Série trigonométrica de Fourier. Legenda: série trigonométrica de Fourier Convergência da série de Fourier em um ponto

Por cossenos e senos de múltiplos arcos, ou seja, uma série da forma

ou na forma complexa

Onde um k,b k ou, respectivamente, c k chamado coeficientes de T. r.
Pela primeira vez T. r. encontrar em L. Euler (L. Euler, 1744). ele tem expansões

Tudo está. século 18 Em conexão com o estudo do problema da vibração livre de uma corda, surgiu a questão da possibilidade de representar a função que caracteriza a posição inicial da corda como uma soma de T. r. Esta questão causou um debate acalorado que durou várias décadas, os melhores analistas da época - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler). Controvérsias relacionadas com o conteúdo do conceito de função. Naquela época, as funções geralmente eram associadas às suas análises. atribuição, o que levou à consideração de funções analíticas apenas analíticas ou por partes. E aqui tornou-se necessário para uma função cujo gráfico é suficientemente arbitrário construir um T. r. representando esta função. Mas o significado dessas disputas é maior. Na verdade, eles discutiram ou surgiram em conexão com questões relacionadas a muitos conceitos e ideias matemáticas fundamentalmente importantes. análise em geral - a representação de funções por séries de Taylor e analíticas. continuação de funções, uso de séries divergentes, limites, sistemas infinitos de equações, funções por polinômios, etc.
E no futuro, como neste inicial, a teoria de T. r. serviu como uma fonte de novas idéias em matemática. Integral de Fourier, funções quase periódicas, séries ortogonais gerais, resumo. Pesquisas em T. rio. serviu como ponto de partida para a criação da teoria dos conjuntos. T.r. são uma ferramenta poderosa para representar e explorar recursos.
A questão que gerou polêmica entre os matemáticos do século 18 foi resolvida em 1807 por J. Fourier, que indicou fórmulas para calcular os coeficientes de T. r. (1), que deve. representam na função f(x):

e aplicá-los na resolução de problemas de condução de calor. As fórmulas (2) são chamadas de fórmulas de Fourier, embora tenham sido encontradas anteriormente por A. Clairaut (1754), e L. Euler (1777) chegou a elas usando a integração termo a termo. T.r. (1), cujos coeficientes são determinados pelas fórmulas (2), chamadas. perto da função de Fourier f, e os números a k, b k- Coeficientes de Fourier.
A natureza dos resultados obtidos depende de como a representação de uma função é entendida como uma série, como é entendida a integral nas fórmulas (2). Teoria moderna de T. rio. adquirida após o aparecimento da integral de Lebesgue.
A teoria de T. r. pode ser condicionalmente dividida em duas grandes seções - a teoria Séries de Fourier, em que se assume que a série (1) é a série de Fourier de uma certa função, e a teoria da T. R. geral, onde tal suposição não é feita. Abaixo estão os principais resultados obtidos na teoria do T. r geral. (neste caso, os conjuntos e a mensurabilidade das funções são entendidos segundo Lebesgue).
A primeira sistemática pesquisa T. r., na qual não se assumiu que essas séries são séries de Fourier, foi a dissertação de V. Riemann (V. Riemann, 1853). Portanto, a teoria do T. r geral. chamado às vezes a teoria riemanniana da termodinâmica.
Para estudar as propriedades de T. r. arbitrário. (1) com coeficientes tendendo a zero B. Riemann considerou a função contínua F(x) , que é a soma de uma série uniformemente convergente

obtido após integração termo a termo da série (1) duas vezes. Se a série (1) converge em algum ponto x para um número s, então neste ponto existe o segundo simétrico e é igual a s. Funções F:

então isso leva ao somatório da série (1) gerada pelos fatores chamado pelo método da soma de Riemann. Utilizando a função F, formula-se o princípio de localização de Riemann, segundo o qual o comportamento da série (1) no ponto x depende apenas do comportamento da função F em uma vizinhança arbitrariamente pequena deste ponto.
Se T.r. converge para um conjunto de medidas positivas, então seus coeficientes tendem a zero (Cantor-Lebesgue). Tendência a zero coeficientes T. r. também decorre de sua convergência em um conjunto da segunda categoria (W. Young, W. Young, 1909).
Um dos problemas centrais da teoria da termodinâmica geral é o problema de representar uma função arbitrária T. r. Reforçando os resultados de N. N. Luzin (1915) sobre a representação de funções T. R. pelos métodos de soma de Abel-Poisson e Riemann, D. E. Men'shov provou (1940) o seguinte teorema, que se refere ao caso mais importante quando a representação da função f é entendido como T. r. para f(x) em quase todos os lugares. Para toda função f mensurável e finita em quase todos os lugares, existe um T. R. que converge para ela em quase todos os lugares (teorema de Men'shov). Deve-se notar que mesmo que f seja integrável, então, de um modo geral, não se pode tomar a série de Fourier da função f como tal, pois existem séries de Fourier que divergem em todos os lugares.
O teorema de Men'shov acima admite o seguinte refinamento: se uma função f é mensurável e finita em quase toda parte, então existe tal que quase em toda parte e a série de Fourier diferenciada termo a termo da função j converge para f(x) em quase toda parte (N. K. Bari, 1952).
Não se sabe (1984) se é possível omitir a condição de finitude para a função f em quase todo o teorema de Men'shov. Em particular, não se sabe (1984) se T. r. convergem em quase todos os lugares
Portanto, o problema de representar funções que podem assumir valores infinitos em um conjunto de medida positiva foi considerado para o caso em que é substituído pelo requisito mais fraco - . A convergência em medida para funções que podem assumir valores infinitos é definida da seguinte forma: somas parciais de T. p. s n(x) converge em medida para a função f(x) . se onde f n(x) convergem para / (x) em quase todos os lugares, e a sequência converge para zero na medida. Nesse cenário, o problema da representação de funções foi resolvido até o fim: para toda função mensurável, existe um T. R. que converge para ela em medida (D. E. Men'shov, 1948).
Muita pesquisa tem sido dedicada ao problema da unicidade de T. r.: dois T. diferentes podem divergir para a mesma função? em uma formulação diferente: se T. r. converge para zero, segue-se que todos os coeficientes da série são iguais a zero. Aqui pode-se significar convergência em todos os pontos ou em todos os pontos fora de um determinado conjunto. A resposta a estas perguntas depende essencialmente das propriedades do conjunto fora do qual a convergência não é assumida.
A seguinte terminologia foi estabelecida. Muitos nomes. conjunto de exclusividade ou VOCÊ- definir se, a partir da convergência de T. r. a zero em todos os lugares, exceto, talvez, para pontos do conjunto E, segue-se que todos os coeficientes desta série são iguais a zero. Caso contrário Enaz. Conjunto M.
Como G. Cantor (1872) mostrou, assim como qualquer finito são U-conjuntos. Um arbitrário também é um U-conjunto (W. Jung, 1909). Por outro lado, todo conjunto de medida positiva é um conjunto M.
A existência de M-conjuntos de medida foi estabelecida por D. E. Men'shov (1916), que construiu o primeiro exemplo de um conjunto perfeito com essas propriedades. Este resultado é de fundamental importância no problema da unicidade. Segue-se da existência de M-conjuntos de medida zero que, na representação de funções de T. R. que convergem em quase toda parte, essas séries são definidas invariavelmente de forma ambígua.
Conjuntos perfeitos também podem ser U-conjuntos (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Características muito sutis de conjuntos de medida zero desempenham um papel essencial no problema da unicidade. A questão geral sobre a classificação de conjuntos de medida zero em M- e U-sets permanece (1984) aberto. Não é resolvido mesmo para conjuntos perfeitos.
O problema a seguir está relacionado ao problema de unicidade. Se T.r. converge para a função então se esta série deve ser a série de Fourier da função /. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) deu uma resposta positiva a esta questão se f é integrável no sentido de Riemann e a série converge para f(x) em todos os pontos. Dos resultados III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) implica que a resposta é positiva mesmo se a série convergir em todos os lugares, exceto para um conjunto contável de pontos e sua soma é finita.
Se um T. p converge absolutamente em algum ponto x 0, então os pontos de convergência desta série, bem como os pontos de sua convergência absoluta, estão localizados simetricamente em relação ao ponto x 0 (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
De acordo com Denjoy - Teorema de Luzin da convergência absoluta de T. r. (1) em um conjunto de medida positiva, a série converge e, conseqüentemente, a convergência absoluta da série (1) para todo X. Essa propriedade também é possuída por conjuntos da segunda categoria, bem como por certos conjuntos de medida zero.
Esta pesquisa cobre apenas unidimensional T. r. (1). Existem resultados separados relacionados ao T. p. geral. de várias variáveis. Aqui, em muitos casos, ainda é necessário encontrar enunciados de problemas naturais.

Aceso.: Bari N. K., Trigonometric series, M., 1961; Sigmund A., série trigonométrica, trans. de English, vol. 1-2, M., 1965; Luzin N. N., Séries integrais e trigonométricas, M.-L., 1951; Riemann B., Works, trad. de German, M.-L., 1948, p. 225-61.
S. A. Telyakovsky.

Enciclopédia matemática. - M.: Enciclopédia Soviética. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Em ciência e tecnologia, muitas vezes é preciso lidar com fenômenos periódicos, ou seja, aqueles que são reproduzidos após um certo período de tempo T chamado de período. A mais simples das funções periódicas (exceto para uma constante) é um valor senoidal: como em(x+ ), oscilação harmônica, onde há uma “frequência” relacionada ao período pela razão: . A partir dessas funções periódicas simples, outras mais complexas podem ser compostas. Obviamente, as grandezas senoidais constituintes devem ser de frequências diferentes, pois a adição de grandezas senoidais de mesma frequência resulta em uma grandeza senoidal de mesma frequência. Se somarmos vários valores da forma

Por exemplo, reproduzimos aqui a soma de três grandezas senoidais: . Considere o gráfico desta função

Este gráfico é significativamente diferente de uma onda senoidal. Isso é ainda mais verdadeiro para a soma de uma série infinita composta por termos desse tipo. Coloquemos a questão: é possível para uma dada função periódica do período T representam como a soma de um conjunto finito ou pelo menos infinito de quantidades senoidais? Acontece que, com relação a uma grande classe de funções, essa questão pode ser respondida afirmativamente, mas somente se incluirmos precisamente toda a sequência infinita de tais termos. Geometricamente, isso significa que o gráfico de uma função periódica é obtido pela sobreposição de uma série de senoides. Se considerarmos cada valor senoidal como um certo movimento oscilatório harmônico, podemos dizer que se trata de uma oscilação complexa caracterizada por uma função ou simplesmente por seus harmônicos (primeiro, segundo, etc.). O processo de decomposição de uma função periódica em harmônicos é chamado análise harmônica.

É importante notar que tais expansões muitas vezes acabam sendo úteis no estudo de funções que são dadas apenas em um certo intervalo finito e não são geradas por nenhum fenômeno oscilatório.

Definição. Uma série trigonométrica é uma série da forma:

Ou (1).

