Razdalja med dvema natančna. Razdalja med dvema točkama na ravnini

12.09.202227.05.2017

Razdalja med dvema točkama na ravnini.
Koordinatni sistemi

Vsaka točka A na ravnini je označena s svojimi koordinatami (x, y). Sovpadajo s koordinatami vektorja 0А , ki izhaja iz točke 0 - izhodišča.

Naj bosta A in B poljubni točki na ravnini s koordinatama (x 1 y 1) oziroma (x 2, y 2).

Potem ima vektor AB očitno koordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Znano je, da je kvadrat dolžine vektorja enak vsoti kvadratov njegovih koordinat. Zato je razdalja d med točkama A in B ali, kar je enako, dolžina vektorja AB določena iz pogoja

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Nastala formula vam omogoča, da najdete razdaljo med katerima koli točkama na ravnini, če so znane le koordinate teh točk.

Vsakič, ko govorimo o koordinatah ene ali druge točke na ravnini, imamo v mislih točno določen koordinatni sistem x0y. Na splošno lahko koordinatni sistem na ravnini izbiramo na različne načine. Tako lahko namesto koordinatnega sistema x0y upoštevamo koordinatni sistem x"0y", ki ga dobimo z vrtenjem starih koordinatnih osi okoli začetne točke 0 v nasprotni smeri urnega kazalca puščice na vogalu α .

Če je neka točka na ravnini v koordinatnem sistemu x0y imela koordinate (x, y), potem bo imela v novem koordinatnem sistemu x"0y" druge koordinate (x", y").

Kot primer upoštevajte točko M, ki se nahaja na osi 0x" in je od točke 0 oddaljena na razdalji 1.

Očitno ima ta točka v koordinatnem sistemu x0y koordinate (cos α , greh α ), v koordinatnem sistemu x"0y" pa so koordinate (1,0).

Koordinate poljubnih dveh točk ravnine A in B so odvisne od tega, kako je koordinatni sistem postavljen v tej ravnini. Toda razdalja med temi točkami ni odvisna od tega, kako je določen koordinatni sistem. To pomembno okoliščino bomo bistveno uporabili v naslednjem razdelku.

vaje

I. Poiščite razdalje med točkami na ravnini s koordinatami:

1) (3.5) in (3.4); 3) (0,5) in (5, 0); 5) (-3,4) in (9, -17);

2) (2, 1) in (- 5, 1); 4) (0,7) in (3,3); 6) (8, 21) in (1, -3).

II. Poiščite obseg trikotnika, katerega stranice so podane z enačbami:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 in y = 1.

III. V koordinatnem sistemu x0y imata točki M in N koordinate (1, 0) oziroma (0,1). Poiščite koordinate teh točk v novem koordinatnem sistemu, ki ga prav tako dobite z vrtenjem starih osi okoli izhodišča za kot 30° v nasprotni smeri urnega kazalca.

IV. V koordinatnem sistemu x0y imata točki M in N koordinate (2, 0) in (\ / 3/2, - 1/2). Poiščite koordinate teh točk v novem koordinatnem sistemu, ki ga dobimo z vrtenjem starih osi okoli izhodišča za kot 30° v smeri urinega kazalca.

Izračun razdalj med točkami glede na njihove koordinate na ravnini je elementaren, na zemeljskem površju je nekoliko bolj zapleten: upoštevali bomo merjenje razdalje in začetnega azimuta med točkami brez transformacij projekcij. Najprej razumejmo terminologijo.

Uvod

Velika dolžina krožnega loka- najkrajša razdalja med katerima koli točkama na površini krogle, merjena vzdolž črte, ki povezuje ti dve točki (takšna črta se imenuje ortodroma) in poteka vzdolž površine krogle ali druge vrtilne površine. Sferična geometrija se razlikuje od običajne evklidske in tudi enačbe razdalje imajo drugačno obliko. V evklidski geometriji je najkrajša razdalja med dvema točkama ravna črta. Na krogli ni ravnih črt. Te črte na krogli so del velikih krogov - krogov, katerih središča sovpadajo s središčem krogle. Začetni azimut- azimut, ki bo pri izhodišču iz točke A, ki sledi velikemu krogu za najkrajšo razdaljo do točke B, končna točka točka B. Pri premikanju od točke A do točke B vzdolž črte velikega kroga je azimut od trenutne položaj do končne točke B je konstanten se spreminja. Začetni azimut je drugačen od konstantnega, po katerem se azimut od trenutne točke do končne ne spremeni, vendar pot ni najkrajša razdalja med dvema točkama.

