Esta é uma seção bastante interessante da matemática que absolutamente todos os alunos e alunos de pós-graduação enfrentam. No entanto, nem todo mundo gosta de matan. Alguns falham em entender até mesmo coisas básicas como o estudo de função aparentemente padrão. Este artigo visa corrigir esse descuido. Quer saber mais sobre análise de funções? Gostaria de saber o que são pontos extremos e como encontrá-los? Então esse artigo é para você.
Investigação do gráfico de uma função
Para começar, vale a pena entender por que é necessário analisar o gráfico. Existem funções simples que são fáceis de desenhar. Um exemplo notável de tal função é a parábola. Não é difícil desenhar o gráfico dela. Basta, por meio de uma transformação simples, encontrar os números nos quais a função assume o valor 0. E, a princípio, isso é tudo o que você precisa saber para desenhar um gráfico de parábola.
Mas e se a função que precisamos representar graficamente for muito mais complicada? Uma vez que as propriedades de funções complexas são pouco óbvias, é necessário realizar uma análise completa. Só então a função pode ser representada graficamente. Como fazer isso? Você pode encontrar a resposta para esta pergunta neste artigo.
Plano de análise de função
A primeira coisa a fazer é realizar um estudo superficial da função, durante o qual encontraremos o domínio de definição. Então, vamos começar em ordem. O domínio de definição é o conjunto desses valores pelos quais a função é definida. Simplificando, esses são os números que podem ser usados na função em vez de x. Para determinar o escopo, você só precisa olhar para a entrada. Por exemplo, é óbvio que a função y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 tem um domínio de definição - o conjunto dos números reais. Bem, com uma função como (x 2 - 2x) / x, tudo é um pouco diferente. Como o número no denominador não deve ser igual a 0, o domínio dessa função será todos os números reais, exceto o zero.
Em seguida, você precisa encontrar os chamados zeros da função. Esses são os valores do argumento para os quais toda a função assume o valor zero. Para fazer isso, é necessário igualar a função a zero, considerá-la em detalhes e realizar algumas transformações. Tomemos a já conhecida função y(x) = (x 2 - 2x)/x. Pelo percurso escolar, sabemos que uma fração é 0 quando o numerador é zero. Portanto, descartamos o denominador e passamos a trabalhar com o numerador, igualando-o a zero. Obtemos x 2 - 2x \u003d 0 e tiramos x dos colchetes. Portanto, x (x - 2) \u003d 0. Como resultado, descobrimos que nossa função é igual a zero quando x é igual a 0 ou 2.
Durante o estudo do gráfico de uma função, muitos se deparam com um problema na forma de pontos extremos. E é estranho. Afinal, os extremos são um assunto bastante simples. Não acredita? Veja você mesmo lendo esta parte do artigo, na qual falaremos sobre os pontos mínimos e máximos.
Para começar, vale a pena entender o que é um extremo. Um extremo é o valor limite que uma função atinge em um gráfico. A partir disso, verifica-se que existem dois valores extremos - um máximo e um mínimo. Para maior clareza, você pode olhar para a foto acima. Na área investigada, o ponto -1 é o máximo da função y (x) \u003d x 5 - 5x, e o ponto 1, respectivamente, é o mínimo.
Além disso, não confunda conceitos entre si. Os pontos extremos de uma função são aqueles argumentos nos quais a função dada adquire valores extremos. Por sua vez, o extremo é o valor dos mínimos e máximos da função. Por exemplo, considere a figura acima novamente. -1 e 1 são os pontos extremos da função, e 4 e -4 são os próprios extremos.
