Adicionando os comprimentos dos vetores. II.6

Observação. As ações com vetores executadas no exemplo 2.10 podem ser executadas em um computador pessoal. Para encontrar o produto escalar de vetores no MS Excel, é usada a função SUMPRODUCT(), onde os endereços dos intervalos dos elementos da matriz, cuja soma dos produtos devem ser encontrados, são especificados como argumentos. No MathCAD, o produto escalar de dois vetores é executado usando o correspondente operador da barra de ferramentas Matrix

Exemplo 2.11. Calcule o trabalho realizado pela força, se o ponto de sua aplicação se move retilínea a partir da posição UMA(2;4;6) para posicionar UMA(4;2;7). Em que ângulo para AB força direcionada ?

Solução. Encontramos o vetor deslocamento subtraindo das coordenadas de sua extremidadecoordenadas iniciais

. Pela fórmula (2.28)(unidades de trabalho).

Canto φ entre e encontramos pela fórmula (2.29), ou seja,

6. Três vetores não coplanares, tomados nessa ordem, formamdireita três, se quando visto a partir do final do terceiro vetorvolta mais curta desde o primeiro vetorpara o segundo vetorrealizado no sentido anti-horário edeixei se no sentido horário.

arte vetorial vetor por vetor chamado vetor , satisfazendo as seguintes condições:

– perpendicular aos vetores e ;

- tem comprimento igual a, Onde φ é o ângulo formado pelos vetores e ;

– vetores formam um triplo direito (Fig. 2.15).

Teorema 2.4.Uma condição necessária e suficiente para a colinearidade de dois vetores é a igualdade a zero de seu produto vetorial

Teorema 2.5. Produto vetorial de vetores, dado por suas coordenadas, é igual ao determinante de terceira ordem da forma

(2.32)

Observação. Determinante (2.25) expande de acordo com a propriedade de 7 determinantes

Consequência 1.Uma condição necessária e suficiente para a colinearidade de dois vetores é a proporcionalidade de suas respectivas coordenadas

Consequência 2. Produtos vetoriais de vetores unitários são iguais

Consequência 3.O quadrado vetorial de qualquer vetor é zero

Interpretação geométrica do produto vetorial é que o comprimento do vetor resultante é numericamente igual à área S um paralelogramo construído sobre vetores-fatores como sobre lados reduzidos à mesma origem. De fato, de acordo com a definição, o módulo do produto vetorial de vetores é igual a. Por outro lado, a área de um paralelogramo construído sobre vetores e , também é igual a . Consequentemente,

. (2.33)

Além disso, usando o produto vetorial, você pode determinar o momento de força em relação a um ponto e linear velocidade rotacional.

Deixe no ponto UMA força aplicada deixa para lá O - algum ponto no espaço (Fig. 2.16). Sabe-se do curso de física que momento de força relativo ao ponto Ochamado vetor , que passa pelo pontoOe satisfaz as seguintes condições:

Perpendicular ao plano que passa pelos pontos O, UMA, B;

Seu módulo é numericamente igual ao produto da força e do braço.

- forma um triplo à direita com vetores e.

Portanto, o momento de força relativo ao pontoOé um produto vetorial

. (2.34)

ponto do eixo (Fig. 2.17).

Exemplo 2.12. Encontre a área de um triângulo usando o produto vetorial abc, construído em vetoresreduzidos à mesma origem.

Finalmente, coloquei minhas mãos em um tópico extenso e há muito esperado geometria analítica. Primeiro, um pouco sobre esta seção de matemática superior…. Certamente você agora se lembra do curso de geometria da escola com inúmeros teoremas, suas provas, desenhos, etc. O que esconder, um assunto pouco amado e muitas vezes obscuro para uma proporção significativa de alunos. A geometria analítica, curiosamente, pode parecer mais interessante e acessível. O que significa o adjetivo "analítico"? Duas viradas matemáticas estampadas vêm imediatamente à mente: “método gráfico de solução” e “método analítico de solução”. método gráfico, claro, está associado à construção de gráficos, desenhos. Analítico mesmo método envolve resolução de problemas predominantemente através de operações algébricas. Nesse sentido, o algoritmo para resolver quase todos os problemas de geometria analítica é simples e transparente, muitas vezes basta aplicar com precisão as fórmulas necessárias - e a resposta está pronta! Não, claro, não prescindirá de forma alguma dos desenhos, aliás, para melhor entendimento do material, tentarei trazê-los além da necessidade.

