Primeiro, a fórmula geral. Talvez não fique claro para todos e não imediatamente ... Sim, Karlsson está com você - exemplos práticos esclarecerão tudo! Calma. Só calma.

Considere a integral definida, onde é uma função contínua no segmento. Vamos dividir o segmento em igual segmentos:
. Neste caso, obviamente: (limite inferior de integração) e (limite superior de integração). pontos também chamado nós.

Então a integral definida pode ser calculada aproximadamente pela fórmula do trapézio:
, Onde:
- o comprimento de cada um dos pequenos segmentos ou etapa;
são os valores do integrando nos pontos .

Exemplo 1

Calcule uma integral aproximadamente definida usando a fórmula do trapézio. Arredonde os resultados para três casas decimais.

a) Dividindo o segmento de integração em 3 partes.
b) Dividindo o segmento de integração em 5 partes.

Solução:
a) Especialmente para manequins, amarrei o primeiro parágrafo ao desenho, que demonstrou claramente o princípio do método. Se for difícil, veja o desenho no decorrer dos comentários, aqui está um pedaço dele:

Por condição, o segmento de integração deve ser dividido em 3 partes, ou seja, .
Calcule o comprimento de cada segmento da partição: . O parâmetro, lembre-se, também é chamado etapa.

Quantos pontos (nós de partição) haverá? Haverá mais um do que o número de segmentos:

Assim, a fórmula geral dos trapézios é reduzida a um tamanho agradável:

Para cálculos, você pode usar uma microcalculadora comum:

Observe que, de acordo com a condição do problema, todos os cálculos devem ser arredondados para a 3ª casa decimal.

Finalmente:

Relembro que o valor obtido é um valor aproximado da área (ver figura acima).

b) Dividimos o segmento de integração em 5 partes iguais, ou seja, . Por que isso é necessário? Para que Phobos-Grunt não caia no oceano - aumentando o número de segmentos, aumentamos a precisão dos cálculos.

Se , então a fórmula do trapézio assume a seguinte forma:

Vamos encontrar a etapa de particionamento:
, ou seja, o comprimento de cada segmento intermediário é 0,6.

Ao finalizar a tarefa, é conveniente fazer todos os cálculos com uma tabela de cálculos:

Na primeira linha escrevemos "contador"

Acho que todos podem ver como a segunda linha é formada - primeiro escrevemos o limite inferior de integração, obtemos os valores restantes adicionando sucessivamente a etapa.

Por qual princípio a linha de fundo é preenchida também, eu acho, quase todo mundo entendeu. Por exemplo, se , então . O que é chamado, considere, não seja preguiçoso.

Como resultado:

Bem, realmente há um esclarecimento, e sério!
Se para 3 segmentos da partição, então para 5 segmentos. Assim, com alto grau de certeza, pode-se argumentar que, pelo menos .

Exemplo 2

Calcule uma integral aproximadamente definida usando a fórmula do trapézio com uma precisão de duas casas decimais (até 0,01).

Solução: Quase o mesmo problema, mas em uma formulação ligeiramente diferente. A diferença fundamental do Exemplo 1 é que nós nós não sabemos, EM QUANTOS segmentos dividir o segmento de integração para obter duas casas decimais corretas. Em outras palavras, não sabemos o valor de .

Existe uma fórmula especial que permite determinar o número de segmentos de partição para garantir que a precisão necessária seja alcançada, mas na prática muitas vezes é difícil de aplicar. Portanto, é vantajoso usar uma abordagem simplificada.

Primeiro, o segmento de integração é dividido em vários grandes segmentos, via de regra, em 2-3-4-5. Vamos dividir o segmento de integração, por exemplo, nas mesmas 5 partes. A fórmula já é conhecida:

E o passo, claro, também é conhecido:

Mas surge outra questão, para que dígito os resultados devem ser arredondados? A condição não diz nada sobre quantas casas decimais deixar. A recomendação geral é: 2-3 dígitos devem ser adicionados à precisão necessária. Neste caso, a precisão necessária é de 0,01. Seguindo a recomendação, após a vírgula, por fidelidade, deixamos cinco caracteres (poderiam ser quatro):

Como resultado:

Após o resultado primário, o número de segmentos dobro. Neste caso, é necessário dividir em 10 segmentos. E quando o número de segmentos aumenta, surge um pensamento brilhante de que enfiar os dedos em uma microcalculadora já está um tanto cansado. Por isso, mais uma vez proponho baixar e utilizar minha calculadora semiautomática (link no início da aula).

Pois a fórmula do trapézio assume a seguinte forma:

Na versão em papel, a entrada pode ser transferida com segurança para a próxima linha.

Vamos calcular a etapa de partição:

Os resultados dos cálculos estão resumidos na tabela:


Ao terminar em um notebook, é vantajoso transformar uma mesa longa em uma mesa de dois andares.

Como calcular uma integral definida
usando a fórmula do trapézio e o método de Simpson?

Os métodos numéricos são uma seção bastante grande da matemática superior e os livros didáticos sérios sobre esse tópico têm centenas de páginas. Na prática, em testes, algumas tarefas são tradicionalmente propostas para resolução por métodos numéricos, sendo uma das tarefas comuns o cálculo aproximado integrais definidas. Neste artigo, considerarei dois métodos para o cálculo aproximado de uma integral definida − método trapezoidal E método de simpson.

O que você precisa saber para dominar esses métodos? Parece engraçado, mas você pode não conseguir obter integrais. E até não entendo o que são integrais. Dos meios técnicos, você precisará de um microcalculador. Sim, sim, estamos aguardando cálculos escolares de rotina. Melhor ainda, baixe minha calculadora semiautomática para o método trapezoidal e o método Simpson. A calculadora é escrita em Excel e permitirá reduzir em dez vezes o tempo de resolução e processamento de tarefas. Um manual de vídeo está incluído para bules Excel! A propósito, o primeiro vídeo com a minha voz.

