Um objeto extremamente importante da teoria da probabilidade é a soma de variáveis aleatórias independentes. É o estudo da distribuição de somas de variáveis aleatórias independentes que lançou as bases para o desenvolvimento de métodos analíticos da teoria da probabilidade.
Distribuição da soma das variáveis aleatórias independentes
Nesta seção, obteremos uma fórmula geral que nos permite calcular a função de distribuição da soma de variáveis aleatórias independentes e considerar vários exemplos.
Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias independentes. Fórmula de Convolução
variáveis aleatórias independentes com funções de distribuição
respectivamente
Então a função de distribuição F somas de variáveis aleatórias
pode ser calculado usando a seguinte fórmula ( fórmula de convolução)
Para provar isso, usamos o teorema de Fubini.
A segunda parte da fórmula é provada de forma similar.
Densidade de distribuição da soma de duas variáveis aleatórias independentes
Se as distribuições de ambas as variáveis aleatórias tiverem densidades, então a densidade da soma dessas variáveis aleatórias pode ser calculada pela fórmula
Se a distribuição de uma variável aleatória (ou ) tiver uma densidade, então a densidade da soma dessas variáveis aleatórias pode ser calculada pela fórmula
Para provar essas afirmações, basta usar a definição de densidade.
Múltiplas circunvoluções
O cálculo da soma de um número finito de variáveis aleatórias independentes é realizado usando a aplicação sequencial da fórmula de convolução. Função de distribuição de soma k variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas com uma função de distribuição F
chamado k–convolução dobrada da função de distribuição F e denotado
Exemplos de cálculo da distribuição de somas de variáveis aleatórias independentes
Neste parágrafo, são dados exemplos de situações, ao somar variáveis aleatórias, a forma da distribuição é preservada. As provas são exercícios de soma e cálculo de integrais.
Somas de variáveis aleatórias independentes. Distribuição normal
Somas de variáveis aleatórias independentes. Distribuição binomial
Somas de variáveis aleatórias independentes. Distribuição de Poisson
Somas de variáveis aleatórias independentes. Distribuição gama
processo de Poisson
uma sequência de variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas tendo uma distribuição exponencial com parâmetro
Sequência aleatória de pontos
no semi-eixo não negativo é chamado Processo de Poisson (ponto).
Vamos calcular a distribuição do número de pontos
Processo de Poisson no intervalo (0,t)
equivalentes, então
Mas a distribuição da variável aleatória
é uma distribuição Erlang de ordem k, então
Assim, a distribuição do número de pontos do processo de Poisson no intervalo (o,t) é uma distribuição de Poisson com o parâmetro
O processo de Poisson é utilizado para simular os momentos de ocorrência de eventos aleatórios - o processo de decaimento radioativo, os momentos de ligações para a central telefônica, os momentos de aparecimento de clientes no sistema de atendimento, os momentos de falha de equipamentos.
Na prática, muitas vezes torna-se necessário encontrar a lei de distribuição para a soma de variáveis aleatórias.
Que haja um sistema (X b X 2) dois s contínuos. dentro. e a soma deles
Vamos encontrar a densidade de distribuição c. dentro. U. De acordo com a solução geral do parágrafo anterior, encontramos a região do plano onde x + x 2 (Fig. 9.4.1):
Diferenciando esta expressão em relação a y, obtemos um ap. variável aleatória Y \u003d X + X 2:
Como a função φ (x b x 2) = Xj + x 2 é simétrica em relação aos seus argumentos, então
Se com. dentro. x e x 2 são independentes, então as fórmulas (9.4.2) e (9.4.3) assumem a forma:
No caso de independente c. dentro. x x e X 2, falar sobre a composição das leis de distribuição. Produzir composição duas leis de distribuição - isso significa encontrar a lei de distribuição para a soma de dois independentes c. c., distribuído de acordo com essas leis. A notação simbólica é usada para designar a composição das leis de distribuição
que é essencialmente denotado pelas fórmulas (9.4.4) ou (9.4.5).
