Uvod Problem mojega projekta je v tem, da je za uspešno opravljen izpit potrebna sposobnost reševanja različnih sistemov enačb, v srednješolskem času pa nimajo dovolj časa, da bi se tega vprašanja poglobili. Namen dela: priprava na uspešno opravljanje izpita. Naloge dela: Razširite svoje znanje na področju matematike, povezane s konceptom "simetrije". Izboljšajte svojo matematično kulturo z uporabo koncepta "simetrije" pri reševanju sistemov enačb, imenovanih simetričnih, pa tudi drugih matematičnih problemov.
Koncept simetrije. Simetrija - (starogrško συμμετρία), v širšem smislu - nespremenljivost pri kakršnih koli transformacijah. Tako na primer sferična simetrija telesa pomeni, da se videz telesa ne bo spremenil, če ga zavrtimo v prostoru pod poljubnimi koti. Dvostranska simetrija pomeni, da desna in leva stran izgledata enako glede na neko ravnino.
Reševanje problemov z uporabo simetrije. Problem 1 Dve osebi izmenično odlagata enake kovance na okroglo mizo, pri čemer kovanci ne smejo pokrivati drug drugega. Tisti, ki ne more narediti poteze, izgubi. Kdo zmaga ob pravilni igri? (Z drugimi besedami, kateri igralec ima zmagovalno strategijo?)
Metode reševanja simetričnih sistemov. Simetrične sisteme lahko rešimo s spremembo spremenljivk, ki so glavni simetrični polinomi. Simetrični sistem dveh enačb z dvema neznankama x in y rešimo z zamenjavo u = x + y, v = xy.
Primer št. 2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 \u003d 78, 2x - 3xy + 2y + 8 \u003d 0 Z uporabo osnovnih simetričnih polinomov lahko sistem zapišemo v naslednji obliki 3uv - 2v \u003d 78, 2u - 3v \u003d -8. Če izrazimo u = iz druge enačbe in jo nadomestimo v prvo enačbo, dobimo 9v2– 28v – 156 = 0. Korenine te enačbe v 1 = 6 in v 2 = - nam omogočajo, da najdemo ustrezne vrednosti u1 = 5, u2= - iz izraza u = .
Rešimo zdaj naslednjo množico sistemov. Rešimo zdaj naslednjo množico sistemov x + y = 5 in x + y = - , xy = 6 xy = - . x \u003d 5 - y in y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -. x \u003d 5 - y in y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -. x = 5 - y, in y = -x -, y 1 = 3, y 2 = 2 x 1 =, x 2 = - x 1 = 2, x 2 = 3 in x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= Odgovor: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).
Izreki, ki se uporabljajo pri reševanju simetričnih sistemov. Izrek 1. (o simetričnih polinomih) Vsak simetrični polinom v dveh spremenljivkah je mogoče predstaviti kot funkcijo dveh osnovnih simetričnih polinomov Z drugimi besedami, za vsak simetrični polinom f (x, y) obstaja funkcija dveh spremenljivk φ (u, v) tako, da
Izrek 2. (o simetričnih polinomih) Izrek 2. (o simetričnih polinomih) Vsak simetrični polinom v treh spremenljivkah je mogoče predstaviti kot funkcijo treh osnovnih simetričnih polinomov: Z drugimi besedami, za vsak simetrični polinom f (x, y) obstaja taka funkcija treh spremenljivk θ (u, v, w), tako da
Kompleksnejši simetrični sistemi - sistemi, ki vsebujejo modul: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y-1 | = 2. Upoštevajte ta sistem ločeno za x< 1 и при х ≥ 1.
Если х < 1, то:
а) при у < х система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
b) za x ≤ y< 1 система принимает вид
б) при х ≤ у < 1 система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1.
Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
в) при у ≥ 1 (тогда у >x) sistem ima obliko - x + y + y 2 \u003d 3, - x + 1 + y - 1 \u003d 2 ali - x + y + y 2 \u003d 3, x - y \u003d - 2, od koder najdemo x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1. Drugi par števil pripada obravnavanemu območju, to je rešitev temu sistemu.
