Danes pri lekciji bomo analizirali strogo zaporedje in stroga definicija limita funkcije, prav tako se naučite reševati ustrezne probleme teoretične narave. Članek je namenjen predvsem študentom prvega letnika naravoslovnih in tehničnih specialnosti, ki so začeli študirati teorijo matematične analize in so naleteli na težave pri razumevanju tega dela višje matematike. Poleg tega je gradivo precej dostopno srednješolcem.
V letih obstoja spletnega mesta sem prejel ducat neljubih pisem s približno naslednjo vsebino: “Ne razumem dobro matematične analize, kaj naj naredim?”, “Sploh ne razumem matan, jaz” razmišljam o tem, da bi opustil študij« itd. Prav matan je namreč tisti, ki študentsko skupino pogosto razredči že po prvi seji. Zakaj so stvari takšne? Ker je tema nepredstavljivo zapletena? Sploh ne! Teorija matematične analize ni tako težka, kot je nenavadna. In jo moraš sprejeti in ljubiti takšno, kot je =)
Začnimo z najtežjim primerom. Predvsem pa ne opustite šolanja. Razumi prav, nehaj, vedno bo imel čas ;-) Seveda, če boš čez leto ali dve od izbrane specialnosti zbolel, potem ja - razmisli o tem (in ne zbijati vročine!) o menjavi dejavnosti. Toda za zdaj je vredno nadaljevati. In, prosim, pozabite na besedno zvezo "ničesar ne razumem" - ne zgodi se, da ne razumete ničesar.
Kaj storiti, če je teorija slaba? Mimogrede, to ne velja samo za matematično analizo. Če je teorija slaba, potem se moraš najprej RESNO lotiti prakse. Hkrati se naenkrat rešita dve strateški nalogi:
– Prvič, velik del teoretičnega znanja je nastal skozi prakso. In toliko ljudi razume teorijo skozi ... - tako je! Ne, ne, na to nisi pomislil.
- In drugič, praktične spretnosti vas bodo zelo verjetno "raztegnile" na izpitu, tudi če ..., vendar ne naravnajmo se tako! Vse je resnično in vse je res "dvignjeno" v dokaj kratkem času. Matematična analiza je moj najljubši del višje matematike, zato si preprosto nisem mogel pomagati, da vam ne bi ponudil roke:
Na začetku 1. semestra običajno preidejo meje zaporedja in meje funkcij. Ne razumete, kaj je to in ne veste, kako jih rešiti? Začnite s člankom Omejitve funkcij, v katerem je sam koncept obravnavan "na prste" in analizirani najpreprostejši primeri. Nato preberite druge lekcije o temi, vključno z lekcijo o znotraj sekvenc, o katerem sem pravzaprav že oblikoval strogo definicijo.
Katere ikone poleg znakov neenakosti in modula poznate?
- dolga navpična palica se glasi takole: "tako tisto", "tako tisto", "tako tisto" ali "tako tisto", v našem primeru očitno govorimo o številu - torej "takem";
- za vse "en" večje od ;
– znak modula pomeni razdaljo, tj. ta vnos nam pove, da je razdalja med vrednostmi manjša od epsilon.
No, je smrtno težko? =)
Po obvladovanju prakse vas čakam v naslednjem odstavku:
Res, pomislimo malo - kako oblikovati strogo definicijo zaporedja? ... Prva stvar, ki pride na misel ob svetlobi praktična seja: "meja zaporedja je število, ki se mu člani zaporedja neskončno približajo."
V redu, napišimo podzaporedje :
To je enostavno dojeti podzaporedje 
neskončno blizu -1 in sodi členi 
- na "enoto".
Mogoče dve omejitvi? Toda zakaj jih potem neko zaporedje ne more imeti deset ali dvajset? Tako lahko prideš daleč. V zvezi s tem je logično domnevati, da če ima zaporedje mejo, potem je edinstveno.
Opomba : zaporedje nima omejitve, lahko pa iz njega ločimo dve podzaporedji (glej zgoraj), od katerih ima vsaka svojo omejitev.
Tako se zgornja definicija izkaže za nevzdržno. Da, deluje v primerih, kot je (ki ga nisem čisto pravilno uporabil pri poenostavljenih razlagah praktičnih primerov), zdaj pa moramo najti strogo definicijo.
Drugi poskus: »meja zaporedja je število, ki se mu približajo VSI člani zaporedja, z izjemo morda njihovih dokončno količine." To je bližje resnici, a še vedno ne povsem točno. Torej, na primer, zaporedje 
polovica izrazov se sploh ne približa ničli - preprosto so ji enaki =) Mimogrede, "utripajoča luč" ima običajno dve fiksni vrednosti.
Formulacije ni težko razjasniti, potem pa se pojavi še eno vprašanje: kako zapisati definicijo v matematičnih izrazih? Znanstveni svet se je dolgo boril s tem problemom, dokler se situacija ni razrešila. slavni maestro, ki je v bistvu formaliziral klasično matematično analizo v vsej njeni strogosti. Cauchy je ponudil operacijo okolici ki je močno napredoval v teoriji.
Razmislite o neki točki in njeni arbitrarna-soseska:
Vrednost "epsilon" je vedno pozitivna, poleg tega pa imamo pravico, da si ga sami izberemo. Predpostavimo, da dana soseska vsebuje množico členov (ni nujno vse) neko zaporedje. Kako zapisati, da je na primer deseti mandat padel v soseščino? Naj bo na desni strani. Potem mora biti razdalja med točkama in manjša od "epsilon": . Če pa se "x desetina" nahaja levo od točke "a", potem bo razlika negativna, zato ji je treba dodati znak modul: .
Opredelitev: število se imenuje limita zaporedja, če za katero koli svojo okolico (predizbrano) obstaja naravno število – TAKO, da VSEčlani zaporedja z višjimi številkami bodo znotraj soseske:
Ali krajše: če
Z drugimi besedami, ne glede na to, kako majhno vrednost "epsilon" vzamemo, bo prej ali slej "neskončni rep" zaporedja V CELOTI v tej soseščini.
Torej, na primer, "neskončni rep" zaporedja FULLY gre v katero koli poljubno majhno -sosesko točke . Tako je ta vrednost po definiciji meja zaporedja. Opomnim vas, da se imenuje zaporedje, katerega meja je nič infinitezimalno.
Opozoriti je treba, da za zaporedje ni več mogoče reči "neskončen rep". bo prišel”- člani z lihimi številkami so dejansko enaki nič in “ne gredo nikamor” =) Zato je v definiciji uporabljen glagol “končati bo”. In, seveda, člani takšnega zaporedja, kot tudi "ne gredo nikamor." Mimogrede preverite, ali bo številka njegova omejitev.
Pokažimo zdaj, da zaporedje nima meje. Upoštevajte, na primer, okolico točke. Povsem jasno je, da takšnega števila ni, po katerem bodo VSI člani v tej soseski – lihi člani bodo vedno "skočili" na "minus ena". Iz podobnega razloga na točki ni omejitve.
Snov utrdite z vajo:
Primer 1
Dokaži, da je limita zaporedja enaka nič. Označite število , po katerem so vsi člani zaporedja zagotovljeno znotraj poljubno majhne -soseske točke .