Exemplo 1. O trabalho de dois dispositivos técnicos (TD) é considerado. Primeiro, a TU funciona após sua falha (falha) ser incluída na operação da TU 2. Tempo de atividade TU TU TU 2 - x x e x 2 - são independentes e distribuídos de acordo com leis exponenciais com parâmetros A,1 e X 2 . Portanto, o tempo Y operação sem problemas da TU, consistindo em TU! e TU 2 será determinado pela fórmula
É necessário encontrar um p.r. variável aleatória Y, ou seja, a composição de duas leis exponenciais com parâmetros e X 2 .
Solução. Pela fórmula (9.4.4) obtemos (y > 0)
Se houver uma composição de duas leis exponenciais com os mesmos parâmetros (?c = x 2 = Y), então na expressão (9.4.8) obtém-se uma incerteza do tipo 0/0, expandindo a qual, obtemos:
Comparando esta expressão com a expressão (6.4.8), estamos convencidos de que a composição de duas leis exponenciais idênticas (?c = x 2 = x)é a lei de Erlang de segunda ordem (9.4.9). Ao compor duas leis exponenciais com parâmetros diferentes x x e A-2 obter lei Erlang generalizada de segunda ordem (9.4.8). ?
Problema 1. A lei de distribuição da diferença de dois s. dentro. Sistema com. dentro. (X e X 2) tem uma junta r.p./(x x x 2). Encontre um pr. suas diferenças Y=X - X 2 .
Solução. Para o sistema com dentro. (X b - X 2) etc. será / (x b - x 2), ou seja, substituímos a diferença pela soma. Portanto, a.r. variável aleatória U terá a forma (ver (9.4.2), (9.4.3)):
Se um Com. dentro. X x iX 2 independente, então
Exemplo 2. Encontre um f.r. a diferença de dois s independentes distribuídos exponencialmente. dentro. com parâmetros x x e X 2 .
Solução. De acordo com a fórmula (9.4.11) obtemos
Arroz. 9.4.2 Arroz. 9.4.3
A Figura 9.4.2 mostra uma p. g(y). Se considerarmos a diferença de dois s independentes distribuídos exponencialmente. dentro. com as mesmas configurações (A-i= x 2 = MAS,), então g(y) \u003d / 2 - já familiar
Lei de Laplace (Fig. 9.4.3). ?
Exemplo 3. Encontre a lei de distribuição para a soma de dois independentes c. dentro. x e X 2, distribuído de acordo com a lei de Poisson com parâmetros um x e um 2 .
Solução. Encontrar a probabilidade de um evento (X x + x 2 = t) (t = 0, 1,
Portanto, S. dentro. Y = X x + x 2 distribuído de acordo com a lei de Poisson com o parâmetro a x2) - a x + a 2. ?
Exemplo 4. Encontre a lei de distribuição para a soma de dois independentes c. dentro. x x e X 2, distribuído de acordo com leis binomiais com parâmetros p x ri p 2 , p respectivamente.
Solução. Imagina com. dentro. x x Como:
Onde X 1) - indicador de evento MAS wu "th experiência:
Faixa de distribuição com. dentro. X,- tem a forma
Faremos uma representação similar para s. dentro. X 2: onde X] 2) - indicador de evento MAS na y"-ésima experiência:
Consequentemente,
onde está X? 1)+(2) se o indicador de evento MAS:
Assim, mostramos que dentro. valor do sogro (u + n 2) indicadores de evento MAS, de onde se segue que s. dentro. ^distribuído de acordo com a lei binomial com parâmetros ( n x + n 2), pág.
Note que se as probabilidades R em diferentes séries de experimentos são diferentes, então como resultado da adição de dois s independentes. c., distribuído de acordo com as leis binomiais, resulta c. c., distribuído não de acordo com a lei binomial. ?
Os exemplos 3 e 4 são facilmente generalizáveis para um número arbitrário de termos. Ao compor as leis de Poisson com parâmetros a b a 2 , ..., no A lei de Poisson é novamente obtida com o parâmetro a (t) \u003d a x + a 2 + ... + e T.
Ao compor leis binomiais com parâmetros (n r); (eu 2 , R) , (n t, p) novamente obtemos a lei binomial com parâmetros (“(“), R), Onde n (t) \u003d u + n 2 + ... + etc.
Provamos propriedades importantes da lei de Poisson e da lei binomial: a "propriedade da estabilidade". A lei de distribuição é chamada sustentável, se da composição de duas leis do mesmo tipo resultar uma lei do mesmo tipo (diferem apenas os parâmetros desta lei). Na Subseção 9.7 mostraremos que a lei normal tem a mesma propriedade de estabilidade.
Vamos usar o método geral acima para resolver um problema, ou seja, encontrar a lei de distribuição para a soma de duas variáveis aleatórias. Existe um sistema de duas variáveis aleatórias (X,Y) com densidade de distribuição f(x,y). Considere a soma das variáveis aleatórias X e Y: e encontre a lei de distribuição do valor Z. Para fazer isso, construímos uma linha no plano xOy, cuja equação é (Fig. 7). Esta é uma linha reta que corta segmentos iguais a z nos eixos. A linha reta divide o plano xy em duas partes; à direita e acima dela; esquerda e abaixo.
A região D, neste caso, é a parte inferior esquerda do plano xOy, sombreada na Fig. 7. Pela fórmula (16) temos:
Diferenciando esta expressão em relação à variável z incluída no limite superior da integral interna, obtemos:
Esta é a fórmula geral para a densidade de distribuição da soma de duas variáveis aleatórias.
Por questões de simetria do problema em relação a X e Y, podemos escrever outra versão da mesma fórmula:
que é equivalente ao primeiro e pode ser usado em seu lugar.
Um exemplo da composição das leis normais. Considere duas variáveis aleatórias independentes X e Y, sujeitas a leis normais:
É necessário produzir uma composição dessas leis, ou seja, encontrar a lei de distribuição da quantidade: .
Aplicamos a fórmula geral para a composição das leis de distribuição:
Se abrirmos os colchetes no expoente do integrando e trouxermos termos semelhantes, obtemos:
Substituindo essas expressões na fórmula que já encontramos
após as transformações obtemos:
e isso nada mais é do que uma lei normal com um centro de dispersão
e desvio padrão
A mesma conclusão pode ser alcançada muito mais facilmente com a ajuda do seguinte raciocínio qualitativo.
Sem abrir os colchetes e sem fazer transformações no integrando (17), chegamos imediatamente à conclusão de que o expoente é um trinômio quadrado em relação a x da forma
onde o valor de z não está incluído no coeficiente A, o coeficiente B está incluído no primeiro grau e o coeficiente C é elevado ao quadrado. Com isso em mente e aplicando a fórmula (18), concluímos que g(z) é uma função exponencial cujo expoente é um trinômio quadrado em relação a z, e a densidade da distribuição; deste tipo corresponde à lei normal. Assim, nós; chegamos a uma conclusão puramente qualitativa: a lei de distribuição de z deve ser normal. Para encontrar os parâmetros desta lei - e - usamos o teorema da adição de esperanças matemáticas e o teorema da adição de variâncias. Pelo teorema da adição das expectativas matemáticas. Pelo teorema da adição de dispersão, ou de onde segue a fórmula (20).
Passando dos desvios quadráticos médios aos desvios prováveis proporcionais a eles, teremos: .
Assim, chegamos à seguinte regra: quando as leis normais são compostas, uma lei normal é novamente obtida e as expectativas matemáticas e as variâncias (ou desvios prováveis ao quadrado) são somadas.