Encontrando pontos extremos
Mas como você encontra os pontos extremos de uma função? Tudo é bem simples. A primeira coisa a fazer é encontrar a derivada da equação. Digamos que tenhamos a tarefa: "Encontre os pontos extremos da função y (x), x é o argumento. Para maior clareza, vamos considerar a função y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Vamos diferenciar e obtenha a seguinte equação: 3x 2 + 4x + 1. Como resultado, obtivemos a equação quadrática padrão. Tudo o que precisa ser feito é igualá-la a zero e encontrar as raízes. Como o discriminante é maior que zero (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), esta equação é determinada por duas raízes. Nós as encontramos e obtemos dois valores: 1/3 e -1. Esses serão os pontos extremos da função. No entanto, como você ainda pode determinar quem é quem? Qual ponto é o máximo e qual é o mínimo? Para fazer isso, você precisa pegar um ponto vizinho e descobrir seu valor. Por exemplo, vamos pegar o número -2, que está à esquerda ao longo da coordenada linha de -1. Substituímos esse valor em nossa equação y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Como resultado, obtivemos um número positivo. Isso significa que no intervalo de 1/3 a -1 o função aumenta, o que, por sua vez, significa que nos intervalos de min de infinito a 1/3 e de -1 a mais infinito, a função diminui. Assim, podemos concluir que o número 1/3 é o ponto mínimo da função no intervalo investigado, e -1 é o ponto máximo.
Vale ressaltar também que o exame exige não só encontrar pontos extremos, mas também realizar algum tipo de operação com eles (adicionar, multiplicar, etc.). É por isso que vale a pena prestar atenção especial às condições do problema. Afinal, por desatenção, você pode perder pontos.
O ponto extremo de uma função é o ponto no domínio da função onde o valor da função assume um valor mínimo ou máximo. Os valores da função nesses pontos são chamados de extremos (mínimo e máximo) da função.
Definição. Ponto x1 escopo da função f(x) é chamado ponto máximo da função , se o valor da função neste ponto for maior que os valores da função nos pontos próximos o suficiente dela, localizados à direita e à esquerda dela (ou seja, a desigualdade f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 máximo.
Definição. Ponto x2 escopo da função f(x) é chamado ponto mínimo da função, se o valor da função neste ponto for menor que os valores da função nos pontos próximos o suficiente dela, localizados à direita e à esquerda dela (ou seja, a desigualdade f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Neste caso, diz-se que a função tem no ponto x2 mínimo.
digamos que o ponto x1 - ponto máximo da função f(x) . Então no intervalo até x1 função aumenta, então a derivada da função é maior que zero ( f "(x) > 0 ), e no intervalo após x1 a função é decrescente, então função derivada menos que zero ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1
Suponhamos também que o ponto x2 - ponto mínimo da função f(x) . Então no intervalo até x2 a função é decrescente e a derivada da função é menor que zero ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 a função é crescente e a derivada da função é maior que zero ( f "(x) > 0 ). Neste caso também no ponto x2 a derivada da função é zero ou não existe.
Teorema de Fermat (um critério necessário para a existência de um extremo de uma função). Se ponto x0 - ponto extremo da função f(x), então neste ponto a derivada da função é igual a zero ( f "(x) = 0 ) ou não existe.
Definição. Os pontos nos quais a derivada de uma função é igual a zero ou não existe são chamados Pontos críticos .
Exemplo 1 Vamos considerar uma função.
No ponto x= 0 a derivada da função é igual a zero, portanto, o ponto x= 0 é o ponto crítico. Porém, como pode ser visto no gráfico da função, ela aumenta em todo o domínio de definição, então o ponto x= 0 não é um ponto extremo desta função.
Assim, as condições de que a derivada de uma função em um ponto seja igual a zero ou não exista são condições necessárias para um extremo, mas não suficientes, pois podem ser dados outros exemplos de funções para as quais essas condições são satisfeitas, mas a função não possui extremo no ponto correspondente. É por isso deve ter indicações suficientes, que permitem julgar se existe um extremo em um determinado ponto crítico e qual deles - um máximo ou um mínimo.
Teorema (o primeiro critério suficiente para a existência de um extremo de uma função). Ponto crítico x0 f(x) , se a derivada da função mudar de sinal ao passar por este ponto, e se o sinal mudar de "mais" para "menos", então o ponto máximo, e se de "menos" para "mais", então o ponto mínimo .
Se perto do ponto x0 , à esquerda e à direita dela, a derivada mantém seu sinal, isso significa que a função ou só decresce ou só aumenta em alguma vizinhança do ponto x0 . Neste caso, no ponto x0 não há extremo.
Então, para determinar os pontos extremos da função, você precisa fazer o seguinte :
- Encontre a derivada de uma função.
- Iguale a derivada a zero e determine os pontos críticos.
