Axioma de Cantor para números reais. Fundação de análise

15. Se os conjuntos não vazios A e B de números reais são tais que para qualquer e a desigualdade a< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

O axioma da completude é válido apenas em R.

Pode-se provar que entre quaisquer números racionais desiguais é sempre possível inserir um número racional desigual a eles.

Dos axiomas dados acima, pode-se deduzir a unicidade de zero e um, a existência e unicidade da diferença e do quociente. Observe, além disso, as propriedades das desigualdades que são amplamente utilizadas em diversas transformações:

1. Se um< b, с < d , то a+c < b+d.

2. Se um< b, то –a >-b.

3. Se a > 0, b< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (O último também é verdadeiro para a > 0, b > 0.)

4. Se 0< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. Se um< b, c >0, então ac< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. Se 0< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. Para quaisquer números positivos a e b, existe um número nО N tal que na > b (axioma Arquimedes, para segmentos de comprimento a, b, na).

A seguinte notação para conjuntos numéricos é usada:

N – conjunto de números naturais;

Z – conjunto de inteiros;

Q – conjunto de números racionais;

EU – conjunto de números irracionais;

R – conjunto de números reais;

R+ é o conjunto dos números reais positivos;

R_ – o conjunto dos números reais negativos;

R 0 é o conjunto dos números reais não negativos;

C é o conjunto dos números complexos (a definição e as propriedades desse conjunto são discutidas na Seção 1.1).

Vamos introduzir o conceito de limitação no conjunto dos números reais. Ele será usado ativamente na discussão abaixo.

Chamaremos um conjunto UPPER (BOTTOM) de Bounded se existir tal número real M ( m ) que qualquer elemento satisfaz a desigualdade:

O número M é chamado de LIMITE SUPERIOR DO CONJUNTO A, e o número m – LOWER Limite deste conjunto.

Um conjunto limitado acima e abaixo é chamado de limitado.

Um monte de N números naturais é limitado abaixo, mas não limitado acima. Conjunto de números inteiros Z não limitada por cima ou por baixo.

Se considerarmos o conjunto de áreas de triângulos arbitrários inscritos em um círculo de diâmetro D , então é limitado por zero de baixo, e de cima – a área de qualquer polígono que inclua um círculo (em particular, a área do quadrado circunscrito, igual a D 2 ).

Qualquer conjunto limitado de cima (de baixo) tem infinitas faces superiores (inferiores). Então, existe o menor de todos os limites superiores e o maior de todos os limites inferiores?

Vamos ligar para o número o menor limite superior de um conjunto limitado acima AÌ R , Se:

1. é um dos limites superiores do conjunto A ;

2. é o menor dos limites superiores do conjunto A . Em outras palavras, o número real é o menor limite superior do conjunto AÌ R , Se:

Designação aceita

Entre da mesma forma: – mínimo mínimo de um conjunto limitado abaixo A e designações correspondentes

Em latim: supremo - o mais alto, ínfimo - o mais baixo.

As faces exatas de um conjunto podem ou não pertencer a ele.

TEOREMA. Limitada de cima (de baixo) conjunto não vazio de números reais o limite superior (inferior) exato.

Aceitamos este teorema sem demonstração. Por exemplo, se , o limite superior pode ser considerado o número 100, o inferior -10 e . Se então . No segundo exemplo, os limites exatos não pertencem a este conjunto.

No conjunto dos números reais, dois subconjuntos não interseccionais de números algébricos e transcendentais podem ser distinguidos.

NÚMEROS ALGEBRAICOS são números que são as raízes de um polinômio

cujos coeficientes – números inteiros.

Em álgebra superior, prova-se que o conjunto de raízes complexas de um polinômio é finito e igual a n. (Os números complexos são uma generalização dos números reais). O conjunto dos números algébricos é contável . Inclui todos os números racionais, pois os números da forma

satisfaça a equação

Também está provado que existem números algébricos que não são radicais de números racionais. Este resultado muito importante interrompeu tentativas infrutíferas de encontrar soluções de equações de grau maior que o quarto em radicais. A busca secular por algebristas que estudassem esse problema conseguiu generalizar o matemático francês E. Galois, que morreu absurdamente aos 21 anos. Seus trabalhos científicos têm apenas 60 páginas, mas foram uma contribuição brilhante para o desenvolvimento da matemática.

