Tabela de valores de funções trigonométricas

Observação. Esta tabela de valores para funções trigonométricas usa o sinal √ para denotar a raiz quadrada. Para denotar uma fração - o símbolo "/".

Veja também materiais úteis:

Para determinar o valor de uma função trigonométrica, encontre-o na interseção da linha que indica a função trigonométrica. Por exemplo, um seno de 30 graus - procuramos uma coluna com o título seno (seno) e encontramos a interseção desta coluna da tabela com a linha "30 graus", na interseção deles lemos o resultado - um segundo. Da mesma forma, encontramos cosseno 60 graus, seno 60 graus (mais uma vez, na interseção da coluna seno (seno) e a linha de 60 graus, encontramos o valor sen 60 = √3/2), etc. Da mesma forma, são encontrados os valores de senos, cossenos e tangentes de outros ângulos "populares".

Seno de pi, cosseno de pi, tangente de pi e outros ângulos em radianos

A tabela de cossenos, senos e tangentes abaixo também é adequada para encontrar o valor de funções trigonométricas cujo argumento é dado em radianos. Para fazer isso, use a segunda coluna de valores de ângulo. Graças a isso, você pode converter o valor dos ângulos populares de graus para radianos. Por exemplo, vamos encontrar o ângulo de 60 graus na primeira linha e ler seu valor em radianos abaixo dela. 60 graus é igual a π/3 radianos.

O número pi expressa exclusivamente a dependência da circunferência de um círculo na medida do grau do ângulo. Então pi radianos é igual a 180 graus.

Qualquer número expresso em termos de pi (radiano) pode ser facilmente convertido em graus, substituindo o número pi (π) por 180.

Exemplos:
1. seno pi.
sen π = sen 180 = 0
assim, o seno de pi é igual ao seno de 180 graus e é igual a zero.

2. cosseno pi.
cos π = cos 180 = -1
assim, o cosseno de pi é igual ao cosseno de 180 graus e é igual a menos um.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
assim, a tangente de pi é igual à tangente de 180 graus e é igual a zero.

Tabela de valores de seno, cosseno e tangente para ângulos de 0 a 360 graus (valores frequentes)

ângulo α (graus)	ângulo α em radianos (via pi)	pecado (seio)	porque (cosseno)	tg (tangente)	ctg (co-tangente)	segundo (secante)	causa (cossecante)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Se na tabela de valores das funções trigonométricas, em vez do valor da função, for indicado um traço (tangente (tg) 90 graus, cotangente (ctg) 180 graus), então para um determinado valor da medida de grau de o ângulo, a função não tem um valor definido. Se não houver traço, a célula está vazia, então ainda não inserimos o valor desejado. Estamos interessados ​​em quais solicitações os usuários nos procuram e complementam a tabela com novos valores, apesar do fato de que os dados atuais sobre os valores de cossenos, senos e tangentes dos valores de ângulo mais comuns são suficientes para resolver a maioria problemas.

Tabela de valores das funções trigonométricas sin, cos, tg para os ângulos mais populares
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 graus
(valores numéricos "conforme tabelas Bradis")

valor do ângulo α (graus)	valor do ângulo α em radianos	pecado (seno)	cos (coseno)	tg (tangente)	ctg (cotangente)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

O seno é uma das funções trigonométricas básicas, cuja aplicação não se limita apenas à geometria. Tabelas para calcular funções trigonométricas, como calculadoras de engenharia, nem sempre estão disponíveis, e o cálculo do seno às vezes é necessário para resolver vários problemas. Em geral, o cálculo do seno ajudará a consolidar as habilidades de desenho e o conhecimento das identidades trigonométricas.

Jogos de régua e lápis

Uma tarefa simples: como encontrar o seno de um ângulo desenhado no papel? Para resolver, você precisa de uma régua comum, um triângulo (ou compasso) e um lápis. A maneira mais simples de calcular o seno de um ângulo é dividindo a extremidade oposta de um triângulo com um ângulo reto pelo lado maior - a hipotenusa. Assim, primeiro você precisa completar o ângulo agudo para a figura de um triângulo retângulo desenhando uma linha perpendicular a um dos raios a uma distância arbitrária do vértice do ângulo. Será necessário observar um ângulo de exatamente 90 °, para o qual precisamos de um triângulo clerical.

Usar uma bússola é um pouco mais preciso, mas levará mais tempo. Em um dos raios, você precisa marcar 2 pontos a uma certa distância, definir um raio na bússola aproximadamente igual à distância entre os pontos e desenhar semicírculos com centros nesses pontos até que essas linhas se cruzem. Ao conectar os pontos de interseção de nossos círculos entre si, obteremos uma perpendicular estrita ao raio de nosso ângulo, resta apenas estender a linha até que ela se cruze com outro raio.

No triângulo resultante, você precisa medir o lado oposto ao canto e o lado comprido de um dos raios com uma régua. A razão da primeira medição para a segunda será o valor desejado do seno do ângulo agudo.

Encontre o seno para um ângulo maior que 90°

Para um ângulo obtuso, a tarefa não é muito mais difícil. É necessário traçar um raio do vértice na direção oposta usando uma régua para formar uma linha reta com um dos raios do ângulo que nos interessa. Com o ângulo agudo resultante, deve-se proceder conforme descrito acima, os senos dos ângulos adjacentes, formando juntos um ângulo desenvolvido de 180°, são iguais.

