A distância entre dois pontos em um plano.
Sistemas coordenados
Cada ponto A do plano é caracterizado por suas coordenadas (x, y). Eles coincidem com as coordenadas do vetor 0А , saindo do ponto 0 - a origem.
Sejam A e B pontos arbitrários do plano com coordenadas (x 1 y 1) e (x 2, y 2), respectivamente.
Então o vetor AB obviamente tem as coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Sabe-se que o quadrado do comprimento de um vetor é igual à soma dos quadrados de suas coordenadas. Portanto, a distância d entre os pontos A e B, ou, o que é o mesmo, o comprimento do vetor AB, é determinado a partir da condição
d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A fórmula resultante permite encontrar a distância entre quaisquer dois pontos do plano, se apenas as coordenadas desses pontos forem conhecidas
Cada vez, falando sobre as coordenadas de um ou outro ponto do plano, temos em mente um sistema de coordenadas x0y bem definido. Em geral, o sistema de coordenadas no plano pode ser escolhido de diferentes maneiras. Assim, em vez do sistema de coordenadas x0y, podemos considerar o sistema de coordenadas x"0y", que é obtido girando os antigos eixos de coordenadas em torno do ponto inicial 0 sentido anti-horário setas no canto α .
Se algum ponto do plano no sistema de coordenadas x0y tinha coordenadas (x, y), então no novo sistema de coordenadas x"0y" ele terá outras coordenadas (x", y").
Como exemplo, considere o ponto M, localizado no eixo 0x" e espaçado do ponto 0 a uma distância igual a 1.
Obviamente, no sistema de coordenadas x0y, este ponto tem coordenadas (cos α , pecado α ), e no sistema de coordenadas x"0y" as coordenadas são (1,0).
As coordenadas de quaisquer dois pontos do plano A e B dependem de como o sistema de coordenadas é definido neste plano. Mas a distância entre esses pontos não depende de como o sistema de coordenadas é especificado. Faremos uso essencial dessa importante circunstância na próxima seção.
exercícios
I. Encontre as distâncias entre os pontos do plano com coordenadas:
1) (3.5) e (3.4); 3) (0,5) e (5, 0); 5) (-3,4) e (9, -17);
2) (2, 1) e (- 5, 1); 4) (0,7) e (3,3); 6) (8, 21) e (1, -3).
II. Encontre o perímetro de um triângulo cujos lados são dados pelas equações:
x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 e y = 1.
III. No sistema de coordenadas x0y, os pontos M e N possuem coordenadas (1,0) e (0,1), respectivamente. Encontre as coordenadas desses pontos no novo sistema de coordenadas, que também é obtido girando os antigos eixos em torno do ponto inicial em um ângulo de 30° no sentido anti-horário.
4. No sistema de coordenadas x0y, os pontos M e N têm coordenadas (2, 0) e (\ / 3/2, - 1/2) respectivamente. Encontre as coordenadas desses pontos no novo sistema de coordenadas, obtido girando os eixos antigos em torno do ponto inicial em um ângulo de 30° no sentido horário.
O cálculo das distâncias entre os pontos de acordo com suas coordenadas no plano é elementar, na superfície da Terra é um pouco mais complicado: consideraremos a medição da distância e o azimute inicial entre pontos sem transformações de projeção. Primeiro, vamos entender a terminologia.
Introdução
Grande comprimento do arco do círculo- a distância mais curta entre quaisquer dois pontos localizados na superfície da esfera, medida ao longo da linha que conecta esses dois pontos (essa linha é chamada de ortódromo) e passando ao longo da superfície da esfera ou outra superfície de revolução. A geometria esférica é diferente da euclidiana usual e as equações de distância também assumem uma forma diferente. Na geometria euclidiana, a menor distância entre dois pontos é uma linha reta. Em uma esfera, não há linhas retas. Essas linhas na esfera fazem parte de grandes círculos - círculos cujos centros coincidem com o centro da esfera. Azimute inicial- azimute, que, ao partir do ponto A, seguindo o maior círculo pela menor distância até o ponto B, o ponto final será o ponto B. Ao passar do ponto A ao ponto B ao longo da linha do grande círculo, o azimute da corrente posição para o ponto final B é constante está mudando. O azimute inicial é diferente de um constante, a partir do qual o azimute do ponto atual ao ponto final não muda, mas a rota não é a distância mais curta entre dois pontos.Através de quaisquer dois pontos na superfície da esfera, se eles não forem diretamente opostos um ao outro (isto é, eles não são antípodas), um único grande círculo pode ser traçado. Dois pontos dividem o grande círculo em dois arcos. O comprimento de um arco curto é a menor distância entre dois pontos. Um número infinito de grandes círculos pode ser traçado entre dois pontos antipodais, mas a distância entre eles será a mesma em qualquer círculo e igual à metade da circunferência do círculo, ou π*R, onde R é o raio da esfera.
No plano (em um sistema de coordenadas retangulares), os grandes círculos e seus fragmentos, como mencionado acima, são arcos em todas as projeções, exceto na gnomônica, onde os grandes círculos são linhas retas. Na prática, isso significa que os aviões e outros transportes aéreos sempre usam a rota da distância mínima entre os pontos para economizar combustível, ou seja, o vôo é feito na distância de um grande círculo, no avião parece um arco.
A forma da Terra pode ser descrita como uma esfera, então as equações de distância do grande círculo são importantes para calcular a distância mais curta entre pontos na superfície da Terra e são freqüentemente usadas na navegação. Calcular a distância por este método é mais eficiente e, em muitos casos, mais preciso do que calculá-la para coordenadas projetadas (em sistemas de coordenadas retangulares), porque, em primeiro lugar, para isso não é necessário traduzir coordenadas geográficas em um sistema de coordenadas retangulares (realizar projeção transformações) e, em segundo lugar, muitas projeções, se escolhidas incorretamente, podem levar a distorções de comprimento significativas devido à natureza das distorções de projeção. Sabe-se que não é uma esfera, mas um elipsóide descreve a forma da Terra com mais precisão, no entanto, este artigo discute o cálculo de distâncias em uma esfera, para cálculos é usada uma esfera com raio de 6372795 metros, o que pode levar a um erro no cálculo das distâncias da ordem de 0,5%.
Fórmulas
Existem três maneiras de calcular a distância esférica de um grande círculo. 1. Teorema do cosseno esférico No caso de distâncias pequenas e profundidade de bits de cálculo pequena (número de casas decimais), o uso da fórmula pode levar a erros de arredondamento significativos. φ1, λ1; φ2, λ2 - latitude e longitude de dois pontos em radianos Δλ - diferença de coordenadas em longitude Δδ - diferença angular Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Para converter a distância angular para métrica, você precisa multiplicar a diferença angular pelo raio da Terra (6372795 metros), as unidades da distância final serão iguais às unidades em que o raio é expresso (neste caso, metros). 2. Fórmula de Haversine Usado para evitar problemas com distâncias curtas. 3. Modificação para antípodas A fórmula anterior também está sujeita ao problema dos antípodas, para resolvê-lo, usa-se a seguinte modificação.Minha implementação em PHP
// Raio da Terra define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Distância entre dois pontos * $φA, $λA - latitude, longitude do 1º ponto, * $φB, $λB - latitude, longitude do 2º ponto * Baseado em http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Mikhail Kobzarev< >* */ functioncalculTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // converte coordenadas em radianos $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // cossenos e senos das diferenças de latitudes e longitudes $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1 ) ; $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // calculando o comprimento do círculo máximo $y = sqrt( pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Exemplo de chamada de função: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139.398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo calculaADistancia($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metros"; // Retorna "17166029 metros"Artigo retirado do site
A resolução de problemas de matemática para os alunos costuma ser acompanhada de muitas dificuldades. Ajudar o aluno a lidar com essas dificuldades, bem como ensiná-lo a aplicar seus conhecimentos teóricos na resolução de problemas específicos em todas as seções do curso da disciplina "Matemática" é o objetivo principal do nosso site.
Partindo da resolução de problemas sobre o tema, os alunos deverão ser capazes de construir um ponto num plano segundo as suas coordenadas, bem como encontrar as coordenadas de um determinado ponto.
O cálculo da distância entre dois pontos tomados no plano A (x A; y A) e B (x B; y B) é realizado pela fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), onde d é o comprimento do segmento que conecta esses pontos no plano.
Se uma das extremidades do segmento coincidir com a origem e a outra tiver coordenadas M (x M; y M), a fórmula para calcular d assumirá a forma OM = √ (x M 2 + y M 2).
