Série de potências Teorema de abel Série de Maclaurin. série de potência

SÉRIES DE POTÊNCIAS Teorema de Abel. Intervalo e raio de convergência de uma série de potências Convergência uniforme de uma série de potências e continuidade de sua soma Integração de séries de potências Diferenciação de séries de potências Série de Taylor Condições para a expansão de uma função em uma série de Taylor de funções elementares Tabela de expansões em uma potência série (série de Maclaurin) de funções elementares básicas.

Teorema de Abel. O intervalo e o raio de convergência de uma série de potências Uma série de potências é uma série funcional da forma (o ou da forma (2) onde os coeficientes são constantes. Série (2) por uma substituição formal x - x<> em x reduz à série (1). A série de potências (1) sempre converge no ponto x = 0, e a série (2) converge no ponto x0, e sua soma nesses pontos é igual a co. Exemplo. As linhas são linhas empilhadas. Vamos descobrir a forma da região de convergência da série de potências. Teorema 1 (Abel). Se uma série de potências converge em, então ela converge absolutamente para todo x tal que se a série de potências diverge em x = xi, então ela diverge em qualquer x para o qual Let the power series CONVERGATE at. série numérica converge SÉRIE DE POTÊNCIAS teorema de Abel. Intervalo e raio de convergência de uma série de potências Convergência uniforme de uma série de potências e continuidade de sua soma Integração de séries de potências Diferenciação de séries de potências Série de Taylor Condições para a expansão de uma função em uma série de Taylor de funções elementares Tabela de expansões em uma potência série (série de Maclaurin) de funções elementares básicas. Segue-se disso que, e portanto, existe um número tal que M para todo n. Considere a série onde e estime seu termo comum. Temos onde = . Mas a série é composta por membros de uma progressão geométrica com o denominador q, onde significa converge. Com base no sinal da série de comparação 2 |с„:гп| converge em qualquer ponto x para o qual. Portanto, a série de potências converge absolutamente FOR. Vamos agora as séries de potências do ponto O), que separam os intervalos de divergência do intervalo de convergência. O seguinte teorema é válido. Teorema 2. Deixe a série de potências convergir no ponto x Φ 0. Então ou esta série converge absolutamente em cada ponto da linha real, ou existe um número R > 0 tal que a série converge absolutamente em e diverge em Divergente. Abdômen. converge divergente d Fig. 1 Definição. Um intervalo de convergência de uma série de potências é um intervalo (-R, R), onde R > 0, tal que em cada ponto x € (-A, R) a série converge absolutamente, e em pontos x tais que |n| > R, a série diverge. O número R é chamado de raio de convergência da série de potências. Comente. Quanto aos extremos do intervalo de convergência (-R, R), são possíveis os três casos seguintes: I) a série de potências converge tanto no ponto x = -R quanto no ponto x = R, 2) a série de potências diverge em ambos os pontos, 3) a série de potências converge em uma extremidade do intervalo de convergência e diverge na outra. Comente. A série de potências onde x φ 0 tem o mesmo raio de convergência da série Para provar a fórmula (3), considere uma série composta pelos valores absolutos dos termos desta série Aplicando o teste d'Alembert a esta série, temos find Segue-se que a série (4) irá convergir , se e divergir se. a série de potências converge absolutamente para todo x tal que e diverge em. Pela definição do raio de convergência, descobrimos que o raio de convergência de uma série de potências também pode ser encontrado pela fórmula se houver um limite finito. A fórmula (5) pode ser facilmente obtida usando o critério de Cauchy. Se a série de potências converge apenas no ponto x = 0, dizem que seu raio de convergência é R = 0 (isso é possível, por exemplo, quando lim b^A = oo ou Se a série de potências converge em todos os pontos de o eixo real, então colocamos R = + oo (isso ocorre, por exemplo, quando lim n^p = 0 ou O domínio de convergência de uma série de potências pode ser o intervalo (, ou o segmento [, ou um dos os semi-intervalos (x0 - R, x0 + D) ou [. Se R = + oo, então a região de convergência da série será todo o eixo numérico, ou seja, o intervalo (-oo, + oo). Para encontrar a região de convergência de uma série de potências, você deve primeiro calcular seu raio de convergência R (por exemplo, usando uma das fórmulas acima) e encontrar o intervalo de convergência do ponto O) que separa os intervalos de divergência do intervalo de O seguinte teorema vale: Teorema 2. Deixe a série de potências convergir no ponto x Φ 0. Então, ou esta série converge absolutamente em todos os pontos da linha real, ou existe um número R > O tal que a série converge absolutamente em e diverge em | Divergente. Abdômen. converge divergente Definição. Um intervalo de convergência de uma série de potências é um intervalo (-R, R), onde R > 0, tal que em cada ponto x € (-A, R) a série converge absolutamente, e em pontos x tal que |n| > R, a série diverge. O número R é chamado de raio de convergência da série de potências. Comente. Quanto aos extremos do intervalo de convergência (-R, R), são possíveis os três casos seguintes: I) a série de potências converge tanto no ponto x = -R quanto no ponto x = R, 2) a série de potências diverge em ambos os pontos, 3) a série de potências converge em uma extremidade do intervalo de convergência e diverge na outra. Comente. A série de potências onde x φ 0 tem o mesmo raio de convergência da série Para provar a fórmula (3), considere uma série composta pelos valores absolutos dos termos desta série Aplicando o teste d'Alembert a esta série, temos find Segue-se que a série (4) irá convergir , se \, e divergir se, ou seja, a série de potências converge absolutamente para todo x tal que e diverge para \. Pela definição do raio de convergência, obtemos que R = £, ou seja, SÉRIE DE POTÊNCIAS Teorema de Abel. Intervalo e raio de convergência de uma série de potências Convergência uniforme de uma série de potências e continuidade de sua soma Integração de séries de potências Diferenciação de séries de potências Série de Taylor Condições para a expansão de uma função em uma série de Taylor de funções elementares Tabela de expansões em uma potência série (série de Maclaurin) de funções elementares básicas. O raio de convergência de uma série de potências também pode ser encontrado usando a fórmula se houver um limite finito. A fórmula (5) pode ser facilmente obtida usando o critério de Cauchy. Se a série de potências converge apenas no ponto x = 0, dizem que seu raio de convergência é R = 0 (isso é possível, por exemplo, quando lim b^A = oo ou. Se a série de potências converge em todos os pontos do eixo real, então assumimos R = + oo (isso ocorre, por exemplo, quando A região de convergência de uma série de potências pode ser o intervalo (, ou o segmento ] ou um dos semi-intervalos (x0 - R, x0 + D) ou [. Se R = + oo, então a região de