Calculando o seno de outras funções trigonométricas

Além disso, o cálculo do seno é possível se os valores de outras funções trigonométricas do ângulo ou pelo menos o comprimento dos lados do triângulo forem conhecidos. Identidades trigonométricas nos ajudarão com isso. Vejamos exemplos comuns.

Como encontrar o seno com um cosseno conhecido de um ângulo? A primeira identidade trigonométrica, proveniente do teorema de Pitágoras, diz que a soma dos quadrados do seno e do cosseno do mesmo ângulo é igual a um.

Como encontrar o seno com uma tangente conhecida de um ângulo? A tangente é obtida dividindo a perna mais distante pela próxima ou dividindo o seno pelo cosseno. Assim, o seno será o produto do cosseno pela tangente, e o quadrado do seno será o quadrado desse produto. Substituímos o cosseno ao quadrado pela diferença entre a unidade e o seno ao quadrado de acordo com a primeira identidade trigonométrica e, através de manipulações simples, trazemos a equação para calcular o seno ao quadrado pela tangente, respectivamente, para calcular o seno, você terá que extrair a raiz do resultado obtido.

Como encontrar o seno com uma cotangente conhecida de um ângulo? O valor da cotangente pode ser calculado dividindo o comprimento do próximo do ângulo da perna pelo comprimento do distante, e também dividindo o cosseno pelo seno, ou seja, a cotangente é a função inversa da tangente com em relação ao número 1. Para calcular o seno, você pode calcular a tangente usando a fórmula tg α \u003d 1 / ctg α e usar a fórmula na segunda opção. Você também pode derivar uma fórmula direta por analogia com a tangente, que ficará assim.

Como encontrar o seno dos três lados de um triângulo

Existe uma fórmula para encontrar o comprimento do lado desconhecido de qualquer triângulo, não apenas um triângulo retângulo, dados dois lados conhecidos usando a função trigonométrica do cosseno do ângulo oposto. Ela se parece com isso.

Bem, o seno pode ser calculado a partir do cosseno de acordo com as fórmulas acima.

Lições objetivas:

O principal objetivo didático: considerar todas as formas possíveis de resolver esta equação.

Educacional: o estudo de novos métodos para resolver equações trigonométricas no exemplo de uma aula-seminário dada em uma situação criativa.

Desenvolver: a formação de métodos gerais de resolução de equações trigonométricas; melhoria das operações mentais dos alunos; desenvolvimento de habilidades e habilidades do discurso matemático do monólogo oral ao apresentar a solução de uma equação trigonométrica.

Educadores: desenvolvem a independência e a criatividade; contribuir para o desenvolvimento do desejo e necessidade dos alunos de generalizar os fatos estudados.

Questões para preparação e posterior discussão no seminário.

Todos os alunos são divididos em grupos (2-4 pessoas), dependendo do número total de alunos e de suas habilidades e desejos individuais. Eles determinam independentemente por si mesmos o tópico para preparação e apresentação no seminário de aula. Uma pessoa do grupo fala, e os demais alunos participam dos acréscimos e correções de erros, se necessário.

Organizando o tempo.

Os alunos são informados:

Tópico da lição:

“Diferentes maneiras de resolver a equação trigonométrica sen x - cos x = 1

Formulário de conduta: lição - seminário.

Epígrafe da lição:

“Uma grande descoberta científica fornece uma solução para um grande problema, mas na solução de qualquer problema há um grão de descoberta. A tarefa que você está realizando pode ser modesta, mas se desafiar sua curiosidade e o obrigar a ser inventivo, e se você a resolver por conta própria, poderá experimentar a tensão da mente que leva à descoberta e desfrutar da alegria da vitória. ”

(D. Poya)

Lições objetivas:

a) considerar a possibilidade de resolver a mesma equação de maneiras diferentes;
b) familiarizar-se com vários métodos gerais de resolução de equações trigonométricas;
c) estudo de novo material (introdução de um ângulo auxiliar, substituição universal).

Plano de seminário

1. Reduzindo a equação a uma homogênea em relação ao seno e cosseno.
2. Fatoração do lado esquerdo da equação.
3. Introdução de um ângulo auxiliar.
4. Convertendo a diferença (ou soma) de funções trigonométricas em um produto.
5. Redução a uma equação quadrática em relação a uma das funções.
6. Quadrando ambos os lados da equação.
7. Expressão de todas as funções através de tg x (substituição universal).
8. Solução gráfica da equação.

1. A palavra é dada ao primeiro participante.

Trazendo a equação sen x - cos x \u003d 1 para uma homogênea em relação ao seno e cosseno.
Expandimos o lado esquerdo de acordo com as fórmulas de um argumento duplo e substituímos o lado direito por uma unidade trigonométrica usando a identidade trigonométrica básica:

2 sin cos - cos + sin \u003d sin + cos;

2 sen cos - cos = 0;
porque = 0;
O produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero, enquanto os outros não perdem o significado, portanto segue

cos =0; =

= 0 - equação homogênea de primeiro grau. Dividimos ambos os lados da equação por cos. (cos 0, pois se cos = 0, então sin - 0 = 0 sin = 0, e isso contradiz a identidade trigonométrica sin + cos = 1).