- Mentalmente ou no papel, marque os pontos críticos no eixo numérico e determine os sinais da derivada da função nos intervalos resultantes. Se o sinal da derivada mudar de "mais" para "menos", então o ponto crítico é o ponto máximo, e se de "menos" para "mais", então o ponto crítico é o ponto mínimo.
- Calcule o valor da função nos pontos extremos.
Exemplo 2 Encontrar extremos de uma função 
.
Solução. Vamos encontrar a derivada da função:
Iguale a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
.
Como para quaisquer valores de "x" o denominador não é igual a zero, igualamos o numerador a zero:
Tem um ponto crítico x= 3 . Determinamos o sinal da derivada nos intervalos delimitados por este ponto:
na faixa de menos infinito a 3 - sinal de menos, ou seja, a função diminui,
na faixa de 3 a mais infinito - um sinal de mais, ou seja, a função aumenta.
ou seja, ponto x= 3 é o ponto mínimo.
Encontre o valor da função no ponto mínimo:
Assim, encontra-se o ponto extremo da função: (3; 0) , e é o ponto mínimo.
Teorema (o segundo critério suficiente para a existência de um extremo de uma função). Ponto crítico x0 é o ponto extremo da função f(x), se a segunda derivada da função neste ponto não for igual a zero ( f ""(x) ≠ 0 ), além disso, se a segunda derivada for maior que zero ( f ""(x) > 0 ), então o ponto máximo, e se a segunda derivada for menor que zero ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.
Observação 1. Se em um ponto x0 tanto a primeira quanto a segunda derivada desaparecem, então neste ponto é impossível julgar a presença de um extremo com base no segundo sinal suficiente. Nesse caso, você precisa usar o primeiro critério suficiente para o extremo da função.
Observação 2. O segundo critério suficiente para o extremo de uma função também é inaplicável quando a primeira derivada não existe no ponto estacionário (então a segunda derivada também não existe). Neste caso, também é necessário utilizar o primeiro critério suficiente para o extremo da função.
A natureza local dos extremos da função
Das definições acima, segue-se que o extremo de uma função é de natureza local - este é o maior e o menor valor da função em comparação com os valores mais próximos.
Suponha que você considere seus ganhos em um período de tempo de um ano. Se em maio você ganhou 45.000 rublos, e em abril 42.000 rublos e em junho 39.000 rublos, os ganhos de maio são o máximo da função de ganhos em comparação com os valores mais próximos. Mas em outubro você ganhou 71.000 rublos, em setembro 75.000 rublos e em novembro 74.000 rublos, portanto, os ganhos de outubro são o mínimo da função de ganhos em comparação com os valores próximos. E você pode ver facilmente que o máximo entre os valores de abril-maio-junho é menor que o mínimo de setembro-outubro-novembro.
De um modo geral, uma função pode ter vários extremos em um intervalo e pode ocorrer que qualquer mínimo da função seja maior que qualquer máximo. Então, para a função mostrada na figura acima, .
Ou seja, não se deve pensar que o máximo e o mínimo da função são, respectivamente, seus valores máximo e mínimo em todo o segmento considerado. No ponto máximo, a função tem o maior valor apenas em comparação com aqueles valores que possui em todos os pontos suficientemente próximos do ponto máximo, e no ponto mínimo, o menor valor apenas em comparação com esses valores que tem em todos os pontos suficientemente perto do ponto mínimo.
Portanto, podemos refinar o conceito de pontos extremos de uma função dada acima e chamar os pontos mínimos de pontos mínimos locais e os pontos máximos - pontos máximos locais.
Estamos procurando os extremos da função juntos
Exemplo 3
Solução: A função é definida e contínua em toda a reta numérica. sua derivada 
também existe em toda a reta numérica. Portanto, neste caso, apenas aqueles em que , ou seja, servem como pontos críticos. , de onde e . Pontos críticos e dividem todo o domínio da função em três intervalos de monotonicidade: . Selecionamos um ponto de controle em cada um deles e encontramos o sinal da derivada neste ponto.