convergência da série será todo o eixo numérico, ou seja, o intervalo (-oo, + oo). Para encontrar a região de convergência de uma série de potência, você deve primeiro calcular seu raio de convergência R (por exemplo, usando uma das fórmulas acima) e, assim, encontrar o intervalo de convergência no qual a série converge absolutamente, então - para investigar. (3) Como teremos A série converge absolutamente no intervalo 2) Estudemos a convergência da série (6) nos extremos do intervalo de convergência. Colocando x = -1, obtemos uma série numérica cuja divergência é óbvia (o critério de convergência necessário não é atendido: . Para x - 1 obtemos uma série numérica para a qual não existe, o que significa que esta série diverge. Portanto, o área de convergência da série (6) é um intervalo Exemplo 2. Encontre a região de convergência da série M 1) O raio de convergência é encontrado pela fórmula (3). Temos a linha (7) converge absolutamente no intervalo, de onde obtemos uma série numérica que diverge (série harmônica). Para x = 0, teremos uma série numérica que converge condicionalmente. Assim, a série (7) converge na região Exemplo 3. Encontre o intervalo de convergência da série Como = , então para encontrar o raio de convergência, aplicamos a fórmula a área de convergência é o intervalo Exemplo 4. Encontre o intervalo de convergência da série, então obtemos Igualdade R = 0 significa que a série (8) converge apenas em um ponto. ou seja, a região de convergência da série de potência dada consiste em um ponto §2. Convergência uniforme de uma série de potências e continuidade de sua soma Teorema 1. Uma série de potências converge absoluta e uniformemente em qualquer segmento contido no intervalo de convergência da série Let. Então, para todo x satisfazendo a condição e para qualquer n =. terá. Mas como a série numérica converge, então, de acordo com o critério de Weierstrass, esta série de potências converge absoluta e uniformemente no segmento. Teorema 2. A soma de uma série de potências é contínua em cada ponto x de seu intervalo de convergência (4) Qualquer ponto x do intervalo de convergência (-D, R) pode ser incluído em algum segmento no qual esta série converge uniformemente. S( x) será contínua no segmento [-a, a] e, portanto, também no ponto x. Integração de séries de potências Teorema 3 (na integração termo a termo de uma série de potências) Uma série de potências pode ser integrada termo a termo em seu intervalo de convergência (-R, R ), R > 0, e o raio de convergência da série obtido pela integração termo a termo também é igual a R. Em particular, para qualquer x de o intervalo (-R, R) a fórmula é válida Qualquer ponto x do intervalo de convergência (-D, R) pode ser concluído em algum segmento [-a, a], onde. Neste segmento, a série dada irá convergir uniformemente, e como os termos da série são contínuos, ela pode ser integrada termo a termo, por exemplo, no intervalo de 0 a x. Então, de acordo com o Teorema 4 do Capítulo XVIII, vamos encontrar o raio de convergência R" da série resultante SÉRIE DE POTÊNCIAS Teorema de Abel. Intervalo e raio de convergência de uma série de potências Convergência uniforme de uma série de potências e continuidade de sua soma Integração de séries de potências Diferenciação de séries de potências Série de Taylor Condições para a expansão de uma função em uma série de Taylor de funções elementares Tabela de expansões em uma potência série (série de Maclaurin) de funções elementares básicas. sob a condição adicional da existência de um limite finito R. Assim, o raio de convergência da série de potências não muda durante a integração. Comente. A afirmação do teorema permanece válida para H = +oo. §4. Derivação de séries de potências Teorema 4 (sobre a diferenciação termo a termo de uma série de potências). Uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo em qualquer ponto x de seu intervalo de convergência 1) e (2) são iguais Vamos denotar a soma das séries (2) por Séries (1) e (2) convergem uniformemente em qualquer intervalo [ -a, a|, onde. Além disso, todos os termos da série (2) são contínuos e são derivados dos termos correspondentes da série (1). Portanto, de acordo com o Teorema 5 do Capítulo XVIII, a igualdade vale no intervalo [ -a, a) Em virtude da arbitrariedade de a, a última igualdade também vale no intervalo C. Definição de série de potências Diremos que a função f(x) se expande em uma série de potências ]Γ) CnXn em um intervalo se a série indicada converge neste intervalo e sua soma é igual a f(x): Vamos primeiro provar que a função f(x) não pode ter duas expansões em série de potências diferentes da forma Teorema 5. Se a função /(x) no intervalo (-R, R) for expandida em uma série de potências (1), então essa expansão é única, ou seja, os coeficientes da série (1) são determinados exclusivamente por sua soma. Deixe a função no intervalo ser expandida em uma série de potência convergente. Diferenciando esta série termo a termo n vezes, encontramos Para x = 0 obtemos de onde Assim, os coeficientes da série de potência (1) são exclusivamente determinados por fórmula (2). Comente. Se a função /(x) for expandida em uma série de potências em potências da diferença x-zq, então os coeficientes cn desta série são determinados por fórmulas. Deixe a função / ter derivadas de todas as ordens. é infinitamente diferenciável no ponto jo. Vamos compor uma série de potência formal para esta função calculando seus coeficientes usando a fórmula (3). §5. Definição. A série de Taylor da função f(x) em relação ao ponto x0 é chamada de série de potências da forma que a função /(x) se expande em uma série de potências, então essa série é a série de Taylor da função /(x) . onde Pjn(i) é um polinômio de grau 3n em relação a j. Vamos agora mostrar que no ponto 2 = 0 esta função também possui derivadas de qualquer ordem, e todas elas são iguais a zero. Com base na definição da derivada, temos De maneira semelhante, podemos provar que Assim, a função dada tem derivadas de todas as ordens no eixo real.Construa uma série de Taylor formal da função original em relação ao ponto z0 = Temos.