Če je x ≥ 1, potem: Če je x ≥ 1, potem: a) x > y in y< 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 – у = 1 = 2,
или
х – у + у 2= 3,
х – у = 2,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы;
б) при х >y in y ≥ 1 dobi sistem obliko x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2 ali x - y + y 2 = 3, x + y = 4, iz česar najdemo x = 1, y = 3. Ta par števil ne sodi v obravnavano področje;
c) za x ≤ y (takrat y ≥ 1) ima sistem obliko c) za x ≤ y (takrat y ≥ 1) ima sistem obliko - x + y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2 ali - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, od koder najdemo x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Ti pari številk ne sodijo v obravnavano področje. Tako je x 1 \u003d - 1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1. Odgovor: (- 1; 1); (enajst).
Zaključek Matematika razvija človeško mišljenje, uči z logiko iskati različne rešitve. Ko sem se torej naučil reševati simetrične sisteme, sem ugotovil, da jih je mogoče uporabiti ne samo za dokončanje specifičnih primerov, ampak tudi za reševanje različnih vrst problemov. Mislim, da lahko projekt koristi ne le meni. Za tiste, ki se želijo tudi seznaniti s to temo, bo moje delo dober pomočnik.
Seznam uporabljene literature: Bashmakov M.I., "Algebra in začetki analize", 2. izdaja, Moskva, "Prosveshchenie", 1992, 350 strani Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., "Algebra in elementarne funkcije ", imenik; tretja izdaja, popravljena in razširjena; Kijev, Naukova, Dumka, 1987, 648 strani Sharygin I. F., “Matematika za srednješolce”, Moskva, založba Drofa, 1995, 490 strani Internetni viri: http://www.college. en/
Delo se lahko uporablja za lekcije in poročila o predmetu "Matematika"
Pripravljene matematične predstavitve se uporabljajo kot vizualni pripomočki, ki učitelju ali staršu omogočajo, da z diapozitivi in tabelami prikaže temo, ki se preučuje iz učbenika, prikaže primere za reševanje problemov in enačb ter preveri znanje. V tem delu spletnega mesta lahko najdete in prenesete veliko že pripravljenih predstavitev matematike za učence 1., 2., 3., 4., 5. razreda, pa tudi predstavitve višje matematike za študente.
Torej, za u dobimo enačbo 
Spomnimo se izreka o racionalnih koreninah polinomov (§ 2.1.5). Racionalne korenine naše enačbe moramo iskati med delitelji števila -4. Če preletimo vse delitelje, se prepričamo, da enačba nima racionalnih korenin. Vendar ta izrek ni bil izrek o obstoju korenin. Navedeni izrek je trdil le naslednje: če ima polinom s celimi koeficienti racionalne korenine (vendar še vedno obstaja možnost, da NE obstajajo), bodo te korenine imele neko posebno obliko. Primera, ko ni racionalnih korenin, ta izrek ni opisal.
Poskusimo poiskati korenine enačbe izvornega sistema med iracionalnimi števili. Vendar bo to zahtevalo nekaj iznajdljivosti: standardna zamenjava za simetrične sisteme tukaj očitno ne deluje.
Če dvignemo drugo enačbo v kocko, dobimo: Tako, v skladu z izrekom Vieta, in so korenine kvadratne enačbe Zato in Zato,
Ob preučevanju dodatne literature o reševanju sistemov enačb sem se srečal z novo vrsto sistemov – simetričnimi. In zadal sem si cilj:
Povzemite znanstvene informacije o temi "Sistemi enačb".
Razumeti in se naučiti reševati način uvajanja novih spremenljivk;
3) Razmislite o glavnih teorijah, povezanih s simetričnimi sistemi enačb
4) Naučite se reševati simetrične sisteme enačb.
Zgodovina reševanja sistemov enačb.
Izločanje neznank iz linearnih enačb se že dolgo uporablja. V 17-18 stoletju. V. izključitvene tehnike so razvili Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange.
