Opredelitev. Niz je zbirka nekaterih predmetov, ki jih združuje določen atribut.
Elemente, ki sestavljajo množico, običajno označujemo z malimi latiničnimi črkami, množico samo pa z veliko latinično črko. Znak ∈ se uporablja za označevanje, da element pripada množici. Zapis a∈A pomeni, da element a pripada množici A. Če neki predmet x ni element množice A, zapišimo x∉A. Na primer, če je A množica sodih števil, potem sta 2∈A in 1∉A. Množici A in B veljata za enaki (zapišimo A = B), če sta sestavljeni iz istih elementov.
Če množica vsebuje končno število elementov, jo imenujemo končna; sicer se množica imenuje neskončna. Če je množica A končna, simbol |A| bo označen s številom njegovih elementov. Množica, ki ne vsebuje niti enega elementa, se imenuje prazna in jo označimo s simbolom ∅. Očitno je |∅|=0.
Primer. Naj bo A množica realnih rešitev kvadratne enačbe x 2 + px + q = 0. Množica A je končna, |A|≤2. Če je diskriminanta D = p 2 -4q negativna, je množica A prazna. Množica realnih rešitev kvadratne neenačbe x 2 +px+q≤0 je končna, če je D≤0, in neskončna, če je D>0.
Končno množico lahko definiramo tako, da naštejemo vse njene elemente,
ali opišite njihove lastnosti. Če množico A sestavljajo elementi x, y, z, zapišimo A = (x, y, z,). Na primer, A = (0, 2, 4, 6, 8) je množica sodih decimalnih števk ali množica naravnih števil, ki izpolnjujejo pogoj x + 2 = 1.
Uvedimo pojem indeksirane družine množic, ki ga bomo uporabili v nadaljevanju. Naj bo I množica, katere vsak element i je povezan z enolično definirano množico A i . Elemente množice I imenujemo indeksi, zbirko množic A i pa imenujemo indeksirana družina množic in jo označimo z (A i) i ∈ I .
Pravimo, da je množica B podmnožica množice A in pišemo B⊂A, če je vsak element množice B element množice A. Na primer, množica naravnih števil N je podmnožica množice celih števil Z, slednja pa je podmnožica množice racionalnih števil Q, to je N⊂Z in Z⊂Q ali na kratko N⊂Z⊂Q. Zlahka je videti, da če sta B⊂A in A⊂B, potem sta množici A in B sestavljeni iz istih elementov in torej A=B, sicer . Poleg zapisa B⊂A se uporablja tudi A⊃B, ki ima enak pomen.
Podmnožice množice A, razen ∅ in A, imenujemo lastne. Prazna množica in množica A se imenujeta nepravilne podmnožice množica A. Množico vseh podmnožic množice A imenujemo njena logično, oz nastavljena stopnja, in je označena s P(A) ali 2 A.
Primer. Naj bo A = (a, b, c). Potem je množica 2 A sestavljena iz naslednjih elementov:
(∅), (a), (b), (c), (a,b), (a,c), (b,c), (a,b,c).
Če je množica A končna in vsebuje n elementov, potem ima ta množica 2 n podmnožic, to je |2 A |=2 | A | .
Vse operacije na množicah je mogoče ponazoriti z Euler-Vennovimi diagrami. Če neko univerzalno množico, ki vsebuje vse ostale množice kot podmnožice, označimo z U in jo upodobimo kot celotno ravnino, potem lahko vsako množico predstavimo kot del ravnine, tj. v obliki neke figure, ki leži na ravnini.
Zveza ali vsota množici A in B imenujemo takšno množico C, ki jo sestavljajo elementi množice A, ali elementi množice B, ali elementi obeh teh množic, tj. . Na primer, če je A = (1, 2, 3) in B = (2, 3, 4), potem je A∪B = (1, 2, 3, 4).
Presek ali produkt dveh množic A in B imenujemo tako množico C, ki je sestavljena iz elementov, ki hkrati pripadajo obema množicama, tj. . Na primer, če je A = (1, 2, 3) in B = (2, 3, 4), potem je A∩B = (2, 3).
Razlika dve množici A in B imenujemo množica, sestavljena iz tistih in samo tistih elementov, ki so vključeni v A in niso hkrati vključeni v B, tj.