Opomba : za veliko zaporedij je želeno naravno število odvisno od vrednosti - od tod zapis .
rešitev: razmisli arbitrarna bo tamštevilo - tako, da bodo VSI člani z višjimi številkami znotraj te soseske:
Da pokažemo obstoj zahtevanega števila, izrazimo v smislu.
Ker je za katero koli vrednost "en", se znak modula lahko odstrani:
Z neenakostmi uporabljamo »šolske« akcije, ki sem jih ponavljala pri pouku Linearne neenakosti in Obseg funkcije. V tem primeru je pomembna okoliščina, da sta "epsilon" in "en" pozitivna:
Ker na levi strani govorimo o naravnih številih, desna stran pa je na splošno ulomka, jo je treba zaokrožiti:
Opomba : včasih je dodana enota na desno za pozavarovanje, v bistvu pa je to pretiravanje. Relativno gledano, če tudi rezultat oslabimo z zaokroževanjem navzdol, bo najbližje primerno število (»tri«) še vedno zadostilo prvotni neenakosti.
In zdaj pogledamo neenakost in se spomnimo, da smo sprva upoštevali arbitrarna-soseska, t.j. "epsilon" je lahko enako kdorkoli pozitivno število.
Zaključek: za katero koli poljubno majhno okolico točke vrednost 
. Tako je število po definiciji meja zaporedja. Q.E.D.
Mimogrede, od rezultata 
naravni vzorec je jasno viden: manjša kot je -soseska, večje je število, po katerem bodo VSI člani zaporedja v tej soseski. Toda ne glede na to, kako majhen je "epsilon", bo vedno "neskončen rep" znotraj in zunaj - tudi če je velik, vendar dokončnoštevilo članov.
Kakšni so vtisi? =) Se strinjam, da je čudno. Ampak strogo! Ponovno preberite in premislite.
Razmislite o podobnem primeru in se seznanite z drugimi tehnikami:
Primer 2
rešitev: po definiciji zaporedja je treba to dokazati (Govori naglas!!!).
Razmislite arbitrarna- okolica točke in preverjanja, ali obstaja naravno število - tako, da za vsa večja števila velja neenakost: 
Če želite prikazati obstoj takega, morate "en" izraziti skozi "epsilon". Izraz pod znakom modula poenostavimo: 
Modul uniči znak minus: 
Imenovalec je pozitiven za vsak "en", zato lahko palice odstranimo:
Mešanje: 
Zdaj bi morali vzeti kvadratni koren, vendar je ulov v tem, da bo za nekatere "epsilon" desna stran negativna. Da bi se izognili tej težavi okrepimo se modul neenakosti: 
Zakaj je to mogoče? Če se relativno gledano izkaže, da , potem bo pogoj izpolnjen še toliko bolj. Modul lahko samo povečajželena številka , in to bo tudi nam ustrezalo! Grobo rečeno, če je stotinka primerna, bo dvestotinka zadostovala! Po definiciji morate pokazati sam obstoj števila(vsaj nekateri), potem pa bodo vsi člani zaporedja v -soseski. Mimogrede, zato se ne bojimo končnega zaokroževanja desne strani navzgor.
Pridobivanje korena: 
In zaokrožite rezultat: 
Zaključek: Ker vrednost "epsilon" je bila izbrana poljubno, potem je za katero koli poljubno majhno okolico točke vrednost 
, tako da je neenakost 
. V to smer, 
po definiciji. Q.E.D.
svetujem predvsem razumejo krepitev in slabitev neenakosti - to so značilne in zelo pogoste metode matematične analize. Edina stvar, ki jo morate spremljati pravilnost tega ali onega dejanja. Torej, na primer, neenakost 
nikakor popustiti, odštevanje, recimo, ena: 
Še enkrat, pogojno: če številka natančno ustreza, potem prejšnja morda ne ustreza več.
Naslednji primer je za samostojno rešitev:
Primer 3
S pomočjo definicije zaporedja dokažite to 
Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije.
Če zaporedje neskončno super, potem je definicija limite formulirana na podoben način: točka se imenuje limita zaporedja, če za katero koli, poljubno velika obstaja takšno število, da bo za vsa večja števila neenakost izpolnjena. Številka je poklicana okolica točke "plus neskončnost":
Z drugimi besedami, ne glede na to, kako veliko vrednost vzamemo, bo "neskončni rep" zaporedja nujno šel v -sosesko točke, pri čemer bo na levi ostalo samo končno število členov.
Delujoč primer:
In skrajšan zapis: če
Za primer napišite definicijo sami. Pravilna različica je na koncu lekcije.
Ko si "napolnite" roko s praktičnimi primeri in ugotovite definicijo limite zaporedja, se lahko obrnete na literaturo o matematični analizi in / ali svoj zvezek s predavanji. Priporočam prenos 1. zvezka Bohana (lažje - za izredne študente) in Fikhtengoltza (bolj podrobno in temeljito). Od drugih avtorjev svetujem Piskunovu, katerega predmet je osredotočen na tehnične univerze.
Poskusite vestno preučiti izreke, ki zadevajo mejo zaporedja, njihove dokaze, posledice. Sprva se bo teorija morda zdela "motna", vendar je to normalno - le navaditi se je treba nanjo. In mnogi ga bodo celo okusili!
Stroga definicija limita funkcije
Začnimo z isto stvarjo - kako oblikovati ta koncept? Besedna definicija limite funkcije je formulirana veliko preprosteje: "število je limit funkcije, če z "x" teži k (tako levo kot desno), ustrezne vrednosti funkcije težijo k » (glej risbo). Zdi se, da je vse normalno, a besede so besede, pomen je pomen, ikona je ikona in strogi matematični zapisi niso dovolj. In v drugem odstavku se bomo seznanili z dvema pristopoma k reševanju tega vprašanja.
Naj bo funkcija definirana na nekem intervalu, razen po možnosti v točki . V izobraževalni literaturi je splošno sprejeto, da funkcija tam ne definirano: 
Ta izbira poudarja bistvo limita funkcije: "x" neskončno blizu se približuje , ustrezne vrednosti funkcije pa so neskončno blizu do . Z drugimi besedami, koncept meje ne pomeni "natančnega pristopa" do točk, namreč neskončno blizu, ni pomembno, ali je funkcija definirana v točki ali ne.
Prva definicija meje funkcije je, kar ni presenetljivo, formulirana z uporabo dveh zaporedij. Prvič, pojma sta povezana, in drugič, meje funkcij se običajno preučujejo po mejah zaporedij.
Razmislite o zaporedju 
točke (ni na risbi) ki pripadajo intervalu in razen, ki konvergira do . Nato ustrezne vrednosti funkcije tvorijo tudi številsko zaporedje, katerega člani se nahajajo na osi y.
Meja Heinejeve funkcije za katero koli zaporedja točk 
(pripada in se razlikuje od), ki konvergira v točko , ustrezno zaporedje vrednosti funkcije konvergira v .
Eduard Heine je nemški matematik. ... In kaj takega ni treba razmišljati, v Evropi je samo en gej - to je Gay-Lussac =)
Druga definicija meje je bila zgrajena ... ja, ja, prav imate. Toda najprej si poglejmo njegovo zasnovo. Razmislite o poljubni -soseski točke ("črna" soseska). Na podlagi prejšnjega odstavka zapis pomeni, da neko vrednost funkcija se nahaja znotraj "epsilon" okolja.