V sodobnem zapisu ima sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama obliko: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 – а2с1 Rešitve tega sistema so izražene s formulami.
a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1
Zahvaljujoč koordinatni metodi, ustvarjeni v 17. stoletju. Fermata in Descartesa je postalo mogoče grafično reševati sisteme enačb.
V starodavnih babilonskih besedilih, napisanih v 3-2 tisočletjih pr. e. , vsebuje številne probleme, ki jih rešujemo s sestavljanjem sistemov enačb, v katere so uvedene tudi enačbe druge stopnje.
Primer #1:
Seštel sem ploščini svojih dveh kvadratov: 25. Stranica drugega kvadrata je enaka stranici prvega in še 5. Ustrezen sistem enačb v ustreznem zapisu izgleda takole: x2 + y2 = 25, y = x = 5
Diofant, ki ni imel zapisov za številne neznanke, se je zelo potrudil, da je neznanko izbral tako, da je rešitev sistema reduciral na rešitev ene enačbe.
Primer #2:
"Poišči dve naravni števili, pri čemer veš, da je njuna vsota 20 in vsota njunih kvadratov 208."
Problem smo rešili tudi s sestavljanjem sistema enačb, x + y = 20, a rešili x2 + y2 = 208
Diofant, pri čemer kot neznanko izbere polovico razlike želenih števil, tj.
(x - y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10
2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- ne izpolnjuje pogoja problema, torej, če je z = 2x = 12 in y = 8
Koncepti sistema algebrskih enačb.
V mnogih nalogah bo morda treba najti več neznanih količin, saj vemo, da so druge količine, ki nastanejo z njihovo pomočjo (funkcije neznank), enake med seboj ali nekaterim danim količinam. Poglejmo preprost primer.
Zemljišče pravokotne oblike s površino 2400 m2 je ograjeno z ograjo v dolžini 200 m. poiščite dolžino in širino segmenta. Pravzaprav je "algebraični model" tega problema sistem dveh enačb in ene neenakosti.
Vedno je treba upoštevati morebitne omejitve-neenakosti. Ko rešujete naloge za sestavljanje sistemov enačb. Še vedno pa je glavna stvar rešiti same enačbe. Povedal vam bom o metodah, ki se uporabljajo.
Začnimo z definicijami.
Sistem enačb je niz več (več kot ene) enačb, povezanih z zavitim oklepajem.
Zavit oklepaj pomeni, da je treba vse enačbe sistema izvesti hkrati, in kaže, da morate najti par števil (x; y), ki vsako enačbo spremeni v pravo enakost.
Rešitev sistema je takšen par števil x in y, ki, ko ga nadomestimo v ta sistem, spremeni vsako svojo enačbo v pravo numerično enačbo.
Rešiti sistem enačb pomeni najti vse njegove rešitve ali ugotoviti, da ni nobene.
Metoda zamenjave.
Metoda substitucije je, da je v eni od enačb ena spremenljivka izražena z drugo. Dobljeni izraz zamenjamo v drugo enačbo, ki se nato spremeni v enačbo z eno spremenljivko in jo nato rešimo. Dobljene vrednosti te spremenljivke se nadomestijo v katero koli enačbo izvirnega sistema in najde se druga spremenljivka.
Algoritem.
1. Iz ene enačbe sistema izrazite y z x.
2. Dobljeni izraz zamenjajte namesto y v drugo enačbo sistema.
3. Rešite dobljeno enačbo za x.
4. Zamenjajte vsak koren enačbe, ki ga najdete v tretjem koraku, namesto x v izraz y skozi x, dobljen v prvem koraku.
5) Odgovor zapišite v obliki parov vrednosti (x; y).
Primer št. 1 y \u003d x - 1,
Nadomestimo v drugo enačbo y \u003d x - 1, dobimo 5x + 2 (x - 1) \u003d 16, od tega x \u003d 2. nadomestimo dobljeni izraz v prvi enačbi: y \u003d 2 - 1 \ u003d 1.
