I. Transformadas de Fourier.
Definição 1. Função
chamado transformada de Fourier funções .
A integral aqui é entendida no sentido do valor principal
e acredita-se que exista.
Se é uma função absolutamente integrável em ℝ, então, já que 
para , a transformada de Fourier (1) faz sentido para qualquer uma dessas funções, e a integral (1) converge absoluta e uniformemente em relação a toda a linha ℝ.
Definição 2. Se 
é a transformada de Fourier da função
, então a integral associada
Entendido no sentido do significado principal, é chamado Integral de Fourier da função .
Exemplo 1 Encontre a transformada de Fourier de uma função
A função dada é absolutamente integrável em , de fato,
Definição 3. Entendido no sentido do valor principal das integrais
Nomeado de acordo cosseno- E funções transformadas de Fourier seno .
assumindo , 
, 
, obtemos, em parte, a relação já familiar para nós da série de Fourier
Como pode ser visto nas relações (3), (4),
As fórmulas (5), (6) mostram que as transformadas de Fourier são completamente definidas em toda a linha se forem conhecidas apenas para valores não negativos do argumento.
Exemplo 2 Encontre o cosseno - e seno - transformada de Fourier de uma função
Como mostrado no Exemplo 1, a função dada é absolutamente integrável em .
Vamos encontrar seu cosseno - transformada de Fourier de acordo com a fórmula (3):
Da mesma forma, não é difícil encontrar o seno - transformada de Fourier da função f(x) pela fórmula (4):
Usando os Exemplos 1 e 2, é fácil verificar por substituição direta que para f(x) a relação (5) é satisfeita.
Se a função for de valor real, então as fórmulas (5), (6) neste caso implicam
Visto que neste caso e são funções reais em R, o que fica evidente por suas definições (3), (4). No entanto, a igualdade (7) sob a condição 
também é obtido diretamente da definição (1) da transformada de Fourier, se levarmos em conta que o sinal de conjugação pode ser colocado sob o sinal de integral. A última observação permite concluir que qualquer função satisfaz a igualdade
Também é útil notar que se é uma função real e par, ou seja, , Que
se é uma função real e ímpar, ou seja, , Que
E se é uma função puramente imaginária, ou seja, . 
, Que
Observe que se é uma função de valor real, então a integral de Fourier também pode ser escrita na forma
Onde 
Exemplo 3 
(assumindo 
)
já que sabemos o valor da integral de Dirichlet
A função considerada no exemplo não é absolutamente integrável e sua transformada de Fourier possui descontinuidades. O fato de que a transformada de Fourier de funções absolutamente integráveis não tem descontinuidades é mostrado pelo seguinte
Lema 1. Se a função localmente integrável e absolutamente integrável em , Que
a) sua transformada de Fourier definido para qualquer valor
b) 
Lembre-se que seé uma função de valor real ou complexo definida em um conjunto aberto, então a função chamado localmente integrável em, caso existam ponto tem uma vizinhança na qual a função é integrável. Em particular, se , a condição de integrabilidade local da função é obviamente equivalente ao fato de que 
para qualquer segmento.
Exemplo 4 Encontre a transformada de Fourier da função 
:
Diferenciando a última integral em relação ao parâmetro e depois integrando por partes, descobrimos que
ou
Significa, 
, onde é uma constante, que, usando a integral de Euler-Poisson, encontramos a partir da relação
Então, descobrimos que , e ao mesmo tempo mostramos que , e 
.
Definição 4. Dizem que a função 
, definido em uma vizinhança puncionada do ponto , satisfaz as condições de Dini no ponto se
a) ambos os limites laterais existem no ponto
b) ambas as integrais
concordo absolutamente.
Convergência absoluta da integral 
significa a convergência absoluta da integral pelo menos para algum valor de .
Condições suficientes para a representabilidade de uma função por uma integral de Fourier.
Teorema 1.Se absolutamente integrável em e função contínua localmente por partes satisfaz no ponto Dini, então sua integral de Fourier converge neste ponto, e para o valor
igual à metade da soma dos limites esquerdo e direito dos valores da função neste ponto.
Consequência 1.Se a função contínua, tem em cada ponto derivadas unilaterais finitas e absolutamente integráveis em , então aparece como com sua integral de Fourier
Onde 
Transformada de Fourier de uma função .
A representação de uma função pela integral de Fourier pode ser reescrita como:
Comente. As condições da função formuladas no Teorema 1 e Corolário 1 são suficientes, mas não necessárias para a possibilidade de tal representação.
Exemplo 5 Represente a função como uma integral de Fourier se
Esta função é ímpar e contínua em ℝ, exceto para os pontos , , .
Devido à estranheza e realismo da função, temos:
e das igualdades (5) e (10) segue que
Nos pontos de continuidade da função temos:
Mas a função é ímpar, então
já que a integral é calculada no sentido do valor principal.
A função é par, então
Se , . Para , a igualdade
Assumindo , daqui encontramos
Se colocarmos a última expressão para , então
Supondo aqui, encontramos
Se uma função de valor real é contínua por partes em qualquer segmento da linha real, absolutamente integrável e tem derivadas unilaterais finitas em cada ponto, então nos pontos de continuidade da função ela é representada como uma integral de Fourier
e nos pontos de descontinuidade da função, o lado esquerdo da igualdade (1) deve ser substituído por
Se uma função contínua absolutamente integrável em cada ponto tiver derivadas unilaterais finitas em cada ponto, então, no caso em que essa função for par, a igualdade
e no caso em que é uma função ímpar, a igualdade
Exemplo 5'. Represente a função como uma integral de Fourier se:
Como é uma função par contínua, então, usando as fórmulas (13.2), (13.2'), temos
Denotamos pelo símbolo a integral entendida no sentido do valor principal
Consequência 2.Para qualquer função satisfazendo as condições do Corolário 1, existem todas as transformações , , , e há igualdades
Com essas relações em mente, a transformação (14) costuma ser chamada de transformada inversa de Fourier e, em vez disso, escreva , e as próprias igualdades (15) são chamadas Fórmula de inversão de transformada de Fourier.
