sin x.

Na enotskem krogu x 0 ustreza točki A(slika 7), in njegovo projekcijo na os OU bo točka n.W vrednost funkcije y 0 = greh x0 definirana kot ordinata točke A. Pika IN(kotiček x 0 ,pri 0) pripada funkcijskemu grafu l= greh x(slika 8). Jasno je, da funkcija y= greh x periodično, njegova doba je 2 str:

greh( x+ 2str) = greh ( x).

Za dve vrednosti argumenta, X In - , projekcije njihovih ustreznih točk A x in A-x na os OU ki se nahaja simetrično glede na točko O. Zato

greh (- x) = –sin( x),

tiste. sinus je liha funkcija, f(– x) = –f( x) (slika 9).

Če je točka A vrti okoli točke O na vogalu str/2 v nasprotni smeri urinega kazalca (z drugimi besedami, če je kot X povečati za str/2), potem bo njegova ordinata v novem položaju enaka abscisi v starem. Kar pomeni

greh( x+ str/2) = cos x.

V nasprotnem primeru je sinus kosinus, "z zamudo". str/2, ker se bo katera koli vrednost kosinusa "ponovila" v sinusu, ko se argument poveča za str/2. In za izgradnjo sinusnega grafa je dovolj, da premaknete kosinusni graf za str/2 na desno (slika 10). Izredno pomembna lastnost sinusa je izražena z enakostjo

Geometrični pomen enakosti je razviden iz sl. 11. Tukaj X - to je polovica loka AB, in greh X - polovico ustreznega akorda. Očitno, ko se točke približujejo A in IN dolžina tetive se vse bolj približuje dolžini loka. Iz iste slike je enostavno izluščiti neenakost

|greh x| x|, velja za vse X.

Formulo (*) matematiki imenujejo čudovita meja. Iz nje izhaja zlasti, da greh X» X pri majhnem X.

Funkcije pri=tg x, y=ctg X. Dve drugi trigonometrični funkciji - tangens in kotangens, je najlažje definirati kot nam že poznana razmerja sinusa in kosinusa:

Tako kot sinus in kosinus sta tudi tangens in kotangens periodični funkciji, vendar sta njuni periodi enaki str, tj. so polovica sinusa in kosinusa. Razlog za to je jasen: če sinus in kosinus spremenita predznak, se njuno razmerje ne bo spremenilo.

Ker je v imenovalcu tangente kosinus, tangenta ni definirana v tistih točkah, kjer je kosinus 0 – ko X= str/2 +kp. Na vseh drugih točkah se monotono povečuje. Neposredno X= str/2 + kp za tangento so navpične asimptote. Na točkah kp tangenta in naklon sta 0 oziroma 1 (slika 12).

Kotangens ni definiran, če je sinus 0 (ko x = kp). Na drugih točkah se monotono zmanjšuje in črte x = kp – njene navpične asimptote. Na točkah x = str/2 +kp kotangens se spremeni v 0, naklon v teh točkah pa je -1 (slika 13).

Pariteta in periodičnost.

Funkcija se pokliče tudi, če f(–x) = f(x). Funkciji kosinus in sekans sta sodi, funkcije sinus, tangens, kotangens in kosekans pa so lihe:

sin(-α) = -sinα	tg (–α) = –tg α
cos(-α) = cosα	ctg(-α) = -ctgα
sec(-α) = secα	cosec (–α) = – cosec α

Paritetne lastnosti izhajajo iz simetrije točk p a in R- a (slika 14) okoli osi X. S takšno simetrijo ordinata točke spremeni predznak (( X;pri) gre v ( X; -y)). Vse funkcije - periodična, sinusna, kosinusna, sekans in kosekans imajo periodo 2 str, in tangens in kotangens - str:

sin (α + 2 kπ) = sinα	cos (α + 2 kπ) = cosα
tan (α + kπ) = tgα	ctg(α + kπ) = ctgα
sek (α + 2 kπ) = sek	cosec (α + 2 kπ) = cosecα

Periodičnost sinusa in kosinusa izhaja iz dejstva, da vse točke p a + 2 kp, Kje k= 0, ±1, ±2,…, sovpadajo, periodičnost tangensa in kotangensa pa je posledica dejstva, da točke p a + kp izmenično padajo v dve diametralno nasprotni točki kroga, kar daje isto točko na osi tangent.