Para o intervalo, o ponto de referência pode ser : encontramos . Tomando um ponto no intervalo, obtemos , e tomando um ponto no intervalo, temos . Então, nos intervalos e , e no intervalo . De acordo com o primeiro sinal suficiente de um extremo, não há extremo no ponto (já que a derivada mantém seu sinal no intervalo ), e a função tem um mínimo no ponto (já que a derivada muda de sinal de menos para mais ao passar por este ponto). Encontre os valores correspondentes da função: , e . No intervalo, a função diminui, pois neste intervalo , e no intervalo aumenta, pois neste intervalo.
Para esclarecer a construção do gráfico, encontramos os pontos de interseção do mesmo com os eixos coordenados. Quando obtemos uma equação cujas raízes e , ou seja, dois pontos (0; 0) e (4; 0) do gráfico da função são encontrados. Usando todas as informações recebidas, construímos um gráfico (veja no início do exemplo).
Para autoverificação durante os cálculos, você pode usar calculadora de derivativos on-line .
Exemplo 4 Encontre o extremo da função e construa seu gráfico.
O domínio da função é toda a reta numérica, exceto o ponto, ou seja, .
Para abreviar o estudo, podemos usar o fato de que essa função é par, pois 
. Portanto, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo oi e o estudo só pode ser realizado para o intervalo.
Encontrando a derivada 
e pontos críticos da função:
1) 
;
2) 
,
mas a função sofre uma quebra neste ponto, então não pode ser um ponto extremo.
Assim, a função dada tem dois pontos críticos: e . Levando em consideração a paridade da função, verificamos apenas o ponto pelo segundo sinal suficiente do extremo. Para fazer isso, encontramos a segunda derivada 
e determine seu sinal em : obtemos . Desde e , então é o ponto mínimo da função, enquanto 
.
Para obter uma imagem mais completa do gráfico da função, vamos descobrir seu comportamento nos limites do domínio de definição:
(aqui o símbolo indica o desejo x a zero à direita e x permanece positivo; similarmente significa aspiração x a zero à esquerda e x permanece negativo). Assim, se , então . A seguir, encontramos
,
Essa. se então .
O gráfico da função não tem pontos de interseção com os eixos. A imagem está no início do exemplo.
Para autoverificação durante os cálculos, você pode usar calculadora de derivativos on-line .
Continuamos a procurar os extremos da função juntos
Exemplo 8 Encontre o extremo da função .
Solução. Encontre o domínio da função. Como a desigualdade deve ser válida, obtemos de .
Vamos encontrar a primeira derivada da função.
Extremos de funções
Definição 2
Um ponto $x_0$ é chamado de ponto de máximo da função $f(x)$ se existe uma vizinhança deste ponto tal que para todo $x$ desta vizinhança a desigualdade $f(x)\le f(x_0 )$ está satisfeito.
Definição 3
Um ponto $x_0$ é chamado de ponto máximo da função $f(x)$ se existe uma vizinhança deste ponto tal que para todo $x$ desta vizinhança a desigualdade $f(x)\ge f(x_0) $ está satisfeito.
O conceito de extremo de uma função está intimamente relacionado ao conceito de ponto crítico de uma função. Vamos apresentar sua definição.
Definição 4
$x_0$ é chamado de ponto crítico da função $f(x)$ se:
1) $x_0$ - ponto interno do domínio de definição;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ ou não existe.
Para o conceito de extremo, pode-se formular teoremas sobre condições suficientes e necessárias para sua existência.
Teorema 2
Condição extrema suficiente
Seja o ponto $x_0$ crítico para a função $y=f(x)$ e esteja no intervalo $(a,b)$. Seja em cada intervalo $\left(a,x_0\right)\ e\ (x_0,b)$ a derivada $f"(x)$ e mantenha um sinal constante. Então:
1) Se no intervalo $(a,x_0)$ a derivada $f"\left(x\right)>0$, e no intervalo $(x_0,b)$ a derivada $f"\left(x\ certo)
2) Se a derivada $f"\left(x\right)0$ estiver no intervalo $(a,x_0)$, então o ponto $x_0$ é o ponto mínimo para esta função.
3) Se tanto no intervalo $(a,x_0)$ quanto no intervalo $(x_0,b)$ a derivada $f"\left(x\right) >0$ ou a derivada $f"\left(x \certo)
Este teorema é ilustrado na Figura 1.