Zdaj pa poiščimo -sosesko, ki ustreza dani -soseski (miselno narišite črne pikčaste črte od leve proti desni in nato od zgoraj navzdol). Upoštevajte, da je vrednost izbrana po dolžini manjšega segmenta, v tem primeru po dolžini krajšega levega segmenta. Poleg tega se lahko "rdeča" okolica točke celo zmanjša, saj v naslednji definiciji pomembno je samo dejstvo obstoja ta soseska. In podobno vnos pomeni, da je neka vrednost znotraj soseske "delta".
Cauchyjeva limita funkcije: število se imenuje limita funkcije v točki if za katero koli vnaprej izbrana soseska (poljubno majhna), obstaja- okolica točke, TAKO da: KOT SAMO vrednote (v lasti) vključeno v to področje: (rdeče puščice)- ZATO TAKOJ ustrezne vrednosti funkcije zajamčeno vstopijo v -sosesko: (modre puščice).
Moram vas opozoriti, da sem, da bi bil bolj razumljiv, malo improviziral, zato tega ne zlorabljajte =)
Stenografija: če
Kaj je bistvo definicije? Figurativno povedano, z neskončnim zmanjševanjem -soseščine "spremljamo" vrednosti funkcije do njene meje, pri čemer jim ne puščamo druge možnosti, da bi se približali nekje drugje. Precej nenavadno, a spet strogo! Če želite razumeti pravo idejo, znova preberite besedilo.
! Pozor: če morate samo oblikovati definicija po Heineju ali samo Cauchyjeva definicija prosim ne pozabi na pomemben predhodni komentar: "Razmislite o funkciji, ki je definirana na nekem intervalu, razen morda na točki". To sem povedal enkrat na samem začetku in nisem vsakič ponovil.
Po ustreznem izreku matematične analize sta Heinejeva in Cauchyjeva definicija enakovredni, vendar je druga različica najbolj znana (še vedno bi!), ki se imenuje tudi "meja na jeziku":
Primer 4
S pomočjo definicije limite dokažite to 
rešitev: funkcija je definirana na celotni številski premici razen na točki . Z definicijo , dokažemo obstoj limite v dani točki.
Opomba : velikost soseske "delta" je odvisna od "epsilon", od tod tudi oznaka
Razmislite arbitrarna- soseska. Naloga je, da s to vrednostjo preverimo, ali ali obstaja- soseska, TAKO, ki iz neenakosti 
sledi neenakosti 
.
Ob predpostavki, da , transformiramo zadnjo neenakost: 
(razčleniti kvadratni trinom)
Definicija limitov zaporedja in funkcij, lastnosti limitov, prva in druga izjemna limita, primeri.
stalno število a klical omejitev zaporedja(x n) če za poljubno majhno pozitivno število ε > 0 obstaja število N tako, da so vse vrednosti x n, za katere je n>N, velja neenakost
Zapiši ga takole: ali x n → a.
Neenakost (6.1) je enakovredna dvojni neenakosti
a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, začenši z nekim številom n>N, ležijo znotraj intervala (a-ε , a+ε), tj. spadajo v poljubno majhno ε-sosesko točke a.
Zaporedje, ki ima mejo, se imenuje zbliževanje, drugače - divergenten.
Koncept limita funkcije je posplošitev koncepta limita zaporedja, saj lahko limit zaporedja obravnavamo kot limit funkcije x n = f(n) celega argumenta n.
Naj bo dana funkcija f(x) in naj bo a - mejna točka domena definicije te funkcije D(f), tj. taka točka, katere vsaka okolica vsebuje točke množice D(f), ki so različne od a. Pika a lahko pripada množici D(f) ali ne.
Definicija 1. Konstantno število A se imenuje omejitev funkcije f(x) pri x→ a če za poljubno zaporedje (x n ) vrednosti argumentov teži k a, imajo ustrezna zaporedja (f(x n)) enako mejo A.
Ta definicija se imenuje definiranje limite funkcije po Heineju, ali " v jeziku sekvenc”.
Definicija 2. Konstantno število A se imenuje omejitev funkcije f(x) pri x→a, če je za poljubno, poljubno majhno pozitivno število ε mogoče najti δ >0 (odvisno od ε), tako da za vse x, ki leži v ε-soseščini števila a, tj. za x zadovoljevanje neenakosti
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε
Ta definicija se imenuje definiranje limite funkcije po Cauchyju, oz “v jeziku ε - δ"
Definiciji 1 in 2 sta enakovredni. Če ima funkcija f(x) pri x → a omejitev enako A, je to zapisano kot
V primeru, da zaporedje (f(x n)) neomejeno narašča (ali pada) za katero koli metodo približevanja x do svoje meje a, potem bomo rekli, da ima funkcija f(x). neskončna meja, in zapiši kot:
Pokliče se spremenljivka (tj. zaporedje ali funkcija), katere meja je nič neskončno majhen.
Imenuje se spremenljivka, katere meja je enaka neskončnosti neskončno velik.
Za iskanje meje v praksi uporabite naslednje izreke.
1. izrek . Če vsaka meja obstaja
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Komentiraj. Izrazi v obliki 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ so nedoločeni, na primer razmerje dveh neskončno majhnih ali neskončno velikih količin, in iskanje meje te vrste se imenuje "razkritje negotovosti".
2. izrek.
tiste. možno je preiti na mejo na dnu stopnje pri konstantnem eksponentu, zlasti 
Izrek 3.
(6.11)
kje e» 2,7 je osnova naravnega logaritma. Formuli (6.10) in (6.11) imenujemo prva izjemna limita in druga izjemna limita.
V praksi se uporabljajo tudi posledice formule (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
zlasti meja
Če je x → a in hkrati x > a, potem pišemo x → a + 0. Če je zlasti a = 0, potem namesto simbola 0+0 pišemo +0. Podobno, če je x→a in hkrati x 
. Pokličemo funkcijo f(x). neprekinjeno na točki x 0, če je meja
(6.15)
Pogoj (6.15) lahko prepišemo kot:
to pomeni, da je prehod na limito pod znakom funkcije možen, če je zvezna v dani točki.
Če je enakost (6.15) kršena, potem to rečemo pri x = xo funkcijo f(x) Ima vrzel. Razmislite o funkciji y = 1/x. Domena te funkcije je množica R, razen za x = 0. Točka x = 0 je mejna točka množice D(f), saj je v kateri koli njeni soseščini, tj. vsak odprt interval, ki vsebuje točko 0, vsebuje točke iz D(f), vendar sam ne pripada tej množici. Vrednost f(x o)= f(0) ni definirana, zato ima funkcija diskontinuiteto v točki x o = 0.
Pokličemo funkcijo f(x). neprekinjeno na desni v točki x o če meja
in neprekinjeno na levi v točki x o če meja
Zveznost funkcije v točki x o je enakovredna njegovi kontinuiteti na tej točki tako na desni kot na levi.
