O limite de uma sequência e o limite de uma função em termos de Cauchy. Limite de uma sequência numérica: definição, propriedades Prove que o limite de an é igual a a

Hoje na aula vamos analisar sequenciamento estrito e definição estrita do limite de uma função, bem como aprender a resolver os problemas correspondentes de natureza teórica. O artigo destina-se principalmente a alunos do primeiro ano de ciências naturais e especialidades de engenharia que começaram a estudar a teoria da análise matemática e encontraram dificuldades em compreender esta seção da matemática superior. Além disso, o material é bastante acessível aos alunos do ensino médio.

Ao longo dos anos de existência do site, recebi uma dúzia de cartas indelicadas com aproximadamente o seguinte conteúdo: “Não entendo bem de análise matemática, o que devo fazer?”, “Não entendo nada de matan, Estou pensando em parar de estudar”, etc. Na verdade, é o matan que geralmente diminui o grupo de alunos logo na primeira sessão. Por que as coisas são assim? Porque o assunto é impensavelmente complexo? De jeito nenhum! A teoria da análise matemática não é tão difícil quanto é peculiar. E você precisa aceitá-la e amá-la por quem ela é =)

Vamos começar com o caso mais difícil. Em primeiro lugar, não abandone a escola. Entenda bem, desista, sempre vai dar tempo ;-) Claro, se daqui a um ou dois anos da especialidade escolhida vai te deixar doente, então sim - você deve pensar nisso (e não bater a febre!) sobre a mudança de atividades. Mas por enquanto vale a pena continuar. E, por favor, esqueça a frase “não entendo nada” - não acontece que você não entenda nada.

O que fazer se a teoria for ruim? A propósito, isso se aplica não apenas à análise matemática. Se a teoria é ruim, primeiro você precisa SERIAMENTE praticar. Ao mesmo tempo, duas tarefas estratégicas são resolvidas ao mesmo tempo:

– Em primeiro lugar, uma parte significativa do conhecimento teórico advém da prática. E muitas pessoas entendem a teoria através de... - isso mesmo! Não, não, você não pensou nisso.

- E, em segundo lugar, é muito provável que as habilidades práticas o "estiquem" no exame, mesmo que ..., mas não vamos sintonizar assim! Tudo é real e tudo é realmente “levantado” em um tempo relativamente curto. A análise matemática é minha seção favorita de matemática superior e, portanto, simplesmente não pude deixar de lhe dar uma mãozinha:

No início do 1º semestre, normalmente passam os limites de sequência e os limites de função. Não entende o que é e não sabe como resolvê-los? Comece com um artigo Limites de Função, em que o próprio conceito é considerado “nos dedos” e os exemplos mais simples são analisados. Em seguida, trabalhe com outras lições sobre o assunto, incluindo uma lição sobre dentro de sequências, sobre o qual já formulei uma definição rigorosa.

Quais ícones além dos sinais de desigualdade e módulo você conhece?

- uma vara vertical longa lê assim: “tal que”, “tal que”, “tal que” ou “tal que”, no nosso caso, obviamente, estamos falando de um número - portanto “tal que”;

- para todo "en" maior que ;

– sinal de módulo significa distância, ou seja esta entrada nos diz que a distância entre os valores é menor que epsilon.

Bem, é mortalmente difícil? =)

Depois de dominar a prática, espero por você no seguinte parágrafo:

De fato, vamos pensar um pouco - como formular uma definição rigorosa de uma sequência? ... A primeira coisa que vem à mente à luz sessão prática: "o limite de uma sequência é o número ao qual os membros da sequência se aproximam infinitamente próximos."

Ok, vamos escrever subsequência :

É fácil perceber isso subsequência aproximam-se infinitamente de -1, e termos pares - para "unidade".

Talvez dois limites? Mas então por que uma sequência não pode ter dez ou vinte deles? Assim você pode ir longe. Nesse sentido, é lógico supor que se a sequência tem um limite, então ela é única.

Observação : a sequência não tem limite, mas duas subsequências podem ser distinguidas dela (veja acima), cada uma com seu próprio limite.

Assim, a definição acima torna-se insustentável. Sim, serve para casos como (que não usei corretamente em explicações simplificadas de exemplos práticos), mas agora precisamos encontrar uma definição estrita.

Tentativa dois: “o limite de uma sequência é o número que TODOS os membros da sequência se aproximam, com exceção, talvez, de seus final quantidades". Isso está mais próximo da verdade, mas ainda não é totalmente preciso. Assim, por exemplo, a sequência metade dos termos não se aproxima de zero - eles são simplesmente iguais a ele =) A propósito, a "luz intermitente" geralmente assume dois valores fixos.

A formulação não é difícil de esclarecer, mas aí surge outra questão: como escrever a definição em termos matemáticos? O mundo científico lutou com esse problema por muito tempo até que a situação fosse resolvida. maestro famoso, que, em essência, formalizou a análise matemática clássica em todo o seu rigor. Cauchy se ofereceu para operar arredores que avançou muito a teoria.

Considere algum ponto e sua arbitrário-vizinhança:

O valor de "epsilon" é sempre positivo e, além disso, temos o direito de escolhê-lo nós mesmos. Suponha que a vizinhança dada contém um conjunto de termos (não necessariamente todos) alguma sequência. Como anotar o fato de que, por exemplo, o décimo termo caiu na vizinhança? Deixe-o estar no lado direito dele. Então a distância entre os pontos e deve ser menor que "épsilon": . No entanto, se o "x décimo" estiver localizado à esquerda do ponto "a", a diferença será negativa e, portanto, o sinal deve ser adicionado a ela módulo: .

Definição: um número é chamado de limite de uma sequência se para qualquer seus arredores (pré-selecionado) existe um número natural - TAL que TUDO membros da sequência com números maiores estarão dentro da vizinhança:

Ou mais curto: se

Em outras palavras, não importa quão pequeno seja o valor de "épsilon" que tomamos, mais cedo ou mais tarde a "cauda infinita" da sequência estará COMPLETAMENTE nesta vizinhança.

Assim, por exemplo, a "cauda infinita" da sequência TOTALMENTE entra em qualquer vizinhança arbitrariamente pequena do ponto. Assim, esse valor é o limite da sequência por definição. Lembro que uma sequência cujo limite é zero chama-se infinitesimal.

Deve-se notar que para a sequência não é mais possível dizer "cauda infinita virá”- membros com números ímpares são de fato iguais a zero e “não vão a lugar nenhum” =) É por isso que o verbo “vai acabar” é usado na definição. E, claro, os membros de tal sequência também "não vão a lugar nenhum". By the way, verifique se o número será seu limite.

Vamos agora mostrar que a sequência não tem limite. Considere, por exemplo, uma vizinhança do ponto . É bastante claro que não existe tal número, após o qual TODOS os membros estarão nesta vizinhança - os membros ímpares sempre "pularão" para "menos um". Por uma razão semelhante, não há limite no ponto .

