Apresentação da função inversa para uma aula de álgebra (nota 10) sobre o tema. Funções recíprocas Veja o conteúdo do documento "Desenvolvimento metodológico da lição "Funções recíprocas""

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Legendas dos slides:

Função inversa

Repetimos Se a cada valor x de um certo conjunto de números reais é atribuído um número y de acordo com uma certa regra f, então dizemos que uma função é dada neste conjunto. D(f) é o domínio da função; x é uma variável ou argumento independente; y é a variável dependente; o conjunto de todos os valores y=f(x) , x ϵ X é chamado de intervalo da função e denotado por E(f) .

Tarefa Seja dada a função y=f(x) Encontre o valor da função no ponto x=x 0 Por exemplo: Encontre o valor da função y=5x+7 no ponto x=7. y(7)=5∙7+7 Resposta: y(7)=42 =35+7=42 Problema direto Seja dada a função y=f(x) Encontre o valor do argumento no ponto y=y 0 Por exemplo: Dada a função y= 5x+7. Encontre o valor do argumento para o qual y=22. 22=5x+7 5x=22-7 5x=15 x=15:5 x=3 Resposta: y(3)=22 Inverso

Tarefa Seja dada a lei da mudança da velocidade do movimento a partir do tempo Encontre a lei da mudança do tempo a partir da velocidade. Solução: 0 – gt = gt = – 0 t= Função reversível Função inversa para

Se uma função assume cada um de seus valores y por apenas um valor de x, essa função é chamada de invertível. Deixe uma função reversível. Então cada um do conjunto de valores da função corresponde a um número definido do domínio de definição, de modo que Essa correspondência determina a função que denotamos. Trocar e: A função é chamada de inversa da função. Designar.

Exemplo Encontre a função inversa da função Solução: Resposta:

y x 5 0 D(y)= (; 5) E(y)= (; 0) y 0 5 x D(y)= (; 0) E(y)= (; 5)

Propriedades das funções inversas: O domínio de definição da função inversa coincide com o conjunto de valores da função original, e o conjunto de valores da função inversa coincide com o domínio de definição da função original A função monotônica é reversível: a) se a função aumenta, então a função inversa a ela também aumenta; b) se uma função é decrescente, então sua função inversa também é decrescente.

Exemplo Mostre que uma função tem uma função inversa e encontre sua expressão analítica. Solução: A função está aumentando em R . Portanto, a função inversa existe em R . Vamos resolver a equação para. Obtemos, Trocando e obtemos: Esta é a função inversa desejada.

Exemplo Dada uma função Prove que existe uma função inversa para ela, escreva a expressão analítica da função inversa no formulário e plote a função inversa.

Solução: A função aumenta no intervalo, ou seja, tem função inversa. Da equação encontramos: ou. Apenas os valores da função pertencem ao intervalo.

Ao trocar e obtemos O gráfico desta função é obtido a partir do gráfico da função usando simetria em relação a uma linha reta.

Feito por Morenchildt I.K. grupo 1.45.36 Frunzensky District School No. 314 Professor Koroleva O.P. São Petersburgo 2006 * São Petersburgo CENTRO DE TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO E TELECOMUNICAÇÕES MÚTUAS FUNÇÕES INVERSAS

Função exponencial e logarítmica Funções trigonométricas

Definições básicas Exemplos de equações Gráficos de funções inversas Funções exponenciais e logarítmicas Funções seno e arco-seno Funções cosseno e arco-cosseno Funções tangente e arco-tangente Funções cotangente e arco-cotangente Fontes de exame Conteúdo Finalizar

Função reversível Se a função y=f (x) assume cada um de seus valores apenas para um valor de x, essa função é chamada de reversível. Para tal função, é possível expressar a relação inversa entre os valores do argumento e os valores da função.

Um exemplo de construção de uma função inversa a um dado Caso particular Dada uma função y=3x+5 Equação para x Substitua x por y As funções (1) e (2) são mutuamente inversas Caso geral y=f (x) é invertível função Função definida x= g (y ) Substitua x por y y= g(x) As funções y=f(x) e y=g(x) são mutuamente inversas

Gráficos de funções inversas

Funções exponenciais e logarítmicas y=log a x y=a x y=x a>1

Funções sen x e arcsin x Considere a função y=sin x no segmento A função é monotonicamente crescente. FZF [-1;1]. A função y= arcsin x é o inverso da função y=sinx . [ -  ;  ] 2 2

Funções cos x e arccos x Considere a função y=co s x no segmento A função é monotonicamente decrescente. FZF [-1;1]. A função y=arccos x é o inverso da função y=co sx .