Figura 1. Condição suficiente para a existência de extremos
Exemplos de extremos (Fig. 2).
Figura 2. Exemplos de pontos extremos
A regra para examinar uma função para um extremo
2) Encontre a derivada $f"(x)$;
7) Tire conclusões sobre a presença de máximos e mínimos em cada intervalo, usando o Teorema 2.
Função Crescente e Decrescente
Vamos primeiro introduzir as definições de funções crescentes e decrescentes.
Definição 5
Uma função $y=f(x)$ definida em um intervalo $X$ é chamada crescente se para quaisquer pontos $x_1,x_2\em X$ para $x_1
Definição 6
Uma função $y=f(x)$ definida em um intervalo $X$ é chamada decrescente se para quaisquer pontos $x_1,x_2\em X$ para $x_1f(x_2)$.
Examinando uma função para aumentar e diminuir
Você pode investigar funções para aumentar e diminuir usando a derivada.
Para examinar uma função quanto a intervalos de aumento e diminuição, você deve fazer o seguinte:
1) Encontre o domínio da função $f(x)$;
2) Encontre a derivada $f"(x)$;
3) Encontre os pontos onde a igualdade $f"\left(x\right)=0$;
4) Encontre pontos onde $f"(x)$ não existe;
5) Marque na reta coordenada todos os pontos encontrados e o domínio da função dada;
6) Determine o sinal da derivada $f"(x)$ em cada intervalo resultante;
7) Conclua: nos intervalos onde $f"\left(x\right)0$ a função aumenta.
Exemplos de problemas para o estudo de funções crescentes, decrescentes e presença de pontos extremos
Exemplo 1
Investigue a função crescente e decrescente e a presença de pontos de máximos e mínimos: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Como os primeiros 6 pontos são iguais, vamos sorteá-los primeiro.
1) Domínio de definição - todos os números reais;
2) $f"\esquerda(x\direita)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\esquerda(x\direita)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ existe em todos os pontos do domínio de definição;
5) Linha de coordenadas:
Figura 3
6) Determine o sinal da derivada $f"(x)$ em cada intervalo:
\ \. Nesse caso, é claro, assumiremos que a função f (x ) é definido em cada ponto deste intervalo.
O maior de todos os valores que a função assume no =f(x) no intervalo [a, b ], é chamado de máximo absoluto, e o menor é chamado de mínimo absoluto em um determinado intervalo.
Por exemplo, para a função no =f (x ), apresentado graficamente na Figura 274, o mínimo absoluto no intervalo é o valor f (0) = 1, e o máximo absoluto é o valor f (6) =5.
Juntamente com o máximo absoluto e mínimo absoluto em matemática, fala-se frequentemente de máximos e mínimos locais (isto é, locais).
Ponto x = c, dentro do intervalo[a, b ], é chamado de ponto de máximo local da função no =f(x), se para todos os valores x, perto o suficiente para Com,
f (x ) < f (Com ) . (1)
valores de função no =f(x) dentro pontos de seus máximos locais são chamados de máximos locais desta função.
Por exemplo, para a função no =f(x) , apresentados graficamente na Figura 274, os pontos de máximo local são os pontos x = 2 e x = 6, e os próprios máximos locais são os valores
f (2) = 3 e f (6) = 5.
Em pontos x = 2 e x = 6 função f(x) assume valores maiores do que em pontos vizinhos suficientemente próximos a eles:
f (2) >f (x ); f (6) > f (x ).
Para função no =f(x) , representado graficamente na Figura 275, o ponto de máximo local será, por exemplo, o ponto x = c . Para todos x , perto o suficiente para Com ,
f (x ) = f (Com ) ,
então a condição (1) é satisfeita.
Ponto x = x 1 também é um ponto de máximo local. Para todos os valores x , perto o suficiente para x 1 f (x ) < f (x 1) se x < x 1 , e f (x ) = f (x 1) se x > x 1 . Portanto, também neste caso f (x ) < f (x 1). E aqui está o ponto x = x 2 não será mais um ponto de máximo local. À esquerda dela f (x ) = f (x 2), mas à direita dele f (x ) > f (x 2). Portanto, a condição (1) não é satisfeita.