Responder:
2. A palavra é dada ao segundo participante.

Fatoração do lado esquerdo da equação sen x - cos x = 1.

sen x - (1+ cos x) = 1; use as fórmulas 1+ cos x = 2 , Nós temos ;
ainda da mesma forma:

o produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero, enquanto os outros não perdem o significado, portanto segue

cos =0; =
= 0 - equação homogênea de primeiro grau. Dividimos ambos os lados da equação por cos. (cos 0, pois se cos = 0, então sin - 0 = 0 sin = 0, e isso contradiz a identidade trigonométrica sin + cos = 1)

Obtemos tg -1 = 0 ; tg = 1 ; =
Responder:

3. A palavra é dada ao terceiro participante.

Resolvendo a equação sen x - cos x = 1 introduzindo um ângulo auxiliar.

Considere a equação sen x - cos x = 1. Multiplique e divida cada termo do lado esquerdo
equações para . Pegar e retire os colchetes do lado esquerdo da equação. Pegar ; Dividimos ambos os lados da equação e usamos os valores tabulares das funções trigonométricas. Pegar ; Vamos aplicar a fórmula da diferença de seno.
;

É fácil estabelecer (usando o círculo trigonométrico) que a solução obtida se enquadra em dois casos:

;

Responder:

4. A palavra é dada ao quarto participante.

Resolver a equação sen x - cos x = 1 convertendo a diferença (ou soma) de funções trigonométricas em um produto.

Escrevemos a equação na forma , usando a fórmula de redução . Aplicando a fórmula da diferença de dois senos, obtemos

;

Responder:

5. A palavra é dada ao quinto participante.

Resolver a equação sen x - cos x = 1 reduzindo a uma equação quadrática em relação a uma das funções.

Considere a identidade trigonométrica básica , de onde segue
Vamos substituir a expressão resultante nesta equação.
sen x - cos x = 1 ,

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação resultante:

No processo de resolução, ambas as partes da equação foram quadradas, o que pode levar ao aparecimento de soluções estranhas, portanto a verificação é necessária. Vamos executá-lo.

As soluções resultantes são equivalentes à união das três soluções:

A primeira e a segunda soluções coincidem com as obtidas anteriormente, portanto, não são estranhas. Resta verificar a terceira solução Vamos substituir.
Lado esquerdo:

Lado direito: 1.

Recebido: , portanto, é uma decisão externa.

Responder:

6. A palavra é dada ao sexto participante.

Elevando ao quadrado ambos os lados da equação sen x - cos x = 1.

Considere a equação sen x - cos x = 1. Vamos elevar ao quadrado ambos os lados desta equação.

;

Usando a identidade trigonométrica básica e a fórmula do seno de ângulo duplo, obtemos; sen 2x = 0 ; . não faz sentido, ou seja, ou .

Deve-se verificar se essas equações são soluções. Substitua essas soluções nos lados esquerdo e direito da equação.

Lado esquerdo: .

Lado direito: 1.

Obteve 1=1. Assim é a solução para esta equação.

Responder:

8. A palavra é dada ao oitavo participante.

Considere a solução gráfica da equação sen x - cos x = 1.

Escrevemos a equação considerada na forma sen x = 1 + cos x.

Vamos construir gráficos de funções correspondentes às partes esquerda e direita da equação no sistema de coordenadas Oxy. As abcissas dos pontos de intersecção dos gráficos são as soluções desta equação.

y = sen x - gráfico: sinusóide.
y = cos x +1 - gráfico: onda cosseno y = cos x deslocada 1 para cima ao longo do eixo Oy. As abcissas dos pontos de intersecção são as soluções desta equação.

Responder:

Resumo da lição.

Lista de literatura usada:

1. Tatarchenkova S.S. A lição como fenômeno pedagógico - São Petersburgo: Karo, 2005
2. Vygodsky N.V. Manual de matemática elementar.-M.: Nauka, 1975.
3. Vilenkin N.Ya. e outros Atrás das páginas de um livro didático de matemática: Aritmética. Álgebra. Geometria: Um livro para alunos do 10º ao 11º ano - M.: Educação, 1996.
4. Gnedenko BV Ensaios sobre a história da matemática na Rússia - M.: OGIZ, 1946.
5. Depman I.Ya. e outros Atrás das páginas de um livro didático de matemática - M.: Educação, 1999.
6. Dorofeev G.V. e outros. Matemática: para candidatos a universidades - M.: Drofa, 2000.
7. Matemática: Grande Dicionário Enciclopédico. – M.: TSB, 1998.
8. Mordkovich A.G. e outro Manual do Aluno em Matemática. 10-11 aulas Álgebra e os primórdios da análise. – M.: Aquário, 1997.
9. 300 problemas competitivos em matemática. – M.: Rolf, 2000.
10. 3600 problemas de álgebra e os primórdios da análise. – M.: Abetarda, 1999.
11. Currículo escolar em tabelas e fórmulas. Grande livro de referência universal. – M.: Abetarda, 1999.
12. Torosyan V.G. História da educação e pensamento pedagógico: livro didático. para universitários. - M.: Editora VLADOS-PRESS, 2006.- 351 p.
13. Krylova N.B. Apoio pedagógico, psicológico e moral como espaço de mudança pessoal na criança e no adulto. / / Professora de turma. - 2000. - Nº 3. –S.92-103.