É é óbvio que a soma desta série é identicamente igual a zero, enquanto a função f(x) não é identicamente igual a zero. ↑ Vale a pena lembrar este exemplo ao discutir a análise complexa (analyticidade): uma função externamente completamente decente, mostra um caráter caprichoso no eixo real, que é consequência de problemas no eixo imaginário. A série formalmente construída no exemplo para uma determinada função infinitamente diferenciável converge, mas sua soma não coincide com os valores dessa função para x Ф 0. Nesse contexto, surge uma questão natural: em que condições a função f( x) satisfazem no intervalo (xo - R, xo + R) para que ele possa ser expandido em uma série de Taylor convergindo para ele? Condições para a expansão de uma função em uma série de Taylor Para simplificar, vamos considerar uma série de potências da forma m. e. Série de Maclaurin. Teorema 7. Para que a função f(x) seja expandida em uma série de potências no intervalo (-R, R), é necessário e suficiente que neste intervalo a função f(x) tenha derivadas de todas as ordens e que em sua fórmula de Taylor o termo residual Rn(x) tende a zero conforme para todo m Necessidade. Seja no intervalo (a função f(x) é expansível em uma série de potências, ou seja, a série (2) converge e sua soma é igual a f(x). Então, pelo Teorema 4 e o corolário dele, a função f(x) tem no intervalo (-R , R) derivadas f(n^(x) de todas as ordens. Pelo Teorema 5 (fórmula (2)) os coeficientes da série (2) têm a forma i.e. podemos escrever a igualdade Devido à convergência desta série no intervalo (-R, R ) seu resto 0 tende a zero como n oo para todo x Suficiência Deixe a função f(xr) no intervalo (-R, R) ter derivadas de todas as ordens e em sua fórmula de Taylor o termo restante Rn(x) 0 como n oo para qualquer x € (-D, R). Visto que para n -» oo. Visto que a n-ésima soma parcial da série de Taylor é escrita em colchetes, fórmula (4) significa que a série de Taylor da função f (x) converge no intervalo (-D , R) e sua soma é a função f(x). Condições suficientes para a expansão de uma função em um séries de potências, convenientes para uso prático, são descritas pelo seguinte teorema: Teorema 8. Para a função f(x) era possível expandir em uma série de potências o suficiente para que a função f(x) tivesse derivadas de todas as ordens em este intervalo e que existia uma constante M > 0 tal que. Deixe a função f(x) ter derivadas de todas as ordens no intervalo (-D, R). Então podemos escrever formalmente a série de Taylor para ela.Provemos que ela converge para a função f(x). Para fazer isso, basta mostrar que o termo restante na fórmula de Taylor (1) tende a zero quando n oo para todo x € (-A, R). De fato, dado isso). A série numérica converge em virtude do critério d'Alembert: em virtude do critério de convergência necessária. Da desigualdade (3) obtemos! Série de funções elementares de Taylor Considere as expansões em uma série de funções elementares básicas. 6 Esta função tem derivadas de todas as ordens no intervalo (- qualquer número, e Portanto, a função exponencial ex se expande em uma série de Taylor em qualquer intervalo (-a, a) e, portanto, em todo o eixo Ox. Desde, então obtemos a série Se na expansão (1) substitua x por -a*, então temos Esta função tem derivadas de qualquer ordem e, além disso, pelo Teorema 8, a função sen x se expande em uma série de Taylor convergindo para ela no intervalo (-oo, +oo). Desde então esta série tem a seguinte forma Raio de convergência da série Da mesma forma, obtemos que - qualquer número real Esta função satisfaz a relação e a condição Procuraremos uma série de potências cuja soma 5(g ) satisfaz a relação (4) e a condição 5(0) = 1. Definimos A partir daqui encontramos Substituindo as relações (5) e (6) na fórmula (4), teremos Igualando os coeficientes nas mesmas potências de x nas partes esquerda e direita da igualdade, obtemos a partir da qual encontramos a POTÊNCIA SÉRIE Teorema de Abel. Intervalo e raio de convergência de uma série de potências Convergência uniforme de uma série de potências e continuidade de sua soma Integração de séries de potências Diferenciação de séries de potências Série de Taylor Condições para a expansão de uma função em uma série de Taylor de funções elementares Tabela de expansões em uma potência série (série de Maclaurin) de funções elementares básicas. Substituindo esses valores dos coeficientes na relação (5), obtemos a série Vamos encontrar o raio de convergência da série (7) no caso em que a não é um número natural. Temos Então, a série (7) converge em. e.no intervalo Provemos que a soma 5(x) da série (7) no intervalo (-1,1) é igual a (1 + x)°. Para fazer isso, considere a relação Como 5(x) satisfaz a relação (então para a derivada da função φ(x) obtemos: para. Segue-se que. Em particular, para x = 0 temos e, portanto, ou O a série resultante é chamada de binomial e seus coeficientes - coeficientes binomiais. Observação. Se a for um número natural (o = z"), a função (1 + z) a será um polinômio de grau n e Dn (x) = 0 para todo n > a. Notamos também Se a = -1, teremos Substituindo w por -x na última igualdade, obtemos uma expansão desta função em uma série de Taylor em potências de x, integramos a igualdade (9 ) dentro de o A igualdade (11) é válida no intervalo. Podemos provar que a igualdade (11) também é válida para x = 1: Tabela de expansões em série de potências (série de Maclaurin) de funções elementares básicas. Exemplo 1. Expandir a função de 4 em uma série de potências na vizinhança do ponto xq = 2, ou seja, em potências da diferença z -2. Vamos transformar esta função para que possamos usar a série (10) para a função Temos. Substituindo x na fórmula (10) por ^. obtemos I I Esta expansão é válida quando qualquer uma das desigualdades equivalentes é satisfeita Exemplo 2. Expanda a função em potências de x usando a fórmula (10). 4 Decompondo o denominador em fatores, representamos essa função racional como a diferença de duas frações simples. Após transformações simples, obtemos Ambas as séries (14) e (15) convergirão simultaneamente para \. Como as séries (14) e (15) convergem no intervalo (-1,1), elas podem ser subtraídas termo a termo. Como resultado, obtemos a série de potência desejada cujo raio de convergência é R = 1. Esta série converge absolutamente para o Exemplo 3. Expanda a função arcsin x na série de Taylor nas proximidades do ponto x0 = 0. 4 Sabe-se que Vamos aplicar à função (fórmula (8). substituindo x por -x2 nela. Como resultado, pois obtemos Integrando ambas as partes da última igualdade de zero a x (integração termo a termo é legal, uma vez que a série de potências converge uniformemente em qualquer segmento com extremidades nos pontos 0 e x no intervalo (-1,1)), encontramos ou Assim, finalmente obtemos que Exemplo 4. Calcule a integral (seno integral ) , Sabe-se que a antiderivada para a função ^ não é expressa em termos de funções elementares. Expandimos o integrando em uma série de potências, usando o fato de que Da igualdade (16) encontramos Note que dividindo a série (16) por t em t f 0 é legal A igualdade (17) também é preservada em se assumirmos que em t = 0 a razão - = 1. Assim, a série (17) converge para todos os valores Integrando-a termo a termo, obtemos que o erro em substituir sua soma por uma soma parcial é facilmente estimado. Exemplo 5. Calcular a integral Aqui, a antiderivada para o integrando e também não é uma função elementar. Para calcular a integral, substituímos na fórmula Obtemos Vamos integrar as duas partes dessa igualdade no intervalo de 0 a x: Esta série converge para qualquer r (seu raio de convergência R \u003d + oo) e é alternada em Exercícios Encontre o área de convergência de séries de potência: Expanda as seguintes funções em uma série Makloreya e indique as áreas de convergência da série obtida: Indicação. Use a tabela. Usando a tabela, expanda as funções dadas em uma série de Taylor em potências de x - x0 e indique os intervalos de convergência da série resultante.