Fixe o material com a prática:

Exemplo 1

Prove que o limite da sequência é zero. Indique o número, após o qual todos os membros da sequência estão garantidos dentro de qualquer vizinhança arbitrariamente pequena do ponto.

Observação : para muitas sequências, o número natural desejado depende do valor - daí a notação .

Solução: considere arbitrário haverá number - de forma que TODOS os membros com números maiores estarão dentro desta vizinhança:

Para mostrar a existência do número requerido, expressamos em termos de .

Como para qualquer valor "en", o sinal do módulo pode ser removido:

Usamos ações "escolares" com desigualdades que repeti nas aulas Desigualdades lineares e escopo da função. Neste caso, uma circunstância importante é que "epsilon" e "en" são positivos:

Como à esquerda estamos falando de números naturais e o lado direito geralmente é fracionário, ele precisa ser arredondado:

Observação : às vezes uma unidade é adicionada à direita para resseguro, mas na verdade isso é um exagero. Relativamente falando, se também enfraquecermos o resultado arredondando para baixo, o número adequado mais próximo (“três”) ainda satisfará a desigualdade original.

E agora olhamos para a desigualdade e lembramos que inicialmente consideramos arbitrário-vizinhança, ou seja "épsilon" pode ser igual a alguém número positivo.

Conclusão: para qualquer vizinhança arbitrariamente pequena do ponto, o valor . Assim, um número é o limite de uma sequência por definição. Q.E.D.

Aliás, pelo resultado um padrão natural é claramente visível: quanto menor a vizinhança, maior o número após o qual TODOS os membros da sequência estarão nesta vizinhança. Mas não importa quão pequeno seja o "épsilon", sempre haverá uma "cauda infinita" por dentro e por fora - mesmo que seja grande, porém final número de membros.

Como estão as impressões? =) Concordo que é estranho. Mas rigorosamente! Por favor, releia e pense novamente.

Considere um exemplo semelhante e familiarize-se com outras técnicas:

Exemplo 2

Solução: pela definição de uma sequência, é necessário provar que (Fale alto!!!).

Considerar arbitrário-vizinhança do ponto e cheque, isto existe número natural - tal que para todos os números maiores vale a seguinte desigualdade:

Para mostrar a existência de tal , você precisa expressar "en" por meio de "epsilon". Simplificamos a expressão sob o sinal do módulo:

O módulo destrói o sinal de menos:

O denominador é positivo para qualquer "en", portanto, os bastões podem ser removidos:

Embaralhar:

Agora devemos tirar a raiz quadrada, mas o problema é que para alguns "épsilons" o lado direito será negativo. Para evitar este problema vamos fortalecer módulo de desigualdade:

Por que isso pode ser feito? Se, relativamente falando, resultar que , então a condição será satisfeita ainda mais. O módulo pode apenas aumente número desejado , e isso também nos servirá! Grosso modo, se o centésimo for adequado, o duzentos servirá! De acordo com a definição, você precisa mostrar a própria existência do número(pelo menos alguns), após o que todos os membros da sequência estarão na vizinhança. A propósito, é por isso que não temos medo do arredondamento final do lado direito para cima.

Extraindo a raiz:

E arredonde o resultado:

Conclusão: Porque o valor de "épsilon" foi escolhido arbitrariamente, então, para qualquer vizinhança arbitrariamente pequena do ponto, o valor , de modo que a desigualdade . Nesse caminho, por definição. Q.E.D.

eu aconselho especialmente entender o fortalecimento e o enfraquecimento das desigualdades - esses são métodos típicos e muito comuns de análise matemática. A única coisa que você precisa para monitorar a exatidão desta ou daquela ação. Assim, por exemplo, a desigualdade de jeito nenhum afrouxar, subtraindo, digamos, um:

Novamente, condicional: se o número couber exatamente, o anterior pode não caber mais.

O exemplo a seguir é para uma solução autônoma:

Exemplo 3

Usando a definição de sequência, prove que

Solução curta e resposta no final da lição.

Se a sequência infinitamente grande, então a definição do limite é formulada de maneira semelhante: um ponto é chamado de limite de uma sequência se para qualquer, arbitrariamente grande existe um número tal que para todos os números maiores , a desigualdade será satisfeita. O número é chamado a vizinhança do ponto "mais infinito":

Em outras palavras, não importa quão grande seja o valor que tomamos, a “cauda infinita” da sequência irá necessariamente para a vizinhança do ponto , deixando apenas um número finito de termos à esquerda.

Exemplo de trabalho:

E uma notação abreviada: se

Para o caso, escreva você mesmo a definição. A versão correta está no final da lição.

Depois de "encher" sua mão com exemplos práticos e descobrir a definição do limite de uma sequência, você pode consultar a literatura sobre análise matemática e/ou seu caderno com palestras. Recomendo baixar o 1º volume de Bohan (mais fácil - para estudantes de meio período) e Fikhtengoltz (mais detalhado e completo). Dos demais autores, aconselho Piskunov, cujo curso é voltado para universidades técnicas.

Tente estudar conscienciosamente os teoremas que dizem respeito ao limite da sequência, suas provas, consequências. A princípio, a teoria pode parecer "nebulosa", mas isso é normal - só leva algum tempo para se acostumar. E muitos vão até provar!

Definição estrita do limite de uma função

Vamos começar com a mesma coisa - como formular esse conceito? A definição verbal do limite de uma função é formulada de forma muito mais simples: “um número é o limite de uma função, se com “x” tendendo a (tanto à esquerda como à direita), os valores correspondentes da função tendem a » (ver desenho). Tudo parece normal, mas palavras são palavras, significado é significado, um ícone é um ícone e a notação matemática estrita não é suficiente. E no segundo parágrafo, conheceremos duas abordagens para resolver esse problema.

Seja a função definida em algum intervalo exceto, possivelmente, para o ponto . Na literatura educacional, é geralmente aceito que a função ali não definiram:

Esta escolha destaca a essência do limite de função: "x" infinitamente perto abordagens , e os valores correspondentes da função são infinitamente perto para . Em outras palavras, o conceito de limite não implica uma “abordagem exata” de pontos, ou seja, aproximação infinitamente próxima, não importa se a função está definida no ponto ou não.

A primeira definição do limite de uma função, não surpreendentemente, é formulada usando duas sequências. Em primeiro lugar, os conceitos são relacionados e, em segundo lugar, os limites das funções são geralmente estudados após os limites das sequências.

Considere a sequência pontos (não no desenho) pertencente ao intervalo e outro que não seja, que converge para . Em seguida, os valores correspondentes da função também formam uma sequência numérica, cujos membros estão localizados no eixo y.

limite de função de Heine para qualquer sequências de pontos (pertencente a e diferente de), que converge para o ponto , a sequência correspondente de valores de função converge para .

Eduard Heine é um matemático alemão. ... E não precisa pensar assim, só existe um gay na Europa - esse é Gay-Lussac =)

A segunda definição do limite foi construída ... sim, sim, você está certo. Mas primeiro, vamos olhar para o seu design. Considere uma vizinhança arbitrária do ponto (bairro "negro"). Com base no parágrafo anterior, a notação significa que algum valor A função está localizada dentro do ambiente "epsilon".

