Definição. Um conjunto é uma coleção de alguns objetos unidos por algum atributo.
Os elementos que compõem um conjunto são geralmente indicados por minúsculas letras latinas, e o próprio conjunto é geralmente indicado por uma letra latina maiúscula. O sinal ∈ é usado para indicar que um elemento pertence a um conjunto. A notação a∈A significa que o elemento a pertence ao conjunto A. Se algum objeto x não for elemento do conjunto A, escreva x∉A. Por exemplo, se A é o conjunto dos números pares, então 2∈A e 1∉A. Os conjuntos A e B são considerados iguais (escreva A = B) se consistirem dos mesmos elementos.
Se um conjunto contém um número finito de elementos, ele é chamado de finito; caso contrário, o conjunto é chamado infinito. Se o conjunto A é finito, o símbolo |A| será denotado pelo número de seus elementos. Um conjunto que não contém um único elemento é chamado de vazio e é denotado pelo símbolo ∅. Obviamente, |∅|=0.
Exemplo. Seja A o conjunto das soluções reais da equação de segundo grau x 2 + px + q = 0. O conjunto A é finito, |A|≤2. Se o discriminante D = p 2 -4q for negativo, o conjunto A é vazio. O conjunto das soluções reais da desigualdade quadrática x 2 +px+q≤0 é finito se D≤0 e infinito se D>0.
Um conjunto finito pode ser definido listando todos os seus elementos,
ou descreva suas propriedades. Se o conjunto A consiste nos elementos x, y, z, escreva A = (x, y, z,). Por exemplo, A = (0, 2, 4, 6, 8) é o conjunto de dígitos decimais pares ou é o conjunto de números naturais que satisfazem a condição x + 2 = 1.
Vamos introduzir a noção de uma família indexada de conjuntos, que será utilizada a seguir. Seja I um conjunto, cada elemento i do qual está associado a um conjunto A i definido exclusivamente. Os elementos do conjunto I são chamados de índices, e a coleção de conjuntos A i é chamada de família indexada de conjuntos e é denotada por (A i) i ∈ I .
Dizemos que o conjunto B é um subconjunto do conjunto A e escrevemos B⊂A se todo elemento do conjunto B é um elemento do conjunto A. Por exemplo, o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos inteiros Z, e este último, por sua vez, é um subconjunto do conjunto dos números racionais Q, ou seja, N⊂Z e Z⊂Q, ou, resumidamente, N⊂Z⊂Q. É fácil ver que se B⊂A e A⊂B, então os conjuntos A e B consistem nos mesmos elementos e, portanto, A=B, caso contrário . Junto com a notação B⊂A, também é usada A⊃B, que tem o mesmo significado.
Subconjuntos do conjunto A diferentes de ∅ e A são chamados próprios. O conjunto vazio e o conjunto A são chamados subconjuntos impróprios conjunto A. O conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A é chamado de seu boleano, ou grau definido, e é denotado por P(A) ou 2 A.
Exemplo. Seja A = (a, b, c). Então o conjunto 2 A consiste nos seguintes elementos:
(∅), (a), (b), (c), (a,b), (a,c), (b,c), (a,b,c).
Se o conjunto A é finito e contém n elementos, então este conjunto possui 2 n subconjuntos, ou seja, |2 A |=2 | A | .
Todas as operações em conjuntos podem ser ilustradas usando diagramas de Euler-Venn. Se algum conjunto universal contendo todos os outros conjuntos como subconjuntos for denotado por U e representado como o plano inteiro, então qualquer conjunto pode ser representado como uma parte do plano, ou seja, na forma de alguma figura deitada em um avião.
união ou soma os conjuntos A e B são chamados de conjunto C, que consiste em elementos do conjunto A, ou elementos do conjunto B, ou elementos de ambos os conjuntos, ou seja, . Por exemplo, se A = (1, 2, 3) e B = (2, 3, 4), então A∪B = (1, 2, 3, 4).
Intersecção ou produto dois conjuntos A e B é chamado de tal conjunto C, que consiste em elementos pertencentes simultaneamente a ambos os conjuntos, ou seja, . Por exemplo, se A = (1, 2, 3) e B = (2, 3, 4), então A∩B = (2, 3).
diferença dois conjuntos A e B é chamado de conjunto que consiste naqueles e somente naqueles elementos que estão incluídos em A e não estão incluídos em B ao mesmo tempo, ou seja,
Por exemplo, se A = (1, 2, 3) e B =(2, 3, 4), então A\B = (1).
