Predstavitev inverzne funkcije za lekcijo algebre (10. razred) na to temo. Vzajemne funkcije Oglejte si vsebino dokumenta "Metodološki razvoj lekcije "Vzajemne funkcije""

Za uporabo predogleda predstavitev ustvarite Google račun (račun) in se prijavite: https://accounts.google.com

Podnapisi diapozitivov:

Inverzna funkcija

Ponavljamo Če vsaki vrednosti x iz določene množice realnih števil priredimo število y po določenem pravilu f, potem pravimo, da je na tej množici podana funkcija. D(f) je domena funkcije; x je neodvisna spremenljivka ali argument; y je odvisna spremenljivka; množico vseh vrednosti y=f(x) , x ϵ X imenujemo obseg funkcije in ga označimo z E(f) .

Naloga Naj bo dana funkcija y=f(x) Poišči vrednost funkcije v točki x=x 0 Na primer: Poišči vrednost funkcije y=5x+7 v točki x=7. y(7)=5∙7+7 Odgovor: y(7)=42 =35+7=42 Neposredna naloga Naj bo dana funkcija y=f(x) Poiščite vrednost argumenta v točki y=y 0 Na primer: dana je funkcija y= 5x+7. Poiščite vrednost argumenta, za katerega je y=22. 22=5x+7 5x=22-7 5x=15 x=15:5 x=3 Odgovor: y(3)=22 Obratno

Naloga Naj je podan zakon o spreminjanju hitrosti gibanja od časa Poiščite zakon o spreminjanju časa od hitrosti. Rešitev: 0 – gt = gt = – 0 t= Reverzibilna funkcija Inverzna funkcija na

Če funkcija vzame vsako od svojih vrednosti y samo za eno vrednost x, se ta funkcija imenuje invertibilna. Naj reverzibilna funkcija. Nato vsak niz vrednosti funkcije ustreza enemu določenemu številu iz domene definicije, tako da Ta korespondenca določa funkcijo, ki jo označujemo. Zamenjaj in: Funkcija se imenuje inverzna funkcija. Določite.

Primer Poišči funkcijo inverzno funkciji Rešitev: Odgovor:

y x 5 0 D(y)= (; 5) E(y)= (; 0) y 0 5 x D(y)= (; 0) E(y)= (; 5)

Lastnosti inverznih funkcij: Domena definicije inverzne funkcije sovpada z množico vrednosti izvirne funkcije, množica vrednosti inverzne funkcije pa sovpada z domeno definicije originalne funkcije Monotona funkcija je reverzibilna: a) če funkcija narašča, potem narašča tudi njej inverzna funkcija; b) če je funkcija padajoča, potem je padajoča tudi njena inverzna funkcija.

Primer Pokažite, da ima funkcija inverzno funkcijo in poiščite njen analitični izraz. Rešitev: Funkcija narašča za R . Torej inverzna funkcija obstaja na R . Rešimo enačbo za. Dobimo, zamenjamo in dobimo: To je želena inverzna funkcija.

Primer Dana funkcija. Dokažite, da zanjo obstaja inverzna funkcija, zapišite analitični izraz inverzne funkcije v obrazec in narišite inverzno funkcijo.

Rešitev: Funkcija narašča na intervalu, kar pomeni, da ima inverzno funkcijo. Iz enačbe ugotovimo: oz. Intervalu pripadajo samo vrednosti funkcije.

Z zamenjavo in dobimo Graf te funkcije dobimo iz grafa funkcije z uporabo simetrije glede na premico.

Izdelal Morenshildt I.K. skupina 1.45.36 Frunzensky okrožje Šola št. 314 Učitelj Koroleva O.P. Sankt Peterburg 2006 * CENTER ZA INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE IN TELEKOMUNIKACIJE St. Petersburg MEDSEBOJNE INVERZNE FUNKCIJE

Eksponentna in logaritemska funkcija Trigonometrične funkcije

Osnovne definicije Primeri enačb Grafi inverznih funkcij Eksponentne in logaritemske funkcije Sinusne in arkusinusne funkcije Kosinusne in arkosinusne funkcije Funkcije tangensa in arktangensa Funkcije kotangensa in arkotangensa Izpit Viri Vsebina Konec

Reverzibilna funkcija Če funkcija y=f (x) prevzame vsako svojo vrednost samo za eno vrednost x, se ta funkcija imenuje reverzibilna. Za takšno funkcijo je mogoče izraziti obratno razmerje med vrednostmi argumenta in vrednostmi funkcije.