Agora vamos encontrar -neighborhood que corresponde ao -neighborhood dado (desenhe mentalmente linhas pontilhadas pretas da esquerda para a direita e depois de cima para baixo). Note que o valor é escolhido ao longo do comprimento do segmento menor, neste caso, ao longo do comprimento do segmento esquerdo mais curto. Além disso, a vizinhança "carmesim" de um ponto pode até ser reduzida, pois na seguinte definição o próprio fato da existência é importante este bairro. E, da mesma forma, a entrada significa que algum valor está dentro da vizinhança "delta".

Limite de Cauchy de uma função: o número é chamado de limite da função no ponto se para qualquer pré-selecionado vizinhança (arbitrariamente pequeno), existe-vizinhança do ponto, TAL que: valores APENAS (controlado) incluídos nesta área: (Setas vermelhas)- TÃO IMEDIATAMENTE os valores correspondentes da função são garantidos para entrar no -neighborhood: (setas azuis).

Devo avisar que para ficar mais inteligível, improvisei um pouco, então não abuse =)

abreviação: se

Qual é a essência da definição? Falando figurativamente, diminuindo infinitamente a vizinhança, "acompanhamos" os valores da função até seu limite, deixando-os sem alternativa para abordá-los em outro lugar. Bastante incomum, mas novamente estritamente! Para acertar a ideia, releia o texto novamente.

! Atenção: se você precisa formular apenas Definição segundo Heine ou apenas Cauchy definição por favor não se esqueça significativo comentário preliminar: "Considere uma função definida em algum intervalo, exceto talvez um ponto". Afirmei isso uma vez bem no começo e não repeti todas as vezes.

De acordo com o teorema correspondente da análise matemática, as definições de Heine e Cauchy são equivalentes, mas a segunda variante é a mais conhecida (ainda faria!), que também é chamado de "limite da língua":

Exemplo 4

Usando a definição de limite, prove que

Solução: a função é definida em toda a linha numérica, exceto no ponto. Usando a definição de , provamos a existência de um limite em um dado ponto.

Observação : a magnitude da vizinhança "delta" depende do "épsilon", daí a designação

Considerar arbitrário-vizinhança. A tarefa é usar esse valor para verificar se isto existe- vizinhança, TAL, que pela desigualdade segue a desigualdade .

Assumindo que , transformamos a última desigualdade:
(decompor o trinômio quadrado)

Definição de limites de sequência e função, propriedades de limites, primeiro e segundo limites notáveis, exemplos.

número constante uma chamado limite sequências(x n) se para qualquer número positivo arbitrariamente pequeno ε > 0 existe um número N tal que todos os valores x n, para o qual n>N, satisfaz a desigualdade

Escreva da seguinte forma: ou x n → a.

A desigualdade (6.1) é equivalente à dupla desigualdade

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, começando de algum número n>N, estão dentro do intervalo (a-ε , a+ε), ou seja cair em qualquer pequena vizinhança ε do ponto uma.

Uma sequência que tem um limite é chamada convergente, por outro lado - divergente.

O conceito de limite de uma função é uma generalização do conceito de limite de uma sequência, pois o limite de uma sequência pode ser considerado como o limite da função x n = f(n) de um argumento inteiro n.

Seja dada uma função f(x) e seja uma - ponto limite o domínio de definição desta função D(f), i.e. tal ponto, cuja vizinhança contém pontos do conjunto D(f) diferentes de uma. Ponto uma pode ou não pertencer ao conjunto D(f).

Definição 1. O número constante A é chamado limite funções f(x) no x→ a if para qualquer sequência (x n ) de valores de argumentos tendendo a uma, as sequências correspondentes (f(x n)) têm o mesmo limite A.

Essa definição é chamada definindo o limite de uma função de acordo com Heine, ou " na linguagem das sequências”.

Definição 2. O número constante A é chamado limite funções f(x) no x→a se, dado um número positivo ε arbitrário e arbitrariamente pequeno, pode-se encontrar δ >0 (dependendo de ε) tal que para todo x, situado na vizinhança ε do número uma, ou seja por x satisfazendo a desigualdade
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Essa definição é chamada definindo o limite de uma função de acordo com Cauchy, ou “na linguagem ε - δ"

As definições 1 e 2 são equivalentes. Se a função f(x) como x → a tiver limite igual a A, isso é escrito como

Caso a sequência (f(x n)) aumente (ou diminua) indefinidamente para qualquer método de aproximação x ao seu limite uma, então diremos que a função f(x) tem limite infinito, e escreva como:

Uma variável (ou seja, uma sequência ou função) cujo limite é zero é chamada infinitamente pequeno.

Uma variável cujo limite é igual ao infinito é chamada infinitamente grande.

Para encontrar o limite na prática, use os seguintes teoremas.

Teorema 1 . Se todo limite existe

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Comente. Expressões da forma 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ são indefinidas, por exemplo, a razão de duas quantidades infinitesimais ou infinitamente grandes, e encontrar um limite desse tipo é chamado de “divulgação de incerteza”.

Teorema 2.

Essa. é possível passar ao limite na base do grau a um expoente constante, em particular,

Teorema 3.

(6.11)

Onde e» 2,7 é a base do logaritmo natural. As fórmulas (6.10) e (6.11) são chamadas de primeiro limite notável e segundo limite notável.

Os corolários da fórmula (6.11) também são usados ​​na prática:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

principalmente o limite

Se x → a e ao mesmo tempo x > a, escreva x →a + 0. Se, em particular, a = 0, escreva +0 em vez do símbolo 0+0. Da mesma forma, se x→a e ao mesmo tempo x e são nomeados de acordo. limite direito e limite esquerdo funções f(x) no ponto uma. Para que o limite da função f(x) exista como x→ a, é necessário e suficiente que . A função f(x) é chamada contínuo no ponto x 0 se limite

(6.15)

A condição (6.15) pode ser reescrita como:

ou seja, a passagem ao limite sob o signo de uma função é possível se ela for contínua em um dado ponto.

Se a igualdade (6.15) for violada, dizemos que no x = x função f(x) Tem Gap = Vão. Considere a função y = 1/x. O domínio desta função é o conjunto R, exceto para x = 0. O ponto x = 0 é um ponto limite do conjunto D(f), pois em qualquer uma de suas vizinhanças, ou seja, qualquer intervalo aberto contendo o ponto 0 contém pontos de D(f), mas ele próprio não pertence a este conjunto. O valor f(x o)= f(0) não está definido, então a função tem uma descontinuidade no ponto x o = 0.

A função f(x) é chamada contínua à direita em um ponto x o se limite

e contínua à esquerda em um ponto x o se limite

Continuidade de uma função em um ponto x oé equivalente à sua continuidade neste ponto tanto à direita quanto à esquerda.