Um jovem que amava apaixonadamente e incontrolavelmente esta ciência, tentou duas vezes entrar na instituição educacional de maior prestígio na França na época. – Escola Politécnica – sem sucesso. Começou a estudar em um colégio privilegiado – expulso devido a um conflito com o diretor. Tendo se tornado um prisioneiro político depois de falar contra Louis Philippe, ele entregou da prisão à Academia de Ciências de Paris um manuscrito com um estudo sobre a resolução de uma equação em radicais. A Academia rejeitou este trabalho. Uma morte absurda em um duelo acabou com a vida deste homem notável.

O conjunto que é a diferença entre os conjuntos dos números reais e algébricos é chamado de conjunto dos NÚMEROS TRANSCENDENTES . Obviamente, todo número transcendental não pode ser raiz de um polinômio com coeficientes inteiros.

Ao mesmo tempo, a prova da transcendência de quaisquer números individuais causava enormes dificuldades.

Somente em 1882, o professor da Universidade de Koenigsberg F. Lindemann conseguiu provar a transcendência do número, a partir da qual ficou claro que era impossível resolver o problema da quadratura de um círculo (construir um quadrado com a área de um círculo dado usando um compasso e uma régua). Vemos que as idéias de álgebra, análise e geometria se interpenetram mutuamente.

A introdução axiomática dos números reais está longe de ser a única. Esses números podem ser introduzidos combinando o conjunto de números racionais e irracionais, ou como decimais infinitos, ou usando seções no conjunto de números racionais.

*1) Este material é retirado do capítulo 7 do livro:

L.I. Lurie FOUNDATIONS OF HIGHER MATHEMATICS / Textbook / M .: Publishing and Trade Corporation "Dashkov and Co", - 2003, - 517 S.

Definição de segmentos aninhados. Prova do lema de Cauchy-Cantor em segmentos aninhados.

Contente

Definição de segmentos aninhados

Sejam a e b dois números reais (). Deixa para lá . O conjunto de números x que satisfazem as desigualdades é chamado de segmento com extremidades a e b. O segmento é marcado assim:

Sequência de segmentos numéricos

chamou a sequência segmentos aninhados, se cada segmento subsequente estiver contido no anterior:
.
Ou seja, as extremidades dos segmentos são conectadas por desigualdades:
.

Lema sobre segmentos aninhados (princípio de Cauchy-Cantor)

Para qualquer sequência de segmentos aninhados, existe um ponto que pertence a todos esses segmentos.
Se os comprimentos dos segmentos tendem a zero:
,
então existe apenas um desses pontos.

Este lema também é chamado teorema do segmento aninhado ou Princípio de Cauchy-Cantor.

Prova

Para prova a primeira parte do lema, usamos o axioma da completude dos números reais.

Axioma da completude dos números reaisé o seguinte. Sejam os conjuntos A e B dois subconjuntos de números reais de modo que a desigualdade seja válida para quaisquer dois elementos e esses conjuntos. Então existe um número real c tal que para todo e as desigualdades valem:
.

Vamos aplicar este axioma. Seja o conjunto A o conjunto das extremidades esquerdas dos segmentos e o conjunto B o conjunto das extremidades direitas. Então a desigualdade vale entre quaisquer dois elementos desses conjuntos. Então segue do axioma da completude dos números reais que existe tal número c que para todo n valem as seguintes desigualdades:
.
Isso significa que o ponto c pertence a todos os segmentos.

vamos provar a segunda parte do lema.

Deixar . De acordo com a definição de limite de uma sequência, isso significa que para qualquer número positivo existe um número natural N que depende de ε tal que para todos os números naturais n > N a desigualdade
(1) .

Vamos supor o contrário. Sejam dois pontos distintos c 1 e C 2 , c 1 ≠ c2 pertencente a todos os segmentos. Isso significa que as seguintes desigualdades valem para todo n:
;
.
Daqui
.
Aplicando (1) temos:
.
Essa desigualdade deve valer para quaisquer valores positivos de ε. Daí segue que
c 1 = c2.

O lema está provado.

Comente

A existência de um ponto pertencente a todos os segmentos decorre do axioma da completude, válido para os números reais. Este axioma não se aplica a números racionais. Portanto, o lema dos segmentos aninhados também não se aplica ao conjunto dos números racionais.

Por exemplo, poderíamos escolher os segmentos de modo que as extremidades esquerda e direita convergissem para um número irracional. Então qualquer número racional, com um aumento em n, sempre sairia do sistema de segmentos. O único número que pertence a todo o segmento é um número irracional.

Referências:
O.V. Demônios. Aulas de análise matemática. Parte 1. Moscou, 2004.