Os números reais são chamados de coeficientes da série trigonométrica. Esta série também pode ser escrita assim:

Se uma série do tipo apresentado acima converge, então sua soma é uma função periódica de período 2p.

Definição. Os coeficientes de Fourier de uma série trigonométrica são chamados: (2)

(3)

(4)

Definição. Perto de Fourier para uma função f(x)é chamada de série trigonométrica cujos coeficientes são os coeficientes de Fourier.

Se a série de Fourier da função f(x) converge para ela em todos os seus pontos de continuidade, então dizemos que a função f(x) expande em uma série de Fourier.

Teorema.(Teorema de Dirichlet) Se uma função tem um período de 2p e é contínua em um segmento ou tem um número finito de pontos de descontinuidade do primeiro tipo, o segmento pode ser dividido em um número finito de segmentos de modo que a função seja monótona dentro de cada deles, então a série de Fourier para a função converge para todos os valores x, e nos pontos de continuidade da função, sua soma S(x)é igual a , e nos pontos de descontinuidade sua soma é igual a , ou seja a média aritmética dos valores limite à esquerda e à direita.

Neste caso, a série de Fourier da função f(x) converge uniformemente em qualquer intervalo que pertença ao intervalo de continuidade da função .

Uma função que satisfaz as condições deste teorema é chamada de suave por partes no intervalo .

Vamos considerar exemplos sobre a expansão de uma função em uma série de Fourier.

Exemplo 1. Expanda a função em uma série de Fourier f(x)=1-x, que tem um período 2p e dado no segmento.

Solução. Vamos plotar esta função

Essa função é contínua no segmento , ou seja, em um segmento com comprimento de período, portanto pode ser expandida em uma série de Fourier que converge para ela em cada ponto desse segmento. Usando a fórmula (2), encontramos o coeficiente desta série: .

Aplicamos a fórmula de integração por partes e encontramos e usando as fórmulas (3) e (4), respectivamente:

Substituindo os coeficientes na fórmula (1), obtemos ou .

Essa igualdade ocorre em todos os pontos, exceto nos pontos e (pontos de colagem dos gráficos). Em cada um desses pontos, a soma da série é igual à média aritmética de seus valores limites à direita e à esquerda, ou seja.

Vamos apresentar um algoritmo para expandir a função em uma série de Fourier.

O procedimento geral para resolver o problema proposto é o seguinte.

Métodos padrão, mas chegou a um beco sem saída com outro exemplo.

Qual é a dificuldade e onde pode haver um obstáculo? Vamos deixar de lado a corda ensaboada, analisar com calma os motivos e conhecer os métodos práticos de solução.

Primeiro e mais importante: na esmagadora maioria dos casos, para estudar a convergência de uma série, é necessário aplicar algum método familiar, mas o termo comum da série é preenchido com um recheio tão complicado que não é nada óbvio o que fazer com ele . E você anda em círculos: o primeiro sinal não funciona, o segundo não funciona, o terceiro, quarto, quinto método não funciona, aí os rascunhos são jogados de lado e tudo começa de novo. Isso geralmente ocorre devido à falta de experiência ou lacunas em outras seções de cálculo. Em particular, se estiver executando limites de sequência e superficialmente desmontado limites de função, então será difícil.

Ou seja, a pessoa simplesmente não vê a solução necessária por falta de conhecimento ou experiência.

Às vezes, o "eclipse" também é o culpado, quando, por exemplo, o critério necessário para a convergência da série simplesmente não é cumprido, mas por desconhecimento, desatenção ou negligência, isso sai de vista. E acontece como naquela bicicleta onde o professor de matemática resolveu um problema infantil com a ajuda de sequências recorrentes selvagens e séries numéricas =)

Nas melhores tradições, exemplos de vida imediata: linhas e seus parentes - divergem, pois em teoria está provado limites de sequência. Provavelmente, no primeiro semestre, você será espancado por uma prova de 1-2-3 páginas, mas agora basta mostrar que a condição necessária para a convergência da série não foi atendida, referindo-se aos fatos conhecidos. Famoso? Se o aluno não sabe que a raiz do enésimo grau é uma coisa extremamente poderosa, então, digamos, a série colocá-lo em uma rotina. Embora a solução seja como dois e dois: , ou seja, por razões óbvias, ambas as séries divergem. Um modesto comentário “esses limites foram comprovados em teoria” (ou mesmo sua ausência) é o suficiente para compensar, afinal, os cálculos são bastante pesados ​​​​e definitivamente não pertencem à seção de séries numéricas.

E depois de estudar os próximos exemplos, você só ficará surpreso com a brevidade e transparência de muitas soluções:

Exemplo 1

Investigar a convergência de uma série

Solução: primeiro de tudo, verifique a execução critério necessário para a convergência. Isso não é uma formalidade, mas uma grande chance de lidar com o exemplo do "pequeno derramamento de sangue".

A "inspeção da cena" sugere uma série divergente (o caso de uma série harmônica generalizada), mas novamente surge a pergunta: como levar em conta o logaritmo no numerador?

Exemplos aproximados de tarefas no final da lição.

Não é incomum quando você tem que realizar um raciocínio de duas vias (ou mesmo de três vias):

Exemplo 6

Investigar a convergência de uma série

Solução: primeiro, lide com cuidado com o jargão do numerador. A sequência é limitada: . Então:

Vamos comparar nossa série com a série . Em virtude da dupla desigualdade que acabamos de obter, para todo "en" será verdadeiro:

Agora vamos comparar a série com a série harmônica divergente.

denominador de fração menos o denominador da fração, então a própria fração – mais frações (escreva os primeiros termos, se não estiver claro). Assim, para qualquer "en":

Assim, por comparação, a série diverge juntamente com a série harmônica.

