To je precej zanimiv del matematike, s katerim se soočajo absolutno vsi podiplomski študenti in študenti. Vendar pa matan nimajo vsi radi. Nekateri ne razumejo niti osnovnih stvari, kot je na videz standardna študija funkcij. Namen tega članka je popraviti to pomanjkljivost. Želite izvedeti več o funkcijski analizi? Bi radi vedeli, kaj so ekstremne točke in kako jih najti? Potem je ta članek za vas.
Raziskava grafa funkcije
Za začetek je vredno razumeti, zakaj je sploh potrebno analizirati grafikon. Obstajajo preproste funkcije, ki jih je enostavno narisati. Osupljiv primer takšne funkcije je parabola. Njenega grafikona ni težko narisati. Vse, kar je potrebno, je s preprosto transformacijo poiskati števila, pri katerih funkcija dobi vrednost 0. In načeloma je to vse, kar morate vedeti, da narišete graf parabole.
Toda kaj, če je funkcija, ki jo moramo prikazati, veliko bolj zapletena? Ker so lastnosti kompleksnih funkcij precej neočitne, je potrebno opraviti celotno analizo. Šele takrat lahko funkcijo predstavimo grafično. Kako narediti? Odgovor na to vprašanje najdete v tem članku.
Načrt analize delovanja
Prva stvar je, da izvedemo površinsko študijo funkcije, med katero bomo našli domeno definicije. Pa začnimo po vrsti. Domena definicije je množica tistih vrednosti, s katerimi je definirana funkcija. Preprosto povedano, to so števila, ki jih je mogoče uporabiti v funkciji namesto x. Če želite določiti obseg, morate samo pogledati zapis. Na primer, očitno je, da ima funkcija y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 domeno definicije - niz realnih števil. No, s funkcijo, kot je (x 2 - 2x) / x, je vse malo drugače. Ker število v imenovalcu ne sme biti enako 0, bodo domena te funkcije vsa realna števila, razen ničle.
Nato morate najti tako imenovane ničle funkcije. To so vrednosti argumenta, za katere ima celotna funkcija vrednost nič. Da bi to naredili, je treba funkcijo enačiti z nič, jo podrobno preučiti in izvesti nekaj transformacij. Vzemimo že znano funkcijo y(x) = (x 2 - 2x)/x. Iz šolskega tečaja vemo, da je ulomek 0, ko je števec nič. Zato zavržemo imenovalec in začnemo delati s števcem in ga enačimo z nič. Dobimo x 2 - 2x \u003d 0 in x vzamemo iz oklepajev. Zato je x (x - 2) \u003d 0. Posledično ugotovimo, da je naša funkcija enaka nič, ko je x enak 0 ali 2.
Med preučevanjem grafa funkcije se mnogi soočajo s problemom v obliki ekstremnih točk. In to je čudno. Navsezadnje so ekstremi precej preprosta tema. ne verjameš? Prepričajte se sami, tako da preberete ta del članka, v katerem bomo govorili o minimalnih in maksimalnih točkah.
Za začetek je vredno razumeti, kaj je ekstrem. Ekstrem je mejna vrednost, ki jo funkcija doseže na grafu. Iz tega se izkaže, da obstajata dve skrajni vrednosti - največja in najmanjša. Za jasnost si lahko ogledate zgornjo sliko. Na raziskanem območju je točka -1 največja funkcija y (x) \u003d x 5 - 5x, točka 1 pa najmanjša.
Prav tako ne zamenjujte pojmov med seboj. Ekstremne točke funkcije so tisti argumenti, pri katerih dana funkcija pridobi ekstremne vrednosti. Po drugi strani pa je ekstrem vrednost minimumov in maksimumov funkcije. Na primer, ponovno razmislite o zgornji sliki. -1 in 1 sta ekstremni točki funkcije, 4 in -4 pa sta sama ekstrema.
Iskanje ekstremnih točk
Kako pa najdete ekstremne točke funkcije? Vse je precej preprosto. Prva stvar, ki jo morate narediti, je najti odvod enačbe. Recimo, da smo dobili nalogo: "Poiščite ekstremne točke funkcije y (x), x je argument. Za jasnost vzemimo funkcijo y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Razlikujmo in dobimo naslednjo enačbo: 3x 2 + 4x + 1. Kot rezultat smo dobili standardno kvadratno enačbo. Vse, kar je treba storiti, je, da jo izenačimo z nič in poiščemo korenine. Ker je diskriminanta večja od nič (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), to enačbo določata dva korena. Najdemo ju in dobimo dve vrednosti: 1/3 in -1. To bosta ekstremni točki funkcije. Vendar, kako lahko še vedno določite kdo je kdo? Katera točka je največja in katera najmanjša? Če želite to narediti, morate vzeti sosednjo točko in ugotoviti njeno vrednost. Na primer, vzemimo številko -2, ki je levo vzdolž koordinate vrstico od -1. To vrednost nadomestimo v naši enačbi y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Kot rezultat smo dobili pozitivno število. To pomeni, da je na intervalu od 1/3 do -1 funkcija narašča, kar posledično pomeni, da na intervalih od min od neskončnosti do 1/3 in od -1 do plus neskončnosti, funkcija pada. Tako lahko sklepamo, da je število 1/3 najmanjša točka funkcije na preiskovanem intervalu, -1 pa največja točka.
Omeniti velja tudi, da izpit zahteva ne le iskanje ekstremnih točk, temveč tudi izvedbo neke vrste operacije z njimi (seštevanje, množenje itd.). Prav zaradi tega je vredno posebno pozornost nameniti pogojem problema. Navsezadnje lahko zaradi nepazljivosti izgubite točke.
Ekstremna točka funkcije je točka v domeni funkcije, kjer vrednost funkcije prevzame najmanjšo ali največjo vrednost. Vrednosti funkcije na teh točkah se imenujejo ekstremi (minimum in maksimum) funkcije.
Opredelitev. Pika x1 obseg funkcije f(x) je poklican maksimalna točka funkcije , če je vrednost funkcije na tej točki večja od vrednosti funkcije v točkah, ki so ji dovolj blizu, ki se nahajajo desno in levo od nje (to je neenakost f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.
Opredelitev. Pika x2 obseg funkcije f(x) je poklican minimalna točka funkcije, če je vrednost funkcije na tej točki manjša od vrednosti funkcije v točkah, ki so ji dovolj blizu, ki se nahajajo desno in levo od nje (to je neenakost f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). V tem primeru naj bi imela funkcija točko x2 najmanj.
Povejmo bistvo x1 - največja točka funkcije f(x) . Nato v intervalu do x1 funkcija se poveča, zato je odvod funkcije večji od nič ( f "(x) > 0 ), in v intervalu po x1 funkcija se zmanjšuje, torej izpeljanka funkcije manj kot nič ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1
Predpostavimo tudi, da točka x2 - minimalna točka funkcije f(x) . Nato v intervalu do x2 funkcija pada in je odvod funkcije manjši od nič ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija narašča in odvod funkcije je večji od nič ( f "(x) > 0 ). V tem primeru tudi v bistvu x2 odvod funkcije je nič ali ne obstaja.
Fermatov izrek (nujen kriterij za obstoj ekstrema funkcije). Če točka x0 - ekstremna točka funkcije f(x), potem je na tej točki odvod funkcije enak nič ( f "(x) = 0 ) ali ne obstaja.
Opredelitev. Imenujemo točke, v katerih je odvod funkcije enak nič ali ne obstaja kritične točke .
Primer 1 Razmislimo o funkciji.
Na točki x= 0 je odvod funkcije enak nič, torej točka x= 0 je kritična točka. Vendar pa, kot je razvidno iz grafa funkcije, narašča v celotnem domeni definicije, zato je točka x= 0 ni ekstremna točka te funkcije.
Tako so pogoji, da je odvod funkcije v točki enak nič ali ne obstaja, nujni pogoji za ekstrem, ne pa zadostni, saj je mogoče navesti druge primere funkcij, za katere so ti pogoji izpolnjeni, vendar funkcija nima ekstrema na ustrezni točki. Zato mora imeti zadostne indikacije, ki omogočajo presojo, ali na določeni kritični točki obstaja ekstrem in kateri - maksimum ali minimum.
Izrek (prvi zadostni kriterij za obstoj ekstrema funkcije). Kritična točka x0 f(x), če odvod funkcije pri prehodu skozi to točko spremeni predznak in če se predznak spremeni iz "plus" v "minus", potem največja točka, in če iz "minusa" v "plus", potem najmanjša točka. .
Če je blizu točke x0 , levo in desno od nje odvod ohrani svoj predznak, to pomeni, da funkcija v neki okolici točke samo pada ali samo narašča x0 . V tem primeru v bistvu x0 ekstrema ni.
Torej, če želite določiti ekstremne točke funkcije, morate narediti naslednje :
- Poiščite odvod funkcije.
- Izenačite odvod na nič in določite kritične točke.
- Miselno ali na papirju označite kritične točke na numerični osi in določite znake odvoda funkcije v nastalih intervalih. Če se predznak odvoda spremeni iz "plus" v "minus", potem je kritična točka največja točka, če pa iz "minus" v "plus", potem je kritična točka najmanjša točka.
- Izračunajte vrednost funkcije v točkah ekstrema.
Primer 2 Poiščite ekstreme funkcije 
.
rešitev. Poiščimo odvod funkcije:
Izenačite odvod na nič, da poiščete kritične točke:
.
Ker za nobeno vrednost "x" imenovalec ni enak nič, potem števec enačimo z nič:
Imam eno kritično točko x= 3. Predznak odvoda določimo v intervalih, ki jih ločuje ta točka:
v območju od minus neskončnosti do 3 - znak minus, to pomeni, da se funkcija zmanjšuje,
v območju od 3 do plus neskončnosti - znak plus, to pomeni, da se funkcija poveča.
To je točka x= 3 je najmanjša točka.
Poiščite vrednost funkcije v točki minimuma:
Tako je najdena točka ekstrema funkcije: (3; 0) , in je točka minimuma.
Izrek (drugi zadostni kriterij za obstoj ekstrema funkcije). Kritična točka x0 je ekstremna točka funkcije f(x), če drugi odvod funkcije na tej točki ni enak nič ( f ""(x) ≠ 0 ), poleg tega, če je drugi odvod večji od nič ( f ""(x) > 0), potem največja točka in če je drugi odvod manjši od nič ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.
Opomba 1. Če v točki x0 tako prvi kot drugi izvod izničita, potem je na tej točki nemogoče soditi o prisotnosti ekstrema na podlagi drugega zadostnega predznaka. V tem primeru morate uporabiti prvi zadostni kriterij za ekstrem funkcije.
Opomba 2. Drugi zadostni kriterij za ekstrem funkcije je prav tako neuporaben, če prvi odvod ne obstaja v stacionarni točki (tedaj tudi drugi odvod ne obstaja). V tem primeru je treba uporabiti tudi prvi zadostni kriterij za ekstrem funkcije.
Lokalna narava ekstremov funkcije
Iz zgornjih definicij sledi, da je ekstrem funkcije lokalne narave - to je največja in najmanjša vrednost funkcije v primerjavi z najbližjimi vrednostmi.
Recimo, da upoštevate svoj zaslužek v časovnem obdobju enega leta. Če ste maja zaslužili 45.000 rubljev, aprila 42.000 rubljev in junija 39.000 rubljev, potem je majski zaslužek maksimum funkcije zaslužka v primerjavi z najbližjimi vrednostmi. Toda oktobra ste zaslužili 71.000 rubljev, septembra 75.000 rubljev in novembra 74.000 rubljev, tako da je oktobrski zaslužek minimum funkcije zaslužka v primerjavi z bližnjimi vrednostmi. In zlahka vidite, da je največ med vrednostmi april-maj-junij manjši od minimuma september-oktober-november.
Na splošno ima lahko funkcija več ekstremov na intervalu in lahko se izkaže, da je kateri koli minimum funkcije večji od katerega koli maksimuma. Torej, za funkcijo, prikazano na zgornji sliki, .
To pomeni, da ne bi smeli misliti, da sta največja in najmanjša vrednost funkcije njena največja in najmanjša vrednost na celotnem obravnavanem segmentu. V točki maksimuma ima funkcija največjo vrednost le v primerjavi s tistimi vrednostmi, ki jih ima v vseh točkah dovolj blizu maksimalne točke, v točki minimuma pa najmanjšo vrednost le v primerjavi s temi vrednostmi. da ima na vseh točkah dovolj blizu minimalne točke.
Zato lahko izboljšamo koncept ekstremnih točk zgoraj navedene funkcije in imenujemo minimalne točke lokalne minimalne točke, maksimalne točke pa lokalne maksimalne točke.
Skupaj iščemo ekstreme funkcije
Primer 3
Rešitev Funkcija je definirana in zvezna na celi številski premici. Njegova izpeljanka 
obstaja tudi na celotni številski premici. Zato v tem primeru kot kritične točke služijo samo tiste, pri katerih , tj. , od kod in . Kritične točke in celotno domeno funkcije razdeli na tri intervale monotonosti: . V vsaki izmed njih izberemo eno kontrolno točko in na tej točki poiščemo predznak odvoda.
Za interval je lahko referenčna točka : najdemo . Ob točki v intervalu, dobimo , In ob točki v intervalu, imamo . Torej, v intervalih in , In v intervalu . Glede na prvi zadostni predznak ekstrema v točki ekstrema ni (ker odvod ohrani predznak v intervalu ), funkcija pa ima v točki minimum (ker odvod pri prehodu spremeni predznak iz minusa v plus skozi to točko). Poiščite ustrezne vrednosti funkcije: , in . V intervalu funkcija pada, saj v tem intervalu , v intervalu pa narašča, saj v tem intervalu.
Za razjasnitev konstrukcije grafa poiščemo točke njegovega presečišča s koordinatnimi osmi. Ko dobimo enačbo, katere korenine in , tj. dve točki (0; 0) in (4; 0) grafa funkcije najdemo. Z uporabo vseh prejetih informacij zgradimo graf (glej na začetku primera).
Za samopreverjanje med izračuni lahko uporabite spletni kalkulator izvedenih finančnih instrumentov .
Primer 4 Poiščite ekstreme funkcije in zgradite njen graf.
Domena funkcije je celotna številska premica, razen točke, tj. .
Za skrajšanje študije lahko uporabimo dejstvo, da je ta funkcija soda, saj 
. Zato je njegov graf simetričen glede na os Oj in študijo je mogoče izvesti samo za interval .
Iskanje izpeljanke 
in kritične točke funkcije:
1) 
;
2) 
,
vendar funkcija na tej točki utrpi prekinitev, zato ne more biti točka ekstrema.
Tako ima dana funkcija dve kritični točki: in . Ob upoštevanju parnosti funkcije preverimo le točko po drugem zadostnem predznaku ekstremuma. Da bi to naredili, poiščemo drugo izpeljanko 
in določi svoj predznak pri : dobimo . Ker in , Potem je najmanjša točka funkcije, medtem ko 
.
Da bi dobili popolnejšo sliko grafa funkcije, poglejmo njeno obnašanje na mejah domene definicije:
(tukaj simbol označuje željo x na nič na desni in x ostaja pozitiven; podobno pomeni aspiracijo x na nič na levi in x ostane negativna). Torej, če , potem . Naprej najdemo
,
tiste. če, potem .
Graf funkcije nima presečišč z osemi. Slika je na začetku primera.
Za samopreverjanje med izračuni lahko uporabite spletni kalkulator izvedenih finančnih instrumentov .
Skupaj nadaljujemo z iskanjem ekstremov funkcije
Primer 8 Poiščite ekstreme funkcije.
rešitev. Poiščite domeno funkcije. Ker mora veljati neenakost, dobimo iz .
Poiščimo prvi odvod funkcije.
Ekstremne funkcije
Definicija 2
Točka $x_0$ se imenuje točka maksimuma funkcije $f(x)$, če obstaja soseska te točke, tako da za vse $x$ iz te soseske velja neenakost $f(x)\le f(x_0 )$ je zadovoljen.
Definicija 3
Točka $x_0$ se imenuje največja točka funkcije $f(x)$, če obstaja soseska te točke, tako da za vse $x$ iz te soseske velja neenakost $f(x)\ge f(x_0) $ je zadovoljen.
Koncept ekstrema funkcije je tesno povezan s konceptom kritične točke funkcije. Naj predstavimo njegovo definicijo.
Definicija 4
$x_0$ se imenuje kritična točka funkcije $f(x)$, če:
1) $x_0$ - notranja točka domene definicije;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ ali ne obstaja.
Za koncept ekstremuma je mogoče oblikovati izreke o zadostnih in nujnih pogojih za njegov obstoj.
2. izrek
Zadosten ekstremni pogoj
Naj bo točka $x_0$ kritična za funkcijo $y=f(x)$ in leži v intervalu $(a,b)$. Naj na vsakem intervalu $\left(a,x_0\right)\ in\ (x_0,b)$ obstaja odvod $f"(x)$ in ohrani konstanten predznak. Potem:
1) Če je na intervalu $(a,x_0)$ odvod $f"\left(x\right)>0$, na intervalu $(x_0,b)$ pa odvod $f"\left(x\ prav)
2) Če je odvod $f"\left(x\right)0$ na intervalu $(a,x_0)$, potem je točka $x_0$ najmanjša točka za to funkcijo.
3) Če je oba na intervalu $(a,x_0)$ in na intervalu $(x_0,b)$ odvod $f"\left(x\right) >0$ ali odvod $f"\left(x \prav)
Ta izrek je prikazan na sliki 1.
Slika 1. Zadosten pogoj za obstoj ekstremov
Primeri ekstremov (slika 2).
Slika 2. Primeri ekstremnih točk
Pravilo za preučevanje funkcije za ekstrem
2) Poiščite odvod $f"(x)$;
7) Sklepajte o prisotnosti maksimumov in minimumov na vsakem intervalu z uporabo izreka 2.
Funkcija naraščajoče in padajoče
Najprej predstavimo definiciji naraščajoče in padajoče funkcije.
Definicija 5
Funkcija $y=f(x)$, definirana na intervalu $X$, se imenuje naraščajoča, če za katero koli točko $x_1,x_2\in X$ za $x_1
Opredelitev 6
Funkcija $y=f(x)$, definirana na intervalu $X$, se imenuje padajoča, če je za katero koli točko $x_1,x_2\in X$ za $x_1f(x_2)$.
Preverjanje funkcije za naraščanje in zmanjševanje
Funkcije za naraščanje in padanje lahko raziščete z uporabo izpeljanke.
Če želite preučiti funkcijo za intervale povečanja in zmanjšanja, morate narediti naslednje:
1) Poiščite domeno funkcije $f(x)$;
2) Poiščite odvod $f"(x)$;
3) Poiščite točke, kjer velja enakost $f"\left(x\right)=0$;
4) Poiščite točke, kjer $f"(x)$ ne obstaja;
5) Na koordinatni premici označi vse najdene točke in domeno dane funkcije;
6) Določite predznak odvoda $f"(x)$ na vsakem nastalem intervalu;
7) Sklep: na intervalih, kjer $f"\left(x\right)0$ funkcija narašča.
Primeri problemov za študij funkcij za naraščanje, padanje in prisotnost ekstremnih točk
Primer 1
Raziščite funkcijo za naraščanje in padanje ter prisotnost točk maksimuma in minimuma: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Ker je prvih 6 točk enakih, jih bomo najprej izžrebali.
1) Domena definicije - vsa realna števila;
2) $f"\levo(x\desno)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\levo(x\desno)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ obstaja na vseh točkah domene definicije;
5) Koordinatna črta:
Slika 3
6) Določite predznak odvoda $f"(x)$ na vsakem intervalu:
\ \. V tem primeru bomo seveda predpostavili, da funkcija f (X ) je definirana na vsaki točki tega intervala.
Največja od vseh vrednosti, ki jih funkcija sprejme pri =f(X) v intervalu [a, b ], imenujemo njegov absolutni maksimum, najmanjši pa njegov absolutni minimum v danem intervalu.
Na primer za funkcijo pri =f (X ) , grafično predstavljeno na sliki 274, je absolutni minimum v intervalu vrednost f (0) = 1, absolutni maksimum pa je vrednost f (6) =5.
Poleg absolutnega maksimuma in absolutnega minimuma v matematiki pogosto govorimo o lokalnih (tj. lokalnih) maksimumu in minimumu.
Pika x = c, ki leži znotraj intervala[a, b ], se imenuje lokalna največja točka funkcije pri =f(X), če za vse vrednosti X, dovolj blizu z,
f (X ) < f (z ) . (1)
Funkcijske vrednosti pri =f(X) v točke njenih lokalnih maksimumov imenujemo lokalni maksimumi te funkcije.
Na primer za funkcijo pri =f(X) , grafično predstavljeno na sliki 274, so lokalne maksimalne točke točke X = 2 in X = 6, sami lokalni maksimumi pa so vrednosti
f (2) = 3 in f (6) = 5.
Na točkah X = 2 in X = 6 funkcija f(X) ima vrednosti večje kot na sosednjih točkah, ki so jim dovolj blizu:
f (2) >f (X ); f (6) > f (X ).
Za funkcijo pri =f(X) , grafično prikazano na sliki 275, bo lokalna največja točka na primer točka x = c . Za vse X , dovolj blizu z ,
f (X ) = f (z ) ,
torej je pogoj (1) izpolnjen.
Pika X = x 1 je tudi lokalna največja točka. Za vse vrednote X , dovolj blizu x 1 f (X ) < f (x 1) če X < x 1 in f (X ) = f (x 1) če X > x ena. Zato tudi v tem primeru f (X ) < f (x ena). In tu je bistvo X = x 2 ne bo več lokalna največja točka. Na njeno levo f (X ) = f (x 2), vendar desno od njega f (X ) > f (x 2). Zato pogoj (1) ni izpolnjen.
Pika x = c, ki leži znotraj intervala[a, b ], se imenuje lokalna minimalna točka funkcije pri =f(X), če za vse vrednosti X, dovolj blizuz,
f (X ) > f (z ) . (2)
Vrednosti funkcije v točkah njenih lokalnih minimumov se imenujejo lokalni minimumi te funkcije.
Na primer za funkcijo pri =f(X) , grafično prikazano na sliki 274, je lokalna minimalna točka točka X = 3, vrednost pa je sam lokalni minimum f (3) = 2.
Za funkcijo, ki je grafično predstavljena na sliki 275, bo lokalna minimalna točka na primer točka X = x 2. Za vse vrednote X , dovolj blizu x 2 , f (X ) = f (x 2) če X < x 2 in f (X ) > f (x 2) če X > x 2. Zato pogoj f (X ) > f (x 2) se izvaja.
Pika x = c , ki smo jo zgoraj označili kot lokalno najvišjo točko, je tudi lokalna minimalna točka. Dejansko za vse točke X , dovolj blizu tega,
f (X ) = f (z ),
in torej formalno neenakost f (X ) > f (z ) izvedel.
Najmanjše in največje točke funkcije f (X ) se imenujejo t skrajne točke to funkcijo. Funkcijske vrednosti f (X ) na skrajnih točkah se imenujejo skrajne vrednosti te funkcije.
Slika 274 prikazuje razliko med absolutnimi in lokalnimi ekstremi. funkcija pri =f(X) , upodobljen na tej sliki, ima na točki X = 2 lokalni maksimum, ki ni absolutni maksimum v intervalu . Enako za bistvo X = 3 ima ta funkcija lokalni minimum, ki ni absolutni minimum v intervalu .
Če je absolutni maksimum funkcije pri =f(X) v intervalu [ a, b ] dosežena v notranji točki tega intervala, potem je ta absolutni maksimum očitno tudi lokalni maksimum (glej npr. sliko 274 v točki X = 6). Lahko pa se zgodi, da ta absolutni maksimum ni dosežen v intervalu [ a, b ], vendar na neki skrajni točki (sl. 276).
Potem to ni lokalni maksimum. To implicira naslednje pravilo za iskanje absolutnega maksimuma funkcije pri =f(X) v intervalu [ a, b ],
1. Poiščite vse lokalne maksimume funkcije pri =f(X) v tem intervalu.
2. Dobljenim vrednostim dodamo vrednosti te funkcije na koncih tega intervala, to je vrednosti f (a ) in f (b ).
Največja od vseh teh vrednosti nam bo dala absolutni maksimum funkcije pri =f(X) v intervalu [ a, b ] . Podobno se najde absolutni minimum funkcije pri =f(X) v intervalu [ a, b ].
Primer. Poiščite vse lokalne ekstreme funkcije pri = x 2 - 2X - 3. Katere so največje in najmanjše vrednosti te funkcije v intervalu?
Preoblikujemo to funkcijo tako, da označimo polni kvadrat:
pri = x 2 - 2X + 1 -4 = (X - 1) 2 - 4.
Zdaj je enostavno izrisati njegov graf. To bo navzgor obrnjena parabola z vrhom v točki (1, -4) (slika 277).
Edina lokalna ekstremna točka je točka X = 1. Na tej točki ima funkcija lokalni minimum, ki je enak -4. Če želite najti največjo in najmanjšo vrednost dane funkcije v intervalu, upoštevajte, da za x = 0 pri = - 3 in kdaj X = 5 pri = 12. Od treh vrednosti -4, -3 in 12 je najmanjša -4, največja pa 12. Tako je najmanjša vrednost (absolutni minimum) te funkcije v intervalu -4; se doseže z X = 1. Največja vrednost (absolutni maksimum) te funkcije v intervalu je 12; se doseže z X = 5.
vaje
1589. Katera od tebi znanih funkcij na celotni številski premici:
a) sploh nimajo lokalnih ekstremov;
b) imajo natanko en lokalni ekstrem;
c) imajo neskončno število lokalnih ekstremov?
V vajah št. 1590-1600 poiščite točke lokalnih ekstremov in lokalne ekstreme samih teh funkcij. Ugotovite, kateri so ekstremi (visoki ali nizki):
Poiščite absolutne ekstreme teh funkcij v navedenih intervalih (št. 1601-1603):
1601. pri = - 2x 2 - 3x - 1 v intervalu | X | < 2.
1602. pri = |x 2 + 5x + 6| v intervalu [- 5, 4].
1603. pri = greh x - cos x v intervalu [- π / 3 , π / 3 ]
1604. Poiščite absolutne ekstreme funkcije
pri = (X - 3) (X - 5)
v intervalih.