Na primer, če je A = (1, 2, 3) in B = (2, 3, 4), potem je A\B = (1).
Če je zlasti A podmnožica U, potem je razlika U \ A označena in imenovana dodatek postavlja A.
Simetrična razlika (obročna vsota) množici A in B imenujemo množica, tj. . Na primer, če je A = (1, 2, 3) in B = (2, 3, 4), potem je AΔB = (1, 4).
Postavite algebrske zakone:
1. komutativno pravo: .
2. družbeno pravo: .
3. distribucijski zakon:
4. Zakoni idempotence: , še posebej
5. Absorpcijski zakoni:
6. De Morganovi zakoni (dualnost):
7. zakon dvojnega komplementa:
8. Zakon vključevanja:
9. Zakon o enakosti:
Primer 1 Preverimo prvega od De Morganovih zakonov. Najprej pokažimo to. Pretvarjajmo se, da. Potem x∉A∩B, torej x ne pripada vsaj eni od množic A in B. Torej, x∉A ali x∉B, to je ali .
To pomeni, da. Pokazali smo, da je poljuben element množice element množice. Posledično,. Podobno dokažemo obratno vključitev. Dovolj je ponoviti vse korake prejšnjega razmišljanja v obratnem vrstnem redu.
Primer 2 Dokažite vključke
rešitev. Najlažji način za to je Euler-Vennov diagram.
Iz katerega koli para elementov a in b (ni nujno različnih) lahko sestavite nov element - naročen par(a,b). Urejena para (a,b) in (c,d) štejemo za enaka in zapišemo (a,b) = (c,d), če je a = c in b = d. Zlasti (a,b) = (b,a) samo, če je a=b. Elementa a in b imenujemo koordinate urejenega para (a,b).
Direktni (kartezični) produkt množici A in B je množica vseh urejenih parov (a,b), kjer sta a∈A in b∈B. Neposredni produkt množic A in B je označen z A×B. Po definiciji imamo
A×B = ((a,b)| a∈A, b∈B). Delo se imenuje kartezični kvadrat.
Primer 3 Dane množice A = (1; 2); B = (2; 3). Najti .
rešitev.
Tako kartezični produkt ne upošteva komutativnega zakona.
Primer 4 Let Iz katerih elementov sestavljajo množice?
rešitev. Zapišimo množice A; AT; C, ki navaja njihove elemente:
A = (3; 4; 5; 6); B = (2; 3); C = (2). Tako kot pare lahko obravnavamo urejene trojčke, četverčke in na splošno urejene množice elementov poljubne dolžine. Urejeno množico elementov dolžine n označimo z (a 1 , a 2 , a n). Za takšne množice se uporablja tudi ime tuple dolžine n. Dovoljeni so tudi nizi dolžine 1 - so preprosto enojni nizi. Tuple (a 1 , a 2 , a n) in (b 1 , b 2 , b n) veljajo za enake, če je a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , a n = b n .
Po analogiji z zmnožkom dveh množic definiramo neposredni zmnožek množic A 1 , A 2 , A n kot množico vseh tork (a 1 , a 2 , a n), tako da je a 1 ∈A 1 , a 2 ∈ A 2 , a n ∈A n . Direktni produkt je označen z A 1 × A 2 × A n.
Koncept neposrednega produkta lahko posplošimo na primer poljubne družine množic (A i) i ∈ I . Imenujmo nabor I množico elementov (A i) i ∈ I tako, da je a i ∈A i za vsak i∈I. Neposredni produkt družine množic (A i) i ∈ I je množica, ki jo sestavljajo vse I-torke. To množico označujemo s simbolom Π i ∈ I A i in njegovimi različicami, podobnimi tistim, ki se uporabljajo za označevanje presečišča in unije družine množic.
Ko se množica A pomnoži sama s seboj, se produkt imenuje (kartezijanska) potenca in uporabi se eksponentni zapis. Torej, v skladu z definicijo A × A = A 2, A × A × A = A 3 itd. Menijo, da je A 1 = A in A 0 = ∅.
Naslednje relacije sledijo neposredno iz definicij (A∪B) × C = (A × C) ∪ (B × C);
(A∩B) × C = (A × C) ∩ (B × C);
(A\B)×C = (A×C)\(B×C).