Se mudarmos um pouco o denominador: , então a primeira parte do raciocínio será semelhante: . Mas para provar a divergência da série, apenas o teste do limite de comparação já é aplicável, pois a desigualdade é falsa.

A situação com séries convergentes é “espelho”, ou seja, por exemplo, para uma série, podem ser usados ​​os dois critérios de comparação (a desigualdade é verdadeira), e para uma série, apenas o critério limite (a desigualdade é falsa).

Continuamos nosso safári pela selva, onde uma manada de antílopes graciosos e suculentos surgiu no horizonte:

Exemplo 7

Investigar a convergência de uma série

Solução: o critério de convergência necessário é satisfeito, e voltamos a fazer a pergunta clássica: o que fazer? Diante de nós está algo semelhante a uma série convergente, no entanto, não há uma regra clara aqui - essas associações costumam ser enganosas.

Muitas vezes, mas não desta vez. usando Limitar critério de comparação Vamos comparar nossa série com a série convergente. Ao calcular o limite, usamos limite maravilhoso , enquanto infinitesimal stands:

converge juntamente com ao lado de .

Em vez de usar a técnica artificial padrão de multiplicação e divisão por um "três", foi possível comparar inicialmente com uma série convergente.
Mas aqui é desejável uma ressalva de que o multiplicador constante do termo geral não afeta a convergência da série. E apenas neste estilo a solução do seguinte exemplo é projetada:

Exemplo 8

Investigar a convergência de uma série

Exemplo no final da lição.

Exemplo 9

Investigar a convergência de uma série

Solução: nos exemplos anteriores, usamos a limitação do seno, mas agora essa propriedade está fora de questão. O denominador de uma fração de um maior ordem de crescimento que o numerador, então quando o argumento do seno e todo o termo comum infinitamente pequeno. A condição necessária para a convergência, como você entende, está satisfeita, o que não nos permite fugir do trabalho.

Faremos o reconhecimento: de acordo com equivalência notável , descarte mentalmente o seno e obtenha uma série. Bem, algo assim….

Tomar uma decisão:

Comparemos a série em estudo com a série divergente. Usamos o critério de comparação limite:

Substituamos o infinitesimal pelo equivalente: pois .

Obtém-se um número finito diferente de zero, o que significa que a série em estudo diverge juntamente com a série harmônica.

Exemplo 10

Investigar a convergência de uma série

Este é um exemplo faça-você-mesmo.

Para planejar ações adicionais em tais exemplos, a rejeição mental do seno, arco-seno, tangente, arco-tangente ajuda muito. Mas lembre-se, essa possibilidade só existe quando infinitesimal argumento, não faz muito tempo, me deparei com uma série provocativa:

Exemplo 11

Investigar a convergência de uma série
.

Solução: é inútil usar a limitação do arco tangente aqui, e a equivalência também não funciona. A saída é surpreendentemente simples:


Série de estudo diverge, pois o critério necessário para a convergência da série não é satisfeito.

A segunda razão"Gag on the job" consiste em uma sofisticação decente do membro comum, o que causa dificuldades de natureza técnica. Grosso modo, se as séries discutidas acima pertencem à categoria de “figuras que você adivinha”, então estas pertencem à categoria de “você decide”. Na verdade, isso é chamado de complexidade no sentido "usual". Nem todos resolverão corretamente vários fatoriais, graus, raízes e outros habitantes da savana. Claro, os fatoriais causam a maioria dos problemas:

Exemplo 12

Investigar a convergência de uma série

Como elevar um fatorial a uma potência? Facilmente. Pela regra das operações com potências, é necessário elevar cada fator do produto a uma potência:

E, claro, atenção e mais uma vez atenção, o próprio sinal d'Alembert funciona tradicionalmente:

Assim, a série em estudo converge.

Relembro uma técnica racional para eliminar a incerteza: quando está claro ordem de crescimento numerador e denominador - não é necessário sofrer e abrir os colchetes.

Exemplo 13

Investigar a convergência de uma série

A besta é muito rara, mas é encontrada, e seria injusto contorná-la com uma lente de câmera.

O que é fatorial de ponto de exclamação duplo? O fatorial "enrola" o produto de números pares positivos:

Da mesma forma, o fatorial “acaba” o produto de números ímpares positivos:

Analise qual é a diferença entre

Exemplo 14

Investigar a convergência de uma série

E nessa tarefa procure não se confundir com os graus, equivalências maravilhosas e limites maravilhosos.

Exemplos de soluções e respostas no final da lição.

Mas o aluno consegue alimentar não apenas tigres - leopardos astutos também rastreiam suas presas:

Exemplo 15

Investigar a convergência de uma série

Solução: o critério necessário de convergência, o critério limite, os critérios d'Alembert e Cauchy desaparecem quase instantaneamente. Mas o pior de tudo é que o recurso com desigualdades, que repetidamente nos resgatou, é impotente. De fato, a comparação com uma série divergente é impossível, pois a desigualdade incorreto - o multiplicador-logaritmo apenas aumenta o denominador, reduzindo a própria fração em relação à fração. E outra questão global: por que inicialmente temos certeza de que nossa série está fadada a divergir e deve ser comparada com algumas séries divergentes? Ele se encaixa em tudo?