Se, em particular, A é um subconjunto de U, então a diferença U\A é denotada e chamada Adição conjuntos A.
Diferença simétrica (soma do anel) conjuntos A e B é chamado de conjunto, ou seja, . Por exemplo, se A =(1, 2, 3) e B = (2, 3, 4), então AΔB = (1, 4).
Defina as leis da álgebra:
1. Lei comutativa: .
2. lei de associação: .
3. lei distributiva:
4. Leis da idempotência: , em particular
5. leis de absorção:
6. Leis de De Morgan (dualidade):
7. lei do complemento duplo:
8. lei de inclusão:
9. Lei da Igualdade:
Exemplo 1 Vamos verificar a primeira das leis de De Morgan. Vamos primeiro mostrar isso. Vamos fingir que. Então x∉A∩B, então x não pertence a pelo menos um dos conjuntos A e B. Assim, x∉A ou x∉B, ou seja, ou .
Significa que. Mostramos que um elemento arbitrário de um conjunto é um elemento de um conjunto. Consequentemente, . A inclusão reversa é provada de forma similar. Basta repetir todos os passos do raciocínio anterior na ordem inversa.
Exemplo 2 Provar inclusões
Solução. A maneira mais fácil de fazer isso é com o diagrama de Euler-Venn.
A partir de qualquer par de elementos a e b (não necessariamente diferentes) você pode compor um novo elemento - par ordenado(a, b). Os pares ordenados (a,b) e (c,d) são considerados iguais e escrevem (a,b) = (c,d) se a = c e b = d. Em particular, (a,b) = (b,a) somente se a=b. Os elementos a e b são chamados de coordenadas do par ordenado (a,b).
Produto direto (cartesiano) conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados (a,b), onde a∈A e b∈B. O produto direto dos conjuntos A e B é denotado por A×B. De acordo com a definição, temos
A×B = ((a,b)| a∈A, b∈B). A obra chama-se quadrado cartesiano.
Exemplo 3 Dado conjuntos A = (1; 2); B = (2; 3). Achar .
Solução.
Assim, o produto cartesiano não obedece à lei comutativa.
Exemplo 4 Let De quais elementos os conjuntos consistem?
Solução. Vamos escrever os conjuntos A; NO; C, listando seus elementos:
A = (3; 4; 5; 6); B = (2; 3); C = (2). Então, como pares, pode-se considerar triplos ordenados, quádruplos e, em geral, conjuntos ordenados de elementos de comprimento arbitrário. Um conjunto ordenado de elementos de comprimento n é denotado por (a 1 , a 2 , a n). Para tais conjuntos, a tupla de nome de comprimento n também é usada. Tuplas de comprimento 1 também são permitidas - elas são simplesmente conjuntos singleton. Tuplas (a 1 , a 2 , a n) e (b 1 , b 2 , b n) são consideradas iguais se a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , a n = b n .
Por analogia com o produto de dois conjuntos, definimos o produto direto dos conjuntos A 1 , A 2 , A n como o conjunto de todas as tuplas (a 1 , a 2 , a n) tais que a 1 ∈A 1 , a 2 ∈ A 2 , a n ∈A n . O produto direto é denotado por A 1 × A 2 × A n .
O conceito de produto direto pode ser generalizado para o caso de uma família arbitrária de conjuntos (A i) i ∈ I . Vamos chamar uma I-upla de um conjunto de elementos (A i) i ∈ I tal que a i ∈A i para cada i∈I. O produto direto de uma família de conjuntos (A i) i ∈ I é o conjunto formado por todas as I-uplas. Esse conjunto é denotado pelo símbolo Π i ∈ I A i e suas variantes, semelhantes àquelas usadas para denotar a interseção e união de uma família de conjuntos.
Quando um conjunto A é multiplicado por si mesmo, o produto é chamado de potência (cartesiana) e a notação exponencial é usada. Assim, de acordo com a definição de A × A = A 2, A × A × A = A 3, etc. Acredita-se que A 1 = A e A 0 = ∅.
As seguintes relações decorrem diretamente das definições (A∪B) × C = (A × C) ∪ (B × C);
(A∩B) × C = (A × C) ∩ (B × C);
(A\B)×C = (A×C)\(B×C).