O curso aberto de aulas de geometria não pretende ser exaustivo teórico, é voltado para a resolução de problemas práticos. Incluirei em minhas palestras apenas o que, do meu ponto de vista, for importante em termos práticos. Se você precisar de uma referência mais completa sobre qualquer subseção, recomendo a seguinte literatura bastante acessível:

1) Uma coisa que, sem brincadeira, é familiar a várias gerações: Livro escolar de geometria, Os autores - LS Atanasyan and Company. Este cabide de vestiário escolar já resistiu a 20 (!) reedições, o que, claro, não é o limite.

2) Geometria em 2 volumes. Os autores LS Atanasyan, Bazylev V.T.. Esta é literatura para o ensino superior, você precisará primeiro volume. Tarefas que ocorrem com pouca frequência podem cair fora do meu campo de visão, e o tutorial será de ajuda inestimável.

Ambos os livros são gratuitos para download online. Além disso, você pode usar meu arquivo com soluções prontas, que podem ser encontradas na página Baixar exemplos de matemática superior.

Das ferramentas, ofereço novamente meu próprio desenvolvimento - pacote de software em geometria analítica, o que simplificará muito a vida e economizará muito tempo.

Presume-se que o leitor esteja familiarizado com os conceitos e figuras geométricas básicas: ponto, reta, plano, triângulo, paralelogramo, paralelepípedo, cubo, etc. É aconselhável lembrar alguns teoremas, pelo menos o teorema de Pitágoras, olá repetidores)

E agora vamos considerar sequencialmente: o conceito de vetor, ações com vetores, coordenadas vetoriais. Mais eu recomendo a leitura o artigo mais importante Produto escalar de vetores, assim como Vetor e produto misto de vetores. A tarefa local não será supérflua - divisão do segmento a esse respeito. Com base nas informações acima, você pode equação de uma reta em um plano Com os exemplos mais simples de soluções, o que permitirá aprender a resolver problemas em geometria. Os seguintes artigos também são úteis: Equação de um plano no espaço, Equações de uma linha reta no espaço, Problemas básicos da reta e do plano , outras seções de geometria analítica. Naturalmente, as tarefas padrão serão consideradas ao longo do caminho.

O conceito de um vetor. vetor livre

Primeiro, vamos repetir a definição escolar de um vetor. Vetor chamado dirigido um segmento para o qual seu início e fim são indicados:

Nesse caso, o início do segmento é o ponto , o final do segmento é o ponto . O próprio vetor é denotado por . Direçãoé essencial, se você reorganizar a seta para a outra ponta do segmento, você obtém um vetor, e isso já é vetor completamente diferente. É conveniente identificar o conceito de vetor com o movimento de um corpo físico: você deve admitir que entrar pelas portas de um instituto ou sair pelas portas de um instituto são coisas completamente diferentes.

É conveniente considerar pontos individuais de um plano, o espaço como o chamado vetor zero. Tal vetor tem o mesmo fim e começo.

!!! Observação: Aqui e abaixo, você pode assumir que os vetores estão no mesmo plano ou pode supor que eles estão localizados no espaço - a essência do material apresentado é válida tanto para o plano quanto para o espaço.

Designações: Muitos imediatamente chamaram a atenção para um bastão sem flecha na designação e disseram que também colocaram uma flecha no topo! Isso mesmo, você pode escrever com uma seta: , mas admissível e registro que usarei mais tarde. Por quê? Aparentemente, tal hábito se desenvolveu a partir de considerações práticas, meus atiradores na escola e na universidade revelaram-se muito diversos e desgrenhados. Na literatura educacional, às vezes eles não se preocupam com o cuneiforme, mas destacam as letras em negrito: , implicando assim que se trata de um vetor.

Esse era o estilo, e agora sobre as formas de escrever vetores:

1) Os vetores podem ser escritos com duas letras latinas maiúsculas:
e assim por diante. Enquanto a primeira letra necessariamente denota o ponto inicial do vetor e a segunda letra denota o ponto final do vetor.

2) Os vetores também são escritos em minúsculas letras latinas:
Em particular, nosso vetor pode ser redesignado por brevidade por uma pequena letra latina .

