Uma esfera e uma bola são um análogo de um círculo e um círculo no espaço tridimensional. Vale a pena falar sobre cada uma dessas figuras, destacando as semelhanças e diferenças, bem como as fórmulas inerentes a essas figuras.
A maioria das construções geométricas é feita em um plano, mas no ensino médio eles começam a estudar figuras tridimensionais. O espaço bidimensional tem apenas duas características: comprimento e largura. A altura é adicionada em regiões 3D. Na matemática da 6ª série, figuras 3D individuais são estudadas.
No plano, a figura foi caracterizada por área e perímetro. Em objetos tridimensionais, o volume é adicionado a eles.
Arroz. 1. Espaço tridimensional.
Além disso, há uma série de propriedades específicas de formas 3D. Eles podem ser cruzados por uma linha reta e um plano, pode haver planos secantes que assumem a forma de outras figuras.
O uso de formas 3D para compor tarefas as complica muito, mas ao mesmo tempo as torna muito mais interessantes. Damos as definições de bola e esfera, após o que tentaremos destacar as diferenças entre essas figuras.
Bola
Uma esfera e uma esfera são um análogo de um círculo e um círculo em um plano. Uma bola é uma figura obtida pela rotação de um semicírculo em torno de um ponto.
A bola tem uma área de superfície: $S=4pir^2$
Um raio é um segmento de linha que conecta o centro da bola e qualquer um dos pontos em sua superfície.
Fórmula de volume para uma esfera$V=(4pir^3\over3)$
O volume mostra quanto espaço uma figura ocupa. Para entender o que é volume, você precisa imaginar uma figura oca. Então o volume é a quantidade de água que pode ser derramada nesta figura
Uma bola, como qualquer outra figura tridimensional, pode ser cortada por um plano. O plano secante da bola é um círculo, cujo centro pode ser encontrado deixando cair uma perpendicular do centro da bola sobre o círculo.
Arroz. 2. Seção da bola.
Uma esfera é uma figura que é um conjunto de pontos no espaço equidistantes do centro da esfera. Esfera:
- Tem as mesmas fórmulas de volume e área de superfície que uma esfera.
- O plano de corte de uma esfera é um círculo
- O centro do círculo secante é encontrado da mesma forma que no caso de uma bola
Arroz. 3. Esfera.
Qual é a diferença
Então surge a pergunta: qual é a diferença entre uma bola e uma esfera, exceto pela definição? O fato é que as diferenças entre uma bola e uma esfera são muito mais indistintas do que as diferenças entre um círculo e um círculo. Uma esfera também tem volume e área de superfície.
Talvez, além da definição, a diferença resida no fato de que o volume da esfera nunca é encontrado em problemas. Via de regra, procuram o volume da bola. Isso não significa que a esfera não tenha volume. Esta é uma figura tridimensional, por isso tem volume.
Uma analogia é simplesmente desenhada com um círculo que não tem área. Isso não é uma regra, mas sim uma tradição que precisa ser lembrada: em geometria, a formulação do volume de uma esfera não é bem-vinda.
Outra diferença que pode ser considerada mais ou menos significativa: o plano de corte de uma esfera: um círculo que não tem espaço interno, mas tem comprimento. Plano seccional de uma esfera: Um círculo que tem uma área e nenhuma circunferência. Portanto, vale a pena ter cuidado na redação do problema para que não haja erros devido a tais ninharias.
O que aprendemos?
Aprendemos o que são uma esfera e uma bola. Conversamos sobre suas semelhanças e diferenças. Aprendemos que quase não há diferenças entre esses números. Decidimos que não é necessário dar uma formulação como o volume de uma esfera.
Questionário de tópico
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Definição.
Esfera (superfície da bola) é a coleção de todos os pontos no espaço tridimensional que estão à mesma distância de um único ponto, chamado o centro da esfera(SOBRE).Uma esfera pode ser descrita como uma figura tridimensional que é formada girando um círculo em torno de seu diâmetro em 180° ou um semicírculo em torno de seu diâmetro em 360°.
Definição.
Bolaé a coleção de todos os pontos no espaço tridimensional, cuja distância não excede uma certa distância até um ponto chamado centro de bola(O) (conjunto de todos os pontos do espaço tridimensional delimitados por uma esfera).Uma bola pode ser descrita como uma figura tridimensional, que é formada girando um círculo em torno de seu diâmetro em 180 ° ou um semicírculo em torno de seu diâmetro em 360 °.
Definição. Raio da esfera (bola)(R) é a distância do centro da esfera (bola) O a qualquer ponto da esfera (superfície da bola).
Definição. Diâmetro da esfera (bola)(D) é um segmento que liga dois pontos da esfera (a superfície da bola) e passa pelo seu centro.
Fórmula. Volume da bola:
| V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
Fórmula. Superfície de uma esfera através do raio ou diâmetro:
S = 4π R 2 = π D 2
Equação Esférica
1. Equação de uma esfera com raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas:
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
2. Equação de uma esfera com raio R e centro em um ponto com coordenadas (x 0 , y 0 , z 0) no sistema de coordenadas cartesianas:
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2
Definição. pontos diametralmente opostos são quaisquer dois pontos na superfície de uma bola (esfera) que são conectados por um diâmetro.
Propriedades básicas de uma esfera e uma bola
1. Todos os pontos da esfera estão igualmente distantes do centro.
2. Qualquer seção de uma esfera por um plano é um círculo.
3. Qualquer seção de uma esfera por um plano é um círculo.
4. A esfera tem o maior volume entre todas as figuras espaciais com a mesma área de superfície.
5. Através de quaisquer dois pontos diametralmente opostos, você pode desenhar muitos círculos grandes para uma esfera ou círculos para uma bola.
6. Através de quaisquer dois pontos, exceto para pontos diametralmente opostos, é possível desenhar apenas um grande círculo para uma esfera ou um grande círculo para uma bola.
7. Quaisquer dois grandes círculos de uma bola se cruzam ao longo de uma linha reta que passa pelo centro da bola, e os círculos se cruzam em dois pontos diametralmente opostos.
8. Se a distância entre os centros de quaisquer duas bolas for menor que a soma de seus raios e maior que o módulo da diferença entre seus raios, então essas bolas cruzar, e um círculo é formado no plano de interseção.
A secante, corda, plano secante da esfera e suas propriedades
Definição. A secante das esferasé uma reta que intercepta a esfera em dois pontos. Os pontos de interseção são chamados pontos de punção superfície ou pontos de entrada e saída na superfície.
Definição. Corda de uma esfera (bola)é um segmento que conecta dois pontos de uma esfera (a superfície de uma bola).
Definição. plano de corteé o plano que intercepta a esfera.
Definição. plano diametral- este é um plano secante que passa pelo centro de uma esfera ou bola, a seção forma, respectivamente grande círculo E grande círculo. O grande círculo e o grande círculo têm um centro que coincide com o centro da esfera (bola).
Qualquer corda passando pelo centro de uma esfera (bola) é um diâmetro.
Uma corda é um segmento de uma reta secante.
A distância d do centro da esfera à secante é sempre menor que o raio da esfera:
d< R
A distância m entre o plano de corte e o centro da esfera é sempre menor que o raio R:
m< R
A seção do plano de corte na esfera será sempre círculo menor, e na bola a seção será pequeno círculo. Um círculo pequeno e um círculo pequeno têm seus centros que não coincidem com o centro da esfera (bola). O raio r de tal círculo pode ser encontrado pela fórmula:
r \u003d √ R 2 - m2,
Onde R é o raio da esfera (bola), m é a distância do centro da bola ao plano de corte.
Definição. Hemisfério (hemisfério)- esta é a metade da esfera (bola), que se forma quando é cortada por um plano diametral.
Tangente, plano tangente à esfera e suas propriedades
Definição. Tangente à esferaé uma linha reta que toca a esfera em apenas um ponto.
Definição. Plano tangente à esferaé um plano que toca a esfera em apenas um ponto.
A linha tangente (plano) é sempre perpendicular ao raio da esfera desenhada para o ponto de contato
A distância do centro da esfera à linha tangente (plano) é igual ao raio da esfera.
Definição. segmento de bola- esta é a parte da bola que é cortada da bola por um plano de corte. A espinha dorsal do segmento chame o círculo que se formou no local da seção. altura do segmento h é o comprimento da perpendicular traçada do meio da base do segmento até a superfície do segmento.
Fórmula. Área da superfície externa de um segmento de esfera com altura h em termos de raio da esfera R:
S = 2π Rh
Muitos de nós adoramos jogar futebol, ou pelo menos quase todos nós já ouvimos falar desse famoso jogo de esportes. Todo mundo sabe que futebol se joga com bola.
Se você perguntar a um transeunte que forma geométrica a bola tem, algumas pessoas dirão que é a forma de uma bola e outras que a forma de uma esfera. Então qual é o certo? E qual é a diferença entre uma esfera e uma esfera?
Importante!
Bolaé um corpo espacial. Dentro da bola está cheio de alguma coisa. Portanto, a esfera pode encontrar o volume.
Exemplos de bola na vida: uma melancia e uma bola de aço.
Uma bola e uma esfera, como um círculo e um círculo, têm um centro, um raio e um diâmetro.
Importante!
Esferaé a superfície da esfera. Você pode encontrar a área da superfície de uma esfera.
Exemplos de uma esfera na vida: uma bola de vôlei e uma bola de tênis de mesa.
Como encontrar a área de uma esfera
Lembrar!
Fórmula da área da esfera: S=4 π R 2
Para encontrar a área de uma esfera, você precisa se lembrar do que é uma potência de um número. Conhecendo a definição do grau, podemos escrever a fórmula da área de uma esfera da seguinte forma.
S=4 π R 2 \u003d 4π R R;
Consolidar os conhecimentos adquiridos e resolva o problema para a área de uma esfera.
Zubareva 6ª série. Número 692(a)
A tarefa:
- Calcule a área de uma esfera se seu raio é
1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
= = =
= 188 88 - R3 = 1
- R = 1m
Importante!
Queridos pais!
No cálculo final do raio, não é necessário obrigar a criança a calcular a raiz cúbica. Os alunos do 6º ano ainda não passaram e não sabem a definição de raízes em matemática.
Na 6ª série, ao resolver tal problema, use o método de enumeração.
Pergunte ao aluno qual número, se multiplicado 3 vezes por si mesmo, dará um.