Para uma função ser contínua em um ponto x o, por exemplo, à direita, é necessário, em primeiro lugar, que haja um limite finito , e em segundo lugar, que esse limite seja igual a f(x o). Portanto, se pelo menos uma dessas duas condições não for atendida, a função terá uma lacuna.

1. Se o limite existe e não é igual a f(x o), então eles dizem que função f(x) no ponto xo tem quebra de primeiro tipo, ou pular.

2. Se o limite for +∞ ou -∞ ou não existir, eles dizem que em ponto x o a função tem uma pausa segundo tipo.

Por exemplo, a função y = ctg x como x → +0 tem um limite igual a +∞ , o que significa que no ponto x=0 ela tem uma descontinuidade de segundo tipo. Função y = E(x) (parte inteira de x) em pontos com abcissas inteiras tem descontinuidades do primeiro tipo, ou saltos.

Uma função que é contínua em todos os pontos do intervalo é chamada contínuo dentro . Uma função contínua é representada por uma curva sólida.

Muitos problemas associados ao crescimento contínuo de alguma quantidade levam ao segundo limite notável. Tais tarefas, por exemplo, incluem: o crescimento da contribuição de acordo com a lei dos juros compostos, o crescimento da população do país, a decomposição de uma substância radioativa, a multiplicação de bactérias, etc.

Considerar exemplo de Ya. I. Perelman, que dá a interpretação do número e no problema de juros compostos. Número e há um limite . Nos bancos de poupança, o dinheiro dos juros é adicionado ao capital fixo anualmente. Se a conexão for feita com mais frequência, o capital crescerá mais rapidamente, pois uma grande quantia está envolvida na formação dos juros. Vamos dar um exemplo puramente teórico e altamente simplificado. Deixe o banco colocar 100 den. unidades à taxa de 100% ao ano. Se o dinheiro com juros for adicionado ao capital fixo somente após um ano, então, a essa altura, 100 den. unidades vai se transformar em 200 den. Agora vamos ver no que 100 den se transformará. unidades, se o dinheiro dos juros for adicionado ao capital fixo a cada seis meses. Depois de meio ano 100 den. unidades crescerá 100 × 1,5 = 150 e em mais seis meses - 150 × 1,5 = 225 (unidades monetárias). Se a adesão for feita a cada 1/3 do ano, depois de um ano 100 den. unidades se transformará em 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. unidades). Aumentaremos o prazo para adicionar dinheiro de juros para 0,1 ano, 0,01 ano, 0,001 ano e assim por diante. Então, de 100 den. unidades um ano depois:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. unidades),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. unidades),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. unidades).

Com uma redução ilimitada dos prazos de participação, o capital acumulado não cresce indefinidamente, mas se aproxima de um certo limite igual a aproximadamente 271. O capital colocado a 100% ao ano não pode aumentar mais de 2,71 vezes, mesmo que os juros acumulados fossem adicionado ao capital a cada segundo porque o limite

Exemplo 3.1. Usando a definição de limite de uma sequência numérica, prove que a sequência x n =(n-1)/n tem limite igual a 1.

Solução. Precisamos provar que qualquer ε > 0 que tomamos, existe um número natural N para ele, tal que para todo n > N a desigualdade |x n -1|< ε

Tome qualquer ε > 0. Como x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, então para encontrar N basta resolver a desigualdade 1/n<ε. Отсюда n>1/ε e, portanto, N pode ser tomado como a parte inteira de 1/ε N = E(1/ε). Provamos assim que o limite .

Exemplo 3.2. Encontre o limite de uma sequência dada por um termo comum .

Solução. Aplique o teorema da soma limite e encontre o limite de cada termo. Como n → ∞, o numerador e o denominador de cada termo tendem ao infinito e não podemos aplicar o teorema do limite do quociente diretamente. Portanto, primeiro transformamos x n, dividindo o numerador e o denominador do primeiro termo por n 2, e o segundo n. Então, aplicando o teorema do limite do quociente e o teorema do limite da soma, encontramos:

Exemplo 3.3. . Achar .

Solução.

Aqui usamos o teorema do limite de grau: o limite de um grau é igual ao grau do limite da base.

Exemplo 3.4. Achar ( ).

Solução. É impossível aplicar o teorema do limite da diferença, pois temos uma incerteza da forma ∞-∞. Vamos transformar a fórmula do termo geral:

Exemplo 3.5. Dada uma função f(x)=2 1/x . Prove que o limite não existe.

Solução. Usamos a definição 1 do limite de uma função em termos de uma sequência. Tome uma sequência ( x n ) convergindo para 0, ou seja, Vamos mostrar que o valor f(x n)= se comporta diferentemente para diferentes sequências. Seja x n = 1/n. Obviamente, então o limite Vamos escolher agora como x n uma sequência com um termo comum x n = -1/n, também tendendo a zero. Portanto, não há limite.

Exemplo 3.6. Prove que o limite não existe.

Solução. Seja x 1 , x 2 ,..., x n ,... uma sequência para a qual
. Como a sequência (f(x n)) = (sin x n ) se comporta para diferentes x n → ∞

Se x n \u003d p n, então sin x n \u003d sin (p n) = 0 para todos n e limite se
xn=2 p n+ p /2, então sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 para todos n e, portanto, o limite. Assim não existe.

Declarações dos principais teoremas e propriedades de sequências numéricas com limites são dadas. Contém a definição de uma sequência e seu limite. São consideradas operações aritméticas com sequências, propriedades relacionadas com desigualdades, critérios de convergência, propriedades de sequências infinitamente pequenas e infinitamente grandes.

Contente

Propriedades de limites finitos de sequências

Propriedades básicas

Um ponto a é o limite de uma sequência se e somente se fora de qualquer vizinhança desse ponto número finito de elementos sequências ou o conjunto vazio.

Se o número a não é o limite da sequência, então existe tal vizinhança do ponto a, fora da qual existe número infinito de elementos de sequência.

Teorema da unicidade para o limite de uma sequência numérica. Se uma sequência tem um limite, ela é única.

Se uma sequência tem um limite finito, então limitado.

Se cada elemento da sequência é igual ao mesmo número C: , então esta sequência tem um limite igual ao número C .

Se a sequência adicione, solte ou altere os primeiros m elementos, então isso não afetará sua convergência.

Provas de propriedades básicas dado na página
Propriedades básicas de limites finitos de sequências >>> .

Aritmética com limites

Sejam limites finitos e sequências e . E seja C uma constante, isto é, um número dado. Então
;
;
;
, E se .
No caso do quociente, assume-se que para todo n .

Se então .

Provas de propriedades aritméticas dado na página
Propriedades aritméticas de limites finitos de sequências >>> .

Propriedades associadas a desigualdades

Se os elementos da sequência, partindo de algum número, satisfazem a desigualdade , então o limite a dessa sequência também satisfaz a desigualdade .

Se os elementos da sequência, partindo de algum número, pertencem a um intervalo fechado (segmento) , então o limite a também pertence a este intervalo: .

Se e e elementos de sequências, começando de algum número, satisfazem a desigualdade , então .