Odgovor: (2; 1).
Primer #2:
8y - x \u003d 4, 1) 2 (8y - 4) - 21y \u003d 2
2x - 21 y \u003d 2 16y - 8 - 21 y \u003d 2
5y \u003d 10 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2
2x - 21y \u003d 2
2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20
2 (8y - 4) - 21y \u003d 2 x = 8y - 4, y \u003d -2 x \u003d -20, y \u003d -2
Odgovor: (-20; -2).
Primer #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2
X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 - 2x - 8 = 0 - kvadratna enačba y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8
Zato (-2; -4); (4; 8) so rešitve tega sistema.
Metoda dodajanja.
Metoda dodajanja je sestavljena iz dejstva, da če je dani sistem sestavljen iz enačb, ki ob seštevanju tvorijo enačbo z eno spremenljivko, potem z reševanjem te enačbe dobimo vrednosti ene od spremenljivk. Vrednost druge spremenljivke se najde, kot pri substitucijski metodi.
Algoritem za reševanje sistemov z metodo dodajanja.
1. Izenači module koeficientov za eno od neznank.
2. Seštevanje ali odštevanje dobljenih enačb poišče eno neznanko.
3. Če nadomestite najdeno vrednost v eno od enačb prvotnega sistema, poiščite drugo neznanko.
Primer #1. Rešite sistem enačb tako, da seštejete: x + y \u003d 20, x - y \u003d 10
Če odštejemo drugo enačbo od prve enačbe, dobimo
Iz drugega izraza izrazimo x \u003d 20 - y
Zamenjajte y \u003d 5 v ta izraz: x \u003d 20 - 5 x \u003d 15.
Odgovor: (15; 5).
Primer #2:
Predstavimo enačbe predlaganega sistema kot razliko, dobimo
7y = 21, od koder je y = 3
To vrednost nadomestimo z vrednostjo, izraženo iz druge enačbe sistema x = , dobimo x = 4.
Odgovor: (4; 3).
Primer #3:
2x + 11y = 15,
10x - 11y = 9
Če dodamo te enačbe, imamo:
2x + 10x = 15 + 9
12x \u003d 24 x \u003d 2, če nadomestimo to vrednost v drugo enačbo, dobimo:
10 * 2 - 11y \u003d 9, od koder je y \u003d 1.
Rešitev tega sistema je par: (2; 1).
Grafični način reševanja sistemov enačb.
Algoritem.
1. Zgradite grafe vsake enačbe sistema.
2. Iskanje koordinat presečišča zgrajenih črt.
Primer medsebojne razporeditve premic na ravnini.
1. Če se premici sekata, tj. imata eno skupno točko, ima sistem enačb eno rešitev.
2. Če sta premici vzporedni, to pomeni, da nimata skupnih točk, potem sistem enačb nima rešitev.
3. Če premice sovpadajo, tj. imajo veliko točk, ima sistem enačb neskončno število rešitev.
Primer #1:
Grafično rešite sistem enačb x - y \u003d -1,
Iz prve in druge enačbe izrazimo y: y \u003d 1 + x, y \u003d 4 - 2x x
Zgradimo grafe vsake enačbe sistema:
1) y \u003d 1 + x - graf funkcije je ravna črta x 0 1 (1; 2) y 1 2
2) y \u003d 4 - 2x - graf funkcije je ravna črta x 0 1 y 4 2
Odgovor: (1; 2).
Primer #2: y x + 2y = 6,
4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - graf funkcije je ravna črta x 0 2 y 3 2 y \u003d - graf funkcije je ravna črta x 0 2 y 2 1
Odgovor: Ni rešitev.
Primer št. 3: y x - 2y \u003d 2,
3x - 6y \u003d 6 x - 2y \u003d 2, x - 2y \u003d 2 x y \u003d - graf funkcije je ravna črta x 0 2 y -1 0
Odgovor: Sistem ima neskončno število rešitev.
Metoda za uvajanje novih spremenljivk.