1. Sudoplatov S.V., Ovchinnikova E.V. Elementos de matemática discreta. M.: INFRA-M, Novosibirsk, 2002.
2. Aseev G.G., Abramov O.M., Sitnikov D.E. Matemática discreta. Kharkov, "Torsing", 2003.
3. Nefedov V.N., Osipova V.A. Curso de Matemática Discreta. M.: Nauka, 1973.
4. Lavrov I.A., Maksimova L.L. Problemas em teoria dos conjuntos, lógica matemática e teoria dos algoritmos. M.: FIZMATLIT, 2001.
Váriosé uma coleção de alguns objetos. Os objetos que compõem um conjunto são chamados de elementos desse conjunto.
Por exemplo: muitos alunos, muitos carros, muitos números .
Em matemática, o conjunto é considerado muito mais amplamente. Não vamos nos aprofundar muito neste tema, pois pertence à matemática superior e a princípio pode criar dificuldades de aprendizagem. Consideraremos apenas a parte do tópico com o qual já lidamos.
Conteúdo da liçãoNotação
O conjunto é mais frequentemente denotado por letras maiúsculas do alfabeto latino e seus elementos - minúsculas. Os elementos são colocados entre chaves.
Por exemplo, se nossos amigos são chamados Tom, João e Leo , então podemos especificar um conjunto de amigos cujos elementos serão Tom, John e Leo.
Denote o conjunto de nossos amigos por meio de uma letra latina maiúscula F(amigos), coloque um sinal de igual e liste nossos amigos entre chaves:
F = ( Tom, John, Leo )
Exemplo 2. Vamos escrever o conjunto de divisores do número 6.
Vamos denotar este conjunto por qualquer letra latina maiúscula, por exemplo, pela letra D
então colocamos um sinal de igual e listamos os elementos desse conjunto entre chaves, ou seja, listamos
D = ( 1, 2, 3, 6 }
Se algum elemento pertence a um determinado conjunto, então essa pertinência é indicada pelo sinal de pertinência ∈ . Por exemplo, o divisor 2 pertence ao conjunto dos divisores do número 6 (o conjunto D). Está escrito assim:
2 ∈ D
lê como « 2pertence ao conjunto dos divisores do número 6«
Se algum elemento não pertence a um determinado conjunto, essa não pertença é indicada usando um sinal de pertença riscado ∉ . Por exemplo, o divisor 5 não pertence ao conjunto D. Está escrito assim:
5∉D
lê como « 5 Não pertence conjunto de divisores 6«
Além disso, um conjunto pode ser escrito por enumeração direta de elementos, sem letras maiúsculas. Isso pode ser conveniente se o conjunto consistir em um pequeno número de elementos. Por exemplo, vamos definir um conjunto de um elemento. Deixe este elemento ser nosso amigo Volume:
( Volume )
Vamos definir um conjunto que consiste em um número 2
{ 2 }
Vamos definir um conjunto que consiste em dois números: 2 e 5
{ 2, 5 }
Conjunto de números naturais
Este é o primeiro conjunto com o qual começamos a trabalhar. Os números naturais são os números 1, 2, 3, etc.
Os números naturais surgiram devido à necessidade das pessoas de contar esses outros objetos. Por exemplo, conte o número de galinhas, vacas, cavalos. Os números naturais surgem naturalmente na contagem.
Nas lições anteriores, quando usamos a palavra "número", na maioria das vezes era um número natural.
Na matemática, o conjunto dos números naturais é denotado por uma letra latina maiúscula N.
Por exemplo, digamos que o número 1 pertença ao conjunto dos números naturais. Para fazer isso, escrevemos o número 1, então, usando o sinal de pertinência ∈, indicamos que a unidade pertence ao conjunto N
1 ∈ N
Lê como: "um pertence ao conjunto dos números naturais"
Conjunto de números inteiros
O conjunto de inteiros inclui todos os positivos e , bem como o número 0.
O conjunto de números inteiros é denotado por uma letra latina maiúscula Z .
Indiquemos, por exemplo, que o número −5 pertence ao conjunto dos inteiros:
−5 ∈ Z
Indicamos que 10 pertence ao conjunto dos inteiros:
10 ∈ Z
Indicamos que 0 pertence ao conjunto dos inteiros:
No futuro, chamaremos todos os números positivos e negativos com uma frase - números inteiros.
Conjunto de números racionais
Os números racionais são as mesmas frações ordinárias que estudamos até hoje.