Da je funkcija zvezna v točki x o, na primer na desni, je potrebno, prvič, da obstaja končna meja , in drugič, da je ta meja enaka f(x o). Torej, če vsaj eden od teh dveh pogojev ni izpolnjen, bo funkcija imela vrzel.
1. Če meja obstaja in ni enaka f(x o), potem to rečejo funkcijo f(x) na točki xo ima zlom prve vrste, oz skok.
2. Če je meja +∞ ali -∞ ali ne obstaja, potem pravijo, da je v točka x o funkcija ima premor druga vrsta.
Na primer, funkcija y = ctg x pri x → +0 ima limito, ki je enaka +∞ , kar pomeni, da ima v točki x=0 diskontinuiteto druge vrste. Funkcija y = E(x) (celoštevilski del x) v točkah s celimi abscisami ima diskontinuitete prve vrste ali preskoke.
Imenuje se funkcija, ki je zvezna v vsaki točki intervala neprekinjeno v. Zvezna funkcija je predstavljena s polno krivuljo.
Številne težave, povezane z nenehnim naraščanjem neke količine, vodijo do druge izjemne meje. Takšne naloge na primer vključujejo: rast prispevka po zakonu obrestnih obresti, rast prebivalstva države, razpad radioaktivne snovi, razmnoževanje bakterij itd.
Razmislite primer Ya. I. Perelman, ki daje razlago števila e v problemu obrestnih obresti. številka e obstaja meja 
. V hranilnicah se denar za obresti vsako leto dodaja osnovnemu kapitalu. Če se povezava izvaja pogosteje, potem kapital raste hitreje, saj je velik znesek vključen v oblikovanje obresti. Vzemimo čisto teoretičen, zelo poenostavljen primer. Naj banka položi 100 den. enote po stopnji 100% letno. Če se obrestni denar doda stalnemu kapitalu šele čez eno leto, potem do tega časa 100 den. enote se bo spremenilo v 200 den. Zdaj pa poglejmo, v kaj se bo spremenil 100 den. enot, če se obresti dodajo stalnemu kapitalu vsakih šest mesecev. Po pol leta 100 den. enote bo zrasel za 100 × 1,5 = 150, v naslednjih šestih mesecih pa za 150 × 1,5 = 225 (denarnih enot). Če se pristop izvaja vsako 1/3 leta, potem po enem letu 100 den. enote se bo spremenilo v 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. enot). Podaljšali bomo časovni okvir za dodajanje obresti na 0,1 leta, 0,01 leta, 0,001 leta itd. Potem od 100 den. enote leto kasneje:
100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (enote den.),
100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. enot),
100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. enot).
Z neomejenim znižanjem pogojev pristopnega deleža natečeni kapital ne raste v nedogled, ampak se približuje določeni meji, ki je približno 271. Kapital, položen pri 100 % letno, se ne more povečati več kot 2,71-krat, tudi če bi natečene obresti bile vsako sekundo dodajala v kapital, ker meja
Primer 3.1. S pomočjo definicije limite številskega zaporedja dokažite, da ima zaporedje x n =(n-1)/n limit enako 1.
rešitev. Dokazati moramo, da karkoli ε > 0 vzamemo, zanj obstaja naravno število N, tako da za vse n > N velja neenakost |x n -1|< ε
Vzemimo poljubno ε > 0. Ker je x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, je za iskanje N dovolj, da rešimo neenačbo 1/n<ε. Отсюда n>1/ε in zato lahko N vzamemo kot celo število 1/ε N = E(1/ε). Tako smo dokazali, da je meja .
Primer 3.2. Poiščite mejo zaporedja, podanega s skupnim členom
.
rešitev. Uporabite izrek mejne vsote in poiščite mejo vsakega člena. Ko je n → ∞, se števec in imenovalec vsakega člena nagibata k neskončnosti in izreka o meji kvocienta ne moremo uporabiti neposredno. Zato se najprej preobrazimo x n, ki deli števec in imenovalec prvega člena z n 2, in drugo n. Nato z uporabo izreka meje kvocienta in izreka meje vsote ugotovimo:
Primer 3.3. 
. Najti .
Tukaj smo uporabili izrek o mejni stopnji: meja stopnje je enaka stopnji meje baze.
Primer 3.4. Najti ( 
).
rešitev. Nemogoče je uporabiti diferenčni mejni izrek, ker imamo negotovost oblike ∞-∞. Preoblikujemo formulo splošnega pojma:
Primer 3.5. Dana je funkcija f(x)=2 1/x. Dokaži, da limita ne obstaja.
rešitev. Uporabimo definicijo 1 limita funkcije v smislu zaporedja. Vzemimo zaporedje ( x n ), ki konvergira k 0, tj. Pokažimo, da se vrednost f(x n)= obnaša različno za različna zaporedja. Naj bo x n = 1/n. Očitno je potem meja 
Izberimo zdaj kot x n zaporedje s skupnim členom x n = -1/n, ki prav tako teži k nič. 
Zato ni omejitev.
Primer 3.6. Dokaži, da limita ne obstaja.
rešitev. Naj bo x 1 , x 2 ,..., x n ,... zaporedje, za katerega
. Kako se obnaša zaporedje (f(x n)) = (sin x n) za različne x n → ∞
Če je x n \u003d p n, potem je sin x n \u003d sin (p n) = 0 za vse n in omejitev Če
xn=2 p n+ p /2, potem sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 za vse n in s tem meja. Tako ne obstaja.
Podane so izjave glavnih izrekov in lastnosti numeričnih zaporedij z limiti. Vsebuje definicijo zaporedja in njegove meje. Obravnavane so aritmetične operacije z zaporedji, lastnosti v zvezi z neenačbami, konvergenčni kriteriji, lastnosti neskončno majhnih in neskončno velikih zaporedij.
VsebinaLastnosti končnih limitov zaporedij
Osnovne lastnosti
Točka a je limita zaporedja, če in samo če je zunaj katere koli soseske te točke končno število elementov zaporedja ali prazen niz.
Če število a ni limita zaporedja, potem obstaja taka okolica točke a, zunaj katere je neskončno število elementov zaporedja.
Izrek o edinstvenosti za limito številskega zaporedja. Če ima zaporedje mejo, potem je edinstveno.
Če ima zaporedje končno mejo, potem je omejeno.
Če vsak element zaporedja je enak istemu številu C : , potem ima to zaporedje limit enako številu C .
Če zaporedje dodajte, izpustite ali spremenite prvih m elementov, potem to ne bo vplivalo na njegovo konvergenco.
Dokazi osnovnih lastnosti naveden na strani
Osnovne lastnosti končnih limitov zaporedij >>> .
Aritmetika z mejami
Naj obstajajo končne omejitve in zaporedja ter . In naj bo C konstanta, to je dano število. Potem
;
;
;
, če .
V primeru kvocienta se predpostavlja, da za vse n .
Če, potem .
Dokazi o aritmetičnih lastnostih naveden na strani
Aritmetične lastnosti končnih limitov zaporedij >>> .
Lastnosti, povezane z neenakostmi
Če elementi zaporedja, ki se začnejo pri nekem številu, izpolnjujejo neenakost , potem tudi limita a tega zaporedja izpolnjuje neenakost .
Če elementi zaporedja, ki se začnejo pri nekem številu, pripadajo zaprtemu intervalu (segmentu), potem temu intervalu pripada tudi meja a: .