Glavne lastnosti trigonometričnih funkcij lahko povzamemo v tabeli:

funkcija	Domena	Veliko vrednot	Pariteta	Področja monotonosti ( k= 0, ± 1, ± 2,…)
greh x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	Čuden	poveča s x O((4 k – 1) str /2, (4k + 1) str/2), se zmanjša kot x O((4 k + 1) str /2, (4k + 3) str/2)
cos x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	celo	Poveča z x O((2 k – 1) str, 2kp), se zmanjša pri x Oh (2 kp, (2k + 1) str)
tg x	x № str/2 + p k	(–Ґ , +Ґ )	Čuden	poveča s x O((2 k – 1) str /2, (2k + 1) str /2)
ctg x	x № p k	(–Ґ , +Ґ )	Čuden	zmanjša pri x O ( kp, (k + 1) str)
sek x	x № str/2 + p k	(–Ґ , –1] IN [+1, +Ґ )	celo	Poveča z x Oh (2 kp, (2k + 1) str), se zmanjša pri x O((2 k– 1) p , 2 kp)
vzrok x	x № p k	(–Ґ , –1] IN [+1, +Ґ )	Čuden	poveča s x O((4 k + 1) str /2, (4k + 3) str/2), se zmanjša kot x O((4 k – 1) str /2, (4k + 1) str /2)

Formule za ulivanje.

V skladu s temi formulami je vrednost trigonometrične funkcije argumenta a, kjer je str/2 a p , lahko reduciramo na vrednost funkcije argumenta a , kjer je 0 a p /2, tako enako kot dodatno k njej.

Argument b	– a	+ a	str– a	str+ a	+ a	+ a	2str– a
greh b	ker a	ker a	greh a	– greh a	-cos a	-cos a	– greh a
cosb	greh a	– greh a	-cos a	-cos a	– greh a	greh a	ker a

Zato so v tabelah trigonometričnih funkcij vrednosti podane samo za akutne kote in dovolj je, da se omejimo na primer na sinus in tangento. Tabela vsebuje samo najpogosteje uporabljene formule za sinus in kosinus. Iz njih je enostavno dobiti formule za tangens in kotangens. Pri pretvorbi funkcije iz argumenta oblike kp/2 ± a , kjer je k je celo število v funkcijo iz argumenta a:

1) ime funkcije se shrani, če k celo, in spremembe v "komplementarne", če kČuden;

2) znak na desni strani sovpada z znakom reducibilne funkcije v točki kp/2 ± a, če je kot a oster.

Na primer, pri oddaji ctg (a - str/2) poskrbite, da - str/2 pri 0 a p /2 leži v četrtem kvadrantu, kjer je kotangens negativen, in po pravilu 1 spremenimo ime funkcije: ctg (a - str/2) = –tg a .

Adicijske formule.

Formule za več kotov.

Te formule so izpeljane neposredno iz formul dodajanja:

sin 2a \u003d 2 sin a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;

sin 3a \u003d 3 sin a - 4 sin 3 a;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

Formulo za cos 3a je uporabil Francois Viet pri reševanju kubične enačbe. Prvi je našel izraze za cos n a in greh n a , ki so jih kasneje dobili na enostavnejši način iz De Moivrove formule.

Če zamenjate a z /2 v formulah z dvojnim argumentom, jih je mogoče pretvoriti v formule polovičnega kota:

Univerzalne nadomestne formule.

Z uporabo teh formul lahko izraz, ki vključuje različne trigonometrične funkcije iz istega argumenta, prepišemo kot racionalen izraz iz ene same funkcije tg (a / 2), kar je uporabno pri reševanju nekaterih enačb:

Formule za pretvorbo vsot v zmnožke in zmnožke v vsote.