Axioma da continuidade (completude). $Um\; \backslash subconjunto\; \backslash mathbb(R)$ E $B\; \backslash subconjunto\; \backslash mathbb(R)$ $a\backslash em\; A$ E $b\; \backslash em\; B$ a desigualdade $a\; \backslash leqslant\; b$, existe um número real $\backslash XI$ isso para todos $a\backslash em\; A$ E $b\; \backslash em\; B$ existe uma relação

$a\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; b$

Geometricamente, se tratarmos os números reais como pontos em uma reta, essa afirmação parece óbvia. Se dois conjuntos $A$ E $B$ são tais que na linha numérica todos os elementos de um deles estão à esquerda de todos os elementos do segundo, então há um número $\backslash XI$, separando esses dois conjuntos, isto é, à direita de todos os elementos $A$(exceto talvez o $\backslash XI$) e à esquerda de todos os elementos $B$(mesma cláusula).

Deve-se notar aqui que, apesar da "obviedade" dessa propriedade, para números racionais ela nem sempre é satisfeita. Por exemplo, considere dois conjuntos:

A = \(x \in \mathbb(Q): x > 0, \; x^2< 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x >0,\; x^2 > 2\)

É fácil ver que para quaisquer elementos $a\backslash em\; A$ E $b\; \backslash em\; B$ a desigualdade . No entanto racional números $\backslash XI$, separando esses dois conjuntos, não existe. Com efeito, este número só pode ser $\backslash sqrt(2)$, mas não é racional .

O papel do axioma da continuidade na construção da análise matemática

O significado do axioma da continuidade é tal que sem ele é impossível uma construção rigorosa da análise matemática. Para ilustrar, apresentamos várias afirmações fundamentais de análise, cuja prova é baseada na continuidade dos números reais:

• (Teorema de Weierstrass). Toda sequência monotonicamente crescente limitada converge
• (Teorema de Bolzano-Cauchy). Uma função contínua em um segmento que assume valores de sinais diferentes em suas extremidades desaparece em algum ponto interior do segmento
• (Existência de potência, exponencial, logarítmica e todas as funções trigonométricas em todo o domínio "natural" de definição). Por exemplo, prova-se que para cada $a\; >\; 0$ e inteiro $n\; \backslash geqslant\; 1$ existe $\backslash sqrt[n](a)$, ou seja, a solução da equação $x^n=a,\; x>0$. Isso permite que você determine o valor da expressão $a^x$ para todo racional $x$:

$a^(m/n)\; =\; \backslash left(\backslash sqrt[n](a)\backslash right)^m$

Finalmente, novamente devido à continuidade da reta numérica, pode-se determinar o valor da expressão $a^x$ já por arbitrário $x\; \backslash em\; \backslash R$. Da mesma forma, usando a propriedade da continuidade, provamos a existência do número $\backslash log\_(a)(b)$ para qualquer $a,b\; >0\; ,\; a\backslash neq\; 1$.

Por um longo período histórico, os matemáticos provaram teoremas a partir da análise, em “lugares finos” referindo-se à justificação geométrica, e mais frequentemente omitindo-os por completo, já que era óbvio. O conceito essencial de continuidade foi utilizado sem qualquer definição clara. Somente no último terço do século XIX o matemático alemão Karl Weierstrass produziu a aritmetização da análise, construindo a primeira teoria rigorosa dos números reais como frações decimais infinitas. Ele propôs a definição clássica do limite na linguagem $\backslash varepsilon\; -\; \backslash delta$, comprovou uma série de afirmações que antes dele eram consideradas “óbvias”, e assim completou a construção dos fundamentos da análise matemática.

Mais tarde, outras abordagens para a definição de um número real foram propostas. Na abordagem axiomática, a continuidade dos números reais é explicitamente destacada como um axioma separado. Em abordagens construtivas para a teoria dos números reais, como ao construir números reais usando seções de Dedekind, a propriedade de continuidade (em uma formulação ou outra) é provada como um teorema.

Outras Declarações da Propriedade de Continuidade e Proposições Equivalentes

Existem várias declarações diferentes que expressam a propriedade de continuidade dos números reais. Cada um desses princípios pode ser tomado como base para construir a teoria do número real como um axioma de continuidade, e todos os outros podem ser derivados dele. Essa questão é discutida com mais detalhes na próxima seção.