Če in in elementi zaporedij, ki se začnejo z nekaterim številom, izpolnjujejo neenakost , potem .
Če in, začenši z neko številko, , Potem .
Še posebej, če, začenši z neko številko, , potem
če, potem ;
če, potem .
Če in , potem .
Naj in . Če < b , potem obstaja naravno število N tako, da za vse n > N neenakost je izpolnjena.
Dokazi lastnosti, povezanih z neenačbami naveden na strani
Lastnosti limitov zaporedja v zvezi z >>> neenačbami.
Infinitezimalna in infinitezimalna zaporedja
Infinitezimalno zaporedje
Infinitezimalno zaporedje je zaporedje, katerega meja je nič:.
Vsota in razlika končno število infinitezimalnih zaporedij je infinitezimalno zaporedje.
Produkt omejenega zaporedja infinitezimalnemu je neskončno majhno zaporedje.
Produkt končnega števila infinitezimalna zaporedja so neskončno majhna zaporedja.
Da ima zaporedje limit a , je potrebno in zadostuje, da je , kjer je infinitezimalno zaporedje.
Dokazi lastnosti infinitezimalnih zaporedij naveden na strani
Neskončno majhna zaporedja - definicija in lastnosti >>> .
Neskončno veliko zaporedje
Neskončno veliko zaporedje je zaporedje, ki ima neskončno veliko mejo. Se pravi, če za katero koli pozitivno število obstaja tako naravno število N , odvisno od , da za vsa naravna števila velja neenakost.
V tem primeru pišite
.
Ali pri.
Pravijo, da teži v neskončnost.
Če , začenši z nekim številom N , potem
.
Če, potem
.
Če so zaporedja neskončno velika, potem izhajajoč iz nekega števila N definiramo zaporedje, ki je neskončno majhno. Če je zaporedje neskončno majhno z elementi, ki niso nič, potem je zaporedje neskončno veliko.
Če je zaporedje neskončno veliko in je zaporedje omejeno, potem
.
Če so absolutne vrednosti elementov zaporedja omejene od spodaj s pozitivnim številom () in je neskončno majhna z elementi, ki niso nič, potem
.
V podrobnostih definicija neskončno velikega zaporedja s primeri naveden na strani
Definicija neskončno velikega zaporedja >>> .
Dokazi za lastnosti neskončno velikih zaporedij naveden na strani
Lastnosti neskončno velikih zaporedij >>> .
Konvergenčni kriteriji zaporedja
Monotona zaporedja
Strogo naraščajoče zaporedje je zaporedje za vse elemente, za katerega veljajo naslednje neenakosti:.
Podobne neenakosti definirajo druga monotona zaporedja.
Strogo padajoče zaporedje:
.
Nepadajoče zaporedje:
.
Nenaraščajoče zaporedje:
.
Iz tega sledi, da je strogo naraščajoče zaporedje tudi nepadajoče. Strogo padajoče zaporedje je tudi nenaraščujoče.
Monotono zaporedje je zaporedje, ki ne pada ali ne narašča.
Monotono zaporedje je vsaj na eni strani omejeno z . Nepadajoče zaporedje je omejeno od spodaj: . Nenaraščajoče zaporedje je omejeno od zgoraj: .
Weierstrassov izrek. Da ima nepadajoče (nenaraščujoče) zaporedje končno mejo, je nujno in dovolj, da je omejeno od zgoraj (od spodaj). Tukaj je M neko število.
Ker je vsako nepadajoče (nenaraščujoče) zaporedje omejeno od spodaj (od zgoraj), lahko Weierstrassov izrek preoblikujemo na naslednji način:
Da ima monotono zaporedje končno mejo, je nujno in zadostno, da je omejeno: .
Monotono neomejeno zaporedje ima neskončno mejo, enako za nepadajoče in nenaraščujoče zaporedje.
Dokaz Weierstrassovega izreka naveden na strani
Weierstrassov izrek o limiti monotonega zaporedja >>> .
Cauchyjev kriterij za konvergenco zaporedja
Cauchyjevo stanjeKonsistenca zadovolji Cauchyjevo stanje, če za katerokoli obstaja naravno število tako, da za vsa naravna števila n in m, ki izpolnjujeta pogoj, velja neenakost
.
Temeljno zaporedje je zaporedje, ki izpolnjuje Cauchyjevo stanje.
Cauchyjev kriterij za konvergenco zaporedja. Da ima zaporedje končno mejo, je nujno in zadostno, da izpolnjuje Cauchyjev pogoj.
Dokaz Cauchyjevega konvergenčnega kriterija naveden na strani
Cauchyjev konvergenčni kriterij za zaporedje >>> .
Naslednje
Bolzano-Weierstrassov izrek. Iz katerega koli omejenega zaporedja lahko ločimo konvergentno podzaporedje. In iz katerega koli neomejenega zaporedja - neskončno veliko podzaporedje, ki konvergira k ali k .
Dokaz Bolzano-Weierstrassovega izreka naveden na strani
Bolzano–Weierstrassov izrek >>> .
Definicije, izreki in lastnosti podzaporedij in delnih limitov so obravnavani na strani
Podzaporedja in delne omejitve zaporedij >>>.
Reference:
CM. Nikolski. Tečaj matematične analize. Zvezek 1. Moskva, 1983.
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematične analize. Zvezek 1. Moskva, 2003.
V.A. Zorič. Matematična analiza. 1. del. Moskva, 1997.
V.A. Iljin, E.G. Poznjak. Osnove matematične analize. 1. del. Moskva, 2005.
Matematika je znanost, ki gradi svet. Tako znanstvenik kot navaden človek – nihče ne more brez tega. Majhne otroke najprej naučijo šteti, nato seštevati, odštevati, množiti in deliti, do srednje šole pridejo v poštev črkovna poimenovanja, v starejši pa se jim ni več mogoče odpovedati.
Toda danes bomo govorili o tem, na čem temelji vsa znana matematika. O skupnosti števil, imenovani "meje zaporedja".
Kaj so zaporedja in kje je njihova meja?
Pomena besede "zaporedje" ni težko razlagati. To je taka konstrukcija stvari, kjer se nekdo ali nekaj nahaja v določenem vrstnem redu ali čakalni vrsti. Na primer, čakalna vrsta za vstopnice v živalski vrt je zaporedje. In lahko je samo eden! Če na primer pogledate vrsto v trgovini, je to eno zaporedje. In če ena oseba nenadoma zapusti to čakalno vrsto, potem je to druga vrsta, drugačen vrstni red.
Besedo "meja" je tudi enostavno razlagati - to je konec nečesa. Vendar pa so v matematiki meje zaporedij tiste vrednosti na številski premici, h katerim teži zaporedje števil. Zakaj si prizadeva in se ne konča? Preprosto je, številska premica nima konca in večina zaporedij, tako kot žarki, ima samo začetek in je videti takole:
x 1, x 2, x 3, ... x n ...
Zato je definicija zaporedja funkcija naravnega argumenta. Preprosteje povedano, gre za niz članov neke množice.
Kako je sestavljeno številsko zaporedje?