Considere uma série funcional$\soma \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+u_(3) (x ) +...$, cujos membros são funções de uma variável independente x. A soma dos primeiros n termos da série $S_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+...+u_(n) (x)$ é uma parcial soma desta série funcional. O termo comum $u_(n)(x)$ é uma função de x definida em algum domínio. Considere uma série funcional no ponto $x=x_(0) $. Se a série numérica correspondente $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x_(0))$ convergir, ou seja, existe um limite de somas parciais desta série$\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x_(0))=S(x_(0))$(onde $S( x_(0) )

Definição 2

área de convergência série funcional $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ é o conjunto de todos esses valores de x para os quais a série funcional converge. A região de convergência, que consiste em todos os pontos de convergência, é denotada por $D(x)$. Observe que $D(x)\subconjunto $R.

Uma série funcional converge no domínio $D(x)$ se para qualquer $x\em D(x)$ ela converge como uma série numérica, e sua soma é alguma função $S(x)$. Esta é a chamada função limite da sequência $\left\(S()_(n) (x)\right\)$: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_( n)(x) =S(x)$.

Como encontrar a área de convergência da série funcional $D(x)$? Você pode usar um sinal semelhante ao sinal de d'Alembert. Para a série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ compomos $u_(n+1) (x)$ e consideramos o limite em x fixo: $\ mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right|=\left|l(x) \certo| $. Então $D(x)$ é uma solução para a desigualdade $\left|l(x)\right|

Exemplo 1

Encontre o domínio de convergência da série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $.