Metoda uvajanja novih spremenljivk je, da novo spremenljivko vnesemo samo v eno enačbo ali dve novi spremenljivki za obe enačbi hkrati, nato enačbo ali enačbe rešimo glede na nove spremenljivke, nato pa ostane še rešitev enostavnejšega sistema. enačb, iz katerih najdemo želeno rešitev.
Primer #1:
x + y = 5
Označimo = z, nato =.
Prva enačba bo imela obliko z + = , kar je enakovredno 6z - 13 + 6 = 0. Po rešitvi nastale enačbe imamo z = ; z=. Potem = ali =, z drugimi besedami, prva enačba se razdeli na dve enačbi, zato imamo dva sistema:
x + y = 5 x + y = 5
Rešitve teh sistemov so rešitve danega sistema.
Rešitev prvega sistema je par: (2; 3), drugega pa par (3; 2).
Zato so rešitve sistema + = , x + y = 5
Pari so (2; 3); (3; 2)
Primer #2:
Naj bo = X, a = Y.
X \u003d, 5 * - 2Y \u003d 1
5X - 2Y \u003d 1 2,5 (8 - 3Y) - 2Y \u003d 1
20 - 7,5U - 2U \u003d 1
X \u003d, -9,5Y \u003d -19
5 * - 2Y = 1 Y = 2
Naredimo zamenjavo.
2 x = 1, y = 0,5
Odgovor: (1; 0,5).
Simetrični sistemi enačb.
Sistem z n neznankami se imenuje simetričen, če se ne spremeni, ko se neznanke prerazporedijo.
Simetrični sistem dveh enačb z dvema neznankama x in y rešimo z zamenjavo u = x + y, v = xy. Upoštevajte, da so izrazi, ki jih najdemo v simetričnih sistemih, izraženi z u in v. Naj navedemo več takih primerov, ki so nedvomno zanimivi za reševanje mnogih simetričnih sistemov: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v itd.
Simetrični sistem treh enačb za neznanke x y, z se reši z zamenjavo x + y + z = u, xy + yz + xz = w. Če najdemo u, v, w, nastane kubična enačba t2 – ut2 + vt – w = 0, katere koreni t1, t2, t3 v različnih permutacijah so rešitve izvornega sistema. Najpogostejši izrazi v takšnih sistemih so izraženi z u, v, w, kot sledi: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w
1. primer: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4
Naj bo x + y = u, xy = v.
u2 – v = 13, u = 4
16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4
Naredimo zamenjavo.
Odgovor: (1; 3); (3; 1).
Primer #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4
Naj bo x + y = u, xy = v.
u3 – 3uv = 28, u = 4
64 - 12 v = 28, u = 4
12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4
Naredimo zamenjavo.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
Odgovor: (1; 3); (3; 1).
Primer #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13
Naj bo x = y = u, xy = v.
u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4
Naredimo zamenjavo.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
Odgovor: (1; 3); (3; 1).
Primer #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65
Naj bo x + y = u, xy = v.
u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65
15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4
Naredimo zamenjavo.
x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y (5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4
Odgovor: (4; 1); (14).
Primer #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23
Naredimo spremembo neznank, sistem bo dobil obliko u2 + v = 49, u + v = 23
Če te enačbe seštejemo, dobimo u2 + u - 72 = 0 s korenoma u1 = 8, u2 = -9. V skladu s tem je v1 = 15, v2 = 32. Ostaja še rešiti niz sistemov x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32
Sistem x + y = 8 ima rešitve x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.
Sistem x + y = -9 nima pravih rešitev.
Odgovor: (3; 5), (5; 3).
Primer številka 6. Rešite sistem enačb.
2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0
Z uporabo osnovnih simetričnih polinomov u = y + x in v = xy dobimo naslednji sistem enačb
2u2 - 7v = 16, u + v = -3
Če nadomestimo izraz v = -3 – u iz druge enačbe sistema v prvo enačbo, dobimo naslednjo enačbo 2u2 + 7u + 5 = 0, katere korena sta u1 = -1 in u2 = -2,5; in v skladu s tem vrednosti v1 = -2 in v2 = -0,5 dobimo iz v = -3 - u.