Najenostavnejši primer številskega zaporedja bi lahko izgledal takole: 1, 2, 3, 4, …n…
V večini primerov so zaporedja za praktične namene zgrajena iz številk in vsak naslednji član niza, označimo ga z X, ima svoje ime. Na primer:
x 1 - prvi član zaporedja;
x 2 - drugi član zaporedja;
x 3 - tretji član;
x n je n-ti člen.
V praktičnih metodah je zaporedje podano s splošno formulo, v kateri je spremenljivka. Na primer:
X n \u003d 3n, potem bo sama serija številk izgledala takole:
Ne smemo pozabiti, da lahko v splošnem zapisu zaporedij uporabite poljubne latinične črke in ne samo X. Na primer: y, z, k itd.
Aritmetična progresija kot del zaporedij
Preden začnemo iskati meje zaporedij, je priporočljivo, da se poglobimo v sam koncept takšnega številskega niza, s katerim se je vsak srečal, ko je bil v srednjem razredu. Aritmetična progresija je vrsta števil, v kateri je razlika med sosednjimi členi konstantna.
Naloga: »Naj je 1 \u003d 15 in korak napredovanja številske serije d \u003d 4. Zgradite prve 4 člane te vrstice"
Rešitev: a 1 = 15 (po pogoju) je prvi člen progresije (številske serije).
in 2 = 15+4=19 je drugi člen napredovanja.
in 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 je tretji člen.
in 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 je četrti člen.
Vendar je s to metodo težko doseči velike vrednosti, na primer do 125. . Posebej za takšne primere je bila izpeljana formula, primerna za prakso: a n \u003d a 1 + d (n-1). V tem primeru je 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.
Vrste zaporedij
Večina sekvenc je neskončnih, vredno si jih je zapomniti za vse življenje. Obstajata dve zanimivi vrsti številskih nizov. Prvi je podan s formulo a n =(-1) n. Matematiki se pogosto sklicujejo na ta utripajoča zaporedja. Zakaj? Preverimo njegove številke.
1, 1, -1 , 1, -1, 1 itd. S tem primerom postane jasno, da je mogoče številke v zaporedju zlahka ponoviti.
faktorsko zaporedje. Zlahka je uganiti, da je v formuli faktor, ki določa zaporedje. Na primer: in n = (n+1)!
Potem bo zaporedje videti takole:
in 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;
in 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 itd.
Zaporedje, podano z aritmetično progresijo, se imenuje neskončno padajoče, če je neenakost -1 upoštevana za vse njegove člane in 3 \u003d - 1/8 itd. Obstaja celo zaporedje, sestavljeno iz iste številke. Torej, in n \u003d 6 je sestavljen iz neskončnega števila šestic. Omejitve zaporedja že dolgo obstajajo v matematiki. Seveda si zaslužijo svoj kompetenten dizajn. Torej, čas je, da se naučite definicije omejitev zaporedja. Najprej podrobno razmislite o meji za linearno funkcijo: Ni težko razumeti, da lahko definicijo limite zaporedja formuliramo takole: gre za določeno število, ki se mu neskončno približujejo vsi člani zaporedja. Preprost primer: in x = 4x+1. Potem bo samo zaporedje videti takole. 5, 9, 13, 17, 21…x… Tako bo to zaporedje naraščalo neskončno, kar pomeni, da je njegova meja enaka neskončnosti pri x→∞, kar je treba zapisati takole: Če vzamemo podobno zaporedje, vendar se x nagiba k 1, dobimo: In niz številk bo takšen: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 itd. Vsakič, ko morate številko zamenjati vse bližje eni (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Iz te serije je razvidno, da je limita funkcije pet. Iz tega dela si velja zapomniti, kaj je meja številskega zaporedja, definicijo in način reševanja preprostih nalog. Ko smo analizirali mejo številskega zaporedja, njeno definicijo in primere, lahko nadaljujemo na bolj zapleteno temo. Absolutno vse meje zaporedij je mogoče oblikovati z eno formulo, ki se običajno analizira v prvem semestru. Torej, kaj pomeni ta niz črk, modulov in znakov neenakosti? ∀ je univerzalni kvantifikator, ki nadomešča fraze »za vse«, »za vse« itd. ∃ je kvantifikator obstoja, v tem primeru pomeni, da obstaja neka vrednost N, ki pripada množici naravnih števil. Dolga navpična palica za N pomeni, da je dana množica N "takšna, da". V praksi lahko pomeni "tako, da", "tako, da" itd. Za utrjevanje snovi preberite formulo na glas. Metoda iskanja meje zaporedij, o kateri smo govorili zgoraj, čeprav je enostavna za uporabo, v praksi ni tako racionalna. Poskusite najti omejitev za to funkcijo: Če nadomestimo različne vrednosti x (vsakič povečamo: 10, 100, 1000 itd.), potem dobimo ∞ v števcu, a tudi ∞ v imenovalcu. Izkazalo se je precej čuden del: Toda ali je res tako? Izračun meje številskega zaporedja se v tem primeru zdi dovolj enostaven. Vse bi bilo mogoče pustiti tako, kot je, ker je odgovor pripravljen in je bil prejet pod razumnimi pogoji, vendar obstaja še en način posebej za takšne primere. Najprej poiščimo najvišjo stopnjo v števcu ulomka - to je 1, saj je x lahko predstavljen kot x 1. Zdaj pa poiščimo najvišjo stopnjo v imenovalcu. Tudi 1. Tako števec kot imenovalec delite s spremenljivko do največje stopnje. V tem primeru ulomek delimo z x 1. Nato poiščimo, h kateri vrednosti teži vsak izraz, ki vsebuje spremenljivko. V tem primeru se upoštevajo ulomki. Ko je x→∞, se vrednost vsakega od ulomkov nagiba k ničli. Pri izdelavi prispevka v pisni obliki je vredno narediti naslednje opombe: Dobimo naslednji izraz: Seveda ulomki, ki vsebujejo x, niso postali ničle! Toda njihova vrednost je tako majhna, da je povsem dopustno, da je ne upoštevamo pri izračunih. Pravzaprav x v tem primeru nikoli ne bo enak 0, ker ne morete deliti z nič. Predpostavimo, da ima profesor na voljo zapleteno zaporedje, ki ga očitno podaja nič manj zapletena formula. Profesor je našel odgovor, a ustreza? Navsezadnje vsi ljudje delamo napake. Auguste Cauchy se je domislil odličnega načina za dokazovanje meja zaporedij. Njegova metoda se je imenovala sosedska operacija. Recimo, da obstaja neka točka a, njena soseska v obeh smereh na realni premici je enaka ε ("epsilon"). Ker je zadnja spremenljivka razdalja, je njena vrednost vedno pozitivna. Sedaj nastavimo neko zaporedje x n in predpostavimo, da je deseti člen zaporedja (x 10) vključen v okolico a. Kako to dejstvo zapisati v matematičnem jeziku? Recimo, da je x 10 desno od točke a, potem je razdalja x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Zdaj je čas, da zgoraj omenjeno formulo razložimo v praksi. Pravično