Comprimento ou módulo vetor diferente de zero é chamado de comprimento do segmento. O comprimento do vetor nulo é zero. Logicamente.

O comprimento de um vetor é denotado pelo sinal de módulo: ,

Como encontrar o comprimento de um vetor, aprenderemos (ou repetiremos, para quem como) um pouco mais tarde.

Essa era uma informação elementar sobre o vetor, familiar a todos os alunos. Na geometria analítica, o chamado vetor livre.

Se for bem simples - vetor pode ser desenhado a partir de qualquer ponto:

Costumávamos chamar esses vetores de iguais (a definição de vetores iguais será dada abaixo), mas do ponto de vista puramente matemático, este é o MESMO VETOR ou vetor livre. Por que grátis? Porque no decorrer da resolução de problemas você pode “anexar” um ou outro vetor “escola” a QUALQUER ponto do plano ou espaço que você precisar. Esta é uma propriedade muito legal! Imagine um segmento direcionado de comprimento e direção arbitrários - ele pode ser "clonado" um número infinito de vezes e em qualquer ponto do espaço, de fato, existe EM TODA PARTE. Existe um provérbio do aluno: Cada palestrante em f ** u no vetor. Afinal, não é apenas uma rima espirituosa, tudo está quase correto - um segmento direcionado também pode ser anexado. Mas não se apresse em se alegrar, os próprios alunos sofrem com mais frequência =)

Então, vetor livre- isto é vários segmentos direcionais idênticos. A definição escolar de vetor, dada no início do parágrafo: “Um segmento direcionado é chamado de vetor ...”, implica específico um segmento direcionado retirado de um determinado conjunto, que é anexado a um determinado ponto no plano ou espaço.

Deve-se notar que, do ponto de vista da física, o conceito de vetor livre é geralmente incorreto e o ponto de aplicação é importante. De fato, um golpe direto com a mesma força no nariz ou na testa é suficiente para desenvolver meu exemplo estúpido acarreta consequências diferentes. No entanto, não é grátis vetores também são encontrados no curso de vyshmat (não vá lá :)).

Ações com vetores. Colinearidade de vetores

No curso de geometria escolar, são consideradas várias ações e regras com vetores: adição de acordo com a regra do triângulo, adição de acordo com a regra do paralelogramo, regra da diferença de vetores, multiplicação de um vetor por um número, produto escalar de vetores, etc. Como semente, repetimos duas regras especialmente relevantes para a resolução de problemas de geometria analítica.

Regra da adição de vetores segundo a regra dos triângulos

Considere dois vetores arbitrários diferentes de zero e:

É necessário encontrar a soma desses vetores. Devido ao fato de que todos os vetores são considerados livres, adiamos o vetor de fim vetor:

A soma dos vetores é o vetor . Para uma melhor compreensão da regra, é aconselhável colocar um significado físico nela: deixe algum corpo percorrer o vetor , e depois o vetor . Então a soma dos vetores é o vetor do caminho resultante começando no ponto de partida e terminando no ponto de chegada. Uma regra semelhante é formulada para a soma de qualquer número de vetores. Como se costuma dizer, o corpo pode seguir seu caminho fortemente em ziguezague, ou talvez no piloto automático - ao longo do vetor de soma resultante.

A propósito, se o vetor for adiado de começar vector , então obtemos o equivalente regra do paralelogramo adição de vetores.

Primeiro, sobre a colinearidade dos vetores. Os dois vetores são chamados colinear se estiverem na mesma linha ou em linhas paralelas. Grosso modo, estamos falando de vetores paralelos. Mas em relação a eles, o adjetivo "colinear" é sempre usado.

Imagine dois vetores colineares. Se as setas desses vetores forem direcionadas na mesma direção, esses vetores são chamados co-direcional. Se as setas apontarem em direções diferentes, os vetores serão direção oposta.

Designações: a colinearidade dos vetores é escrita com o ícone de paralelismo usual: , enquanto o detalhamento é possível: (os vetores são codirecionados) ou (os vetores são direcionados de forma oposta).

trabalhar de um vetor diferente de zero por um número é um vetor cujo comprimento é igual a , e os vetores e são co-direcionados em e opostos direcionados a .

A regra para multiplicar um vetor por um número é mais fácil de entender com uma imagem:

Entendemos com mais detalhes:

1 direção. Se o multiplicador for negativo, então o vetor muda de direção ao contrário.

2) Comprimento. Se o fator estiver contido em ou , então o comprimento do vetor diminui. Portanto, o comprimento do vetor é duas vezes menor que o comprimento do vetor. Se o multiplicador de módulo for maior que um, então o comprimento do vetor aumenta em tempo.

3) Observe que todos os vetores são colineares, enquanto um vetor é expresso através de outro, por exemplo, . O contrário também é verdade: se um vetor pode ser expresso em termos de outro, então tais vetores são necessariamente colineares. Nesse caminho: se multiplicarmos um vetor por um número, obtemos colinear(em relação ao original) vetor.

4) Os vetores são codirecionais. Os vetores e também são codirecionais. Qualquer vetor do primeiro grupo é oposto a qualquer vetor do segundo grupo.

Quais vetores são iguais?

Dois vetores são iguais se são codirecionais e têm o mesmo comprimento. Observe que a codireção implica que os vetores são colineares. A definição será imprecisa (redundante) se você disser: "Dois vetores são iguais se forem colineares, co-direcionados e tiverem o mesmo comprimento."

Do ponto de vista do conceito de vetor livre, vetores iguais são o mesmo vetor, o que já foi discutido no parágrafo anterior.

Coordenadas vetoriais no plano e no espaço

O primeiro ponto é considerar vetores em um plano. Desenhe um sistema de coordenadas retangulares cartesianas e separe da origem solteiro vetores e:

vetores e ortogonal. Ortogonal = Perpendicular. Recomendo aos poucos ir se acostumando com os termos: ao invés de paralelismo e perpendicularidade, usamos as palavras respectivamente colinearidade e ortogonalidade.

Designação: a ortogonalidade dos vetores escreve-se com o sinal normal da perpendicular, por exemplo: .

Os vetores considerados são chamados vetores coordenados ou orts. Esses vetores formam base na superfície. Qual é a base, eu acho, é intuitivamente claro para muitos, informações mais detalhadas podem ser encontradas no artigo Linear (não) dependência de vetores. base vetorial.Em palavras simples, a base e a origem das coordenadas definem todo o sistema - esta é uma espécie de fundação sobre a qual ferve uma vida geométrica plena e rica.

Às vezes, a base construída é chamada ortonormal base do plano: "ortho" - porque os vetores coordenados são ortogonais, o adjetivo "normalizado" significa unidade, ou seja, os comprimentos dos vetores de base são iguais a um.

Designação: a base geralmente é escrita entre parênteses, dentro dos quais em ordem estrita vetores de base são listados, por exemplo: . vetores coordenados é proibido trocar de lugar.

Algum vetor plano o único jeito Expresso como:
, Onde - números, que são chamados coordenadas vetoriais nesta base. Mas a própria expressão chamado decomposição vetorialbase .

Jantar servido:

Vamos começar com a primeira letra do alfabeto: . O desenho mostra claramente que ao decompor o vetor em termos de base, são utilizadas as que acabamos de considerar:
1) a regra da multiplicação de um vetor por um número: e ;
2) adição de vetores segundo a regra do triângulo: .

Agora, mentalmente, separe o vetor de qualquer outro ponto no plano. É bastante óbvio que sua corrupção o "seguirá implacavelmente". Aqui está, a liberdade do vetor - o vetor "carrega tudo com você". Esta propriedade, é claro, é verdadeira para qualquer vetor. É engraçado que os próprios vetores de base (livres) não precisam ser separados da origem, um pode ser desenhado, por exemplo, no canto inferior esquerdo e o outro no canto superior direito, e nada mudará com isso! É verdade que você não precisa fazer isso, porque o professor também mostrará originalidade e desenhará um "passe" para você em um local inesperado.

Vetores , ilustram exatamente a regra para multiplicar um vetor por um número, o vetor é co-direcionado com o vetor de base , o vetor é direcionado em oposição ao vetor de base . Para esses vetores, uma das coordenadas é igual a zero, pode-se escrever meticulosamente da seguinte forma:


E os vetores de base, aliás, são assim: (na verdade, eles se expressam por si mesmos).

E finalmente: , . A propósito, o que é subtração de vetores e por que não falei sobre a regra de subtração? Em algum lugar da álgebra linear, não me lembro onde, observei que a subtração é um caso especial da adição. Assim, as expansões dos vetores "de" e "e" são calmamente escritas como uma soma: . Acompanhe o desenho para ver como a boa e velha adição de vetores de acordo com a regra do triângulo funciona nessas situações.

Decomposição considerada da forma às vezes chamado de decomposição vetorial no sistema ort(ou seja, no sistema de vetores unitários). Mas esta não é a única forma de escrever um vetor, a seguinte opção é comum:

Ou com um sinal de igual:

Os próprios vetores de base são escritos como segue: e

Ou seja, as coordenadas do vetor são indicadas entre parênteses. Em tarefas práticas, todas as três opções de gravação são usadas.

Duvidei se deveria falar, mas mesmo assim direi: as coordenadas do vetor não podem ser reorganizadas. Estritamente em primeiro lugar anote a coordenada que corresponde ao vetor unitário , estritamente em segundo lugar anote a coordenada que corresponde ao vetor unitário. De fato, e são dois vetores diferentes.

Descobrimos as coordenadas no avião. Agora considere os vetores no espaço tridimensional, tudo é quase igual aqui! Apenas mais uma coordenada será adicionada. É difícil realizar desenhos tridimensionais, por isso vou me limitar a um vetor, que para simplificar vou adiar da origem:

Algum vetor de espaço 3d o único jeito expandir em uma base ortonormal:
, onde são as coordenadas do vetor (número) na base dada.

Exemplo da imagem: . Vamos ver como as regras de ação do vetor funcionam aqui. Primeiro, multiplicando um vetor por um número: (seta vermelha), (seta verde) e (seta magenta). Em segundo lugar, aqui está um exemplo de adição de vários, neste caso três, vetores: . O vetor de soma começa no ponto inicial de partida (o início do vetor) e termina no ponto final de chegada (o fim do vetor).

Todos os vetores do espaço tridimensional, é claro, também são livres, tente adiar mentalmente o vetor de qualquer outro ponto, e você entenderá que sua expansão "permanece com ele".

Da mesma forma que no caso do avião, além de escrever versões com colchetes são amplamente utilizadas: ou .

Se um (ou dois) vetores de coordenadas estiverem faltando na expansão, zeros serão colocados em seu lugar. Exemplos:
vetor (meticulosamente ) - escreva ;
vetor (meticulosamente ) - escreva ;
vetor (meticulosamente ) - escreva .

Os vetores de base são escritos da seguinte forma:

Aqui, talvez, esteja todo o conhecimento teórico mínimo necessário para resolver problemas de geometria analítica. Talvez haja muitos termos e definições, então recomendo aos manequins que releiam e compreendam essas informações novamente. E será útil para qualquer leitor consultar a lição básica de vez em quando para melhor assimilação do material. Colinearidade, ortogonalidade, base ortonormal, decomposição vetorial - esses e outros conceitos serão frequentemente usados ​​a seguir. Observo que os materiais do site não são suficientes para passar em um teste teórico, um colóquio de geometria, pois codifico cuidadosamente todos os teoremas (além de sem provas) - em detrimento do estilo científico de apresentação, mas uma vantagem para sua compreensão do assunto. Para obter informações teóricas detalhadas, peço que você se curve ao professor Atanasyan.

Agora vamos para a parte prática:

Os problemas mais simples de geometria analítica.
Ações com vetores em coordenadas

As tarefas que serão consideradas, é altamente desejável aprender a resolvê-las de forma totalmente automática, e as fórmulas memorizar, nem lembram de propósito, eles mesmos vão lembrar =) Isso é muito importante, pois outros problemas de geometria analítica são baseados nos exemplos elementares mais simples, e será chato gastar tempo extra comendo peões. Você não precisa fechar os botões de cima da camisa, muitas coisas são familiares para você na escola.

A apresentação do material seguirá um percurso paralelo - tanto para o plano quanto para o espaço. Porque todas as fórmulas ... você verá por si mesmo.

Como encontrar um vetor dados dois pontos?

Se dois pontos do plano e são dados, então o vetor tem as seguintes coordenadas:

Se dois pontos no espaço são dados, então o vetor tem as seguintes coordenadas:

Aquilo é, das coordenadas do final do vetor você precisa subtrair as coordenadas correspondentes início do vetor.

Exercício: Para os mesmos pontos, anote as fórmulas para encontrar as coordenadas do vetor. Fórmulas no final da lição.