Zdaj je treba rešiti naslednji niz sistemov x + y \u003d -1 in x + y \u003d -2,5, xy \u003d -2 xy \u003d -0,5
Rešitve tega niza sistemov in s tem izvirnega sistema (zaradi njihove enakovrednosti) so naslednje: (1; -2), (-2; 1), (;).
Primer #7:
3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,
2x - 3xy + 2y + 8 = 0
Z uporabo osnovnih simetričnih polinomov lahko sistem zapišemo v naslednji obliki
3uv - 2v = 78,
Če izrazimo u = iz druge enačbe in jo nadomestimo v prvo enačbo, dobimo 9v2 – 28v – 156 = 0. Korenine te enačbe v1 = 6 in v2 = - nam omogočajo, da najdemo ustrezne vrednosti u1 = 5, u2 = - iz izraza u =.
Zdaj rešimo naslednji niz sistemov x + y \u003d 5 in x + y \u003d - , xy \u003d 6 xy \u003d -.
x \u003d 5 - y in y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -.
x \u003d 5 - y in y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -.
x = 5 – y in y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 in x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =
Odgovor: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).
Zaključek.
V procesu pisanja članka sem se seznanil z različnimi vrstami sistemov algebrskih enačb. Povzetek znanstvenih informacij na temo "Sistemi enačb".
Razumeli in se naučili reševati z uvajanjem novih spremenljivk;
Pregledal glavne teorije, povezane s simetričnimi sistemi enačb
Naučil se je reševati simetrične sisteme enačb.
Cilji lekcije:
- izobraževalni: učenje reševanja sistemov enačb, ki vsebujejo homogeno enačbo, simetričnih sistemov enačb;
- razvoju: razvoj razmišljanja, pozornosti, spomina, sposobnosti poudarjanja glavne stvari;
- izobraževalni: razvoj komunikacijskih veščin.
Vrsta lekcije: lekcija učenje nove snovi.
Uporabljene učne tehnologije:
- Delo v skupinah;
- način oblikovanja.
Oprema: računalnik, multimedijski projektor.
Teden dni pred poukom učenci prejmejo teme za ustvarjalne naloge (po možnostih).
I možnost. Simetrični sistemi enačb. Rešitve.
II možnost. Sistemi, ki vsebujejo homogeno enačbo. Rešitve.
Vsak študent mora z uporabo dodatne izobraževalne literature najti ustrezno učno gradivo, izbrati sistem enačb in ga rešiti.
Po en učenec iz vsake možnosti izdela multimedijske predstavitve na temo ustvarjalne naloge. Učitelj učencem po potrebi daje navodila.
I. Motivacija za učne dejavnosti študentov
Uvodni govor učitelja
V prejšnji lekciji smo obravnavali rešitev sistemov enačb z metodo zamenjave neznank. Splošnega pravila za izbiro novih spremenljivk ni. Vendar pa lahko ločimo dve vrsti sistemov enačb, če obstaja razumna izbira spremenljivk:
- simetrični sistemi enačb;
- sistemi enačb, od katerih je ena homogena.
II. Učenje nove snovi
Učenci druge možnosti poročajo o domači nalogi.
1. Diaprojekcija multimedijske predstavitve "Sistemi, ki vsebujejo homogeno enačbo" (predstavitev 1).
2. Delo v parih učencev, ki sedijo za isto mizo: učenec druge možnosti razloži sosedu v mizi rešitev sistema, ki vsebuje homogeno enačbo.
Poročilo študentov 1. možnosti.
1. Diaprojekcija multimedijske predstavitve "Simetrični sistemi enačb" (predstavitev 2).
Učenci zapišejo v zvezke:
2. Delo v parih učencev, ki sedijo za isto mizo: učenec I. možnosti razloži sosedu v mizi rešitev simetričnega sistema enačb.
III. Utrjevanje preučenega gradiva
Delo v skupinah (v skupini 4 študentov združite študente, ki sedijo za sosednjimi mizami).
Vsaka od 6 skupin opravi naslednjo nalogo.
Določite vrsto sistema in ga rešite:
Učenci v skupinah analizirajo sisteme, določijo njihovo vrsto, nato pa med frontalnim delom razpravljajo o rešitvah sistemov.
a) sistem
simetrično, uvajamo nove spremenljivke x+y=u, xy=v
b) sistem
vsebuje homogeno enačbo.
Par števil (0;0) ni rešitev sistema.
IV. Kontrola znanja študentov
Samostojno delo na opcijah.
Rešite sistem enačb:
Učenci oddajo zvezke učitelju v pregled.
V. Domača naloga
1. Izvajajo vsi učenci.
Rešite sistem enačb:
2. Izvedite "močne" študente.
Rešite sistem enačb:
VI. Povzetek lekcije
vprašanja:
Katere vrste sistemov enačb ste se učili pri pouku?
Katera metoda reševanja sistemov enačb se uporablja za njihovo reševanje?
Poročanje o ocenah, ki so jih učenci prejeli med poukom.
1.
Enačbe se imenujejo simetrične enačbe 3. stopnječe izgledajo
ax 3 + bx 2 + bx + a = 0.
Za uspešno reševanje tovrstnih enačb je koristno poznati in znati uporabljati naslednje preproste lastnosti recipročnih enačb:
A) Vsaka recipročna enačba lihe stopnje ima vedno koren, ki je enak -1.
Dejansko, če člene na levi strani združimo takole: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, to pomeni, da je mogoče izločiti skupni faktor, tj. (x + 1) (ax 2 + (b - a) x + a) \u003d 0, torej,
x + 1 \u003d 0 ali ax 2 + (b - a) x + a \u003d 0, prva enačba in dokazuje trditev, ki nas zanima.
b) Recipročna enačba nima ničelnih korenin.
V) Pri delitvi polinoma lihe stopnje z (x + 1) je kvocient spet recipročni polinom, kar dokazujemo z indukcijo.
Primer.
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.
rešitev.
Izvirna enačba ima nujno koren x \u003d -1, zato delimo x 3 + 2x 2 + 2x + 1 z (x + 1) v skladu s Hornerjevo shemo:
| . |
1 |
2 |
2 |
1 |
| -1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1) (x 2 + x + 1) = 0.
Kvadratna enačba x 2 + x + 1 = 0 je brez korenin.
Odgovor: -1.
2.
Enačbe se imenujejo simetrične enačbe 4. stopnječe izgledajo
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
Algoritem rešitve podobne enačbe je:
A) Obe strani prvotne enačbe delite z x 2. To dejanje ne bo povzročilo izgube korena, ker x \u003d 0 ni rešitev dane enačbe.
b) S pomočjo združevanja enačbo pripeljite v obliko:
a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
V) Vnesite novo neznanko: t = (x + 1/x).
Naredimo transformacije: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Če zdaj izrazimo x 2 + 1/x 2, potem je t 2 - 2 = x 2 + 1/x 2.
G) Rešite nastalo kvadratno enačbo v novih spremenljivkah:
pri 2 + bt + c - 2a = 0.
e) Naredite obratno zamenjavo.
Primer.
6x 4 - 5x 3 - 38x 2 - 5x + 6 = 0.
rešitev.
6x 2 - 5x - 38 - 5 / x + 6 / x 2 \u003d 0.
6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 \u003d 0.
Vnesite t: zamenjava (x + 1/x) = t. Zamenjava: (x 2 + 1 / x 2) \u003d t 2 - 2, imamo:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 ali t = 10/3.
Vrnimo se k x. Po obratni zamenjavi rešimo dobljeni enačbi:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 ali x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 - 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 ali x = 1/3.
Odgovor: -2; -1/2; 1/3; 3.
Načini reševanja nekaterih vrst enačb višjih stopenj
1. Enačbe, ki izgledajo (x + a) n + (x + b) n = c, se rešijo s substitucijo t = x + (a + b)/2. Ta metoda se imenuje simetrična metoda.