1. Calculando a distância entre dois pontos dadas as coordenadas desses pontos
Exemplo 1.
Encontre o comprimento do segmento que conecta os pontos A(2; -5) e B(-4; 3) no plano coordenado (Fig. 1).
Solução.
A condição do problema é dada: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 e y B = 3. Encontre d.
Aplicando a fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), obtemos:
d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.
2. Calculando as coordenadas de um ponto que é equidistante de três pontos dados
Exemplo 2
Encontre as coordenadas do ponto O 1, que é equidistante dos três pontos A(7; -1) e B(-2; 2) e C(-1; -5).
Solução.
Da formulação da condição do problema segue-se que O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Seja o ponto desejado O 1 com coordenadas (a; b). De acordo com a fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) encontramos:
O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);
O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);
O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Compomos um sistema de duas equações:
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Depois de elevar ao quadrado os lados esquerdo e direito das equações, escrevemos:
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .
Simplificando, escrevemos
(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.
Tendo resolvido o sistema, obtemos: a = 2; b = -1.
O ponto O 1 (2; -1) é equidistante dos três pontos dados na condição de que não estão em uma linha reta. Este ponto é o centro de um círculo que passa por três pontos dados. (Figura 2).
3. Cálculo da abcissa (ordenada) de um ponto que está no eixo das abcissas (ordenadas) e está a uma determinada distância deste ponto
Exemplo 3
A distância do ponto B(-5; 6) ao ponto A no eixo x é 10. Encontre o ponto A.
Solução.
Segue-se da formulação da condição do problema que a ordenada do ponto A é zero e AB = 10.
Denotando a abcissa do ponto A até a, escrevemos A(a; 0).
AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).
Obtemos a equação √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificando, temos
a 2 + 10a - 39 = 0.
As raízes desta equação a 1 = -13; e 2 = 3.
Obtemos dois pontos A 1 (-13; 0) e A 2 (3; 0).
Exame:
A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.
A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.
Ambos os pontos obtidos se encaixam na condição do problema (Fig. 3).
4. Cálculo da abcissa (ordenada) de um ponto que está no eixo das abcissas (ordenadas) e está à mesma distância de dois pontos dados
Exemplo 4
Encontre um ponto no eixo Oy que esteja à mesma distância dos pontos A (6; 12) e B (-8; 10).
Solução.
Sejam O 1 (0; b) as coordenadas do ponto requerido pela condição do problema, situado no eixo Oy (no ponto situado no eixo Oy, a abcissa é igual a zero). Segue-se da condição de que O 1 A \u003d O 1 B.
De acordo com a fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) encontramos:
O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);
O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).
Temos a equação √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) ou 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .
Após a simplificação, obtemos: b - 4 = 0, b = 4.
Exigido pela condição do ponto problema O 1 (0; 4) (Fig. 4).
5. Calcular as coordenadas de um ponto que está à mesma distância dos eixos de coordenadas e de algum ponto dado
Exemplo 5
Encontre o ponto M localizado no plano coordenado à mesma distância dos eixos coordenados e do ponto A (-2; 1).
Solução.
O ponto M requerido, como o ponto A (-2; 1), está localizado no canto da segunda coordenada, pois é equidistante dos pontos A, P 1 e P 2 (Fig. 5). As distâncias do ponto M aos eixos coordenados são as mesmas, portanto, suas coordenadas serão (-a; a), onde a > 0.
Segue das condições do problema que MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,
aqueles. |-a| = a.
De acordo com a fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) encontramos:
MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).
Vamos fazer uma equação:
√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.
Depois de elevar ao quadrado e simplificar, temos: a 2 - 6a + 5 = 0. Resolvemos a equação, encontramos a 1 = 1; e 2 = 5.
Obtemos dois pontos M 1 (-1; 1) e M 2 (-5; 5), satisfazendo a condição do problema. 
6. Cálculo das coordenadas de um ponto que está na mesma distância especificada do eixo de abscissas (ordenadas) e deste ponto
Exemplo 6
Encontre um ponto M tal que sua distância do eixo y e do ponto A (8; 6) seja igual a 5.
Solução.
Segue da condição do problema que MA = 5 e a abcissa do ponto M é igual a 5. Seja a ordenada do ponto M igual a b, então M(5; b) (Fig. 6).
De acordo com a fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) temos:
MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).
Vamos fazer uma equação:
√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Simplificando, obtemos: b 2 - 12b + 20 = 0. As raízes desta equação são b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Portanto, existem dois pontos que satisfazem a condição do problema: M 1 (5; 2) e M 2 (5; 10).
Sabe-se que muitos alunos, ao resolver problemas por conta própria, necessitam de consultas constantes sobre técnicas e métodos para resolvê-los. Muitas vezes, um aluno não consegue encontrar uma maneira de resolver um problema sem a ajuda de um professor. O aluno pode obter os conselhos necessários sobre a resolução de problemas em nosso site.
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Distância entre dois pontos em uma linha reta
Considere uma linha de coordenadas na qual 2 pontos são marcados: A A A E B B B. Para encontrar a distância entre esses pontos, você precisa encontrar o comprimento do segmento A B AB A B. Isso é feito usando a seguinte fórmula:
Distância entre dois pontos em uma linha retaA B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣ a −b ∣,
Onde a, b a, b a, b- coordenadas desses pontos na linha (linha de coordenadas).
Devido ao fato de haver um módulo na fórmula, não importa na hora de decidir qual coordenada subtrair de qual (já que o valor absoluto dessa diferença é considerado).
∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣ a −b ∣ =∣b −a ∣
Vejamos um exemplo para entender melhor a solução de tais problemas.
Exemplo 1Um ponto é marcado na linha de coordenadas A A A, cuja coordenada é 9 9 9 e ponto B B B com coordenada − 1 -1 − 1 . Você precisa encontrar a distância entre esses dois pontos.
Solução
Aqui a = 9, b = − 1 a=9, b=-1 um =9, b =− 1
Usamos a fórmula e substituímos os valores:
A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣ a −b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0
Responder
Distância entre dois pontos em um plano
Considere dois pontos dados em um plano. De cada ponto marcado no plano, duas perpendiculares devem ser rebaixadas: No eixo O X OX BOI e no eixo oi oi O Y. Então o triângulo é considerado A B C ABC A B C. Como é retangular ( B C BC B C perpendicular A C AC A C), encontre o segmento A B AB A B, que também é a distância entre os pontos, pode ser feito usando o teorema de Pitágoras. Nós temos:
A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2
Mas desde o comprimento A C AC A Cé igual a x B − x A x_B-x_A x B − x A , e o comprimento B C BC B Cé igual a y B − y A y_B-y_A y B − y A , esta fórmula pode ser reescrita da seguinte forma:
Distância entre dois pontos em um planoA B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 ,
Onde x A , y A x_A, y_A x A , y A E x B , y B x_B, y_B x B , y B - coordenadas do ponto A A A E B B B respectivamente.
Exemplo 2Encontre a distância entre os pontos C C C E F F F, se as coordenadas do primeiro (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , e em segundo lugar - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .
Solução
XC = 8 x_C=8 x C
=
8
yC=-1 y_C=-1 y C
=
−
1
x F=4 x_F=4 x F
=
4
yF=2 y_F=2 y F
=
2
C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F − x C ) 2 + (y F − y C ) 2 = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 = 1 6 + 9 = 2 5 = 5
Responder
Distância entre dois pontos no espaço
Encontrar a distância entre dois pontos neste caso é semelhante ao anterior, exceto que as coordenadas do ponto no espaço são dadas por três números, respectivamente, a coordenada do eixo aplicado também deve ser adicionada à fórmula. A fórmula ficará assim:
Distância entre dois pontos no espaçoA B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − zA ) 2
Exemplo 3Encontrar o comprimento de um segmento FK FK
Solução
F = (− 1 ; − 1 ; 8) F=(-1;-1;8)
F K = (x K − x F) 2 + (y K − y F) 2 + (z K − z F) 2 = (− 3 − (− 1)) 2 + (6 − (− 1)) 2 + (0 − 8) 2 = 117 ≈ 10,8 FK=\sqrt((x_K-x_F)^2+(y_K-y_F)^2+(z_K-z_F)^2)=\sqrt((-3-(-1 ))^2+(6-(-1))^2+(0-8)^2)=\sqrt(117)\approx10.8
De acordo com a condição do problema, precisamos arredondar a resposta para um número inteiro.