Se e, começando de algum número, , então .
Em particular, se, a partir de algum número, , então
se então ;
se então .

Se e , então .

Deixe e . Se um < b , então existe um número natural N tal que para todo n > N a desigualdade é satisfeita.

Provas de propriedades relacionadas com desigualdades dado na página
Propriedades dos limites de sequência relacionados com >>> desigualdades.

Sequências infinitesimais e infinitesimais

sequência infinitesimal

Uma sequência infinitesimal é uma sequência cujo limite é zero:
.

Soma e Diferença número finito de sequências infinitesimais é uma sequência infinitesimal.

Produto de uma sequência limitada para um infinitesimal é uma sequência infinitesimal.

Produto de um número finito sequências infinitesimais são sequências infinitesimais.

Para que uma sequência tenha limite a , é necessário e suficiente que , onde é uma sequência infinitesimal.

Provas de propriedades de sequências infinitesimais dado na página
Sequências infinitamente pequenas - definição e propriedades >>> .

Sequência infinitamente grande

Uma sequência infinitamente grande é uma sequência que tem um limite infinitamente grande. Ou seja, se para qualquer número positivo existe tal número natural N , dependendo de , que para todos os números naturais a desigualdade
.
Neste caso, escreva
.
Ou em .
Dizem que tende ao infinito.

Se , começando de algum número N , então
.
Se então
.

Se as sequências são infinitamente grandes, a partir de algum número N , é definida uma sequência que é infinitamente pequena. Se são uma sequência infinitesimal com elementos diferentes de zero, então a sequência é infinitamente grande.

Se a sequência é infinitamente grande e a sequência é limitada, então
.

Se os valores absolutos dos elementos da sequência forem limitados por baixo por um número positivo () e for infinitamente pequeno com elementos diferentes de zero, então
.

Em detalhes definição de uma sequência infinitamente grande com exemplos dado na página
Definição de uma sequência infinitamente grande >>> .
Provas para propriedades de sequências infinitamente grandes dado na página
Propriedades de sequências infinitamente grandes >>> .

Critérios de Convergência de Sequência

sequências monótonas

Uma sequência estritamente crescente é uma sequência para todos os elementos que possuem as seguintes desigualdades:
.

Desigualdades semelhantes definem outras sequências monótonas.

Sequência estritamente decrescente:
.
Sequência não decrescente:
.
Sequência não crescente:
.

Segue-se que uma sequência estritamente crescente também é não decrescente. Uma sequência estritamente decrescente também não é crescente.

Uma sequência monotônica é uma sequência não decrescente ou não crescente.

Uma sequência monotônica é limitada em pelo menos um lado por . Uma sequência não decrescente é limitada por baixo: . Uma sequência não crescente é limitada por cima: .

teorema de Weierstrass. Para que uma sequência não decrescente (não crescente) tenha um limite finito, é necessário e suficiente que ela seja limitada por cima (por baixo). Aqui M é algum número.

Como qualquer sequência não decrescente (não crescente) é limitada por baixo (por cima), o teorema de Weierstrass pode ser reformulado da seguinte forma:

Para que uma sequência monótona tenha um limite finito, é necessário e suficiente que ela seja limitada: .

Sequência ilimitada monótona tem um limite infinito, igual para sequências não decrescentes e não crescentes.

Prova do teorema de Weierstrass dado na página
Teorema de Weierstrass sobre o limite de uma sequência monótona >>> .

Critério de Cauchy para convergência de sequência

Cauchy condição
A consistência satisfaz Cauchy condição, se para algum existe um número natural tal que para todos os números naturais n e m satisfazendo a condição , a desigualdade
.

Uma sequência fundamental é uma sequência que satisfaz a condição de Cauchy.

Critério de Cauchy para convergência de sequência. Para que uma sequência tenha limite finito, é necessário e suficiente que ela satisfaça a condição de Cauchy.

Prova do Critério de Convergência de Cauchy dado na página
Critério de convergência de Cauchy para uma sequência >>> .

Subsequências

Teorema de Bolzano-Weierstrass. De qualquer sequência limitada, uma subsequência convergente pode ser distinguida. E de qualquer sequência ilimitada - uma subsequência infinitamente grande convergindo para ou para .

Prova do teorema de Bolzano-Weierstrass dado na página
Teorema de Bolzano–Weierstrass >>> .

Definições, teoremas e propriedades de subsequências e limites parciais são discutidos na página
Subsequências e limites parciais de sequências >>>.

Referências:
CM. Nikolsky. Curso de análise matemática. Volume 1. Moscou, 1983.
LD Kudryavtsev. Curso de análise matemática. Volume 1. Moscou, 2003.
V.A. Zorich. Analise matemática. Parte 1. Moscou, 1997.
V.A. Ilyin, E. G. Pozniak. Fundamentos da análise matemática. Parte 1. Moscou, 2005.

Veja também:

A matemática é a ciência que constrói o mundo. Tanto o cientista quanto o homem comum - ninguém pode passar sem ele. Primeiro, as crianças pequenas são ensinadas a contar, depois somar, subtrair, multiplicar e dividir, no ensino médio, as designações das letras entram em jogo e, no mais velho, elas não podem mais ser dispensadas.

Mas hoje falaremos sobre em que se baseia toda a matemática conhecida. Sobre a comunidade de números chamada "limites de sequência".

O que são sequências e onde está seu limite?

O significado da palavra "sequência" não é difícil de interpretar. Esta é uma construção de coisas, onde alguém ou algo está localizado em uma determinada ordem ou fila. Por exemplo, a fila de ingressos para o zoológico é uma sequência. E só pode haver um! Se, por exemplo, você olhar a fila da loja, esta é uma sequência. E se uma pessoa sair repentinamente dessa fila, essa é uma fila diferente, uma ordem diferente.

A palavra "limite" também é facilmente interpretada - isso é o fim de algo. No entanto, na matemática, os limites das sequências são aqueles valores na reta numérica para os quais tende uma sequência de números. Por que se esforça e não termina? É simples, a linha numérica não tem fim e a maioria das sequências, como raios, tem apenas um começo e se parece com isso:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Portanto, a definição de uma sequência é uma função do argumento natural. Em palavras mais simples, é uma série de membros de algum conjunto.

Como é construída uma sequência numérica?

O exemplo mais simples de uma sequência numérica pode ser assim: 1, 2, 3, 4, …n…

Na maioria dos casos, para fins práticos, as sequências são construídas a partir de números, e cada próximo membro da série, vamos denotá-lo por X, tem seu próprio nome. Por exemplo:

x 1 - o primeiro membro da sequência;

x 2 - o segundo membro da sequência;

x 3 - o terceiro membro;

x n é o enésimo membro.

Nos métodos práticos, a sequência é dada por uma fórmula geral na qual existe alguma variável. Por exemplo:

X n \u003d 3n, então a própria série de números ficará assim:

Vale lembrar que na notação geral de sequências, você pode usar qualquer letra latina, e não apenas X. Por exemplo: y, z, k, etc.