Solução. Denote $u_(n) (x)=\frac(x^(n) )(n) $, $u_(n+1) (x)=\frac(x^(n+1) )(n+1 ) $. Componha e calcule o limite $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right|= \ mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(x^(n+1) \cdot n)(x^(n) \cdot (n+1)) \right|= \ left|x\right|$, então a região de convergência da série é determinada pela desigualdade $\left|x\right|

se $x=1$, $u_(n) (1)=\frac(1)(n) $, então obtemos uma série divergente $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(n)\, $;

se $x=-1$, $u_(n) (-1)=\frac((-1)^(n) )(n) $, então a série $\soma \limites _(n=1)^ ( \infty )\frac((-1)^(n) )(n) \, \, $ converge condicionalmente (pelo teste de Leibniz).

Assim, o domínio de convergência $D(x)$ da série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $ tem a form:$- 1\le x

Propriedades da série de potência

Considere a série de potências $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $, cujo intervalo de convergência é $(-R;\, R)$, então a soma de a série de potências $ S(x)$ é definida para todo $x\in (-R;R)$ e podemos escrever $S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_ (n)x^(n)$.

Propriedade 1. A série de potências $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $ converge absolutamente em qualquer intervalo $\, \, \subset \, (-R;R)$ , situado no intervalo de convergência, e a soma da série de potências $S(x)$ é uma função contínua para todo $x\in $.

Propriedade 2. Se o segmento for $\, \, \subset \, (-R;R)$, então a série de potências pode ser integrada termicamente de a até b, ou seja, Se

$S(x)=\soma \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) =a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2 ) +...$, então

$\int \limits _(a)^(b)S(x)\, (\rm d)x =\sum \limits _(n=0)^(\infty )\int \limits _(a)^ (b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x=\int \limits _(a)^(b)a_(0) (\rm d)x +\int \limits _( a)^(b)a_(1) x\, (\rm d)x +...+\int \limits _(a)^(b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x +...$.

Neste caso, o raio de convergência não muda:

onde $a"_(n) =\frac(a_(n) )(n+1) $ são os coeficientes da série integrada.

Propriedade 3. A soma de uma série de potências é uma função que possui derivadas de qualquer ordem dentro do intervalo de convergência. As derivadas da soma de uma série de potências serão as somas das séries obtidas de uma dada série de potências por diferenciação termo a termo o número correspondente de vezes, e os raios de convergência de tais séries serão os mesmos que os das séries de potências. série original.

Se $S(x)=a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2) +...+a_(n) x^(n) +...=\soma \limites _(n=0)^(\infty )\, a_(n) \cdot x^(n) $, então $S"(x)=a_(1) +2a_(2) x+...+na_( n) x^(n-1) +...=\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, n\cdot a_(n) \cdot x^(n-1) $,$ S""(x)=2a_(2) +6a_(3) x+...+n(n-1)a_(n) x^(n-2) +...=\soma \limites _(n =2)^(\infty )\, n\cdot (n-1)\cdot a_(n) \cdot x^(n-2) $, ... , etc.

Exemplos

Série $\soma \limites _(n=1)^(\infty )n!\; x^(n) $ converge apenas no ponto $x=0$, a série diverge em todos os outros pontos. $V:\esquerda\(0\direita\).$

Série $\soma \limites _(n=1)^(\infty )\frac(x^(n) )(n $ сходится во всех точках оси, $V=R$.!}

A série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) x^(n) )(n) $ converge na região $V=(-1, \,1]$.

A série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n+\cos x) $ diverge em todos os pontos do eixo $V=$$\emptyset$.

Definição. Série funcional da forma

Onde ... são números reais, é chamada de série de potências.

A região de convergência absoluta da série é o intervalo , onde o número Ré o raio de convergência.

Deixe a série de potências ter um raio de convergência R > 0. Então as seguintes afirmações são verdadeiras:

1. A soma da série é uma função contínua de x ao longo do intervalo de convergência.

2. A série converge uniformemente em qualquer segmento onde .

3. A série pode ser integrada termo a termo em qualquer intervalo situado dentro do intervalo .

4. Uma série pode ser diferenciada termo a termo em qualquer ponto a qualquer momento.

Notas:

1. Ao integrar ou diferenciar uma série de potências termo a termo, novas séries de potências são obtidas, mas seu raio de convergência permanece o mesmo.

2. O raio de convergência de uma série de potências pode ser encontrado usando uma das fórmulas:

, (10)

(11)

desde que existam os limites indicados, é o coeficiente da série.

Tarefa 17.31

Encontrar a soma de uma série .

Solução:

eu caminho. Encontre o intervalo de convergência da série:

, , .

Simplifique a fração racional , .

Então a série pode ser representada pela diferença de duas séries:

A convergência de cada um deles permanece a mesma (veja você mesmo). Portanto, há igualdade. Denote as somas da série por e , respectivamente, e a soma desejada por , .

Vamos encontrar a soma da primeira linha:

Diferenciando termo a termo as séries dentro do intervalo de convergência , obtemos: ; é uma progressão geométrica com denominador .

Quando a progressão converge, , , e a soma é: ; . Agora, integrando no intervalo dentro do intervalo de convergência , obtemos:

.

Encontre a soma da segunda linha:

Vamos fazer a transformação:

Vamos denotar a soma da série entre parênteses por e diferenciar no intervalo:

Esta também é uma progressão geométrica.