Primeiro, vamos nos perguntar: por que precisamos de cálculos aproximados? Parece ser possível encontrar a antiderivada da função e usar a fórmula de Newton-Leibniz, calculando o valor exato de uma determinada integral. Como resposta à pergunta, vamos considerar imediatamente um exemplo de demonstração com uma imagem.

Calcular uma integral definida

Tudo ficaria bem, mas neste exemplo a integral não é tomada - antes de você não ser levado, o chamado logaritmo integral. Essa integral existe mesmo? Vamos representar o gráfico do integrando no desenho:

Tudo está bem. O integrando é contínuo no intervalo e a integral definida é numericamente igual à área sombreada. Sim, esse é apenas um problema - a integral não foi calculada. E, nesses casos, os métodos numéricos vêm em socorro. Neste caso, o problema ocorre em duas formulações:

1) Calcule a integral definida aproximadamente , arredondando o resultado para uma determinada casa decimal. Por exemplo, até duas casas decimais, até três casas decimais, etc. Digamos que você obtenha uma resposta aproximada de 5,347. Na verdade, pode não estar totalmente correto (na verdade, digamos que a resposta mais precisa seja 5,343). Nossa tarefa é só nisso para arredondar o resultado para três casas decimais.

2) Calcule a integral definida aproximadamente, com uma certa precisão. Por exemplo, calcule a integral definida aproximadamente com uma precisão de 0,001. O que isso significa? Isso significa que devemos encontrar um valor tão aproximado que módulo (de um jeito ou de outro) difere da verdade em não mais que 0,001.

Existem vários métodos básicos para o cálculo aproximado de uma integral definida que ocorre em problemas:

O segmento de integração é dividido em várias partes e uma figura escalonada é construída, com área próxima à área desejada:

Não julgue estritamente pelos desenhos, a precisão não é perfeita - eles apenas ajudam a entender a essência dos métodos.

A ideia é parecida. O segmento de integração é dividido em vários segmentos intermediários, e o gráfico do integrando se aproxima linha quebrada linha:

Portanto, nossa área (sombreamento azul) é aproximada pela soma das áreas dos trapézios (vermelho). Daí o nome do método. É fácil ver que o método do trapézio fornece uma aproximação muito melhor do que o método do retângulo (com o mesmo número de segmentos de partição). E, é claro, quanto mais segmentos intermediários menores considerarmos, maior será a precisão. O método do trapézio é encontrado de tempos em tempos em tarefas práticas, e neste artigo serão analisados ​​vários exemplos.

Método de Simpson (método da parábola). Esta é uma maneira mais perfeita - o gráfico do integrando é abordado não por uma linha tracejada, mas por pequenas parábolas. Quantos segmentos intermediários - tantas pequenas parábolas. Se pegarmos os mesmos três segmentos, o método de Simpson fornecerá uma aproximação ainda mais precisa do que o método do retângulo ou do trapézio.

Não vejo sentido em construir um desenho, pois visualmente a aproximação vai se sobrepor ao gráfico da função (a linha tracejada do parágrafo anterior - e mesmo assim quase coincidiu).

A tarefa de calcular uma integral definida usando a fórmula de Simpson é a tarefa mais popular na prática. E o método das parábolas receberá atenção considerável.

Como calcular uma integral definida usando o método do trapézio?

Primeiro, a fórmula geral. Talvez não fique claro para todos e não imediatamente ... Sim, Karlsson está com você - exemplos práticos esclarecerão tudo! Calma. Só calma.

Considere a integral definida, onde é uma função contínua no segmento. Vamos dividir o segmento em igual segmentos:
. Neste caso, obviamente: (limite inferior de integração) e (limite superior de integração). pontos também chamado nós.

Então a integral definida pode ser calculada aproximadamente pela fórmula do trapézio:
, Onde:
etapa;
são os valores do integrando nos pontos .

Exemplo 1

Calcule uma integral aproximadamente definida usando a fórmula do trapézio. Arredonde os resultados para três casas decimais.

a) Dividindo o segmento de integração em 3 partes.
b) Dividindo o segmento de integração em 5 partes.

Solução:
a) Especialmente para manequins, amarrei o primeiro parágrafo ao desenho, que demonstrou claramente o princípio do método. Se for difícil, veja o desenho no decorrer dos comentários, aqui está um pedaço dele:

Por condição, o segmento de integração deve ser dividido em 3 partes, ou seja, .
Calcule o comprimento de cada segmento da partição: . Parâmetro, lembre-se, também é chamado etapa.

Quantos pontos (nós de partição) haverá? Haverá mais um do que o número de segmentos:

Bem, a fórmula geral dos trapézios é reduzida a um tamanho agradável:

Para cálculos, você pode usar uma microcalculadora comum:

Observe que, de acordo com a condição do problema, todos os cálculos devem ser arredondados para a 3ª casa decimal.

Finalmente:

Do ponto de vista geométrico, calculamos a soma das áreas de três trapézios (veja a foto acima).

b) Dividimos o segmento de integração em 5 partes iguais, ou seja, . Por que isso é necessário? Para que Phobos-Grunt não caia no oceano - aumentando o número de segmentos, aumentamos a precisão dos cálculos.

Se , então a fórmula do trapézio assume a seguinte forma:

Vamos encontrar a etapa de particionamento:
, ou seja, o comprimento de cada segmento intermediário é 0,6.

Ao finalizar a tarefa, é conveniente fazer todos os cálculos com uma tabela de cálculos:

Na primeira linha escrevemos "contador"

Acho que todos podem ver como a segunda linha é formada - primeiro escrevemos o limite inferior de integração, obtemos os valores restantes adicionando sucessivamente a etapa.

Por qual princípio a linha de fundo é preenchida também, eu acho, quase todo mundo entendeu. Por exemplo, se , então . O que é chamado, considere, não seja preguiçoso.

Como resultado:

Bem, realmente há um esclarecimento, e sério! Se para 3 segmentos da partição o valor aproximado foi, então para 5 segmentos . Assim, com alto grau de certeza, pode-se argumentar que, pelo menos .

Exemplo 2

Calcule uma integral aproximadamente definida usando a fórmula do trapézio com uma precisão de duas casas decimais (até 0,01).

Solução: Quase o mesmo problema, mas em uma formulação ligeiramente diferente. A diferença fundamental do Exemplo 1 é que nós nós não sabemos, EM QUANTOS segmentos dividir o segmento de integração para obter duas casas decimais corretas. Em outras palavras, não sabemos o valor de .

Existe uma fórmula especial que permite determinar o número de segmentos de partição para garantir que a precisão necessária seja alcançada, mas na prática muitas vezes é difícil de aplicar. Portanto, é vantajoso usar uma abordagem simplificada.

Primeiro, o segmento de integração é dividido em vários grandes segmentos, via de regra, em 2-3-4-5. Vamos dividir o segmento de integração, por exemplo, nas mesmas 5 partes. A fórmula já é conhecida:

E o passo, claro, também é conhecido:

Mas surge outra questão, para que dígito os resultados devem ser arredondados? A condição não diz nada sobre quantas casas decimais deixar. A recomendação geral é: 2-3 dígitos devem ser adicionados à precisão necessária. Neste caso, a precisão necessária é de 0,01. Seguindo a recomendação, após a vírgula, por fidelidade, deixamos cinco caracteres (poderiam ser quatro):

Como resultado:
, denotamos a aproximação por .

Após o resultado primário, o número de segmentos dobro. Neste caso, é necessário dividir em 10 segmentos. E quando o número de segmentos aumenta, surge um pensamento brilhante de que enfiar os dedos em uma microcalculadora já está um tanto cansado. Por isso, mais uma vez proponho baixar e utilizar minha calculadora semiautomática (link no início da aula).

Pois a fórmula do trapézio assume a seguinte forma:

Na versão em papel, a entrada pode ser transferida com segurança para a próxima linha.

Vamos calcular a etapa de partição:

Os resultados dos cálculos estão resumidos na tabela:


Ao terminar em um notebook, é vantajoso transformar uma mesa longa em uma mesa de dois andares.

Como resultado:

Agora calculamos a discrepância entre as aproximações:

Aqui usamos o sinal de módulo, pois estamos interessados ​​em diferença absoluta, e não qual resultado é maior, mas qual é menor.

Quanto a outras ações, encontrei pessoalmente 2 soluções na prática:

1) A primeira forma é uma “comparação frente a frente”. Como a estimativa de erro resultante mais do que a precisão necessária: , então é necessário dobrar o número de segmentos da partição até e calcular já . Com a ajuda de uma calculadora do Excel, o resultado final pode ser obtido em questão de segundos:. Agora estimamos o erro novamente: . Pontuação recebida menos do que a precisão necessária: , portanto, os cálculos estão concluídos. Resta arredondar o último resultado (mais preciso) para duas casas decimais e dar uma resposta.

2) Outro método, mais eficiente, baseia-se na utilização dos chamados regras de runge, segundo o qual estamos errados ao estimar a integral definida, de fato, por não mais que . Em nosso problema: , assim, a necessidade de cálculo desaparece. Porém, pela rapidez da solução neste caso, tivemos que pagar com precisão: . No entanto, esse resultado é aceitável, pois nosso “limite de erro” é exatamente um centésimo.

O que escolher? Concentre-se no seu manual de treinamento ou nas preferências do professor.

Responder: preciso para 0,01 (ao usar a regra de Runge).

Exemplo 3

Calcule uma integral aproximadamente definida usando a fórmula do trapézio com uma precisão de 0,001.

Antes de você está novamente uma integral não tomada (cosseno quase integral). Na solução amostra, na primeira etapa, foi realizada uma divisão em 4 segmentos, ou seja, . Uma solução completa e uma amostra aproximada de acabamento no final da lição.

Como calcular a integral definida usando a fórmula de Simpson?

Se você estava procurando apenas o método Simpson nesta página, recomendo fortemente que você primeiro leia o início da lição e veja pelo menos o primeiro exemplo. Pela razão de que muitas idéias e técnicas serão semelhantes ao método trapezoidal.

Novamente, vamos começar com a fórmula geral
Considere a integral definida, onde é uma função contínua no segmento. Vamos dividir o segmento em até quantidade igual segmentos. Um número par de segmentos é denotado por .

Na prática, os segmentos podem ser:
dois:
quatro:
oito:
dez:
vinte:
Não me lembro de nenhuma outra opção.

Atenção! Número é entendido como UM NÚMERO. Aquilo é, É PROIBIDO reduzir, por exemplo, por dois, ficando . Gravação apenas apoia que o número de segmentos uniformemente. E não há cortes para falar.

Então nossa partição fica assim:

Os termos são semelhantes aos do método trapezoidal:
Os pontos são chamados nós.

Fórmula de Simpson para o cálculo aproximado da integral definida tem a seguinte forma:
, Onde:
- o comprimento de cada um dos pequenos segmentos ou etapa;
são os valores do integrando nos pontos.

Detalhando esse empilhamento, analisarei a fórmula com mais detalhes:
é a soma do primeiro e do último valor do integrando;
é a soma dos membros com atéíndices multiplicados por 2;
é a soma dos membros com chanceíndice é multiplicado por 4.