Progressão aritmética como parte de sequências

Antes de buscar os limites das sequências, convém aprofundar o próprio conceito de tal série numérica, que todos encontraram quando estavam nas classes médias. Uma progressão aritmética é uma série de números em que a diferença entre os termos adjacentes é constante.

Tarefa: “Seja a 1 \u003d 15 e a etapa da progressão da série numérica d \u003d 4. Construa os primeiros 4 membros desta linha"

Solução: a 1 = 15 (por condição) é o primeiro membro da progressão (série numérica).

e 2 = 15+4=19 é o segundo membro da progressão.

e 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 é o terceiro termo.

e 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 é o quarto termo.

Porém, com este método é difícil chegar a valores grandes, por exemplo, até 125. . Especialmente para esses casos, foi derivada uma fórmula conveniente para a prática: a n \u003d a 1 + d (n-1). Nesse caso, um 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Tipos de sequência

A maioria das sequências é interminável, vale a pena lembrar por toda a vida. Existem dois tipos interessantes de séries numéricas. A primeira é dada pela fórmula a n =(-1) n . Os matemáticos costumam se referir a essas sequências pisca-pisca. Por quê? Vamos verificar seus números.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, etc. Com este exemplo, fica claro que números em sequências podem ser facilmente repetidos.

seqüência fatorial. É fácil adivinhar que existe um fatorial na fórmula que define a sequência. Por exemplo: e n = (n+1)!

Então a sequência ficará assim:

e 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

e 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, etc.

Uma sequência dada por uma progressão aritmética é dita infinitamente decrescente se a desigualdade -1 for observada para todos os seus membros

e 3 \u003d - 1/8, etc.

Existe até uma sequência que consiste no mesmo número. Portanto, e n \u003d 6 consiste em um número infinito de seis.

Determinando o limite de uma sequência

Os limites de sequência existem há muito tempo na matemática. Claro, eles merecem seu próprio design competente. Então, é hora de aprender a definição de limites de sequência. Primeiro, considere o limite para uma função linear em detalhes:

1. Todos os limites são abreviados como lim.
2. A entrada limite consiste na abreviação lim, alguma variável tendendo a um certo número, zero ou infinito, bem como a própria função.

É fácil entender que a definição do limite de uma sequência pode ser formulada da seguinte forma: é um certo número, ao qual todos os membros da sequência se aproximam infinitamente. Exemplo simples: e x = 4x+1. Então a própria sequência ficará assim.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Assim, essa sequência aumentará indefinidamente, o que significa que seu limite é igual ao infinito conforme x→∞, e isso deve ser escrito da seguinte forma:

Se tomarmos uma sequência semelhante, mas x tende a 1, obtemos:

E a série de números será assim: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, etc. Cada vez que você precisar substituir o número cada vez mais próximo de um (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Pode-se ver nesta série que o limite da função é cinco.

A partir desta parte, vale lembrar qual é o limite de uma sequência numérica, a definição e o método para resolver tarefas simples.

Notação geral para o limite de sequências

Tendo analisado o limite da sequência numérica, sua definição e exemplos, podemos prosseguir para um tópico mais complexo. Absolutamente todos os limites de sequências podem ser formulados por uma fórmula, que geralmente é analisada no primeiro semestre.

Então, o que significa esse conjunto de letras, módulos e sinais de desigualdade?

∀ é um quantificador universal, substituindo as expressões “para todos”, “para tudo”, etc.

∃ é um quantificador de existência, neste caso significa que existe algum valor N pertencente ao conjunto dos números naturais.

Um longo bastão vertical seguindo N significa que o conjunto dado N é "tal que". Na prática, pode significar "tal que", "tal que", etc.

Para consolidar o material, leia a fórmula em voz alta.

Incerteza e certeza do limite

O método de encontrar o limite de sequências, discutido acima, embora simples de usar, não é tão racional na prática. Tente encontrar o limite para esta função:

Se substituirmos diferentes valores de x (aumentando a cada vez: 10, 100, 1000, etc.), obtemos ∞ no numerador, mas também ∞ no denominador. Acontece uma fração bastante estranha:

Mas é realmente assim? Calcular o limite da sequência numérica neste caso parece bastante fácil. Seria possível deixar tudo como está, porque a resposta está pronta e foi recebida em condições razoáveis, mas existe outra forma específica para esses casos.

Primeiro, vamos encontrar o grau mais alto no numerador da fração - é 1, pois x pode ser representado como x 1.

Agora vamos encontrar o maior grau no denominador. Também 1.

Divida o numerador e o denominador pela variável no grau mais alto. Neste caso, dividimos a fração por x 1.

Em seguida, vamos descobrir a que valor tende cada termo que contém a variável. Neste caso, as frações são consideradas. Como x→∞, o valor de cada uma das frações tende a zero. Ao fazer um trabalho por escrito, vale a pena fazer as seguintes notas de rodapé:

Obtém-se a seguinte expressão:

Claro, as frações contendo x não se tornaram zeros! Mas seu valor é tão pequeno que é perfeitamente permitido não levá-lo em consideração nos cálculos. Na verdade, x nunca será igual a 0 neste caso, porque você não pode dividir por zero.

O que é um bairro?

Suponhamos que o professor tenha à sua disposição uma sequência complexa, dada, obviamente, por uma fórmula não menos complexa. O professor encontrou a resposta, mas ela se encaixa? Afinal, todas as pessoas cometem erros.

Auguste Cauchy criou uma ótima maneira de provar os limites das sequências. Seu método foi chamado de operação de vizinhança.

Suponha que haja algum ponto a, sua vizinhança em ambas as direções na linha real é igual a ε ("épsilon"). Como a última variável é a distância, seu valor é sempre positivo.

Agora vamos definir alguma sequência x n e supor que o décimo membro da sequência (x 10) esteja incluído na vizinhança de a. Como escrever esse fato em linguagem matemática?

Suponha que x 10 esteja à direita do ponto a, então a distância x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Agora é hora de explicar na prática a fórmula mencionada acima. É justo chamar um certo número de ponto final de uma sequência se a desigualdade ε>0 for válida para qualquer um de seus limites e toda a vizinhança tiver seu próprio número natural N, de modo que todos os membros da sequência com números maiores estar dentro da sequência |x n - a|< ε.

Com tal conhecimento, é fácil resolver os limites de uma sequência, provar ou refutar uma resposta pronta.

teoremas

Os teoremas sobre os limites das sequências são um componente importante da teoria, sem os quais a prática é impossível. Existem apenas quatro teoremas principais, lembrando quais, você pode facilitar significativamente o processo de resolução ou prova:

1. Unicidade do limite de uma sequência. Qualquer sequência pode ter apenas um limite ou nenhum. O mesmo exemplo com uma fila que só pode ter um fim.
2. Se uma série de números tem um limite, então a sequência desses números é limitada.
3. O limite da soma (diferença, produto) das sequências é igual à soma (diferença, produto) de seus limites.
4. O quociente limite de duas sequências é igual ao quociente dos limites se e somente se o denominador não desaparece.