Se construirmos um círculo unitário centrado na origem e definirmos um valor arbitrário do argumento x0 e contar a partir do eixo Boi canto x 0, então este ângulo no círculo unitário corresponde a algum ponto A(Figura 1) e sua projeção no eixo Oh haverá um ponto M. Comprimento do corte OM igual ao valor absoluto da abcissa do ponto A. dado valor do argumento x0 valor da função mapeada y= cos x 0 como a abscissa de um ponto A. Consequentemente, o ponto EM(x 0 ;no 0) pertence ao gráfico da função no= cos x(Figura 2). Se ponto A localizado à direita do eixo OU, o tocoseno será positivo, se for para a esquerda será negativo. Mas de qualquer forma, o ponto A não pode sair do círculo. Portanto, o cosseno varia de -1 a 1:

-1 = cos x = 1.

Rotação adicional para qualquer ângulo, múltiplo de 2 p, retorna um ponto A para o mesmo lugar. Portanto, a função y= porque xp:

cos ( x+ 2p) = cos x.

Se tomarmos dois valores do argumento que são iguais em valor absoluto, mas opostos em sinal, x E - x, encontrar pontos correspondentes no círculo um x E Machado. Como visto na fig. 3 sua projeção no eixo Ohé o mesmo ponto M. É por isso

cos(- x) = cos ( x),

aqueles. cosseno é uma função par, f(–x) = f(x).

Assim, podemos explorar as propriedades da função y= cos x no segmento , e então levar em consideração sua paridade e periodicidade.

No x= 0 ponto A encontra-se no eixo Oh, sua abscissa é 1 e, portanto, cos 0 = 1. Com um aumento x ponto A se move ao redor do círculo para cima e para a esquerda, sua projeção, é claro, apenas para a esquerda, e para x = p/2 cosseno torna-se 0. Ponto A neste momento sobe até a altura máxima, e depois continua a se mover para a esquerda, mas já descendo. Sua abcissa vai diminuindo até atingir o menor valor igual a -1 em x= p. Assim, no segmento, a função no= cos x diminui monotonicamente de 1 a –1 (Fig. 4, 5).

Segue-se da paridade do cosseno que no intervalo [– p, 0], a função aumenta monotonicamente de –1 a 1, assumindo valor zero em x =–p/2. Se você tirar vários períodos, obtém uma curva ondulada (Fig. 6).

então a função y= cos x assume valores zero em pontos x= p/2 + kp, Onde k- qualquer inteiro. Máximos iguais a 1 são alcançados em pontos x= 2kp, ou seja com passo 2 p, e os mínimos iguais a –1 nos pontos x= p + 2kp.

Função y \u003d sen x.

No círculo unitário x 0 corresponde ao ponto A(Fig. 7), e sua projeção no eixo OU haverá um ponto N.Z valor da função y 0 = pecado x0 definida como a ordenada de um ponto A. Ponto EM(canto x 0 ,no 0) pertence ao gráfico da função y= pecado x(Fig. 8). É claro que a função y= pecado x periódica, seu período é 2 p:

pecado( x+ 2p) = pecado ( x).

Para dois valores de argumento, x E - , projeções de seus pontos correspondentes um x E Machado por eixo OU localizado simetricamente em relação ao ponto SOBRE. É por isso

pecado(- x) = –sin ( x),

aqueles. seno é uma função ímpar, f(– x) = –f( x) (Fig. 9).

Se o ponto A girar sobre um ponto SOBRE na esquina p/2 no sentido anti-horário (ou seja, se o ângulo x aumentar em p/2), então sua ordenada na nova posição será igual à abcissa na antiga. Que significa

pecado( x+ p/2) = cos x.

Caso contrário, o seno é o cosseno, "atrasado" por p/2, já que qualquer valor de cosseno irá "repetir" no seno quando o argumento aumentar em p/2. E para construir um gráfico de seno, basta deslocar o gráfico de cosseno por p/2 para a direita (Fig. 10). Uma propriedade extremamente importante do seno é expressa pela igualdade

O significado geométrico da igualdade pode ser visto na Fig. 11. Aqui X- isso é metade do arco AB, e pecado X- metade do acorde correspondente. Obviamente, à medida que os pontos se aproximam A E EM o comprimento da corda está se aproximando cada vez mais do comprimento do arco. Da mesma figura, é fácil extrair a desigualdade

| pecado x| x|, válido para qualquer x.

A fórmula (*) é chamada de limite maravilhoso pelos matemáticos. Dele, em particular, segue-se que o pecado x» x em pequeno x.

Funções no=tg x, y=ctg x. Duas outras funções trigonométricas - tangente e cotangente são mais fáceis de definir como razões do seno e cosseno já conhecidas por nós:

Como seno e cosseno, tangente e cotangente são funções periódicas, mas seus períodos são iguais p, ou seja eles são metade do seno e cosseno. A razão para isso é clara: se o seno e o cosseno mudarem de sinal, sua razão não mudará.

Como há um cosseno no denominador da tangente, a tangente não é definida nos pontos onde o cosseno é 0 - quando x= p/2 +kp. Em todos os outros pontos aumenta monotonicamente. direto x= p/2 + kp para a tangente são as assíntotas verticais. Em pontos kp tangente e inclinação são 0 e 1, respectivamente (Fig. 12).

A cotangente não é definida onde o seno é 0 (quando x = kp). Em outros pontos ela diminui monotonicamente, e as linhas x = kp – suas assíntotas verticais. Em pontos x = p/2 +kp a cotangente torna-se 0 e a inclinação nesses pontos é -1 (Fig. 13).

Paridade e periodicidade.

Uma função é chamada mesmo se f(–x) = f(x). As funções cosseno e secante são pares, e as funções seno, tangente, cotangente e cossecante são ímpares:

sin(-α) = -sinα	tg (–α) = –tg α
cos(-α) = cosα	ctg(-α) = -ctgα
sec(-α) = secα	cosec (–α) = – cosec α

As propriedades de paridade decorrem da simetria dos pontos P um e R-a (Fig. 14) sobre o eixo x. Com tal simetria, a ordenada do ponto muda de sinal (( x;no) vai para ( x; -y)). Todas as funções - periódica, seno, cosseno, secante e cossecante têm um período de 2 p, e tangente e cotangente - p:

pecado (α + 2 kπ) = sinα	cos (α + 2 kπ) = cosα
tan (α + kπ) = tgα	ctg(α + kπ) = ctgα
seg (α + 2 kπ) = segundos	coseg (α + 2 kπ) = coseα

A periodicidade do seno e cosseno decorre do fato de que todos os pontos P a + 2 kp, Onde k= 0, ±1, ±2,…, coincidem, e a periodicidade da tangente e cotangente se deve ao fato de que os pontos P um + kp caem alternadamente em dois pontos diametralmente opostos do círculo, dando o mesmo ponto no eixo das tangentes.

As principais propriedades das funções trigonométricas podem ser resumidas em uma tabela:

Função	Domínio	muitos valores	Paridade	Áreas de monotonicidade ( k= 0, ± 1, ± 2,…)
pecado x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	chance	aumenta com x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), diminui à medida que x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2)
porque x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	até	aumenta com x O((2 k – 1) p, 2kp), diminui em x oi (2 kp, (2k + 1) p)
tg x	x № p/2 + p k	(–Ґ , +Ґ )	chance	aumenta com x O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)
ctg x	x № p k	(–Ґ , +Ґ )	chance	diminui em x SOBRE ( kp, (k + 1) p)
segundo x	x № p/2 + p k	(–Ґ , –1] E [+1, +Ґ )	até	aumenta com x oi (2 kp, (2k + 1) p), diminui em x O((2 k– 1) p , 2 kp)
causa x	x № p k	(–Ґ , –1] E [+1, +Ґ )	chance	aumenta com x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), diminui à medida que x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2)

Fórmulas de fundição.

De acordo com essas fórmulas, o valor da função trigonométrica do argumento a, onde p/2 a p , pode ser reduzido ao valor da função do argumento a , onde 0 a p /2, ambos iguais e adicionais a ele.

Argumento b	- a	+ um	p- a	p+ um	+ um	+ um	2p- a
pecado	porque um	porque um	pecar um	–pecar um	-porque um	-porque um	–pecar um
cosb	pecar um	–pecar um	-porque um	-porque um	–pecar um	pecar um	porque um

Portanto, nas tabelas de funções trigonométricas, os valores são dados apenas para ângulos agudos, bastando nos limitarmos, por exemplo, ao seno e à tangente. A tabela contém apenas as fórmulas mais usadas para seno e cosseno. A partir deles é fácil obter fórmulas para tangente e cotangente. Ao lançar uma função de um argumento da forma kp/2 ± a , onde ké um inteiro, para uma função do argumento a :

1) o nome da função é salvo se k par, e muda para "complementar" se k chance;

2) o sinal do lado direito coincide com o sinal da função redutível no ponto kp/2 ± a se o ângulo a for agudo.

Por exemplo, ao lançar ctg (a - p/2) certifique-se de que a - p/2 em 0 a p /2 está no quarto quadrante, onde a cotangente é negativa, e, conforme regra 1, mudamos o nome da função: ctg (a - p/2) = –tg a .

Fórmulas de adição.

Fórmulas de múltiplos ângulos.

Estas fórmulas são derivadas diretamente das fórmulas de adição:

sin 2a \u003d 2 sin a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sen 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sen 2 a;

sin 3a \u003d 3 sin a - 4 sin 3 a;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

A fórmula para cos 3a foi usada por François Viet ao resolver uma equação cúbica. Ele foi o primeiro a encontrar expressões para cos n um e pecado n a , que posteriormente foram obtidos de forma mais simples a partir da fórmula de De Moivre.

Se você substituir a por /2 em fórmulas de argumento duplo, elas poderão ser convertidas em fórmulas de meio ângulo:

Fórmulas universais de substituição.

Usando essas fórmulas, uma expressão envolvendo diferentes funções trigonométricas do mesmo argumento pode ser reescrita como uma expressão racional a partir de uma única função tg (a/2), isso é útil na resolução de algumas equações:

Fórmulas para converter somas em produtos e produtos em somas.

Antes do advento dos computadores, essas fórmulas eram usadas para simplificar os cálculos. Os cálculos foram feitos usando tabelas logarítmicas e, posteriormente, uma régua de cálculo, porque. os logaritmos são mais adequados para multiplicar números, então todas as expressões originais foram reduzidas a uma forma conveniente para logaritmos, ou seja, para trabalhos como:

2 pecado a sen b = cos ( a-b) – cos ( a+b);

2 cos a porque b= cos ( a-b) + cos ( a+b);

2 pecado a porque b= pecado ( a-b) + pecado ( a+b).

As fórmulas para as funções tangente e cotangente podem ser obtidas acima.

Fórmulas de redução de grau.

Das fórmulas de um argumento múltiplo, as fórmulas são derivadas:

sen 2a \u003d (1 - cos 2a) / 2;	cos2a = (1 + cos2a)/2;
pecado 3a \u003d (3 pecado a - pecado 3a) / 4;	cos 3 a = (3 cos a + cos3 a )/4.

Com a ajuda dessas fórmulas, as equações trigonométricas podem ser reduzidas a equações de graus inferiores. Da mesma forma, fórmulas de redução para potências maiores de seno e cosseno podem ser derivadas.

Derivadas e integrais de funções trigonométricas
(pecado x)` = cos x;	(porque x)` = -sin x;
(tg x)` = ;	(ctg x)` = – ;
não pequei x dx= -cos x + C;	porque x dx= pecado x + C;
t tg x dx= –ln |cos x| + C;	t ctg xdx = ln|pecado x| + C;

Toda função trigonométrica em todo ponto de seu domínio de definição é contínua e infinitamente diferenciável. Além disso, as derivadas de funções trigonométricas são funções trigonométricas e, quando integradas, também são obtidas funções trigonométricas ou seus logaritmos. Integrais de combinações racionais de funções trigonométricas são sempre funções elementares.

Representação de funções trigonométricas na forma de séries de potências e produtos infinitos.

Todas as funções trigonométricas podem ser expandidas em séries de potência. Neste caso, as funções pecam x b cos x aparecem em linhas. convergente para todos os valores x:

Essas séries podem ser usadas para obter expressões aproximadas para o pecado x e porque x para valores pequenos x:

em | x| p/2;

em 0x| p

(B n são números de Bernoulli).

funções sin x e porque x podem ser representados como produtos infinitos:

Sistema trigonométrico 1, cos x, pecado x, cos 2 x, pecado 2 x, ¼, cos nx, pecado nx, ¼, se forma no intervalo [– p, p] sistema ortogonal de funções, que permite representar funções na forma de séries trigonométricas.

são definidos como continuações analíticas das funções trigonométricas correspondentes de um argumento real no plano complexo. sim pecado z e porque z pode ser definido usando séries para o pecado x e porque x, se em vez de x colocar z:

Essas séries convergem em todo o plano, então sen z e porque z são funções inteiras.

A tangente e a cotangente são determinadas pelas fórmulas:

funções tg z e ctg z são funções meromorfas. pólos tg z e segundo z são simples (1ª ordem) e estão localizados em pontos z=p/2 + pn, pólos ctg z e cosec z também são simples e estão localizados em pontos z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Todas as fórmulas que são válidas para funções trigonométricas de um argumento real também são válidas para um argumento complexo. Em particular,

pecado(- z) = -sin z,

cos(- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

aqueles. as paridades pares e ímpares são preservadas. As fórmulas também são salvas

pecado( z + 2p) = pecado z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

aqueles. a periodicidade também é preservada e os períodos são os mesmos das funções de um argumento real.

As funções trigonométricas podem ser expressas em termos de uma função exponencial de um argumento puramente imaginário:

Voltar, e iz expresso em termos de cos z e pecado z de acordo com a fórmula:

e iz= cos z + eu pecado z

Essas fórmulas são chamadas de fórmulas de Euler. Leonhard Euler os apresentou em 1743.

As funções trigonométricas também podem ser expressas em termos de funções hiperbólicas:

z = –eu sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

onde sh, ch e th são seno, cosseno e tangente hiperbólicos.

Funções trigonométricas de argumento complexo z = x + iy, Onde x E y- números reais, podem ser expressos em termos de funções trigonométricas e hiperbólicas de argumentos reais, por exemplo:

pecado( x+iy) = pecado x CH y + eu porque x sh y;

cos ( x+iy) = cos x CH y + eu pecado x sh y.

O seno e o cosseno de um argumento complexo podem assumir valores reais maiores que 1 em valor absoluto. Por exemplo:

Se um ângulo desconhecido entra na equação como um argumento de funções trigonométricas, a equação é chamada trigonométrica. Tais equações são tão comuns que seus métodos as soluções são muito detalhadas e cuidadosamente projetadas. COM usando vários métodos e fórmulas, as equações trigonométricas são reduzidas a equações da forma f(x)= um, Onde f- qualquer uma das funções trigonométricas mais simples: seno, cosseno, tangente ou cotangente. Em seguida, expresse o argumento x esta função através de seu valor conhecido A.

Como as funções trigonométricas são periódicas, o mesmo A do intervalo de valores existem infinitos valores do argumento, e a solução da equação não pode ser escrita como uma única função de A. Portanto, no domínio de definição de cada uma das principais funções trigonométricas, é selecionada uma seção na qual ela assume todos os seus valores, cada um apenas uma vez, e é encontrada uma função que é inversa a ela nesta seção. Tais funções são denotadas pela atribuição do prefixo arco (arco) ao nome da função original, e são chamadas trigonométricas inversas funções ou apenas funções de arco.

Funções trigonométricas inversas.

pelo pecado x, porque x, tg x e ctg x funções inversas podem ser definidas. Eles são designados respectivamente arcsin x(leia "arxina x"), arcos x, arco x e arcctg x. Por definição, arcsin x existe tal número sim, O que

pecado no = x.

O mesmo vale para outras funções trigonométricas inversas. Mas esta definição sofre de alguma imprecisão.

Se refletirmos o pecado x, porque x, tg x e ctg x em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes do plano coordenado, as funções tornam-se ambíguas devido à sua periodicidade: o mesmo seno (cosseno, tangente, cotangente) corresponde a um número infinito de ângulos.

Para se livrar da ambigüidade, uma seção da curva com uma largura de p, enquanto é necessário que seja observada uma correspondência biunívoca entre o argumento e o valor da função. Áreas próximas à origem são selecionadas. para o seio como o "intervalo de um para um" é tomado o segmento [- p/2, p/2], em que o seno aumenta monotonicamente de –1 a 1, para o cosseno - o segmento , para a tangente e a cotangente, respectivamente, os intervalos (– p/2, p/2) e (0, p). Cada curva no intervalo é refletida sobre a bissetriz e agora você pode definir funções trigonométricas inversas. Por exemplo, deixe o valor do argumento ser dado x 0 , tal que 0J x 0 Ј 1. Então o valor da função y 0 = arco sen x 0 será o único valor no 0 , de tal modo que - p/2 J no 0 Ј p/2 e x 0 = pecado y 0 .

Assim, o arco seno é uma função do arco seno A, definido no intervalo [–1, 1] e igual para cada A tal valor a , - p/2 a p /2 esse pecado a = A.É muito conveniente representá-lo usando um círculo unitário (Fig. 15). Quando | a| 1 existem dois pontos no círculo com uma ordenada a, simétrico em relação ao eixo y. Um deles é o ângulo a= arco sen A, e o outro é o ângulo p - a. COM levando em conta a periodicidade do seno, a solução da equação sen x= A está escrito da seguinte forma:

x =(–1)n arco pecado a + 2p n,

Onde n= 0, ±1, ±2,...

Outras equações trigonométricas simples também são resolvidas:

porque x = a, –1 =a= 1;

x=±arcos a + 2p n,

Onde P= 0, ±1, ±2,... (Fig. 16);

tg x = a;

x= arco a + p n,

Onde n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 17);

ctg x= A;

x= arcctg a + p n,

Onde n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 18).

As principais propriedades das funções trigonométricas inversas:

arco pecado x(Fig. 19): o domínio de definição é o segmento [–1, 1]; faixa - [- p/2, p/2], uma função monotonicamente crescente;

arcos x(Fig. 20): o domínio de definição é o segmento [–1, 1]; faixa de valores - ; função monotonicamente decrescente;

arco x(Fig. 21): domínio de definição - todos os números reais; faixa de valores – intervalo (– p/2, p/2); função monotonicamente crescente; direto no= –p/2 e y \u003d p / 2 - assíntotas horizontais;

arco x(Fig. 22): domínio de definição - todos os números reais; intervalo de valores - intervalo (0, p); função monotonicamente decrescente; direto y= 0 e y = p são as assíntotas horizontais.

Porque funções trigonométricas do argumento complexo sin z e porque z(em contraste com as funções de um argumento real) tome todos os valores complexos, então as equações sen z = a e porque z = a tem soluções para qualquer complexo um x E y são números reais, existem desigualdades

½| e\ey–e-y| ≤| pecado z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

das quais y® Ґ fórmulas assintóticas seguem (uniformemente em relação a x)

| pecado z| » 1/2 e |y| ,

|porque z| » 1/2 e |y| .

As funções trigonométricas surgiram pela primeira vez em conexão com a pesquisa em astronomia e geometria. As razões dos segmentos de um triângulo e um círculo, que são essencialmente funções trigonométricas, são encontradas já no século III. BC e. nas obras de matemáticos da Grécia Antiga – Euclides, Arquimedes, Apolônio de Perga e outros, no entanto, essas razões não eram um objeto de estudo independente, então eles não estudaram as funções trigonométricas como tal. Eles foram originalmente considerados como segmentos e nesta forma foram usados ​​por Aristarco (final do século 4 - 2ª metade do século III aC), Hiparco (século 2 aC), Menelau (século 1 dC). ) e Ptolomeu (século 2 dC) quando resolução de triângulos esféricos. Ptolomeu compilou a primeira tabela de cordas para ângulos agudos até 30 "com uma precisão de 10 -6. Esta foi a primeira tabela de senos. Como razão, a função sin a já é encontrada em Ariabhata (final do século V). As funções tg a e ctg a são encontradas em al- Battani (2ª metade do século IX - início do século X) e Abul-Wefa (século X), que também usa sec a e cosec a... Aryabhata já conhecia a fórmula ( sen 2 a + cos 2 a) \u003d 1, bem como fórmulas de seno e cos de meio ângulo, com a ajuda das quais construiu tabelas de senos para ângulos até 3 ° 45 "; com base nos valores conhecidos das funções trigonométricas para os argumentos mais simples. Bhaskara (século 12) deu um método para construir tabelas até 1 usando fórmulas de adição. Fórmulas para converter a soma e a diferença de funções trigonométricas de vários argumentos em um produto foram derivadas por Regiomontanus (século XV) e J. Napier em conexão com a invenção deste último dos logaritmos (1614). Regiomontanus deu uma tabela de valores de seno por 1 ". A expansão das funções trigonométricas em séries de potência foi obtida por I. Newton (1669). L. Euler (século 18) trouxe a teoria das funções trigonométricas para uma forma moderna Ele é dono de sua definição para argumentos reais e complexos, adotados agora simbolismo, estabelecendo uma conexão com a função exponencial e ortogonalidade do sistema de senos e cossenos.

As fórmulas básicas da trigonometria são fórmulas que estabelecem relações entre as funções trigonométricas básicas. Seno, cosseno, tangente e cotangente estão interconectados por muitos relacionamentos. A seguir, apresentamos as principais fórmulas trigonométricas e, por conveniência, as agrupamos de acordo com sua finalidade. Usando essas fórmulas, você pode resolver quase todos os problemas do curso padrão de trigonometria. Notamos imediatamente que apenas as próprias fórmulas são dadas abaixo, e não sua derivação, à qual serão dedicados artigos separados.

Identidades básicas de trigonometria

Identidades trigonométricas fornecem uma relação entre seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo, permitindo que uma função seja expressa em termos de outra.

Identidades trigonométricas

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

Essas identidades decorrem diretamente das definições do círculo unitário, seno (sin), cosseno (cos), tangente (tg) e cotangente (ctg).

Fórmulas de elenco

As fórmulas de fundição permitem que você deixe de trabalhar com ângulos arbitrários e arbitrariamente grandes para trabalhar com ângulos que variam de 0 a 90 graus.

Fórmulas de elenco

sen α + 2 π z = sen α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sen α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

As fórmulas de redução são consequência da periodicidade das funções trigonométricas.

Fórmulas de adição trigonométrica

As fórmulas de adição em trigonometria permitem expressar a função trigonométrica da soma ou diferença de ângulos em termos das funções trigonométricas desses ângulos.

Fórmulas de adição trigonométrica

sen α ± β = sen α cos β ± cos α sen β cos α + β = cos α cos β - sen α sen β cos α - β = cos α cos β + sen α sen β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Com base nas fórmulas de adição, são derivadas fórmulas trigonométricas para um ângulo múltiplo.

Fórmulas de múltiplos ângulos: duplo, triplo, etc.

Fórmulas de ângulo duplo e triplo

sen 2 α \u003d 2 sen α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sen 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sen 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α com t g 2 α \u003d com t g 2 α - 1 2 com t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Fórmulas de Meio Ângulo

As fórmulas de meio ângulo em trigonometria são uma consequência das fórmulas de ângulo duplo e expressam a relação entre as funções básicas do meio ângulo e o cosseno do ângulo inteiro.

Fórmulas de Meio Ângulo

sen 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Fórmulas de redução

Fórmulas de redução

sen 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sen 3 α = 3 sen α - sen 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sen 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Freqüentemente, em cálculos, é inconveniente operar com poderes complicados. As fórmulas de redução de grau permitem reduzir o grau de uma função trigonométrica de arbitrariamente grande para o primeiro. Aqui está a visão geral deles:

Forma geral de fórmulas de redução

para n par

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

para n ímpar

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Soma e diferença de funções trigonométricas

A diferença e a soma das funções trigonométricas podem ser representadas como um produto. Fatorar as diferenças de senos e cossenos é muito conveniente para resolver equações trigonométricas e simplificar expressões.

Soma e diferença de funções trigonométricas

sen α + sen β = 2 sen α + β 2 cos α - β 2 sen α - sen β = 2 sen α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sen α + β 2 sen α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sen α + β 2 sen β - α 2

Produto de funções trigonométricas

Se as fórmulas para a soma e a diferença das funções permitirem que você vá para o produto, as fórmulas para o produto das funções trigonométricas realizam a transição reversa - do produto para a soma. São consideradas as fórmulas para o produto de senos, cossenos e seno por cosseno.

Fórmulas para o produto de funções trigonométricas

sen α sen β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sen α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Substituição trigonométrica universal

Todas as funções trigonométricas básicas - seno, cosseno, tangente e cotangente - podem ser expressas em termos da tangente de um meio ângulo.

Substituição trigonométrica universal

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

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