Pred pojavom računalnikov so te formule uporabljali za poenostavitev izračunov. Izračuni so bili narejeni z uporabo logaritemskih tabel, kasneje pa z diapozitivom, ker. logaritmi so najprimernejši za množenje števil, zato so bili vsi izvirni izrazi reducirani na obliko, primerno za logaritme, tj. za dela kot so:

2 greh a sin b = cos ( a-b) – cos ( a+b);

2 cos a cos b= cos ( a-b) + cos ( a+b);

2 greh a cos b= greh ( a-b) + greh ( a+b).

Formuli za tangens in kotangens lahko dobite iz zgornjega.

Formule za zmanjšanje stopnje.

Iz formul več argumentov so formule izpeljane:

sin 2 a \u003d (1 - cos 2a) / 2;	cos 2 a = (1 + cos 2a )/2;
sin 3 a \u003d (3 sin a - sin 3a) / 4;	cos 3 a = (3 cos a + cos3 a )/4.

S pomočjo teh formul lahko trigonometrične enačbe reduciramo na enačbe nižjih stopenj. Na enak način je mogoče izpeljati redukcijske formule za višje potence sinusa in kosinusa.

Odvodi in integrali trigonometričnih funkcij
(greh x)` = cos x;	(ker x)` = -greh x;
(tg x)` = ;	(ctg x)` = – ;
t greh x dx= -cos x + C;	t cos x dx= greh x + C;
t tg x dx= –ln |cos x| + C;	t ctg x dx = V|grehu x| + C;

Vsaka trigonometrična funkcija je na vsaki točki svoje definicijske domene zvezna in neskončno diferencibilna. Poleg tega so odvodi trigonometričnih funkcij trigonometrične funkcije, pri integraciji pa dobimo tudi trigonometrične funkcije ali njihove logaritme. Integrali racionalnih kombinacij trigonometričnih funkcij so vedno elementarne funkcije.

Predstavitev trigonometričnih funkcij v obliki potenčnih vrst in neskončnih produktov.

Vse trigonometrične funkcije je mogoče razširiti v potenčne vrste. V tem primeru gre za funkcije sin x b cos x pojavijo v vrsticah. konvergenten za vse vrednosti x:

Te nize je mogoče uporabiti za pridobitev približnih izrazov za greh x in cos x za majhne vrednosti x:

pri | x| p/2;

pri 0x| str

(B n so Bernoullijeva števila).

sin funkcije x in cos x lahko predstavimo kot neskončne produkte:

Trigonometrični sistem 1, cos x, greh x, ker 2 x, greh 2 x, ¼, cos nx, greh nx, ¼, tvori na intervalu [– str, str] ortogonalni sistem funkcij, ki omogoča prikaz funkcij v obliki trigonometričnih nizov.

so definirane kot analitična nadaljevanja ustreznih trigonometričnih funkcij realnega argumenta v kompleksno ravnino. Da, greh z in cos z lahko definiramo z uporabo serije za sin x in cos x, če namesto x postaviti z:

Te serije se stekajo po celotni ravnini, tako da greh z in cos z so celotne funkcije.

Tangens in kotangens sta določena s formulama:

tg funkcije z in ctg z so meromorfne funkcije. Poljaki tg z in sek z so enostavne (1. reda) in se nahajajo na točkah z=p/2 + pn, ctg poli z in cosec z so prav tako preprosti in se nahajajo na točkah z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Vse formule, ki veljajo za trigonometrične funkcije realnega argumenta, veljajo tudi za kompleksnega. Še posebej,

greh (- z) = -greh z,

cos(- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

tiste. soda in liha pariteta sta ohranjeni. Formule so tudi shranjene

greh( z + 2str) = greh z, (z + 2str) = cos z, (z + str) = tg z, (z + str) = ctg z,

tiste. ohranjena je tudi periodičnost, periode pa so enake kot pri funkcijah pravega argumenta.