, , ;

.

Portanto, a soma da série original é:

ou
Para .

caminho II. Sem repetir os detalhes do primeiro método relacionado ao intervalo de convergência desta série, oferecemos a segunda opção para resolver o problema. Vamos denotar a soma da série por: .

Multiplique por esta linha: . Diferencie as séries duas vezes obtidas:

,

Representa uma progressão geométrica com um denominador , Então . Vamos integrar no intervalo:

Integrando por partes, obtemos:

Para .

Tarefa 18.31

Encontrar a soma de uma série .

Solução:

Esta série converge no intervalo (veja você mesmo). Vamos reescrevê-lo, apresentando-o como a soma de três linhas:

Isso é possível, pois cada uma das séries possui a mesma área de convergência - o intervalo. Denote as somas das três séries por , , , respectivamente, e a soma desejada por .

como a soma dos termos de uma progressão geométrica com um denominador

Vamos fazer a transformação:

Denote pela soma da série .

Integrando termo a termo esta série em um segmento dentro do intervalo de convergência, obtemos:

Para encontrar , precisamos diferenciar a fração:

.

Por isso, .

Agora vamos encontrar:

Vamos tirá-lo dos parênteses:

Denote pela soma da série entre parênteses. Então

Nesses colchetes há uma série, cuja soma é encontrada: . Nós temos: .

Mas , . Então a soma da série original

Então, Para .

série taylor

Definição. Linha

é chamada de série de Taylor em potências da função .

Uma função pode ser expandida em uma série de Taylor se tiver derivadas de todas as ordens no ponto em consideração e se o termo restante no ponto em tender a zero. A série de Taylor às vezes é chamada de série de Maclaurin.

Teorema

Se uma função se expande em uma série de potências, então esta série é única para ela e é uma série de Taylor.

Observação. Encontrando sucessivamente as derivadas das funções e seus valores no ponto , pode-se escrever a série de Taylor. Mas, ao mesmo tempo, o estudo do termo residual apresenta grandes dificuldades. Portanto, eles costumam ir para o outro lado: eles usam expansões prontas das funções elementares básicas em séries de potência em combinação com as regras de adição, subtração, multiplicação de séries e teoremas sobre sua integração e diferenciação, como, por exemplo, foi mostrado nos problemas 17.31 e 18.31.

Tarefa 19.31

Expandir função em uma série de Taylor em potências de .

Solução:

x 0 = 0. Vamos usar a nota. Porque

então a função é simplificada se aplicarmos o método dos coeficientes indefinidos:

.

A soma dos termos de uma progressão geométrica com denominador é: . No nosso caso . é o raio de convergência desta série. Termo,

Somando as linhas, obtemos: ou , onde é a região geral de convergência. encontra-se inteiramente na região de convergência da série.

Para calcular essa integral com precisão de 0,001, precisamos pegar dois de seus termos na série resultante (0,0005<0,001) (см. задачу 9.31).

Por isso,

Questões para auto-exame

série numérica

1. Dê definições de séries convergentes e divergentes.

2. Formule o critério necessário para a convergência das séries.

3. Formule sinais suficientes de convergência de séries com termos positivos: comparação de séries com termos positivos; sinal de d'Alembert; sinal de Cauchy radical, sinal de Cauchy integral.

4. Defina uma série absolutamente convergente. Enuncie as propriedades de séries absolutamente convergentes.

5. Formule o sinal de Leibniz.

linhas funcionais

6. Defina a área de convergência da série funcional.

7. Que série é chamada uniformemente convergente?

8. Formule o teste de Weierstrass.

9. Condições para a expansão de uma função em uma série de Taylor.

10. Formular teoremas de integração e diferenciação de séries de potências.

11. Enuncie o método de cálculo aproximado de integrais definidas usando séries.

1. Kudryavtsev L.D. Um curso curto de análise matemática. – M.: Nauka, 1989. – 736 p.

2. Bugrov Ya.S. Cálculo diferencial e integral / Ya.S. Bugrov, S.M. Nikolsky. – M.: Nauka, 1984. – 432 p.

3. Shmelev P.A. Teoria das séries em tarefas e exercícios. - M.: Escola Superior, 1983. - 176 p.

4. Piskunov N.S. Cálculo diferencial e integral para escolas técnicas. T. 2. - M.: Nauka, 1985. - 576 p.

5. Fikhtengolts G.M. Curso de cálculo diferencial e integral. T. 2. - M.: Fizmatgiz, 1962. - 808 p.

6. Zaporozhets G.I. Guia para resolver problemas em análise matemática. - M.: Escola Superior, 1966. - 460 p.

7. Kuznetsov L.A. Coleção de tarefas em matemática superior (TR). - M.: Ensino Superior, 1983. - 174 p.

8. Danko P.E. Matemática superior em exercícios e tarefas. Parte 2 / P.E. DANKO, A. G. Popov, T.Ya. Kozhevnikov. - M.: Escola Superior, 1986. - 415 p.

9. Bronstein I.N. Manual de matemática para engenheiros e estudantes de instituições de ensino superior / I.N. Bronstein, K. A. Semendyaev. – M.: Nauka, 1986. – 544 p.

edição educacional

Borodin Nikolai Pavlovich

Mó Varvara Viktorovna

Shumetova Lyudmila Viktorovna

Shorkin Vladimir Sergeevich

LINHAS

Auxiliar de ensino

Editor T. D. vasiliev

Editor técnico T.P. Prokudin

Universidade Técnica do Estado de Orel

Licença nº 00670 datada de 01/05/2000

Assinado para publicação em 26 de agosto de 2004. Formato 60 x 84 1/16.