Skozi poljubni dve točki na površini krogle, če si nista neposredno nasproti (torej nista antipoda), je mogoče narisati edinstven veliki krog. Dve točki delita veliki krog na dva loka. Dolžina kratkega loka je najkrajša razdalja med dvema točkama. Med dvema antipodalnima točkama je mogoče narisati neskončno veliko velikih krogov, vendar bo razdalja med njima enaka na katerem koli krogu in enaka polovici obsega kroga ali π*R, kjer je R polmer krogle.

Na ravnini (v pravokotnem koordinatnem sistemu) so veliki krogi in njihovi fragmenti, kot je navedeno zgoraj, loki v vseh projekcijah, razen v gnomonični, kjer so veliki krogi ravne črte. V praksi to pomeni, da letala in drug zračni prevoz vedno uporabljajo pot najmanjše razdalje med točkami, da prihranijo gorivo, to pomeni, da se let izvaja na razdalji velikega kroga, na letalu je videti kot lok.

Obliko Zemlje lahko opišemo kot kroglo, zato so enačbe razdalje velikega kroga pomembne za izračun najkrajše razdalje med točkami na Zemljinem površju in se pogosto uporabljajo v navigaciji. Izračun razdalje s to metodo je učinkovitejši in v mnogih primerih natančnejši kot izračun za projicirane koordinate (v pravokotnih koordinatnih sistemih), ker, prvič, za to ni potrebno prevesti geografskih koordinat v pravokotni koordinatni sistem (izvedite projekcijo transformacije) in drugič, številne projekcije, če so nepravilno izbrane, lahko povzročijo znatna popačenja dolžine zaradi narave popačenj projekcij. Znano je, da ne krogla, ampak elipsoid natančneje opisuje obliko Zemlje, vendar ta članek obravnava izračun razdalj na krogli, za izračune se uporablja krogla s polmerom 6372795 metrov, kar lahko vodi do napaka pri izračunu razdalj reda velikosti 0,5 %.

Formule

Obstajajo trije načini za izračun sferične razdalje velikega kroga. 1. Sferični kosinusni izrek V primeru majhnih razdalj in majhne bitne globine računanja (število decimalnih mest) lahko uporaba formule povzroči velike napake pri zaokroževanju. φ1, λ1; φ2, λ2 - zemljepisna širina in dolžina dveh točk v radianih Δλ - koordinatna razlika v dolžini Δδ - kotna razlika Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Za pretvorbo kotne razdalje v metriko morate pomnožiti kotna razlika s polmerom Zemlje (6372795 metrov), bodo enote končne razdalje enake enotam, v katerih je izražen polmer (v tem primeru metri). 2. Haversine formula Uporablja se za izogibanje težavam na kratkih razdaljah. 3. Modifikacija za antipode Prejšnja formula je prav tako predmet problema antipodov, da bi jo rešili, se uporablja naslednja modifikacija.

Moja implementacija v PHP

// Določitev polmera Zemlje ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Razdalja med dvema točkama * $φA, $λA - širina, dolžina 1. točke, * $φB, $λB - širina, dolžina 2. točke * Na podlagi http://gis-lab.info/ qa /veliki-krogi.html * Mihail Kobzarev< >* */ funkcija izračunaRazdaljo ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // pretvori koordinate v radiane $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // kosinus in sinus razlike zemljepisne širine in dolžine $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1 ) ; $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // izračun dolžine velikega kroga $y = sqrt( pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Primer klica funkcije: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo izračunRazdalje($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metri"; // Vrne "17166029 metrov"

Članek povzet s strani

Reševanje nalog pri matematiki za učence pogosto spremljajo številne težave. Pomagati študentu pri soočanju s temi težavami in ga naučiti, kako uporabiti svoje teoretično znanje pri reševanju specifičnih problemov v vseh oddelkih predmeta "Matematika", je glavni namen našega spletnega mesta.

Začetek reševanja problemov na to temo bi morali biti učenci sposobni zgraditi točko na ravnini glede na njene koordinate, pa tudi najti koordinate dane točke.