Exemplo 4

Calcule a integral aproximada usando a fórmula de Simpson até o 0,001 mais próximo. A divisão começa com dois segmentos

A integral, a propósito, novamente não é tomada.

Solução: Chamo imediatamente a atenção para o tipo de tarefa - é necessário calcular uma integral definida com uma certa precisão. O que isso significa já foi comentado no início do artigo, assim como os exemplos concretos do parágrafo anterior. Quanto ao método trapezoidal, existe uma fórmula que permitirá determinar imediatamente o número necessário de segmentos (o valor de "en") para garantir a precisão necessária. É verdade que teremos que encontrar a quarta derivada e resolver o problema extremal. Quem entendeu o que quero dizer e estimou a quantidade de trabalho, sorriu. Porém, não há motivo para riso aqui, encontrar a quarta derivada de tal integrando não será mais um megabotan, mas um psicopata clínico. Portanto, na prática, quase sempre é usado um método simplificado para estimar o erro.

Começamos a decidir. Se tivermos dois segmentos de partição, os nós serão mais um: . E a fórmula de Simpson assume uma forma muito compacta:

Vamos calcular a etapa de partição:

Vamos preencher a tabela de cálculo:

Mais uma vez comento como a tabela está preenchida:

Na linha superior escrevemos o "contador" de índices

Na segunda linha, primeiro escrevemos o limite inferior de integração e, em seguida, adicionamos sucessivamente o passo.

Na terceira linha inserimos os valores do integrando. Por exemplo, se , então . Quantas casas decimais deixar? De fato, a condição novamente não diz nada sobre isso. O princípio é o mesmo do método trapezoidal, olhamos para a precisão necessária: 0,001. E adicione 2-3 dígitos adicionais. Ou seja, você precisa arredondar para 5-6 casas decimais.

Como resultado:

O primeiro resultado foi obtido. Agora dobro número de segmentos até quatro: . A fórmula de Simpson para esta partição assume a seguinte forma:

Vamos calcular a etapa de partição:

Vamos preencher a tabela de cálculo:


Por isso:

Vamos encontrar o valor absoluto da diferença entre as aproximações:

A regra de Runge para o método de Simpson é deliciosa. Se ao usar método do retângulo do meio e o método trapezoidal, recebemos uma “indulgência” de um terço, agora - até um décimo quinto:
, e a precisão não sofre mais aqui:

Mas, para ser completo, darei também uma solução “simples”, onde você terá que dar um passo adicional: já que há mais do que a precisão necessária: , então é necessário dobrar novamente o número de segmentos: .

A fórmula de Simpson está crescendo aos trancos e barrancos:

Vamos calcular o passo:

Vamos preencher a planilha novamente:

Por isso:

Observe que aqui é desejável descrever os cálculos com mais detalhes, já que a fórmula de Simpson é bastante complicada e se você bater imediatamente:
, então essa bebida vai parecer um hack. E com uma gravação mais detalhada, o professor terá a impressão favorável de que você apagou conscienciosamente as teclas do microcalculador por uma boa hora. Cálculos detalhados para casos "difíceis" estão presentes em minha calculadora.

Estimamos o erro:

O erro é menor que a precisão necessária: . Resta pegar a aproximação mais precisa , arredondar para três casas decimais e escrever:

Responder: preciso para 0,001

Exemplo 5

Calcule uma integral aproximada usando a fórmula de Simpson até o 0,0001 mais próximo. A divisão começa com dois segmentos

Este é um exemplo faça-você-mesmo. Um exemplo aproximado de trabalho de acabamento e uma resposta no final da lição.

Na parte final da lição, consideraremos alguns exemplos mais comuns.

Exemplo 6

Calcular o valor aproximado de uma integral definida usando a fórmula de Simpson, dividindo o segmento de integração em 10 partes. Os cálculos são realizados com uma precisão de três casas decimais.

Hoje vamos nos familiarizar com outro método de integração numérica, o método trapezoidal. Com sua ajuda, calcularemos integrais definidas com um determinado grau de precisão. No artigo, descreveremos a essência do método do trapézio, analisaremos como a fórmula é derivada, compararemos o método do trapézio com o método do retângulo e anotaremos a estimativa do erro absoluto do método. Ilustraremos cada uma das seções com exemplos para uma compreensão mais profunda do material.

Suponha que precisamos calcular aproximadamente a integral definida ∫ a b f (x) d x , cujo integrando y = f (x) é contínua no segmento [ a ; b] . Para fazer isso, dividimos o segmento [ a ; b] em vários intervalos iguais de comprimento h com pontos a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Vamos encontrar o passo da partição: h = b - a n . Definimos nós a partir da igualdade x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n .

Em intervalos elementares, considere o integrando x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . , n .

Com um aumento infinito em n, reduzimos todos os casos às quatro opções mais simples:

Selecione os segmentos x i-1; x i , i = 1 , 2 , . . . , n . Substituamos a função y = f(x) em cada um dos gráficos por um segmento de reta que passe pelos pontos de coordenadas x i - 1 ; f x i - 1 e x i ; f x i. Nós os marcamos nas figuras em azul.

Vamos tomar a expressão f (x i - 1) + f (x i) 2 h como valor aproximado da integral ∫ x i - 1 x if (x) d x . Aqueles. tome ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (xi - 1) + f (x i) 2 h .

Vejamos por que o método de integração numérica que estamos estudando é chamado de método trapezoidal. Para fazer isso, precisamos descobrir o que significa a igualdade aproximada escrita do ponto de vista da geometria.

Para calcular a área de um trapézio, multiplique as meias somas de suas bases pela altura. No primeiro caso, a área de um trapézio curvilíneo é aproximadamente igual a um trapézio com bases f (x i - 1) , f (x i) altura h . No quarto dos casos que estamos considerando, a integral dada ∫ x i - 1 x f (x) d x é aproximadamente igual à área de um trapézio com bases - f (x i - 1) , - f (x i) e altura h, que deve ser tomado com o sinal "-". Para calcular o valor aproximado da integral definida ∫ x i - 1 x i f (x) d x no segundo e terceiro casos considerados, precisamos encontrar a diferença entre as áreas das regiões vermelha e azul, que marcamos com hachura na figura abaixo.

Vamos resumir. A essência do método trapezoidal é a seguinte: podemos representar a integral definida ∫ a b f (x) d x como uma soma de integrais da forma ∫ x i - 1 x i f (x) d x em cada segmento elementar e na mudança aproximada subsequente ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h.

fórmula trapezoidal

Lembre-se da quinta propriedade da integral definida: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Para obter a fórmula do método trapezoidal, em vez das integrais ∫ x i - 1 x i f (x) d x, substitua seus valores aproximados: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Definição 1

Fórmula trapezoidal:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Estimativa do erro absoluto do método trapezoidal

Vamos estimar o erro absoluto do método trapezoidal da seguinte forma:

Definição 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Uma ilustração gráfica do método trapezoidal é mostrada na figura:

Exemplos de cálculo

Vamos analisar exemplos de uso do método do trapézio para o cálculo aproximado de integrais definidas. Daremos especial atenção a dois tipos de tarefas:

• cálculo de uma integral definida pelo método do trapézio para um dado número de partições do segmento n;
• encontrar um valor aproximado de uma certa integral com uma precisão especificada.

Para um determinado n, todos os cálculos intermediários devem ser realizados com um grau de precisão suficientemente alto. A precisão dos cálculos deve ser tanto maior, quanto maior n .

Se tivermos uma determinada precisão de cálculo de uma integral definida, todos os cálculos intermediários devem ser realizados com duas ou mais ordens de grandeza com mais precisão. Por exemplo, se a precisão for definida como 0,01, realizaremos cálculos intermediários com uma precisão de 0,0001 ou 0,00001. Para n grande, cálculos intermediários devem ser realizados com precisão ainda maior.

Vamos tomar a regra acima como exemplo. Para isso, comparamos os valores de uma integral definida calculada pela fórmula de Newton-Leibniz e obtida pelo método do trapézio.

Assim, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

Exemplo 1

Usando o método trapezoidal, calculamos a integral definida ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x para n igual a 10 .

Solução

A fórmula para o método trapezoidal é ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Para aplicar a fórmula, precisamos calcular o passo h usando a fórmula h = b - a n , determinar os nós x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n , calcule os valores do integrando f (x) = 7 x 2 + 1 .

A etapa de partição é calculada da seguinte forma: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Para calcular o integrando nos nós x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n tomaremos quatro casas decimais:

i \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Vamos inserir os resultados dos cálculos na tabela:

eu	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
XI	0	0 . 5	1	1 , 5	2	2 , 5	3	3 , 5	4	4 , 5	5
f (x eu)	7	5 , 6	3 , 5	2 , 1538	1 , 4	0 , 9655	0 , 7	0 , 5283	0 , 4117	0 , 3294	0 , 2692

Substitua os valores obtidos na fórmula do método trapezoidal: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 2692 = 9 , 6117

Vamos comparar nossos resultados com os resultados calculados pela fórmula de Newton-Leibniz. Os valores recebidos coincidem até centésimos.

Responder:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Exemplo 2

Usando o método do trapézio, calculamos o valor da integral definida ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x com uma precisão de 0 , 01 .

Solução

De acordo com a condição do problema a = 1 ; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0 , 01 .

Encontre n , que é igual ao número de pontos de divisão do segmento de integração, usando a desigualdade para estimar o erro absoluto δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . Faremos da seguinte forma: encontraremos os valores n para os quais a desigualdade m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . Dado n, a fórmula do trapézio nos dará um valor aproximado de uma certa integral com uma determinada precisão.

Primeiro, vamos encontrar o maior valor do módulo da segunda derivada da função no intervalo [ 1 ; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

A segunda função derivada é uma parábola quadrática f "" (x) = x 2 . Sabemos pelas suas propriedades que é positivo e aumenta no segmento [ 1 ; 2]. Nesse sentido, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

No exemplo dado, o processo de encontrar m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) acabou sendo bastante simples. Em casos complexos, para cálculos, você pode se referir aos maiores e menores valores da função. Depois de considerar este exemplo, apresentamos um método alternativo para encontrar m a x x ∈ [ a ; b]f""(x) .

Substituamos o valor obtido na desigualdade m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0,01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 ,7735

O número de intervalos elementares em que o segmento de integração é dividido n é um número natural. Para comportamento de cálculo, vamos considerar n igual a seis. Esse valor de n nos permitirá alcançar a precisão especificada do método do trapézio com um mínimo de cálculos.

Vamos calcular o passo: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Encontre os nós x i = a + i h , i = 1 , 0 , . . . , n , determinamos os valores do integrando nestes nós:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 9833

Escrevemos os resultados do cálculo na forma de uma tabela:

eu	0	1	2	3	4	5	6
XI	1	7 6	4 3	3 2	5 3	11 6	2
f x eu	0 , 4	0 , 5266	0 , 6911	0 , 9052	1 , 1819	1 , 5359	1 , 9833

Substituímos os resultados obtidos na fórmula do trapézio:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054

Para comparar, calculamos a integral original usando a fórmula de Newton-Leibniz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Como você pode ver, alcançamos a precisão obtida dos cálculos.

Resposta: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054

Para integrandos complexos, encontrar o número n da desigualdade para estimar o erro absoluto nem sempre é fácil. Nesse caso, o seguinte método seria apropriado.

Vamos denotar o valor aproximado da integral definida, que foi obtida pelo método do trapézio para n nós, como In n . Vamos escolher um número arbitrário n . Usando a fórmula do método trapezoidal, calculamos a integral inicial com um número único (n = 10) e duplo (n = 20) de nós e encontramos o valor absoluto da diferença entre os dois valores aproximados obtidos I 20 - eu 10 .

Se o valor absoluto da diferença entre os dois valores aproximados obtidos for menor que a precisão exigida I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Se o valor absoluto da diferença entre os dois valores aproximados obtidos for maior que a precisão exigida, então é necessário repetir as etapas com o dobro do número de nós (n = 40).

Este método requer muitos cálculos, por isso é aconselhável usar a tecnologia de computador para economizar tempo.

Vamos resolver o problema usando o algoritmo acima. Para economizar tempo, omitimos cálculos intermediários usando o método do trapézio.

Exemplo 3

É necessário calcular a integral definida ∫ 0 2 x e x d x usando o método do trapézio com uma precisão de 0 , 001 .

Solução

Vamos tomar n igual a 10 e 20 . De acordo com a fórmula do trapézio, obtemos I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, o que requer cálculos adicionais.

Vamos considerar n igual a 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, o que também requer cálculos adicionais.

Vamos considerar n igual a 80: I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 - I 40 = 8,3901585 - 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, o que requer outra duplicação do número de nós.

Vamos tomar n igual a 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

Você pode obter um valor aproximado da integral original arredondando I 160 = 8 , 3893317 para milésimos: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Para comparação, calculamos a integral definida original usando a fórmula de Newton-Leibniz: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . A precisão necessária foi alcançada.

Resposta: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Erros

Os cálculos intermediários para determinar o valor de uma integral definida são realizados, na maioria das vezes, aproximadamente. Isso significa que conforme n aumenta, o erro computacional começa a se acumular.

Comparemos as estimativas dos erros absolutos do método trapezoidal e do método dos retângulos médios:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .

O método dos retângulos para um determinado n com a mesma quantidade de trabalho computacional dá metade do erro. Isso torna o método mais preferível nos casos em que os valores da função são conhecidos nos segmentos intermediários dos segmentos elementares.

Nos casos em que as funções integráveis ​​são especificadas não analiticamente, mas como um conjunto de valores nos nós, podemos usar o método trapezoidal.

Se compararmos a precisão do método trapezoidal e o método dos retângulos direito e esquerdo, o primeiro método supera o segundo na precisão do resultado.

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Exercícios.

5.1 Calcule pela fórmula de quadratura de retângulos com n= 3 integral e compare com o valor exato da integral:

A) , EU= 1; b) , EU= ln 2;

V) , EU= ; G) , EU= 0,75.

5.2 Calcule pela fórmula da quadratura dos retângulos quando n= 5 integral e avalie o erro de integração:

5.3 Determinar o número de nós n, que deve ser usado para calcular a integral usando a fórmula dos retângulos com precisão de 0,01:

A) ; b) ; V); G) .

5.4 Calcule a integral usando a fórmula de quadratura de retângulos com precisão de 0,01:

Considere a integral definida EU(6) e desenhe o gráfico do integrando (Fig. 17). Vamos dividir o intervalo de integração em n segmentos iguais com pontos , onde (Fig. 17).

Figura 17

f( x 1)

f( x 2)

f( XI)

f( xn -1)

f( xn)

f( x 0)

f( XI - 1)

f( x n- 2)

x0

x 1

x2

x i-1

XI

xn-1

xn

xn-2

A

b

x

no

SOBRE

O comprimento de cada segmento da partição. Neste caso, é óbvio que para os pontos de partição a relação será verdadeira:

e x 0 = a E xn = b.

Conecte os pontos do gráfico da função com as coordenadas por segmentos. Como resultado, obtemos uma linha quebrada, que é um gráfico de uma função linear por partes (Fig. 17). Em cada segmento da partição, a função é dada pela fórmula

Em pontos, leva os mesmos valores da função:

aqueles. a função executa a interpolação linear por partes da função no segmento (Fig. 17).

Vamos calcular a integral:

Este resultado tem um significado geométrico simples: uma figura limitada por baixo por um segmento de eixo Oh, de cima por um segmento de função (13), dos lados por retas verticais e , é um trapézio com bases de comprimento ee altura h, cuja área é determinada pela fórmula (14) (Fig. 17).

A integral da função em todo o segmento é a soma das integrais (14):

fórmula de quadratura

fornece um valor aproximado da integral EU:

onde é o termo restante (notação especial). Na fórmula de quadratura (16), que é chamada fórmula de quadratura do trapézio , os nós são os pontos, todos os fatores de peso menos dois em e são os mesmos e iguais a , e os coeficientes de peso em e são iguais a . A fórmula (16) expressa a área de um trapézio curvilíneo, correspondente à integral EU, através da soma das áreas dos trapézios (14) (Fig. 17).

A fórmula (7) ou (7') para o valor foi construída como uma soma integral. Ao derivar a fórmula (15) para , o conceito de soma integral não foi usado, mas também pode ser considerado como soma integral. Portanto, se a função é integrável em , então pela definição de uma integral definida

aqueles. as condições de convergência para a fórmula do trapézio em quadratura (16) são satisfeitas neste caso.

As relações de limite (17) provam a possibilidade fundamental de calcular a integral definida de uma função integrável arbitrária pelo método do trapézio com alguma precisão ε escolhendo um número n pontos de divisão do segmento e a etapa correspondente h.

Consideremos a principal questão relacionada à organização de um processo computacional real: como tirar n para obter a precisão necessária ao calcular a integral definida (6) ε . Para isso, é necessário avaliar o termo residual (erro). A este respeito, o integrando deve ser não apenas integrável, mas também duas vezes continuamente diferenciável no intervalo . Se todas as condições descritas acima forem satisfeitas, a seguinte estimativa é válida para o prazo restante

Onde Mé um número positivo que satisfaz a condição (11).

Para uma determinada precisão ε a condição (18) nos permite determinar o número de nós n, que deve ser usado ao calcular a integral definida (6). Para fazer isso, basta usar a razão

Exemplo 1 Calcule pela fórmula de quadratura dos trapézios com n= 3 integrais

Compare com o valor exato da integral.

Solução.

Porque n= 3, então passo

E dado que e:

Assim, pela fórmula (15) temos

Por isso, .

Comparemos o valor aproximado obtido com o valor exato da integral

Responder: , .

Exemplo 2 Determinar o número de nós n, que deve ser usado para calcular a integral usando a fórmula do trapézio

com precisão de 0,01.

Solução.

Para determinar n, usamos a relação (19)

De acordo com a tarefa e ε = 0,01. Levando em consideração que o integrando e suas primeira e segunda derivadas são respectivamente iguais a e , então no segmento de integração temos = . Significa M= 1. Como resultado, obtemos a relação

A partir do qual determinamos n:

ah, então vamos pegar n = 6.

Portanto, para obter precisão ε = 0,01, você precisa de 7 nós.

Responder:n = 6.

Exemplo 3 Calcular a integral usando a fórmula do trapézio em quadratura

com precisão de 0,01.

Solução.

Vamos primeiro determinar o número de nós n, que deve ser usado para calcular a integral. De acordo com a tarefa, ε = 0,01 e . Porque

e para correr

Que M= 2. Substituindo os valores a, b, ε E M na fórmula (12) obtemos a relação:

De onde encontramos n.

ah, então vamos pegar n = 5.

Porque n= 5, então passo

Vamos encontrar os valores usando a razão

E dado que , e b :

Agora vamos calcular os valores do integrando nos pontos , :

Assim, pela fórmula (15) temos

Por isso, .

Responder: com precisão de 0,01.

Tarefas de ensino e educação:

• propósito didático. Apresentar aos alunos os métodos de cálculo aproximado de uma integral definida.
• objetivo educacional. O tema desta lição é de grande valor prático e educacional. A abordagem mais simples da ideia de integração numérica é baseada na definição de uma integral definida como o limite das somas integrais. Por exemplo, se tomarmos alguma partição suficientemente pequena do segmento [ a; b] e construir uma soma integral para ele, então seu valor pode ser aproximadamente tomado como o valor da integral correspondente. Ao mesmo tempo, é importante realizar cálculos de forma rápida e correta usando tecnologia de computador.

Conhecimentos e habilidades básicas. Compreender os métodos aproximados para calcular uma integral definida usando as fórmulas de retângulos e trapézios.

Garantindo a lição

• Folheto. Cartões de tarefas para trabalho independente.
• TSO. Multiprojetor, PC, laptops.
• Equipamento TCO. Apresentações: "Significado geométrico da derivada", "Método dos retângulos", "Método dos trapézios". (A apresentação pode ser emprestada do autor).
• Ferramentas de informática: PC, microcalculadores.
• Diretrizes

Tipo de classe. Prática integrada.

Motivação da atividade cognitiva dos alunos. Muitas vezes é preciso calcular integrais definidas para as quais é impossível encontrar uma antiderivada. Nesse caso, métodos aproximados para calcular integrais definidas são usados. Às vezes, o método aproximado também é usado para "tomar" integrais, se o cálculo pela fórmula de Newton-Leibniz não for racional. A ideia de um cálculo aproximado da integral é que a curva seja substituída por uma nova curva suficientemente “próxima” dela. Dependendo da escolha de uma nova curva, uma ou outra fórmula de integração aproximada pode ser utilizada.

Sequência de aulas.

1. Fórmula do retângulo.
2. Fórmula trapezoidal.
3. Solução de exercícios.

Plano de aula

1. Repetição de conhecimentos básicos dos alunos.

Repita com os alunos: as fórmulas básicas de integração, a essência dos métodos de integração estudados, o significado geométrico de uma integral definida.

1. Realização de trabalhos práticos.

A solução de muitos problemas técnicos é reduzida ao cálculo de certas integrais, cuja expressão exata é difícil, requer cálculos demorados e nem sempre se justifica na prática. Aqui, seu valor aproximado é suficiente.

Deixe, por exemplo, é necessário calcular a área limitada por uma linha cuja equação é desconhecida. Nesse caso, você pode substituir essa linha por uma mais simples, cuja equação é conhecida. A área do trapézio curvilíneo assim obtida é tomada como um valor aproximado da integral desejada.

O método aproximado mais simples é o método dos retângulos. Geometricamente, a ideia por trás da forma de calcular a integral definida usando a fórmula dos retângulos é que a área de um trapézio curvilíneo ABCDé substituído pela soma das áreas dos retângulos, um lado dos quais é , e o outro é .

Se resumirmos as áreas dos retângulos que mostram a área de um trapézio curvilíneo com desvantagem [Figura 1], obtemos a fórmula:

[Imagem 1]

então obtemos a fórmula:

Se em abundância

[Figura 2],

Que

valores y 0 , y 1 ,..., y n encontrado a partir de igualdades , k = 0, 1..., n.Essas fórmulas são chamadas fórmulas de retângulo e dê resultados aproximados. Com o aumento n o resultado se torna mais preciso.

Então, para encontrar o valor aproximado da integral, você precisa:

Para encontrar o erro de cálculo, você precisa usar as fórmulas:

Exemplo 1 Calcule pela fórmula dos retângulos. Encontre os erros absolutos e relativos dos cálculos.

Vamos dividir o segmento [ a, b] em várias (por exemplo, 6) partes iguais. Então um = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
x 0 = 2 + 0 = 2
x 1 = 2 + 1 = 2,5
x 2 = 2 + 2 =3
x 3 = 2 + 3 = 3
x 4 = 2 + 4 = 4
x 5 = 2 + 5 = 4,5

f(x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

x	2	2,5	3	3,5	4	4,5
no	4	6,25	9	12,25	16	20,25

De acordo com a fórmula (1):

Para calcular o erro relativo dos cálculos, é necessário encontrar o valor exato da integral:

Os cálculos demoraram muito e obtivemos um arredondamento bastante grosseiro. Para calcular essa integral com uma aproximação menor, você pode usar os recursos técnicos do computador.

Para encontrar uma integral definida pelo método dos retângulos, é necessário inserir os valores do integrando f(x) para uma planilha do Excel no intervalo x com um dado passo x= 0,1.

1. Compilando uma tabela de dados (X E f(x)). x f(x). Argumento, e na célula B1 - a palavra Função2 2,1 ). Então, tendo selecionado o bloco de células A2:A3, obtemos todos os valores do argumento por preenchimento automático (nos estendemos além do canto inferior direito do bloco para a célula A32, para o valor x=5).
2. A seguir, apresentamos os valores do integrando. Na célula B2, você precisa escrever sua equação. Para fazer isso, coloque o cursor da tabela na célula B2 e insira a fórmula no teclado =A2^2(para layout de teclado em inglês). Pressione a tecla Digitar. Na célula B2 aparece 4 . Agora você precisa copiar a função da célula B2. O preenchimento automático copia esta fórmula para o intervalo B2:B32.
   Como resultado, uma tabela de dados deve ser obtida para encontrar a integral.
3. Agora, na célula B33, um valor aproximado da integral pode ser encontrado. Para fazer isso, na célula B33, digite a fórmula = 0,1*, depois chame o Assistente de Função (pressionando o botão Inserir Função na barra de ferramentas (f(x)). Na caixa de diálogo Function Wizard-Step 1 of 2 que aparece, à esquerda, no campo Category, selecione Math. À direita no campo Função - a função Soma. Apertamos o botão OK. A caixa de diálogo Soma é exibida. Insira o intervalo de soma B2:B31 no campo de trabalho com o mouse. Apertamos o botão OK. Na célula B33, um valor aproximado da integral desejada aparece com uma desvantagem ( 37,955 ) .

Comparando o valor aproximado obtido com o valor verdadeiro da integral ( 39 ), percebe-se que o erro de aproximação do método dos retângulos neste caso é igual a

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Exemplo 2 Usando o método dos retângulos, calcule com um dado passo x = 0,05.

Comparando o valor aproximado obtido com o valor real da integral , pode-se ver que o erro de aproximação do método dos retângulos neste caso é igual a

O método do trapézio geralmente fornece um valor integral mais preciso do que o método do retângulo. O trapézio curvilíneo é substituído pela soma de vários trapézios e o valor aproximado da integral definida é encontrado como a soma das áreas dos trapézios

[Imagem3]

Exemplo 3 Descoberta trapezoidal passo a passo x = 0,1.

1. Abra uma planilha em branco.
2. Compilando uma tabela de dados (X E f(x)). Deixe a primeira coluna ser os valores x, e os segundos indicadores correspondentes f(x). Para fazer isso, na célula A1, digite a palavra Argumento, e na célula B1 - a palavra Função. Na célula A2, o primeiro valor do argumento é inserido - a borda esquerda do intervalo ( 0 ). Na célula A3, o segundo valor do argumento é inserido - a borda esquerda do intervalo mais a etapa de construção ( 0,1 ). Então, tendo selecionado o bloco de células A2:A3, obtemos todos os valores do argumento por preenchimento automático (nos estendemos além do canto inferior direito do bloco para a célula A33, para o valor x=3,1).
3. A seguir, apresentamos os valores do integrando. Na célula B2, você deve escrever sua equação (no exemplo de um seno). Para fazer isso, o cursor da tabela deve ser colocado na célula B2. Deve haver um valor de seno correspondente ao valor do argumento na célula A2. Para obter o valor do seno, usaremos uma função especial: clique no botão Inserir função na barra de ferramentas f(x). Na caixa de diálogo Function Wizard-Step 1 of 2 que aparece, à esquerda, no campo Category, selecione Math. À direita no campo Função - uma função PECADO. Apertamos o botão OK. Uma caixa de diálogo aparece PECADO. Passando o ponteiro do mouse sobre o campo cinza da janela, com o botão esquerdo pressionado, mova o campo para a direita para abrir a coluna de dados ( A). Especifique o valor do argumento do seno clicando na célula A2. Apertamos o botão OK. 0 aparece na célula B2. Agora você precisa copiar a função da célula B2. O preenchimento automático copia esta fórmula para o intervalo B2:B33. Como resultado, uma tabela de dados deve ser obtida para encontrar a integral.
4. Agora, na célula B34, um valor aproximado da integral pode ser encontrado usando o método do trapézio. Para fazer isso, na célula B34, digite a fórmula \u003d 0,1 * ((B2 + B33) / 2+, depois chame o Assistente de Função (pressionando o botão Inserir Função na barra de ferramentas (f(x)). Na caixa de diálogo Function Wizard-Step 1 of 2 que aparece, à esquerda, no campo Category, selecione Math. À direita no campo Função - a função Soma. Apertamos o botão OK. A caixa de diálogo Soma é exibida. Insira o intervalo de soma B3:B32 no campo de trabalho com o mouse. Apertamos o botão OK outra vez OK. Na célula B34, um valor aproximado da integral procurada aparece com uma desvantagem ( 1,997 ) .

Comparando o valor aproximado obtido com o valor real da integral, percebe-se que o erro de aproximação do método dos retângulos neste caso é bastante aceitável para a prática.

1. Solução de exercícios.