Recurso integral? Totalmente inapropriado evoca um estado de espírito triste. Agora, se tivéssemos uma briga … então sim. Pare! Assim nascem as ideias. Tomamos uma decisão em duas etapas:

1) Primeiro, estudamos a convergência da série . Nós usamos característica integral:

integrando contínuo no

Assim, um número diverge junto com a correspondente integral imprópria.

2) Compare nossa série com a série divergente . Usamos o critério de comparação limite:

Obtém-se um número finito diferente de zero, o que significa que a série em estudo diverge junto com lado a lado .

E não há nada de incomum ou criativo em tal decisão - é assim que deve ser decidido!

Proponho elaborar independentemente os seguintes dois movimentos:

Exemplo 16

Investigar a convergência de uma série

Um aluno com alguma experiência na maioria dos casos vê imediatamente se a série converge ou diverge, mas acontece que um predador se disfarça habilmente nos arbustos:

Exemplo 17

Investigar a convergência de uma série

Solução: à primeira vista, não está nada claro como esta série se comporta. E se temos nevoeiro à nossa frente, é lógico começar com uma verificação aproximada da condição necessária para a convergência da série. Para eliminar a incerteza, usamos um insubmersível método de multiplicação e divisão por expressão adjunta:

O sinal de convergência necessário não funcionou, mas trouxe à tona nosso camarada Tambov. Como resultado das transformações realizadas, obteve-se uma série equivalente , que por sua vez se assemelha fortemente a uma série convergente .

Escrevemos uma solução limpa:

Compare esta série com a série convergente. Usamos o critério de comparação limite:

Multiplique e divida pela expressão adjunta:

Obtém-se um número finito diferente de zero, o que significa que a série em estudo converge juntamente com ao lado de .

Talvez alguns tenham uma pergunta: de onde vieram os lobos em nosso safári africano? Não sei. Eles provavelmente trouxeram. Você receberá a seguinte skin de troféu:

Exemplo 18

Investigar a convergência de uma série

Uma solução de exemplo no final da lição

E, finalmente, mais um pensamento que visita muitos estudantes em desespero: em vez de usar um critério mais raro para a convergência da série? Signo de Raabe, signo de Abel, signo de Gauss, signo de Dirichlet e outros animais desconhecidos. A ideia está funcionando, mas em exemplos reais é implementada muito raramente. Pessoalmente, em todos os anos de prática, recorri apenas 2 a 3 vezes a sinal de Raabe quando nada realmente ajudou no arsenal padrão. Reproduzo integralmente o curso de minha busca extrema:

Exemplo 19

Investigar a convergência de uma série

Solução: Sem dúvida um sinal de d'Alembert. Durante os cálculos, uso ativamente as propriedades dos graus, bem como segundo limite maravilhoso:

Aqui está um para você. O sinal de D'Alembert não deu uma resposta, embora nada prenunciasse tal resultado.

Depois de ler o manual, encontrei um limite pouco conhecido comprovado na teoria e apliquei um critério de Cauchy radical mais forte:

Aqui estão dois para você. E, o mais importante, não está nada claro se a série converge ou diverge (uma situação extremamente rara para mim). Sinal necessário de comparação? Sem muita esperança - mesmo que de uma forma impensável eu descubra a ordem de crescimento do numerador e do denominador, isso ainda não garante uma recompensa.

Um d'Alembert completo, mas o pior é que a série precisa ser resolvida. Precisar. Afinal, esta será a primeira vez que eu desisto. E então me lembrei que parecia haver alguns sinais mais poderosos. Diante de mim não havia mais um lobo, nem um leopardo e nem um tigre. Era um enorme elefante agitando uma grande tromba. Eu tive que pegar um lançador de granadas:

sinal de Raabe

Considere uma série de números positivos.
Se houver um limite , então:
a) Em fila diverge. Além disso, o valor resultante pode ser zero ou negativo.
b) Em fila converge. Em particular, a série converge para .
c) Quando O sinal de Raabe não dá uma resposta.

Compomos o limite e simplificamos cuidadosamente a fração:


Sim, a imagem é, para dizer o mínimo, desagradável, mas não fiquei mais surpreso. regras lopitais, e o primeiro pensamento, como se viu mais tarde, acabou sendo correto. Mas primeiro, por cerca de uma hora, torci e virei o limite usando métodos "usuais", mas a incerteza não queria ser eliminada. E andar em círculos, como a experiência sugere, é um sinal típico de que a maneira errada de resolver foi escolhida.

Tive que recorrer à sabedoria popular russa: "Se nada ajudar, leia as instruções." E quando abri o 2º volume de Fichtenholtz, para minha grande alegria encontrei um estudo de uma série idêntica. E então a solução foi de acordo com o modelo.

condição de Hölder. Dizemos que uma função $f(x)$ satisfaz as condições de Hölder em um ponto $x_0$ se existem limites finitos laterais $f(x_0 \pm 0)$ e tais números $\delta > 0$, $\ alpha \in ( 0,1]$ e $c_0 > 0$ tal que $|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq c_0t^( \alpha )$, $|f(x_0-t )-f(x_0-0)|\leq c_0t^(\alpha )$.

Fórmula de Dirichlet. A fórmula de Dirichlet transformada é chamada de fórmula da forma:
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$$ onde $D_n(t)=\frac(1)(2)+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac(\sin(n+\frac(1)(2))t) (2\sin\frac(t)(2)) (2)$ — .

Usando as fórmulas $(1)$ e $(2)$, escrevemos a soma parcial da série de Fourier da seguinte forma:
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t)+f(x_0-t))(2\sin\ frac(t)(2))\sin \left (n+\frac(1)(2) \right) t dt$$
$$\Rightarrow \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0) — \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t) +f(x_0-t))(2\sin\frac(t)(2)) \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t dt = 0 \quad (3)$$

Para $f \equiv \frac(1)(2)$ a fórmula $(3)$ se torna: $$ \lim\limits_(n \to \infty )\frac(1)(\delta)\frac(\ sin (n+\frac(1)(2))t)(2\sin\frac(t)(2))dt=\frac(1)(2), 0

Convergência da série de Fourier em um ponto

Teorema. Seja $f(x)$ uma função $2\pi$-periódica absolutamente integrável em $[-\pi,\pi]$ e satisfaça a condição de Hölder no ponto $x_0$. Então a série de Fourier da função $f(x)$ no ponto $x_0$ converge para o número $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$

Se no ponto $x_0$ a função $f(x)$ é contínua, então neste ponto a soma da série é igual a $f(x_0)$.

Prova

Como a função $f(x)$ satisfaz a condição de Hölder no ponto $x_0$, então para $\alpha > 0$ e $0< t$ $ < \delta$ выполнены неравенства (1), (2).

Para um dado $\delta > 0$, escrevemos as igualdades $(3)$ e $(4)$. Multiplicando $(4)$ por $f(x_0+0)+f(x_0-0)$ e subtraindo o resultado de $(3)$, obtemos $$ \lim\limits_(n \to \infty) (S_n (x_0) - \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) - \\ - \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\delta)\ frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2\sin \frac(t)(2)) \cdot \\ \cdot \ sin \left (n + \frac(1)(2) \right)t \, dt) = 0. \quad (5)$$

Segue da condição de Hölder que a função $$\Phi(t)= \frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2\ sin \frac(t)(2)).$$ é absolutamente integrável em $$. De fato, aplicando a desigualdade de Hölder, obtemos que a seguinte desigualdade vale para a função $\Phi(t)$: $|\Phi(t)| \leq \frac(2c_0t^(\alpha ))(\frac(2)(\pi)t) = \pi c_0t^(\alpha - 1) (6)$, onde $\alpha \in (0,1 ]$.

Em virtude do critério de comparação para integrais impróprias, a desigualdade $(6)$ implica que $\Phi(t)$ é absolutamente integrável em $.$

Pelo lema de Riemann $$\lim\limits_(n \to \infty)\int\limits_(0)^(\delta)\Phi(t)\sin \left (n + \frac(1)(2) \ right )t\cdot dt = 0 .$$

Da fórmula $(5)$ segue-se agora que $$\lim\limits_(n \to \infty)S_n(x_0) = \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) $$

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Consequência 1. Se uma $2\pi$-periódica e absolutamente integrável em $[-\pi,\pi]$ função $f(x)$ tem uma derivada em um ponto $x_0$, então sua série de Fourier converge neste ponto para $f (x_0) $.

Consequência 2. Se uma $2\pi$-periódica e absolutamente integrável em $[-\pi,\pi]$ função $f(x)$ tem ambas as derivadas unilaterais no ponto $x_0$, então sua série de Fourier converge neste ponto para $\frac (f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$

Consequência 3. Se uma função $2\pi$ periódica e absolutamente integrável em $[-\pi,\pi]$ $f(x)$ satisfaz a condição de Hölder nos pontos $-\pi$ e $\pi$, então, devido à periodicidade, a soma da série A transformada de Fourier nos pontos $-\pi$ e $\pi$ é igual a $$\frac(f(\pi-0)+ f(-\pi+0))( 2).$$

sinal dini

Definição. Seja $f(x)$ uma função periódica $2\pi$. O ponto $x_0$ será um ponto regular da função $f(x)$ se

1) existem limites finitos à esquerda e à direita $\lim\limits_(x \to x_0+0 )f(x)= \lim\limits_(x \to x_0-0 )f(x)= f(x_0+0) = f(x_0-0),$

2) $f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$

Teorema. Seja $f(x)$ uma função $2\pi$-periódica absolutamente integrável em $[-\pi,\pi]$ e o ponto $x_0 \in \mathbb(R)$ um ponto regular da função $ f(x)$ . Deixe a função $f(x)$ satisfazer as condições Dini no ponto $x_0$: existem integrais impróprias $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f( x_0+0) |)(t)dt, \\ \int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0-t)-f(x_0-0)|)(t)dt,$$

então a série de Fourier da função $f(x)$ no ponto $x_0$ tem a soma $f(x_0)$, ou seja, $$ \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0)=f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$

Prova

A soma parcial $S_n(x)$ da série de Fourier tem uma representação integral $(1)$. E devido à igualdade $\frac(2)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )D_n(t) \, dt=1,$
$$ f(x_0)= \frac(1)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$$

Então temos $$S_n(x_0)-f(x_0) = \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0) ) D_n(t) \, dt + $$ $$+\frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0-t)-f(x_0-0)) D_n(t)\,dt. \quad(7)$$

Obviamente, o teorema será provado se provarmos que ambas as integrais na fórmula $(7)$ têm limites como $n \to \infty $ igual a $0$. Considere a primeira integral: $$I_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt. $$

A condição de Dini é satisfeita no ponto $x_0$: a integral imprópria $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)(t) \, dt .$$

Portanto, para qualquer $\varepsilon > 0$, existe $\delta \in (0, h)$ tal que $$\int\limits_(0)^(\delta )\frac(\left | f(x_0+ t) -f(x_0+0) \right |)(t)dt

Dado $\varepsilon > 0$ e $\delta > 0$ escolhidos, a integral $I_n(x_0)$ pode ser representada como $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$, onde
$$A_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\delta )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$$ $$B_n(x_0)=\ int\limits_(\delta)^(\pi )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$$

Considere primeiro $A_n(x_0)$. Usando o $\left | D_n(t)\direita |

para todo $t \in (0, \delta)$.

Portanto $$A_n(x_0) \leq \frac(\pi)(2) \int\limits_(0)^(\delta ) \frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)( t)dt

Passemos a estimar a integral $B_n(x_0)$ como $n \to \infty $. Para fazer isso, introduzimos a função $$ \Phi (t)=\left\(\begin(matrix)
\frac(f(x_0+t)-f(x_0+0))(2\sin \frac(t)(2)), 0

$$B_n(x_0)=\int\limits_(-\pi)^(\pi)\Phi (t) \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t\,dt.$$ Obtemos que $\lim\limits_(n \to \infty )B_n(x_0)=0$, o que significa que para um arbitrário $\varepsilon > 0$ escolhido anteriormente, existe $N$ tal que para todo $n> N$ a desigualdade $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)|

Prova-se exatamente da mesma forma que a segunda integral da fórmula $(7)$ tem limite zero como $n \to \infty $.

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Consequência Se uma função periódica $2\pi$ $f(x)$ é diferenciável por partes em $[-\pi,\pi]$, então sua série de Fourier em qualquer ponto $x \in [-\pi,\pi]$ converge para o número $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$

No segmento $[-\pi,\pi]$ encontre a série trigonométrica de Fourier da função $f(x)=\left\(\begin(matrix)
1, x \in (0,\pi),\\ -1, x \in (-\pi,0),
\\ 0, x=0.
\fim(matriz)\direita.$

Investigue a convergência da série resultante.

Estendendo $f(x)$ periodicamente a todo o eixo real, obtemos a função $\widetilde(f)(x)$, cujo gráfico é mostrado na figura.

Como a função $f(x)$ é ímpar, então $$a_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\cos kx dx =0 ; $$

$$b_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx = $$ $$=\frac(2)(\ pi)\int\limits_(0)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx =$$ $$=-\frac(2)(\pi k)(1- \cos k\pi) $$

$$b_(2n)=0, b_(2n+1) = \frac(4)(\pi(2n+1)).$$

Portanto, $\tilde(f)(x)\sim \frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^(\infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1 ).$

Como $(f)"(x)$ existe para $x\neq k \pi$, então $\tilde(f)(x)=\frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^ ( \infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1)$, $x\neq k \pi$, $k \in \mathbb(Z).$

Nos pontos $x=k \pi$, $k \in \mathbb(Z)$, a função $\widetilde(f)(x)$ não está definida, e a soma da série de Fourier é igual a zero.

Definindo $x=\frac(\pi)(2)$, obtemos a igualdade $1 — \frac(1)(3) + \frac(1)(5)- \ldots + \frac((-1)^ n) (2n+1)+ \ldots = \frac(\pi)(4)$.

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Encontre a série de Fourier dos seguintes $2\pi$-periódicos e absolutamente integráveis ​​na função $[-\pi,\pi]$:
$f(x)=-\ln |
\sin \frac(x)(2)|$, $x \neq 2k\pi$, $k \in \mathbb(Z)$, e examine a convergência da série resultante.

Como $(f)"(x)$ existe para $ x \neq 2k \pi$, a série de Fourier da função $f(x)$ convergirá em todos os pontos de $ x \neq 2k \pi$ para o valor da função. Obviamente que $f(x)$ é uma função par e, portanto, sua expansão em série de Fourier deve conter cossenos. \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$= -2 \int\limits_( 0)^(\frac(\pi)(2))\ln \sin \frac(x)(2) dx \,- \, 2\int\limits_(\frac(\pi)(2))^( \pi)\ln \sin \frac(x)(2)dx =$$ $$= -2 \int \limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln \sin \frac( x)(2)dx \, — \, 2\int\limits_(0)^(\frac(\pi )(2))\ln\cos \frac(x)(2)dx=$$ $$= -2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln (\frac (1)(2)\sin x)dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln \ sin x dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_( 0)^(\pi)\ln \sin \frac(t)(2)dt = \pi\ln 2 + \frac(\pi a_0)(2),$$ donde $a_0= \pi \ln 2$ .

Vamos agora encontrar $a_n$ para $n \neq 0$. Temos $$\pi a_n = -2 \int\limits_(0)^(\pi)\cos nx \ln \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$ = \int\limits_(0 ) ^(\pi) \frac(\sin(n+\frac(1)(2))x+\sin (n-\frac(1)(2))x)(2n \sin\frac(x)(2 ) )dx=$$ $$= \frac(1)(2n) \int\limits_(-\pi)^(\pi) \begin(bmatrix)
D_n(x)+D_(n-1)(x)\\ \end(bmatrix)dx.$$

Aqui $D_n(x)$ é o kernel de Dirichlet definido pela fórmula (2) e obtemos que $\pi a_n = \frac(\pi)(n)$ e, consequentemente, $a_n = \frac(1)(n ) $. Então $$-\ln |
\sin \frac(x)(2)| = \ln 2 + \sum_(n=1)^(\infty ) \frac(\cos nx)(n), x \neq 2k\pi, k \in \mathbb(Z).$$

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Literatura

• Lysenko Z.M., notas de aula sobre análise matemática, 2015-2016
• Ter-Krikorov A.M. e Shabunin M.I. Curso de análise matemática, pp. 581-587
• Demidovich B.P., Coleção de tarefas e exercícios em análise matemática, edição 13, revisada, CheRo Publishing House, 1997, pp. 259-267

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1. Tarefa 1 de 5

   1 .