1. Sudoplatov S.V., Ovchinnikova E.V. Elementi diskretne matematike. M.: INFRA-M, Novosibirsk, 2002.
2. Aseev G.G., Abramov O.M., Sitnikov D.E. Diskretna matematika. Harkov, "Torsing", 2003.
3. Nefedov V.N., Osipova V.A. Tečaj diskretne matematike. M.: Nauka, 1973.
4. Lavrov I.A., Maksimova L.L. Problemi teorije množic, matematične logike in teorije algoritmov. M.: FIZMATLIT, 2001.
Veliko je niz poljubnih predmetov. Predmeti, ki sestavljajo množico, se imenujejo elementi te množice.
Na primer: veliko šolarjev, veliko avtomobilov, veliko številk .
V matematiki se množica obravnava veliko širše. V to temo se ne bomo preveč poglabljali, saj spada v višjo matematiko in lahko na začetku povzroča težave pri učenju. Upoštevali bomo le tisti del teme, ki smo ga že obravnavali.
Vsebina lekcijeNotacija
Niz je najpogosteje označen z velikimi črkami latinske abecede, njegovi elementi pa z malimi črkami. Elementi so v zavitih oklepajih.
Na primer, če pokličejo naše prijatelje Tom, John in Leo , potem lahko določimo niz prijateljev, katerih elementi bodo Tom, John in Leo.
Množico naših prijateljev označimo z veliko latinično črko F(prijatelji), nato postavite znak enačaja in navedite naše prijatelje v zavitih oklepajih:
F = (Tom, John, Leo)
Primer 2. Zapišimo množico deliteljev števila 6.
Označimo ta niz s katero koli veliko latinično črko, na primer s črko D
nato postavimo znak enakosti in elemente tega niza navedemo v zavitih oklepajih, torej navedemo
D = ( 1, 2, 3, 6 }
Če neki element pripada dani množici, je ta pripadnost označena z znakom pripadnosti ∈ . Na primer, delitelj 2 pripada množici deliteljev števila 6 (množica D). Napisano je takole:
2 ∈ D
Bere se kot « 2pripada množici deliteljev števila 6«
Če kateri element ne pripada danemu nizu, se ta nečlanstvo označi s prečrtanim znakom pripadnosti. ∉ . Na primer, delitelj 5 ne pripada množici D. Napisano je takole:
5∉ D
Bere se kot « 5 ne pripadajo niz deliteljev 6«
Poleg tega lahko množico zapišemo z neposrednim naštevanjem elementov, brez velikih začetnic. To je lahko priročno, če je komplet sestavljen iz majhnega števila elementov. Na primer, definirajmo niz enega elementa. Naj bo ta element naš prijatelj Glasnost:
(Zvezek)
Določimo množico, ki jo sestavlja eno število 2
{ 2 }
Postavimo niz, ki je sestavljen iz dveh števil: 2 in 5
{ 2, 5 }
Množica naravnih števil
To je prvi sklop, s katerim smo začeli delati. Naravna števila so števila 1, 2, 3 itd.
Naravna števila so se pojavila zaradi potrebe ljudi po štetju teh drugih predmetov. Na primer, preštejte število piščancev, krav, konjev. Naravna števila nastanejo naravno pri štetju.
V prejšnjih lekcijah, ko smo uporabili besedo "številka", največkrat je bilo naravno število.
V matematiki množico naravnih števil označujemo z veliko latinično črko n.
Na primer, recimo, da število 1 pripada množici naravnih števil. V ta namen zapišemo številko 1, nato z znakom pripadnosti ∈ označimo, da enota pripada množici n
1 ∈ n
Bere se kot: "ena pripada množici naravnih števil"
Niz celih števil
Nabor celih števil vključuje vsa pozitivna in ter število 0.
Množica celih števil je označena z veliko latinično črko Z .
Označimo na primer, da število −5 pripada množici celih števil:
−5 ∈ Z
Označimo, da 10 pripada množici celih števil:
10 ∈ Z
Označimo, da 0 pripada množici celih števil:
V prihodnosti bomo vsa pozitivna in negativna števila klicali z eno frazo - cela števila.
Niz racionalnih števil
Racionalna števila so isti navadni ulomki, ki jih preučujemo še danes.
Racionalno število je število, ki ga lahko predstavimo kot ulomek, kjer a- števec ulomka b- imenovalec.
Vloga števca in imenovalca je lahko poljubno število, tudi cela števila (z izjemo ničle, saj ne morete deliti z ničlo).
Na primer, predpostavimo namesto a je vreden števila 10, namesto da bi b- številka 2
10 deljeno z 2 je enako 5. Vidimo, da lahko število 5 predstavimo kot ulomek, kar pomeni, da je število 5 vključeno v množico racionalnih števil.
Lahko vidimo, da število 5 velja tudi za množico celih števil. Zato je množica celih števil vključena v množico racionalnih števil. To pomeni, da množica racionalnih števil ne vključuje le navadnih ulomkov, ampak tudi cela števila v obliki −2, −1, 0, 1, 2.
Zdaj si predstavljajte, da namesto a je število 12, namesto b- številka 5.
12 deljeno s 5 je enako 2,4. Vidimo, da lahko decimalni ulomek 2,4 predstavimo kot ulomek, kar pomeni, da je vključen v množico racionalnih števil. Iz tega sklepamo, da množica racionalnih števil ne vključuje le navadnih ulomkov in celih števil, temveč tudi decimalne ulomke.
Izračunali smo ulomek in dobili odgovor 2,4. Lahko pa izločimo celoštevilski del v tem ulomku:
Ko izberete cel del v ulomku, dobite mešano število. Vidimo, da lahko mešano število predstavimo tudi kot ulomek. To pomeni, da množica racionalnih števil vključuje tudi mešana števila.
Posledično pridemo do zaključka, da množica racionalnih števil vsebuje:
- cela števila
- navadni ulomki
- decimalke
- mešana števila
Množico racionalnih števil označujemo z veliko latinično črko Q.
Na primer, označimo, da ulomek pripada množici racionalnih števil. Da bi to naredili, zapišemo sam ulomek, nato pa z znakom pripadnosti ∈ označimo, da ulomek pripada množici racionalnih števil:
∈ Q
Označimo, da decimalni ulomek 4,5 pripada množici racionalnih števil:
4,5 ∈ Q
Označimo, da mešano število pripada množici racionalnih števil:
∈ Q
Uvodna lekcija o nizih je zdaj končana. V prihodnosti bomo na sklope gledali veliko bolje, a za zdaj bo ta lekcija zadostovala.
Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se naši novi skupini Vkontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah
Matematična analiza
Niz je zbirka predmetov katere koli narave. Množice označujemo z velikimi začetnicami, elemente množice pa z malimi začetnicami. Elementi niza so v zavitih oklepajih.
Če element x pripada kompletu X, nato napiši x∈X (∈
- pripada).
Če je množica A del množice B, potem zapiši A ⊂ B (⊂
- je vsebovan).
Množico lahko definiramo na enega od dveh načinov: z oštevilčevanjem in z definirajočo lastnostjo.
Na primer, oštevilčenje definira naslednje nize:
§ A=(1,2,3,5,7) - niz števil
§ Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - množica nekaterih elementov x 1 ,x 2 ,...,x n
§ N=(1,2,...,n) - množica naravnih števil
§ Z=(0,±1,±2,...,±n) - množica celih števil
Množica (-∞;+∞) se imenuje številska premica, poljubno število pa je točka te premice. Naj bo a poljubna točka na številski premici in δ pozitivno število. Interval (a-δ; a+δ) se imenuje δ-okolica točke a.
Množica X je omejena od zgoraj (od spodaj), če obstaja takšno število c, da je za vsak x ∈ X izpolnjena neenakost x≤с (x≥c). Število c se v tem primeru imenuje zgornji (spodnji) rob množice X. Množica, omejena zgoraj in spodaj, se imenuje omejeno. Najmanjša (največja) od zgornjih (spodnjih) ploskev množice se imenuje natančna zgornja (spodnja) stran ta komplet.
Dva množici A in B sta enaki(A=B), če so sestavljeni iz istih elementov.
Na primer, če je A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), potem je A=B.
Unija (vsota) množici A in B imenujemo množica A ∪ B, katere elementi pripadajo vsaj eni od teh množic.
Na primer, če je A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), potem je A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)
Križišče (izdelek) množici A in B imenujemo množica A ∩ B, katere elementi pripadajo tako množici A kot množici B.
Na primer, če je A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), potem je A ∩ B = (2,4)
Razlika množici A in B imenujemo množica AB, katere elementi pripadajo množici A, ne pripadajo pa množici B.
Na primer, če je A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), potem je AB = (1,2)
Simetrična razlika množici A in B imenujemo množica A Δ B, ki je unija razlik množic AB in BA, to je A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Na primer, če je A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), potem je A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)
2. Metoda matematične indukcije (primer). Bernoullijeva neenakost.
3. Aksiomatika množice realnih števil: operacija seštevanja, operacija množenja, relacija reda.
4. Aksiomatika množice realnih števil: Arhimedov aksiom, Dedekindov aksiom.
ARHIMEDOV AKSIOM
Aksiom, ki je bil prvotno formuliran za odseke, da lahko z odstavljanjem manjšega od dveh danih odsekov dovoljkrat vedno dobimo odsek, ki je večji od večjega od njiju. Podobno je A. a. je formuliran za površine, prostornine, pozitivna števila itd. Na splošno se za dano količino zgodi A. a., če za kateri koli dve vrednosti te količine, tako da lahko vedno najdete celo število t, kaj ; To je osnova za proces zaporedne delitve v aritmetiki in geometriji (prim. Evklidski algoritem). Vrednost A. a. postalo popolnoma jasno po tem, ko je v 19. stoletju. odkrit je bil obstoj količin, glede na katere je ta aksiom nepravičen, - t.i. ne-Arhimedove količine
Dedekindov aksiom
eden od aksiomov kontinuitete (glej Aksiomi kontinuitete). ja pravi: če so vse točke črte razdeljene v dva neprazna razreda in so vse točke prvega razreda levo od vseh točk drugega, potem obstaja bodisi skrajna desna točka prvega razreda ali skrajna leva točka drugega
5. Modul realnega števila in njegove lastnosti.
Absolutna vrednost
(oz modul
) realno število X imenujemo nenegativno število, ki ga določa relacija 
Lastnosti modula
. ena.. 2. . 3. Neenakosti in sta enakovredni. 4. Modul vsote dveh realnih števil je manjši ali enak vsoti modulov teh števil:
Ta lastnost velja za poljubno končno število izrazov.
5. Modul razlike dveh realnih števil je večji ali enak razliki modulov teh števil:
. 6. Modul produkta števil je enak produktu modulov teh števil:
. Ta lastnost velja za poljubno končno število faktorjev. 7. Modul kvocienta dveh števil (če je delitelj različen od nič) je enak kvocientu modulov teh števil:
6. Meje številskih množic. Točne zgornje in spodnje meje številskih nizov.
7. Realna funkcija realnega argumenta: elementarne funkcije, njihova domena in graf, kompleksne in neelementarne funkcije.
8. Metode nastavljanja funkcij, aritmetične operacije na funkcijah.
9. Preprosta klasifikacija funkcij realnega argumenta.
10. Limita številskega zaporedja in njen geometrijski pomen.
11. Lastnosti konvergentnih zaporedij: Izrek 1. Edinstvenost limite (z dokazom). 2. izrek.
12. Infinitezimalna in neskončno velika številska zaporedja: definicije. povezava med njimi.
13. Leme o infinitezimalnih številskih zaporedjih. Posledice. Primeri.
14. Izreki o limitih številskih zaporedij. Posledice.
15. Računanje limitov številskih zaporedij: pravila za razkrivanje negotovosti oblike, . Zaključek. Primer.
16. Prehajanje na limito pri neenačbah: Izrek 1. (O ohranitvi predznaka limite). Izrek 2 (limitni prehod v neenačbah). Izrek 3 (o stisnjenem zaporedju). Weierstrassov izrek.
17. Število e (z dokazom). naravni logaritmi.
18. Mejne točke množice.
19. Definicija limite funkcije v točki po Cauchyju in njen geometrijski pomen.
20. Določitev limite funkcije v točki po Heineju. Osnovni izreki o limiti funkcije. Izračun limite funkcije v točki: pravilo razkritja negotovosti oblike Primer.
21. Limit funkcije nad množico. Enostranski prehodi. Opombe.
22. Prva izjemna meja (z dokazom). Posledice.
23. Druga čudovita meja. Opombe. Izjemne meje, povezane z eksponentnimi in logaritemskimi funkcijami. Sprememba spremenljivke pod limitnim znakom. Primer.
24. Kontinuiteta in prelomne točke funkcije. Lastnosti zveznih funkcij.
25. Odvodi enostavnih funkcij: definicija odvoda funkcije, geometrijski pomen odvoda funkcije. Enačbe tangente in normale na krivuljo.
26. Osnovna pravila za razlikovanje funkcij. Izvodi elementarnih funkcij. Primer.
27. Odvod kompleksne funkcije. Logaritemsko diferenciranje. Odvod eksponentne potenčne funkcije.
28. Diferencial funkcije ter njegov geometrijski in mehanski pomen. Zaključek.
29. Osnovna pravila za iskanje diferenciala funkcije. Diferencial sestavljene funkcije. Invariantnost oblike diferenciala prvega reda. .
30. Odvodi in diferenciali višjih redov funkcije. Mehanski in geometrijski pomen druge odvodnje. Leibnizova formula.
31. Osnovni diferenciacijski izreki: Fermatov izrek, Rolejev izrek in njun geometrijski pomen.
32. Osnovni diferenciacijski izreki: Lagrangeov izrek, Cauchyjev izrek in njun geometrijski pomen.
33. Uporaba derivata: L'Hopitalovo pravilo za razkritje negotovosti oblike in razkritje negotovosti oblike. Primer.
34. Praodvod funkcije in nedoločen integral. Lastnosti nedoločenega integrala. Tabela osnovnih integralov.
35. Metode integracije funkcij: neposredna integracija; variabilna metoda zamenjave; način integracije po delih.
36. Definicija in lastnosti določenega integrala.
37. Izračun določenega integrala. Newton-Leibnizova formula. Metode integracije v določenem integralu: sprememba spremenljivke, metoda integracije po delih.
38. Številčne serije. Konvergenca in divergenca numeričnih vrst. Potreben kriterij za konvergenco nizov.
39. Zadostni znaki konvergence številskih vrst: primerjalni znak, omejevalni primerjalni znak.
40. Zadostni kriteriji za konvergenco numeričnih vrst: Cauchyjev radikalni test, d'Alembertov test.
Množica je eden od osnovnih pojmov sodobne matematike, ki se uporablja v skoraj vseh njenih razdelkih.
Pri številnih vprašanjih je treba obravnavati določen nabor elementov kot celoto. Torej, biolog, ki preučuje živalski in rastlinski svet določenega območja, razvršča vse posameznike po vrstah, vrste po rodovih itd. Vsaka vrsta je določen niz živih bitij, obravnavanih kot celota.
Za matematični opis takih zbirk je bil uveden koncept množice. Po mnenju enega od ustvarjalcev teorije množic, nemškega matematika Georga Kantorja (1845-1918), je "množica veliko, ki smo si jo zamislili kot eno." Seveda teh besed ni mogoče šteti za matematično strogo definicijo množice, taka definicija ne obstaja, saj je koncept množice začetni, na podlagi katerega so zgrajeni ostali koncepti matematike. Toda iz teh besed je jasno, da lahko govorimo o množici naravnih števil, množici trikotnikov v ravnini.
Množice, sestavljene iz končnega števila elementov, imenujemo končne, preostale množice pa neskončne. Na primer, množica kitov v oceanu je končna, množica racionalnih števil pa je neskončna. Končne množice lahko določimo tako, da navedemo njihove elemente (na primer množica učencev v danem razredu je podana z njihovim seznamom v razrednem dnevniku). Če množico sestavljajo elementi , potem zapiši: . Neskončnih množic ni mogoče definirati s seznamom njihovih elementov. Običajno jih nastavimo tako, da določimo lastnost, ki jo imajo vsi elementi dane množice, nima pa nobeden od elementov, ki tej množici ne pripadajo. Takšna lastnost se imenuje značilna za obravnavano množico. Če je okrajšava za stavek "element ima lastnost", potem je množica vseh elementov, ki imajo lastnost, označena takole: . Na primer vnos 
pomeni množico korenov enačbe, tj. veliko . Lahko se zgodi, da ni niti enega elementa, ki bi imel lastnost (npr. ni niti enega lihega števila, ki bi bilo deljivo z 2). V tem primeru v kompletu ni elementov. Množica, ki ne vsebuje nobenega elementa, se imenuje prazna. Označena je s simbolom.
Če element pripada množici, zapišimo: , drugače zapišimo: ali . Množice, sestavljene iz enakih elementov, imenujemo enake (kocidentne). Na primer, množica enakostraničnih trikotnikov in množica enakokotnih trikotnikov sta enaki, saj gre za enaka trikotnika: če so v trikotniku vse stranice enake, so enaki tudi vsi njegovi koti; obratno pa iz enakosti vseh treh kotov trikotnika sledi enakost vseh treh njegovih stranic. Očitno sta dve končni množici enaki, razlikujeta se med seboj le po vrstnem redu elementov, na primer 
.
Vsak kvadrat je pravokotnik. Množica kvadratov naj bi bila del množice pravokotnikov ali, kot pravijo v matematiki, je podmnožica množice pravokotnikov. Če je množica podmnožica množice, zapišite: ali . Za kateri koli niz veljajo vključitve in .
Iz teh nizov lahko sestavite nove nize z uporabo operacij preseka, združevanja in odštevanja. Presečišče množic je njihov skupni del, tj. množica elementov, ki pripadajo obema in . Ta niz je označen z: . Na primer, presečišče dveh geometrijskih likov je njun skupni del, presečišče množice rombov z množico pravokotnikov je množica kvadratov itd.
Unija množic je množica, sestavljena iz elementov, ki pripadajo vsaj eni od teh množic. Pri različnih vprašanjih klasifikacije se uporablja predstavitev množic kot unije parno nepovezanih podmnožic. Na primer, množica mnogokotnikov je unija množice trikotnikov, štirikotnikov, ..., -kotnikov.
Če operaciji unije in preseka uporabimo za podmnožice neke množice, bomo spet dobili podmnožice iste množice. Te operacije imajo številne lastnosti, podobne tistim pri seštevanju in množenju števil. Na primer, presečišče in unija množic imata lastnosti komutativnosti in asociativnosti, presečišče je distributivno glede na unijo, tj. za poljubne množice in je relacija resnična itd. Toda hkrati imajo operacije na množicah številne lastnosti, ki nimajo analogov v operacijah na številkah. Na primer, enakosti in veljajo za katero koli množico, drugi distribucijski zakon je resničen in tako naprej.
Z uporabo lastnosti operacij nad množicami lahko transformirate izraze, ki vsebujejo množice, tako kot lahko uporabite lastnosti operacij nad števili za transformacijo izrazov v navadni algebri. Algebro, ki nastane na ta način, imenujemo Boolova algebra, po angleškem matematiku in logiku J. Boolu (1815-1864), ki se je z njo ukvarjal v povezavi s problemi matematične logike. Boolove algebre najdejo številne aplikacije, zlasti v teoriji električnih omrežij.
Glavna značilnost končne množice je število njenih elementov (na primer množica oglišč kvadrata vsebuje 4 elemente). Če je v množicah enako število elementov, na primer, če , , potem lahko iz elementov teh množic sestavimo pare 
, in vsak element iz , kot tudi vsak element iz , je vključen v en in samo en par. Rečeno je, da se v tem primeru vzpostavi korespondenca ena proti ena med elementi množic in. In obratno, če je med dvema končnima množicama mogoče vzpostaviti korespondenco ena proti ena, potem imata enako število elementov.
G. Kantor je predlagal primerjavo neskončnih množic med seboj na podoben način. Za množice in velja, da imajo enako kardinalnost, če je med njimi mogoče vzpostaviti korespondenco ena proti ena. S primerjavo množic, sestavljenih iz števil na ta način, je Cantor pokazal, da obstaja ujemanje ena proti ena med množico naravnih števil in množico racionalnih števil, čeprav je množica naravnih števil le del množice racionalnih števil. številke. Tako v teoriji neskončnih množic izjava, da je »del manjši od celote«, izgubi svojo veljavo.
Množice, ki imajo enako kardinalnost kot množica naravnih števil, imenujemo števne. Tako je množica racionalnih števil števna. Najpomembnejši primer neštete množice je množica vseh realnih števil (ali enakovredno množica točk na premici). Ker je ravna črta neprekinjena, se takšna nešteta moč imenuje moč kontinuuma (iz latinskega kontinuuma - "neprekinjeno"). Moč kontinuuma ima množica točk kvadrata, kocke, ravnine in celotnega prostora.
Več let so matematiki reševali problem, ali obstaja množica, katere kardinalnost je vmesna med štetno kardinalnostjo in kardinalnostjo kontinuuma. V 60. letih. našega stoletja sta ameriški matematik P. Cohen in češki matematik P. Vopenka skoraj sočasno neodvisno dokazala, da tako obstoj takšne množice kot njena odsotnost nista v nasprotju z ostalimi aksiomi teorije množic (podobno kot sprejemanje aksiom vzporednosti ali zanikanje tega aksioma ni v nasprotju z drugimi aksiomi geometrije).
teorije
Obstajata dva glavna pristopa k konceptu nabora - naiven in aksiomatično teorija množic.
Aksiomatska teorija množic
Danes je množica definirana kot model, ki zadošča ZFC aksiomom (Zermelo-Fraenkel aksiomom z aksiomom izbire). S tem pristopom v nekaterih matematičnih teorijah nastanejo zbirke predmetov, ki niso množice. Take zbirke imenujemo razredi (različnih vrst).
Set element
Predmeti, ki sestavljajo množico, se imenujejo postavljenih elementov ali nastavite točke. Množice so najpogosteje označene z velikimi črkami latinske abecede, njeni elementi - z majhnimi. Če je a element množice A, potem zapišimo a ∈ A (a pripada A). Če a ni element množice A, potem zapišimo a ∉ A (a ne pripada A).
Nekatere vrste kompletov
- Urejena množica je množica, na kateri je podana relacija reda.
- Niz (zlasti urejen par). Za razliko od nabora je zapisan v oklepaju: ( x 1, x 2, x 3, …), elementi pa se lahko ponavljajo.
Po hierarhiji:
Množica množic Podmnožica Nadmnožica
Z omejitvijo:
Operacije na množicah
Literatura
- Stoll R.R. Kompleti. Logike. aksiomatske teorije. - M .: Izobraževanje, 1968. - 232 str.
Poglej tudi
Fundacija Wikimedia. 2010.
Oglejte si, kaj je "Set Element" v drugih slovarjih:
set element- - [L.G. Sumenko. Angleško-ruski slovar informacijskih tehnologij. M .: GP TsNIIS, 2003.] element nabora Predmet katere koli narave, ki skupaj z drugimi podobnimi predmeti sestavlja nabor. Pogosto namesto terminskega elementa v ... ...
Set element- predmet kakršne koli narave, ki skupaj z drugimi podobnimi predmeti tvori sklop. Pogosto namesto izraza element v tem pomenu uporabljajo "točka množice", "člen množice" itd. ... ...
SET, v matematiki zbirka določenih predmetov. Te predmete imenujemo elementi množice. Število elementov je lahko neskončno ali končno ali celo nič (število elementov v prazni množici je označeno z 0). Vsak…… Znanstveni in tehnični enciklopedični slovar
element- Posplošen izraz, ki ga glede na ustrezne pogoje lahko razumemo kot ploskev, črto, točko. Opombe 1. Element je lahko površina (del površine, simetrična ravnina več površin), črta (profil ... Priročnik tehničnega prevajalca
Del nečesa. Ena od možnih etimologij te besede je ime več soglasnikov latinskih črk L, M, N (el em en). Element (filozofija) Element je obvezen atribut zastave, prapora in prapora. Element niza Elementary ... ... Wikipedia
Element- primarni (za to študijo model) sestavni del kompleksne celote. Glej Element sklopa, Element sistema ... Ekonomsko-matematični slovar
Množica je eden ključnih predmetov matematike, zlasti teorije množic. "Pod nizom razumemo združitev v eno celoto določenih, popolnoma razločljivih predmetov naše intuicije ali naše misli" (G. Kantor). To ni v celoti ... ... Wikipedia
element- 02.01.14 element (znak ali simbol): ena črta ali presledek v simbolu črtne kode ali ena poligonalna ali krožna celica v matričnem simbolu, ki tvori znak simbola v ... ... Slovar-priročnik izrazov normativne in tehnične dokumentacije
AMPAK; m [iz lat. elementum prvina, prvotna snov] 1. Sestavni del česa l.; komponento. Razbijte celoto na elemente. Kateri so elementi kulture? Narava e. proizvodnja. Sestavni elementi česa. // Značilno gibanje, ena ... ... enciklopedični slovar