Trigonometrične funkcije je mogoče izraziti v smislu eksponentne funkcije povsem imaginarnega argumenta:

nazaj, e iz izraženo s cos z in greh z po formuli:

e iz= cos z + jaz greh z

Te formule imenujemo Eulerjeve formule. Leonhard Euler jih je predstavil leta 1743.

Trigonometrične funkcije lahko izrazimo tudi s hiperboličnimi funkcijami:

z = –jaz sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

kjer so sh, ch in th hiperbolični sinus, kosinus in tangens.

Trigonometrične funkcije kompleksnega argumenta z = x + iy, Kje x in l- realna števila, se lahko izrazijo v smislu trigonometričnih in hiperboličnih funkcij realnih argumentov, na primer:

greh( x+iy) = greh x pogl l + jaz cos x sh l;

cos ( x+iy) = cos x pogl l + jaz greh x sh l.

Sinus in kosinus kompleksnega argumenta lahko sprejmeta realne vrednosti, večje od 1 v absolutni vrednosti. Na primer:

Če neznani kot vstopi v enačbo kot argument trigonometričnih funkcij, se enačba imenuje trigonometrična. Takšne enačbe so tako pogoste, da njihove metode rešitve so zelo podrobne in skrbno zasnovane. Z z različnimi metodami in formulami se trigonometrične enačbe reducirajo na enačbe oblike f(x)= a, Kje f- katera koli najpreprostejša trigonometrična funkcija: sinus, kosinus, tangens ali kotangens. Nato izrazite argument x to funkcijo skozi njeno znano vrednost A.

Ker so trigonometrične funkcije periodične, enako A iz obsega vrednosti je neskončno veliko vrednosti argumenta in rešitve enačbe ni mogoče zapisati kot eno samo funkcijo A. Zato se v domeni definicije vsake od glavnih trigonometričnih funkcij izbere odsek, v katerem zavzame vse svoje vrednosti, vsaka le enkrat, in najde se funkcija, ki ji je v tem odseku inverzna. Takšne funkcije so označene s pripisovanjem predpone arc (lok) imenu izvirne funkcije in se imenujejo inverzna trigonometrična funkcije ali samo ločne funkcije.

Inverzne trigonometrične funkcije.

Za greh X, cos X, tg X in ctg X lahko definiramo inverzne funkcije. Označeni so za arcsin X(beri "arxine x«), arcos x, arctg x in arcctg x. Po definiciji je arcsin X obstaja taka številka y, Kaj

greh pri = X.

Enako velja za druge inverzne trigonometrične funkcije. Toda ta definicija trpi zaradi nekaterih netočnosti.

Če odsevamo greh X, cos X, tg X in ctg X glede na simetralo prvega in tretjega kvadranta koordinatne ravnine, postaneta funkciji zaradi svoje periodičnosti dvoumni: isti sinus (kosinus, tangens, kotangens) ustreza neskončnemu številu kotov.

Da se znebite dvoumnosti, odsek krivulje s širino str, medtem ko je nujno, da se med argumentom in vrednostjo funkcije upošteva ujemanje ena proti ena. Izbrana so območja blizu izvora. Za sinuse kot "interval ena proti ena" se vzame segment [- str/2, str/2], na katerem sinus monotono narašča od –1 do 1, za kosinus - segment , za tangens oziroma kotangens pa intervali (– str/2, str/2) in (0, str). Vsaka krivulja v intervalu se odraža okoli simetrale in zdaj lahko definirate inverzne trigonometrične funkcije. Na primer, naj bo podana vrednost argumenta x 0, tako da je 0 J x 0 Ј 1. Nato vrednost funkcije l 0 = arcsin x 0 bo edina vrednost pri 0 , tako da - str/2 J pri 0 Ј str/2 in x 0 = greh l 0 .

Tako je arcsin funkcija arcsin A, definirana na intervalu [–1, 1] in enaka za vsakega A taka vrednost a , – str/2 a p /2 da sin a = A. Zelo priročno ga je prikazati z enotskim krogom (slika 15). Ko | a| 1 sta na krožnici z ordinato dve točki a, simetrično glede na os l. Eden od njih je kot a= arcsin A, in drugo je kot p - a. Z ob upoštevanju periodičnosti sinusa rešitev enačbe sin x= A je zapisano takole:

x =(–1)n arc greh a + 2p n,

Kje n= 0, ±1, ±2,...

Rešujejo se tudi druge preproste trigonometrične enačbe:

cos x = a, –1 =a= 1;

x=±arcos a + 2p n,

Kje p= 0, ±1, ±2,... (slika 16);

tg X = a;

x= arctg a + str n,

Kje n = 0, ±1, ±2,... (slika 17);

ctg X= A;

X= arcctg a + str n,

Kje n = 0, ±1, ±2,... (slika 18).

Glavne lastnosti inverznih trigonometričnih funkcij:

arc greh X(slika 19): domena definicije je segment [–1, 1]; obseg - [- str/2, str/2], monotono naraščajoča funkcija;

arccos X(slika 20): domena definicije je segment [–1, 1]; obseg vrednosti - ; monotono padajoča funkcija;

arctg X(slika 21): domena definicije - vsa realna števila; območje vrednosti – interval (– str/2, str/2); monotono naraščajoča funkcija; naravnost pri= –str/2 in y \u003d p / 2 - horizontalne asimptote;

arcctg X(slika 22): domena definicije - vsa realna števila; obseg vrednosti - interval (0, str); monotono padajoča funkcija; naravnost l= 0 in y = str so horizontalne asimptote.

Ker trigonometrične funkcije kompleksnega argumenta sin z in cos z(v nasprotju s funkcijami realnega argumenta) sprejmejo vse kompleksne vrednosti, potem enačbe sin z = a in cos z = a imajo rešitve za vsak kompleks a x in l so realna števila, obstajajo neenakosti

½| e\oj–e-y| ≤|greh z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

od katerega l Sledijo ® Ґ asimptotske formule (enakomerno glede na x)

|greh z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Trigonometrične funkcije so se prvič pojavile v povezavi z raziskavami v astronomiji in geometriji. Razmerja segmentov v trikotniku in krogu, ki sta v bistvu trigonometrični funkciji, najdemo že v 3. stoletju. pr. n. št e. v delih matematikov stare Grčije – Evklid, Arhimed, Apolonij iz Perge in drugi, vendar ta razmerja niso bila samostojen predmet preučevanja, zato trigonometričnih funkcij kot takih niso preučevali. Prvotno so jih obravnavali kot segmente in v tej obliki so jih uporabljali Aristarh (pozno 4. – 2. polovica 3. stoletja pr. n. št.), Hiparh (2. stoletje pr. n. št.), Menelaj (1. stoletje n. št.) in Ptolemaj (2. stoletje n. št.), ko reševanje sferičnih trikotnikov. Ptolemej je sestavil prvo tabelo akordov za ostre kote skozi 30 "z natančnostjo 10 -6. To je bila prva tabela sinusov. Kot razmerje je funkcija sin a že v Ariabhati (konec 5. stoletja). Funkciji tg a in ctg a najdemo pri al-Battaniju (2. polovica 9. - začetek 10. stoletja) in Abul-Wefi (10. stoletje), ki uporablja tudi sec a in cosec a ... Aryabhata je že poznal formulo ( sin 2 a + cos 2 a) \u003d 1, kot tudi formule za pol kota sin in cos, s pomočjo katerih je sestavil tabele sinusov za kote skozi 3 ° 45 "; na podlagi znanih vrednosti trigonometričnih funkcij za najpreprostejše argumente. Bhaskara (12. stoletje) je podal metodo za sestavo tabel skozi 1 z uporabo adicijskih formul. Formule za pretvorbo vsote in razlike trigonometričnih funkcij različnih argumentov v produkt sta izpeljala Regiomontanus (15. stoletje) in J. Napier v povezavi z izumom logaritmov (1614). Regiomontanus je podal tabelo sinusnih vrednosti ​​preko 1 ". Razširitev trigonometričnih funkcij v potenčne serije je pridobil I. Newton (1669). L. Euler (18. stoletje) je teorijo trigonometričnih funkcij prinesel v sodobno obliko Ima svojo definicijo za resnične in zapletene argumente, sprejete zdaj simboliko, ki vzpostavlja povezavo z eksponentno funkcijo in ortogonalnostjo sistema sinusov in kosinusov.