   Número de pontos: 1

   Se uma função $2\pi$ -periódica e absolutamente integrável em $[−\pi,\pi]$ $f(x)$ tem uma derivada no ponto $x_0$, então para onde sua série de Fourier irá convergir neste ponto ?

2. Tarefa 2 de 5

   2 .

   Número de pontos: 1

   Se todas as condições do teste de Dini forem satisfeitas, então para qual número a série de Fourier da função $f$ converge no ponto $x_0$?

Vamos mostrar que quase qualquer função periódica pode ser representada como uma série cujos membros são harmônicos simples, usando as chamadas séries trigonométricas.

Definição. Uma série trigonométrica é uma série funcional da forma

onde estão os números reais uma 0 , um , b n são chamados de coeficientes da série.

O termo livre da série é escrito na forma de uniformidade das fórmulas obtidas posteriormente.

Duas questões precisam ser abordadas:

1) Em que condições a função f(x) com período 2π pode ser expandido em uma série (5.2.1)?

2) Como calcular as probabilidades uma 0 ,… um , b n ?

Vamos começar com a segunda pergunta. Deixe a função f(x)é contínua no intervalo e tem um período T=2π. Apresentamos as fórmulas que precisaremos a seguir.

Para qualquer inteiro , desde que a função seja par.

Para qualquer inteiro.

(m e n números inteiros)

No ( m e n inteiros) cada uma das integrais (III, IV, V) é convertida na soma das integrais (I) ou (II). Se , então na fórmula (IV) obtemos:

A igualdade (V) é provada de forma similar.

Vamos agora supor que a função acabou sendo tal que uma expansão em uma série convergente de Fourier foi encontrada para ela, ou seja,

(Observe que a soma é sobre o índice n).

Se a série converge, então denote sua soma S(x).

Integração termo a termo (legítima devido à hipótese de convergência da série) no intervalo de a dá

já que todos os termos exceto o primeiro são iguais a zero (relações I, II). A partir daqui encontramos

Multiplicando (5.2.2) por ( m=1,2,…) e integrando termo a termo no intervalo de a , encontramos o coeficiente um.

No lado direito da igualdade, todos os termos são iguais a zero, exceto um m=n(relações IV, V), daí obtemos

Multiplicando (5.2.2) por ( m\u003d 1,2, ...) e integrando termo a termo dentro do intervalo de a , encontramos de forma semelhante o coeficiente b n

Valores - determinados pelas fórmulas (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) são chamados de coeficientes de Fourier e a série trigonométrica (5.2.2) é a série de Fourier para uma determinada função f(x).

Então, temos a decomposição da função f(x) em uma série de Fourier

Vamos voltar à primeira pergunta e descobrir quais propriedades a função deve ter f(x), de modo que a série de Fourier construída é convergente, e a soma da série seria exatamente igual a f(x).

Definição. A função f(x) é chamada contínua por partes, se é contínuo ou tem um número finito de pontos de descontinuidade do primeiro tipo.

Definição. Função f(x), dado no segmento é chamado monotônico por partes, se o segmento puder ser dividido por pontos em um número finito de intervalos, em cada um dos quais a função muda monotonamente (aumentando ou diminuindo).

vamos considerar as funções f(x), tendo um período T=2π. Tais funções são chamadas 2π- periódica.

Vamos formular um teorema representando uma condição suficiente para a expansão de uma função em uma série de Fourier.

teorema de dirichlet(aceito sem comprovação) . Se um 2π-função periódica f(x) em um segmento é contínua por partes e monotônica por partes, então a série de Fourier correspondente à função converge neste segmento e neste caso:

1. Nos pontos de continuidade de uma função, a soma da série coincide com a própria função S(x)=f(x);

2. Em todos os pontos x 0 quebra de função f(x) a soma da série é ,

Essa. a média aritmética dos limites da função à esquerda e à direita do ponto x 0 ;

3. Nos pontos (nas extremidades do segmento) a soma da série de Fourier é ,

Essa. a média aritmética dos valores limite da função nas extremidades do segmento, quando o argumento tende para esses pontos de dentro do intervalo.

Nota: se a função f(x) com período 2π é contínua e diferenciável em todo o intervalo e seus valores nas extremidades do intervalo são iguais, ou seja, devido à periodicidade, esta função é contínua em todo o eixo real e para qualquer x a soma de sua série de Fourier é igual a f(x).

Assim, se uma função integrável em um intervalo f(x) satisfaz as condições do teorema de Dirichlet, então a igualdade ocorre no intervalo (expansão em uma série de Fourier):

Os coeficientes são calculados pelas fórmulas (5.2.3) - (5.2.5).

As condições de Dirichlet são satisfeitas pela maioria das funções que ocorrem na matemática e suas aplicações.

As séries de Fourier, como as séries de potência, são usadas para cálculos aproximados de valores de função. Se a expansão da função f(x) em uma série trigonométrica, então você sempre pode usar a igualdade aproximada , substituindo esta função pela soma de vários harmônicos, ou seja, soma parcial (2 n+1) termo da série de Fourier.

As séries trigonométricas são amplamente utilizadas na engenharia elétrica, com sua ajuda resolvem muitos problemas de física matemática.

Expandir em série de Fourier uma função com período 2π, dado no intervalo (-π; π).

Solução. Encontre os coeficientes da série de Fourier:

Temos a expansão da função em uma série de Fourier

Nos pontos de continuidade, a soma da série de Fourier é igual ao valor da função f(x)=S(x), no ponto x=0 S(x)=1/2, em pontos x=π,2π,… S(x)=1/2.