Um número racional é um número que pode ser representado como uma fração, onde uma- numerador de uma fração b- denominador.
A função do numerador e do denominador pode ser qualquer número, inclusive inteiros (com exceção do zero, pois não é possível dividir por zero).
Por exemplo, suponha que em vez de uma vale o número 10, e em vez de b- número 2
10 dividido por 2 é igual a 5. Vemos que o número 5 pode ser representado como uma fração, o que significa que o número 5 está incluído no conjunto dos números racionais.
É fácil ver que o número 5 também se aplica ao conjunto dos inteiros. Portanto, o conjunto dos números inteiros está incluído no conjunto dos números racionais. Isso significa que o conjunto de números racionais inclui não apenas frações ordinárias, mas também inteiros da forma −2, −1, 0, 1, 2.
Agora imagine que ao invés de umaé o número 12, e em vez de b- número 5.
12 dividido por 5 é igual a 2,4. Vemos que a fração decimal 2,4 pode ser representada como uma fração, o que significa que está incluída no conjunto dos números racionais. A partir disso, concluímos que o conjunto dos números racionais inclui não apenas frações ordinárias e inteiros, mas também frações decimais.
Calculamos a fração e obtivemos a resposta 2.4. Mas poderíamos destacar a parte inteira nesta fração:
Quando você seleciona a parte inteira em uma fração, obtém um número misto. Vemos que um número misto também pode ser representado como uma fração. Isso significa que o conjunto dos números racionais também inclui números mistos.
Como resultado, chegamos à conclusão de que o conjunto dos números racionais contém:
- números inteiros
- frações comuns
- decimais
- números mistos
O conjunto dos números racionais é denotado por uma letra latina maiúscula Q.
Por exemplo, indicamos que a fração pertence ao conjunto dos números racionais. Para fazer isso, escrevemos a própria fração e, usando o sinal de pertinência ∈, indicamos que a fração pertence ao conjunto dos números racionais:
∈ Q
Indicamos que a fração decimal 4,5 pertence ao conjunto dos números racionais:
4,5 ∈ Q
Indicamos que o número misto pertence ao conjunto dos números racionais:
∈ Q
A lição introdutória sobre conjuntos agora está concluída. No futuro, veremos os conjuntos muito melhor, mas, por enquanto, este tutorial será suficiente.
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Analise matemática
Um conjunto é uma coleção de objetos de qualquer natureza. Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas e os elementos de um conjunto por letras minúsculas. Os elementos do conjunto são colocados entre chaves.
Se elemento x pertence ao conjunto x, então escreva x∈x (∈
- pertence).
Se o conjunto A faz parte do conjunto B, então escreva A ⊂ B (⊂
- Está contido).
Um conjunto pode ser definido de duas maneiras: por enumeração e por uma propriedade definidora.
Por exemplo, a enumeração define os seguintes conjuntos:
§ A=(1,2,3,5,7) - conjunto de números
§ Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - conjunto de alguns elementos x 1 ,x 2 ,...,x n
§ N=(1,2,...,n) - conjunto dos números naturais
§ Z=(0,±1,±2,...,±n) - conjunto de inteiros
O conjunto (-∞;+∞) é chamado linha numérica, e qualquer número é um ponto desta linha. Seja a um ponto arbitrário na reta numérica e δ um número positivo. O intervalo (a-δ; a+δ) é chamado δ-vizinhança do ponto a.
O conjunto X é limitado por cima (por baixo) se existe tal número c que para qualquer x ∈ X a desigualdade x≤с (x≥c) é satisfeita. O número c neste caso é chamado borda superior (inferior) conjuntos X. Um conjunto limitado acima e abaixo é chamado limitado. A menor (maior) das faces superiores (inferiores) do conjunto é chamada rosto superior (inferior) exato este conjunto.
Dois os conjuntos A e B são iguais(A=B) se forem compostos pelos mesmos elementos.
Por exemplo, se A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) então A=B.
União (soma) conjuntos A e B é chamado de conjunto A ∪ B, cujos elementos pertencem a pelo menos um desses conjuntos.
Por exemplo, se A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), então A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)
Interseção (produto) conjuntos A e B é chamado de conjunto A ∩ B, cujos elementos pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.
Por exemplo, se A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), então A ∩ B = (2,4)
diferença conjuntos A e B é chamado de conjunto AB, cujos elementos pertencem ao conjunto A, mas não pertencem ao conjunto B.
Por exemplo, se A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), então AB = (1,2)
diferença simétrica conjuntos A e B é chamado de conjunto A Δ B, que é a união das diferenças dos conjuntos AB e BA, ou seja, A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Por exemplo, se A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), então A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)
2. Método de indução matemática (exemplo). Desigualdade de Bernoulli.
3. Axiomática do conjunto dos números reais: operação de adição, operação de multiplicação, relação de ordem.
4. Axiomática do conjunto dos números reais: axioma de Arquimedes, axioma de Dedekind.
AXIOMA DE ARQUIMEDES
Axioma, originalmente formulado para segmentos, de que, colocando de lado o menor de dois segmentos dados um número suficiente de vezes, pode-se sempre obter um segmento maior que o maior deles. Da mesma forma, A. a. é formulado para áreas, volumes, números positivos, etc. Em geral, para uma determinada quantidade, um A. a. ocorre se para quaisquer dois valores desta quantidade tal que, você sempre pode encontrar um número inteiro t, o que ; Esta é a base para o processo de divisão sucessiva em aritmética e geometria (cf. algoritmo euclidiano). O valor de A. a. tornou-se claro com total clareza depois, no século XIX. descobriu-se a existência de quantidades, em relação às quais este axioma é injusto, - o chamado. quantidades não arquimedianas
axioma de Dedekind
um dos axiomas de continuidade (ver axiomas de continuidade). Sim. diz: se todos os pontos de uma linha são divididos em duas classes não vazias, e todos os pontos da primeira classe estão localizados à esquerda de todos os pontos da segunda, então existe o ponto mais à direita da primeira classe ou o mais à esquerda ponto do segundo
5. Módulo de um número real e suas propriedades.
Valor absoluto
(ou módulo
) número real xé chamado de número não negativo definido pela relação 
Propriedades do módulo
. 1. . 2. . 3. Desigualdades e são equivalentes. 4. O módulo da soma de dois números reais é menor ou igual à soma dos módulos desses números:
Esta propriedade é válida para qualquer número finito de termos.
5. O módulo da diferença de dois números reais é maior ou igual à diferença dos módulos desses números:
. 6. O módulo do produto dos números é igual ao produto dos módulos destes números:
. Esta propriedade é verdadeira para qualquer número finito de fatores. 7. O módulo do quociente de dois números (se o divisor for diferente de zero) é igual ao quociente dos módulos desses números:
6. Limites de conjuntos numéricos. Limites superiores e inferiores exatos de conjuntos numéricos.
7. Função real de um argumento real: funções elementares, seu domínio e gráfico, funções complexas e não elementares.
8. Métodos para definir funções, operações aritméticas em funções.
9. Uma classificação simples de funções de um argumento real.
10. O limite de uma sequência numérica e seu significado geométrico.
11. Propriedades das sequências convergentes: Teorema 1. Unicidade do limite (com prova). Teorema 2.
12. Sequências numéricas infinitesimais e infinitamente grandes: definições. ligação entre eles.
13. Lemas sobre sequências numéricas infinitesimais. Consequências. Exemplos.
14. Teoremas sobre os limites das sucessões numéricas. Consequências.
15. Cálculo dos limites de sequências numéricas: regras para revelação de incertezas da forma, . Conclusão. Exemplo.
16. Passagem ao limite nas desigualdades: Teorema 1. (Sobre a preservação do sinal do limite). Teorema 2 (passagem ao limite nas desigualdades). Teorema 3 (sobre sequência comprimida). Teorema de Weierstrass.
17. Número e (com comprovativo). logaritmos naturais.
18. Pontos limite de um set.
19. Definição do limite de uma função em um ponto segundo Cauchy e seu significado geométrico.
20. Determinação do limite de uma função em um ponto segundo Heine. Teoremas básicos sobre o limite de uma função. Cálculo do limite de uma função em um ponto: uma regra de divulgação de incerteza na forma Exemplo.
21. Limite de uma função sobre um conjunto. Corredores unilaterais. Observações.
22. O primeiro limite notável (com prova). Consequências.
23. O segundo limite maravilhoso. Observações. Limites notáveis associados a funções exponenciais e logarítmicas. Mudança de variável sob o sinal de limite. Exemplo.
24. Continuidade e breakpoints de uma função. Propriedades das funções contínuas.
25. Derivadas de funções simples: definição de derivada de função, significado geométrico de derivada de função. Equações da tangente e normal à curva.
26. Regras básicas de diferenciação de funções. Derivadas de funções elementares. Exemplo.
27. Derivada de uma função complexa. Diferenciação logarítmica. Derivada de uma função de potência exponencial.
28. Diferencial de uma função e seu significado geométrico e mecânico. Conclusão.
29. Regras básicas para encontrar a diferencial de uma função. Diferencial de uma função composta. Invariância da forma da diferencial de primeira ordem. .
30. Derivadas e diferenciais de ordem superior de uma função. Significado mecânico e geométrico da segunda derivada. Fórmula de Leibniz.
31. Teoremas básicos de diferenciação: teorema de Fermat, teorema de Role e seu significado geométrico.
32. Teoremas básicos de diferenciação: teorema de Lagrange, teorema de Cauchy e seu significado geométrico.
33. Aplicações da derivada: regra de L'Hopital para divulgação de incertezas da forma e, divulgação de incertezas da forma. Exemplo.
34. A antiderivada de uma função e a integral indefinida. Propriedades do integral indefinido. Tabela de integrais básicos.
35. Métodos de integração de funções: integração direta; método de substituição de variáveis; método de integração por partes.
36. Definição e propriedades de uma integral definida.
37. Cálculo de uma integral definida. Fórmula de Newton-Leibniz. Métodos de integração num integral definido: mudança de variável, método de integração por partes.
38. Série de números. Convergência e divergência de séries numéricas. Um critério necessário para a convergência de séries.
39. Sinais suficientes de convergência de séries numéricas: sinal de comparação, sinal limite de comparação.
40. Critérios suficientes para a convergência de séries numéricas: teste radical de Cauchy, teste de d'Alembert.
Um conjunto é um dos conceitos básicos da matemática moderna, usado em quase todas as suas seções.
Em muitas questões é necessário considerar um determinado conjunto de elementos como um todo. Assim, um biólogo, estudando o mundo animal e vegetal de uma determinada área, classifica todos os indivíduos por espécie, espécie por gênero, etc. Cada espécie é um determinado conjunto de seres vivos, considerados como um todo.
Para a descrição matemática de tais coleções, foi introduzido o conceito de conjunto. Segundo um dos criadores da teoria dos conjuntos, o matemático alemão Georg Kantor (1845-1918), “um conjunto é muito, concebido por nós como um”. Claro, essas palavras não podem ser consideradas como uma definição matematicamente rigorosa de um conjunto, tal definição não existe, pois o conceito de conjunto é o inicial, com base no qual são construídos os demais conceitos da matemática. Mas a partir dessas palavras fica claro que se pode falar do conjunto dos números naturais, o conjunto dos triângulos no plano.
Conjuntos que consistem em um número finito de elementos são chamados de finitos, e os conjuntos restantes são chamados de infinitos. Por exemplo, o conjunto das baleias no oceano é finito, mas o conjunto dos números racionais é infinito. Conjuntos finitos podem ser especificados listando seus elementos (por exemplo, o conjunto de alunos em uma determinada turma é fornecido por sua lista no diário da turma). Se o conjunto consiste em elementos , então escreva: . Conjuntos infinitos não podem ser definidos por uma lista de seus elementos. Eles geralmente são definidos especificando uma propriedade que todos os elementos de um determinado conjunto possuem, mas nenhum dos elementos que não pertencem a esse conjunto possui. Tal propriedade é chamada de característica para o conjunto em consideração. Se é uma abreviatura para a frase “um elemento tem a propriedade”, então o conjunto de todos os elementos que têm a propriedade é denotado da seguinte forma: . Por exemplo, a entrada 
significa o conjunto de raízes da equação , ou seja vários . Pode acontecer que não haja um único elemento que tenha uma propriedade (por exemplo, não haja um único número ímpar que seja divisível por 2). Nesse caso, não há elementos no conjunto. Um conjunto que não contém nenhum elemento é chamado de vazio. Está marcado com um símbolo.
Se o elemento pertencer ao conjunto, escreva: , caso contrário, escreva: ou . Conjuntos compostos pelos mesmos elementos são chamados iguais (coincidentes). Por exemplo, o conjunto dos triângulos equiláteros e o conjunto dos triângulos equiláteros são iguais, pois são os mesmos triângulos: se em um triângulo todos os lados são iguais, então todos os seus ângulos são iguais; inversamente, da igualdade de todos os três ângulos de um triângulo, segue-se a igualdade de todos os seus três lados. Obviamente, dois conjuntos finitos são iguais, diferindo um do outro apenas na ordem de seus elementos, por exemplo 
.
Todo quadrado é um retângulo. Diz-se que o conjunto dos quadrados faz parte do conjunto dos retângulos ou, como dizem na matemática, é um subconjunto do conjunto dos retângulos. Se o conjunto for um subconjunto do conjunto, escreva: ou . Para qualquer conjunto, as inclusões e são verdadeiras.
A partir desses conjuntos você pode construir novos conjuntos usando as operações de interseção, união e subtração. A interseção de conjuntos é sua parte comum, ou seja, o conjunto de elementos que pertencem a ambos e . Este conjunto é denotado por: . Por exemplo, a interseção de duas figuras geométricas é sua parte comum, a interseção de um conjunto de losangos com um conjunto de retângulos é um conjunto de quadrados, etc.
Uma união de conjuntos é um conjunto composto por elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos. Em várias questões de classificação, a representação de conjuntos como uma união de subconjuntos disjuntos aos pares é usada. Por exemplo, o conjunto de polígonos é a união do conjunto de triângulos, quadriláteros, ..., -gons.
Se aplicarmos as operações de união e interseção a subconjuntos de algum conjunto, então novamente subconjuntos do mesmo conjunto serão obtidos. Essas operações têm muitas propriedades semelhantes às da adição e multiplicação de números. Por exemplo, a interseção e a união de conjuntos têm as propriedades de comutatividade e associatividade, a interseção é distributiva em relação à união, ou seja, para quaisquer conjuntos e a relação é verdadeira, e assim por diante. Mas, ao mesmo tempo, as operações em conjuntos têm várias propriedades que não têm análogos nas operações com números. Por exemplo, as igualdades e são verdadeiras para qualquer conjunto, a segunda lei distributiva é verdadeira e assim por diante.
Usando as propriedades de operações em conjuntos, você pode transformar expressões contendo conjuntos, assim como você pode usar as propriedades de operações em números para transformar expressões em álgebra comum. A álgebra que surge dessa maneira é chamada de álgebra booleana, em homenagem ao matemático e lógico inglês J. Boole (1815-1864), que a tratou em conexão com os problemas da lógica matemática. As álgebras booleanas encontram inúmeras aplicações, em particular na teoria de redes elétricas.
A principal característica de um conjunto finito é o número de seus elementos (por exemplo, o conjunto de vértices de um quadrado contém 4 elementos). Se houver números iguais de elementos nos conjuntos, por exemplo, se , , então os pares podem ser feitos a partir dos elementos desses conjuntos 
, e cada elemento de , bem como cada elemento de , está incluído em um, e apenas um, par. Diz-se que neste caso se estabelece uma correspondência biunívoca entre os elementos dos conjuntos e. E vice-versa, se entre dois conjuntos finitos e for possível estabelecer uma correspondência biunívoca, então eles têm o mesmo número de elementos.
G. Kantor propôs comparar conjuntos infinitos entre si de maneira semelhante. Dizemos que os conjuntos e têm a mesma cardinalidade se uma correspondência um-para-um puder ser estabelecida entre eles. Comparando desta forma conjuntos compostos por números, Cantor mostrou que existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números racionais, embora o conjunto dos números naturais seja apenas uma parte do conjunto dos racionais. números. Assim, na teoria dos conjuntos infinitos, a afirmação de que "a parte é menor que o todo" perde sua validade.
Conjuntos com a mesma cardinalidade que o conjunto dos números naturais são chamados contáveis. Assim, o conjunto dos números racionais é contável. O exemplo mais importante de um conjunto incontável é o conjunto de todos os números reais (ou, de forma equivalente, o conjunto de pontos em uma linha reta). Como uma linha reta é contínua, essa potência incontável é chamada de potência do continuum (do latim continuum - “contínuo”). A potência do continuum tem um conjunto de pontos de um quadrado, um cubo, um plano e todo o espaço.
Por muitos anos, os matemáticos têm resolvido o problema de saber se existe um conjunto cuja cardinalidade é intermediária entre a cardinalidade contável e a cardinalidade do contínuo. Nos anos 60. do nosso século, o matemático americano P. Cohen e o matemático tcheco P. Vopenka provaram quase simultaneamente de forma independente que tanto a existência de tal conjunto quanto sua ausência não contradizem o resto dos axiomas da teoria dos conjuntos (semelhante à aceitação do axioma das paralelas ou a negação deste axioma não contradizem os outros axiomas da geometria).
teorias
Existem duas abordagens principais para o conceito de um conjunto - ingénuo e axiomático teoria de conjuntos.
Teoria dos conjuntos axiomáticos
Hoje, um conjunto é definido como um modelo que satisfaz os axiomas ZFC (os axiomas de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha). Com essa abordagem, em algumas teorias matemáticas, surgem coleções de objetos que não são conjuntos. Essas coleções são chamadas de classes (de diferentes ordens).
Definir elemento
Os objetos que compõem um conjunto são chamados definir elementos ou pontos de ajuste. Os conjuntos são geralmente denotados por letras maiúsculas do alfabeto latino, seus elementos - por pequenos. Se a é um elemento do conjunto A, então escreva a ∈ A (a pertence a A). Se a não é um elemento do conjunto A, então escreva a ∉ A (a não pertence a A).
Alguns tipos de conjuntos
- Um conjunto ordenado é um conjunto no qual a relação de ordem é dada.
- Um conjunto (em particular, um par ordenado). Ao contrário de apenas um conjunto, ele é escrito entre parênteses: ( x 1 , x 2 , x 3 , …) e os elementos podem ser repetidos.
Por hierarquia:
Conjunto de conjuntos Subconjunto Superconjunto
Por limitação:
Operações em conjuntos
Literatura
- Stoll R. R. Conjuntos. Lógicas. teorias axiomáticas. - M.: Educação, 1968. - 232 p.
Veja também
Fundação Wikimedia. 2010 .
Veja o que é "Set Element" em outros dicionários:
definir elemento- - [L.G. Sumenko. Dicionário Russo Inglês de Tecnologias de Informação. M.: GP TsNIIS, 2003.] elemento de um conjunto Um objeto de qualquer natureza que, juntamente com outros objetos semelhantes, compõe um conjunto. Freqüentemente, em vez do termo elemento em ... ...
Definir elemento- um objeto de qualquer natureza que, juntamente com outros objetos semelhantes, constitua um conjunto. Muitas vezes, em vez do termo elemento nesse sentido, eles usam "ponto do conjunto", "membro do conjunto", etc. ... ...
SET, em matemática, uma coleção de certos objetos. Esses objetos são chamados de elementos do conjunto. O número de elementos pode ser infinito ou finito, ou mesmo zero (o número de elementos em um conjunto vazio é denotado por 0). Cada… … Dicionário Enciclopédico Científico e Técnico
elemento- Um termo generalizado, que, dependendo das condições relevantes, pode ser entendido como superfície, linha, ponto. Notas 1. Um elemento pode ser uma superfície (uma parte de uma superfície, um plano de simetria de várias superfícies), uma linha (um perfil ... Manual do Tradutor Técnico
Parte de algo. Uma das possíveis etimologias desta palavra é o nome de uma série de consoantes latinas L, M, N (el em en). Elemento (filosofia) Um elemento é um atributo obrigatório de uma bandeira, estandarte e estandarte. Elemento do conjunto Elementar ... ... Wikipedia
Elemento- o componente primário (para este estudo, modelo) de um todo complexo. Ver Elemento do conjunto, Elemento do sistema... Dicionário Econômico e Matemático
Um conjunto é um dos objetos-chave da matemática, em particular, da teoria dos conjuntos. “Sob o conjunto, queremos dizer a unificação em um todo de certos objetos completamente distinguíveis de nossa intuição ou nosso pensamento” (G. Kantor). Isso não está completo ... ... Wikipedia
elemento- 02.01.14 elemento (sinal ou símbolo de caractere): Uma única barra ou espaço em um símbolo de código de barras, ou uma única célula poligonal ou circular em um símbolo de matriz, formando um sinal de símbolo em ... ... Dicionário-livro de referência de termos de documentação normativa e técnica
MAS; m. [de lat. elemento elementum, substância original] 1. Uma parte integrante do que l.; componente. Divida o todo em elementos. Quais são os elementos da cultura? Natureza e. Produção. Os elementos constitutivos do quê. // Movimento característico, um ... ... dicionário enciclopédico
