I. Fourierove transformacije.
Definicija 1. funkcija
klical Fourierjeva transformacija funkcije .
Integral je tu razumljen v smislu glavne vrednosti
in se verjame, da obstaja.
Če je absolutno integrabilna funkcija na ℝ, potem, saj 
za je Fourierjeva transformacija (1) smiselna za vsako takšno funkcijo, integral (1) pa konvergira absolutno in enakomerno glede na celotno premico ℝ.
Definicija 2. če 
je Fourierjeva transformacija funkcije
, potem pripadajoči integral
Razumeti v smislu glavnega pomena, se imenuje Fourierjev integral funkcije .
Primer 1 Poiščite Fourierjevo transformacijo funkcije
Dana funkcija je absolutno integrabilna na , res,
Definicija 3. Razumeti v smislu glavne vrednosti integralov
Ustrezno imenovan kosinus- in funkcije sinusne Fourierjeve transformacije .
Ob predpostavki , 
, 
, dobimo delno relacijo, ki nam je že poznana iz Fourierjevih vrst
Kot je razvidno iz razmerij (3), (4),
Formule (5), (6) kažejo, da so Fourierjeve transformacije popolnoma definirane na celotni črti, če so znane le za nenegativne vrednosti argumenta.
Primer 2 Poiščite kosinusno in sinusno Fourierjevo transformacijo funkcije
Kot je prikazano v primeru 1, je dana funkcija absolutno integrabilna na .
Poiščimo njegov kosinus - Fourierjevo transformacijo po formuli (3):
Podobno ni težko najti sinus-Fourierjeve transformacije funkcije f(x) s formulo (4):
Z uporabo primerov 1 in 2 je enostavno preveriti z neposredno zamenjavo, da za f(x) relacija (5) je izpolnjena.
Če je funkcija realna, potem formule (5), (6) v tem primeru pomenijo
Ker sta v tem primeru in realni funkciji na R, kar je razvidno iz njunih definicij (3), (4). Vendar enakost (7) pod pogojem 
dobimo tudi neposredno iz definicije (1) Fourierove transformacije, če upoštevamo, da lahko konjugacijski znak postavimo pod integralni znak. Zadnja ugotovitev nam omogoča sklep, da vsaka funkcija izpolnjuje enakost
Koristno je tudi omeniti, da je if realna in soda funkcija, tj. , potem
če je realna in liha funkcija, tj. , potem
In če je čisto namišljena funkcija, tj. . 
, potem
Upoštevajte, da če je funkcija z realnimi vrednostmi, potem lahko Fourierjev integral zapišemo tudi v obliki
Kje 
Primer 3 
(ob predpostavki 
)
saj poznamo vrednost Dirichletovega integrala
Funkcija, obravnavana v primeru, ni absolutno integrabilna na in njena Fourierjeva transformacija ima diskontinuitete. Dejstvo, da Fourierjeva transformacija absolutno integrabilnih funkcij nima diskontinuitet, kaže naslednje
Lema 1. Če funkcija lokalno integrabilen in absolutno integrabilen na , potem
a) njegovo Fourierjevo transformacijo določeno za katero koli vrednost
b) 
Spomnimo se, da če je realna ali kompleksno vredna funkcija, definirana na odprti množici, potem funkcija klical lokalno integrira na, če kateri pika ima okolico, v kateri je funkcija integrabilna. Zlasti, če je pogoj lokalne integrabilnosti funkcije očitno enakovreden dejstvu, da 
za katerikoli segment.
Primer 4 Poiščite Fourierjevo transformacijo funkcije 
:
Z diferenciranjem zadnjega integrala glede na parameter in nato integracijo po delih ugotovimo, da
oz
pomeni, 
, kjer je konstanta, ki jo z uporabo Euler-Poissonovega integrala najdemo iz relacije
Torej smo ugotovili, da , in hkrati pokazali, da , in 
.
Definicija 4. Pravijo, da funkcija 
, definiran v preluknjani okolici točke , izpolnjuje Dinijeve pogoje v točki, če
a) v točki obstajata obe enostranski meji
b) oba integrala
se popolnoma strinjam.
Absolutna konvergenca integrala 
pomeni absolutno konvergenco integrala vsaj za neko vrednost .
Zadostni pogoji za predstavljivost funkcije s Fourierjevim integralom.
1. izrek.Če je absolutno integrabilen na in lokalno delno zvezna funkcija zadovolji v bistvu Dinijeve pogoje, potem njegov Fourierjev integral konvergira na tej točki in k vrednosti
enaka polovici vsote leve in desne meje vrednosti funkcije na tej točki.
Posledica 1.Če funkcija neprekinjeno, ima na vsaki točki končne enostranske odvode in absolutno integrabilne na , potem se pojavi kot s svojim Fourierjevim integralom
kje 
Fourierjeva transformacija funkcije .
Predstavitev funkcije s Fourierjevim integralom je mogoče prepisati kot:
Komentiraj. Pogoji na funkcijo, formulirani v izreku 1 in posledica 1, zadostujejo, vendar niso nujni za možnost takšne predstavitve.
Primer 5 Funkcijo predstavite kot Fourierjev integral, če
Ta funkcija je liha in zvezna na ℝ, razen točk , , .
Zaradi nenavadnosti in resničnosti funkcije imamo:
in iz enakosti (5) in (10) sledi, da
V točkah kontinuitete funkcije imamo:
Toda funkcija je čudna, torej
saj je integral izračunan v smislu glavne vrednosti.
Funkcija je enakomerna, torej
če , . Za enakost
Ob predpostavki, od tu najdemo
Če vnesemo zadnji izraz za , potem
Če tukaj predpostavimo, najdemo
Če je funkcija z realnimi vrednostmi delno zvezna na katerem koli odseku realne premice, absolutno integrabilna in ima v vsaki točki končne enostranske odvode, potem je v točkah zveznosti funkcije predstavljena kot Fourierjev integral
in na diskontinuitetnih točkah funkcije je treba levo stran enakosti (1) nadomestiti z
Če ima zvezna, absolutno integrabilna funkcija na vsaki točki končne enostranske odvode v vsaki točki, potem v primeru, ko je ta funkcija soda, velja enakost
in v primeru, ko je liha funkcija, enakost
Primer 5'. Funkcijo predstavite kot Fourierjev integral, če:
Ker je zvezna soda funkcija, imamo z uporabo formul (13.2), (13.2’).
S simbolom označujemo integral, ki ga razumemo v smislu glavne vrednosti
Posledica 2.Za katero koli funkcijo ki izpolnjujejo pogoje iz posledice 1, obstajajo vse transformacije , , , in obstajajo enakosti
Ob upoštevanju teh razmerij se pogosto imenuje transformacija (14). inverzna Fourierjeva transformacija in namesto tega napišemo , same enačbe (15) pa imenujemo Formula inverzije Fourierjeve transformacije.
Primer 6 Naj in
Upoštevajte, da če 
, nato za katero koli funkcijo
Vzemimo zdaj funkcijo. Potem
Če vzamemo funkcijo, ki je liho nadaljevanje funkcije 
, na celotni numerični osi, torej
Z uporabo izreka 1 dobimo to
Vse integrale tukaj razumemo v smislu glavne vrednosti,
Če v zadnjih dveh integralih ločimo realne in imaginarne dele, dobimo Laplaceove integrale
Opredelitev . funkcija
se imenuje normalizirana Fourierjeva transformacija.
Opredelitev . Če je normalizirana Fourierjeva transformacija funkcije , potem pripadajoči integral
Normalizirani Fourierjev integral funkcije bomo imenovali .
Upoštevali bomo normalizirano Fourierjevo transformacijo (16).
Za udobje uvajamo naslednji zapis:
(tisti. 
).
V primerjavi s prejšnjim zapisom je to le renormalizacija: Zato nam zlasti razmerja (15) omogočajo sklepati, da
ali, krajše,
Definicija 5. Operator se bo imenoval normalizirana Fourierjeva transformacija, operator pa inverzna normalizirana Fourierjeva transformacija.
V lemi 1 je bilo ugotovljeno, da Fourierjeva transformacija katere koli absolutno integrabilne funkcije na funkciji teži k nič v neskončnosti. Naslednji dve izjavi trdita, da tako kot Fourierjevi koeficienti tudi Fourierjeva transformacija teži k ničli hitreje, čim bolj gladka je funkcija, iz katere je vzeta (v prvem stavku); skupno dejstvo s tem bo, da hitreje ko se funkcija, iz katere je vzeta Fourierjeva transformacija, nagiba k ničli, bolj gladka je njena Fourierjeva transformacija (druga izjava).
Izjava 1(o povezavi med gladkostjo funkcije in hitrostjo padanja njene Fourierove transformacije). če in vse funkcije 
popolnoma integrabilen na , potem:
a) za katero koli 
b) 
Izjava 2(o razmerju med hitrostjo upadanja funkcije in gladkostjo njene Fourierjeve transformacije). Če je lokalno integrabilna funkcija : je takšna, da funkcija popolnoma integrabilen a , potem:
a) Fourierjeva transformacija funkcije spada v razred 
b) obstaja neenakost
Predstavljamo glavne strojne lastnosti Fourierove transformacije.
Lema 2. Naj obstaja Fourierjeva transformacija za funkcije in (oziroma inverzna Fourierjeva transformacija), potem ne glede na števila in obstaja Fourierjeva transformacija (oziroma inverzna Fourierjeva transformacija) in za funkcijo 
, in
(oziroma ).
Ta lastnost se imenuje linearnost Fourierjeve transformacije (inverzna Fourierjeva transformacija).
Posledica. 
.
Lema 3. Fourierjeva transformacija, kot tudi inverzna transformacija, je transformacija ena proti ena na množici zveznih absolutno integrabilnih funkcij na celotni osi, ki imajo v vsaki točki enostranske odvode.
To pomeni, da sta if in dve funkciji navedenega tipa in if 
(oziroma, če 
), nato na celotni osi.
Iz trditve leme 1 lahko dobimo naslednjo lemo.
Lema 4.Če je zaporedje absolutno integrabilnih funkcij 
in absolutno integrabilna funkcija sta takšni, da
potem zaporedje enakomerno na celotni osi konvergira k funkciji .
Preučimo zdaj Fourierjevo transformacijo konvolucij dveh funkcij. Zaradi udobja spremenimo definicijo konvolucije z dodajanjem dodatnega faktorja
2. izrek. Naj bodo torej funkcije in omejene, zvezne in absolutno integrabilne na realni osi
tiste. Fourierjeva transformacija konvolucije dveh funkcij je enaka produktu Fourierjevih transformacij teh funkcij.
Sestavimo zbirno tabelo št. 1 lastnosti normalizirane Fourierove transformacije, uporabne pri reševanju spodnjih problemov.
Tabela #1
| funkcija | Normalizirana Fourierjeva transformacija |
 |
|
 | |
 |
|
 |
|
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 | |
 | |
 |
Z uporabo lastnosti 1-4 in 6 dobimo
Primer 7 Poiščite normalizirano Fourierjevo transformacijo funkcije
Primer 4 je to pokazal
kot da
Glede na lastnost 3 imamo:
Podobno lahko sestavite tabelo št. 2 za normalizirano inverzno Fourierjevo transformacijo:
Tabela številka 2
| funkcija | Normalizirana inverzna Fourierjeva transformacija |
 |
|
| | |
 |
|
 |
|
| |  |
| |  |
| |  |
| | |
| | |
| | |
 |
Kot prej z uporabo lastnosti 1-4 in 6 dobimo to
Primer 8 Poiščite normalizirano inverzno Fourierjevo transformacijo funkcije
Kot izhaja iz primera 6
Ko imamo:
Predstavitev funkcije v obliki
uporabite lastnost 6, ko
Možnosti nalog za poravnavo in grafična dela
1. Poiščite sinusno - Fourierjevo transformacijo funkcije
2. Poiščite sinusno - Fourierjevo transformacijo funkcije
3. Poišči kosinus - Fourierjevo transformacijo funkcije
4. Poišči kosinus - Fourierjevo transformacijo funkcije
5. Poiščite sinusno - Fourierjevo transformacijo funkcije
6. Poišči kosinus - Fourierjeva transformacija funkcije
7. Poiščite sinusno - Fourierjevo transformacijo funkcije
8. Poiščite kosinus - Fourierjevo transformacijo funkcije
9. Poišči kosinus - Fourierovo transformacijo funkcije
10. Poiščite sinusno - Fourierjevo transformacijo funkcije
11. Poiščite sinusno - Fourierjevo transformacijo funkcije
12. Poiščite transformacijo sinusne funkcije
13. Poiščite transformacijo sinusne funkcije
14. Poiščite transformacijo kosinusne funkcije
15. Poiščite transformacijo kosinusne funkcije
16. Poiščite Fourierjevo transformacijo funkcije, če:
17. Poiščite Fourierjevo transformacijo funkcije, če:
18. Poiščite Fourierjevo transformacijo funkcije, če:
19. Poiščite Fourierjevo transformacijo funkcije, če:
20. Poiščite Fourierjevo transformacijo funkcije, če:
21. Poiščite Fourierjevo transformacijo funkcije, če:
22. Poiščite normalizirano inverzno Fourierjevo transformacijo funkcije
z uporabo formule
24. Poiščite normalizirano inverzno Fourierjevo transformacijo funkcije
z uporabo formule
26. Poiščite normalizirano inverzno Fourierjevo transformacijo funkcije
z uporabo formule
28. Poiščite normalizirano inverzno Fourierjevo transformacijo funkcije
z uporabo formule
30. Poiščite normalizirano inverzno Fourierjevo transformacijo funkcije
z uporabo formule
23. Poiščite normalizirano inverzno Fourierjevo transformacijo funkcije
z uporabo formule
25. Poiščite normalizirano inverzno Fourierjevo transformacijo funkcije
z uporabo formule
27. Poiščite normalizirano inverzno Fourierjevo transformacijo funkcije
z uporabo formule
29. Poiščite normalizirano inverzno Fourierjevo transformacijo funkcije
z uporabo formule
31. Poiščite normalizirano inverzno Fourierjevo transformacijo funkcije
z uporabo formule
32. Predstavi funkcijo kot Fourierjev integral
33. Predstavi funkcijo kot Fourierjev integral
34. Predstavi funkcijo kot Fourierjev integral
35. Predstavi funkcijo kot Fourierjev integral
36. Predstavi funkcijo kot Fourierjev integral
37. Predstavi funkcijo kot Fourierjev integral
38. Predstavi funkcijo kot Fourierjev integral
39. Predstavi funkcijo kot Fourierjev integral
40. Predstavi funkcijo kot Fourierjev integral
41. Predstavi funkcijo kot Fourierjev integral
42. Predstavi funkcijo kot Fourierjev integral
43. Funkcijo predstavite kot Fourierjev integral in jo na lih način razširite na interval, če:
44. Funkcijo predstavite kot Fourierjev integral in jo na neparen način nadaljujete na interval if.
Ki so že pošteno siti. In čutim, da je prišel trenutek, ko je čas, da iz strateških zalog teorije izvlečemo novo konzervirano hrano. Ali je mogoče kako drugače razširiti funkcijo v niz? Na primer, da izrazite odsek ravne črte s sinusi in kosinusi? Zdi se neverjetno, toda takšne na videz oddaljene funkcije so primerne
"ponovno združitev". Poleg znanih diplom v teoriji in praksi obstajajo tudi drugi pristopi za razširitev funkcije v vrsto.
V tej lekciji se bomo seznanili s trigonometrično Fourierjevo vrsto, se dotaknili vprašanja njene konvergence in vsote ter seveda analizirali številne primere za razširitev funkcij v Fourierjevo vrsto. Članek sem iskreno želel poimenovati "Fourierjeve serije za telebane", vendar bi bilo to zvito, saj bo reševanje problemov zahtevalo poznavanje drugih delov matematične analize in nekaj praktičnih izkušenj. Zato bo preambula podobna treningu astronavtov =)
Najprej se je treba lotiti študije materialov strani v odlični obliki. Naspani, spočiti in trezni. Brez močnih čustev o zlomljeni šapi hrčka in obsesivnih misli o tegobah življenja akvarijskih rib. Fourierjeva serija z vidika razumevanja ni težka, vendar praktične naloge preprosto zahtevajo večjo koncentracijo pozornosti - v idealnem primeru bi morali popolnoma opustiti zunanje dražljaje. Situacijo otežuje dejstvo, da ni preprostega načina za preverjanje rešitve in odgovora. Torej, če je vaše zdravje podpovprečno, potem je bolje narediti nekaj preprostejšega. Resnica.
Drugič, pred poletom v vesolje je treba preučiti instrumentno ploščo vesoljskega plovila. Začnimo z vrednostmi funkcij, ki jih je treba klikniti na stroju:
Za katero koli naravno vrednoto:
ena) . In pravzaprav sinusoida "utripa" os x skozi vsak "pi":
. V primeru negativnih vrednosti argumenta bo rezultat seveda enak: .
2). A vsi tega niso vedeli. Kosinus "pi en" je enakovreden "utripajoči luči":
Negativni argument ne spremeni primera: 
.
Morda dovolj.
In tretjič, dragi kozmonavtski zbor, morate biti sposobni ... integrirati
.
Zlasti gotovo pripeljite funkcijo pod diferencialnim predznakom
, integrirati po delih
in biti v dobrih odnosih z Newton-Leibnizova formula
. Začnimo s pomembnimi vajami pred poletom. Močno ne priporočam, da ga preskočite, da se pozneje ne boste sploščili v ničelni gravitaciji:
Primer 1
Izračunajte določene integrale
kjer zajema naravne vrednote.
Odločitev: integracija se izvede nad spremenljivko "x" in na tej stopnji se diskretna spremenljivka "en" obravnava kot konstanta. V vseh integralih funkcijo spravimo pod znak diferenciala :
Kratka različica rešitve, ki bi bila dobra za streljanje, izgleda takole:
Navajanje na:
Štiri preostale točke so same. Poskusi se naloge lotiti vestno in integrale uredi na kratek način. Vzorčne rešitve na koncu lekcije.
Po KVALITETNI vadbi smo si nadeli skafandre
in se pripravljam na začetek!
Razširitev funkcije v Fourierjev niz na intervalu
Razmislimo o funkciji, ki definiran
vsaj na intervalu (in morda tudi na večjem intervalu). Če je ta funkcija integrabilna na segmentu, jo je mogoče razširiti v trigonometrijo Fourierjeve vrste:
, kjer so t.i Fourierjevi koeficienti.
V tem primeru se kliče številka obdobje razgradnje, številka pa je razpad razpolovne dobe.
Očitno je v splošnem primeru Fourierjeva vrsta sestavljena iz sinusov in kosinusov: 
Res, napišimo podrobno:
Ničelni člen vrste je običajno zapisan kot .
Fourierjevi koeficienti se izračunajo po naslednjih formulah: 
Povsem dobro razumem, da so novi izrazi še vedno nejasni za začetnike pri preučevanju teme: obdobje razgradnje, pol cikla, Fourierjevi koeficienti in drugi Brez panike, to ni primerljivo z navdušenjem pred vesoljskim sprehodom. Ugotovimo vse v najbližjem primeru, pred izvedbo katerega je logično zastaviti pereča praktična vprašanja:
Kaj morate narediti pri naslednjih nalogah?
Razširite funkcijo v Fourierjev niz. Poleg tega je pogosto treba narisati graf funkcije, graf vsote vrste, delno vsoto, v primeru prefinjenih profesorskih domislic pa narediti še kaj.
Kako razširiti funkcijo v Fourierjev niz?
V bistvu morate najti Fourierjevi koeficienti, to je sestaviti in izračunati tri določeni integrali .
Prepišite splošno obliko Fourierove vrste in tri delovne formule v svoj zvezek. Zelo sem vesel, da se nekaterim obiskovalcem strani pred očmi uresničujejo otroške sanje, da bi postali astronavti =)
Primer 2
Razširi funkcijo v Fourierjev niz na intervalu . Zgradite graf, graf vsote vrste in delne vsote.
Odločitev: prvi del naloge je razširitev funkcije v Fourierjev niz.
Začetek je standarden, ne pozabite zapisati, da:
V tem problemu je ekspanzijska doba, polperioda.
Funkcijo razširimo v Fourierjev niz na interval: 
Z ustreznimi formulami najdemo Fourierjevi koeficienti. Zdaj moramo sestaviti in izračunati tri določeni integrali . Za udobje bom točke oštevilčil:
1) Prvi integral je najpreprostejši, vendar že zahteva oko in oko: 
2) Uporabimo drugo formulo:
Ta integral je dobro znan in jemlje po kosih
: 
Ko se najde uporabljeno metoda spravljanja funkcije pod diferencialni predznak .
Pri obravnavani nalogi je bolj priročno takoj uporabiti formula za integracijo po delih v določenem integralu
:
Nekaj tehničnih opomb. Prvič, po uporabi formule celoten izraz mora biti v velikih oklepajih, saj je pred prvotnim integralom konstanta. Ne izgubimo ga! Oklepaje je mogoče odpreti v katerem koli nadaljnjem koraku, jaz sem to naredil na zadnjem koraku. V prvem "delu" 
izkazujemo izjemno natančnost pri zamenjavi, kot vidite, konstanta ne deluje, meje integracije pa se nadomestijo v produkt. To dejanje je označeno z oglatimi oklepaji. No, integral drugega "kosa" formule vam je dobro znan iz vadbene naloge ;-)
In kar je najpomembneje - končna koncentracija pozornosti!
3) Iščemo tretji Fourierjev koeficient:
Dobimo relativno prejšnjega integrala, ki je tudi integrirano po delih
:
Ta primer je nekoliko bolj zapleten, nadaljnje korake bom komentiral korak za korakom: 
(1) Celoten izraz je v velikih oklepajih.. Nisem hotel izgledati kot dolgočasen, prepogosto izgubijo konstanto.
(2) V tem primeru sem takoj razširil tiste velike oklepaje. Posebna pozornost posvečamo prvemu »kosu«: konstanta kadi ob strani in ne sodeluje pri nadomeščanju meja vključevanja (in) v izdelek. Glede na natrpanost zapisa je ponovno priporočljivo to dejanje označiti v oglatih oklepajih. Z drugim "kosom" 
vse je preprostejše: tukaj se je ulomek pojavil po odprtju velikih oklepajev in konstanta - kot rezultat integracije znanega integrala ;-)
(3) V oglatem oklepaju izvedemo transformacije, v desnem integralu pa nadomestimo limite integracije.
(4) Iz oglatega oklepaja izvlečemo »utripalko«: , nato pa odpremo notranje oklepaje: .
(5) Izbrišemo 1 in -1 v oklepajih in naredimo zadnje poenostavitve.
Končno smo našli vse tri Fourierjeve koeficiente: 
Nadomestite jih v formulo 
:
Ne pozabite ga razdeliti na pol. Na zadnjem koraku se iz vsote izloči konstanta ("minus dva"), ki ni odvisna od "en".
Tako smo dobili razširitev funkcije v Fourierjev niz na intervalu: 
Preučimo vprašanje konvergence Fourierjevega niza. Posebej bom razložil teorijo Dirichletov izrek, dobesedno "na prste", tako da, če potrebujete stroge formulacije, si oglejte učbenik o računu (npr. 2. zvezek Bohana; ali 3. zvezek Fichtenholtza, vendar je v njem težje).
V drugem delu naloge je potrebno narisati graf, graf vsote serije in graf delne vsote.
Graf funkcije je običajen ravna črta na ravnini
, ki je narisana s črno pikčasto črto: 
Ukvarjamo se s seštevkom serije. Kot veste, funkcionalne serije konvergirajo k funkcijam. V našem primeru konstruirana Fourierjeva vrsta 
za katero koli vrednost "x" konvergira k funkciji, prikazani rdeče. Ta funkcija je predmet odmori 1. vrste
v točkah , ampak tudi definiran v njih (rdeče pike na risbi)
Torej: 
. Preprosto je videti, da se izrazito razlikuje od prvotne funkcije, zato v zapisu 
namesto znaka enačaja se uporablja tilda.
Preučimo algoritem, s katerim je priročno sestaviti vsoto serije.
Na osrednjem intervalu Fourierjeva vrsta konvergira k sami funkciji (osrednji rdeči segment sovpada s črno pikčasto črto linearne funkcije).
Zdaj pa se pogovorimo malo o naravi obravnavane trigonometrične ekspanzije. Fourierjeve vrste 
vključuje samo periodične funkcije (konstanto, sinuse in kosinuse), torej vsoto serije 
je tudi periodična funkcija.
Kaj to pomeni v našem konkretnem primeru? In to pomeni, da je vsota serije 
–nujno periodično in rdeči segment intervala se mora neskončno ponavljati na levi in desni.
Mislim, da je sedaj končno postal jasen pomen besedne zveze "obdobje razgradnje". Preprosto povedano, vsakič znova se situacija ponovi.
V praksi običajno zadošča, da prikažemo tri razgradne dobe, kot je prikazano na risbi. No, in več "štorov" sosednjih obdobij - da bo jasno, da se grafikon nadaljuje.
Posebej zanimivi so diskontinuitetne točke 1. vrste
. V takšnih točkah Fourierjeva vrsta konvergira k izoliranim vrednostim, ki se nahajajo točno na sredini "skoka" diskontinuitete (rdeče pike na risbi). Kako najti ordinato teh točk? Najprej poiščemo ordinato "zgornjega nadstropja": za to izračunamo vrednost funkcije na skrajni desni točki osrednje ekspanzijske dobe: . Za izračun ordinate "spodnjega nadstropja" je najlažje vzeti skrajno levo vrednost istega obdobja: 
. Ordinata srednje vrednosti je aritmetična sredina vsote "zgoraj in spodaj": . Lepo je dejstvo, da boste pri gradnji risbe takoj videli, ali je sredina pravilno ali nepravilno izračunana.
Konstruirajmo delno vsoto vrste in hkrati ponovimo pomen izraza "konvergenca". Motiv je znan iz lekcije o vsota številske serije
. Naj podrobneje opišemo naše bogastvo:
Če želite narediti delno vsoto, morate zapisati nič + še dva člana serije. to je
Na risbi je graf funkcije prikazan zeleno in, kot lahko vidite, se precej tesno ovija okoli skupne vsote. Če upoštevamo delno vsoto petih členov serije, bo graf te funkcije še natančneje približal rdeče črte, če je sto členov, potem se bo "zelena kača" dejansko popolnoma združila z rdečimi segmenti, itd. Tako Fourierjeva vrsta konvergira k svoji vsoti.
Zanimivo je, da je vsaka delna vsota neprekinjena funkcija , vendar je skupna vsota serije še vedno diskontinuirana.
V praksi ni neobičajno zgraditi graf delne vsote. Kako narediti? V našem primeru je treba upoštevati funkcijo na segmentu, izračunati njene vrednosti na koncih segmenta in na vmesnih točkah (več točk upoštevate, bolj natančen bo graf). Nato označite te točke na risbi in skrbno narišite graf na periodi, nato pa ga "replicirajte" v sosednje intervale. Kako drugače? Konec koncev je tudi aproksimacija periodična funkcija ... ... njen graf me nekako spominja na enakomeren srčni ritem na zaslonu medicinske naprave.
Seveda ni zelo priročno izvajati konstrukcije, saj morate biti zelo previdni in ohraniti natančnost najmanj pol milimetra. Bom pa razveselil bralce, ki so v nasprotju z risanjem - pri "pravi" nalogi še zdaleč ni vedno potrebno risati, nekje v 50% primerov je treba funkcijo razširiti v Fourierjev niz in to je to.
Po končani risbi opravimo nalogo:
Odgovori: 
Pri številnih nalogah trpi funkcija ruptura 1. vrste prav v obdobju razgradnje:
Primer 3
Razširite funkcijo, podano na intervalu, v Fourierjev niz. Nariši graf funkcije in skupne vsote serije.
Predlagana funkcija je podana po delih (in, pozor, samo na segmentu) in potrpeti ruptura 1. vrste
na točki. Ali je mogoče izračunati Fourierjeve koeficiente? Brez težav. Tako levi kot desni del funkcije sta integrabilna na svojih intervalih, zato je treba integrale v vsaki od treh formul predstaviti kot vsoto dveh integralov. Poglejmo na primer, kako se to naredi za ničelni koeficient:
Izkazalo se je, da je drugi integral enak nič, kar je zmanjšalo delo, vendar ni vedno tako.
Dva druga Fourierjeva koeficienta sta zapisana podobno.
Kako prikazati vsoto serije? Na levem intervalu narišemo odsek ravne črte in na intervalu - odsek ravne črte (odsek osi označite krepko-krepko). To pomeni, da na intervalu razširitve vsota serije sovpada s funkcijo povsod, razen treh "slabih" točk. V točki diskontinuitete funkcije Fourierjeva vrsta konvergira k izolirani vrednosti, ki se nahaja točno na sredini "skoka" diskontinuitete. Ustno ga ni težko videti: leva meja:, desna meja: 
in očitno je ordinata sredine 0,5.
Zaradi periodičnosti vsote je treba sliko "pomnožiti" v sosednje periode, še posebej upodabljati isto stvar na intervalih in . V tem primeru v točkah Fourierjeva vrsta konvergira k srednjim vrednostim.
Pravzaprav tu ni nič novega.
Poskusite to težavo rešiti sami. Približen vzorec likovnega oblikovanja in risanja na koncu lekcije.
Razširitev funkcije v Fourierjev niz na poljubno periodo
Za poljubno raztezno obdobje, kjer je "el" katero koli pozitivno število, se formule za Fourierjev niz in Fourierjeve koeficiente razlikujejo v nekoliko bolj zapletenem argumentu sinusa in kosinusa:
Če , potem dobimo formule za interval, s katerim smo začeli.
Algoritem in principi reševanja problema so popolnoma ohranjeni, vendar se tehnična zapletenost izračunov poveča:
Primer 4
Razširite funkcijo v Fourierjev niz in narišite vsoto. 
Odločitev: pravzaprav analog primera št. 3 z ruptura 1. vrste na točki. V tem problemu je ekspanzijska doba, polperioda. Funkcija je definirana le na polintervalu, vendar to ne spremeni stvari - pomembno je, da sta oba dela funkcije integrabilna.
Razširimo funkcijo v Fourierjev niz:
Ker je funkcija v izvoru diskontinuirana, je treba vsak Fourierjev koeficient očitno zapisati kot vsoto dveh integralov:
1) Prvi integral bom napisal čim bolj podrobno:
2) Previdno pokukajte v površino lune:
Drugi integral jemati po delih
:
Na kaj morate biti zelo pozorni, ko odpremo nadaljevanje rešitve z zvezdico?
Prvič, ne izgubimo prvega integrala 
, kjer takoj izvedemo spraviti pod znak diferenciala
. Drugič, ne pozabite na nesrečno konstanto pred velikimi oklepaji in naj vas znaki ne zmedejo pri uporabi formule 
. Velike oklepaje je navsezadnje bolj priročno odpreti takoj v naslednjem koraku.
Ostalo je stvar tehnike, le premalo izkušenj pri reševanju integralov lahko povzroči težave.
Da, ugledni kolegi francoskega matematika Fourierja niso bili zaman ogorčeni - kako si je drznil razstaviti funkcije v trigonometrične serije?! =) Mimogrede, verjetno vse zanima praktični pomen zadevne naloge. Fourier je sam delal na matematičnem modelu toplotnega prevoda, nato pa so niz, poimenovan po njem, začeli uporabljati za preučevanje številnih periodičnih procesov, ki so v zunanjem svetu očitno nevidni. Zdaj sem se mimogrede ujel pri misli, da ni bilo naključje, da sem graf drugega primera primerjal s periodičnim srčnim ritmom. Zainteresirani se lahko seznanijo s praktično uporabo Fourierjeve transformacije iz virov tretjih oseb. ... Čeprav je bolje, da ne - zapomnili si ga bomo kot Prva ljubezen =)
3) Glede na večkrat omenjene šibke povezave imamo opravka s tretjim koeficientom:
Integracija po delih: 
Najdene Fourierjeve koeficiente nadomestimo v formulo 
, ne da bi pozabili razdeliti ničelni koeficient na polovico:
Narišimo vsoto serije. Na kratko ponovimo postopek: na intervalu zgradimo premico, na intervalu pa premico. Z ničelno vrednostjo "x" postavimo točko na sredino "skoka" vrzeli in "repliciramo" grafikon za sosednja obdobja: 
Na "stičiščih" obdobij bo vsota enaka tudi sredinam "skoka" vrzeli.
pripravljena Opozarjam vas, da je sama funkcija pogojno definirana samo na polintervalu in očitno sovpada z vsoto serije na intervalih
Odgovori:
Včasih je delno dana funkcija zvezna tudi na raztezni periodi. Najenostavnejši primer: 
. Odločitev (Glej Bohanov zvezek 2) je enak kot v prejšnjih dveh primerih: kljub kontinuiteta delovanja
v točki je vsak Fourierjev koeficient izražen kot vsota dveh integralov.
V razpadnem intervalu diskontinuitetne točke 1. vrste in / ali "stičišč" grafa je lahko več (dve, tri in na splošno katera koli dokončno znesek). Če je funkcija integrabilna na vsakem delu, potem je tudi razširljiva v Fourierjevo vrsto. Toda iz praktičnih izkušenj se ne spomnim takšne pločevine. Kljub temu obstajajo težje naloge, kot smo jih le obravnavali, na koncu članka pa so za vse povezave do Fourierjevih vrst povečane kompleksnosti.
Medtem pa se sprostimo, naslonimo se na stole in opazujmo neskončna prostranstva zvezd:
Primer 5
Razširite funkcijo v Fourierjev niz na intervalu in narišite vsoto niza.
V tej nalogi funkcija neprekinjeno na dekompozicijski polinterval, kar poenostavi rešitev. Vse je zelo podobno primeru št. 2. Iz vesoljske ladje ni pobega - odločiti se morate =) Približen vzorec oblikovanja na koncu lekcije, urnik je priložen.
Razširitev sodih in lihih funkcij v Fourierjev niz
S sodimi in lihimi funkcijami je postopek reševanja problema opazno poenostavljen. In zato. Vrnimo se k razširitvi funkcije v Fourierjev niz na periodo "dva pi" 
in poljubna pika "dva ala" 
.
Predpostavimo, da je naša funkcija soda. Splošni člen niza, kot lahko vidite, vsebuje sode kosinuse in lihe sinuse. In če dekompoziramo SODO funkcijo, zakaj potem potrebujemo lihe sinuse?! Ponastavimo nepotreben koeficient: .
torej soda funkcija se razširi v Fourierjev niz le v kosinusih:
Zaradi integrali sodih funkcij nad segmentom integracije, ki je simetričen glede na nič, se lahko podvoji, potem se poenostavijo tudi preostali Fourierjevi koeficienti.
Za razpon: 
Za poljuben interval: 
Primeri učbenikov, ki jih najdemo v skoraj vseh učbenikih računanja, vključujejo razširitve sodih funkcij 
. Poleg tega so se večkrat srečali v moji osebni praksi:
Primer 6
Glede na funkcijo. Zahtevano:
1) razširite funkcijo v Fourierjev niz s periodo , kjer je poljubno pozitivno število;
2) zapišite razširitev na interval , zgradite funkcijo in narišite graf skupne vsote niza .
Odločitev: v prvem odstavku je predlagana rešitev problema na splošen način in to je zelo priročno! Pojavila se bo potreba - samo nadomestite svojo vrednost.
1) V tem problemu je ekspanzijska doba, polperioda. Med nadaljnjimi dejanji, zlasti med integracijo, se "el" šteje za konstanto
Funkcija je soda, kar pomeni, da se razširi v Fourierjev niz le v kosinusih: 
.
Fourierjeve koeficiente iščemo po formulah 
. Bodite pozorni na njihove absolutne prednosti. Najprej se integracija izvede preko pozitivnega segmenta razširitve, kar pomeni, da se varno znebimo modula 
, upoštevajoč samo "x" iz dveh kosov. In drugič, integracija je opazno poenostavljena.
dva: 
Integracija po delih:
Torej:
, medtem ko je konstanta , ki ni odvisna od "en", odvzeta iz vsote.
Odgovori: 
2) Razširitev zapišemo na interval, za to zamenjamo želeno vrednost polčasa v splošno formulo:
Eno izmed močnih orodij za preučevanje problemov matematične fizike je metoda integralnih transformacij. Naj bo funkcija f(x) definirana na intervalu (a, 6), končnem ali neskončnem. Integralna transformacija funkcije f (x) je funkcija, kjer je K (x, w) funkcija, določena za dano transformacijo, imenovano jedro transformacije (predpostavlja se, da integral (*) obstaja v svojem pravem ali nepravem pomenu ). §ena. Fourierjev integral Vsako funkcijo f(x), ki na odseku [-f, I] izpolnjuje pogoje razširitve v Fourierjev niz, lahko na tem odseku predstavimo s trigonometričnim nizom. : Fourierjeva transformacija Fourierjev integral Kompleksna integralna oblika Fourierjeva transformacija Kosinusne in sinusne transformacije Amplitudni in fazni spektri Lastnosti uporabe Serijo na desni strani enačbe (1) lahko zapišemo v drugačni obliki. V ta namen vanj uvedemo iz formul (2) vrednosti koeficientov a» in op, pri čemer vključimo integrale cos ^ x in sin x (kar je mogoče, saj je integracijska spremenljivka m) O) in uporabimo formula za kosinus razlike. Imeli bomo Če je bila funkcija /(x) prvotno definirana na intervalu numerične osi, ki je večji od intervala [-1,1] (na primer na celotni osi), potem bo razširitev (3) reproducirala vrednosti te funkcije le na intervalu [-1, 1] in se nadaljuje na celotni realni osi kot periodična funkcija s periodo 21 (slika 1). Torej, če je funkcija f(x) (na splošno neperiodična) definirana na celotni realni osi, lahko v formuli (3) poskusimo preiti na limito kot I + oo. V tem primeru je naravno zahtevati, da so izpolnjeni naslednji pogoji: 1. f(x) izpolnjuje pogoje razširitve v Fourierjev niz na katerem koli končnem segmentu osi Ox\ 2. funkcija f(x) je absolutna integrirna na celotni realni osi (3) teži k ničli, ko I -* + oo. Dejansko, poskusimo ugotoviti, do česa bo šla vsota na desni strani (3) v limiti kot I + oo. Predpostavimo, da bo potem vsota na desni strani (3) dobila obliko. Zaradi absolutne konvergence integrala se ta vsota za veliko I malo razlikuje od izraza, ki je podoben integralni vsoti za funkcijo spremenljivka £, sestavljena za interval (0, + oo) spremembe. Zato je naravno pričakovati, da za , vsota (5) preide na integral С Po drugi strani pa za fiksno) sledi iz formule (3 ), da dobimo tudi enakost. Zadostni pogoj za veljavnost formule (7) je izražen z naslednjim izrekom. Izrek 1. Če je funkcija f(x) absolutno integrabilna na celotni realni osi in ima skupaj z odvodom končno število diskontinuitetnih točk prve vrste na katerem koli odseku [a, 6], potem te vrste funkcije /(x) je vrednost integrala na desni strani (7) enaka formuli (7) se imenuje Fourierjeva integralska formula, integral na njeni desni strani pa se imenuje Fourierov integral. Če uporabimo formulo za dan kosinusa razlike, lahko formulo (7) zapišemo kot Funkciji a(t), b(t) sta analoga ustreznih Fourierjevih koeficientov an in bn 2n-periodičnega sistema. funkcija, vendar so slednje definirane za diskretne vrednosti n, medtem ko so a(0> HO definirane za zvezne vrednosti G(-oo, +oo). Kompleksna oblika Fourierjevega integrala Ob predpostavki f(x) da je absolutno integrabilen na celotni osi x, menimo, da je integral , očitno liha funkcija od Toda potem je po drugi strani integral soda funkcija spremenljivke, tako da je torej lahko Fourierjevo integralsko formulo zapisano takole : Pomnožimo enakost z imaginarno enoto i in prištejmo k enačbi (10). To je kompleksna oblika Fourierjevega integrala. Tu je zunanja integracija po t razumljena v smislu Cauchyjeve glavne vrednosti: § 2 Fourierjeva transformacija Kosinusna in sinusna Fourierjeva transformacija Naj func Premica f(x) je delno gladka na poljubnem končnem segmentu osi x in absolutno integrabilna na celotni osi. Opredelitev. Funkcijo, od koder bomo na podlagi Eulerjeve formule dobili, se imenuje Fourierjeva transformacija funkcije f(r) (spektralna funkcija). To je integralna transformacija funkcije / (r) na intervalu (-oo, + oo) z jedrom. Z uporabo formule Fourierovega integrala dobimo To je tako imenovana inverzna Fourierjeva transformacija, ki daje prehod iz F (t) do / (x). Včasih je direktna Fourierjeva transformacija podana takole: Potem je inverzna Fourierjeva transformacija določena s formulo. Fourierjeva transformacija funkcije /(g) je definirana tudi takole: FOURIEROVA TRANSFORMACIJA Fourierov integral Kompleksna oblika integralne Fourierove transformacije Kosinus in sinus transformacije Amplitudni in fazni spekter Uporabne lastnosti Nato pa V tem primeru je položaj faktorja ^ precej poljuben: lahko vnese formulo (1") ali formulo (2"). Primer 1. Poiščite Fourierjevo transformacijo funkcije -4 Imamo. Ta enakost dopušča diferenciacijo glede na £ pod integralnim predznakom (integral, dobljen po diferenciaciji, enakomerno konvergira, ko ( pripada kateremu koli končnemu segmentu): Integracija po delih, bomo imeli dobimo od kje (C je konstanta integracije). Če v (4) nastavimo £ = 0, dobimo С = F(0). Na podlagi (3) imamo Znano je, da Zlasti za) dobimo to Oglejmo si funkcijo 4. Za spektre oyu funkcije F(t) dobimo torej (sl. 2). Pogoj absolutne integrabilnosti funkcije f(x) na celotni realni osi je zelo strog. Izključuje na primer tako elementarne funkcije, kot je f(x) = e1, za katere Fourierjeva transformacija (v klasični obliki, obravnavani tukaj) ne obstaja. Samo tiste funkcije imajo Fourierjevo transformacijo, ki težijo k ničli dovolj hitro za |x| -+ +oo (kot v primerih 1 in 2). 2.1. Kosinusna in sinusna Fourierjeva transformacija Z uporabo kosinusne formule razlika prepišemo Fourierjevo integralsko formulo v naslednji obliki: Naj bo f(x) soda funkcija. Potem, tako da imamo iz enakosti (5) V primeru lihega f(x) podobno dobimo Če je f(x) podan samo na (0, -foo), potem formula (6) razširi f(x) na celotno os Ox sodo, formula (7) pa liho. (7) Opredelitev. Funkcija se imenuje kosinusna Fourierjeva transformacija funkcije f(x). Iz (6) sledi, da za sodo funkcijo f(x) To pomeni, da je f(x) kosinusna transformacija za Fc(t). Z drugimi besedami, funkciji / in Fc sta medsebojni kosinusni transformaciji. Opredelitev. Funkcija se imenuje sinusna Fourierjeva transformacija funkcije f(x). Iz (7) dobimo, da je za liho funkcijo f(x), tj. f in Fs sta medsebojni sinusni transformaciji. Primer 3 (pravokotni impulz). Naj bo f(t) soda funkcija, definirana kot sledi: (slika 3). Uporabimo dobljeni rezultat za izračun integrala. Na podlagi formule (9) imamo Slika 3 0 0 V točki t = 0 je funkcija f(t) zvezna in enaka ena. Zato iz (12") dobimo 2.2. Amplitudni in fazni spekter Fourierjevega integrala Naj periodično funkcijo f(x) s periodo 2m razširimo v Fourierjev niz. To enakost lahko zapišemo v obliki pridemo do pojmov amplitudnega in faznega spektra periodične funkcije Za neperiodično funkcijo f(x), podano na (-oo, +oo), se pod določenimi pogoji izkaže, da jo je mogoče predstaviti s Fourierjevim integralom, ki se razširi ta funkcija po vseh frekvencah (razširitev v zveznem frekvenčnem spektru Definicija Spektralna funkcija ali spektralna gostota Fourierjevega integrala je izraz (direktna Fourierjeva transformacija funkcije f se imenuje amplitudni spekter, funkcija Ф ") \u003d -argSfc) je fazni spekter funkcije / ("). Amplitudni spekter A(t) služi kot merilo prispevka frekvence t k funkciji /(x). Primer 4. Poiščite amplitudni in fazni spekter funkcije 4 Poiščite spektralno funkcijo Od tukaj Grafi teh funkcij so prikazani na sl. 4. §3. Lastnosti Fourierove transformacije 1. Linearnost. Če sta in G(0) Fourierjevi transformaciji funkcij f(x) oziroma q(x), potem bo za katero koli konstanto a in p Fourierjeva transformacija funkcije a f(x) + p g(x) funkcija a Z uporabo lastnosti linearnosti integrala imamo. Torej je Fourierjeva transformacija linearni operator. Če jo označimo z, bomo zapisali. Če je F(t) Fourierjeva transformacija funkcije f(x), ki je absolutno integrabilna na celotnem realnem osi, potem je F(t) omejena za vse. Naj bo funkcija f(x) absolutno integrabilna na celotni osi - Fourierjeva transformacija funkcije f (x). Potem je 3 "flts J. Naj bo f (x) funkcija, katere toleranca je Fourierjeva transformacija, L je število lastnosti.Funkcija fh (x) \u003d f (z-h) se imenuje premik funkcije f(x).Uporaba definicije Fourierjeve transformacije , pokaži, da Problem. Naj ima funkcija f(z) Fourierjevo transformacijo F(0> h je realno število. Pokaži, da 3. Fourierjeva transformacija in diferenciacijska ooeresis. Naj ima absolutno integrabilna funkcija f (x) odvod f " (x), ki je prav tako absolutno integrabilna na celotni osi Oh, torej se /(n) nagiba k ničli kot |x| -» +oo. Če predpostavimo, da je f "(x) gladka funkcija, pišemo Integriranje po delih, imamo člen zunaj integrala izničen (ker in dobimo. Tako diferenciacija funkcije / (x) ustreza množenju njenega Fourierja slika ^ P /] s faktorjem. Če ima funkcija f (x) gladke absolutno intetabilne odvode do vključno m in vse te, tako kot sama funkcija f(x), težijo k ničli in nato, integrirajo po delih zahtevano število krat, dobimo Fourierjevo transformacijo, ki je zelo uporabna prav zato, ker nadomešča operacijo diferenciacije z operacijo množenja z vrednostjo in s tem poenostavlja problem integracije nekaterih vrst diferencialnih enačb. Ker je Fourierjeva transformacija absolutno integrabilna funkcija f^k\x) je omejena funkcija od (lastnost 2), iz relacije (2) dobimo naslednjo oceno za : Fourierjeva transformacija Fourierjev integral Kompleksna integralna oblika Fourierjeva transformacija Kosinusna in sinusna transformacija Amplitudni in fazni spektri Uporabne lastnosti Iz te ocene s sledi: več ko ima funkcija f(x) absolutno integrabilnih odvodov, hitreje se njena Fourierjeva transformacija nagiba k ničli pri. Komentiraj. Pogoj je povsem naraven, saj se običajna teorija Fourierjevih integralov ukvarja s procesi, ki imajo tako ali drugače začetek in konec, vendar se ne nadaljujejo v nedogled s približno enako intenzivnostjo. 4. Razmerje med hitrostjo upadanja funkcije f(x) za |z| -» -f oo in gladkost njegove transformacije Fourm. Predpostavimo, da je ne samo /(x), ampak tudi njegov produkt xf(x) absolutno integrabilna funkcija na celotni x-osi. Potem bo Fourierjeva transformacija) diferenciabilna funkcija. Dejansko formalna diferenciacija glede na parameter £ integranda vodi do integrala, ki je absolutno in enakomerno konvergenten glede na parameter. Če so skupaj s funkcijo f(x) funkcije absolutno integrabilne na celotni osi Ox, potem lahko proces diferenciacije nadaljujemo. Dobimo, da ima funkcija odvode do vključno m in Torej, hitreje kot funkcija f(x) pada, bolj gladka je funkcija Izrek 2 (o svedru). Naj sta Fourierjevi transformaciji funkcij /,(x) oziroma f2(x). Potem dvojni integral na desni strani absolutno konvergira. Postavimo x. Potem bomo imeli ali, spremenimo vrstni red integracije, Funkcijo imenujemo konvolucija funkcij in je označena s simbolom Formulo (1) lahko zdaj zapišemo takole: Od tu je jasno, da je Fourierjeva transformacija konvolucije funkcije f \ produkt Fourierjevih transformacij zložljivih funkcij, Op. Enostavno je ugotoviti naslednje lastnosti konvolucije: 1) linearnost: 2) komutativnost: §4. Uporaba Fourierjeve transformacije 1. Naj je Р(^) linearni diferencialni operator reda m s konstantnimi koeficienti. y(x) ima Fourierjevo transformacijo y (O. in funkcija f(x) ima transformacijo /(t) Če na enačbo (1) uporabimo Fourierjevo transformacijo, dobimo namesto diferencialne algebraične enačbe na osi glede na od koder tako, da formalno kjer simbol označuje inverzno Fourierjevo transformacijo Glavna omejitev uporabnosti te metode je povezana z naslednjim dejstvo: Rešitev navadne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti vsebuje funkcije oblike< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и