je, da določeno število imenujemo končna točka zaporedja, če neenakost ε>0 velja za katero koli njegovo mejo in ima celotna soseska svoje naravno število N, tako da bodo vsi člani zaporedja z višjimi številkami biti znotraj zaporedja |x n - a|< ε. S takšnim znanjem je enostavno razrešiti meje zaporedja, dokazati ali ovreči pripravljen odgovor. Izreki o limitih zaporedij so pomemben sestavni del teorije, brez katerega praksa ni mogoča. Obstajajo le štirje glavni izreki, ki si jih zapomnite, lahko bistveno olajšate postopek reševanja ali dokazovanja: Včasih je treba rešiti inverzni problem, dokazati dano mejo številskega zaporedja. Poglejmo si primer. Dokaži, da je limita zaporedja, podanega s formulo, enaka nič. V skladu z zgornjim pravilom velja za poljubno zaporedje neenakost |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Izrazimo n z izrazom "epsilon", da pokažemo obstoj določenega števila in dokažemo obstoj meje zaporedja. Na tej stopnji si je pomembno zapomniti, da sta "epsilon" in "en" pozitivni števili in nista enaki nič. Zdaj lahko nadaljujete z nadaljnjimi transformacijami z uporabo znanja o neenakostih, pridobljenega v srednji šoli. Od tod se izkaže, da je n > -3 + 1/ε. Ker velja spomniti, da govorimo o naravnih številih, lahko rezultat zaokrožimo tako, da ga damo v oglate oklepaje. Tako je bilo dokazano, da je za vsako vrednost "epsilon" okolice točke a = 0 najdena taka vrednost, da je začetna neenakost izpolnjena. Iz tega lahko varno trdimo, da je število a limita danega zaporedja. Q.E.D. S tako priročno metodo lahko dokažete mejo številskega zaporedja, ne glede na to, kako zapleteno se zdi na prvi pogled. Glavna stvar je, da ne paničite ob pogledu na nalogo. Obstoj omejitve zaporedja v praksi ni potreben. Zlahka je najti takšne vrste števil, ki jim res ni konca. Na primer, isti utripalnik x n = (-1) n. očitno je, da zaporedje, sestavljeno samo iz dveh števk, ki se ciklično ponavljata, ne more imeti omejitve. Ista zgodba se ponavlja z zaporedji, sestavljenimi iz enega samega števila, ulomkov, ki imajo med izračuni negotovost poljubnega reda (0/0, ∞/∞, ∞/0 itd.). Vendar je treba zapomniti, da pride tudi do napačnega izračuna. Včasih vam bo ponovno preverjanje lastne rešitve pomagalo najti mejo nasledstev. Zgoraj smo obravnavali več primerov zaporedij, metode za njihovo reševanje, zdaj pa poskusimo vzeti bolj specifičen primer in ga poimenovati "monotono zaporedje". Definicija: pošteno je, da vsako zaporedje imenujemo monotono naraščajoče, če izpolnjuje strogo neenakost x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Poleg teh dveh pogojev obstajajo tudi podobne nestroge neenakosti. V skladu s tem je x n ≤ x n +1 (nepadajoče zaporedje) in x n ≥ x n +1 (nenaraščujoče zaporedje). A to je lažje razumeti s primeri. Zaporedje, podano s formulo x n \u003d 2 + n, tvori naslednje nize števil: 4, 5, 6 itd. To je monotono naraščajoče zaporedje. In če vzamemo x n \u003d 1 / n, potem dobimo niz: 1/3, ¼, 1/5 itd. To je monotono padajoče zaporedje. Omejeno zaporedje je zaporedje, ki ima mejo. Konvergentno zaporedje je niz števil, ki ima infinitezimalno mejo. Tako je meja omejenega zaporedja vsako realno ali kompleksno število. Ne pozabite, da je lahko samo ena omejitev. Limita konvergentnega zaporedja je infinitezimalna količina (realna ali kompleksna). Če narišete diagram zaporedja, se bo na določeni točki tako rekoč zbližal, težil k temu, da se spremeni v določeno vrednost. Od tod tudi ime - konvergentno zaporedje. Tako zaporedje ima lahko omejitev ali pa tudi ne. Najprej je koristno razumeti, kdaj je, od tu lahko začnete pri dokazovanju odsotnosti limita. Med monotonimi zaporedji ločimo konvergentna in divergentna. Konvergentno - to je zaporedje, ki ga tvori množica x in ima v tej množici realno ali kompleksno mejo. Divergentno - zaporedje, ki nima omejitve v svoji množici (ne realno ne kompleksno). Poleg tega zaporedje konvergira, če se zgornja in spodnja meja zbližata v geometrijski predstavitvi. Meja konvergentnega zaporedja je v mnogih primerih lahko enaka nič, saj ima vsako infinitezimalno zaporedje znano mejo (ničlo). Katero koli konvergentno zaporedje vzamete, so vsa omejena, vendar še zdaleč ne konvergirajo vsa omejena zaporedja. Vsota, razlika, produkt dveh konvergentnih zaporedij je tudi konvergentno zaporedje. Lahko pa količnik tudi konvergira, če je definiran! Omejitve zaporedij so enake pomembne (v večini primerov) vrednosti kot številke in številke: 1, 2, 15, 24, 362 itd. Izkazalo se je, da je mogoče nekatere operacije izvajati z omejitvami. Prvič, tako kot števke in številke je mogoče meje katerega koli zaporedja seštevati in odštevati. Na podlagi tretjega izreka o limitih zaporedij velja enakost: limita vsote zaporedij je enaka vsoti njihovih limitov. Drugič, na podlagi četrtega izreka o limitih zaporedij velja naslednja enakost: limita produkta n-tega števila zaporedij je enaka produktu njihovih limitov. Enako velja za deljenje: limita količnika dveh zaporedij je enaka kvocientu njunih limitov, če limita ni enaka nič. Navsezadnje, če je meja zaporedij enaka nič, se bo izkazalo deljenje z nič, kar je nemogoče. Zdi se, da je bila meja številčnega zaporedja že podrobno analizirana, vendar so fraze, kot so "neskončno majhna" in "neskončno velika" števila, omenjene več kot enkrat. Očitno je, da če obstaja zaporedje 1/x, kjer je x→∞, potem je tak ulomek neskončno majhen, in če isto zaporedje, vendar meja teži k nič (x→0), potem ulomek postane neskončno velika vrednost . In takšne vrednosti imajo svoje značilnosti. Lastnosti meje zaporedja s poljubnimi majhnimi ali velikimi vrednostmi so naslednje: Pravzaprav izračun meje zaporedja ni tako težka naloga, če poznate preprost algoritem. Toda meje sekvenc so tema, ki zahteva maksimalno pozornost in vztrajnost. Seveda je dovolj, da preprosto dojamemo bistvo rešitve takih izrazov. Začnete z majhnimi, sčasoma pa lahko dosežete velike višine. Podana je definicija končne meje zaporedja. Upoštevane so povezane lastnosti in enakovredna definicija. Podana je definicija, da točka a ni limita zaporedja. Obravnavani so primeri, pri katerih je obstoj limite dokazan z definicijo. Poglej tudi: Limit zaporedja - osnovni izreki in lastnosti Tukaj obravnavamo definicijo končne meje zaporedja. Primer zaporedja, ki konvergira v neskončnost, je obravnavan na strani "Definicija neskončno velikega zaporedja". Transformirajmo neenakost: Iz definicije sledi, da če ima zaporedje mejo a, potem je ne glede na to, katero ε - okolico točke a izberemo, zunaj lahko samo končno število elementov zaporedja ali sploh noben (prazna množica). tega. In vsaka ε - soseska vsebuje neskončno število elementov. Dejansko z nastavitvijo določenega števila ε dobimo število . Torej so vsi elementi zaporedja s številkami po definiciji v ε - okolici točke a . Prvi elementi so lahko kjerkoli. To pomeni, da zunaj ε - soseske ne more biti več kot elementov - to je končno število. Opažamo tudi, da ni treba, da se razlika monotono nagiba k ničli, torej da se ves čas zmanjšuje. Lahko se nagiba k ničli ne monotono: lahko se poveča ali zmanjša z lokalnimi maksimumi. Vendar bi morali ti maksimumi z naraščanjem n težiti k ničli (mogoče tudi ne monotono). Z uporabo logičnih simbolov obstoja in univerzalnosti lahko definicijo meje zapišemo takole: Zdaj razmislite o obratni trditvi, da število a ni meja zaporedja. Številka a ni omejitev zaporedja, če obstaja takšen, da za vsak naravni n obstaja tak naravni m >n, kaj Zapišimo to izjavo z logičnimi simboli. Trditev, da število a ni meja zaporedja, pomeni, da Razmislite o primeru. Naj je podano zaporedje s skupnim elementom Pokažimo zdaj to tako, da se dosledno držimo trditve (2). Točka ni meja zaporedja (3), saj obstaja tako , tako da za vsak naravni n obstaja liho n, za katero velja neenakost Lahko se tudi pokaže, da nobena točka a ne more biti limita tega zaporedja. Vedno lahko izberemo ε - okolico točke a, ki ne vsebuje niti točke 0 niti točke 2. In takrat bo zunaj izbrane okolice neskončno število elementov zaporedja. Enakovredno definicijo limite zaporedja lahko podamo, če razširimo koncept ε - soseske. Ekvivalentno definicijo bomo dobili, če bo namesto ε-soseske v njej nastopala poljubna okolica točke a. Okolica točke je vsak odprt interval, ki vsebuje to točko. Matematično točka soseska definirana kot sledi: , kjer je ε 1
in ε 2
so poljubna pozitivna števila. Potem je enakovredna definicija meje naslednja. Limita zaporedja je tako število a, če za katero koli njegovo okolico obstaja tako naravno število N, da vsi elementi zaporedja s števili pripadajo tej okolici. To definicijo je mogoče predstaviti tudi v razširjeni obliki. Meja zaporedja je število a, če za katera koli pozitivna števila in obstaja naravno število N, odvisno od in tako, da neenakosti veljajo za vsa naravna števila Dokažimo, da sta zgornji definiciji limite zaporedja enakovredni. Število a naj bo limita zaporedja po prvi definiciji. To pomeni, da obstaja funkcija , tako da za vsako pozitivno število ε veljajo naslednje neenakosti: Pokažimo, da je število a limita zaporedja tudi z drugo definicijo. To pomeni, da moramo pokazati, da obstaja takšna funkcija , tako da za katera koli pozitivna števila ε 1
in ε 2
veljajo naslednje neenakosti: Naj imamo dve pozitivni števili: ε 1
in ε 2
. In naj bo ε najmanjši od njih: . Potem ; ; . To uporabljamo v (5): To pomeni, da smo našli takšno funkcijo, da neenakosti (5) veljajo za poljubna pozitivna števila ε 1
in ε 2
.
Naj bo zdaj število a limita zaporedja po drugi definiciji. To pomeni, da obstaja funkcija , tako da za poljubna pozitivna števila ε 1
in ε 2
veljajo naslednje neenakosti: Pokažimo, da je število a limita zaporedja in po prvi definiciji. Za to morate postaviti. Potem za veljajo naslednje neenakosti: Dokaži to. S pomočjo definicije limite zaporedja dokažite to Zapišemo definicijo limite zaporedja: Vnesemo pozitivna števila in: To pomeni, da lahko za vsako pozitivno vzamemo katero koli naravno število, večje ali enako: Uvedemo zapis , . Zapišemo definicijo limite zaporedja: To pomeni, da lahko za vsako pozitivno vzamemo katero koli naravno število, večje ali enako: S pomočjo definicije limite zaporedja dokažite to Zapišemo definicijo limite zaporedja: Vnesemo pozitivna števila in: To pomeni, da lahko za vsako pozitivno vzamemo katero koli naravno število, večje ali enako: Reference: Določanje meje zaporedja
Splošni zapis za limit zaporedij
Negotovost in gotovost meje
Kaj je soseska?
Izreki
Dokaz zaporedja
Ali pa morda ne obstaja?
monotono zaporedje
Limit konvergentnega in omejenega zaporedja
Monotona meja zaporedja
Različne akcije z omejitvami
Lastnosti vrednosti zaporedja
Glavne vrste neenakosti in njihove lastnosti
| x n - a|< ε
.
Tukaj je x n element zaporedja s številko n. Omejitev zaporedja označeno takole:
.
Ali pri.
;
;
.
(1)
.
Določanje, da a ni meja
.
(2)
.
lahko izberete takšno ε - okolico točke a, zunaj katere bo neskončno število elementov zaporedja.
(3)
Vsaka okolica točke vsebuje neskončno število elementov. Vendar ta točka ni meja zaporedja, saj vsaka soseska točke vsebuje tudi neskončno število elementov. Vzemimo ε - okolico točke z ε = 1
. To bo interval (-1, +1)
. Vsi elementi razen prvega s sodim n pripadajo temu intervalu. Toda vsi elementi z lihim n so zunaj tega intervala, ker izpolnjujejo neenakost x n > 2
. Ker je število lihih elementov neskončno, bo zunaj izbrane soseske neskončno število elementov. Zato točka ni meja zaporedja.
.
Ekvivalentna definicija meje zaporedja
.
Dokaz enakovrednosti definicij
(4)
ob .
(5)
ob .
.
Vendar neenakosti veljajo za . Tedaj neenakosti (5) veljajo tudi za .
Prvi del je dokazan.
(5)
ob .
.
To ustreza prvi definiciji z .
Enakovrednost definicij je dokazana.Primeri
Primer 1
(1)
.
V našem primeru;
.
.
Uporabimo lastnosti neenakosti. Potem če in , potem
.
.
Potem
ob .
To pomeni, da je število meja danega zaporedja:
.
Primer 2
.
(1)
.
V našem primeru, ;
.
.
Uporabimo lastnosti neenakosti. Potem če in , potem
.
.
Potem
ob .
.
Primer 3
.
Preoblikujemo razliko:
.
Za naravne n = 1, 2, 3, ...
imamo:
.
(1)
.
Vnesemo pozitivna števila in:
.
Potem če in , potem
.
.
pri čemer
ob .
To pomeni, da je številka meja zaporedja:
.
Primer 4
.
(1)
.
V našem primeru, ;
.
.
Potem če in , potem
.
.
Potem
ob .
To pomeni, da je številka meja zaporedja:
.
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematične analize. Zvezek 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolski. Tečaj matematične analize. Zvezek 1. Moskva, 1983.