Funções tg x e ​​arctg x Considere a função y= tg x no intervalo A função é monotonicamente crescente. ORF é o conjunto R . A função y= arctg x é o inverso da função y= tg x . (-  ; ) 2 2

Funções ctg x e ​​arcctg x Considere a função y= ctg x no intervalo (0; ). A função é monotonicamente decrescente. O GFA é o conjunto R . O inverso é a função y \u003d arcctg x.

Teste sobre o tópico "Funções mutuamente inversas" Pergunta nº 1 Pergunta nº 2 Pergunta nº 3 Pergunta nº 4 Pergunta nº 5 Concluir Concluir

Questão nº 1 Gráficos de funções mutuamente inversas estão localizados no sistema de coordenadas simetricamente em relação a: A origem das coordenadas Direct y \u003d x Eixos OY Eixos OX

Questão nº 2 Como estão relacionados o domínio de definição do original e o domínio da função inversa? Partida Independente

Questão #3 Qual é a inversa de uma função logarítmica? Potência Linear Quadrática Exponencial

Questão #4 A função y=arcctg x é o inverso da função y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x

Questão #5 O tópico “Funções Recíprocas” é Elementar Meu Favorito Fácil Compreensível

Viva! Viva! Viva! Bem feito cientista!

Resposta errada Repita desde o início!

Errado! Estou indignado com sua resposta!

Fontes de álgebra e os primórdios da análise: Proc. para 10-11 células. Educação geral instituições / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov e outros - 12ª ed. - M.: Iluminismo, 2004. - 384 p. O estudo da álgebra e o início da análise nas séries 10-11: Livro. para o professor / N.E. Fedorova, M. V. Tkachev. - 2ª ed. - M.: Educação, 2004. - 205 p. Materiais didáticos de álgebra e primórdios da análise para o 10º ano: Um guia para o professor / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwartzburd. - 2ª ed., revista. - M.: Iluminismo, 1998. -143 p. Gráficos de funções trigonométricas inversas http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

Lições objetivas:

Educacional:

Em desenvolvimento:

Educacional:

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"Desenvolvimento metodológico da aula "Funções recíprocas""

Aula da 10ª série sobre o tema "Funções recíprocas"

(de acordo com o programa de Alimova Sh.A.)

tipo de lição: combinado.

Lições objetivas:

Educacional:

Repetir e resumir o conhecimento dos alunos sobre o tema "Função", estudado no 9º ano.

Conhecer funções mutuamente inversas, estudar as condições de existência de uma função inversa e suas propriedades, aprender a construir gráficos de funções inversas.

Em desenvolvimento:

Desenvolver a atividade criativa e mental dos alunos, suas qualidades intelectuais: a capacidade de "ver" o problema.

Para formar a capacidade de expressar de forma clara e clara seus pensamentos, explorar, analisar, comparar, tirar conclusões.

Desenvolver o interesse dos alunos pela criatividade independente.

Desenvolva a imaginação espacial dos alunos.

Educacional:

Desenvolver a capacidade de trabalhar com a informação disponível numa situação inusitada.

Cultive a precisão e a consciência.

Realizar educação estética.

Equipamento:

• projetor multimídia;

  aplicação à lição: (Apresentação.) - em mídia eletrônica;

Meios de educação: computadores, programa Excel, projetor de mídia, apresentação de slides.

Demonstrações: gráficos de funções construídas em um sistema de coordenadas.

Formas de organização das atividades educativas: individual, diálogo, trabalho com texto de slide, trabalho de pesquisa em um caderno.

Métodos: visual, verbal, gráfico, pesquisa.

Etapas da lição:

Definir o objetivo da aula e a motivação para as atividades de aprendizagem. 2 minutos

Repetição do material abordado no tópico "Funções e seus gráficos". 10 minutos

O estágio de explicar o novo material.10 minutos

Parte operacional e executiva. Fase de consolidação.10 minutos

Controle de conhecimento (planilha com teste em papel)5 minutos

Trabalho de casa. 1 minuto

Etapa reflexiva-avaliativa. 2 minutos

Durante as aulas.

1. Discurso introdutório do professor. Conversa de instalação. Humor psicológico dos alunos.

A aula de hoje não é muito comum para você: a professora de matemática Elena Semyonovna da escola secundária Platoshinskaya, os convidados são professores de matemática e metodologistas de sua escola e do departamento de educação da região de Perm.

Na aula, você e eu devemos repetir e generalizar o conhecimento dos alunos sobre o tema "Função", estudado no 9º ano, conhecer funções mutuamente inversas, estudar as condições de existência de uma função inversa e suas propriedades, aprender como construir gráficos de funções inversas. Desejamos um ao outro sucesso e trabalho frutífero.