Izračun razdalje med dvema točkama na ravnini A (x A; y A) in B (x B; y B) se izvede po formuli d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), kjer je d dolžina odseka, ki povezuje te točke na ravnini.

Če eden od koncev segmenta sovpada z izvorom, drugi pa ima koordinate M (x M; y M), bo formula za izračun d imela obliko OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Izračun razdalje med dvema točkama glede na koordinate teh točk

Primer 1.

Poiščite dolžino odseka, ki povezuje točki A(2; -5) in B(-4; 3) na koordinatni ravnini (slika 1).

rešitev.

Pogoj naloge je podan: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 in y B = 3. Poiščite d.

Z uporabo formule d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) dobimo:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Izračunavanje koordinat točke, ki je enako oddaljena od treh danih točk

Primer 2

Poiščite koordinate točke O 1, ki je enako oddaljena od treh točk A(7; -1) in B(-2; 2) ter C(-1; -5).

rešitev.

Iz formulacije pogoja problema sledi, da O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Naj ima želena točka O 1 koordinate (a; b). Po formuli d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) najdemo:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Sestavimo sistem dveh enačb:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Po kvadriranju leve in desne strani enačbe zapišemo:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Poenostavljeno, pišemo

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Po rešitvi sistema dobimo: a = 2; b = -1.

Točka O 1 (2; -1) je enako oddaljena od treh točk, podanih v pogoju, ki ne ležijo na eni premici. Ta točka je središče krožnice, ki poteka skozi tri dane točke. (slika 2).

3. Izračun abscise (ordinate) točke, ki leži na abscisni (ordinatni) osi in je od te točke na določeni razdalji.

Primer 3

Razdalja od točke B(-5; 6) do točke A, ki leži na osi x, je 10. Poiščite točko A.

rešitev.

Iz formulacije pogoja problema izhaja, da je ordinata točke A nič in AB = 10.

Če označimo absciso točke A skozi a, zapišemo A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Dobimo enačbo √((a + 5) 2 + 36) = 10. Če jo poenostavimo, imamo

a 2 + 10a - 39 = 0.

Koreni te enačbe a 1 = -13; in 2 = 3.

Dobimo dve točki A 1 (-13; 0) in A 2 (3; 0).

Pregled:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Obe dobljeni točki ustrezata pogoju problema (slika 3).

4. Izračun abscise (ordinate) točke, ki leži na abscisni (ordinatni) osi in je enako oddaljena od dveh danih točk

Primer 4

Poiščite točko na osi Oy, ki je enako oddaljena od točk A (6; 12) in B (-8; 10).

rešitev.

Naj bodo koordinate točke, ki jo zahteva pogoj problema, ki leži na osi Oy, O 1 (0; b) (v točki, ki leži na osi Oy, je abscisa enaka nič). Iz pogoja sledi, da je O 1 A \u003d O 1 B.

Po formuli d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) najdemo:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Imamo enačbo √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) ali 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Po poenostavitvi dobimo: b - 4 = 0, b = 4.

Zahteva pogoj problemske točke O 1 (0; 4) (slika 4).

5. Izračun koordinat točke, ki je enako oddaljena od koordinatnih osi in neke dane točke

Primer 5

Poiščite točko M, ki se nahaja na koordinatni ravnini na enaki razdalji od koordinatnih osi in od točke A (-2; 1).

rešitev.

Zahtevana točka M se tako kot točka A (-2; 1) nahaja v drugem koordinatnem kotu, saj je enako oddaljena od točk A, P 1 in P 2. (slika 5). Oddaljenost točke M od koordinatnih osi je enaka, zato bodo njene koordinate (-a; a), kjer je a > 0.

Iz pogojev naloge izhaja, da je MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

tiste. |-a| = a.

Po formuli d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) najdemo:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Sestavimo enačbo:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Po kvadriranju in poenostavitvi imamo: a 2 - 6a + 5 = 0. Rešimo enačbo, ugotovimo a 1 = 1; in 2 = 5.

Dobimo dve točki M 1 (-1; 1) in M 2 (-5; 5), ki izpolnjujeta pogoj problema.

6. Izračun koordinat točke, ki je na enaki določeni razdalji od abscisne (ordinatne) osi in od te točke

Primer 6

Poiščite točko M tako, da bo njena oddaljenost od osi y in od točke A (8; 6) enaka 5.

rešitev.

Iz pogoja naloge sledi, da je MA = 5 in je abscisa točke M enaka 5. Naj bo ordinata točke M enaka b, potem je M(5; b) (slika 6).

Po formuli d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) imamo:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Sestavimo enačbo:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Če poenostavimo, dobimo: b 2 - 12b + 20 = 0. Koreni te enačbe so b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Zato obstajata dve točki, ki izpolnjujeta pogoj problema: M 1 (5; 2) in M 2 (5; 10).

Znano je, da veliko študentov pri samostojnem reševanju problemov potrebuje stalno posvetovanje o tehnikah in metodah njihovega reševanja. Pogosto učenec brez pomoči učitelja ne more najti rešitve problema. Študent lahko dobi potrebne nasvete za reševanje problemov na naši spletni strani.

Imaš kakšno vprašanje? Niste prepričani, kako najti razdaljo med dvema točkama na ravnini?
Za pomoč mentorja - registrirajte se.
Prva lekcija je brezplačna!

spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

Tukaj je kalkulator

Razdalja med dvema točkama na ravni črti

Razmislite o koordinatni črti, na kateri sta označeni 2 točki: A A A in B B B. Če želite najti razdaljo med tema točkama, morate najti dolžino segmenta A B AB A B. To se naredi z naslednjo formulo:

Razdalja med dvema točkama na ravni črti

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣ a −b ∣,

Kje a, b a, b a , b- koordinate teh točk na premici (koordinatna premica).

Ker je v formuli prisoten modul, pri odločanju, od katere koordinate je treba odšteti, ni pomembno (saj se upošteva absolutna vrednost te razlike).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣ a −b ∣ =∣b −a ∣

Oglejmo si primer, da bomo bolje razumeli rešitev tovrstnih težav.

Primer 1

Na koordinatni premici je označena točka A A A, katere koordinata je 9 9 9 in pika B B B s koordinato − 1 -1 − 1 . Najti morate razdaljo med tema dvema točkama.

rešitev

Tukaj a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Uporabimo formulo in nadomestimo vrednosti:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣ a −b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Odgovori

Razdalja med dvema točkama na ravnini

Razmislite o dveh točkah na ravnini. Iz vsake točke, označene na ravnini, je treba spustiti dve pravokotnici: Na os O X OX O X in na osi OJ OJ O Y. Nato se upošteva trikotnik A B C ABC A B C. Ker je pravokoten ( B C pr. n. št B C pravokotno A C AC A C), nato poiščite segment A B AB A B, ki je tudi razdalja med točkami, je mogoče narediti z uporabo Pitagorovega izreka. Imamo:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Toda od dolžine A C AC A C je enako x B − x A x_B-x_A x B − x A , in dolžino B C pr. n. št B C je enako y B − y A y_B-y_A l B − l A , lahko to formulo prepišemo na naslednji način:

Razdalja med dvema točkama na ravnini

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B − x A ) 2 + (l B − l A ) 2 ,

Kje x A, y A x_A, y_A x A , l A in x B, y B x_B, y_B x B , l B - koordinate točk A A A in B B B oz.

Primer 2

Poiščite razdaljo med točkama C C C in F F F, če koordinate prvega (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , in drugič - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

rešitev

X C = 8 x_C=8 x C = 8
yC=-1 y_C=-1 l C = − 1
x F=4 x_F=4 x F = 4
yF=2 y_F=2 l F = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F − x C ) 2 + (l F − l C ) 2 = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 = 1 6 + 9 = 2 5 = 5

Odgovori

Razdalja med dvema točkama v prostoru

Iskanje razdalje med dvema točkama je v tem primeru podobno prejšnjemu, le da so koordinate točke v prostoru podane s tremi številkami oziroma je treba formuli dodati še koordinato osi, ki jo uporabljamo. Formula bo videti takole:

Razdalja med dvema točkama v prostoru

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B − x A ) 2 + (l B − l A ) 2 + (z B − zA ) 2

Primer 3

Poiščite dolžino odseka $F K v prostoru, če so koordinate točk njegovih koncev naslednje: (- 1; - 1; 8) in (- 3; 6; 0) . Odgovor zaokrožite na najbližje celo število.$