Primer takšne enačbe bi bila enačba v obliki (x + a) 4 + (x + b) 4 = c.
Primer.
(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.
rešitev.
Naredimo zgoraj omenjeno zamenjavo:
t \u003d x + (3 + 1) / 2 \u003d x + 2, po poenostavitvi: x \u003d t - 2.
(t - 2 + 3) 4 + (t - 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t - 1) 4 = 272.
Če odstranimo oklepaje s formulami, dobimo:
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 - 4t 3 + 6t 2 - 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 - 270 = 0.
t 4 + 6t 2 - 135 = 0.
t 2 = 9 ali t 2 = -15.
Druga enačba ne daje korenin, iz prve pa imamo t = ±3.
Po obratni zamenjavi dobimo, da je x \u003d -5 ali x \u003d 1.
Odgovor: -5; 1.
Reševanje takšnih enačb se pogosto izkaže za učinkovito in metoda faktorizacije leve strani enačbe.
2. Enačbe oblike (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, kjer je a + d = c + b.
Tehnika za reševanje takšnih enačb je, da delno odpremo oklepaje in nato uvedemo novo spremenljivko.
Primer.
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.
rešitev.
Izračunaj: 1 + 4 = 2 + 3. Združi oklepaje v pare:
((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.
Če spremenimo x 2 + 5x + 4 = t, dobimo enačbo
t(t + 2) = 24, je kvadrat:
t 2 + 2t - 24 = 0.
t = -6 ali t = 4.
Ko izvedemo obratno zamenjavo, zlahka najdemo korenine prvotne enačbe.
Odgovor: -5; 0.
3. Enačbe oblike (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) \u003d Ax 2, kjer je ad \u003d cb.
Metoda reševanja je sestavljena iz delnega odpiranja oklepajev, delitve obeh delov z x 2 in reševanja niza kvadratnih enačb.
Primer.
(x + 12)(x + 2)(x + 3)(x + 8) = 4x 2.
rešitev.
Če pomnožimo prva dva in zadnja dva oklepaja na levi strani, dobimo:
(x 2 + 14x + 24) (x 2 + 11x + 24) = 4x 2. Deli z x 2 ≠ 0.
(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. Če zamenjamo (x + 24/x) = t, pridemo do kvadratne enačbe:
(t + 14)(t + 11) = 4;
t 2 + 25x + 150 = 0.
t=10 ali t=15.
Če naredimo obratno zamenjavo x + 24 / x \u003d 10 ali x + 24 / x \u003d 15, najdemo korenine.
Odgovor: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4.
Rešite enačbo (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.
rešitev.
To enačbo je takoj težko razvrstiti in izbrati metodo rešitve. Zato najprej transformiramo z razliko kvadratov in razliko kubov:
((3x + 5) 2 - 4x 2) + ((x + 6) 3 - 1) = 0. Potem, ko odvzamemo skupni faktor, pridemo do preproste enačbe:
(x + 5) (x 2 + 18x + 48) = 0.
Odgovor: -5; -9±√33.
Naloga.
Sestavite polinom tretje stopnje, ki ima en koren enak 4, ima mnogokratnost 2 in koren enak -2.
rešitev.
f(x)/((x - 4) 2 (x + 2)) = q(x) ali f(x) = (x - 4) 2 (x + 2)q(x).
Z množenjem prvih dveh oklepajev in podobnih izrazov dobimo: f (x) \u003d (x 3 - 6x 2 + 32) q (x).
x 3 - 6x 2 + 32 je polinom tretje stopnje, zato je q (x) neko število iz R(tj. velja). Naj bo q(x) ena, potem je f(x) = x 3 - 6x 2 + 32.
Odgovor: f (x) \u003d x 3 - 6x 2 + 32.
Imaš kakšno vprašanje? Ne veste, kako rešiti enačbe?
Če želite dobiti pomoč od mentorja -.
Prva lekcija je brezplačna!
blog.site, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.