2. Repetição do material abordado no tópico "Funções e seus gráficos". Apresentação.

Diapositivos 2-10. Trabalho frontal com a turma.

3. Aprender novos materiais. Conversa educativa com elementos de pesquisa e demonstração (slides 11-24)

4.

Exemplo de dependência. Cada valor de função corresponde a um valor de argumento.

Para tais funções, é possível expressar a relação inversa entre os valores do argumento e os valores da função.

Exercício.

Encontre o domínio e imagem de funções recíprocas.

4. Consolidação do conhecimento.

5. Controle do conhecimento.

6. Tarefa de casa: estude as páginas 46-50, resolva o nº 132, nº 133, nº 134

7. Fase reflexiva-avaliativa.

Durante a lição que aprendi………………………….

Na aula eu estava interessado em …………………....

Foi difícil ………………………………………….

O conhecimento adquirido na aula, posso usar …………………………………………

Lições objetivas:

Educacional:

• formar conhecimento sobre um novo tópico de acordo com o material do programa;
• estudar a propriedade da invertibilidade de uma função e ensinar a encontrar uma função inversa a uma função dada;

Em desenvolvimento:

• desenvolver habilidades de autocontrole, fala subjetiva;
• dominar o conceito de função inversa e aprender os métodos para encontrar uma função inversa;

Educacional: formar competência comunicativa.

Equipamento: computador, projetor, tela, quadro interativo SMART Board, apostila (trabalho independente) para trabalho em grupo.

Durante as aulas.

1. Momento organizacional.

Alvo – preparando os alunos para o trabalho em sala de aula:

Definição de ausente,

Atitude dos alunos para o trabalho, organização da atenção;

Mensagem sobre o tema e propósito da lição.

2. Atualização dos conhecimentos básicos dos alunos. enquete frontal.

Alvo - estabelecer a correção e consciência do material teórico estudado, a repetição do material abordado.<Приложение 1 >

Um gráfico da função é mostrado no quadro interativo para os alunos. O professor formula a tarefa - considerar o gráfico da função e listar as propriedades estudadas da função. Os alunos listam as propriedades de uma função de acordo com o projeto de pesquisa. O professor, à direita do gráfico da função, anota as propriedades nomeadas com um marcador na lousa interativa.

Propriedades da função:

Ao final do estudo, a professora relata que hoje na aula vão conhecer mais uma propriedade da função - a reversibilidade. Para um estudo significativo do novo material, o professor convida as crianças a se familiarizarem com as principais perguntas que os alunos devem responder no final da aula. As perguntas são escritas em um quadro comum e cada aluno recebe uma apostila (distribuída antes da aula)

1. O que é uma função reversível?
2. Toda função é reversível?
3. Qual é a função dada inversa?
4. Como estão relacionados o domínio de definição e o conjunto de valores de uma função e sua função inversa?
5. Se a função é dada analiticamente, como você define a função inversa com uma fórmula?
6. Se uma função é dada graficamente, como plotar sua função inversa?

3. Explicação do novo material.

Alvo - formar conhecimento sobre um novo tópico de acordo com o material do programa; estudar a propriedade da invertibilidade de uma função e ensinar a encontrar uma função inversa a uma função dada; desenvolver o assunto.

O professor realiza uma apresentação do material de acordo com o material do parágrafo. Na lousa interativa, o professor compara os gráficos de duas funções cujos domínios de definição e conjuntos de valores são iguais, mas uma das funções é monotônica e a outra não, trazendo assim aos alunos o conceito de função invertível .

O professor então formula a definição de uma função invertível e prova o teorema da função invertível usando o gráfico da função monotônica no quadro interativo.

Definição 1: A função y=f(x), x X é chamada reversível, se toma algum de seus valores apenas em um ponto do conjunto X.

Teorema: Se a função y=f(x) é monótona no conjunto X , então ela é invertível.

Prova:

1. Deixe a função y=f(x) aumenta em x deixa para lá x 1 ≠ x 2- dois pontos do conjunto x.
2. Por definição, deixe x 1< x 2.
   Então do que x 1< x 2 segue que f(x 1) < f(x 2).
3. Assim, diferentes valores do argumento correspondem a diferentes valores da função, ou seja, a função é reversível.

(Durante a prova do teorema, o professor faz todas as explicações necessárias sobre o desenho com marcador)

Antes de formular a definição de uma função inversa, o professor pede aos alunos que determinem qual das funções propostas é reversível? O quadro interativo mostra gráficos de funções e várias funções definidas analiticamente são escritas:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

O professor introduz a definição de uma função inversa.

Definição 2: Seja uma função invertível y=f(x) definido no conjunto x E E(f)=Y. Vamos combinar cada um y de Y então o único significado x, em qual f(x)=y. Então obtemos uma função definida em Y, A xé o intervalo da função

Esta função é denotada x=f -1 (y) e é chamada de inversa da função y=f(x).

Os alunos são convidados a tirar uma conclusão sobre a relação entre o domínio de definição e o conjunto de valores das funções inversas.

Para considerar a questão de como encontrar a função inversa de um dado, o professor envolveu dois alunos. No dia anterior, as crianças receberam da professora a tarefa de analisar independentemente os métodos analíticos e gráficos para encontrar a função inversa dada. O professor atuou como um consultor na preparação dos alunos para a aula.

Mensagem do primeiro aluno.

Nota: a monotonicidade de uma função é suficiente condição para a existência de uma função inversa. Mas isso não é Condição necessaria.

O aluno deu exemplos de várias situações em que a função não é monotônica, mas reversível, quando a função não é monotônica e não reversível, quando é monotônica e reversível

Em seguida, o aluno apresenta aos alunos o método de encontrar a função inversa dada analiticamente.

Encontrar algoritmo

1. Certifique-se de que a função seja monotônica.
2. Expresse x em termos de y.
3. Renomeie as variáveis. Em vez de x \u003d f -1 (y), eles escrevem y \u003d f -1 (x)

Em seguida, resolve dois exemplos para encontrar a função do inverso do dado.

Exemplo 1: Mostre que existe uma função inversa para a função y=5x-3 e encontre sua expressão analítica.

Solução. A função linear y=5x-3 é definida em R, aumenta em R e seu alcance é R. Portanto, a função inversa existe em R. Para encontrar sua expressão analítica, resolvemos a equação y=5x-3 em relação a x; obtemos Esta é a função inversa desejada. É definido e aumenta por R.

Exemplo 2: Mostre que existe uma função inversa para a função y=x 2 , x≤0 e encontre sua expressão analítica.

A função é contínua, monótona em seu domínio de definição, portanto, invertível. Tendo analisado os domínios de definição e o conjunto de valores da função, é feita uma conclusão correspondente sobre a expressão analítica para a função inversa.

O segundo aluno faz uma apresentação sobre gráfico como encontrar a função inversa. No curso de sua explicação, o aluno usa os recursos do quadro interativo.

Para obter o gráfico da função y=f -1 (x), inversa à função y=f(x), é necessário transformar o gráfico da função y=f(x) simetricamente em relação à reta y=x.

Durante a explicação no quadro interativo, a seguinte tarefa é executada:

Construa um gráfico de uma função e um gráfico de sua função inversa no mesmo sistema de coordenadas. Escreva uma expressão analítica para a função inversa.

4. Fixação primária do novo material.

Alvo - estabelecer a correção e consciência da compreensão do material estudado, identificar lacunas na compreensão primária do material, corrigi-las.

Os alunos são divididos em duplas. Eles recebem folhas com tarefas nas quais trabalham em duplas. O tempo para concluir o trabalho é limitado (5-7 minutos). Um par de alunos trabalha no computador, o projetor é desligado neste momento e o restante das crianças não consegue ver como os alunos trabalham no computador.

Ao final do tempo (supõe-se que a maioria dos alunos concluiu o trabalho), a lousa interativa (o projetor liga novamente) mostra o trabalho dos alunos, onde é esclarecido durante o teste que a tarefa foi concluída em pares. Se necessário, o professor realiza um trabalho corretivo e explicativo.

Trabalho independente em dupla<Apêndice 2 >

5. O resultado da lição. Sobre as perguntas que foram feitas antes da palestra. Anúncio das notas da aula.

Lição de casa §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Álgebra e os primórdios da análise. Grau 10 Em 2 partes para instituições educacionais (nível de perfil) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova e outros; ed. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Função inversa

Texto da lição

• Lição abstrata 1-3 (Morozova I. A.)

  O nome da disciplina Álgebra e o início da análise matemática Classe 10 UMK Álgebra e o início da análise matemática. 10-11 graus. Às 2 horas Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino (nível básico) / A.G. Mordkovich. - 10ª ed., Sr. - M.: Mnemozina, 2012. Parte 2. Caderno de tarefas para alunos de instituições de ensino (nível básico) / [A.G. Mordkovich e outros]; ed. AG Mordkovich. - 10ª ed., Sr. - M.: Mnemosyne, 2012. O nível de escolaridade é básico Tema da aula: Função inversa. (3 horas) Aula 1. Objetivo da aula: introduzir os conceitos de funções reversíveis e inversas; provar o teorema da monotonicidade de funções diretas e inversas; identificar e justificar o significado geométrico da reversibilidade de uma função Objetivos da aula: - formar a capacidade de encontrar a função inversa de uma função dada; - para formar a capacidade de construir um gráfico da função inversa. Resultados esperados: Saber: a definição de função invertível, função inversa, sinal da reversibilidade de uma função. Ser capaz de: encontrar a fórmula de uma função inversa a uma dada; construa um gráfico da função inversa usando o gráfico desta função. Suporte técnico do computador de aula, tela, projetor, livro didático. Curso da lição I. Momento organizacional. II. Verificação dos trabalhos de casa (análise das tarefas que causaram dificuldades aos alunos) III. Trabalho de verificação. Opção 1 1. Dada uma função a) Examine a monotonicidade da função se x > 2. b) Encontre o maior e o menor valor da função no segmento [–1,5; 1.5]. 2. Examine a função onde x > 0 para limitação. 3. Examine a função quanto à paridade. Opção 2 1. Dada uma função a) Examine a função para monotonicidade se x< 2. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–4,5; –3,1]. 2. Исследуйте функцию где х < 0, на ограниченность. 3. Исследуйте функцию на четность. Вариант 3 1. Дана функция а) Исследуйте функцию на монотонность, если х < –1. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; 0,4]. 2. Исследуйте функцию где х < –1, на ограниченность. 3. Исследуйте функцию на четность. Вариант 4 1. Дана функция а) Исследуйте функцию на монотонность, если х  1. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . 2. Исследуйте функцию где х >2, por limitação. 3. Examine a função quanto à paridade. A solução das opções 1 e 3 do trabalho de verificação. As opções 1 e 2 são um pouco mais fáceis do que as opções 3 e 4. Opção 1 1. Denote a) Então deixe a função diminuir em (–; 2]. b) Como a função diminui em (–∞; 2], então a resposta : a) diminui; b) unaib. = 12,25; unaim. = 0,25. 2. onde x > 0. A função é limitada por cima pela reta y = 0, o que significa que a função é limitada por cima pela reta y = 1. Resposta: limitada por cima. 3. - simétrico em relação à origem. então a função é ímpar. Resposta: estranho. Opção 3 1. a) Denote O gráfico é uma parábola com um vértice no ponto (–1; –1) e interceptando o eixo 0x nos pontos x = 0 e x = –2. Se x > -1, a função é crescente. b) No intervalo [–2; 0,4] e Resposta: a) aumenta; b) unaib. = 0,96; unaim. = 0. 2. onde x< –1. Функция ограничена снизу прямой у = 0, значит, функция ограничена снизу прямой у = 2. Ответ: ограничена снизу. 3. – симметрична относительно начала координат. Если х = 0, то Имеем: значит, функция ни четная, ни нечетная. Ответ: ни четная, ни нечетная. IV. Объяснение нового материала. 1. Для введения понятия обратимой функции можно использовать либо подвижные модели, либо изображение обратимых и необратимых функций на прозрачной пленке, перевернув которую можно показать, как область определения и область значения функции «меняются местами» и в каком случае обеспечивается однозначность обратной функции. 2. Для первичного закрепления материала учащиеся выполняют следующее задание. Среди функций, графики которых изображены на рисунке, укажите обратимые. 3. Теорема 1. Подчеркиваем учащимся, что в теореме сформулирован признак обратимости функции (достаточное условие). В то же время монотонность не является необходимым условием обратимости. Динамическая пауза. V. Формирование умений и навыков. Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на аналитическое задание функции, обратной данной. № 3.1 (а; б), № 3. 2 (а; б). При выполнении этих упражнений следует предупредить формализм в аналитическом задании функции путем простого преобразования уравнения. Учащиеся должны обосновать существование обратной функции. Решение: № 3.1 (б). Линейная функция у = 2 + 4х определена на R, возрастает на R(k  0), E(f) = R. Значит, на R существует обратная функция. – искомая обратная функция, возрастающая на R. Ответ: № 3.2 (б). Функция убывает на всей области определения, значит, существует обратная функция, определенная и убывающая на Ответ: V. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Какая функция называется обратимой? – Сформулируйте признак обратимости функции. –Дайте определение обратной функции. Домашнее задание: № 3.1 (в; г) – № 3.2 (в; г). Урок 2. Цель урока: выявить и обосновать геометрический смысл обратимости функции Задачи урока: - развивать умение находить обратную функцию для заданной; - формировать умение строить график обратной функции. Планируемые результаты: Знать: определение обратимой функция, обратной функции, признак обратимости функции. Уметь: находить формулу функции, обратной данной; строить график обратной функции, используя график данной функции. Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверка домашнего задания (разбор заданий, вызвавших затруднения учащихся) III. Работа в группах. Карточка 1. Карточка 2. IV. Объяснение нового материала. Устанавливая геометрический смысл обратимости функции, учащиеся формулируют способ построения графика обратной функции с помощью преобразования осевой симметрии. Графики функции у = f(х) и обратной функции у = f-1 симметричны относительной прямой у = х. Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f(х) = 2х – 4 обратная функция f-1(x) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х. Функция f-1(x) = 1/2х + 2 обратная по отношению к функции f(х) = 2х - 4. Но и функция f(х) = 2х - 4 является обратной по отношению к функции f-1(x) = 1/2х + 2. Поэтому функции f(х) и f-1(х) корректнее называть взаимообратными. При этом выполнены равенства: f-1(f(х)) = х и f(f-1(x) = x. Динамическая пауза. V. Формирование умений и навыков. Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на построение графика обратной функции с помощью осевой симметрии. № 3.3 (а; б), № 3. 4 (а; б), № 3.5* (а; б). Решение: № 3. 4 (б). Графиком является кубическая парабола, полученная из графика у = х3 сдвигом вправо по оси 0х на 2 единицы. Функция возрастает на R, значит, существует обратная функция, заданная и возрастающая на R. Ответ: V. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Какая функция называется обратимой? – Сформулируйте признак обратимости функции. –Дайте определение обратной функции. – Каков характер монотонности прямой и обратной функций? – Как построить график обратной функции, используя график данной функции? Домашнее задание: № 3.3 (в; г) – № 3.4 (в; г) № 3.5 * (в; г) – по желанию. Урок 3. Цель урока: проверить степень усвоения теоретического материала и умения применять его при выполнении письменной работы Задачи урока: - развивать умение находить обратную функцию для заданной; - развивать умение строить график обратной функции. Планируемые результаты: Знать: определение обратимой функция, обратной функции, признак обратимости функции. Уметь: находить формулу функции, обратной данной; строить график обратной функции, используя график данной функции. Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверка домашнего задания (разбор заданий, вызвавших затруднения учащихся) III. Зачетная работа Вариант 1. Вариант 2. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Какая функция называется обратимой? – Сформулируйте признак обратимости функции. –Дайте определение обратной функции. – Каков характер монотонности прямой и обратной функций? – Как построить график обратной функции, используя график данной функции? Домашнее задание: §3, примеры 1-3.

  Baixar: Álgebra 10kl - Lição abstrata 1-3 (Morozova I. A.).docx

• lição 1 (Samoilova G.A.)

  Álgebra e os primórdios da análise 10ª série TMC: Álgebra e os primórdios da análise 10ª a 11ª série, A.G. Mordkovich, Moscou 2013 Nível de estudo: básico Tópico: Função inversa Total de horas: 3 horas Sobre o tema: Lição nº 1 Objetivo da lição: Educacional: Introduzir e reforçar a definição de uma função inversa; estudar a propriedade da invertibilidade de uma função e ensinar a encontrar uma função inversa a uma função dada; Desenvolver: desenvolver habilidades de autocontrole, fala subjetiva; dominar o conceito de função inversa e aprender os métodos para encontrar uma função inversa; Educacional: formar competência comunicativa. Objetivos da aula: 1. Apresentar aos alunos as funções reversíveis e seus gráficos. 2.Enriquecer a experiência dos alunos na obtenção de novos conhecimentos com base nos conhecimentos teóricos existentes, bem como através da utilização de situações práticas familiares Resultados esperados: Após o estudo deste tema, os alunos deverão saber: Definição de uma função reversível; traçar uma função reversível; exemplos de funções da vida; métodos de comparação, generalização, capacidade de tirar conclusões; Após o estudo deste tema, os alunos deverão ser capazes de: reabastecer e sistematizar de forma autónoma os seus conhecimentos: -construir gráficos de funções reversíveis: -ser capaz de tirar conclusões. Apoio técnico da lição: livro didático “Álgebra e o início da análise. Grau 10 (nível básico) "A.G. Mordkovich. Tabelas de funções numéricas. Computador, projetor, tela. Apoio metodológico e didático adicional para a aula: Guia metodológico para professores "Planos de aula para o livro didático Álgebra e o início da análise 10-11", A.G. Mordkovich, Volgograd 2013 Recursos da Internet https:// 1september.ru Conteúdo da lição: 1. Momento organizacional 2. Controle do conhecimento residual 3. Aprendizagem de novo material 4. Consolidação 5. Resumo da lição 6. Definição do dever de casa Curso da lição: 1 .Momento organizacional 2.Controle do conhecimento residual 1). Repetição e consolidação da matéria abordada 1. Respostas a questões de trabalhos de casa (análise de problemas não resolvidos). 2. Acompanhamento da assimilação do material (trabalho independente). Opção 1 Realizar um estudo da função e construir seu gráfico: 3. Aprender novo material De acordo com a forma analítica da função para qualquer valor do argumento, é fácil encontrar o valor correspondente da função y. Muitas vezes surge o problema inverso: o valor de y é conhecido e é necessário encontrar o valor do argumento x para o qual é obtido. Exemplo 1 Encontre o valor do argumento x se o valor da função for: a) 2; b) 7/6; c) 1. Da forma analítica da função, expressamos a variável x e obtemos: 4xy - 2y \u003d 3x + 1 ou x (4y - 3) \u003d 2y + 1, de onde. Agora é fácil resolver o problema: A função é chamada de inversa da função. Como é comum denotar o argumento da função com a letra x e o valor da função com a letra y, a função inversa é escrita na forma Damos os conceitos necessários para estudar o assunto. Definição 1. Uma função y = f(x), x ∈ X é chamada invertível se assumir qualquer um de seus valores apenas em um ponto x do conjunto X (em outras palavras, se diferentes valores da função corresponderem a diferentes valores do argumento). Caso contrário, a função é dita irreversível. Exemplo 2 A função assume cada um de seus valores apenas em um ponto x e é reversível (gráfico a). A função tem tais valores y (por exemplo, y = 2), que são alcançados em dois pontos diferentes x, e é irreversível (gráfico b). Ao considerar o tópico, o seguinte teorema é útil. Teorema 1. Se uma função y = f(x), ∈ é monotônica em um conjunto X, então ela é invertível. Exemplo 3 Voltemos ao exemplo anterior. A função decresce (monótona) e é invertível em todo o domínio de definição. A função é não monótona e irreversível. No entanto, esta função aumenta nos intervalos (-∞; -1] e . Portanto, em tais intervalos, a função é invertível. Por exemplo, a função é invertível no segmento x [-1; 1]. Definição 2. Seja y \u003d f (x), x ∈ X é uma função invertível e E(f) = Y. Associe cada Y com o valor único de x para o qual f(x) = y (ou seja, a raiz única da equação f( x) = y em relação à variável x). Em seguida, obtemos uma função que é definida no conjunto Y (o conjunto X é seu intervalo). Essa função é denotada por x - f-1(y), y ∈ Y e é chamado de inverso da função y = f(x), x ∈ X. Em A figura mostra a função y \u003d f (x) e a função inversa x \u003d f-1 (y).O direto e o inverso as funções têm a mesma monotonicidade.Teorema 2. Se a função y \u003d f (x) aumenta (diminui) no conjunto X e Y - seu intervalo, então a função inversa x = f-1(y) aumenta (diminui) no conjunto Y. Exemplo 4 A função decresce no conjunto e tem um conjunto de valores A função inversa também decresce no conjunto e tem um conjunto de valores coincidentes, pois essas funções levam a uma mesma relação entre as variáveis ​​x e y: 4xy - 3x - 2y - 1 \u003d 0. É comum para nós que o argumento da função seja indicado pela letra x, o valor da função - pela letra y. Portanto, escreveremos a função inversa na forma y = f-1 (x) (veja o exemplo 1). Teorema 3. Os gráficos da função y \u003d f (x) e da função inversa y \u003d f-1 são simétricos à reta relativa y \u003d x. Exemplo 5 Para a função y \u003d 2x - 4, encontramos a função inversa: y + 4 \u003d 2x, de onde x \u003d 1/2y + 2. Introduzimos a renomeação de x ↔ y e escrevemos a função inversa na forma y \u003d 1/2x + 2. Assim, para a função f (x) \u003d 2x - 4, a função inversa f-1 (x) \u003d 1/2x + 2. Construímos gráficos dessas funções. Pode-se ver que os gráficos são simétricos à linha reta relativa y \u003d x. A função f-1 (x) = 1/2x + 2 é inversa em relação à função f (x) = 2x - 4. Mas a função f (x) = 2x - 4 também é inversa em relação à função f -1 (x) \u003d 1/2x + 2. Portanto, as funções f (x) e f-1 (x) são mais corretamente chamadas de mutuamente inversas. Neste caso, as seguintes igualdades são satisfeitas: f-1 (f(x)) = xe f(f-1(x) = x. 4. Consolidação 1) Questões de controle: 1. Funções reversíveis e irreversíveis. 2. Invertibilidade de uma função monótona. 3. Definição da função inversa. 4. Monotonicidade de funções diretas e inversas. 5. Gráficos de funções diretas e inversas. 2) Tarefa na lição § 3, nº 1 (a, b); 2 (c, d); 3 (a, d); 4 (c, d); 5 (a, c). 5. Resumo da lição O que você aprendeu de novo na lição de hoje? Que dificuldades encontrou? Faça uma conclusão sobre a relação entre o domínio de definição e o conjunto de valores das funções inversas. 4. Declaração de trabalhos de casa § 3, nº 1 (c, d); 2 (a, b); 3 (b, c); 4 (a, b); 5 (b, d).

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• lição 2 (Samoilova G.A.)

  Álgebra e os primórdios da análise 10ª série TMC: Álgebra e os primórdios da análise 10ª a 11ª série, A.G. Mordkovich, Moscou 2013 Nível de estudo: básico Tópico: Função inversa Total de horas: 3 Sobre o tema: lição nº 2 Objetivo da lição: Educacional: consolidar a definição de uma função inversa; consolidar o conhecimento das propriedades de invertibilidade de uma função e ensinar a encontrar uma função inversa a uma dada; Desenvolver: desenvolver habilidades de autocontrole, fala subjetiva; próprios métodos de encontrar a função inversa; Educacional: formar competência comunicativa; Organizar o trabalho de pesquisa de problemas dos alunos Objetivos da aula: 1. Apresentar aos alunos as funções reversíveis e seus gráficos. 2.Enriquecer a experiência dos alunos na obtenção de novos conhecimentos com base nos conhecimentos teóricos existentes, bem como através da utilização de situações práticas familiares Resultados esperados: Após o estudo deste tema, os alunos deverão saber: Definição de uma função reversível; traçar uma função reversível; exemplos de funções da vida; métodos de comparação, generalizações. Após o estudo deste tema, o aluno deverá ser capaz de: - reabastecer e sistematizar de forma autónoma os seus conhecimentos; - construir gráficos de funções reversíveis; - ser capaz de tirar conclusões. Apoio técnico da lição: livro didático “Álgebra e o início da análise. Grau 10 (nível básico) "A.G. Mordkovich. Tabelas de funções numéricas. Computador, projetor, tela. Apoio metodológico e didático adicional para a aula: Guia metodológico para professores "Planos de aula para o livro didático Álgebra e o início da análise 10-11", A.G. Mordkovich, Volgograd 2013 Recursos da Internet https:// 1september.ru Conteúdo da lição: 1. Momento organizacional 2. Verificação do dever de casa 3. Consolidação do material estudado 4. Trabalho de teste 5. Resumo da lição 6. Definição do dever de casa 1.Momento organizacional. O professor informa aos alunos o tema, o objetivo da aula e os meios para alcançá-lo. 2. Verificando a lição de casa 1) Resolvemos tarefas que causaram dificuldade no quadro-negro 2) Levantamento frontal da parte teórica do tópico Questões: 1. Qual função é chamada reversível? 2. Alguma função é reversível? 3. Qual função é chamada de dado inverso? 4. Como estão relacionados o domínio de definição e o conjunto de valores de uma função e sua função inversa? 5. Se a função é dada analiticamente, como você define a função inversa com uma fórmula? 6. Se uma função é dada graficamente, como plotar sua função inversa? 3. Consolidação do material estudado 1) Trabalho sobre o desenho acabado (repetição das propriedades de uma função numérica). Um gráfico da função é mostrado no quadro interativo para os alunos. O professor formula a tarefa - considerar o gráfico da função e listar as propriedades estudadas da função. Os alunos listam as propriedades de uma função de acordo com o projeto de pesquisa. O aluno à direita do gráfico da função anota as propriedades nomeadas com um marcador no quadro interativo. Propriedades da função: 1. D(f) = [-4;),E(y) = ligado e ligado [-1;0] 6. ymax- não existe ymin=0 em x=0 7. xmax= - 1 ,ymax = 2 xmin = -2, ymin = 1 xmin = 0, ymin = 0 8. Convexo para baixo por , convexo para cima por . 2) Considere a função, encontre a inversa dela. (Trabalho na lousa, registro em caderno). Dada uma função y=x2,x∈)