Exemplo 1

Dados dois pontos no plano e . Encontrar coordenadas vetoriais

Solução: de acordo com a fórmula correspondente:

Alternativamente, a seguinte notação pode ser usada:

Os estetas decidirão assim:

Pessoalmente, estou acostumado com a primeira versão do disco.

Responda:

De acordo com a condição, não era necessário construir um desenho (o que é típico de problemas de geometria analítica), mas para explicar alguns pontos aos manequins, não terei preguiça:

Deve ser entendido diferença entre coordenadas de ponto e coordenadas vetoriais:

Coordenadas do ponto são as coordenadas usuais em um sistema de coordenadas retangulares. Acho que todo mundo sabe como traçar pontos no plano de coordenadas desde a 5ª à 6ª série. Cada ponto tem um lugar estrito no plano e não pode ser movido para lugar nenhum.

As coordenadas do mesmo vetoré sua expansão em relação à base, neste caso. Qualquer vetor é livre, portanto, se desejado ou necessário, podemos facilmente separá-lo de algum outro ponto do plano (para evitar confusão, renomeando-o, por exemplo, através de ). Curiosamente, para vetores, você não pode construir eixos, um sistema de coordenadas retangulares, você só precisa de uma base, neste caso, uma base ortonormal do plano.

Os registros de coordenadas de ponto e coordenadas de vetor parecem ser semelhantes: , e senso de coordenadas absolutamente diferente, e você deve estar bem ciente dessa diferença. Essa diferença, é claro, também vale para o espaço.

Senhoras e senhores, enchemos nossas mãos:

Exemplo 2

a) Pontos dados e . Encontre vetores e .
b) Pontos são dados e . Encontre vetores e .
c) Pontos dados e . Encontre vetores e .
d) Pontos são dados. Encontrar vetores .

Talvez o suficiente. Estes são exemplos para uma decisão independente, tente não negligenciá-los, valerá a pena ;-). Desenhos não são necessários. Soluções e respostas no final da lição.

O que é importante na resolução de problemas de geometria analítica?É importante ter MUITO CUIDADO para evitar o erro magistral “dois mais dois igual a zero”. Desde já peço desculpas se cometi algum erro =)

Como encontrar o comprimento de um segmento?

O comprimento, como já observado, é indicado pelo sinal de módulo.

Se dois pontos do plano e forem dados, o comprimento do segmento pode ser calculado pela fórmula

Se dois pontos no espaço e forem dados, o comprimento do segmento pode ser calculado pela fórmula

Observação: As fórmulas permanecerão corretas se as coordenadas correspondentes forem trocadas: e , mas a primeira opção é mais padrão

Exemplo 3

Solução: de acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

Para maior clareza, farei um desenho

Segmento de linha - não é um vetor, e você não pode movê-lo para qualquer lugar, é claro. Além disso, se você completar o desenho em escala: 1 unidade. \u003d 1 cm (duas células tétrades), então a resposta pode ser verificada com uma régua regular medindo diretamente o comprimento do segmento.

Sim, a solução é curta, mas há alguns pontos importantes que gostaria de esclarecer:

Primeiro, na resposta, definimos a dimensão: “unidades”. A condição não diz O QUE é, milímetros, centímetros, metros ou quilômetros. Portanto, a formulação geral será uma solução matematicamente competente: “unidades” - abreviado como “unidades”.

Em segundo lugar, vamos repetir o material escolar, útil não apenas para o problema considerado:

prestar atenção em truque técnico importante – tirando o multiplicador de debaixo da raiz. Como resultado dos cálculos, obtivemos o resultado e o bom estilo matemático envolve tirar o multiplicador de baixo da raiz (se possível). O processo se parece com isso em mais detalhes: . Claro, deixar a resposta no formulário não será um erro - mas é definitivamente uma falha e um argumento de peso para picuinhas por parte do professor.

Veja outros casos comuns:

Freqüentemente, um número suficientemente grande é obtido sob a raiz, por exemplo. Como ser nesses casos? Na calculadora, verificamos se o número é divisível por 4:. Sim, dividido completamente, assim: . Ou talvez o número possa ser dividido por 4 novamente? . Nesse caminho: . O último dígito do número é ímpar, então dividir por 4 pela terceira vez claramente não é possível. Tentando dividir por nove: . Como resultado:
Preparar.

Conclusão: se sob a raiz obtivermos um número completamente não extraível, tentamos retirar o fator da raiz - na calculadora, verificamos se o número é divisível por: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.

Muitas vezes, no decorrer da resolução de vários problemas, as raízes são encontradas, sempre tente extrair fatores da raiz para evitar uma pontuação mais baixa e problemas desnecessários ao finalizar suas soluções de acordo com a observação do professor.

Vamos repetir o quadrado das raízes e outras potências ao mesmo tempo:

As regras para ações com graus de forma geral podem ser encontradas em um livro escolar de álgebra, mas acho que tudo ou quase tudo já está claro nos exemplos dados.

Tarefa para uma solução independente com um segmento no espaço:

Exemplo 4

Dados os pontos e . Encontre o comprimento do segmento.

Solução e resposta no final da lição.

Como encontrar o comprimento de um vetor?

Se um vetor plano for fornecido, seu comprimento será calculado pela fórmula.

Se um vetor espacial é dado, então seu comprimento é calculado pela fórmula .

Essas fórmulas (assim como as fórmulas para o comprimento de um segmento) são facilmente derivadas usando o notório teorema de Pitágoras.

Algumas grandezas físicas, por exemplo, força ou velocidade, são caracterizadas não apenas por um valor numérico, mas também pela direção. Tais quantidades são chamadas de quantidades vetoriais: F⃗ - força, v⃗ - velocidade.
Vamos dar uma definição geométrica de um vetor.
Vetor um segmento é chamado, para o qual é indicado qual de seus pontos de fronteira é considerado o início e qual é o fim.
Nos desenhos, um vetor é representado como um segmento de linha com uma seta indicando o final do vetor. Um vetor é denotado por duas letras latinas maiúsculas com uma seta acima delas. A primeira letra indica o início do vetor, a segunda - o fim.

Um vetor também pode ser denotado por uma única letra latina minúscula com uma seta acima dela.

O comprimento de um vetor é o comprimento do segmento que representa esse vetor. Colchetes verticais são usados ​​para indicar o comprimento de um vetor.
Um vetor cujo final é igual ao seu início é chamado zero vetor. O vetor zero é representado por um ponto e é denotado por duas letras idênticas ou zero com uma seta acima dele. O comprimento do vetor zero é igual a zero: |0 ⃗|= 0.

Vamos apresentar o conceito colinear vetores. Os vetores diferentes de zero são chamados colineares se estiverem na mesma linha ou em linhas paralelas. O vetor zero é considerado colinear a qualquer vetor.

Se vetores colineares diferentes de zero tiverem a mesma direção, esses vetores serão codirecionais. Se suas direções forem opostas, eles são chamados de direções opostas.
Existem notações especiais para designar vetores codirecionados e de direção oposta:
- m ⃗ R⃗ se os vetores m⃗ e R⃗ co-dirigido;
- m ⃗ ↓ n⃗ se os vetores m⃗ e n⃗ Direção oposta.
Considere o movimento de um carro. A velocidade de cada um de seus pontos é uma grandeza vetorial e é representada por um segmento direcionado. Como todos os pontos do carro se movem na mesma velocidade, todos os segmentos direcionados que representam as velocidades de diferentes pontos têm a mesma direção e seus comprimentos são iguais. Este exemplo nos dá uma dica sobre como determinar se os vetores são iguais.
Dois vetores são ditos iguais se eles estão na mesma direção e seus comprimentos são iguais. A igualdade dos vetores pode ser escrita usando o sinal de igual: uma ⃗ = b ⃗, KH ⃗ = OE ⃗
Se ponto R início do vetor R⃗, então consideramos que o vetor R⃗ adiado do ponto R.

Vamos provar que de qualquer ponto O você pode separar um vetor igual a um determinado vetor R⃗ e apenas um.

Prova:
1) Se R⃗ é o vetor zero, então OO ⃗ = R ⃗.
2) Se o vetor R⃗ diferente de zero, ponto Ré o começo deste vetor, e o ponto T- o fim.
Passe pelo ponto O reto, paralelo RT. Na reta construída, separamos os segmentos OA 1 e OA 2 igual ao segmento RT.

Escolha entre vetores OA 1 e OA 2 vetor que é codirecional com o vetor R⃗. Em nosso desenho, este é um vetor OA 1 . Este vetor será igual ao vetor R⃗. Segue-se da construção que tal vetor é único.