Exemplo 6 Deixe e
Note que se 
, então para qualquer função
Vamos pegar uma função agora. Então
Se tomarmos uma função que é uma continuação ímpar da função 
, em todo o eixo numérico, então
Usando o Teorema 1, obtemos que
Todas as integrais aqui são entendidas no sentido de valor principal,
Separando as partes real e imaginária nas duas últimas integrais, encontramos as integrais de Laplace
Definição . Função
será chamada de transformada de Fourier normalizada.
Definição . Se é a transformada de Fourier normalizada da função , então a integral associada
Chamaremos a integral de Fourier normalizada da função .
Vamos considerar a transformada de Fourier normalizada (16).
Por conveniência, introduzimos a seguinte notação:
(aqueles. 
).
Em comparação com a notação anterior, trata-se apenas de uma renormalização: Daí, em particular, as relações (15) nos permitem concluir que
ou, em notação mais curta,
Definição 5. O operador será chamado de transformada de Fourier normalizada e o operador será chamado de transformada de Fourier normalizada inversa.
No Lema 1, notou-se que a transformada de Fourier de qualquer função absolutamente integrável em uma função tende a zero no infinito. As próximas duas declarações afirmam que, como os coeficientes de Fourier, a transformada de Fourier tende a zero quanto mais rápido, mais suave a função da qual é obtida (na primeira declaração); um fato mútuo com isso será que quanto mais rápido a função da qual a transformada de Fourier é tomada tende a zero, mais suave é sua transformada de Fourier (segunda afirmação).
Declaração 1(sobre a conexão entre a suavidade de uma função e a taxa de decréscimo de sua transformada de Fourier). Se e todos os recursos 
absolutamente integrável em , Que:
A) para qualquer 
b) 
Declaração 2(sobre a relação entre a taxa de decaimento de uma função e a suavidade de sua transformada de Fourier). Se uma função localmente integrável : é tal que a função absolutamente integrável A , Que:
A) Transformada de Fourier de uma função pertence à classe 
b) existe uma desigualdade
Apresentamos as principais propriedades de hardware da transformada de Fourier.
Lema 2. Seja uma transformada de Fourier para as funções e (respectivamente, a transformada de Fourier inversa), então, quaisquer que sejam os números e , existe uma transformada de Fourier (respectivamente, a transformada de Fourier inversa) e para a função 
, e
(respectivamente).
Essa propriedade é chamada de linearidade da transformada de Fourier (respectivamente, a transformada inversa de Fourier).
Consequência. 
.
Lema 3. A transformada de Fourier, assim como a transformada inversa, é uma transformação um-para-um no conjunto de funções contínuas absolutamente integráveis em todo o eixo, tendo derivadas unilaterais em cada ponto.
Isso significa que se e são duas funções do tipo especificado e se 
(respectivamente, se 
), depois em todo o eixo.
Da afirmação do Lema 1, podemos obter o seguinte lema.
Lema 4. Se a sequência de funções absolutamente integráveis 
e uma função absolutamente integrável são tais que
então a sequência uniformemente em todo o eixo converge para a função .
Vamos agora estudar a transformada de Fourier de convoluções de duas funções. Por conveniência, modificamos a definição de convolução adicionando um fator adicional
Teorema 2. Sejam as funções e limitadas, contínuas e absolutamente integráveis no eixo real, então
aqueles. a transformada de Fourier da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Fourier dessas funções.
Vamos compilar uma tabela de resumo nº 1 das propriedades da transformada de Fourier normalizada, útil para resolver os problemas abaixo.
Tabela 1
| Função | Transformada de Fourier Normalizada |
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Usando as propriedades 1-4 e 6, obtemos
Exemplo 7 Encontre a transformada de Fourier normalizada de uma função
O Exemplo 4 mostrou que
Até parece
Pela propriedade 3, temos:
Da mesma forma, você pode compilar a tabela nº 2 para a transformada de Fourier inversa normalizada:
Tabela número 2
| Função | Transformada de Fourier Inversa Normalizada |
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Como antes, usando as propriedades 1-4 e 6, obtemos que
Exemplo 8 Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função
Como segue do exemplo 6
Quando temos:
