Introdução O problema do meu projeto é que a capacidade de resolver vários sistemas de equações é necessária para passar no exame e, no curso do ensino médio, eles não têm tempo suficiente para aprender mais profundamente esse assunto. O objetivo do trabalho: preparar-se para a entrega bem-sucedida do exame. Tarefas do trabalho: Amplie seus conhecimentos na área da matemática relacionados ao conceito de “simetria”. Aprimore sua cultura matemática, utilizando o conceito de “simetria” na resolução de sistemas de equações, denominados simétricos, bem como em outros problemas da matemática.
O conceito de simetria. Simetria - (grego antigo συμμετρία), em sentido amplo - imutabilidade sob quaisquer transformações. Assim, por exemplo, a simetria esférica de um corpo significa que a aparência do corpo não mudará se ele for girado no espaço em ângulos arbitrários. A simetria bilateral significa que a direita e a esquerda parecem iguais em relação a algum plano.
Resolução de problemas usando simetria. Problema 1 Duas pessoas se revezam colocando moedas idênticas em uma mesa redonda, e as moedas não devem se cobrir. Aquele que não pode fazer um movimento perde. Quem ganha quando jogado corretamente? (Em outras palavras, qual jogador tem uma estratégia vencedora?)
Métodos de resolução de sistemas simétricos. Sistemas simétricos podem ser resolvidos pela mudança de variáveis, que são os principais polinômios simétricos. Um sistema simétrico de duas equações com duas incógnitas x e y é resolvido substituindo u = x + y, v = xy.
Exemplo nº 2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 \u003d 78, 2x - 3xy + 2y + 8 \u003d 0 Usando os polinômios simétricos básicos, o sistema pode ser escrito da seguinte forma 3uv - 2v \u003d 78, 2u - 3v \u003d -8. Expressando u = da segunda equação e substituindo-o na primeira equação, obtemos 9v2– 28v – 156 = 0. As raízes desta equação v 1 = 6 e v 2 = - nos permitem encontrar os valores correspondentes u1 = 5, u2= - da expressão u = .
Vamos agora resolver o seguinte conjunto de sistemas Vamos agora resolver o seguinte conjunto de sistemas x + y = 5, e x + y = - , xy = 6 xy = - . x \u003d 5 - y e y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -. x \u003d 5 - y, e y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -. x \u003d 5 - y e y \u003d -x -, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d - x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3 e x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= Resposta: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).
Teoremas usados na resolução de sistemas simétricos. Teorema 1. (sobre polinômios simétricos) Qualquer polinômio simétrico em duas variáveis pode ser representado como uma função de dois polinômios simétricos básicos Em outras palavras, para qualquer polinômio simétrico f (x, y) existe uma função de duas variáveis φ (u, v) tal que
Teorema 2. (sobre polinômios simétricos) Teorema 2. (sobre polinômios simétricos) Qualquer polinômio simétrico em três variáveis pode ser representado como uma função de três polinômios simétricos básicos: Em outras palavras, para qualquer polinômio simétrico f (x, y) existe tal função de três variáveis θ (u, v, w) tal que
Sistemas simétricos mais complexos - sistemas contendo o módulo: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | ano-1 | = 2. Considere este sistema separadamente para x< 1 и при х ≥ 1.
Если х < 1, то:
а) при у < х система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
b) para x ≤ y< 1 система принимает вид
б) при х ≤ у < 1 система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1.
Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
в) при у ≥ 1 (тогда у >x) o sistema assume a forma - x + y + y 2 \u003d 3, - x + 1 + y - 1 \u003d 2, ou - x + y + y 2 \u003d 3, x - y \u003d - 2, de onde encontramos x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1. O segundo par de números pertence à área em consideração, ou seja, é uma solução a este sistema.
Se x ≥ 1, então: Se x ≥ 1, então: a) x > y e y< 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 – у = 1 = 2,
или
х – у + у 2= 3,
х – у = 2,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы;
б) при х >y e y ≥ 1 o sistema assume a forma x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, ou x - y + y 2 = 3, x + y = 4, a partir do qual encontramos x = 1, y = 3. Este par de números não pertence à área considerada;
c) para x ≤ y (então y ≥ 1), o sistema assume a forma c) para x ≤ y (então y ≥ 1), o sistema assume a forma - x + y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, ou - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, de onde encontramos x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Esses pares de números não pertencem à área em consideração. Assim, x 1 \u003d - 1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1. Resposta: (- 1; 1); (onze).
Conclusão A matemática desenvolve o pensamento humano, ensina através da lógica a encontrar diferentes soluções. Então, tendo aprendido a resolver sistemas simétricos, percebi que eles podem ser usados não apenas para completar exemplos específicos, mas também para resolver vários tipos de problemas. Acho que o projeto pode beneficiar não só a mim. Para quem também quer se familiarizar com esse tema, meu trabalho será um bom auxiliar.
Lista de literatura usada: Bashmakov M.I., "Álgebra e os primórdios da análise", 2ª edição, Moscou, "Prosveshchenie", 1992, 350 páginas. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., "Álgebra e funções elementares ", diretório; terceira edição, revista e ampliada; Kiev, Naukova, Dumka, 1987, 648 páginas. Sharygin I. F., “Matemática para alunos do ensino médio”, Moscou, editora Drofa, 1995, 490 páginas. Recursos da Internet: http://www.college. en/
A obra pode ser utilizada para aulas e relatórios sobre a disciplina "Matemática"
Apresentações matemáticas prontas são usadas como auxílios visuais que permitem que um professor ou pai demonstre o tópico que está sendo estudado no livro didático usando slides e tabelas, mostre exemplos para resolver problemas e equações e teste o conhecimento. Nesta seção do site, você pode encontrar e baixar várias apresentações prontas de matemática para alunos das séries 1,2,3,4,5,6, bem como apresentações de matemática superior para estudantes universitários.
Então, para u, obtemos a equação 
Recordemos o teorema sobre raízes racionais de polinômios (§ 2.1.5). As raízes racionais da nossa equação devem ser procuradas entre os divisores do número -4. Passando por todos os divisores, estamos convencidos de que a equação não tem raízes racionais. No entanto, este teorema não era um teorema sobre a existência de raízes. O teorema especificado afirmava apenas o seguinte: se um polinômio com coeficientes inteiros tiver raízes racionais (mas ainda existe a possibilidade de NÃO existirem), essas raízes terão alguma forma especial. O caso em que não há raízes racionais, este teorema não descreveu.
Vamos tentar encontrar as raízes da equação do sistema original entre números irracionais. No entanto, isso exigirá alguma engenhosidade: a substituição padrão para sistemas simétricos obviamente não funciona aqui.
Elevando a segunda equação a um cubo, obtemos: Assim, de acordo com o teorema de Vieta, e são as raízes da equação quadrática Conseqüentemente e Conseqüentemente,
Estudando literatura adicional sobre como resolver sistemas de equações, encontrei um novo tipo de sistema - simétrico. E eu me propus uma meta:
Resuma informações científicas sobre o tema "Sistemas de Equações".
Compreender e aprender a resolver a forma de introdução de novas variáveis;
3) Considerar as principais teorias relacionadas a sistemas de equações simétricos
4) Aprenda a resolver sistemas simétricos de equações.
História da resolução de sistemas de equações.
A eliminação de incógnitas de equações lineares tem sido usada há muito tempo. No século 17-18. v. as técnicas de exclusão foram desenvolvidas por Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange.
Na notação moderna, o sistema de duas equações lineares com duas incógnitas tem a forma: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 – а2с1 As soluções deste sistema são expressas por fórmulas.
a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1
Graças ao método de coordenadas criado no século XVII. Fermat e Descartes, tornou-se possível resolver sistemas de equações graficamente.
Nos antigos textos babilônicos escritos em 3-2 milênios aC. e. , contém muitos problemas resolvidos pela compilação de sistemas de equações, nos quais também são introduzidas equações do segundo grau.
Exemplo 1:
Somei as áreas dos meus dois quadrados: 25. O lado do segundo quadrado é igual ao lado do primeiro e mais 5. O sistema de equações correspondente na notação correspondente se parece com: x2 + y2 = 25, y = x = 5
Diofanto, que não tinha notação para muitas incógnitas, esforçou-se muito para escolher a incógnita de forma a reduzir a solução do sistema à solução de uma única equação.
Exemplo #2:
"Encontre dois números naturais, sabendo que a soma deles é 20 e a soma de seus quadrados é 208."
O problema também foi resolvido compilando um sistema de equações, x + y = 20, mas resolvido x2 + y2 = 208
Diofanto, escolhendo como a metade desconhecida da diferença dos números desejados, ou seja,
(x - y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10
2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- não satisfaz a condição do problema, portanto, se z = 2x = 12 e y = 8
Conceitos de um sistema de equações algébricas.
Em muitos problemas, pode ser necessário encontrar várias quantidades desconhecidas, sabendo que outras quantidades formadas com a ajuda delas (funções de incógnitas) são iguais entre si ou a algumas quantidades dadas. Vamos considerar um exemplo simples.
Um terreno retangular com área de 2400 m2 é cercado por uma cerca de 200 m de comprimento. encontre o comprimento e a largura do segmento. Na verdade, o "modelo algébrico" desse problema é um sistema de duas equações e uma desigualdade.
Possíveis limitações-desigualdades devem ser sempre lembradas. Quando você resolve problemas para compilar sistemas de equações. Mas ainda assim o principal é resolver as próprias equações. Vou falar sobre os métodos que são usados.
Vamos começar com as definições.
Um sistema de equações é um conjunto de várias (mais de uma) equações conectadas por um colchete.
A chave significa que todas as equações do sistema devem ser executadas simultaneamente, e mostra que você precisa encontrar um par de números (x; y) que transforme cada equação em uma igualdade verdadeira.
A solução do sistema é um tal par de números x e y, que, quando substituídos neste sistema, transformam cada uma de suas equações em uma verdadeira igualdade numérica.
Resolver um sistema de equações significa encontrar todas as suas soluções ou estabelecer que não há nenhuma.
Método de substituição.
O método de substituição é que em uma das equações uma variável é expressa em termos de outra. A expressão resultante é substituída por outra equação, que então se transforma em uma equação com uma variável e, então, é resolvida. Os valores resultantes desta variável são substituídos em qualquer equação do sistema original e a segunda variável é encontrada.
Algoritmo.
1. Expresse y em termos de x a partir de uma equação do sistema.
2. Substitua a expressão resultante em vez de y em outra equação do sistema.
3. Resolva a equação resultante para x.
4. Substitua sucessivamente cada uma das raízes da equação encontrada na terceira etapa, em vez de x, na expressão y até x obtida na primeira etapa.
5) Anote a resposta na forma de pares de valores (x; y).
Exemplo nº 1 y \u003d x - 1,
Substituindo na segunda equação y \u003d x - 1, obtemos 5x + 2 (x - 1) \u003d 16, dos quais x \u003d 2. substituímos a expressão resultante na primeira equação: y \u003d 2 - 1 \ u003d 1.
Resposta: (2; 1).
Exemplo #2:
8a - x \u003d 4, 1) 2 (8a - 4) - 21a \u003d 2
2x - 21a \u003d 2 16a - 8 - 21a \u003d 2
5y \u003d 10 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2
2x - 21a \u003d 2
2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20
2 (8y - 4) - 21y \u003d 2 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2 x \u003d -20, y \u003d -2
Resposta: (-20; -2).
Exemplo #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2
X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 - 2x - 8 = 0 - equação quadrática y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8
Daí (-2; -4); (4; 8) são soluções deste sistema.
Método de adição.
O método da adição consiste no fato de que se um determinado sistema consiste em equações que, quando somadas, formam uma equação com uma variável, então, resolvendo essa equação, obteremos os valores de uma das variáveis. O valor da segunda variável é encontrado, como no método de substituição.
Algoritmo para resolução de sistemas pelo método da adição.
1. Equalize módulos de coeficientes para uma das incógnitas.
2. Adicionando ou subtraindo as equações resultantes, encontre uma incógnita.
3. Substituindo o valor encontrado em uma das equações do sistema original, encontre a segunda incógnita.
Exemplo 1. Resolva o sistema de equações adicionando: x + y \u003d 20, x - y \u003d 10
Subtraindo a segunda equação da primeira equação, obtemos
Expressamos a partir da segunda expressão x \u003d 20 - y
Substitua y \u003d 5 nesta expressão: x \u003d 20 - 5 x \u003d 15.
Resposta: (15; 5).
Exemplo #2:
Vamos representar as equações do sistema proposto como uma diferença, obtemos
7y = 21, onde y = 3
Substituindo este valor no valor expresso na segunda equação do sistema x = , obtemos x = 4.
Resposta: (4; 3).
Exemplo #3:
2x + 11a = 15,
10x - 11a = 9
Somando essas equações, temos:
2x + 10x = 15 + 9
12x \u003d 24 x \u003d 2, substituindo este valor na segunda equação, obtemos:
10 * 2 - 11y \u003d 9, de onde y \u003d 1.
A solução deste sistema é o par: (2; 1).
Maneira gráfica de resolver sistemas de equações.
Algoritmo.
1. Construir gráficos de cada uma das equações do sistema.
2. Encontrar as coordenadas do ponto de interseção das linhas construídas.
O caso do arranjo mútuo de linhas no plano.
1. Se as retas se interceptam, ou seja, têm um ponto comum, então o sistema de equações tem uma solução.
2. Se as retas são paralelas, ou seja, não têm pontos comuns, então o sistema de equações não tem solução.
3. Se as retas coincidem, ou seja, têm muitos pontos, então o sistema de equações tem um número infinito de soluções.
Exemplo 1:
Resolva graficamente o sistema de equações x - y \u003d -1,
Expressamos a partir da primeira e segunda equações y: y \u003d 1 + x, y \u003d 4 - 2x x
Vamos construir gráficos de cada uma das equações do sistema:
1) y \u003d 1 + x - o gráfico da função é uma linha reta x 0 1 (1; 2) y 1 2
2) y \u003d 4 - 2x - o gráfico da função é uma linha reta x 0 1 y 4 2
Resposta: (1; 2).
Exemplo #2: y x + 2y = 6,
4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - o gráfico da função é uma linha reta x 0 2 y 3 2 y \u003d - o gráfico da função é uma linha reta x 0 2 y 2 1
Resposta: Não há soluções.
Exemplo nº 3: y x - 2y \u003d 2,
3x - 6y \u003d 6 x - 2y \u003d 2, x - 2y \u003d 2 x y \u003d - o gráfico da função é uma linha reta x 0 2 y -1 0
Resposta: O sistema tem um número infinito de soluções.
Método de introdução de novas variáveis.
O método de introdução de novas variáveis é que uma nova variável é introduzida em apenas uma equação ou duas novas variáveis para ambas as equações ao mesmo tempo, então a equação ou equações são resolvidas em relação às novas variáveis, após o que resta resolver um sistema mais simples de equações, a partir das quais encontramos a solução desejada.
Exemplo 1:
x + y = 5
Denote = z, então =.
A primeira equação terá a forma z + = , é equivalente a 6z - 13 + 6 = 0. Tendo resolvido a equação resultante, temos z = ; z=. Então = ou = , ou seja, a primeira equação se divide em duas equações, portanto, temos dois sistemas:
x + y = 5 x + y = 5
As soluções desses sistemas são as soluções do sistema dado.
A solução do primeiro sistema é o par: (2; 3), e a segunda é o par (3; 2).
Portanto, as soluções do sistema + = , x + y = 5
Os pares são (2; 3); (3; 2)
Exemplo #2:
Seja = X, a = Y.
X \u003d, 5 * - 2Y \u003d 1
5X - 2A \u003d 1 2,5 (8 - 3A) - 2A \u003d 1
20 - 7,5U - 2U \u003d 1
X \u003d, -9,5Y \u003d -19
5 * - 2Y = 1 Y = 2
Vamos fazer uma substituição.
2 x = 1, y = 0,5
Resposta: (1; 0,5).
Sistemas de equações simétricos.
Um sistema com n incógnitas é chamado de simétrico se não muda quando as incógnitas são rearranjadas.
Um sistema simétrico de duas equações com duas incógnitas x e y é resolvido substituindo u = x + y, v = xy. Observe que as expressões encontradas em sistemas simétricos são expressas em termos de u e v. Vamos dar vários exemplos que são de indubitável interesse para resolver muitos sistemas simétricos: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v, etc.
O sistema simétrico de três equações para as incógnitas x y, z é resolvido substituindo x + y + z = u, xy + yz + xz = w. Se u, v, w forem encontrados, forma-se uma equação cúbica t2 – ut2 + vt – w = 0, cujas raízes t1, t2, t3 em várias permutações são soluções do sistema original. As expressões mais comuns em tais sistemas são expressas em termos de u, v, w da seguinte forma: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w
Exemplo #1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4
Seja x + y = u, xy = v.
u2 – v = 13, u = 4
16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4
Vamos fazer uma substituição.
Resposta: (1; 3); (3; 1).
Exemplo #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4
Seja x + y = u, xy = v.
u3 – 3uv = 28, u = 4
64 - 12 v = 28, u = 4
12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4
Vamos fazer uma substituição.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
Resposta: (1; 3); (3; 1).
Exemplo #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13
Seja x = y = u, xy = v.
u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4
Vamos fazer uma substituição.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
Resposta: (1; 3); (3; 1).
Exemplo #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65
Seja x + y = u, xy = v.
u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65
15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4
Vamos fazer uma substituição.
x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y (5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4
Resposta: (4; 1); (14).
Exemplo #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23
Vamos fazer uma mudança de incógnitas, o sistema ficará na forma u2 + v = 49, u + v = 23
Adicionando essas equações, obtemos u2 + u - 72 = 0 com raízes u1 = 8, u2 = -9. Assim, v1 = 15, v2 = 32. Resta resolver o conjunto de sistemas x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32
O sistema x + y = 8 tem soluções x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.
O sistema x + y = -9 não possui soluções reais.
Resposta: (3; 5), (5; 3).
Exemplo número 6. Resolva o sistema de equações.
2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0
Usando os polinômios simétricos básicos u = y + x e v = xy, obtemos o seguinte sistema de equações
2u2 - 7v = 16, u + v = -3
Substituindo a expressão v = -3 – u da segunda equação do sistema na primeira equação, obtemos a seguinte equação 2u2 + 7u + 5 = 0, cujas raízes são u1 = -1 e u2 = -2,5; e, consequentemente, os valores v1 = -2 e v2 = -0,5 são obtidos de v = -3 - u.
Agora resta resolver o seguinte conjunto de sistemas x + y \u003d -1 e x + y \u003d -2,5, xy \u003d -2 xy \u003d -0,5
As soluções deste conjunto de sistemas, e portanto do sistema original (pela sua equivalência), são as seguintes: (1; -2), (-2; 1), (;).
Exemplo #7:
3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,
2x - 3xy + 2y + 8 = 0
Usando os polinômios simétricos básicos, o sistema pode ser escrito da seguinte forma
3uv - 2v = 78,
Expressando u = da segunda equação e substituindo-o na primeira equação, obtemos 9v2 – 28v – 156 = 0. As raízes desta equação v1 = 6 e v2 = - nos permitem encontrar os valores correspondentes u1 = 5, u2 = - da expressão u =.
Agora resolvemos o seguinte conjunto de sistemas x + y \u003d 5 e x + y \u003d - , xy \u003d 6 xy \u003d -.
x \u003d 5 - y e y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -.
x \u003d 5 - y, e y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -.
x = 5 – y, e y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3, e x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =
Resposta: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).
Conclusão.
No processo de redação do artigo, conheci diferentes tipos de sistemas de equações algébricas. Informações científicas resumidas sobre o tema "Sistemas de Equações".
Compreendeu e aprendeu a resolver introduzindo novas variáveis;
Revisou as principais teorias relacionadas a sistemas de equações simétricos
Aprendeu a resolver sistemas simétricos de equações.
Lições objetivas:
- educacional: aprender a resolver sistemas de equações contendo uma equação homogênea, sistemas de equações simétricos;
- em desenvolvimento: desenvolvimento do pensamento, atenção, memória, capacidade de destacar o principal;
- educacional: desenvolvimento de habilidades de comunicação.
Tipo de aula: lição aprendendo novo material.
Tecnologias de aprendizagem usadas:
- trabalho em grupos;
- método de projeto.
Equipamento: computador, projetor multimídia.
Uma semana antes da aula, os alunos recebem tópicos para tarefas criativas (de acordo com as opções).
eu opção. Sistemas de equações simétricos. Soluções.
II opção. Sistemas contendo uma equação homogênea. Soluções.
Cada aluno, usando literatura educacional adicional, deve encontrar o material educacional apropriado, selecionar um sistema de equações e resolvê-lo.
Um aluno de cada opção cria apresentações multimídia sobre o tema da tarefa criativa. O professor orienta os alunos sempre que necessário.
I. Motivação para atividades de aprendizagem dos alunos
Discurso introdutório do professor
Na lição anterior, consideramos a solução de sistemas de equações pelo método de substituição de incógnitas. Não existe uma regra geral para a escolha de novas variáveis. No entanto, dois tipos de sistemas de equações podem ser distinguidos quando há uma escolha razoável de variáveis:
- sistemas simétricos de equações;
- sistemas de equações, um dos quais é homogêneo.
II. Aprendendo novo material
Os alunos da segunda opção relatam seus deveres de casa.
1. Slideshow de uma apresentação multimídia "Sistemas contendo uma equação homogênea" (apresentação 1).
2. Trabalho em duplas de alunos sentados na mesma carteira: um aluno da segunda opção explica a um vizinho da carteira a solução de um sistema contendo uma equação homogênea.
Relatório dos alunos da 1ª opção.
1. Apresentação de slides da apresentação multimídia "Sistemas de equações simétricos" (apresentação 2).
Os alunos escrevem em seus cadernos:
2. Trabalho em duplas de alunos sentados na mesma carteira: um aluno da opção I explica a um vizinho da carteira a solução de um sistema de equações simétrico.
III. Consolidação do material estudado
Trabalhe em grupos (em um grupo de 4 alunos, reúna os alunos sentados em carteiras adjacentes).
Cada um dos 6 grupos executa a seguinte tarefa.
Determine o tipo de sistema e resolva-o:
Os alunos em grupos analisam sistemas, determinam seu tipo e, no decorrer do trabalho frontal, discutem soluções para sistemas.
um sistema
simétrico, introduzimos novas variáveis x+y=u, xy=v
b) sistema
contém uma equação homogênea.
Um par de números (0;0) não é uma solução para o sistema.
4. Controle do conhecimento dos alunos
Trabalho independente em opções.
Resolva o sistema de equações:
Os alunos entregam seus cadernos ao professor para revisão.
V. lição de casa
1. Realizado por todos os alunos.
Resolva o sistema de equações:
2. Realize alunos "fortes".
Resolva o sistema de equações:
VI. Resumo da lição
Questões:
Que tipos de sistemas de equações você aprendeu em sala de aula?
Que método de resolução de sistemas de equações é usado para resolvê-los?
Relatar as notas recebidas pelos alunos durante a aula.
1.
As equações são chamadas equações simétricas do 3º grau se eles se parecem
ax 3 + bx 2 + bx + a = 0.
Para resolver com sucesso equações deste tipo, é útil conhecer e ser capaz de usar as seguintes propriedades simples de equações recíprocas:
A) Qualquer equação recíproca de grau ímpar sempre tem raiz igual a -1.
Com efeito, se agruparmos os termos do lado esquerdo da seguinte forma: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, ou seja, é possível retirar um fator comum, ou seja, (x + 1) (ax 2 + (b - a) x + a) \u003d 0, portanto,
x + 1 \u003d 0 ou ax 2 + (b - a) x + a \u003d 0, a primeira equação e prova a afirmação que nos interessa.
b) A equação recíproca não tem raízes nulas.
V) Ao dividir um polinômio de grau ímpar por (x + 1), o quociente é novamente um polinômio recíproco, e isso é provado por indução.
Exemplo.
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.
Solução.
A equação original necessariamente tem uma raiz x \u003d -1, então dividimos x 3 + 2x 2 + 2x + 1 por (x + 1) de acordo com o esquema de Horner:
| . |
1 |
2 |
2 |
1 |
| -1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1) (x 2 + x + 1) = 0.
A equação quadrática x 2 + x + 1 = 0 não tem raízes.
Resposta 1.
2.
As equações são chamadas equações simétricas do 4º grau se eles se parecem
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
Algoritmo de solução equações semelhantes é:
A) Divida ambos os lados da equação original por x 2. Essa ação não levará à perda da raiz, pois x \u003d 0 não é solução para a equação dada.
b) Usando o agrupamento, traga a equação para a forma:
a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
V) Insira uma nova incógnita: t = (x + 1/x).
Vamos fazer as transformações: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Se agora expressarmos x 2 + 1/x 2, então t 2 - 2 = x 2 + 1/x 2.
G) Resolva a equação quadrática resultante em novas variáveis:
em 2 + bt + c - 2a = 0.
e) Faça uma substituição inversa.
Exemplo.
6x 4 - 5x 3 - 38x 2 - 5x + 6 = 0.
Solução.
6x 2 - 5x - 38 - 5 / x + 6 / x 2 \u003d 0.
6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 \u003d 0.
Digite t: substituição (x + 1/x) = t. Substituição: (x 2 + 1 / x 2) \u003d t 2 - 2, temos:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 ou t = 10/3.
Vamos voltar para x. Após a substituição reversa, resolvemos as duas equações resultantes:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 ou x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 - 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 ou x = 1/3.
Resposta: -2; -1/2; 1/3; 3.
Formas de resolver alguns tipos de equações de graus superiores
1. Equações que parecem (x + a) n + (x + b) n = c, são resolvidos por substituição t = x + (a + b)/2. Este método é chamado método de simetrização.
Um exemplo de tal equação seria uma equação da forma (x + a) 4 + (x + b) 4 = c.
Exemplo.
(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.
Solução.
Fazemos a substituição mencionada acima:
t \u003d x + (3 + 1) / 2 \u003d x + 2, após simplificação: x \u003d t - 2.
(t - 2 + 3) 4 + (t - 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t - 1) 4 = 272.
Removendo os parênteses usando fórmulas, obtemos:
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 - 4t 3 + 6t 2 - 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 - 270 = 0.
t 4 + 6t 2 - 135 = 0.
t 2 = 9 ou t 2 = -15.
A segunda equação não dá raízes, mas da primeira temos t = ±3.
Após a substituição reversa, obtemos x \u003d -5 ou x \u003d 1.
Resposta: -5; 1.
Para resolver tais equações, muitas vezes acaba por ser eficaz e método de fatoração do lado esquerdo da equação.
2. Equações da forma (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, onde a + d = c + b.
A técnica para resolver essas equações é abrir parcialmente os colchetes e, em seguida, introduzir uma nova variável.
Exemplo.
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.
Solução.
Calcule: 1 + 4 = 2 + 3. Agrupe os colchetes em pares:
((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.
Fazendo a alteração x 2 + 5x + 4 = t, temos a equação
t(t + 2) = 24, é quadrado:
t2 + 2t - 24 = 0.
t = -6 ou t = 4.
Depois de realizar a substituição inversa, podemos encontrar facilmente as raízes da equação original.
Resposta: -5; 0.
3. Equações da forma (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) \u003d Ax 2, onde ad \u003d cb.
O método de solução consiste em abrir parcialmente os colchetes, dividir ambas as partes por x 2 e resolver um conjunto de equações quadráticas.
Exemplo.
(x + 12)(x + 2)(x + 3)(x + 8) = 4x 2.
Solução.
Multiplicando os dois primeiros e os dois últimos colchetes do lado esquerdo, obtemos:
(x 2 + 14x + 24) (x 2 + 11x + 24) = 4x 2. Divida por x 2 ≠ 0.
(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. Substituindo (x + 24/x) = t, chegamos à equação quadrática:
(t + 14)(t + 11) = 4;
t 2 + 25x + 150 = 0.
t=10 ou t=15.
Fazendo a substituição inversa x + 24 / x \u003d 10 ou x + 24 / x \u003d 15, encontramos as raízes.
Resposta: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4.
Resolva a equação (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.
Solução.
Esta equação é imediatamente difícil de classificar e escolher um método de solução. Portanto, primeiro transformamos usando a diferença de quadrados e a diferença de cubos:
((3x + 5) 2 - 4x 2) + ((x + 6) 3 - 1) = 0. Então, depois de retirar o fator comum, chegamos a uma equação simples:
(x + 5) (x 2 + 18x + 48) = 0.
Resposta: -5; -9±√33.
Tarefa.
Componha um polinômio do terceiro grau, que tenha uma raiz igual a 4, tenha uma multiplicidade de 2 e uma raiz igual a -2.
Solução.
f(x)/((x - 4) 2 (x + 2)) = q(x) ou f(x) = (x - 4) 2 (x + 2)q(x).
Multiplicando os dois primeiros colchetes e trazendo termos semelhantes, obtemos: f (x) \u003d (x 3 - 6x 2 + 32) q (x).
x 3 - 6x 2 + 32 é um polinômio de terceiro grau, portanto, q (x) é algum número de R(ou seja, válido). Seja q(x) um, então f(x) = x 3 - 6x 2 + 32.
Resposta: f (x) \u003d x 3 - 6x 2 + 32.
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