Ponto x = c, dentro do intervalo[a, b ], é chamado de ponto de mínimo local da função no =f(x) se para todos os valores x, perto o suficiente paraCom,
f (x ) > f (Com ) . (2)
Os valores de uma função nos pontos de seus mínimos locais são chamados de mínimos locais dessa função.
Por exemplo, para a função no =f(x) , representado graficamente na Figura 274, o ponto de mínimo local é o ponto x = 3, e o próprio mínimo local é o valor f (3) = 2.
Para a função representada graficamente na Figura 275, o ponto de mínimo local será, por exemplo, o ponto x = x 2. Para todos os valores x , perto o suficiente para x 2 , f (x ) = f (x 2) se x < x 2 , e f (x ) > f (x 2) se x > x 2. Portanto, a condição f (x ) > f (x 2) é executado.
Ponto x = c , que notamos acima como um ponto de máximo local, também é um ponto de mínimo local. De fato, para todos os pontos x , perto o suficiente dele,
f (x ) = f (Com ),
e, portanto, formalmente a desigualdade f (x ) > f (Com ) realizado.
Pontos mínimos e máximos de uma função f (x ) são chamados t pontos extremos esta função. valores de função f (x ) nos pontos extremos são chamados de valores extremos desta função.
A Figura 274 mostra a diferença entre extremos absolutos e locais. Função no =f(x) , representado nesta figura, tem no ponto x = 2 máximo local, que não é um máximo absoluto no intervalo. Da mesma forma para o ponto x = 3 esta função tem um mínimo local, que não é um mínimo absoluto no intervalo .
Se o máximo absoluto da função no =f(x) no intervalo [ a, b ] é atingido em um ponto interno deste intervalo, então este máximo absoluto é obviamente também um máximo local (ver, por exemplo, Fig. 274 no ponto x = 6). Mas pode acontecer que esse máximo absoluto não seja atingido no intervalo [ a, b ], mas em algum ponto extremo (Fig. 276).
Então não é um máximo local. Isso implica a seguinte regra para encontrar o máximo absoluto da função no =f(x) no intervalo [ a, b ],
1. Encontre todos os máximos locais da função no =f(x) neste intervalo.
2. Aos valores obtidos somamos os valores desta função nas extremidades deste intervalo, ou seja, os valores f (uma ) e f (b ).
O maior de todos esses valores nos dará o máximo absoluto da função no =f(x) no intervalo [ a, b ] . Da mesma forma, o mínimo absoluto da função é encontrado no =f(x) no intervalo [ a, b ].
Exemplo. Encontre todos os extremos locais de uma função no = x 2 - 2x - 3. Quais são os maiores e menores valores desta função no intervalo?
Vamos transformar esta função destacando o quadrado completo:
no = x 2 - 2x + 1 -4 = (x - 1) 2 - 4.
Agora é fácil plotar seu gráfico. Será uma parábola ascendente com vértice no ponto (1, -4) (Fig. 277).
O único ponto de extremo local é o ponto x = 1. Nesse ponto, a função tem um mínimo local igual a -4. Para encontrar os maiores e menores valores de uma dada função no intervalo, note que para x = 0 no = - 3, e quando x = 5 no = 12. Dos três valores -4, -3 e 12, o menor é -4 e o maior é 12. Assim, o menor valor (mínimo absoluto) dessa função no intervalo é -4; é conseguido com x = 1. O maior valor (máximo absoluto) desta função no intervalo é 12; é conseguido com x = 5.
exercícios
1589. Quais das funções conhecidas por você em toda a linha numérica:
a) não possuem nenhum extremo local;
b) possuem exatamente um extremo local;
c) tem um número infinito de extremos locais?
Nos exercícios nº 1590-1600, encontre os pontos de extremos locais e os extremos locais dessas próprias funções. Descubra quais são os extremos (altos ou baixos):
Encontre o extremo absoluto dessas funções nos intervalos especificados (No. 1601-1603):
1601. no = - 2x 2 - 3x - 1 no intervalo | x | < 2.
1602. no = |x 2 + 5x + 6| no intervalo [- 5, 4].
1603. no = pecado x - porque x no intervalo [- π / 3 , π / 3 ]
1604. Encontre o extremo absoluto de uma função
no = (x - 3) (x - 5)
em intervalos.
