Ao estudar as equações de uma linha reta no plano e no espaço tridimensional, contamos com a álgebra de vetores. Neste caso, o vetor diretor da linha reta e o vetor normal da linha reta são de particular importância. Neste artigo, veremos mais de perto o vetor normal de uma linha reta. Vamos começar com a definição do vetor normal da reta, dar exemplos e ilustrações gráficas. Em seguida, passamos a encontrar as coordenadas do vetor normal da reta usando as equações conhecidas da reta, enquanto mostramos soluções detalhadas para os problemas.
Navegação da página.
Vetor de linha normal - definição, exemplos, ilustrações.
Para entender o material, você precisa ter uma compreensão clara de uma linha reta, um plano e também conhecer as definições básicas associadas a vetores. Portanto, recomendamos que você primeiro atualize o material dos artigos direto no avião, direto no espaço, a ideia do avião e.
Vamos definir o vetor normal de uma reta.
Definição.
linha vetorial normalé qualquer vetor diferente de zero situado em qualquer linha perpendicular ao dado.
Pela definição do vetor normal de uma reta, fica claro que existe um conjunto infinito de vetores normais de uma dada reta.
A definição do vetor normal de uma reta e a definição do vetor diretor de uma reta permitem concluir que qualquer vetor normal de uma reta dada é perpendicular a qualquer vetor diretor dessa reta.
Vamos dar um exemplo de um vetor normal de uma reta.
Deixe Oxy ser dado no avião. Um dos conjuntos de vetores normais da reta coordenada Ox é o vetor coordenado . De fato, o vetor é diferente de zero e está na linha de coordenadas Oy , que é perpendicular ao eixo Ox . O conjunto de todos os vetores normais da linha de coordenadas Ox no sistema de coordenadas retangulares Oxy pode ser dado como 
.
No sistema de coordenadas retangulares Oxyz no espaço tridimensional, o vetor normal da linha Oz é o vetor . O vetor de coordenadas também é o vetor normal da linha Oz. Obviamente, qualquer vetor diferente de zero situado em qualquer plano perpendicular ao eixo Oz será um vetor normal da linha Oz.
Coordenadas do vetor normal de uma linha reta - encontrando as coordenadas do vetor normal de uma linha reta usando as equações conhecidas dessa linha reta.
Se considerarmos uma linha reta em um sistema de coordenadas retangulares Oxy, então a equação de uma linha reta em um plano de algum tipo corresponderá a ela, e os vetores normais de uma linha reta serão determinados por suas coordenadas (consulte o artigo) . Isso levanta a questão: “como encontrar as coordenadas do vetor normal de uma reta quando conhecemos a equação dessa reta”?
Vamos encontrar a resposta para a questão colocada para linhas retas dadas no plano por equações de vários tipos.
Se uma reta em um plano define uma equação geral de uma reta da forma 
, então os coeficientes A e B são as coordenadas correspondentes do vetor normal desta linha.
Exemplo.
Encontre as coordenadas de algum vetor de linha normal 
.
Solução.
Como a reta é dada pela equação geral, podemos imediatamente anotar as coordenadas de seu vetor normal - são os coeficientes correspondentes na frente das variáveis x e y. Ou seja, o vetor normal da reta tem coordenadas .
Responder:
Um dos números A ou B na equação geral de uma reta pode ser igual a zero. Isso não deveria incomodá-lo. Vejamos um exemplo.
Exemplo.
Especifique qualquer vetor de linha normal.
Solução.
Temos uma equação geral incompleta de uma reta. Pode ser reescrito na forma 
, de onde são imediatamente visíveis as coordenadas do vetor normal desta linha: .
Responder:
A equação de uma linha reta em segmentos da forma ou a equação de uma linha reta com uma inclinação pode ser facilmente reduzida à equação geral de uma linha reta, a partir da qual são encontradas as coordenadas do vetor normal dessa linha reta.
Exemplo.
Encontre as coordenadas do vetor normal da reta.
Solução.
É muito fácil passar da equação de uma reta em segmentos para a equação geral de uma reta: 
. Portanto, o vetor normal desta reta tem coordenadas .
Responder:
Se a reta define a equação canônica da reta no plano da forma ou as equações paramétricas da reta no plano da forma 
, então as coordenadas do vetor normal são um pouco mais difíceis de obter. A partir dessas equações, as coordenadas do vetor diretor da linha reta são imediatamente visíveis -. Encontrar as coordenadas do vetor normal desta linha permite e .
Também é possível obter as coordenadas do vetor normal da reta reduzindo a equação canônica da reta ou as equações paramétricas da reta à equação geral. Para fazer isso, faça as seguintes transformações: 
A maneira que você prefere depende de você.
Vamos mostrar exemplos.
Exemplo.
Encontre algum vetor de linha normal 
.
Solução.
vetor de direção reta é um vetor. linha vetorial normal é perpendicular ao vetor , então e é igual a zero: 
. A partir dessa igualdade, dando a n x um valor real arbitrário diferente de zero, encontramos n y . Seja n x = 1 , então 
, portanto, o vetor normal da linha original tem coordenadas .
A segunda solução.
Passemos da equação canônica da reta à equação geral: . Agora as coordenadas do vetor normal desta linha se tornaram visíveis.
Responder:
Métodos de definição de planos.
Arranjo mútuo de aviões.
Dois planos no espaço podem coincidir. Nesse caso, eles têm pelo menos três pontos em comum.
Dois planos no espaço podem se cruzar. A interseção de dois planos é uma linha reta, estabelecida pelo axioma: se dois planos têm um ponto comum, então eles têm uma linha reta comum na qual estão todos os pontos comuns desses planos.
Nesse caso, surge o conceito de ângulo entre planos de interseção. De particular interesse é o caso em que o ângulo entre os planos é de noventa graus. Esses planos são chamados de perpendiculares.
Finalmente, dois planos no espaço podem ser paralelos, isto é, não ter pontos comuns.
Também são interessantes os casos em que vários planos se cruzam ao longo de uma linha reta e vários planos se cruzam em um ponto.
Vamos listar as principais formas de especificar um plano específico no espaço.
Primeiro, um plano pode ser definido fixando três pontos no espaço que não estão na mesma linha reta. Este método é baseado no axioma: através de quaisquer três pontos que não estejam na mesma linha reta, existe apenas um plano.
Se um sistema de coordenadas retangulares é fixado no espaço tridimensional e um plano é dado especificando as coordenadas de seus três pontos diferentes que não estão em uma linha reta, então podemos escrever a equação de um plano que passa por três pontos dados.
As próximas duas formas de especificar um plano são uma consequência da anterior. Eles são baseados nas consequências do axioma sobre um plano que passa por três pontos:
através de uma linha e um ponto que não está sobre ela passa um plano, aliás, apenas um;
Um único plano passa por duas linhas que se cruzam.
A quarta maneira de definir um plano no espaço é baseada na definição de linhas paralelas. Lembre-se de que duas retas no espaço são chamadas de paralelas se estiverem no mesmo plano e não se cruzarem. Assim, especificando duas linhas paralelas no espaço, determinamos o único plano no qual essas linhas se encontram.
Se no espaço tridimensional em relação a um sistema de coordenadas retangulares um plano é dado dessa maneira, podemos compor uma equação para um plano que passa por duas linhas paralelas.
O sinal de paralelismo de dois planos nos dá outra maneira de definir um plano. Lembre-se da formulação deste sinal: se duas linhas que se cruzam de um plano são respectivamente paralelas a duas linhas de outro plano, então esses planos são paralelos. Portanto, podemos definir um plano específico se especificarmos o ponto pelo qual ele passa e o plano ao qual é paralelo.
Em um curso de geometria do ensino médio, prova-se o seguinte teorema: um único plano passa por um ponto fixo no espaço, perpendicular a uma reta dada. Assim, podemos definir um plano se especificarmos um ponto pelo qual ele passa e uma reta perpendicular a ele.
Se um sistema de coordenadas retangulares é fixado no espaço tridimensional e um plano é dado desta forma, então é possível compor uma equação para um plano passando por um dado ponto perpendicular a uma dada reta.
Em vez de uma linha reta perpendicular a um plano, pode-se especificar um dos vetores normais desse plano. Neste caso, é possível escrever a equação geral do plano.
Uma boa ideia de linha reta começa a partir do momento em que, junto com sua imagem, aparecem simultaneamente imagens de seus vetores direcionais e normais. Da mesma forma, quando se refere a um plano no espaço, deve-se representá-lo junto com seu vetor normal. Por que é que? Sim, porque em muitos casos é mais conveniente usar o vetor normal do plano do que o próprio plano.
Primeiro, damos a definição do vetor normal do plano, damos exemplos de vetores normais e as ilustrações gráficas necessárias. Em seguida, colocamos o plano em um sistema de coordenadas retangulares no espaço tridimensional e aprendemos como determinar as coordenadas do vetor normal do plano de acordo com sua equação.
2.1. Vetor plano normal - definição, exemplos, ilustrações.
Definição. vetor plano normalé qualquer vetor diferente de zero situado em uma linha perpendicular ao plano dado.
Segue-se da definição que existe um conjunto infinito de vetores normais de um determinado plano.
Como todos os vetores normais de um determinado plano estão em linhas paralelas, todos os vetores normais do plano são colineares. Em outras palavras, se é um vetor normal do plano, então o vetor, para algum valor real diferente de zero de t, também é um vetor normal do plano.
Também deve ser notado que qualquer vetor normal de um plano pode ser considerado como um vetor de direção de uma linha perpendicular a este plano.
Os conjuntos de vetores normais de planos paralelos coincidem, pois uma reta perpendicular a um dos planos paralelos também é perpendicular ao segundo plano.
Segue-se da definição de planos perpendiculares e da definição do vetor normal de um plano que os vetores normais de planos perpendiculares são perpendiculares.
Um exemplo de um vetor plano normal. Seja um sistema de coordenadas retangular Oxyz fixo no espaço tridimensional. Os vetores coordenados são os vetores normais dos planos Oyz, Oxz e Oxy, respectivamente. Isso é verdade porque os vetores são diferentes de zero e estão nas linhas coordenadas Ox, Oy e Oz, respectivamente, que são perpendiculares aos planos coordenados Oyz, Oxz e Oxy, respectivamente.
2.2. Coordenadas do vetor normal do plano - encontrando as coordenadas do vetor normal do plano de acordo com a equação do plano.
Vamos encontrar as coordenadas do vetor normal do plano, se a equação do plano no sistema de coordenadas retangulares Oxyz é conhecida.
A equação geral do plano de visão define um plano no sistema de coordenadas retangulares Oxyz cujo vetor normal é o vetor . Assim, para encontrar as coordenadas do vetor normal do plano, basta que tenhamos diante dos olhos a equação geral desse plano.
Exemplo. Encontre as coordenadas de algum vetor plano normal.
Solução. Nos é dada a equação geral do plano, os coeficientes na frente das variáveis x, y e z são as coordenadas correspondentes do vetor normal deste plano. Portanto, é um dos vetores normais do plano dado. O conjunto de todos os vetores normais deste plano pode ser dado como , onde t é um número real arbitrário diferente de zero.
Exemplo. O plano é dado pela equação . Determine as coordenadas de seus vetores diretores.
Solução. Temos uma equação incompleta do plano. Para tornar visíveis as coordenadas de seu vetor de direção, reescrevemos a equação na forma . Assim, o vetor normal deste plano tem coordenadas , e o conjunto de todos os vetores normais será escrito como .
A equação do plano em segmentos da forma , bem como a equação geral do plano, permite que você escreva imediatamente um dos vetores normais deste plano - ele tem coordenadas .
Em conclusão, dizemos que com a ajuda do vetor normal do plano, vários problemas podem ser resolvidos. As mais comuns são tarefas para provar o paralelismo ou perpendicularidade dos planos, tarefas para compilar uma equação para um plano, bem como tarefas para encontrar o ângulo entre planos e encontrar o ângulo entre uma linha e um plano.
Matemática Superior I.
Opção 2.13
1.(S03.RP) Escreva a equação de uma reta passando por um ponto perpendicular à reta 
.
Vetor 
- vetor linha normal 
,
Vamos escrever a equação AB:
Responder: 
.
2.(8T3.RP) Componha a equação geral de uma reta passando por um ponto 
e o ponto de intersecção das linhas 
E 
.
Encontrar as coordenadas de um ponto EM- ponto de interseção das linhas 
E 
:
multiplique a segunda equação por -2 e agora adicione-os
Tenho as coordenadas. EM(
).
Vamos escrever a equação AB:
Responder: 
.
3.(T43.RP) Escreva a equação geral do plano que passa pelos pontos 
,
perpendicular ao plano 
.
A equação geral do plano tem a forma A(x-x 1 )+B(a-a 1 )+C(z-z 1 ) =0
M 1 (4,-3,3), então podemos escrever:
A(x-4)+B(y+3)+C(z-3)=0
Porque o plano passa pelo ponto M 2 (1,1,-2), então podemos escrever:
A(x-1)+B(y-1)+C(z+2)=0
O plano desejado é perpendicular ao plano dado pela equação: Pela condição de perpendicularidade dos planos:
A 1 A 2 +B 1 B 2 +C 1 C 2 =0
1 × A+(-3)× B+5× C=0
A=3B-5C
Substitua na equação inferior
4.(303) Encontre a distância do ponto 
endireitar 
.
Encontre o ponto de intersecção da perpendicular que passa pelo ponto A. vamos chamá-la H(x, y, z) .
AN:3(x-2)+4(y+1)+2z=0 3x+4a+2z-2=0
As equações paramétricas da reta têm a forma:
T. H(4,-3,1)
5.(5B3.RP) Encontre esses valores de parâmetro 
E 
, para o qual o direto 
E 
são paralelos.
Para calcular o vetor de direção, use a fórmula:
Calcular o vetor de direção da linha reta
Porque A||B
Obtemos um sistema de equações:
Resposta: A=0, B=-1.
6.(733) Direto 
paralelo a um plano, intercepta uma reta 
e passa pelo ponto 
. Encontre a ordenada do ponto de intersecção de uma linha com um plano 
.
Vamos encontrar k:
Vamos escrever as equações paramétricas da reta:
Substituto x, y,z na equação eu e obtenha o valor de t.
T. EM(8;-8;5) pertence a L
Vamos escrever as equações paramétricas L:
Substitua esses valores na equação:
Encontre a ordenada do ponto de interseção 
Resposta: -2,5.
7.(983). Encontre o raio de um círculo centrado em um ponto 
se tocar na linha 
.
Para encontrar o raio de um círculo, você pode encontrar a distância do ponto A a uma determinada linha reta e essa distância será igual ao raio.
Vamos usar a fórmula:
8. Dada uma curva.
8.1. Prove que a curva dada é uma elipse.
8.2.(TT3.RP) Encontre as coordenadas do centro de sua simetria.
8.3 (4B3.RP) Encontre seus semi-eixos maior e menor da curva.
8.4.(2P3) Escreva a equação do eixo focal.
8.5. Construa esta curva.
A equação canônica de uma elipse tem a forma
Trazemos a equação da curva para a forma canônica:
Porque pesquisa não contém ei, então permanecemos no antigo sistema de coordenadas.
Tomando o ponto como um novo começo 
, aplique as fórmulas de transformação de coordenadas 
Isso corresponde à forma geral da equação da elipse, na qual o semi-eixo maior é 4 e o semi-eixo menor é 2.
Raio focal - os vetores da elipse dada correspondem à equação
9. Dada uma curva 
.
9.1. Prove que esta curva é uma parábola.
9.2.(L33). Encontre o valor de seu parâmetro 
.
9.3. (2T3.RP). Encontre as coordenadas de seu vértice.
9.4.(7B3). Escreva a equação para o seu eixo de simetria.
9.5. Construa esta curva.
A equação canônica de uma parábola é: y 2 =2px
Em nosso exemplo
Aqueles. esta curva é uma parábola, simétrica em relação ao eixo y.
Neste caso, 2p = -12
p \u003d -6, portanto os ramos da parábola são voltados para baixo.
O topo da parábola está no ponto (-3;-2)
A equação do eixo de simetria desta parábola: x \u003d -3
10. Dada uma curva.
10.1. Prove que esta curva é uma hipérbole.
10.2. (793.RP). Encontre as coordenadas do centro de sua simetria.
10.3. (8D3.RP). Encontre os semi-eixos reais e imaginários.
10.4.(PS3.RP). Escreva a equação para o eixo focal.
10.5. Construa esta curva.
A equação canônica de uma hipérbole tem a forma 
Transformamos a equação usando as fórmulas para a rotação do eixo de coordenadas:
Nós temos: 
Encontre l a partir da condição:
aqueles. igualar o coeficiente em x`y` para zero
soluções normal
Programa educacional básico da educação geral básica índice
Programa educacional principal... vetores. Comprimento (módulo) vetor. Igualdade vetores. colinear vetores. Coordenadas vetor. Multiplicação vetor por número, soma vetores, decomposição vetor ... solução tarefas de desenvolvimento infantil que não estão incluídas no conteúdo da educação Multar ...
Programa educacional de educação geral básica (fgos ooo)
Programa educacional... vetores direto soluções... garantindo a organização racional do modo motor, normal desenvolvimento físico e aptidão motora...
Programa educacional básico aproximado
Programa... vetores, definir perpendicularidade direto. O graduado terá a oportunidade de: dominar o método vetorial para soluções... garantindo a organização racional do modo motor, normal desenvolvimento físico e aptidão motora...
Linha reta no plano.
Equação geral de uma reta.
Antes de introduzir a equação geral de uma reta em um plano, vamos introduzir a definição geral de reta.
Definição. Tipo de equação
F(x ,y )=0 (1)
chamada de equação da linha eu em um determinado sistema de coordenadas, se isso for satisfeito pelas coordenadas x E no qualquer ponto da linha eu, e não satisfazem as coordenadas de nenhum ponto que não esteja nesta linha.
O grau da equação (1) determina ordem de linha. Diremos que a equação (1) determina (configura) a reta eu.
Definição. Tipo de equação
Ah+Wu+C=0 (2)
com coeficientes arbitrários A, EM, COM (A E EM não são iguais a zero ao mesmo tempo) definem uma certa linha reta em um sistema de coordenadas retangulares. Esta equação é chamada a equação geral de uma reta.
A equação (2) é uma equação de primeiro grau, então toda reta é uma reta de primeira ordem e, inversamente, toda reta de primeira ordem é uma reta.
Consideremos três casos especiais em que a equação (2) está incompleta, ou seja, um dos coeficientes é igual a zero.
1) Se C=0, então a equação tem a forma Ah+Wu=0 e define uma reta passando pela origem das coordenadas desde coordenadas (0,0) satisfaça esta equação.
2) Se B=0 (A≠0), então a equação tem a forma Ax+C=0 e define uma linha paralela ao eixo y. Resolvendo esta equação em relação à variável x obtemos uma equação da forma x=a, Onde a \u003d -C / A, A- o valor do segmento que corta a linha reta no eixo x. Se a=0 (C=0 OU(Fig. 1a). Assim, o direto x=0 define o eixo y.
3) Se A=0 (B≠0), então a equação tem a forma Wu+C=0 e define uma reta paralela ao eixo x. Resolvendo esta equação em relação à variável no obtemos uma equação da forma y=b, Onde b \u003d -C / B, b- o valor do segmento que corta a linha reta no eixo y. Se b=0 (C=0), então a linha coincide com o eixo Oh(Fig. 1b). Assim, o direto y=0 define o eixo x.
A) b)
Equação de uma reta em segmentos.
Deixe a equação Ah+Wu+C=0 desde que nenhum dos coeficientes seja igual a zero. Vamos mover o coeficiente COM para o lado direito e divida por -COM ambas as partes.
Usando a notação introduzida no primeiro parágrafo, obtemos a equação da reta " em segmentos»:
Tem esse nome porque os números A E b são os valores dos segmentos que a reta corta nos eixos coordenados.
Exemplo 2x-3a+6=0. Escreva uma equação para esta linha reta "em segmentos" e construa esta linha reta.
Solução
Para construir esta linha reta, coloque no eixo Oh segmento de linha a=-3, e no eixo OU segmento de linha b=2. Trace uma linha reta pelos pontos obtidos (Fig. 2).
Equação de uma linha reta com uma inclinação.
Deixe a equação Ah+Wu+C=0 desde que o coeficiente EM não é igual a zero. Vamos realizar as seguintes transformações
Equação (4), onde k=-A /B, é chamado a equação de uma linha reta com uma inclinação k.
Definição. Ângulo de inclinaçao dado direto para o eixo Oh vamos chamar o ângulo α para girar o eixo Oh de modo que sua direção positiva coincida com uma das direções da linha reta.
A tangente do ângulo de inclinação de uma linha reta ao eixo Oh igual à inclinação, ou seja, k =tga. Vamos provar que –A/B realmente igual k. De um triângulo retângulo ΔOAB(Fig. 3) expressamos tga , faça as transformações necessárias e obtenha:
Q.E.D.
Se k=0, então a reta é paralela ao eixo Oh, e sua equação é y=b.
Exemplo. A reta é dada pela equação geral 4x+2a-2=0. Escreva uma equação para esta reta com uma inclinação.
Solução. Realizamos transformações semelhantes às descritas acima, obtemos:
Onde k=-2, b=1.
Equação de uma reta que passa por um ponto dado com uma inclinação dada.
Seja dado um ponto M 0 (x 0, y 0) linha reta e sua inclinação k. Escrevemos a equação de uma reta na forma (4), onde b- número ainda desconhecido. desde o ponto M 0 pertence a uma dada reta, então suas coordenadas satisfazem a equação (4): . Substituindo a expressão por b em (4), obtemos a equação desejada da reta:
Exemplo. Escreva a equação de uma reta passando pelo ponto M (1,2) e formando um ângulo com o eixo Oh em um ângulo de 45 0 .
Solução. k =tga =tg 45 0 =1. Daqui: .
Equação de uma reta que passa por dois pontos dados.
Sejam dados dois pontos M 1 (x 1, y 1) E M 2 (x 2, y 2). Escrevemos a equação de uma reta na forma (5), onde k coeficiente ainda desconhecido:
desde o ponto M 2 pertence a uma dada reta, então suas coordenadas satisfazem a equação (5): . Expressando a partir daqui e substituindo na equação (5), obtemos a equação desejada:
Se esta equação puder ser reescrita de uma forma que seja mais fácil de lembrar:
Exemplo. Escreva a equação de uma reta passando pelos pontos M 1 (1.2) e M 2 (-2.3)
Solução. . Usando a propriedade da proporção, e realizando as transformações necessárias, obtemos a equação geral da reta:
Ângulo entre duas linhas
Considere duas linhas eu 1 E eu 2:
eu 1: , , E
eu 2: , ,
φ é o ângulo entre eles (). A Figura 4 mostra: .
A partir daqui, ou
l 2 são paralelos, então φ=0 E tgφ =0. da fórmula (7) segue-se que , de onde k 2 =k 1. Assim, a condição para o paralelismo de duas retas é a igualdade de suas inclinações.Se direto eu 1 E eu 2 perpendicular, então φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 .. Assim, a condição para duas retas serem perpendiculares é que suas inclinações sejam recíprocas em magnitude e opostas em sinal.
Linearidade da equação direta e declaração inversa.
Vetores diretivos e normais.
linha vetorial normalé qualquer vetor diferente de zero situado em qualquer linha perpendicular ao dado.
vetor de direção retaé qualquer vetor diferente de zero situado em uma determinada linha ou em uma linha paralela a ela.
Para usar o método de coordenadas, você precisa conhecer bem as fórmulas. Há três deles:
À primeira vista, parece ameaçador, mas apenas um pouco de prática - e tudo funcionará muito bem.
Tarefa. Encontre o cosseno do ângulo entre os vetores a = (4; 3; 0) e b = (0; 12; 5).
Solução. Uma vez que temos as coordenadas dos vetores, nós os substituímos na primeira fórmula:
Tarefa. Escreva uma equação para o plano que passa pelos pontos M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) e K = (2; 1; 0), se for conhecido que não passa a origem.
Solução. A equação geral do plano: Ax + By + Cz + D = 0, mas como o plano desejado não passa pela origem - o ponto (0; 0; 0) - então definimos D = 1. Como esse plano passa pelos pontos M, N e K, então as coordenadas desses pontos devem tornar a equação uma verdadeira igualdade numérica.
Substituamos as coordenadas do ponto M = (2; 0; 1) ao invés de x, y e z. Nós temos:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;
Da mesma forma, para os pontos N = (0; 1; 1) e K = (2; 1; 0) obtemos as equações:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;
Portanto, temos três equações e três incógnitas. Nós compomos e resolvemos o sistema de equações:
Temos que a equação do plano tem a forma: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.
Tarefa. O plano é dado pela equação 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Encontre as coordenadas do vetor perpendicular ao plano dado.
Solução. Usando a terceira fórmula, obtemos n = (7; − 2; 4) - isso é tudo!
Cálculo de coordenadas de vetores
Mas e se não houver vetores no problema - houver apenas pontos situados em linhas retas e for necessário calcular o ângulo entre essas linhas retas? É simples: conhecendo as coordenadas dos pontos - o início e o fim do vetor - você pode calcular as coordenadas do próprio vetor.
Para encontrar as coordenadas de um vetor, é necessário subtrair as coordenadas do início das coordenadas do seu fim.
Este teorema funciona igualmente no plano e no espaço. A expressão “subtrair coordenadas” significa que a coordenada x de outro ponto é subtraída da coordenada x de um ponto, então o mesmo deve ser feito com as coordenadas y e z. aqui estão alguns exemplos:
Tarefa. Existem três pontos no espaço, dados por suas coordenadas: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) e C = (− 4; 3; − 2). Encontre as coordenadas dos vetores AB, AC e BC.
Considere o vetor AB: seu início está no ponto A e seu fim está no ponto B. Portanto, para encontrar suas coordenadas, é necessário subtrair as coordenadas do ponto A das coordenadas do ponto B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).
Da mesma forma, o início do vetor AC ainda é o mesmo ponto A, mas o final é o ponto C. Portanto, temos:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).
Finalmente, para encontrar as coordenadas do vetor BC, é necessário subtrair as coordenadas do ponto B das coordenadas do ponto C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).
Resposta: AB = (2; − 7; 4); AC = (−5;−3;−5); BC = (-7; 4; - 9)
Preste atenção no cálculo das coordenadas do último vetor BC: muita gente comete erros ao trabalhar com números negativos. Isso se aplica à variável y: o ponto B tem a coordenada y = − 1 e o ponto C tem y = 3. Obtemos exatamente 3 − (− 1) = 4, e não 3 − 1, como muitas pessoas pensam. Não cometa erros tão estúpidos!
Computação de vetores de direção para linhas retas
Se você ler atentamente o problema C2, ficará surpreso ao descobrir que não há vetores ali. Existem apenas linhas retas e planos.
Vamos começar com linhas retas. Tudo é simples aqui: em qualquer linha há pelo menos dois pontos diferentes e, inversamente, quaisquer dois pontos diferentes definem uma única linha...
Alguém entende o que está escrito no parágrafo anterior? Eu mesmo não entendi, então vou explicar de forma mais simples: no problema C2, as retas são sempre dadas por um par de pontos. Se introduzirmos um sistema de coordenadas e considerarmos um vetor com início e fim nesses pontos, obtemos o chamado vetor diretor para uma linha reta:
Por que esse vetor é necessário? A questão é que o ângulo entre duas retas é o ângulo entre seus vetores diretores. Assim, estamos passando de linhas retas incompreensíveis para vetores específicos, cujas coordenadas são facilmente calculadas. Quão fácil? Dê uma olhada nos exemplos:
Tarefa. As linhas AC e BD 1 são desenhadas no cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Encontre as coordenadas dos vetores diretores dessas linhas.
Como o comprimento das arestas do cubo não é especificado na condição, definimos AB = 1. Vamos introduzir um sistema de coordenadas com origem no ponto A e eixos x, y, z direcionados ao longo das linhas AB, AD e AA 1, respectivamente. O segmento unitário é igual a AB = 1.
Agora vamos encontrar as coordenadas do vetor de direção para a reta AC. Precisamos de dois pontos: A = (0; 0; 0) e C = (1; 1; 0). Daqui obtemos as coordenadas do vetor AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - este é o vetor de direção.
Agora vamos lidar com a reta BD 1 . Também possui dois pontos: B = (1; 0; 0) e D 1 = (0; 1; 1). Obtemos o vetor de direção BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).
Resposta: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)
Tarefa. Em um prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1 , cujas arestas são iguais a 1, traçam-se as retas AB 1 e AC 1. Encontre as coordenadas dos vetores diretores dessas linhas.
Vamos introduzir um sistema de coordenadas: a origem está no ponto A, o eixo x coincide com AB, o eixo z coincide com AA 1 , o eixo y forma o plano OXY com o eixo x, que coincide com o ABC avião.
Primeiro, vamos lidar com a reta AB 1 . Tudo é simples aqui: temos os pontos A = (0; 0; 0) e B 1 = (1; 0; 1). Obtemos o vetor de direção AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).
Agora vamos encontrar o vetor de direção para AC 1 . Tudo é igual - a única diferença é que o ponto C 1 tem coordenadas irracionais. Então, A = (0; 0; 0), então temos:
Resposta: AB 1 = (1; 0; 1);
Uma nota pequena, mas muito importante, sobre o último exemplo. Se o início do vetor coincidir com a origem, os cálculos são bastante simplificados: as coordenadas do vetor são simplesmente iguais às coordenadas do fim. Infelizmente, isso só é verdade para vetores. Por exemplo, ao trabalhar com planos, a presença da origem das coordenadas neles apenas complica os cálculos.
Cálculo de vetores normais para planos
Os vetores normais não são vetores que estão indo bem ou que se sentem bem. Por definição, um vetor normal (normal) a um plano é um vetor perpendicular ao plano dado.
Em outras palavras, uma normal é um vetor perpendicular a qualquer vetor em um determinado plano. Certamente você encontrou essa definição - no entanto, em vez de vetores, tratava-se de linhas retas. No entanto, logo acima foi mostrado que no problema C2 pode-se operar com qualquer objeto conveniente - até mesmo uma linha reta, até mesmo um vetor.
Deixe-me lembrá-lo mais uma vez que qualquer plano é definido no espaço pela equação Ax + By + Cz + D = 0, onde A, B, C e D são alguns coeficientes. Sem diminuir a generalidade da solução, podemos assumir D = 1 se o plano não passa pela origem, ou D = 0 se passa. Em qualquer caso, as coordenadas do vetor normal a este plano são n = (A; B; C).
Assim, o plano também pode ser substituído com sucesso por um vetor - o mesmo normal. Qualquer plano é definido no espaço por três pontos. Como encontrar a equação do plano (e, portanto, a normal), já discutimos no início do artigo. No entanto, esse processo causa problemas para muitos, então darei mais alguns exemplos:
Tarefa. A seção A 1 BC 1 é desenhada no cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Encontre o vetor normal para o plano desta seção se a origem estiver no ponto A e os eixos x, y e z coincidirem com as arestas AB, AD e AA 1, respectivamente.
Como o plano não passa pela origem, sua equação fica assim: Ax + By + Cz + 1 = 0, ou seja coeficiente D \u003d 1. Como este plano passa pelos pontos A 1, B e C 1, as coordenadas desses pontos transformam a equação do plano na igualdade numérica correta.
A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;
Da mesma forma, para os pontos B = (1; 0; 0) e C 1 = (1; 1; 1) obtemos as equações:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;
Mas os coeficientes A = − 1 e C = − 1 já são conhecidos por nós, então resta encontrar o coeficiente B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.
Obtemos a equação do plano: - A + B - C + 1 = 0, Portanto, as coordenadas do vetor normal são n = (- 1; 1; - 1).
Tarefa. Uma seção AA 1 C 1 C é desenhada no cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Encontre o vetor normal para o plano desta seção se a origem está no ponto A e os eixos x, y e z coincidem com o arestas AB, AD e AA 1 respectivamente.
Nesse caso, o plano passa pela origem, então o coeficiente D \u003d 0, e a equação do plano fica assim: Ax + By + Cz \u003d 0. Como o plano passa pelos pontos A 1 e C, o as coordenadas desses pontos transformam a equação do plano na igualdade numérica correta.
Substituamos as coordenadas do ponto A 1 = (0; 0; 1) ao invés de x, y e z. Nós temos:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;
Da mesma forma, para o ponto C = (1; 1; 0) obtemos a equação:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;
Seja B = 1. Então A = − B = − 1, e a equação de todo o plano é: − A + B = 0. Portanto, as coordenadas do vetor normal são n = (− 1; 1; 0).
De um modo geral, nos problemas acima é necessário compor um sistema de equações e resolvê-lo. Haverá três equações e três variáveis, mas no segundo caso uma delas será livre, ou seja, tomar valores arbitrários. É por isso que temos o direito de colocar B = 1 - sem prejuízo da generalidade da solução e da correção da resposta.
Muitas vezes no problema C2 é necessário trabalhar com pontos que dividem o segmento ao meio. As coordenadas de tais pontos são facilmente calculadas se as coordenadas das extremidades do segmento forem conhecidas.
Então, deixe o segmento ser dado por suas extremidades - pontos A \u003d (x a; y a; z a) e B \u003d (x b; y b; z b). Então as coordenadas do meio do segmento - denotamos pelo ponto H - podem ser encontradas pela fórmula:
Em outras palavras, as coordenadas do meio de um segmento são a média aritmética das coordenadas de suas extremidades.
Tarefa. O cubo unitário ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 é colocado no sistema de coordenadas de forma que os eixos x, y e z estejam direcionados ao longo das arestas AB, AD e AA 1, respectivamente, e a origem coincida com o ponto A. Ponto K é o ponto médio da aresta A 1 B 1 . Encontre as coordenadas deste ponto.
Como o ponto K é o meio do segmento A 1 B 1 , suas coordenadas são iguais à média aritmética das coordenadas das extremidades. Vamos anotar as coordenadas das pontas: A 1 = (0; 0; 1) e B 1 = (1; 0; 1). Agora vamos encontrar as coordenadas do ponto K:
Tarefa. O cubo unitário ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 é colocado no sistema de coordenadas de modo que os eixos x, y e z estejam direcionados ao longo das arestas AB, AD e AA 1, respectivamente, e a origem coincida com o ponto A. Encontre as coordenadas do ponto L onde se interceptam as diagonais do quadrado A 1 B 1 C 1 D 1 .
Do curso da planimetria sabe-se que o ponto de intersecção das diagonais de um quadrado é equidistante de todos os seus vértices. Em particular, A 1 L = C 1 L, i.e. o ponto L é o ponto médio do segmento A 1 C 1 . Mas A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), então temos:
Resposta: L = (0,5; 0,5; 1)