Prova de Sequência

Às vezes é necessário resolver um problema inverso, para provar um dado limite de uma sequência numérica. Vejamos um exemplo.

Prove que o limite da sequência dada pela fórmula é igual a zero.

De acordo com a regra acima, para qualquer sequência a desigualdade |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Vamos expressar n em termos de "épsilon" para mostrar a existência de um certo número e provar a existência de um limite de sequência.

Nesta fase, é importante lembrar que "épsilon" e "en" são números positivos e não iguais a zero. Agora você pode continuar outras transformações usando o conhecimento sobre desigualdades adquirido no ensino médio.

Daí resulta que n > -3 + 1/ε. Como vale lembrar que estamos falando de números naturais, o resultado pode ser arredondado colocando-o entre colchetes. Assim, provou-se que para qualquer valor da vizinhança “épsilon” do ponto a = 0, foi encontrado um valor tal que a desigualdade inicial é satisfeita. A partir disso, podemos afirmar com segurança que o número a é o limite da sequência dada. Q.E.D.

Com um método tão conveniente, você pode provar o limite de uma sequência numérica, por mais complicado que pareça à primeira vista. O principal é não entrar em pânico ao ver a tarefa.

Ou talvez ele não exista?

A existência de um limite de sequência não é necessária na prática. É fácil encontrar tais séries de números que realmente não têm fim. Por exemplo, o mesmo pisca-pisca x n = (-1) n . é óbvio que uma sequência que consiste em apenas dois dígitos repetidos ciclicamente não pode ter um limite.

A mesma história se repete com sequências constituídas por um único número, fracionário, tendo no decorrer dos cálculos uma incerteza de qualquer ordem (0/0, ∞/∞, ∞/0, etc.). No entanto, deve ser lembrado que o cálculo incorreto também ocorre. Às vezes, verificar novamente sua própria solução ajudará você a encontrar o limite de sucessões.

sequência monotônica

Acima, consideramos vários exemplos de sequências, métodos para resolvê-los, e agora vamos tentar pegar um caso mais específico e chamá-lo de "sequência monótona".

Definição: é justo chamar qualquer sequência monotonicamente crescente se ela satisfizer a desigualdade estrita x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Juntamente com essas duas condições, também existem desigualdades não estritas semelhantes. Assim, x n ≤ x n +1 (sequência não decrescente) ex n ≥ x n +1 (sequência não crescente).

Mas é mais fácil entender isso com exemplos.

A sequência dada pela fórmula x n \u003d 2 + n forma a seguinte série de números: 4, 5, 6, etc. Esta é uma sequência monotonicamente crescente.

E se tomarmos x n \u003d 1 / n, obteremos uma série: 1/3, ¼, 1/5, etc.

Limite de sequência convergente e limitada

Uma sequência limitada é uma sequência que tem um limite. Uma sequência convergente é uma série de números que tem um limite infinitesimal.

Assim, o limite de uma sequência limitada é qualquer número real ou complexo. Lembre-se de que só pode haver um limite.

O limite de uma sequência convergente é uma quantidade infinitesimal (real ou complexa). Se você desenhar um diagrama de sequência, em um determinado ponto ele irá, por assim dizer, convergir, tender a se transformar em um determinado valor. Daí o nome - sequência convergente.

Limite de sequência monotônica

Tal sequência pode ou não ter um limite. Primeiro, é útil entender quando é, a partir daqui você pode começar a provar a ausência de limite.

Entre as sequências monotônicas, distinguem-se convergentes e divergentes. Convergente - é uma sequência que é formada pelo conjunto x e tem um limite real ou complexo neste conjunto. Divergente - uma sequência que não tem limite em seu conjunto (nem real nem complexo).

Além disso, a sequência converge se seus limites superior e inferior convergem em uma representação geométrica.

O limite de uma sequência convergente pode em muitos casos ser igual a zero, pois qualquer sequência infinitesimal tem um limite conhecido (zero).

Seja qual for a sequência convergente que você tomar, todas elas são limitadas, mas longe de todas as sequências limitadas convergem.

A soma, diferença, produto de duas sequências convergentes também é uma sequência convergente. No entanto, o quociente também pode convergir se for definido!

Várias ações com limites

Limites de sequências são o mesmo valor significativo (na maioria dos casos) que números e números: 1, 2, 15, 24, 362, etc. Acontece que algumas operações podem ser realizadas com limites.

Primeiro, assim como dígitos e números, os limites de qualquer sequência podem ser adicionados e subtraídos. Com base no terceiro teorema sobre os limites das sequências, a seguinte igualdade é verdadeira: o limite da soma das sequências é igual à soma de seus limites.

Em segundo lugar, com base no quarto teorema sobre os limites das sequências, a seguinte igualdade é verdadeira: o limite do produto do n-ésimo número de sequências é igual ao produto de seus limites. O mesmo vale para a divisão: o limite do quociente de duas sequências é igual ao quociente de seus limites, desde que o limite não seja igual a zero. Afinal, se o limite das sequências for igual a zero, a divisão por zero resultará, o que é impossível.

Propriedades do valor da sequência

Parece que o limite da sequência numérica já foi analisado com algum detalhe, mas frases como números “infinitamente pequenos” e “infinitamente grandes” são mencionadas mais de uma vez. Obviamente, se existe uma sequência 1/x, onde x→∞, então tal fração é infinitamente pequena, e se a mesma sequência, mas o limite tende a zero (x→0), então a fração se torna um valor infinitamente grande . E tais valores têm características próprias. As propriedades do limite de uma sequência com valores pequenos ou grandes arbitrários são as seguintes:

1. A soma de qualquer número de quantidades arbitrariamente pequenas também será uma quantidade pequena.
2. A soma de qualquer número de valores grandes será um valor infinitamente grande.
3. O produto de quantidades arbitrariamente pequenas é infinitamente pequeno.
4. O produto de números arbitrariamente grandes é uma quantidade infinitamente grande.
5. Se a sequência original tende a um número infinito, então o recíproco dela será infinitesimal e tenderá a zero.

Na verdade, calcular o limite de uma sequência não é uma tarefa tão difícil se você conhece um algoritmo simples. Mas os limites das sequências são um tema que exige o máximo de atenção e perseverança. Claro, basta simplesmente captar a essência da solução de tais expressões. Começando pequeno, com o tempo, você pode alcançar grandes alturas.

A definição do limite finito de uma sequência é dada. Propriedades relacionadas e uma definição equivalente são consideradas. É dada uma definição de que um ponto a não é um limite de uma sequência. Exemplos são considerados em que a existência de um limite é provada usando a definição.

Contente

Veja também: Limite de sequência - teoremas básicos e propriedades
Principais tipos de desigualdades e suas propriedades

Aqui consideramos a definição do limite finito de uma sequência. O caso de uma sequência que converge para o infinito é discutido na página "Definição de uma sequência infinitamente grande".