Primer konstruiranja funkcije, ki je inverzna na dano. Poseben primer. Dana je funkcija y=3x+5. Enačba za x. Zamenjajte x z y. Funkciji (1) in (2) sta medsebojno inverzni. Splošni primer y=f (x) je obrnljiv funkcija Definirana funkcija x= g (y ) Zamenjaj x z y y= g(x) Funkciji y=f(x) in y=g(x) sta medsebojno inverzni

Grafi inverznih funkcij

Eksponentne in logaritemske funkcije y=log a x y=a x y=x a>1

Funkciji sin x in arcsin x Upoštevajte funkcijo y=sin x na segmentu. Funkcija je monotono naraščajoča. FZF [-1;1]. Funkcija y= arcsin x je obratna funkcija y=sinx. [ -  ;  ] 2 2

Funkciji cos x in arccos x Upoštevajte funkcijo y=co s x na odseku Funkcija je monotono padajoča. FZF [-1;1]. Funkcija y=arccos x je obratna funkcija y=co sx.

Funkciji tg x in arctg x Upoštevajte funkcijo y= tg x na intervalu. Funkcija je monotono naraščajoča. ORF je množica R . Funkcija y= arctg x je obratna funkcija y= tg x . (-  ; ) 2 2

Funkciji ctg x in arcctg x Upoštevajte funkcijo y= ctg x na intervalu (0; ). Funkcija je monotono padajoča. GFA je množica R . Inverz je funkcija y \u003d arcctg x.

Test na temo "Medsebojno inverzne funkcije" Vprašanje št. 1 Vprašanje št. 2 Vprašanje št. 3 Vprašanje št. 4 Vprašanje št. 5 Končaj Končaj

Vprašanje št. 1 Grafi medsebojno inverznih funkcij se nahajajo v koordinatnem sistemu simetrično glede na: Izvor koordinat Direct y \u003d x Osi OY Osi OX

Vprašanje št. 2 Kako sta povezani domena definicije originala in domena inverzne funkcije? Match Independent

Vprašanje #3 Kaj je inverzna logaritemska funkcija? Moč Linearna Kvadratna Eksponentna

Vprašanje št. 4 Funkcija y=arcctg x je obratna funkcija y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x

Vprašanje št. 5 Tema "Vzajemne funkcije" je osnovna, moja najljubša, enostavno razumljiva

Hura! Hura! Hura! Bravo znanstvenik!

Napačen odgovor Ponovi od začetka!

Narobe! Ogorčen sem nad vašim odgovorom!

Viri algebre in začetki analize: Proc. za 10-11 celic. Splošna izobrazba institucije / Sh.A. Alimov, Yu.M. Koljagin, Ju.V. Sidorov in drugi - 12. izd. - M .: Razsvetljenje, 2004. - 384 str. Študij algebre in začetek analize v razredih 10-11: Knjiga. za učitelja / N.E. Fedorova, M.V. Tkačev. - 2. izd. - M .: Izobraževanje, 2004. - 205 str. Didaktična gradiva o algebri in začetki analize za 10. razred: Vodnik za učitelja / B.M. Ivlev, S.M. Sahakjan, S.I. Schwarzburd. - 2. izd., revidirano. - M.: Razsvetljenje, 1998. -143 str. Grafi inverznih trigonometričnih funkcij http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

Cilji lekcije:

Izobraževalni:

V razvoju:

Izobraževalni:

Ogled vsebine dokumenta
"Metodološki razvoj lekcije "Vzajemne funkcije""

Lekcija v 10. razredu na temo "Vzajemne funkcije"

(po programu Alimova Sh.A.)

Vrsta lekcije: kombinirano.

Cilji lekcije:

Izobraževalni:

Ponovite in povzemite znanje učencev o temi "Funkcija", ki so jo preučevali v 9. razredu.

Seznaniti se z medsebojno inverznimi funkcijami, preučiti pogoje za obstoj inverzne funkcije in njene lastnosti, naučiti se graditi grafe inverznih funkcij.

V razvoju:

Razviti ustvarjalno in miselno aktivnost študentov, njihove intelektualne lastnosti: sposobnost "videti" problem.

Oblikovati sposobnost jasnega in jasnega izražanja svojih misli, raziskovanja, analize, primerjave, sklepanja.

Razviti zanimanje študentov za samostojno ustvarjalnost.

Razviti prostorsko domišljijo učencev.

Izobraževalni:

Razviti sposobnost dela z razpoložljivimi informacijami v nenavadnih razmerah.

Gojite natančnost in vestnost.

Izvajati estetsko vzgojo.

Oprema:

• multimedijski projektor;

  prijava k lekciji: (Predstavitev.) - na elektronskih medijih;

Sredstva izobraževanja: računalniki, program Excel, medijski projektor, diapozitiv.

Predstavitve: grafi funkcij zgrajeni v enem koordinatnem sistemu.

Oblike organizacije izobraževalnih dejavnosti: individualno, dialog, delo z diapozitivom, raziskovalno delo v zvezku.

Metode: vizualni, verbalni, grafični, raziskovalni.

Koraki lekcije:

Postavitev cilja učne ure in motivacije za učne dejavnosti. 2 minuti

Ponovitev zajetega gradiva na temo "Funkcije in njihovi grafi". 10 min

Faza razlage nove snovi.10 min

Operativno-izvršilni del. Stopnja konsolidacije.10 min

Kontrola znanja (delovni list s testom na papirju)5 minut

Domača naloga. 1 min

Reflektivno-ocenjevalna stopnja. 2 minuti

Med poukom.

1. Uvodni govor učitelja. Pogovor o namestitvi. Psihološko razpoloženje študentov.

Današnja lekcija za vas ni povsem običajna: učiteljica matematike Elena Semyonovna iz srednje šole Platoshinskaya, gostje so učitelji in metodologi matematike vaše šole in oddelka za izobraževanje regije Perm.

V lekciji bi morali ti in jaz ponoviti in posplošiti znanje učencev o temi "Funkcija", ki so jo preučevali v 9. razredu, se seznaniti z medsebojno inverznimi funkcijami, preučiti pogoje za obstoj inverzne funkcije in njenih lastnosti, se naučiti, kako graditi grafe inverznih funkcij. Želimo si uspeha in plodnega dela.

2. Ponovitev gradiva, zajetega na temo "Funkcije in njihovi grafi." Predstavitev.

Diapozitivi 2-10. Frontalno delo z razredom.

3. Učenje nove snovi. Poučni pogovor z elementi raziskovanja in demonstracije (prosojnice 11-24)

4.

Primer odvisnosti. Vsaka vrednost funkcije ustreza eni vrednosti argumenta.

Za takšne funkcije je mogoče izraziti obratno razmerje med vrednostmi argumenta in vrednostmi funkcije.

telovadba.

Poiščite domeno in obseg recipročnih funkcij.

4. Utrjevanje znanja.

5. Kontrola znanja.

6. Domača naloga: preučiti strani 46-50, rešiti št. 132, št. 133, št. 134

7. Reflektivno-ocenjevalna stopnja.

Med lekcijo sem se naučil …………………………….

Pri pouku me je zanimalo ……………………..

Bilo je težko …………………………………………….

Znanje, pridobljeno pri pouku, lahko uporabim ……………………………………………

Cilji lekcije:

Izobraževalni:

• oblikovati znanje o novi temi v skladu s programsko snovjo;
• preučiti lastnost invertibilnosti funkcije in naučiti, kako najti funkcijo, inverzno dani;

V razvoju:

• razvijati sposobnosti samokontrole, predmetni govor;
• obvladajo pojem inverzne funkcije in spoznajo metode iskanja inverzne funkcije;

Izobraževalni: oblikovati komunikacijsko kompetenco.

Oprema: računalnik, projektor, platno, interaktivna tabla SMART Board, izroček (samostojno delo) za skupinsko delo.

Med poukom.

1. Organizacijski trenutek.

Tarča – priprava dijakov na delo v razredu:

Opredelitev odsotnosti,

Odnos študentov do dela, organizacija pozornosti;

Sporočilo o temi in namenu lekcije.

2. Posodabljanje temeljnega znanja učencev. sprednja anketa.

Cilj - ugotavljanje pravilnosti in zavedanja preučene teoretične snovi, ponavljanje obravnavane snovi.<Приложение 1 >

Graf funkcije je prikazan na interaktivni tabli za učence. Učitelj oblikuje nalogo - razmisliti o grafu funkcije in našteti preučene lastnosti funkcije. Učenci naštejejo lastnosti funkcije glede na načrt raziskave. Učitelj desno od grafa funkcije zapiše imenovane lastnosti s flomastrom na interaktivno tablo.

Lastnosti funkcije:

Na koncu študija učitelj poroča, da se bodo danes pri lekciji seznanili še z eno lastnostjo funkcije - reverzibilnostjo. Za smiselno preučevanje novega gradiva učitelj povabi otroke, da se seznanijo z glavnimi vprašanji, na katera morajo učenci odgovoriti na koncu lekcije. Vprašanja so napisana na navadni tabli in vsak študent ima izroček (razdeljen pred lekcijo)

1. Kaj je reverzibilna funkcija?
2. Ali je vsaka funkcija reverzibilna?
3. Kaj je inverzna dana funkcija?
4. Kako sta povezana domena definicije in množica vrednosti funkcije in njene inverzne funkcije?
5. Če je funkcija podana analitično, kako definirate inverzno funkcijo s formulo?
6. Če je funkcija podana grafično, kako narisati njeno obratno funkcijo?

3. Razlaga nove snovi.

Tarča - oblikovati znanje o novi temi v skladu s programsko snovjo; preučiti lastnost invertibilnosti funkcije in naučiti, kako najti funkcijo, inverzno dani; razviti predmet.

Učitelj izvede predstavitev snovi v skladu z gradivom odstavka. Na interaktivni tabli učitelj primerja grafa dveh funkcij, katerih definicijske domene in množice vrednosti so enake, vendar je ena od funkcij monotona, druga pa ne, s čimer učence pripelje pod koncept invertibilne funkcije .

Učitelj nato oblikuje definicijo invertibilne funkcije in dokaže izrek o invertibilni funkciji z uporabo grafa monotone funkcije na interaktivni tabli.

Definicija 1: Pokličemo funkcijo y=f(x), x X reverzibilen, če prevzame katero koli od svojih vrednosti samo na eni točki množice X.

Izrek: Če je funkcija y=f(x) monotona na množici X , potem je obrnljiva.

Dokaz:

1. Naj funkcija y=f(x) poveča za X naj gre x 1 ≠ x 2- dve točki niza X.
2. Za določnost naj x 1< x 2.
   Potem iz česa x 1< x 2 temu sledi f(x 1) < f(x 2).
3. Tako različne vrednosti argumenta ustrezajo različnim vrednostim funkcije, tj. funkcija je reverzibilna.

(Med dokazom izreka učitelj z flomastrom naredi vsa potrebna pojasnila na risbi)

Preden oblikuje definicijo inverzne funkcije, učitelj prosi učence, da ugotovijo, katera od predlaganih funkcij je reverzibilna? Na interaktivni tabli so prikazani grafi funkcij in zapisanih je več analitično definiranih funkcij:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Učitelj predstavi definicijo inverzne funkcije.

Definicija 2: Naj bo invertibilna funkcija y=f(x) določeno na setu X in E(f)=Y. Povežimo vsakega l od Y potem edini pomen X, pri katerem f(x)=y. Nato dobimo funkcijo, ki je definirana na Y, A X je obseg funkcije

Ta funkcija je označena x=f -1 (y) in se imenuje inverzna funkcija y=f(x).

Študente povabimo, da sklepajo o razmerju med domeno definicije in množico vrednosti inverznih funkcij.

Za obravnavo vprašanja, kako najti inverzno funkcijo dane, je učitelj vključil dva učenca. Dan prej so otroci od učiteljice dobili nalogo, da samostojno analizirajo analitično in grafično metodo iskanja inverzne dane funkcije. Učitelj je deloval kot svetovalec pri pripravi učencev na pouk.

Sporočilo prvega študenta.

Opomba: monotonost funkcije je dovolj pogoj za obstoj inverzne funkcije. Ampak to ni potreben pogoj.

Študent je navedel primere različnih situacij, ko funkcija ni monotona, ampak reverzibilna, ko funkcija ni monotona in ni reverzibilna, ko je monotona in reverzibilna.

Nato študent študente seznani z metodo analitičnega iskanja inverzne funkcije.

Algoritem iskanja

1. Prepričajte se, da je funkcija monotona.
2. Izrazi x z y.
3. Preimenuj spremenljivke. Namesto x \u003d f -1 (y) pišejo y \u003d f -1 (x)

Nato reši dva primera, da poišče inverzno funkcijo dane.

Primer 1: Pokažite, da obstaja inverzna funkcija za funkcijo y=5x-3 in poiščite njen analitični izraz.

rešitev. Linearna funkcija y=5x-3 je definirana na R, narašča na R, njen obseg pa je R. Zato obstaja inverzna funkcija na R. Da bi našli njen analitični izraz, rešimo enačbo y=5x-3 glede na x; dobimo To je želena inverzna funkcija. Definiran je in narašča z R.

Primer 2: Pokažite, da obstaja inverzna funkcija za funkcijo y=x 2 , x≤0, in poiščite njen analitični izraz.

Funkcija je zvezna, monotona v svoji definicijski domeni, zato je invertibilna. Po analizi domen definicije in nabora vrednosti funkcije se naredi ustrezen zaključek o analitičnem izrazu za inverzno funkcijo.

Drugi učenec naredi predstavitev o grafično kako najti inverzno funkcijo. Učenec pri razlagi uporablja zmožnosti interaktivne table.

Da bi dobili graf funkcije y=f -1 (x), inverzen funkciji y=f(x), je treba graf funkcije y=f(x) transformirati simetrično glede na premico y=x.

Pri razlagi na interaktivni tabli se izvaja naslednja naloga:

Zgradite graf funkcije in graf njene inverzne funkcije v istem koordinatnem sistemu. Zapišite analitični izraz za inverzno funkcijo.

4. Primarna fiksacija novega materiala.

Cilj - ugotoviti pravilnost in zavest o razumevanju preučenega gradiva, ugotoviti vrzeli v primarnem razumevanju gradiva, jih popraviti.

Učenci so razdeljeni v pare. Dobijo liste z nalogami, pri katerih delajo v parih. Čas za dokončanje dela je omejen (5-7 minut). En par učencev dela z računalnikom, projektor je za ta čas izklopljen in ostali otroci ne morejo videti, kako učenci delajo na računalniku.

Ob koncu časa (predpostavlja se, da je večina učencev delo opravila) interaktivna tabla (projektor se ponovno vklopi) prikaže delo učencev, pri čemer se med preizkusom razjasni, da je bila naloga opravljena v parov. Po potrebi učitelj izvaja korektivno, razlagalno delo.

Samostojno delo v parih<Priloga 2 >

5. Rezultat lekcije. Na vprašanja, ki so bila zastavljena pred predavanjem. Razglasitev ocen za lekcijo.

Domača naloga §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra in začetki analize. 10. razred V 2 delih za izobraževalne ustanove (raven profila) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova in drugi; izd. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Inverzna funkcija

Besedilo lekcije

• Povzetek lekcije 1-3 (Morozova I. A.)

  Ime predmeta Algebra in začetek matematične analize 10. razred UMK Algebra in začetek matematične analize. 10-11 razredi. Ob 2. uri Del 1. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov (osnovna raven) / A.G. Mordkovič. - 10. izd., Sr. - M .: Mnemozina, 2012. 2. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov (osnovna raven) / [A.G. Mordkovič in drugi]; izd. A.G. Mordkovič. - 10. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2012. Stopnja izobrazbe je osnovna Tema lekcije: Inverzna funkcija. (3 ure) Lekcija 1. Namen lekcije: uvesti pojma reverzibilne in inverzne funkcije; dokazati izrek o monotonosti direktnih in inverznih funkcij; ugotoviti in utemeljiti geometrijski pomen reverzibilnosti funkcije Cilji pouka: - oblikovati zmožnost iskanja inverzne funkcije za dano; - oblikovati sposobnost gradnje grafa inverzne funkcije. Pričakovani rezultati: Poznati: definicijo invertibilne funkcije, inverzno funkcijo, znak reverzibilnosti funkcije. Znati: najti formulo funkcije, inverzne na dano; zgradite graf inverzne funkcije z uporabo grafa te funkcije. Tehnična podpora učnega računalnika, platna, projektorja, učbenika. Potek lekcije I. Organizacijski trenutek. II. Preverjanje domačih nalog (analiza nalog, ki so učencem povzročale težave) III. Delo preverjanja. Možnost 1 1. Dana funkcija a) Preverite monotonost funkcije, če je x > 2. b) Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu [–1,5; 1,5]. 2. Preverite omejenost funkcije, kjer je x > 0. 3. Preglejte funkcijo za pariteto. Možnost 2 1. Dana funkcija a) Preverite monotonost funkcije, če je x< 2. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–4,5; –3,1]. 2. Исследуйте функцию где х < 0, на ограниченность. 3. Исследуйте функцию на четность. Вариант 3 1. Дана функция а) Исследуйте функцию на монотонность, если х < –1. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; 0,4]. 2. Исследуйте функцию где х < –1, на ограниченность. 3. Исследуйте функцию на четность. Вариант 4 1. Дана функция а) Исследуйте функцию на монотонность, если х  1. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . 2. Исследуйте функцию где х >2, za omejitev. 3. Preglejte funkcijo za pariteto. Rešitev možnosti 1 in 3 verifikacijskega dela. Možnosti 1 in 2 sta nekoliko lažji od možnosti 3 in 4. Možnost 1 1. Označimo a) Nato naj funkcija pada na (–; 2]. b) Ker funkcija pada na (–∞; 2], potem je odgovor : a) zmanjša ; b) unaib. = 12,25; unaim. = 0,25. 2. kjer je x > 0. Funkcija je od zgoraj omejena s premico y = 0, kar pomeni, da je funkcija od zgoraj omejena s premico y = 1. Odgovor: omejena od zgoraj. 3. - simetričen glede na izvor. zato je funkcija nenavadna. Odgovor: čudno. 3. možnost 1. a) Označite Graf je parabola z vrhom v točki (–1; –1) in seka os 0x v točkah x = 0 in x = –2. Če je x > -1, potem funkcija narašča. b) Na intervalu [–2; 0,4] in odgovor: a) narašča; b) unaib. = 0,96; unaim. = 0. 2. kjer je x< –1. Функция ограничена снизу прямой у = 0, значит, функция ограничена снизу прямой у = 2. Ответ: ограничена снизу. 3. – симметрична относительно начала координат. Если х = 0, то Имеем: значит, функция ни четная, ни нечетная. Ответ: ни четная, ни нечетная. IV. Объяснение нового материала. 1. Для введения понятия обратимой функции можно использовать либо подвижные модели, либо изображение обратимых и необратимых функций на прозрачной пленке, перевернув которую можно показать, как область определения и область значения функции «меняются местами» и в каком случае обеспечивается однозначность обратной функции. 2. Для первичного закрепления материала учащиеся выполняют следующее задание. Среди функций, графики которых изображены на рисунке, укажите обратимые. 3. Теорема 1. Подчеркиваем учащимся, что в теореме сформулирован признак обратимости функции (достаточное условие). В то же время монотонность не является необходимым условием обратимости. Динамическая пауза. V. Формирование умений и навыков. Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на аналитическое задание функции, обратной данной. № 3.1 (а; б), № 3. 2 (а; б). При выполнении этих упражнений следует предупредить формализм в аналитическом задании функции путем простого преобразования уравнения. Учащиеся должны обосновать существование обратной функции. Решение: № 3.1 (б). Линейная функция у = 2 + 4х определена на R, возрастает на R(k  0), E(f) = R. Значит, на R существует обратная функция. – искомая обратная функция, возрастающая на R. Ответ: № 3.2 (б). Функция убывает на всей области определения, значит, существует обратная функция, определенная и убывающая на Ответ: V. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Какая функция называется обратимой? – Сформулируйте признак обратимости функции. –Дайте определение обратной функции. Домашнее задание: № 3.1 (в; г) – № 3.2 (в; г). Урок 2. Цель урока: выявить и обосновать геометрический смысл обратимости функции Задачи урока: - развивать умение находить обратную функцию для заданной; - формировать умение строить график обратной функции. Планируемые результаты: Знать: определение обратимой функция, обратной функции, признак обратимости функции. Уметь: находить формулу функции, обратной данной; строить график обратной функции, используя график данной функции. Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверка домашнего задания (разбор заданий, вызвавших затруднения учащихся) III. Работа в группах. Карточка 1. Карточка 2. IV. Объяснение нового материала. Устанавливая геометрический смысл обратимости функции, учащиеся формулируют способ построения графика обратной функции с помощью преобразования осевой симметрии. Графики функции у = f(х) и обратной функции у = f-1 симметричны относительной прямой у = х. Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f(х) = 2х – 4 обратная функция f-1(x) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х. Функция f-1(x) = 1/2х + 2 обратная по отношению к функции f(х) = 2х - 4. Но и функция f(х) = 2х - 4 является обратной по отношению к функции f-1(x) = 1/2х + 2. Поэтому функции f(х) и f-1(х) корректнее называть взаимообратными. При этом выполнены равенства: f-1(f(х)) = х и f(f-1(x) = x. Динамическая пауза. V. Формирование умений и навыков. Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на построение графика обратной функции с помощью осевой симметрии. № 3.3 (а; б), № 3. 4 (а; б), № 3.5* (а; б). Решение: № 3. 4 (б). Графиком является кубическая парабола, полученная из графика у = х3 сдвигом вправо по оси 0х на 2 единицы. Функция возрастает на R, значит, существует обратная функция, заданная и возрастающая на R. Ответ: V. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Какая функция называется обратимой? – Сформулируйте признак обратимости функции. –Дайте определение обратной функции. – Каков характер монотонности прямой и обратной функций? – Как построить график обратной функции, используя график данной функции? Домашнее задание: № 3.3 (в; г) – № 3.4 (в; г) № 3.5 * (в; г) – по желанию. Урок 3. Цель урока: проверить степень усвоения теоретического материала и умения применять его при выполнении письменной работы Задачи урока: - развивать умение находить обратную функцию для заданной; - развивать умение строить график обратной функции. Планируемые результаты: Знать: определение обратимой функция, обратной функции, признак обратимости функции. Уметь: находить формулу функции, обратной данной; строить график обратной функции, используя график данной функции. Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверка домашнего задания (разбор заданий, вызвавших затруднения учащихся) III. Зачетная работа Вариант 1. Вариант 2. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Какая функция называется обратимой? – Сформулируйте признак обратимости функции. –Дайте определение обратной функции. – Каков характер монотонности прямой и обратной функций? – Как построить график обратной функции, используя график данной функции? Домашнее задание: §3, примеры 1-3.

  Prenos: Algebra 10kl - Povzetek lekcije 1-3 (Morozova I. A.).docx

• lekcija 1 (Samoilova G.A.)

  Algebra in začetki analize 10. razred TMC: Algebra in začetki analize 10.–11. razred, A.G. Mordkovich, Moskva 2013 Stopnja študija: osnovna Tema: Inverzna funkcija Skupaj ur: 3 ure Na temo: Lekcija št. 1 Namen lekcije: Izobraževalni: Uvesti in utrditi definicijo inverzne funkcije; preučiti lastnost invertibilnosti funkcije in naučiti, kako najti funkcijo, inverzno dani; Razvijanje: razvijati sposobnosti samokontrole, predmetni govor; obvladajo pojem inverzne funkcije in spoznajo metode iskanja inverzne funkcije; Izobraževalni: oblikovati komunikacijsko kompetenco. Cilji lekcije: 1. Seznaniti študente z reverzibilnimi funkcijami in njihovimi grafi. 2. Obogatiti izkušnje študentov pri pridobivanju novih znanj na podlagi obstoječega teoretičnega znanja, pa tudi z uporabo znanih praktičnih situacij. Pričakovani rezultati: Po študiju te teme naj bi študenti znali: Definicija reverzibilne funkcije; risanje reverzibilne funkcije; primeri funkcij iz življenja; metode primerjanja, posploševanja, sposobnost sklepanja; Po študiju te teme morajo biti študentje sposobni: samostojno obnoviti in sistematizirati svoje znanje: - zgraditi grafe reverzibilnih funkcij: - znati sklepati. Tehnična podpora lekcije: učbenik "Algebra in začetek analize. 10. razred (osnovna raven) »A.G. Mordkovič. Tabele numeričnih funkcij. Računalnik, projektor, platno. Dodatna metodološka in didaktična podpora za pouk: Metodološki vodnik za učitelje "Učni načrti za učbenik Algebra in začetek analize 10-11 razreda", A.G. Mordkovich, Volgograd 2013 Internetni viri https:// 1september.ru Vsebina lekcije: 1. Organizacijski trenutek 2. Kontrola preostalega znanja 3. Učenje novega gradiva 4. Utrjevanje 5. Povzetek lekcije 6. Postavitev domače naloge Potek lekcije: 1 Organizacijski moment 2 Kontrola preostalega znanja 1). Ponovitev in utrjevanje obravnavane snovi 1. Odgovori na vprašanja pri domači nalogi (analiza nerešenih nalog). 2. Spremljanje asimilacije snovi (samostojno delo). 1. možnost Izvedite študijo funkcije in zgradite njen graf: 3. Učenje novega materiala Glede na analitično obliko funkcije za katero koli vrednost argumenta je enostavno najti ustrezno vrednost funkcije y. Pogosto se pojavi obratni problem: vrednost y je znana in treba je najti vrednost argumenta x, za katerega je dosežena. 1. primer Poišči vrednost argumenta x, če je vrednost funkcije: a) 2; b) 7/6; c) 1. Iz analitične oblike funkcije izrazimo spremenljivko x in dobimo: 4xy - 2y \u003d 3x + 1 ali x (4y - 3) \u003d 2y + 1, od koder. Sedaj je težavo enostavno rešiti: funkcija se imenuje inverzna funkcija. Ker je običajno argument funkcije označiti s črko x, vrednost funkcije pa s črko y, je inverzna funkcija zapisana v obliki Podajamo pojme, potrebne za preučevanje teme. Definicija 1. Funkcijo y = f(x), x ∈ X imenujemo inverzibilna, če sprejme katero koli od svojih vrednosti samo v eni točki x množice X (z drugimi besedami, če različne vrednosti funkcije ustrezajo na različne vrednosti argumenta). V nasprotnem primeru se funkcija imenuje nepovratna. Primer 2. Funkcija prevzame vsako svojo vrednost le v eni točki x in je reverzibilna (graf a). Funkcija ima takšne vrednosti y (na primer y = 2), ki so dosežene na dveh različnih točkah x in je nepovratna (graf b). Pri obravnavi teme je koristen naslednji izrek. Izrek 1. Če je funkcija y = f(x), ∈ monotona na množici X, potem je invertibilna. Primer 3 Vrnimo se k prejšnjemu primeru. Funkcija pada (monotona) in je invertibilna na celotnem področju definicije. Funkcija je nemonotona in nepovratna. Vendar pa ta funkcija narašča na intervalih (-∞; -1] in . Zato je na takih intervalih funkcija invertibilna. Na primer, funkcija je invertibilna na segmentu x [-1; 1]. Definicija 2. Naj bo y \u003d f (x), x ∈ X je invertibilna funkcija in E(f) = Y. Povežite vsak Y z edinstveno vrednostjo x, za katero je f(x) = y (tj. edinstveni koren enačbe f( x) = y glede na spremenljivko x). Nato dobimo funkcijo, ki je definirana na množici Y (množica X je njen obseg). To funkcijo označimo z x - f-1(y), y ∈ Y in se imenuje inverzna funkcija y = f(x), x ∈ X. Na sliki je prikazana funkcija y \u003d f (x) in inverzna funkcija x \u003d f-1 (y). Neposredna in inverzna funkcije imajo enako monotonost. Izrek 2. Če se funkcija y \u003d f (x) poveča (zmanjša) na množici X in Y - njen obseg, potem se inverzna funkcija x = f-1 (y) poveča (zmanjša) na množici Y. Primer 4 Funkcija se zmanjšuje na množici in ima niz vrednosti Inverzna funkcija se prav tako zmanjšuje na množici in ima niz vrednosti, ki sovpadajo, saj te funkcije vodijo do enakega odnosa med spremenljivkama x in y: 4xy - 3x - 2y - 1 \u003d 0. Za nas je običajno, da je argument funkcije označen s črko x, vrednost funkcije - s črko y. Zato bomo inverzno funkcijo zapisali v obliki y = f-1 (x) (glej primer 1). Izrek 3. Grafa funkcije y \u003d f (x) in inverzne funkcije y \u003d f-1 sta simetrična na relativno ravno črto y \u003d x. Primer 5 Za funkcijo y \u003d 2x - 4 najdemo inverzno funkcijo: y + 4 \u003d 2x, od koder je x \u003d 1/2y + 2. Uvedemo preimenovanje x ↔ y in zapišemo inverzno funkcijo v obliki y \u003d 1/2x + 2. Tako je za funkcijo f (x) \u003d 2x - 4 inverzna funkcija f-1 (x) \u003d 1/2x + 2. Sestavimo grafe teh funkcij. Vidimo, da sta grafa simetrična na relativno ravno črto y \u003d x. Funkcija f-1 (x) = 1/2x + 2 je inverzna glede na funkcijo f (x) = 2x - 4. Toda funkcija f (x) = 2x - 4 je prav tako inverzna glede na funkcijo f -1 (x) \u003d 1/2x + 2. Zato sta funkciji f (x) in f-1 (x) pravilneje imenovani medsebojno inverzni. V tem primeru sta izpolnjeni enakosti: f-1 (f (x)) = x in f (f-1 (x) = x. 4. Utrjevanje 1) Kontrolna vprašanja: 1. Reverzibilne in ireverzibilne funkcije. 2. Invertibilnost monotone funkcije. 3. Definicija inverzne funkcije. 4. Monotonost direktnih in inverznih funkcij. 5. Grafi direktnih in inverznih funkcij. 2) Naloga v lekciji § 3, št. 1 (a, b); 2 (c, d); 3 (a, d); 4 (c, d); 5 (a, c). 5. Povzetek lekcije Kaj ste se danes novega naučili pri lekciji? Na katere težave ste naleteli? Naredite sklep o razmerju med domeno definicije in množico vrednosti inverznih funkcij. 4. Izjava domače naloge § 3, št. 1 (c, d); 2 (a, b); 3 (b, c); 4 (a, b); 5 (b, d).

  Prenos: Algebra 10kl - lekcija 1 (Samoilova G. A.).doc

• lekcija 2 (Samoilova G.A.)

  Algebra in začetki analize 10. razred TMC: Algebra in začetki analize 10.–11. razred, A.G. Mordkovich, Moskva 2013 Stopnja študija: osnovna Tema: Inverzna funkcija Skupno število ur: 3 Na temo: lekcija št. 2 Cilj lekcije: Izobraževalni: utrditi definicijo inverzne funkcije; utrdi znanje o lastnostih reverzibilnosti funkcije in se nauči poiskati funkcijo inverzno na dano; Razvijanje: razvijati sposobnosti samokontrole, predmetni govor; lastne metode iskanja inverzne funkcije; Izobraževalni: oblikovati komunikacijsko kompetenco; Organizirati problemsko iskalno delo študentov Cilji lekcije: 1. Seznaniti študente z reverzibilnimi funkcijami in njihovimi grafi. 2. Obogatiti izkušnje študentov pri pridobivanju novih znanj na podlagi obstoječega teoretičnega znanja, pa tudi z uporabo znanih praktičnih situacij. Pričakovani rezultati: Po študiju te teme naj bi študenti znali: Definicija reverzibilne funkcije; risanje reverzibilne funkcije; primeri funkcij iz življenja; metode primerjanja, posploševanja. Po študiju te teme bi morali biti študentje sposobni: - samostojno obnoviti in sistematizirati svoje znanje; - zgraditi grafe reverzibilnih funkcij; - znati sklepati. Tehnična podpora lekcije: učbenik "Algebra in začetek analize. 10. razred (osnovna raven) »A.G. Mordkovič. Tabele numeričnih funkcij. Računalnik, projektor, platno. Dodatna metodološka in didaktična podpora za pouk: Metodološki vodnik za učitelje "Učni načrti za učbenik Algebra in začetek analize 10-11 razreda", A.G. Mordkovich, Volgograd 2013 Internetni viri https:// 1september.ru Vsebina lekcije: 1. Organizacijski trenutek 2. Preverjanje domače naloge 3. Utrditev preučenega gradiva 4. Preizkusno delo 5. Povzetek lekcije 6. Določanje domače naloge 1. Organizacijski trenutek. Učitelj učencem pove temo, namen pouka in sredstva za njegovo dosego. 2. Preverjanje domače naloge 1) Rešimo naloge, ki so nam povzročale težave pri tabli 2) Frontalni pregled teoretičnega dela teme Vprašanja: 1. Katero funkcijo imenujemo reverzibilna? 2. Ali je katera koli funkcija reverzibilna? 3. Katero funkcijo imenujemo inverzna dana? 4. Kako sta povezana domena definicije in množica vrednosti funkcije in njene inverzne funkcije? 5. Če je funkcija podana analitično, kako definirate inverzno funkcijo s formulo? 6. Če je funkcija podana grafično, kako narisati njeno inverzno funkcijo? 3. Utrjevanje preučenega gradiva 1) Delo na končani risbi (ponovitev lastnosti numerične funkcije). Graf funkcije je prikazan na interaktivni tabli za učence. Učitelj oblikuje nalogo - razmisliti o grafu funkcije in našteti preučene lastnosti funkcije. Učenci naštejejo lastnosti funkcije glede na načrt raziskave. Učenec desno od grafa funkcije zapiše imenovane lastnosti s flomastrom na interaktivno tablo. Lastnosti funkcije: 1. D(f) = [-4;),E(y) = na in na [-1;0] 6. ymax- ne obstaja ymin=0 pri x=0 7. xmax= - 1 ,ymax = 2 xmin = -2, ymin = 1 xmin = 0, ymin = 0 8. Konveksno navzdol za , konveksno navzgor za . 2) Razmislite o funkciji, poiščite njen inverz. (Delo za tablo, zapis v zvezek). Glede na funkcijo y=x2,x∈)