A regra de composição para leis normais pode ser generalizada para o caso de um número arbitrário de variáveis aleatórias independentes.
Se houver n variáveis aleatórias independentes: sujeitas às leis normais com centros de dispersão e desvios padrão, então o valor também está sujeito à lei normal com parâmetros
Em vez da fórmula (22), uma fórmula equivalente pode ser usada:
Se o sistema de variáveis aleatórias (X, Y) é distribuído de acordo com a lei normal, mas as quantidades X, Y são dependentes, então é fácil provar, como antes, com base na fórmula geral (6.3.1), que a lei de distribuição da quantidade também é uma lei normal. Centros de dispersão ainda são adicionados algebricamente, mas para desvios padrão a regra se torna mais complicada: , onde, r é o coeficiente de correlação dos valores de X e Y.
Ao adicionar várias variáveis aleatórias dependentes, que em sua totalidade obedecem à lei normal, a lei de distribuição da soma também acaba sendo normal com parâmetros
ou prováveis desvios
onde é o coeficiente de correlação das quantidades X i , X j , e a soma se estende a todas as diferentes combinações de quantidades em pares.
Vimos uma propriedade muito importante da lei normal: quando as leis normais são combinadas, obtém-se novamente uma lei normal. Esta é a chamada "propriedade de estabilidade". Uma lei de distribuição é dita estável se, ao compor duas leis desse tipo, obtém-se novamente uma lei do mesmo tipo. Mostramos acima que a lei normal é estável. Muito poucas leis de distribuição têm a propriedade de estabilidade. A lei da densidade uniforme é instável: ao compor duas leis da densidade uniforme nas seções de 0 a 1, obtivemos a lei de Simpson.
A estabilidade de uma lei normal é uma das condições essenciais para sua ampla aplicação na prática. No entanto, a propriedade de estabilidade, além da normal, também é possuída por algumas outras leis de distribuição. Uma característica da lei normal é que, quando um número suficientemente grande de leis de distribuição praticamente arbitrárias é composto, a lei total acaba sendo arbitrariamente próxima da normal, independentemente de quais fossem as leis de distribuição dos termos. Isso pode ser ilustrado, por exemplo, compondo a composição de três leis de densidade uniforme nas seções de 0 a 1. A lei de distribuição resultante g(z) é mostrada na fig. 8. Como pode ser visto no desenho, o gráfico da função g (z) é muito semelhante ao gráfico da lei normal.
Seja um sistema de duas variáveis aleatórias x e Y, cuja distribuição conjunta é conhecida. A tarefa é encontrar a distribuição de uma variável aleatória. Como exemplos de SV Z você pode obter lucro de duas empresas; o número de eleitores que votaram de certa forma em duas seções diferentes; a soma dos pontos dos dois dados.
1. O caso de dois DSVs. Quaisquer que sejam os valores que os CVs discretos assumam (na forma de uma fração decimal finita, com diferentes etapas), a situação quase sempre pode ser reduzida ao seguinte caso especial. quantidades x e Y só pode assumir valores inteiros, ou seja, 
Onde 
. Se inicialmente eram frações decimais, então podem ser transformadas em números inteiros multiplicando por 10 k. E os valores ausentes entre os altos e baixos podem receber probabilidade zero. Deixe a distribuição de probabilidade conjunta ser conhecida. Então, se numerarmos as linhas e colunas da matriz de acordo com as regras: , então a probabilidade da soma é:
Os elementos da matriz são adicionados ao longo de uma das diagonais.
2. O caso de dois NSWs. Deixe a densidade de distribuição conjunta ser conhecida. Então a densidade de distribuição da soma:
Se um x e Y independente, ou seja , então
Exemplo 1 X , Y– SW independente e uniformemente distribuído:
Vamos encontrar a densidade de distribuição da variável aleatória.
é obvio que 
,
SO Z pode assumir valores no intervalo ( c+d; a+b), mas não para todos x. fora deste intervalo. No plano coordenado ( x, z) o intervalo de valores possíveis da quantidade zé um paralelogramo com lados x=Com; x=uma; z=x+d; z=x+b. Na fórmula para os limites de integração será c e uma. No entanto, devido ao fato de que na substituição y=z-x, para alguns valores z função . Por exemplo, se c 
para todos x e z. Faremos isso para o caso especial em que a+d< b+c
. Vamos considerar três diferentes regiões de mudança na quantidade z e para cada um deles encontramos .
1) c+d ≤ z ≤ a+d. Então 
2) a+d ≤ z ≤ b+c. Então 
3) b+c ≤ z ≤ a+b. Então 
Essa distribuição é chamada de lei de Simpson. As Figuras 8, 9 mostram gráficos de densidade de distribuição de SW em Com=0, d=0.
TEMA 3 |
||
conceito de função de distribuição |
||
esperança matemática e variância |
||
distribuição uniforme (retangular) |
||
distribuição normal (Gaussiana) |
||
Distribuição |
||
t- Distribuição do aluno |
||
F- distribuição |
||
distribuição da soma de duas variáveis independentes aleatórias |
||
exemplo: distribuição da soma de dois quantidades uniformemente distribuídas |
||
transformação de variável aleatória |
||
exemplo: distribuição de uma onda harmônica com fase aleatória |
||
Teorema do limite central |
||
momentos de uma variável aleatória e suas propriedades |
||
FINALIDADE DO CICLO PALESTRAS: | RELATÓRIO INFORMAÇÕES INICIAIS SOBRE AS FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO MAIS IMPORTANTES E SUAS PROPRIEDADES |
|
FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO
Deixar x(k)é alguma variável aleatória. Então, para qualquer valor fixo x um evento aleatório x(k) 
x definida como o conjunto de todos os resultados possíveis k de tal modo que x(k) x. Em termos da medida de probabilidade original dada no espaço amostral, função de distribuiçãoP(x) definida como a probabilidade atribuída a um conjunto de pontos k x(k) x. Note que o conjunto de pontos k satisfazendo a desigualdade x(k) x, é um subconjunto do conjunto de pontos que satisfazem a desigualdade x(k)
.
Formalmente
é obvio que
Se o intervalo de valores da variável aleatória for contínuo, o que é assumido abaixo, então densidade de probabilidade(unidimensional) p(x)é determinado pela relação diferencial
(4)
Consequentemente,
(6)
Para poder considerar casos discretos, é necessário admitir a presença de funções delta na composição da densidade de probabilidade.
VALOR ESPERADO
Deixe a variável aleatória x(k) assume valores do intervalo de - a + . Significa(por outro lado, valor esperado ou valor esperado) x(k)é calculado usando a correspondente passagem ao limite na soma dos produtos dos valores x(k) sobre a probabilidade desses eventos ocorrerem:
(8)
Onde E- expectativa matemática da expressão entre colchetes por índice k. A expectativa matemática de uma função contínua real de valor único é definida de forma semelhante g(x) de uma variável aleatória x(k)
(9)
Onde p(x)- densidade de probabilidade de uma variável aleatória x(k). Em particular, tomando g(x)=x, Nós temos quadrado médio x(k) :
(10)
Dispersãox(k) definido como o quadrado médio da diferença x(k) e seu valor médio,
ou seja, neste caso g(x)= 
e
Por definição, desvio padrão variável aleatória x(k), denotado , é o valor positivo da raiz quadrada da variância. O desvio padrão é medido nas mesmas unidades que a média.
FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO MAIS IMPORTANTES
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME (RETANGULAR).
Suponhamos que o experimento consiste na seleção aleatória de um ponto do intervalo [ a, b] , incluindo seus pontos de extremidade. Neste exemplo, como o valor de uma variável aleatória x(k) você pode pegar o valor numérico do ponto selecionado. A função de distribuição correspondente tem a forma
Portanto, a densidade de probabilidade é dada pela fórmula
Neste exemplo, o cálculo da média e variância usando as fórmulas (9) e (11) dá
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSSIANO)
, - média aritmética, - RMS.
O valor de z correspondente à probabilidade P(z)=1-, ou seja,
CHI - DISTRIBUIÇÃO QUADRADA
Deixar 
- n variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição normal com média zero e variância unitária.
Variável aleatória qui-quadrada com n graus de liberdade.
densidade de probabilidade .
DF: 100 - pontos percentuais - as distribuições são indicadas por , ou seja,
média e variância são iguais
t - DISTRIBUIÇÕES ALUNOS
y, z são variáveis aleatórias independentes; y - tem - distribuição, z - normalmente distribuído com média zero e variância unitária.
valor - tem t- Distribuição de Student com n graus de liberdade
DF: 100 - ponto percentual t - a distribuição é indicada
Média e variância são iguais
F - DISTRIBUIÇÃO
Variáveis aleatórias independentes; has - distribuição com graus de liberdade; distribuição com graus de liberdade. Valor aleatório:
,
F é uma variável aleatória distribuída com e graus de liberdade.
,
DF: 100 - ponto percentual:
A média e a variância são iguais:
DISTRIBUIÇÃO DO VALOR
DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Deixar x(k) e y(k) são variáveis aleatórias com uma densidade de probabilidade conjunta p(x,y). Encontre a densidade de probabilidade da soma de variáveis aleatórias
Em um fixo x temos y=z–x.É por isso
Em um fixo z valores x execute o intervalo de – a +. É por isso
(37)
de onde pode ser visto que, para calcular a densidade desejada da soma, deve-se conhecer a densidade de probabilidade conjunta original. Se um x(k) e y(k) são variáveis aleatórias independentes com densidades e, respectivamente, então e
(38)
EXEMPLO: A SOMA DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES E UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS.
Sejam duas variáveis independentes aleatórias com densidades da forma
Em outros casos 
Vamos encontrar a densidade de probabilidade p(z) de sua soma z= x+ y.
Densidade de probabilidade 
por 
ou seja, para 
Consequentemente, x Menor que z. Além disso, não é igual a zero para Pela fórmula (38), descobrimos que
Ilustração:
A densidade de probabilidade da soma de duas variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas.
CONVERSÃO ALEATÓRIA
VALORES
Deixar x(t)- variável aleatória com densidade de probabilidade p(x), deixa para lá g(x)é uma função contínua real de valor único de x. Considere primeiro o caso em que a função inversa x(g) também é uma função contínua de valor único de g. Densidade de probabilidade p(g), correspondente a uma variável aleatória g(x(k)) = g(k), pode ser determinado a partir da densidade de probabilidade p(x) variável aleatória x(k) e derivado dg/dx sob a hipótese de que a derivada existe e é diferente de zero, a saber:
(12)
Portanto, no limite dg/dx#0
(13)
Usando esta fórmula, segue em seu lado direito em vez de uma variável x substitua o valor apropriado g.
Considere agora o caso em que a função inversa x(g)é válido n função valorada de g, Onde né um número inteiro e todos os n valores são igualmente prováveis. Então
(14)
EXEMPLO:
DISTRIBUIÇÃO DA FUNÇÃO HARMÔNICA.
Função harmônica com amplitude fixa x e frequência f será uma variável aleatória se seu ângulo de fase inicial = (k)- valor aleatório. Em particular, deixe t fixo e igual t o, e deixe a variável aleatória harmônica ter a forma
Vamos fingir que (k) tem uma densidade de probabilidade uniforme p( ) Gentil
Encontre a densidade de probabilidade p(x) variável aleatória x(k).
Neste exemplo, a função direta x( ) inequivocamente, e a função inversa (x) ambíguo.