Representando a função na forma
use a propriedade 6 quando
Opções de tarefas para liquidação e trabalhos gráficos
1. Encontre o seno - transformada de Fourier de uma função
2. Encontre o seno - transformada de Fourier de uma função
3. Encontre o cosseno - transformada de Fourier de uma função
4. Encontre o cosseno - transformada de Fourier de uma função
5. Encontre o seno - transformada de Fourier de uma função
6. Encontrar cosseno - Transformada de Fourier de uma função
7. Encontre o seno - transformada de Fourier da função
8. Encontre o cosseno - transformada de Fourier de uma função
9. Encontre o cosseno - transformada de Fourier de uma função
10. Encontre o seno - transformada de Fourier de uma função
11. Encontre o seno - transformada de Fourier de uma função
12. Encontre seno - transformação de função
13. Encontre seno - transformação de função
14. Encontre cosseno - transformação de função
15. Encontre cosseno - transformação de função
16. Encontre a transformada de Fourier de uma função se:
17. Encontre a transformada de Fourier de uma função se:
18. Encontre a transformada de Fourier de uma função se:
19. Encontre a transformada de Fourier de uma função se:
20. Encontre a transformada de Fourier de uma função se:
21. Encontre a transformada de Fourier de uma função se:
22. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função
usando a fórmula
24. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função
usando a fórmula
26. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função
usando a fórmula
28. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função
usando a fórmula
30. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função
usando a fórmula
23. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função
usando a fórmula
25. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função
usando a fórmula
27. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função
usando a fórmula
29. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função
usando a fórmula
31. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função
usando a fórmula
32. Represente uma função como uma integral de Fourier
33. Represente uma função como uma integral de Fourier
34. Represente uma função como uma integral de Fourier
35. Represente uma função como uma integral de Fourier
36. Represente uma função como uma integral de Fourier
37. Represente uma função como uma integral de Fourier
38. Represente uma função como uma integral de Fourier
39. Represente uma função como uma integral de Fourier
40. Represente uma função como uma integral de Fourier
41. Represente uma função como uma integral de Fourier
42. Represente uma função como uma integral de Fourier
43. Represente a função como uma integral de Fourier, estendendo-a de forma ímpar ao intervalo se:
44. Represente a função como uma integral de Fourier, continuando-a de maneira ímpar até o intervalo se.
Que já estão bastante fartos. E sinto que chegou o momento de extrair novas conservas das reservas estratégicas da teoria. É possível expandir a função em uma série de alguma outra maneira? Por exemplo, para expressar um segmento de reta em termos de senos e cossenos? Parece incrível, mas funções aparentemente tão distantes se prestam a
"reunião". Além dos graus familiares em teoria e prática, existem outras abordagens para expandir uma função em uma série.
Nesta lição, conheceremos a série trigonométrica de Fourier, abordaremos a questão de sua convergência e soma e, é claro, analisaremos vários exemplos de expansão de funções em uma série de Fourier. Eu sinceramente queria chamar o artigo de “Série de Fourier para Leigos”, mas isso seria astuto, pois a resolução de problemas exigirá conhecimento de outras seções de análise matemática e alguma experiência prática. Portanto, o preâmbulo vai se assemelhar ao treinamento de astronautas =)
Primeiro, o estudo dos materiais da página deve ser abordado de forma excelente. Sonolento, descansado e sóbrio. Sem fortes emoções sobre a pata quebrada de um hamster e pensamentos obsessivos sobre as adversidades da vida dos peixes de aquário. A série de Fourier não é difícil do ponto de vista da compreensão, no entanto, as tarefas práticas exigem apenas uma maior concentração de atenção - idealmente, deve-se abandonar completamente os estímulos externos. A situação é agravada pelo fato de não haver uma maneira fácil de verificar a solução e a resposta. Assim, se sua saúde está abaixo da média, é melhor fazer algo mais simples. É verdade.
Em segundo lugar, antes de voar para o espaço, é necessário estudar o painel de instrumentos da espaçonave. Vamos começar com os valores das funções que devem ser clicadas na máquina:
Para qualquer valor natural:
1) . E, de fato, a sinusóide "pisca" o eixo x através de cada "pi":
. No caso de valores negativos do argumento, o resultado, claro, será o mesmo: .
2). Mas nem todos sabiam disso. O cosseno "pi en" é o equivalente a uma "luz intermitente":
Um argumento negativo não muda o caso: 
.
Talvez o suficiente.
E em terceiro lugar, querido corpo de cosmonautas, você precisa ser capaz de ... integrar
.
Em particular, com certeza colocar uma função sob um sinal diferencial
, integrar por partes
e estar em bons termos com Fórmula de Newton-Leibniz
. Vamos começar os importantes exercícios pré-voo. Eu fortemente não recomendo pular, para que depois você não achate em gravidade zero:
Exemplo 1
Calcular integrais definidas
onde assume valores naturais.
Solução: a integração é realizada sobre a variável "x" e nesta etapa a variável discreta "en" é considerada uma constante. Em todas as integrais coloque a função sob o sinal da diferencial :
Uma versão curta da solução, que seria boa para filmar, é assim:
Acostumando:
Os quatro pontos restantes estão por conta própria. Tente tratar a tarefa com cuidado e organize as integrais de maneira curta. Exemplos de soluções no final da lição.
Depois de um exercício de QUALIDADE, vestimos os fatos espaciais
e se preparando para começar!
Expansão de uma função em uma série de Fourier no intervalo
Vamos considerar uma função que determinado
pelo menos no intervalo (e, possivelmente, em um intervalo maior). Se esta função for integrável no segmento , então ela pode ser expandida em uma função trigonométrica Séries de Fourier:
, onde estão os chamados Coeficientes de Fourier.
Neste caso, o número é chamado período de decomposição, e o número é decomposição de meia-vida.
Obviamente, no caso geral, a série de Fourier consiste em senos e cossenos: 
De fato, vamos escrevê-lo em detalhes:
O termo zero da série é geralmente escrito como .
Os coeficientes de Fourier são calculados usando as seguintes fórmulas: 
Entendo perfeitamente que novos termos ainda são obscuros para iniciantes no estudo do tema: período de decomposição, meio ciclo, Coeficientes de Fourier e outros. Não entre em pânico, não é comparável à emoção antes de uma caminhada espacial. Vamos descobrir tudo no exemplo mais próximo, antes de executá-lo, é lógico fazer perguntas práticas urgentes:
O que você precisa fazer nas seguintes tarefas?
Expanda a função em uma série de Fourier. Além disso, muitas vezes é necessário desenhar um gráfico de uma função, um gráfico da soma de uma série, uma soma parcial e, no caso de fantasias sofisticadas de professores, fazer outra coisa.
Como expandir uma função em uma série de Fourier?
Basicamente, você precisa encontrar Coeficientes de Fourier, ou seja, componha e calcule três integrais definidas .
Copie a forma geral da série de Fourier e as três fórmulas de trabalho em seu caderno. Fico muito feliz que alguns dos visitantes do site tenham um sonho de infância de se tornar um astronauta se tornando realidade bem na frente dos meus olhos =)
Exemplo 2
Expanda a função em uma série de Fourier no intervalo . Construa um gráfico, um gráfico da soma de uma série e uma soma parcial.
Solução: a primeira parte da tarefa é expandir a função em uma série de Fourier.
O começo é padrão, certifique-se de anotar isso:
Neste problema, o período de expansão , meio período .
Expandimos a função em uma série de Fourier no intervalo: 
Usando as fórmulas apropriadas, encontramos Coeficientes de Fourier. Agora precisamos compor e calcular três integrais definidas . Por conveniência, vou numerar os pontos:
1) A primeira integral é a mais simples, porém já requer olho e olho: 
2) Usamos a segunda fórmula:
Esta integral é bem conhecida e ele pega aos poucos
: 
Quando encontrado usado método de colocar uma função sob um sinal diferencial .
Na tarefa em consideração, é mais conveniente usar imediatamente fórmula para integração por partes em uma integral definida
:
Algumas notas técnicas. Primeiro, depois de aplicar a fórmula toda a expressão deve ser colocada entre colchetes grandes, pois há uma constante antes da integral original. Não vamos perdê-lo! Os parênteses podem ser abertos em qualquer passo seguinte, eu fiz isso no último turno. Na primeira "peça" 
mostramos extrema precisão na substituição, como você pode ver, a constante está fora do negócio e os limites de integração são substituídos no produto. Esta ação é marcada com colchetes. Bem, a integral do segundo "pedaço" da fórmula é bem conhecida por você da tarefa de treinamento ;-)
E o mais importante - a concentração máxima de atenção!
3) Estamos procurando o terceiro coeficiente de Fourier:
Obtém-se um relativo da integral anterior, que também é integrado por partes
:
Esta instância é um pouco mais complicada, vou comentar as próximas etapas passo a passo: 
(1) A expressão inteira está entre colchetes grandes.. Eu não queria parecer chato, eles perdem a constante com muita frequência.
(2) Nesse caso, expandi imediatamente esses colchetes grandes. Atenção especial dedicamo-nos ao primeiro “pedaço”: o constante fuma à margem e não participa da substituição dos limites de integração ( e ) no produto . Tendo em vista a desordem do registro, é novamente aconselhável destacar essa ação entre colchetes. Com a segunda "peça" 
tudo é mais simples: aqui a fração apareceu depois de abrir colchetes grandes e a constante - como resultado da integração da familiar integral ;-)
(3) Nos colchetes, realizamos as transformações e, na integral à direita, substituímos os limites de integração.
(4) Retiramos o “pisca-pisca” dos colchetes: , após o que abrimos os colchetes internos: .
(5) Cancelamos o 1 e -1 entre parênteses e fazemos as simplificações finais.
Finalmente encontrei todos os três coeficientes de Fourier: 
Substitua-os na fórmula 
:
Não se esqueça de dividir ao meio. Na última etapa, a constante ("menos dois"), que não depende de "en", é retirada da soma.
Assim, obtivemos a expansão da função em série de Fourier no intervalo: 
Estudemos a questão da convergência da série de Fourier. Vou explicar a teoria em particular teorema de Dirichlet, literalmente "nos dedos", portanto, se você precisar de formulações estritas, consulte um livro de cálculo (por exemplo, o 2º volume de Bohan; ou o 3º volume de Fichtenholtz, mas é mais difícil nele).
Na segunda parte da tarefa, é necessário desenhar um gráfico, um gráfico de soma de séries e um gráfico de soma parcial.
O gráfico da função é o usual linha reta no plano
, que é desenhado com uma linha pontilhada preta: 
Nós lidamos com a soma da série. Como você sabe, séries funcionais convergem para funções. No nosso caso, a série de Fourier construída 
para qualquer valor de "x" converge para a função mostrada em vermelho. Esta função está sujeita a pausas de 1º tipo
em pontos, mas também definidos neles (pontos vermelhos no desenho)
Por isso: 
. É fácil ver que ela difere marcadamente da função original, razão pela qual na notação 
um til é usado em vez de um sinal de igual.
Vamos estudar um algoritmo pelo qual é conveniente construir a soma de uma série.
No intervalo central, a série de Fourier converge para a própria função (o segmento vermelho central coincide com a linha pontilhada preta da função linear).
Agora vamos falar um pouco sobre a natureza da expansão trigonométrica considerada. Séries de Fourier 
inclui apenas funções periódicas (constante, senos e cossenos), então a soma da série 
também é uma função periódica.
O que isso significa em nosso exemplo particular? E isso significa que a soma da série 
–necessariamente periódica e o segmento vermelho do intervalo deve ser repetido infinitamente à esquerda e à direita.
Acho que agora o significado da frase "período de decomposição" finalmente ficou claro. Simplificando, toda vez que a situação se repete de novo e de novo.
Na prática, geralmente é suficiente representar três períodos de decomposição, como é feito no desenho. Bem, e mais "tocos" de períodos vizinhos - para deixar claro que o gráfico continua.
De particular interesse são pontos de descontinuidade de 1º tipo
. Nesses pontos, a série de Fourier converge para valores isolados, que se localizam exatamente no meio do "salto" da descontinuidade (pontos vermelhos no desenho). Como encontrar a ordenada desses pontos? Primeiro, vamos encontrar a ordenada do "piso superior": para isso, calculamos o valor da função no ponto mais à direita do período de expansão central: . Para calcular a ordenada do “piso inferior”, a maneira mais fácil é pegar o valor mais à esquerda do mesmo período: 
. A ordenada do valor médio é a média aritmética da soma do "superior e inferior": . Bom é o fato de que ao construir um desenho, você verá imediatamente se o meio está calculado corretamente ou incorretamente.
Vamos construir uma soma parcial da série e ao mesmo tempo repetir o significado do termo "convergência". O motivo é conhecido da lição sobre a soma da série numérica
. Vamos descrever nossa riqueza em detalhes:
Para fazer uma soma parcial, você precisa anotar zero + mais dois termos da série. Aquilo é,
No desenho, o gráfico da função é mostrado em verde e, como você pode ver, envolve a soma total com bastante precisão. Se considerarmos uma soma parcial de cinco termos da série, o gráfico dessa função aproximará as linhas vermelhas com ainda mais precisão; se houver cem termos, a “serpente verde” se fundirá completamente com os segmentos vermelhos, etc. Assim, a série de Fourier converge para sua soma.
É interessante notar que qualquer soma parcial é função contínua , mas a soma total da série ainda é descontínua.
Na prática, não é incomum construir um gráfico de soma parcial. Como fazer isso? No nosso caso, é necessário considerar a função no segmento, calcular seus valores nas extremidades do segmento e nos pontos intermediários (quanto mais pontos você considerar, mais preciso será o gráfico). Então você deve marcar esses pontos no desenho e desenhar cuidadosamente um gráfico no período , e depois “replicá-lo” em intervalos adjacentes. De que outra forma? Afinal, a aproximação também é uma função periódica ... ... seu gráfico de alguma forma me lembra um ritmo cardíaco uniforme no visor de um dispositivo médico.
Claro, não é muito conveniente fazer a construção, pois é preciso ter muito cuidado, mantendo uma precisão não inferior a meio milímetro. No entanto, agradarei aos leitores que estão em desacordo com o desenho - em uma tarefa "real", nem sempre é necessário fazer um desenho, em algum lugar em 50% dos casos é necessário expandir a função para uma série de Fourier e isso é isto.
Depois de concluir o desenho, concluímos a tarefa:
Responder: 
Em muitas tarefas, a função sofre ruptura de 1ª espécie logo no período de decomposição:
Exemplo 3
Expanda em uma série de Fourier a função dada no intervalo. Desenhe um gráfico da função e a soma total da série.
A função proposta é dada por partes (e, lembre-se, apenas no segmento) e suportar ruptura de 1ª espécie
no ponto . É possível calcular os coeficientes de Fourier? Sem problemas. As partes esquerda e direita da função são integráveis em seus intervalos, portanto, as integrais em cada uma das três fórmulas devem ser representadas como a soma de duas integrais. Vejamos, por exemplo, como isso é feito para um coeficiente zero:
A segunda integral acabou sendo igual a zero, o que reduziu o trabalho, mas nem sempre é assim.
Dois outros coeficientes de Fourier são escritos de forma semelhante.
Como exibir a soma de uma série? No intervalo esquerdo, desenhamos um segmento de linha reta e no intervalo - um segmento de linha reta (destaque a seção do eixo em negrito-negrito). Ou seja, no intervalo de expansão, a soma da série coincide com a função em todos os lugares, exceto em três pontos "ruins". No ponto de descontinuidade da função, a série de Fourier converge para um valor isolado, que se localiza exatamente no meio do “salto” da descontinuidade. Não é difícil vê-lo oralmente: limite da mão esquerda:, limite da mão direita: 
e, obviamente, a ordenada do ponto médio é 0,5.
Devido à periodicidade da soma , a imagem deve ser “multiplicada” em períodos vizinhos, em particular, retratar a mesma coisa nos intervalos e . Neste caso, nos pontos, a série de Fourier converge para os valores medianos.
Na verdade, não há nada de novo aqui.
Tente resolver esse problema sozinho. Uma amostra aproximada de design fino e desenho no final da lição.
Expansão de uma função em uma série de Fourier em um período arbitrário
Para um período de expansão arbitrário, onde "el" é qualquer número positivo, as fórmulas para a série de Fourier e os coeficientes de Fourier diferem em um argumento de seno e cosseno um pouco mais complicado:
Se , obtemos as fórmulas para o intervalo com o qual começamos.
O algoritmo e os princípios para resolver o problema são totalmente preservados, mas a complexidade técnica dos cálculos aumenta:
Exemplo 4
Expanda a função em uma série de Fourier e plote a soma. 
Solução: de fato, um análogo do Exemplo No. 3 com ruptura de 1ª espécie no ponto . Neste problema, o período de expansão , meio período . A função é definida apenas no meio-intervalo , mas isso não muda as coisas - é importante que ambas as partes da função sejam integráveis.
Vamos expandir a função em uma série de Fourier:
Como a função é descontínua na origem, cada coeficiente de Fourier obviamente deve ser escrito como a soma de duas integrais:
1) Vou escrever a primeira integral o mais detalhadamente possível:
2) Observe cuidadosamente a superfície da lua:
segunda integral pegue em partes
:
O que você deve prestar muita atenção depois de abrirmos a continuação da solução com um asterisco?
Primeiro, não perdemos a primeira integral 
, onde executamos imediatamente colocando sob o sinal do diferencial
. Em segundo lugar, não se esqueça da constante malfadada antes dos colchetes grandes e não se confunda com sinais ao usar a fórmula 
. Colchetes grandes, afinal, é mais conveniente abrir imediatamente na próxima etapa.
O resto é uma questão de técnica, apenas a experiência insuficiente na resolução de integrais pode causar dificuldades.
Sim, não foi à toa que os eminentes colegas do matemático francês Fourier ficaram indignados - como ele ousou decompor funções em séries trigonométricas ?! =) A propósito, provavelmente todos estão interessados no significado prático da tarefa em questão. O próprio Fourier trabalhou em um modelo matemático de condução de calor e, posteriormente, a série que leva seu nome começou a ser usada para estudar muitos processos periódicos, aparentemente invisíveis no mundo exterior. Agora, aliás, me peguei pensando que não foi por acaso que comparei o gráfico do segundo exemplo com um ritmo cardíaco periódico. Os interessados podem conhecer a aplicação prática transformada de Fourier de fontes de terceiros. ... Embora seja melhor não - será lembrado como Primeiro Amor =)
3) Dados os elos fracos repetidamente mencionados, lidamos com o terceiro coeficiente:
Integrando por partes: 
Substituímos os coeficientes de Fourier encontrados na fórmula 
, não esquecendo de dividir o coeficiente zero pela metade:
Vamos traçar a soma da série. Vamos repetir brevemente o procedimento: no intervalo construímos uma linha e no intervalo - uma linha. Com valor zero de "x", colocamos um ponto no meio do "salto" do gap e "replicamos" o gráfico para os períodos vizinhos: 
Nas "junções" dos períodos, a soma também será igual aos pontos médios do "salto" do gap.
Preparar. Lembro que a própria função é definida condicionalmente apenas no meio intervalo e, obviamente, coincide com a soma da série nos intervalos
Responder:
Às vezes, uma dada função por partes também é contínua no período de expansão. O exemplo mais simples: 
. Solução (Ver Bohan Volume 2)é o mesmo que nos dois exemplos anteriores: apesar continuidade da função
no ponto , cada coeficiente de Fourier é expresso como a soma de duas integrais.
No intervalo de separação pontos de descontinuidade de 1º tipo e/ou pontos de "junção" do gráfico podem ser mais (dois, três e, em geral, qualquer final quantidade). Se uma função é integrável em todas as partes, ela também é expansível em uma série de Fourier. Mas, por experiência prática, não me lembro de tal lata. No entanto, existem tarefas mais difíceis do que apenas consideradas, e no final do artigo para todos há links para a série Fourier de maior complexidade.
Enquanto isso, vamos relaxar, recostados em nossas cadeiras e contemplando a imensidão das estrelas:
Exemplo 5
Expanda a função em uma série de Fourier no intervalo e plote a soma da série.
Nesta tarefa, a função contínuo no semi-intervalo de decomposição, o que simplifica a solução. Tudo é muito parecido com o Exemplo nº 2. Não há como escapar da nave - você tem que decidir =) Uma amostra de design aproximado no final da aula, o cronograma está anexado.
Expansão em série de Fourier de funções pares e ímpares
Com funções pares e ímpares, o processo de resolução do problema é visivelmente simplificado. E é por causa disso. Voltemos à expansão da função em série de Fourier em um período de "dois pi" 
e período arbitrário "duas cervejas" 
.
Vamos supor que nossa função seja par. O termo geral da série, como você pode ver, contém cossenos pares e senos ímpares. E se decompormos uma função PAR, então por que precisamos de senos ímpares?! Vamos redefinir o coeficiente desnecessário: .
Por isso, uma função par se expande em uma série de Fourier apenas em cossenos:
Porque o integrais de funções pares sobre um segmento de integração simétrico em relação a zero pode ser duplicado, então o resto dos coeficientes de Fourier também são simplificados.
Para extensão: 
Para um intervalo arbitrário: 
Exemplos de livros didáticos encontrados em quase todos os livros didáticos de cálculo incluem expansões de funções pares 
. Além disso, eles se encontraram repetidamente em minha prática pessoal:
Exemplo 6
Dada uma função. Obrigatório:
1) expanda a função em uma série de Fourier com período , onde é um número positivo arbitrário;
2) escreva a expansão no intervalo, construa uma função e represente graficamente a soma total da série.
Solução: no primeiro parágrafo, propõe-se resolver o problema de forma geral, e isso é muito conveniente! Haverá uma necessidade - basta substituir seu valor.
1) Neste problema, o período de expansão , meio período . No decorrer de outras ações, em particular durante a integração, "el" é considerado uma constante
A função é par, o que significa que ela se expande em uma série de Fourier apenas em cossenos: 
.
Os coeficientes de Fourier são procurados pelas fórmulas 
. Preste atenção às suas vantagens absolutas. Primeiro, a integração é realizada no segmento positivo da expansão, o que significa que nos livramos do módulo com segurança 
, considerando apenas "x" de duas peças. E, em segundo lugar, a integração é visivelmente simplificada.
Dois: 
Integrando por partes:
Por isso:
, enquanto a constante , que não depende de "en", é retirada da soma.
Responder: 
2) Escrevemos a expansão no intervalo, para isso substituímos o valor desejado do meio período na fórmula geral:
Uma das ferramentas poderosas para estudar problemas de física matemática é o método de transformações integrais. Seja a função f(x) definida no intervalo (a, 6), finito ou infinito. A transformação integral da função f(x) é a função onde K(x, w) é uma função fixa para uma dada transformação, chamada de núcleo da transformação (supõe-se que a integral (*) exista em seu sentido próprio ou impróprio ). §1. Integral de Fourier Qualquer função f(x), que no segmento [-f, I] satisfaz as condições de expansão em uma série de Fourier, pode ser representada neste segmento por uma série trigonométrica. : Transformada de Fourier Integral de Fourier Forma integral complexa Transformada de Fourier Transformadas de cosseno e seno Amplitude e espectros de fase Propriedades de aplicação A série do lado direito da equação (1) pode ser escrita de uma forma diferente. Para tanto, introduzimos a partir das fórmulas (2) os valores dos coeficientes a» e op, subsumindo as integrais cos ^ x e sen x (o que é possível, pois a variável de integração é m) O) e usando a fórmula do cosseno da diferença. Teremos Se a função /(x) foi originalmente definida no intervalo do eixo numérico maior que o intervalo [-1,1] (por exemplo, em todo o eixo), então a expansão (3) irá reproduzir os valores desta função apenas no intervalo [-1, 1] e continua em todo o eixo real como uma função periódica com período de 21 (Fig. 1). Portanto, se a função f(x) (em geral, não periódica) é definida em todo o eixo real, na fórmula (3) pode-se tentar passar ao limite como I + oo. Nesse caso, é natural exigir que as seguintes condições sejam satisfeitas: 1. f(x) satisfaz as condições de expansão em uma série de Fourier em qualquer segmento finito do eixo Ox\ 2. a função f(x) é absolutamente integrável em todo o eixo real. (3) tende a zero quando I -* + oo. De fato, vamos tentar estabelecer para qual será a soma do lado direito de (3) no limite quando I + oo. Vamos supor que Então a soma do lado direito de (3) assumirá a forma Devido à convergência absoluta da integral, esta soma para I grande difere pouco de uma expressão que se assemelha à soma integral para a função do variável £ compilada para o intervalo (0, + oo) de mudança. Portanto, é natural esperar que para , a soma (5) passe para a integral С Por outro lado, para fixo) segue da fórmula (3 ) que também obtemos a igualdade A condição suficiente para a validade da fórmula (7) é expressa pelo seguinte teorema. Teorema 1. Se a função f(x) é absolutamente integrável em todo o eixo real e, junto com sua derivada, tem um número finito de pontos de descontinuidade de primeiro tipo em qualquer segmento [a, 6], então do tipo da função /(x), o valor da integral do lado direito de (7) é igual à Fórmula (7) é chamada de fórmula integral de Fourier, e a integral do lado direito é chamada de integral de Fourier. Se usarmos a fórmula para o dia do cosseno da diferença, a fórmula (7) pode ser escrita como As funções a(t), b(t) são análogas aos coeficientes de Fourier correspondentes an e bn de um período 2n função, mas os últimos são definidos para valores discretos de n, enquanto a(0> HO são definidos para valores contínuos de G(-oo, +oo). A forma complexa da integral de Fourier Assumindo f(x) ser absolutamente integrável em todo o eixo x, consideramos a integral , obviamente uma função ímpar de Mas então Por outro lado, a integral é uma função par da variável de modo que Portanto, a fórmula da integral de Fourier pode ser escrita da seguinte forma : Multipliquemos a igualdade pela unidade imaginária i e somemos à igualdade (10). Esta é a forma complexa da integral de Fourier. Aqui, a integração externa sobre t é entendida no sentido do valor principal de Cauchy: § 2 Transformada de Fourier Cosseno e seno Transformadas de Fourier Deixe a função A linha f(x) é suave por partes em qualquer segmento finito do eixo x e absolutamente integrável em todo o eixo. Definição. A função da qual, em virtude da fórmula de Euler, teremos é chamada de transformada de Fourier da função f(r) (função espectral). Esta é a transformação integral da função / (r) no intervalo (-oo, + oo) com um kernel. Usando a fórmula integral de Fourier, obtemos Esta é a chamada transformada inversa de Fourier, que fornece a transição de F (t) a / (x). Às vezes, a transformada direta de Fourier é dada da seguinte forma: Então a transformada inversa de Fourier é determinada pela fórmula A transformada de Fourier da função /(g) também é definida da seguinte forma: TRANSFORMADA DE FOURIER Integral de Fourier Forma complexa da transformada de Fourier integral Cosseno e seno da transformada Amplitude e espectros de fase Propriedades do aplicativo Então, por sua vez, Neste caso, a posição do fator ^ é bastante arbitrária: ele pode entrar na fórmula (1") ou na fórmula (2"). Exemplo 1. Encontre a transformada de Fourier da função -4 Temos Esta igualdade admite diferenciação em relação a £ sob o sinal integral (a integral obtida após a diferenciação converge uniformemente quando ( pertence a qualquer segmento finito): Integrando por partes, teremos obtemos de onde (C é a constante de integração). Definindo £ = 0 em (4), encontramos С = F(0). Em virtude de (3) temos Sabe-se que Em particular, pois) obtemos que Consideremos a função 4. Para os espectros oyu da função F(t), obtemos Daí (Fig. 2). A condição de integrabilidade absoluta da função f(x) em todo o eixo real é muito estrita. Exclui, por exemplo, funções elementares como f(x) = e1, para as quais a transformada de Fourier (na forma clássica considerada aqui) não existe. Apenas essas funções têm uma transformada de Fourier que tende a zero rápido o suficiente para |x| -+ +oo (como nos exemplos 1 e 2). 2.1. Cosseno e seno Transformadas de Fourier Usando a fórmula do cosseno, a diferença, reescrevemos a fórmula da integral de Fourier na seguinte forma: Seja f(x) uma função par. Então, de modo que da igualdade (5) temos No caso de f(x) ímpar, obtemos de forma semelhante Se f(x) é dado apenas em (0, -foo), então a fórmula (6) estende f(x) a todo o eixo Ox de maneira par e fórmula (7) - ímpar. (7) Definição. A função é chamada de transformada de Fourier do cosseno da função f(x). De (6) segue que para uma função par f(x) Isso significa que f(x), por sua vez, é uma transformada de cosseno para Fc(t). Em outras palavras, as funções / e Fc são transformadas de cosseno mútuas. Definição. A função é chamada de transformada de Fourier senoidal da função f(x). De (7) obtemos isso para uma função ímpar f(x), ou seja, f e Fs são transformadas senoidais mútuas. Exemplo 3 (pulso em ângulo reto). Seja f(t) uma função par definida como segue: (Fig. 3). Vamos usar o resultado obtido para calcular a integral Em virtude da fórmula (9), temos Fig.3 0 0 No ponto t = 0, a função f(t) é contínua e igual a um. Portanto, de (12") obtemos 2.2. Amplitude e espectros de fase da integral de Fourier Seja a função f(x) periódica de período 2m expandida em uma série de Fourier. Essa igualdade pode ser escrita na forma em que chegamos aos conceitos dos espectros de amplitude e fase de uma função periódica Para uma função não periódica f(x) dada em (-oo, +oo), sob certas condições, torna-se possível representá-la pela integral de Fourier, que expande esta função em todas as frequências (expansão no espectro de frequência contínua Definição A função espectral, ou a densidade espectral da integral de Fourier, é uma expressão (a transformada direta de Fourier da função f é chamada de espectro de amplitude e a função Ф ") \u003d -argSfc) é o espectro de fase da função / ("). O espectro de amplitude A(t) serve como uma medida da contribuição da frequência t para a função /(x). Exemplo 4. Encontre os espectros de amplitude e fase da função 4 Encontre a função espectral A partir daqui Os gráficos dessas funções são mostrados na fig. 4. §3. Propriedades da transformada de Fourier 1. Linearidade. Se e G(0 são as transformadas de Fourier das funções f(x) e q(x), respectivamente, então para qualquer constante a e p a transformada de Fourier da função a f(x) + p g(x) será a função a Usando a propriedade de linearidade da integral, temos Assim, a transformada de Fourier é um operador linear. Denotando por, escreveremos. Se F(t) é a transformada de Fourier de uma função f(x) absolutamente integrável em todo o real eixo, então F(t) é limitado para todos. Seja a função f(x) absolutamente integrável em todo o eixo - a transformada de Fourier da função f (x). Então 3 "flts J. Seja f (x) uma função cuja tolerância é a transformada de Fourier, L é o número de propriedades. A função fh (x) \u003d f (z-h) é chamada de deslocamento da função f(x).Usando a definição da transformada de Fourier , mostre esse Problema.Seja uma função f(z) tenha uma transformada de Fourier F(0> h é um número real.Mostre que 3. Transformada de Fourier e diferenciação ooeresis.Seja uma função absolutamente integrável f (x) tenha uma derivada f " (x), que também é absolutamente integrável em todo o eixo Oh, então /(n) tende a zero quando |x| -» +oo. Assumindo f"(x) como uma função suave, escrevemos Integrando por partes, temos o termo fora da integral nula (pois, e obtemos Assim, a diferenciação da função /(x) corresponde à multiplicação de seu Fourier imagem ^ P /] pelo fator Se a função f(x) tem derivadas absolutamente intetáveis suaves até a ordem m inclusive, e todas elas, como a própria função f(x), tendem a zero, e então, integrando por partes o número necessário de vezes, obtemos a transformada de Fourier é muito útil precisamente porque substitui a operação de diferenciação pela operação de multiplicação por um valor e, assim, simplifica o problema de integrar certos tipos de equações diferenciais. Como a transformada de Fourier de um função absolutamente integrável f^k\x) é uma função limitada de (propriedade 2), da relação (2) obtemos a seguinte estimativa para: Transformada de Fourier Integral de Fourier Forma integral complexa Transformação de Fourier Transformações de cosseno e seno Amplitude e espectros de fase Propriedades de aplicação A partir desta avaliação com segue: quanto mais a função f(x) tem derivadas absolutamente integráveis, mais rápido sua transformada de Fourier tende a zero em. Comente. A condição é bastante natural, pois a teoria usual das integrais de Fourier trata de processos que, de uma forma ou de outra, têm começo e fim, mas não continuam indefinidamente com aproximadamente a mesma intensidade. 4. Relação entre a taxa de decaimento da função f(x) para |z| -» -foo e a suavidade de sua transformação Fourm. Vamos assumir que não apenas /(x), mas também seu produto xf(x) é uma função absolutamente integrável em todo o eixo x. Então a transformada de Fourier) será uma função diferenciável. De fato, a diferenciação formal em relação ao parâmetro £ do integrando leva a uma integral que é absoluta e uniformemente convergente em relação ao parâmetro. Se, junto com a função f(x), as funções forem absolutamente integráveis em todo o eixo Ox, então o processo de diferenciação pode continuar. Obtemos que a função tem derivadas até a ordem m inclusive, e Assim, quanto mais rápido a função f(x) decresce, mais suave a função se torna Teorema 2 (sobre o exercício). Sejam as transformadas de Fourier das funções /,(x) e f2(x), respectivamente. Então a integral dupla do lado direito converge absolutamente. Vamos colocar x. Então teremos ou, mudando a ordem da integração, A função é chamada de convolução das funções e é denotada pelo símbolo A fórmula (1) pode agora ser escrita da seguinte forma: Daqui fica claro que a transformada de Fourier da convolução de as funções f \ o produto das transformadas de Fourier de funções dobráveis, Observação. É fácil estabelecer as seguintes propriedades de convolução: 1) linearidade: 2) comutatividade: §4. Aplicações da transformada de Fourier 1. Seja Р(^) um operador diferencial linear de ordem m com coeficientes constantes. y(x) tem uma transformada de Fourier y (O. e a função f(x) tem uma transformada /(t) Aplicando a transformada de Fourier à equação (1), obtemos em vez de uma equação algébrica diferencial no eixo em relação a onde, de modo que formalmente onde o símbolo denota a transformada de Fourier inversa A principal limitação da aplicabilidade deste método está relacionada com o seguinte fato: A solução de uma equação diferencial ordinária com coeficientes constantes contém funções da forma< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и