Impressão offset. Uch.-ed. eu. 1.9. Conv. forno eu. 2.4. Tiragem 500 exemplares.

Nº do pedido____

Impresso a partir do layout original finalizado

na base de impressão OrelGTU,

302030, Orel, st. Moscou, 65.

Considere uma série funcional$\soma \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+u_(3) (x ) +...$, cujos membros são funções de uma variável independente x. A soma dos primeiros n termos da série $S_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+...+u_(n) (x)$ é uma parcial soma desta série funcional. O termo comum $u_(n)(x)$ é uma função de x definida em algum domínio. Considere uma série funcional no ponto $x=x_(0) $. Se a série numérica correspondente $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x_(0))$ convergir, ou seja, existe um limite de somas parciais desta série$\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x_(0))=S(x_(0))$(onde $S( x_(0) )

Definição 2

área de convergência série funcional $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ é o conjunto de todos esses valores de x para os quais a série funcional converge. A região de convergência, que consiste em todos os pontos de convergência, é denotada por $D(x)$. Observe que $D(x)\subconjunto $R.

Uma série funcional converge no domínio $D(x)$ se para qualquer $x\em D(x)$ ela converge como uma série numérica, e sua soma é alguma função $S(x)$. Esta é a chamada função limite da sequência $\left\(S()_(n) (x)\right\)$: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_( n)(x) =S(x)$.

Como encontrar a área de convergência da série funcional $D(x)$? Você pode usar um sinal semelhante ao sinal de d'Alembert. Para a série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ compomos $u_(n+1) (x)$ e consideramos o limite em x fixo: $\ mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right|=\left|l(x) \certo| $. Então $D(x)$ é uma solução para a desigualdade $\left|l(x)\right|

Exemplo 1

Encontre o domínio de convergência da série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $.

Solução. Denote $u_(n) (x)=\frac(x^(n) )(n) $, $u_(n+1) (x)=\frac(x^(n+1) )(n+1 ) $. Componha e calcule o limite $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right|= \ mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(x^(n+1) \cdot n)(x^(n) \cdot (n+1)) \right|= \ left|x\right|$, então a região de convergência da série é determinada pela desigualdade $\left|x\right|

se $x=1$, $u_(n) (1)=\frac(1)(n) $, então obtemos uma série divergente $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(n)\, $;

se $x=-1$, $u_(n) (-1)=\frac((-1)^(n) )(n) $, então a série $\soma \limites _(n=1)^ ( \infty )\frac((-1)^(n) )(n) \, \, $ converge condicionalmente (pelo teste de Leibniz).

Assim, o domínio de convergência $D(x)$ da série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $ tem a form:$- 1\le x

Propriedades da série de potência

Considere a série de potências $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $, cujo intervalo de convergência é $(-R;\, R)$, então a soma de a série de potências $ S(x)$ é definida para todo $x\in (-R;R)$ e podemos escrever $S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_ (n)x^(n)$.

Propriedade 1. A série de potências $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $ converge absolutamente em qualquer intervalo $\, \, \subset \, (-R;R)$ , situado no intervalo de convergência, e a soma da série de potências $S(x)$ é uma função contínua para todo $x\in $.

Propriedade 2. Se o segmento for $\, \, \subset \, (-R;R)$, então a série de potências pode ser integrada termicamente de a até b, ou seja, Se

$S(x)=\soma \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) =a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2 ) +...$, então

$\int \limits _(a)^(b)S(x)\, (\rm d)x =\sum \limits _(n=0)^(\infty )\int \limits _(a)^ (b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x=\int \limits _(a)^(b)a_(0) (\rm d)x +\int \limits _( a)^(b)a_(1) x\, (\rm d)x +...+\int \limits _(a)^(b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x +...$.

Neste caso, o raio de convergência não muda:

onde $a"_(n) =\frac(a_(n) )(n+1) $ são os coeficientes da série integrada.

Propriedade 3. A soma de uma série de potências é uma função que possui derivadas de qualquer ordem dentro do intervalo de convergência. As derivadas da soma de uma série de potências serão as somas das séries obtidas de uma dada série de potências por diferenciação termo a termo o número correspondente de vezes, e os raios de convergência de tais séries serão os mesmos que os das séries de potências. série original.

Se $S(x)=a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2) +...+a_(n) x^(n) +...=\soma \limites _(n=0)^(\infty )\, a_(n) \cdot x^(n) $, então $S"(x)=a_(1) +2a_(2) x+...+na_( n) x^(n-1) +...=\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, n\cdot a_(n) \cdot x^(n-1) $,$ S""(x)=2a_(2) +6a_(3) x+...+n(n-1)a_(n) x^(n-2) +...=\soma \limites _(n =2)^(\infty )\, n\cdot (n-1)\cdot a_(n) \cdot x^(n-2) $, ... , etc.

Exemplos

Série $\soma \limites _(n=1)^(\infty )n!\; x^(n) $ converge apenas no ponto $x=0$, a série diverge em todos os outros pontos. $V:\esquerda\(0\direita\).$

Série $\soma \limites _(n=1)^(\infty )\frac(x^(n) )(n $ сходится во всех точках оси, $V=R$.!}

A série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) x^(n) )(n) $ converge na região $V=(-1, \,1]$.

A série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n+\cos x) $ diverge em todos os pontos do eixo $V=$$\emptyset$.

Elementos da estrutura semântica

A estrutura semântica da frase.

(Esta questão é para estudo independente!)

Esse tipo de análise relaciona a organização semântica de uma frase à sua organização formal. Essa direção apresentou o conceito da estrutura semântica de uma frase (principalmente N.Yu. Shvedova).

Um diagrama de blocos tem sua própria semântica, que é criada pelos valores formais dos componentes, as regras para seu conteúdo lexical e o relacionamento dos componentes entre si (em diagramas de componente não único).

O significado linguístico de uma determinada frase construída de acordo com um ou outro padrão é formado pela ação mútua da semântica desse padrão e da semântica lexical daquelas palavras que ocuparam as posições de seus componentes: O aluno escreve; a criança se alegra com a semântica geral do MSS (“relação entre o sujeito e seu traço predicativo - ação ou estado processual”) no primeiro caso, o significado “relação entre o sujeito e sua ação específica” é apresentado, no segundo caso - “relação entre o sujeito e seu estado emocional” .

Séries funcionais da forma onde (coeficientes da série) e (centro da série) são constantes, uma variável, são chamadas série de potência.É claro que se aprendermos a calcular a região de convergência de uma série de potências (com um centro), então podemos encontrar facilmente a região de convergência da série original. Portanto, a partir de agora, salvo indicação em contrário, iremos considere as séries de potências da forma.

Teorema de Abel.Se uma série de potências converge em um ponto, ela converge absolutamente e no intervalo Em qualquer segmento, a série indicada converge uniformemente.

Prova. Como a série converge, seu termo comum é, portanto, limitado, ou seja, existe uma constante tal que

Deixe agora. Então teremos

Como a progressão geométrica converge (), então o primeiro teorema de comparação converge e a série A primeira parte do teorema é provada.

Dado que a série converge pelo que foi provado e majoriza como (ver) a série, então pelo teorema de Weierstrass a última série converge uniformemente como .O teorema está completamente provado.

Segue-se do teorema de Abel que podemos expandir o intervalo até chegar o momento em que a série diverge no ponto (ou tal momento não chega, ou seja). Então o intervalo indicado será a região de convergência da série.Assim, qualquer série de potências tem como região de convergência não um conjunto arbitrário, mas precisamente um intervalo. Vamos dar uma definição mais precisa do intervalo de convergência.

Definição 2. O número é chamado raio de convergência série, se dentro do intervalo esta série converge absolutamente, e fora do segmento diverge. Neste caso, o intervalo é chamado intervalo de convergência linha.

Observe que para , a série de potências indicada converge apenas no ponto e para , ela converge para todos os valores reais. Os exemplos a seguir mostram que esses casos não são excluídos: Um exemplo de uma série com raio de convergência finito diferente de zero pode ser uma progressão geométrica Note também que no limite do intervalo de convergência, a série de potências pode ser tanto convergente quanto divergente. Por exemplo, a série converge condicionalmente em um ponto e diverge em um ponto

Das propriedades das séries funcionais uniformemente convergentes (Teoremas 1-3), as seguintes propriedades das séries de potências são facilmente deduzidas.

Teorema 4.Seja o raio de convergência da série de potências. Em seguida, ocorrem as seguintes afirmações:

1. A soma de uma dada série de potências é contínua no intervalo de convergência;

2. Se é o raio de convergência da série de potências, então a série de derivadas terá o mesmo raio de convergência. Segue-se que a série de potências pode ser diferenciada qualquer número de vezes (ou seja, sua soma é infinitamente diferenciável no intervalo de convergência), e a igualdade

3. Uma série de potências pode ser integrada em qualquer intervalo situado dentro de seu intervalo de convergência, ou seja,

Prova, por exemplo, a primeira propriedade ficará assim. Seja um ponto arbitrário do intervalo de convergência . Vamos cercar este ponto com um segmento simétrico Pelo teorema de Abel, a série converge uniformemente sobre o segmento, portanto sua soma é contínua no segmento indicado e, portanto, contínua, em particular, e no ponto A propriedade 1 está provada. As demais propriedades do nosso teorema são provadas de forma similar.

Agora vamos calcular o raio de convergência de uma série de potências a partir de seus coeficientes.

Teorema 4 . Seja satisfeita pelo menos uma das seguintes condições:

a) existe um limite (finito ou infinito)

b) existe um limite (finito ou infinito) (supõe-se que exista um número tal que).

Então o número é o raio de convergência da série.

Prova faremos para o caso a). Vamos aplicar o teste de Cauchy à série modular: De acordo com o teste indicado, a série converge absolutamente se o número, ou seja, se Se, ou seja se então a série indicada diverge. Daí, o raio de convergência da série. O teorema foi provado.

Observação 1. O teorema 1-4 pode ser transportado para séries de potências da forma quase sem alterar o texto (com uma ligeira correção de que, neste caso, a região de convergência é um intervalo).

Exemplo 1 Encontre a área de convergência da série ( tarefa 10, T.R., Kuznetsov LA)

Solução. Aplicamos um análogo de a) do teorema de Cauchy: o raio de convergência de uma dada série. Então a série converge absolutamente na região

Investigamos a convergência da série nas extremidades do intervalo. Nós temos

diverge, porque

diverge, porque

Portanto, a área de convergência da série original é o intervalo.