O limite de uma sequência é um número a se para qualquer número positivo ε > 0 existe um número natural N ε dependendo de ε tal que para todos os números naturais n > N ε a desigualdade
| x n - a|< ε .
Aqui x n é o elemento da sequência com o número n . Limite de sequência denotado assim:
.
Ou em .

Vamos transformar a desigualdade:
;
;
.

ε é uma vizinhança do ponto a é um intervalo aberto (a - ε, a + ε ). Uma sequência convergente é aquela que tem um limite. Diz-se também que a sequência converge para um. Uma sequência divergente é uma sequência que não tem limite.

Segue-se da definição que se a sequência tem um limite a, então não importa qual ε - vizinhança do ponto a que escolhermos, apenas um número finito de elementos da sequência, ou nenhum (conjunto vazio), pode estar fora disso. E qualquer ε - vizinhança contém um número infinito de elementos. De fato, definindo um certo número ε , temos assim um número . Assim, todos os elementos da sequência com números , por definição, estão na vizinhança ε do ponto a . Os primeiros elementos podem estar em qualquer lugar. Ou seja, fora do ε - vizinhança não pode haver mais que elementos - ou seja, um número finito.

Notamos também que a diferença não precisa tender monotonamente a zero, ou seja, diminuir o tempo todo. Pode tender a zero não monotonicamente: pode aumentar ou diminuir, tendo máximos locais. No entanto, esses máximos, com n crescente, devem tender a zero (talvez também não monotonicamente).

Usando os símbolos lógicos de existência e universalidade, a definição do limite pode ser escrita da seguinte forma:
(1) .

Determinando que a não é um limite

Agora considere a afirmação inversa de que o número a não é o limite da sequência.

número a não é o limite da sequência, se existe tal que para qualquer n natural existe tal m natural >n, o que
.

Vamos escrever esta declaração usando símbolos lógicos.
(2) .

A afirmação de que o número a não é o limite da sequência, significa que
você pode escolher tal ε - vizinhança do ponto a, fora da qual haverá um número infinito de elementos da sequência.

Considere um exemplo. Seja dada uma sequência com um elemento comum
(3)
Qualquer vizinhança de um ponto contém um número infinito de elementos. No entanto, este ponto não é o limite da sequência, pois qualquer vizinhança do ponto também contém um número infinito de elementos. Tome ε - uma vizinhança de um ponto com ε = 1 . Este será o intervalo (-1, +1) . Todos os elementos exceto o primeiro com n par pertencem a este intervalo. Mas todos os elementos com ímpar n estão fora deste intervalo porque satisfazem a desigualdade x n > 2 . Como o número de elementos ímpares é infinito, haverá um número infinito de elementos fora da vizinhança selecionada. Portanto, o ponto não é o limite da sequência.

Vamos agora mostrar isso aderindo estritamente à afirmação (2). O ponto não é o limite da sequência (3), pois existe tal , de modo que, para qualquer n natural, existe um n ímpar para o qual a desigualdade
.

Também pode ser mostrado que qualquer ponto a não pode ser o limite desta sequência. Podemos sempre escolher uma ε - vizinhança do ponto a que não contenha nem o ponto 0 nem o ponto 2. E então haverá um número infinito de elementos da sequência fora da vizinhança escolhida.

Definição equivalente de limite de sequência

Podemos dar uma definição equivalente do limite de uma sequência se expandirmos o conceito de ε - vizinhança. Teremos uma definição equivalente se ao invés de ε-vizinhança, qualquer vizinhança do ponto a aparecer nela. A vizinhança de um ponto é qualquer intervalo aberto contendo esse ponto. Matematicamente vizinhança do pontoé definido da seguinte forma: , onde ε 1 e ε 2 são números positivos arbitrários.

Então a definição equivalente do limite é a seguinte.

O limite de uma sequência é tal número a se para qualquer uma de suas vizinhanças existe um número natural N tal que todos os elementos da sequência com números pertencem a esta vizinhança.

Esta definição também pode ser apresentada de forma expandida.

O limite de uma sequência é um número a se para quaisquer números positivos e existe um número natural N dependendo de e tal que as desigualdades valem para todos os números naturais
.

Prova da equivalência das definições

Vamos provar que as duas definições acima do limite de uma sequência são equivalentes.

Seja o número a o limite da sequência de acordo com a primeira definição. Isso significa que existe uma função , de modo que para qualquer número positivo ε valem as seguintes desigualdades:
(4) no .

Vamos mostrar que o número a é o limite da sequência também pela segunda definição. Ou seja, precisamos mostrar que existe tal função , de modo que para quaisquer números positivos ε 1 e ε 2 valem as seguintes desigualdades:
(5) no .

Vamos ter dois números positivos: ε 1 e ε 2 . E seja ε o menor deles: . Então ; ; . Usamos isso em (5):
.
Mas as desigualdades valem para . Então as desigualdades (5) também valem para .

Ou seja, encontramos uma função tal que as desigualdades (5) valem para quaisquer números positivos ε 1 e ε 2 .
A primeira parte está provada.

Agora seja o número a o limite da sequência de acordo com a segunda definição. Isso significa que existe uma função , de modo que para quaisquer números positivos ε 1 e ε 2 valem as seguintes desigualdades:
(5) no .

Vamos mostrar que o número a é o limite da sequência e pela primeira definição. Para isso você precisa colocar . Então, para , valem as seguintes desigualdades:
.
Isso corresponde à primeira definição com .
A equivalência das definições está provada.

Exemplos

Exemplo 1

Prove isso.

(1) .
No nosso caso ;
.

.
Vamos usar as propriedades das desigualdades. Então se e , então
.

.
Então
no .
Isso significa que o número é o limite da sequência dada:
.

Exemplo 2

Usando a definição de limite de uma sequência, prove que
.

Escrevemos a definição do limite de uma sequência:
(1) .
No nosso caso , ;
.

Entramos com números positivos e:
.
Vamos usar as propriedades das desigualdades. Então se e , então
.

Ou seja, para qualquer positivo, podemos tomar qualquer número natural maior ou igual a:
.
Então
no .
.

Exemplo 3

.

Introduzimos a notação , .
Vamos transformar a diferença:
.
para n natural = 1, 2, 3, ... temos:
.

Escrevemos a definição do limite de uma sequência:
(1) .
Entramos com números positivos e:
.
Então se e , então
.

Ou seja, para qualquer positivo, podemos tomar qualquer número natural maior ou igual a:
.
Em que
no .
Isso significa que o número é o limite da sequência:
.

Exemplo 4

Usando a definição de limite de uma sequência, prove que
.

Escrevemos a definição do limite de uma sequência:
(1) .
No nosso caso , ;
.

Entramos com números positivos e:
.
Então se e , então
.

Ou seja, para qualquer positivo, podemos tomar qualquer número natural maior ou igual a:
.
Então
no .
Isso significa que o número é o limite da sequência:
.

Referências:
LD Kudryavtsev. Curso de análise matemática. Volume 1. Moscou, 2003.
CM. Nikolsky. Curso de análise matemática. Volume 1. Moscou, 1983.

Veja também: