Polígono, polígono convexo, quadrilátero. Polígonos

Um quadrilátero convexo é uma figura que consiste em quatro lados conectados entre si nos vértices, formando quatro ângulos junto com os lados, enquanto o próprio quadrilátero está sempre no mesmo plano em relação à linha reta em que um de seus lados se encontra. Em outras palavras, a figura inteira está de um lado de qualquer um de seus lados.

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Como você pode ver, a definição é bastante fácil de lembrar.

Propriedades e tipos básicos

Quase todas as figuras conhecidas por nós, consistindo de quatro cantos e lados, podem ser atribuídas a quadriláteros convexos. Pode-se distinguir o seguinte:

1. paralelogramo;
2. quadrado;
3. retângulo;
4. trapézio;
5. losango.

Todas essas figuras estão unidas não apenas pelo fato de serem quadrangulares, mas também pelo fato de serem também convexas. Basta olhar para o diagrama:

A figura mostra um trapézio convexo. Aqui você pode ver que o trapézio está no mesmo plano ou em um lado do segmento. Se você realizar ações semelhantes, poderá descobrir que, no caso de todos os outros lados, o trapézio é convexo.

Um paralelogramo é um quadrilátero convexo?

Acima está uma imagem de um paralelogramo. Como pode ser visto na figura, O paralelogramo também é convexo. Se você observar a figura em relação às linhas nas quais estão os segmentos AB, BC, CD e AD, fica claro que ela está sempre no mesmo plano dessas linhas. As principais características de um paralelogramo são que seus lados são paralelos e iguais aos pares, da mesma forma que os ângulos opostos são iguais entre si.

Agora, imagine um quadrado ou um retângulo. De acordo com suas principais propriedades, eles também são paralelogramos, ou seja, todos os seus lados são dispostos em pares em paralelo. Apenas no caso de um retângulo, o comprimento dos lados pode ser diferente e os ângulos são retos (iguais a 90 graus), um quadrado é um retângulo em que todos os lados são iguais e os ângulos também são retos, enquanto os comprimentos dos lados e ângulos de um paralelogramo podem ser diferentes.

Como resultado, a soma dos quatro cantos do quadrilátero deve ser igual a 360 graus. A maneira mais fácil de determinar isso é por um retângulo: todos os quatro cantos do retângulo são retos, ou seja, iguais a 90 graus. A soma desses ângulos de 90 graus dá 360 graus, ou seja, se você somar 90 graus 4 vezes, obtém o resultado desejado.

Propriedade das diagonais de um quadrilátero convexo

As diagonais de um quadrilátero convexo se cruzam. De fato, esse fenômeno pode ser observado visualmente, basta observar a figura:

A figura à esquerda mostra um quadrilátero ou quadrilátero não convexo. Como quiser. Como você pode ver, as diagonais não se cruzam, pelo menos não todas. À direita está um quadrilátero convexo. Aqui a propriedade das diagonais de se cruzarem já é observada. A mesma propriedade pode ser considerada um sinal da convexidade do quadrilátero.

Outras propriedades e sinais de convexidade de um quadrilátero

Especificamente, de acordo com este termo, é muito difícil nomear quaisquer propriedades e recursos específicos. É mais fácil isolar de acordo com diferentes tipos de quadriláteros desse tipo. Você pode começar com um paralelogramo. Já sabemos que se trata de uma figura quadrangular, cujos lados são paralelos e iguais aos pares. Ao mesmo tempo, isso também inclui a propriedade das diagonais de um paralelogramo de se cruzarem, bem como o sinal da convexidade da própria figura: o paralelogramo está sempre no mesmo plano e de um lado em relação a qualquer de seus lados.

Então, as principais características e propriedades são conhecidas:

1. a soma dos ângulos de um quadrilátero é 360 graus;
2. as diagonais das figuras se cruzam em um ponto.

Retângulo. Esta figura tem todas as mesmas propriedades e características de um paralelogramo, mas todos os seus ângulos são iguais a 90 graus. Daí o nome retângulo.

Quadrado, o mesmo paralelogramo, mas seus cantos são retos, como um retângulo. Por causa disso, um quadrado raramente é chamado de retângulo. Mas a principal característica distintiva de um quadrado, além das já listadas acima, é que todos os seus quatro lados são iguais.

O trapézio é uma figura muito interessante.. Este também é um quadrilátero e também convexo. Neste artigo, o trapézio já foi considerado usando o exemplo de um desenho. É claro que ela também é convexa. A principal diferença e, consequentemente, um sinal de um trapézio é que seus lados podem ser absolutamente diferentes entre si em comprimento, assim como seus ângulos em valor. Nesse caso, a figura permanece sempre no mesmo plano em relação a qualquer uma das retas que conectam quaisquer dois de seus vértices ao longo dos segmentos que formam a figura.

Rhombus é uma figura igualmente interessante. Em parte, um losango pode ser considerado um quadrado. Um sinal de um losango é o fato de que suas diagonais não apenas se cruzam, mas também dividem os cantos do losango ao meio, e as próprias diagonais se cruzam em ângulos retos, ou seja, são perpendiculares. Se os comprimentos dos lados do losango forem iguais, as diagonais também serão divididas ao meio na interseção.

Deltóides ou romboides convexos (losangos) podem ter comprimentos laterais diferentes. Mas, ao mesmo tempo, as principais propriedades e características do próprio losango e as características e propriedades da convexidade ainda são preservadas. Ou seja, podemos observar que as diagonais cortam os cantos e se cruzam em ângulos retos.

A tarefa de hoje foi considerar e entender o que são quadriláteros convexos, o que são e suas principais características e propriedades. Atenção! Vale lembrar mais uma vez que a soma dos ângulos de um quadrilátero convexo é 360 graus. O perímetro das figuras, por exemplo, é igual à soma dos comprimentos de todos os segmentos que formam a figura. As fórmulas para calcular o perímetro e a área dos quadriláteros serão discutidas nos próximos artigos.

Tipos de quadriláteros convexos

Conjunto convexo de pontos no plano.

Um conjunto de pontos em um plano ou no espaço tridimensional é chamado convexo, se quaisquer dois pontos desse conjunto puderem ser conectados por um segmento de reta que esteja completamente nesse conjunto.

Teorema 1. A interseção de um número finito de conjuntos convexos é um conjunto convexo.

Consequência. A interseção de um número finito de conjuntos convexos é um conjunto convexo.

pontos de canto.

O ponto limite de um conjunto convexo é chamado angular, se for possível traçar um segmento através dele, cujos pontos não pertençam ao conjunto dado.

Conjuntos de várias formas podem ter um número finito ou infinito de pontos de canto.

Polígono convexo.

Polígono chamado convexo, se estiver em um lado de cada linha que passa por seus dois vértices adjacentes.

Teorema: A soma dos ângulos de um n-gon convexo é 180˚ *(n-2)

6) Resolução de sistemas de m desigualdades lineares com duas variáveis

Dado um sistema de m desigualdades lineares com duas variáveis

Os sinais de algumas ou todas as desigualdades podem ser ≥.

Considere a primeira desigualdade no sistema de coordenadas X1OX2. Vamos construir uma linha reta

que é a linha de fronteira.

Essa linha reta divide o plano em dois semiplanos 1 e 2 (Fig. 19.4).

O meio plano 1 contém a origem, o meio plano 2 não contém a origem.

Para determinar de que lado da linha de fronteira um determinado semiplano está localizado, você precisa pegar um ponto arbitrário no plano (melhor, a origem) e substituir as coordenadas desse ponto na desigualdade. Se a desigualdade for verdadeira, então o semiplano é virado para este ponto, se não for verdade, então na direção oposta do ponto.

A direção do semiplano nas figuras é indicada por uma seta.

Definição 15. A solução para cada desigualdade do sistema é um semiplano contendo a linha de fronteira e localizado em um lado dela.

Definição 16. A interseção de semiplanos, cada um dos quais é determinado pela desigualdade correspondente do sistema, é chamada de área de solução do sistema (SR).

Definição 17. A área de solução de um sistema que satisfaz as condições de não negatividade (xj ≥ 0, j =) é chamada de área de soluções não negativas ou admissíveis (ODS).

Se o sistema de desigualdades for consistente, então OP e EDO podem ser um poliedro, uma região poliédrica ilimitada ou um único ponto.

Se o sistema de desigualdades for inconsistente, então OR e ODR são um conjunto vazio.

Exemplo 1

Solução. Vamos encontrar o OR da primeira desigualdade: x1 + 3x2 ≥ 3. Vamos construir a linha de fronteira x1 + 3x2 - 3 = 0 (Fig. 19.5). Substitua as coordenadas do ponto (0,0) na inequação: 1∙0 + 3∙0 > 3; como as coordenadas do ponto (0,0) não o satisfazem, então a solução da desigualdade (19.1) é um semiplano que não contém o ponto (0,0).

Da mesma forma, encontramos soluções para as desigualdades restantes do sistema. Obtemos que o OP e EDO do sistema de desigualdades é um poliedro convexo ABCD.

Encontre os vértices do poliedro. O ponto A é definido como o ponto de intersecção das linhas

Resolvendo o sistema, obtemos A(3/7, 6/7).

Encontramos o ponto B como o ponto de interseção das retas

Do sistema obtemos B(5/3, 10/3). Da mesma forma, encontramos as coordenadas dos pontos C e D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Exemplo 2. Encontre o OR e ODR do sistema de desigualdades

Solução. Vamos construir retas e determinar as soluções das inequações (19.5)-(19.7). OR e ODR são áreas poliédricas ilimitadas ACFM e ABDEKM, respectivamente (Fig. 19.6).

Exemplo 3. Encontre o OR e ODR do sistema de desigualdades

Solução. Encontramos soluções para as inequações (19.8)-(19.10) (Fig. 19.7). OP representa a região poliédrica ilimitada ABC; ODR - ponto B.

Exemplo 4. Encontre o OP e ODS do sistema de desigualdades

Solução. Tendo construído linhas retas, encontramos soluções para as desigualdades do sistema. OR e ODR são incompatíveis (Fig. 19.8).

EXERCÍCIOS

Encontre OR e ODR de sistemas de desigualdades

Teorema. Se xn ® a, então .

Prova. Segue-se de xn ® a que . Ao mesmo tempo:

Aqueles. , ou seja . O teorema foi provado.

Teorema. Se xn ® a, então a sequência (xn) é limitada.

Deve-se notar que a afirmação inversa não é verdadeira, ou seja, a limitação de uma sequência não implica sua convergência.

Por exemplo, a sequência não tem limite, embora

Expansão de funções em séries de potências.

A expansão de funções em uma série de potências é de grande importância para resolver vários problemas de estudo de funções, diferenciação, integração, resolução de equações diferenciais, cálculo de limites, cálculo de valores aproximados de uma função.

No total, obtemos:

Considere uma maneira de expandir uma função em uma série usando integração.

Com a ajuda da integração, é possível expandir em série uma função para a qual a expansão em série de sua derivada é conhecida ou pode ser facilmente encontrada.

Encontramos a diferencial da função e a integramos no intervalo de 0 a x.

Uma figura plana formada por uma série fechada de segmentos de linha reta é chamada de polígono. Na fig. 1 hexágono representado ABCDEF. pontos A, EM, COM, D, E, F - vértices do polígono; para eles (os cantos do polígono) são denotados ∠A, ∠B, ∠C, …, ∠F. Seções: CA, DE ANÚNCIOS, SER etc. - diagonais, AB; sol, CD etc - lados do polígono; soma dos comprimentos dos lados AB + sol + CD + … + FA chamado perímetro e denotado R, e às vezes 2p(Então R - semiperímetro).

Na geometria elementar, apenas simples polígonos, ou seja, aqueles cujo contorno não possui autointerseções.

Polígonos cujo contorno tem auto-interseções são chamados polígonos estelares. A Figura 2 mostra um polígono estelar ABCDE.

Figura 2

Se todas as diagonais de um polígono estiverem dentro dele, o polígono é chamado convexo.

O hexágono da Fig. 1 é convexo; o pentágono na Fig. 3 não é convexo (a diagonal EC fica fora do polígono).

fig.3

A soma dos ângulos internos em qualquer polígono convexo é 180° ( n-2), Onde n- o número de lados do polígono*.

* Nos livros didáticos de geometria, essa propriedade geralmente é expressa apenas para polígonos convexos. Mas é verdade para todos os polígonos simples. Mas é verdade para todos os polígonos simples. Deve-se notar que em um polígono não convexo, um ou mais ângulos internos excedem 180°. Assim, em um pentágono não convexo mostrado na Fig. 3, dois ângulos são retos, dois ângulos têm 45° cada e um contém 270°. A soma dos ângulos é 180° (5-2)=540°.

Uma figura geométrica composta de segmentos AB, BC, CD, .., EF, FA de tal forma que os segmentos adjacentes não estejam em uma linha reta, e os segmentos não adjacentes não tenham pontos comuns, é chamado de polígono. As extremidades desses segmentos, pontos A, B, C, D, ..., E, F são chamados picos polígono e os próprios segmentos AB, BC, CD, .., EF, FA - festas polígono.

Um polígono é dito convexo se estiver em um lado de cada linha que passa por dois de seus vértices adjacentes. A figura abaixo mostra um polígono convexo:

E a figura a seguir ilustra um polígono não convexo:

O ângulo de um polígono convexo em um determinado vértice é o ângulo formado pelos lados desse polígono convergindo em um determinado vértice. O ângulo externo de um polígono convexo em algum vértice é o ângulo adjacente ao ângulo interno do polígono no vértice dado.

Teorema: A soma dos ângulos de um n-gon convexo é 180˚ *(n-2)

Prova: considere um n-gon convexo. Para encontrar a soma de todos os ângulos internos, conectamos um dos vértices do polígono a outros vértices.

Como resultado, obtemos (n-2) triângulos. Sabemos que a soma dos ângulos de um triângulo é 180 graus. E como o número deles no polígono é (n-2), a soma dos ângulos do polígono é 180˚ *(n-2). Isso é o que precisava ser provado.

Tarefa:

Encontre a soma dos ângulos de um convexo a) pentágono b) hexágono c) decágono.

Vamos usar a fórmula para calcular a soma dos ângulos de um n-gon convexo.

a) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

b) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

c) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Resposta: a) 540˚. b) 720˚. c) 1440˚.

Nesta lição, iniciaremos um novo tópico e apresentaremos um novo conceito para nós - um "polígono". Veremos os conceitos básicos associados aos polígonos: lados, vértices, cantos, convexidade e não convexidade. Depois provaremos os fatos mais importantes, como o teorema da soma dos ângulos internos de um polígono, o teorema da soma dos ângulos externos de um polígono. Como resultado, chegaremos perto de estudar casos especiais de polígonos, que serão considerados em lições futuras.

Tema: Quadrangulares

Lição: Polígonos

No curso de geometria, estudamos as propriedades das formas geométricas e já consideramos as mais simples delas: triângulos e círculos. Ao mesmo tempo, também discutimos casos especiais específicos dessas figuras, como retângulos, isósceles e triângulos regulares. Agora é hora de falar sobre formas mais gerais e complexas - polígonos.

Com um caso especial polígonos já estamos familiarizados - este é um triângulo (veja a Fig. 1).

Arroz. 1. Triângulo

O próprio nome já enfatiza que se trata de uma figura que possui três cantos. Portanto, em polígono pode haver muitos deles, ou seja, mais de três. Por exemplo, vamos desenhar um pentágono (ver Fig. 2), ou seja, figura com cinco cantos.

Arroz. 2. Pentágono. polígono convexo

Definição.Polígono- uma figura composta por vários pontos (mais de dois) e o número correspondente de segmentos que os conectam em série. Esses pontos são chamados picos polígono e segmentos - festas. Nesse caso, não há dois lados adjacentes na mesma linha reta e não há interseção de dois lados não adjacentes.

Definição.polígono regularé um polígono convexo no qual todos os lados e ângulos são iguais.

Qualquer polígono divide o plano em duas regiões: interna e externa. O interior também é chamado de polígono.

Em outras palavras, por exemplo, quando eles falam sobre um pentágono, eles se referem tanto à sua região interna quanto à sua borda. E a área interna também inclui todos os pontos que estão dentro do polígono, ou seja, o ponto também pertence ao pentágono (ver Fig. 2).

Às vezes, os polígonos também são chamados de n-ágonos para enfatizar que o caso geral de ter um número desconhecido de cantos (n peças) está sendo considerado.

Definição. Perímetro do Polígonoé a soma dos comprimentos dos lados do polígono.

Agora precisamos nos familiarizar com os tipos de polígonos. Eles são divididos em convexo E não convexo. Por exemplo, o polígono mostrado na Fig. 2 é convexa, e na Fig. 3 não convexo.

Arroz. 3. Polígono não convexo

Definição 1. Polígono chamado convexo, se ao traçar uma linha reta por algum de seus lados, toda a polígono encontra-se apenas de um lado desta linha. não convexo são todo o resto polígonos.

É fácil imaginar que, ao estender qualquer lado do pentágono da Fig. 2 estará tudo de um lado desta linha reta, ou seja, ele é convexo. Mas ao traçar uma linha reta através do quadrilátero na Fig. 3 já vemos que ele o divide em duas partes, ou seja, ele é não convexo.

Mas há outra definição da convexidade de um polígono.

Definição 2. Polígono chamado convexo se, ao escolher quaisquer dois de seus pontos interiores e conectá-los com um segmento, todos os pontos do segmento são também pontos interiores do polígono.

Uma demonstração do uso desta definição pode ser vista no exemplo de construção de segmentos na Fig. 2 e 3.

Definição. Diagonal Um polígono é qualquer segmento que conecta dois vértices não adjacentes.

Para descrever as propriedades dos polígonos, existem dois teoremas mais importantes sobre seus ângulos: teorema da soma dos ângulos internos do polígono convexo E teorema da soma dos ângulos externos do polígono convexo. Vamos considerá-los.

Teorema. Sobre a soma dos ângulos internos de um polígono convexo (n-gon).

Onde é o número de seus ângulos (lados).

Prova 1. Vamos representar na Fig. 4 n-gon convexo.

Arroz. 4. N-gon convexo

Desenhe todas as diagonais possíveis a partir do vértice. Eles dividem o n-gon em triângulos, porque cada um dos lados do polígono forma um triângulo, exceto os lados adjacentes ao vértice. É fácil ver pela figura que a soma dos ângulos de todos esses triângulos será igual à soma dos ângulos internos do n-gon. Como a soma dos ângulos de qualquer triângulo é , então a soma dos ângulos internos de um n-gon é:

Q.E.D.

Prova 2. Outra prova deste teorema também é possível. Vamos desenhar um n-gon semelhante na Fig. 5 e conecte qualquer um de seus pontos internos a todos os vértices.

Arroz. 5.

Temos uma partição de um n-gon em n triângulos (quantos lados, tantos triângulos). A soma de todos os seus ângulos é igual à soma dos ângulos internos do polígono e a soma dos ângulos no ponto interior, e este é o ângulo. Nós temos:

Q.E.D.

Comprovado.

De acordo com o teorema provado, pode-se ver que a soma dos ângulos de um n-gon depende do número de seus lados (em n). Por exemplo, em um triângulo, e a soma dos ângulos é . Em um quadrilátero, e a soma dos ângulos - etc.

Teorema. Sobre a soma dos ângulos externos de um polígono convexo (n-gon).

Onde é o número de seus cantos (lados), e , ..., são cantos externos.

Prova. Vamos desenhar um n-gon convexo na Fig. 6 e denote seus ângulos interno e externo.

Arroz. 6. N-gon convexo com cantos externos marcados

Porque o canto externo está conectado ao interno como adjacente, então e da mesma forma para outros cantos externos. Então:

Durante as transformações, usamos o já comprovado teorema da soma dos ângulos internos de um n-gon.

Comprovado.

Do teorema provado segue um fato interessante de que a soma dos ângulos externos de um n-gon convexo é igual a do número de seus ângulos (lados). By the way, ao contrário da soma dos ângulos internos.

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Trabalho de casa