Osnovne formule trigonometrije so formule, ki vzpostavljajo razmerja med osnovnimi trigonometričnimi funkcijami. Sinus, kosinus, tangens in kotangens so med seboj povezani s številnimi razmerji. Spodaj podajamo glavne trigonometrične formule in jih zaradi udobja združujemo glede na njihov namen. Z uporabo teh formul lahko rešite skoraj vsako težavo iz standardnega tečaja trigonometrije. Takoj ugotavljamo, da so spodaj podane le same formule in ne njihova izpeljava, ki ji bodo posvečeni ločeni članki.

Osnovne identitete trigonometrije

Trigonometrične identitete dajejo razmerje med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota, kar omogoča, da se ena funkcija izrazi z drugo.

Trigonometrične identitete

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

Te identitete izhajajo neposredno iz definicij enotskega kroga, sinusa (sin), kosinusa (cos), tangensa (tg) in kotangensa (ctg).

Cast formule

Formule za ulivanje omogočajo prehod od dela s poljubnimi in poljubno velikimi koti k delu s koti v razponu od 0 do 90 stopinj.

Cast formule

sin α + 2 π z = sin α, cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α, c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Redukcijske formule so posledica periodičnosti trigonometričnih funkcij.

Trigonometrične adicijske formule

Aditivne formule v trigonometriji vam omogočajo, da izrazite trigonometrično funkcijo vsote ali razlike kotov v smislu trigonometričnih funkcij teh kotov.

Trigonometrične adicijske formule

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Na podlagi adicijskih formul so izpeljane trigonometrične formule za večkratni kot.

Formule več kotov: dvojni, trojni itd.

Formule dvojnega in trojnega kota

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α s t g 2 α \u003d s t g 2 α - 1 2 s t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Formule polovičnega kota

Formule polovičnega kota v trigonometriji so posledica formul dvojnega kota in izražajo razmerje med osnovnima funkcijama polovičnega kota in kosinusa celega kota.

Formule polovičnega kota

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Formule redukcije

Formule redukcije

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Pogosto je pri izračunih neprijetno delovati z okornimi močmi. Formule za zmanjšanje stopnje vam omogočajo zmanjšanje stopnje trigonometrične funkcije s poljubno velike na prvo. Tukaj je njihov splošni pogled:

Splošna oblika redukcijskih formul

za celo n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

za liho n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Vsota in razlika trigonometričnih funkcij

Razliko in vsoto trigonometričnih funkcij lahko predstavimo kot produkt. Faktoriziranje razlik sinusov in kosinusov je zelo priročno za uporabo pri reševanju trigonometričnih enačb in poenostavljanju izrazov.

Vsota in razlika trigonometričnih funkcij

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Produkt trigonometričnih funkcij

Če vam formule za vsoto in razliko funkcij omogočajo, da greste na njihov produkt, potem formule za produkt trigonometričnih funkcij izvedejo obratni prehod - od produkta do vsote. Upoštevane so formule za zmnožek sinusov, kosinusov in sinus s kosinusom.

Formule za produkt trigonometričnih funkcij

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Univerzalna trigonometrična zamenjava

Vse osnovne trigonometrične funkcije - sinus, kosinus, tangens in kotangens - je mogoče izraziti s tangensom polovičnega kota.

Univerzalna trigonometrična zamenjava

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter