Konveksni štirikotnik je lik, sestavljen iz štirih strani, ki so med seboj povezane v ogliščih in skupaj s stranicami tvorijo štiri kote, medtem ko je sam štirikotnik vedno v isti ravnini glede na premico, na kateri leži ena od njegovih stranic. Z drugimi besedami, celotna figura je na eni strani katere koli strani.
V stiku z
Kot lahko vidite, si je definicijo precej enostavno zapomniti.
Osnovne lastnosti in vrste
Skoraj vse znane figure, sestavljene iz štirih vogalov in stranic, lahko pripišemo konveksnim štirikotnikom. Razlikujemo lahko naslednje:
- paralelogram;
- kvadrat;
- pravokotnik;
- trapez;
- romb.
Vse te figure ne združuje le dejstvo, da so štirikotne, ampak tudi dejstvo, da so tudi konveksne. Samo poglejte diagram:
Slika prikazuje konveksni trapez. Tukaj lahko vidite, da je trapez na isti ravnini ali na eni strani segmenta. Če izvedete podobna dejanja, lahko ugotovite, da je na vseh drugih straneh trapez konveksen.
Ali je paralelogram konveksen štirikotnik?
Zgoraj je slika paralelograma. Kot je razvidno iz slike, paralelogram je tudi konveksen. Če pogledate sliko glede na črte, na katerih ležijo segmenti AB, BC, CD in AD, postane jasno, da je vedno na isti ravnini od teh črt. Glavne značilnosti paralelograma so, da so njegove stranice po parih vzporedne in enake, tako kot so nasprotni koti med seboj enaki.
Zdaj pa si predstavljajte kvadrat ali pravokotnik. Po svojih glavnih lastnostih so tudi paralelogrami, to je, da so vse njihove stranice razporejene v parih vzporedno. Samo pri pravokotniku je lahko dolžina stranic različna, koti pa pravi (enaki 90 stopinj), kvadrat je pravokotnik, v katerem so vse stranice enake in so tudi koti pravi, medtem ko so dolžine stranice in koti paralelograma so lahko različni.
Kot rezultat, vsota vseh štirih vogalov štirikotnika mora biti enako 360 stopinj. To najlažje ugotovimo s pravokotnikom: vsi štirje vogali pravokotnika so pravi, torej enaki 90 stopinjam. Vsota teh 90-stopinjskih kotov daje 360 stopinj, z drugimi besedami, če štirikrat dodate 90 stopinj, dobite želeni rezultat.
Lastnost diagonal konveksnega štirikotnika
Diagonali konveksnega štirikotnika se sekata. Dejansko je ta pojav mogoče opazovati vizualno, samo poglejte sliko:
Slika na levi prikazuje nekonveksni štirikotnik ali štirikotnik. Kot želiš. Kot lahko vidite, se diagonali ne sekata, vsaj ne vse. Na desni strani je konveksen štirikotnik. Tu je že opažena lastnost diagonal, da se sekajo. Ista lastnost se lahko šteje za znak konveksnosti štirikotnika.
Druge lastnosti in znaki konveksnosti štirikotnika
Natančneje, glede na ta izraz je zelo težko poimenovati kakršne koli posebne lastnosti in značilnosti. Lažje je izolirati glede na različne vrste štirikotnikov te vrste. Lahko začnete s paralelogramom. Vemo že, da je to štirikotnik, katerega stranice so po paru vzporedne in enake. Hkrati to vključuje tudi lastnost diagonal paralelograma, da se med seboj sekajo, pa tudi znak konveksnosti samega lika: paralelogram je vedno v isti ravnini in na eni strani glede na katerokoli njenih strani.
Torej, znane so glavne značilnosti in lastnosti:
- vsota kotov štirikotnika je 360 stopinj;
- diagonale figur se sekajo v eni točki.
Pravokotnik. Ta številka ima vse enake lastnosti in značilnosti kot paralelogram, vendar so vsi njeni koti enaki 90 stopinj. Od tod tudi ime, pravokotnik.
Kvadrat, enak paralelogram, vendar so njegovi vogali pravi, kot pravokotnik. Zaradi tega se kvadrat redko imenuje pravokotnik. Toda glavna značilnost kvadrata, poleg že naštetih, je, da so vse štiri njegove strani enake.
Trapez je zelo zanimiva figura.. Tudi to je štirikotnik in tudi konveksen. V tem članku je bil trapez že obravnavan na primeru risbe. Jasno je, da je tudi konveksna. Glavna razlika in s tem znak trapeza je v tem, da njegove stranice po dolžini ne morejo biti popolnoma drugačne, kot tudi po vrednosti njegovih kotov. V tem primeru lik vedno ostane na isti ravnini glede na katero koli od ravnih črt, ki povezujeta kateri koli dve njeni točki vzdolž segmentov, ki tvorijo lik.
Romb je prav tako zanimiva figura. Delno se romb lahko šteje za kvadrat. Znak romba je dejstvo, da se njegove diagonale ne le sekajo, ampak tudi delijo vogale romba na polovico, same diagonale pa se sekajo pod pravim kotom, torej so pravokotne. Če sta dolžini strani romba enaki, se tudi diagonali na presečišču razdelita na pol.
Deltoidi ali konveksni romboidi (rombi) imajo lahko različne dolžine stranic. Toda hkrati so še vedno ohranjene glavne lastnosti in značilnosti samega romba ter lastnosti in lastnosti konveksnosti. To pomeni, da lahko opazimo, da diagonali razpolovita vogale in se sekata pod pravim kotom.
Današnja naloga je bila razmisliti in razumeti, kaj so konveksni štirikotniki, kaj so in njihove glavne značilnosti in lastnosti. Pozor! Še enkrat se je treba spomniti, da je vsota kotov konveksnega štirikotnika 360 stopinj. Obseg figur je na primer enak vsoti dolžin vseh segmentov, ki tvorijo figuro. Formule za izračun obsega in površine štirikotnikov bodo obravnavane v naslednjih člankih.
Vrste konveksnih štirikotnikov
Konveksna množica točk na ravnini.
Množica točk v ravnini ali v tridimenzionalnem prostoru se imenuje konveksen, če lahko katerikoli dve točki te množice povežemo z odsekom, ki v celoti leži v tej množici.
1. izrek. Presečišče končnega števila konveksnih množic je konveksna množica.
Posledica. Presečišče končnega števila konveksnih množic je konveksna množica.
kotne točke.
Mejno točko konveksne množice imenujemo kotni, če je mogoče skozenj narisati odsek, katerega vse točke ne pripadajo dani množici.
Množice različnih oblik imajo lahko končno ali neskončno število kotnih točk.
Konveksni poligon.
Poligon klical konveksen, če leži na eni strani vsake črte, ki poteka skozi njeni dve sosednji oglišči.
Izrek: Vsota kotov konveksnega n-kotnika je 180˚ *(n-2)
6) Reševanje sistemov m linearnih neenačb z dvema spremenljivkama
Podan je sistem m linearnih neenačb z dvema spremenljivkama
Predznaki nekaterih ali vseh neenačb so lahko ≥.
Razmislite o prvi neenakosti v koordinatnem sistemu X1OX2. Zgradimo ravno črto
ki je mejna črta.
Ta premica deli ravnino na dve polravnini 1 in 2 (slika 19.4).
Polravnina 1 vsebuje izhodišče, polravnina 2 ne vsebuje izhodišča.
Če želite ugotoviti, na kateri strani mejne črte se nahaja določena polravnina, morate vzeti poljubno točko na ravnini (bolje, izvor) in koordinate te točke nadomestiti v neenakosti. Če neenakost drži, potem je polravnina obrnjena proti tej točki, če ne drži, pa v nasprotni smeri od točke.
Smer polravnine na slikah je prikazana s puščico.
Definicija 15. Rešitev vsake neenačbe sistema je polravnina, ki vsebuje mejno črto in se nahaja na eni strani od nje.
Definicija 16. Presečišče polravnin, od katerih je vsaka določena z ustrezno neenakostjo sistema, se imenuje območje rešitve sistema (SR).
Definicija 17. Območje rešitve sistema, ki izpolnjuje pogoje nenegativnosti (xj ≥ 0, j =), se imenuje območje nenegativnih ali dopustnih rešitev (ODS).
Če je sistem neenačb konsistenten, sta lahko OP in ODE polieder, neomejeno poliedrsko območje ali ena točka.
Če je sistem neenačb nekonsistenten, sta OR in ODR prazna množica.
Primer 1
rešitev. Poiščimo ALI prve neenačbe: x1 + 3x2 ≥ 3. Konstruirajmo mejno črto x1 + 3x2 - 3 = 0 (slika 19.5). Koordinate točke (0,0) nadomestimo v neenačbo: 1∙0 + 3∙0 > 3; ker ji koordinate točke (0,0) ne zadoščajo, je rešitev neenačbe (19.1) polravnina, ki ne vsebuje točke (0,0).
Podobno najdemo rešitve preostalih neenačb sistema. Dobimo, da je OP in ODE sistema neenačb konveksni polieder ABCD.
Poiščite kotne točke poliedra. Točka A je definirana kot točka presečišča črt
Če rešimo sistem, dobimo A(3/7, 6/7).
Točko B najdemo kot presečišče premic
Iz sistema dobimo B(5/3, 10/3). Podobno najdemo koordinate točk C in D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Primer 2. Poiščite OR in ODR sistema neenačb
rešitev. Konstruirajmo premice in določimo rešitve neenačb (19.5)-(19.7). OR in ODR sta neomejeni poliedrski območji ACFM oziroma ABDEKM (slika 19.6).
Primer 3. Poiščite OR in ODR sistema neenačb
rešitev. Najdemo rešitve neenačb (19.8)-(19.10) (slika 19.7). OP predstavlja neomejeno poliedrsko regijo ABC; ODR - točka B.
Primer 4. Poiščite OP in ODS sistema neenačb
rešitev. Ko smo zgradili ravne črte, najdemo rešitve neenakosti sistema. OR in ODR sta nezdružljiva (slika 19.8).
VAJE
Poiščite OR in ODR sistemov neenačb
Izrek. Če je xn ® a, potem .
Dokaz. Iz xn ® a sledi, da . Ob istem času:
Tisti. , tj. . Izrek je dokazan.
Izrek. Če je xn ® a, je zaporedje (xn) omejeno.
Opozoriti je treba, da obratna trditev ne drži, tj. omejenost zaporedja ne implicira njegove konvergence.
Na primer, zaporedje nima omejitev, čeprav
Razširitev funkcij v potenčne vrste.
Razširitev funkcij v potenčnem nizu je velikega pomena za reševanje različnih problemov preučevanja funkcij, diferenciacije, integracije, reševanja diferencialnih enačb, računanja limitov, izračunavanja približnih vrednosti funkcije.
Skupno dobimo:
Razmislite o načinu za razširitev funkcije v niz z uporabo integracije.
S pomočjo integracije je možno v vrsto razširiti takšno funkcijo, za katero je znana ali zlahka najdena razširitev v vrsto njenega derivata.
Poiščemo diferencial funkcije in ga integriramo v območju od 0 do x.
Ravna figura, ki jo tvori sklenjena serija ravnih odsekov, se imenuje mnogokotnik. Na sl. 1 upodobljen šesterokotnik ABCDEF. točke AMPAK, AT, OD, D, E, F - oglišča poligona; za njih (vogali mnogokotnika) so označeni ∠A, ∠B, ∠C, …, ∠F. Oddelki: AC, AD, BITI itd. - diagonale, AB; sonce, CD itd. - stranice poligona; vsota stranskih dolžin AB + sonce + CD + … + FA klical obseg in označeno R, in včasih 2p(potem R - polobod).
Samo v elementarni geometriji preprosto poligoni, torej tisti, katerih kontura nima samopresečišč.
Mnogokotniki, katerih kontura ima samopresečišča, se imenujejo zvezdasti poligoni. Slika 2 prikazuje zvezdasti poligon ABCDE.
sl.2
Če vse diagonale mnogokotnika ležijo znotraj njega, se imenuje mnogokotnik konveksen.
Šesterokotnik na sliki 1 je konveksen; peterokotnik na sliki 3 ni konveksen (diagonala EC leži zunaj poligona).
sl.3
Vsota notranjih kotov v katerem koli konveksnem mnogokotniku je 180° ( n-2), kje n- število stranic mnogokotnika*.
* V učbenikih geometrije je ta lastnost običajno izražena samo za konveksne mnogokotnike. Vendar velja za vse preproste mnogokotnike. Vendar velja za vse preproste mnogokotnike. Upoštevati je treba, da v nekonveksnem mnogokotniku eden ali več notranjih kotov presega 180°. Torej, v nekonveksnem peterokotniku, prikazanem na sliki 3, sta dva kota prava, dva kota imata vsak po 45°, eden pa 270°. Vsota kotov je 180° (5-2)=540°.
Geometrijski lik, sestavljen iz odsekov AB, BC, CD, .., EF, FA tako, da sosednji odseki ne ležijo na eni premici, nesosednji odseki pa nimajo skupnih točk, imenujemo mnogokotnik. Konci teh segmentov, točke A, B, C, D, ..., E, F se imenujejo vrhovi mnogokotnik in same odseke AB, BC, CD, .., EF, FA - stranke mnogokotnik.
Mnogokotnik je konveksen, če je na eni strani vsake premice, ki poteka skozi dve njegovi sosednji oglišči. Spodnja slika prikazuje konveksni mnogokotnik:
In naslednja slika ponazarja nekonveksni mnogokotnik:
Kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki ga tvorijo stranice tega mnogokotnika, ki se stekajo v danem oglišču. Zunanji kot konveksnega mnogokotnika pri nekem oglišču je kot, ki meji na notranji kot mnogokotnika pri danem oglišču.
Izrek: Vsota kotov konveksnega n-kotnika je 180˚ *(n-2)
Dokaz: razmislite o konveksnem n-kotniku. Da bi našli vsoto vseh notranjih kotov, povežemo eno od oglišč mnogokotnika z drugimi oglišči.
Kot rezultat dobimo (n-2) trikotnika. Vemo, da je vsota kotov trikotnika 180 stopinj. In ker je njihovo število v mnogokotniku (n-2), je vsota kotov mnogokotnika 180˚ *(n-2). To je bilo treba dokazati.
Naloga:
Poiščite vsoto kotov konveksnega a) peterokotnika b) šesterokotnika c) deseterokotnika.
Uporabimo formulo za izračun vsote kotov konveksnega n-kotnika.
a) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.
b) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.
c) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.
Odgovor: a) 540˚. b) 720˚. c) 1440˚.
V tej lekciji bomo začeli novo temo in predstavili nov koncept za nas - "poligon". Ogledali si bomo osnovne pojme, povezane s poligoni: stranice, oglišča, vogali, konveksnost in nekonveksnost. Nato bomo dokazali najpomembnejša dejstva, kot so izrek o vsoti notranjih kotov mnogokotnika, izrek o vsoti zunanjih kotov mnogokotnika. Posledično se bomo približali študiju posebnih primerov mnogokotnikov, ki jih bomo obravnavali v prihodnjih lekcijah.
Tema: štirikotniki
Lekcija: Mnogokotniki
Pri geometriji preučujemo lastnosti geometrijskih oblik in smo že obravnavali najpreprostejše med njimi: trikotnike in kroge. Hkrati smo obravnavali tudi posebne posebne primere teh likov, kot so pravokotni, enakokraki in pravilni trikotnik. Zdaj je čas za pogovor o bolj splošnih in zapletenih oblikah - poligoni.
S posebnim primerom poligoniže poznamo - to je trikotnik (glej sliko 1).
riž. 1. Trikotnik
Že samo ime poudarja, da gre za figuro, ki ima tri vogale. Zato v mnogokotnik lahko jih je veliko, tj. več kot tri. Na primer, narišimo peterokotnik (glej sliko 2), tj. figura s petimi vogali.
riž. 2. Pentagon. Konveksni poligon
Opredelitev.Poligon- figura, sestavljena iz več točk (več kot dveh) in ustreznega števila segmentov, ki jih zaporedno povezujejo. Te točke se imenujejo vrhovi mnogokotnik in segmenti - stranke. V tem primeru nobeni dve sosednji stranici ne ležita na isti premici in nobeni dve nesosednji stranici se ne sekata.
Opredelitev.pravilni mnogokotnik je konveksen mnogokotnik, v katerem so vse stranice in koti enaki.
Kaj mnogokotnik deli ravnino na dve regiji: notranjo in zunanjo. Notranjost imenujemo tudi mnogokotnik.
Z drugimi besedami, ko na primer govorijo o peterokotniku, mislijo tako na njegovo celotno notranjo regijo kot na njeno mejo. In notranje območje vključuje tudi vse točke, ki ležijo znotraj poligona, tj. točka pripada tudi peterokotniku (glej sliko 2).
Poligone včasih imenujemo tudi n-kotniki, da poudarimo, da je obravnavan splošen primer neznanega števila vogalov (n kosov).
Opredelitev. Obod poligona je vsota dolžin stranic mnogokotnika.
Sedaj se moramo seznaniti z vrstami mnogokotnikov. Razdeljeni so na konveksen in nekonveksna. Na primer, mnogokotnik, prikazan na sl. 2 je konveksna, na sl. 3 nekonveksne.
riž. 3. Nekonveksni mnogokotnik
Definicija 1. Poligon klical konveksen, če pri risanju ravne črte skozi katero koli njegovo stranico celotno mnogokotnik leži le na eni strani te črte. nekonveksna so vsi ostali poligoni.
Zlahka si je predstavljati, da ko razširimo katero koli stran peterokotnika na sl. 2 vse bo na eni strani te ravne črte, tj. on je konveksen. Ko pa narišemo ravno črto skozi štirikotnik na sl. 3 že vidimo, da ga deli na dva dela, tj. on je nekonveksen.
Vendar obstaja še ena definicija konveksnosti mnogokotnika.
Definicija 2. Poligon klical konveksenče so pri izbiri dveh njegovih notranjih točk in povezovanju z odsekom vse točke odseka tudi notranje točke mnogokotnika.
Prikaz uporabe te definicije je prikazan na primeru konstruiranja segmentov na sl. 2 in 3.
Opredelitev. Diagonala Poligon je vsak segment, ki povezuje dve nesosednji točki.
Za opis lastnosti mnogokotnikov obstajata dva najpomembnejša izreka o njihovih kotih: izrek o vsoti notranjih kotov konveksnega mnogokotnika in izrek o vsoti konveksnega mnogokotnika zunanjega kota. Upoštevajmo jih.
Izrek. O vsoti notranjih kotov konveksnega mnogokotnika (n-gon).
Kje je število njegovih kotov (stranic).
Dokaz 1. Upodobimo na sl. 4 konveksni n-kotnik.
riž. 4. Konveksni n-kotnik
Nariši vse možne diagonale iz oglišča. N-kotnik razdelijo trikotnike, saj vsaka stran mnogokotnika tvori trikotnik, razen stranic, ki mejijo na vrh. Iz slike je enostavno videti, da bo vsota kotov vseh teh trikotnikov enaka vsoti notranjih kotov n-kotnika. Ker je vsota kotov katerega koli trikotnika , je vsota notranjih kotov n-kotnika:
Q.E.D.
Dokaz 2. Možen je tudi drug dokaz tega izreka. Narišimo podoben n-kotnik na sl. 5 in poveži poljubno njeno notranjo točko z vsemi oglišči.
riž. 5.
Dobili smo razdelitev n-kotnika na n trikotnikov (kolikor stranic, toliko trikotnikov). Vsota vseh njunih kotov je enaka vsoti notranjih kotov mnogokotnika in vsoti kotov v notranji točki in to je kot. Imamo:
Q.E.D.
Dokazano.
Po dokazanem izreku je razvidno, da je vsota kotov n-kotnika odvisna od števila njegovih stranic (od n). Na primer v trikotniku, vsota kotov pa je . V štirikotniku in vsoti kotov - itd.
Izrek. O vsoti zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika (n-gon).
Kje je število njegovih vogalov (stranic), in , ..., so zunanji vogali.
Dokaz. Narišimo konveksni n-kotnik na sl. 6 in označite njegov notranji in zunanji kot.
riž. 6. Konveksni n-kotnik z označenimi zunanjimi vogali
Ker zunanji kot je povezan z notranjim kot sosednji, nato 
in podobno za druge zunanje vogale. Nato:
Pri transformacijah smo uporabili že dokazan izrek o vsoti notranjih kotov n-kotnika.
Dokazano.
Iz dokazanega izreka sledi zanimivo dejstvo, da je vsota zunanjih kotov konveksnega n-kotnika enaka 
na število njegovih kotov (stranic). Mimogrede, za razliko od vsote notranjih kotov.
Bibliografija
- Aleksandrov A.D. itd. Geometrija, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com().
Domača naloga