Continuidade segundo Dedekind

A questão da continuidade dos números reais Dedekind considera em sua obra "Continuidade e números irracionais". Nela ele compara os números racionais com os pontos de uma reta. Como você sabe, entre números racionais e pontos de uma reta, você pode estabelecer uma correspondência quando o ponto de partida e a unidade de medida dos segmentos são escolhidos na reta. Com a ajuda deste último, para todo número racional $a$ construir o segmento correspondente, colocando-o à direita ou à esquerda, conforme haja $a$ número positivo ou negativo, ganhe ponto $p$ correspondente ao número $a$. Então todo número racional $a$ corresponde a um e apenas um ponto $p$ em linha reta.

Acontece que existem infinitos pontos na reta que não correspondem a nenhum número racional. Por exemplo, um ponto obtido traçando o comprimento da diagonal de um quadrado construído em um segmento unitário. Assim, o reino dos números racionais não tem esse integridade, ou continuidade, que é inerente a uma linha reta.

Para descobrir em que consiste essa continuidade, Dedekind faz a seguinte observação. Se $p$é um certo ponto da linha, então todos os pontos da linha caem em duas classes: pontos localizados à esquerda $p$, e aponta para a direita $p$. O próprio ponto $p$ podem ser arbitrariamente atribuídos à classe baixa ou alta. Dedekind vê a essência da continuidade no princípio inverso:

Geometricamente, esse princípio parece óbvio, mas não estamos em condições de prová-lo. Dedekind enfatiza que, em essência, esse princípio é um postulado, que expressa a essência daquela propriedade atribuída à linha reta, que chamamos de continuidade.

Esta proposição também é equivalente ao princípio da continuidade de Dedekind. Além disso, pode-se mostrar que a afirmação do teorema mínimo segue diretamente da afirmação do teorema supremo, e vice-versa (veja abaixo).

Lema da cobertura finita (princípio de Heine-Borel)

Lema da Cobertura Finita (Heine - Borel). Em qualquer sistema de intervalos que cobre um segmento, existe um subsistema finito que cobre esse segmento.

Lema do ponto limite (princípio de Bolzano-Weierstrass)

Lema do Ponto Limite (Bolzano - Weierstrass). Todo conjunto infinito de números limitados tem pelo menos um ponto limite.

Equivalência de sentenças que expressam a continuidade do conjunto dos números reais

Façamos algumas observações preliminares. De acordo com a definição axiomática de um número real, a coleção de números reais satisfaz três grupos de axiomas. O primeiro grupo são os axiomas de campo. O segundo grupo expressa o fato de que o conjunto dos números reais é um conjunto ordenado linearmente, e a relação de ordem é consistente com as operações básicas do campo. Assim, o primeiro e o segundo grupos de axiomas significam que o conjunto dos números reais é um corpo ordenado. O terceiro grupo de axiomas consiste em um axioma - o axioma da continuidade (ou completude).

Para mostrar a equivalência de várias formulações da continuidade dos números reais, deve-se provar que se uma dessas proposições vale para um corpo ordenado, então todas as outras são verdadeiras.

Teorema. Deixar $\backslash mathsf(R)$- um conjunto arbitrário linearmente ordenado. As seguintes declarações são equivalentes:

1. Quaisquer que sejam os conjuntos não vazios $Um\; \backslash subconjunto\; \backslash mathsf(R)$ E $B\; \backslash subconjunto\; \backslash mathsf(R)$, tal que para quaisquer dois elementos $a\backslash em\; A$ E $b\; \backslash em\; B$ a desigualdade $a\; \backslash leqslant\; b$, existe tal elemento $\backslash xi\; \backslash in\; \backslash mathsf(R)$ isso para todos $a\backslash em\; A$ E $b\; \backslash em\; B$ existe uma relação $a\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; b$
2. Para qualquer seção em $\backslash mathsf(R)$ há um elemento que produz esta seção
3. Todo conjunto não vazio limitado acima $Um\; \backslash subconjunto\; \backslash mathsf(R)$ tem um supremo
4. Todo conjunto não vazio limitado abaixo $Um\; \backslash subconjunto\; \backslash mathsf(R)$ tem um ínfimo

Como pode ser visto a partir deste teorema, essas quatro sentenças usam apenas o que está em $\backslash mathsf(R)$ introduziu uma relação de ordem linear e não usa a estrutura de campo. Assim, cada um deles expressa a propriedade $\backslash mathsf(R)$ como um conjunto linearmente ordenado. Esta propriedade (de um conjunto arbitrário linearmente ordenado, não necessariamente o conjunto de números reais) é chamada continuidade, ou completude, de acordo com Dedekind.

Provar a equivalência de outras sentenças já requer uma estrutura de campo.

Teorema. Deixar $\backslash mathsf(R)$- um campo ordenado arbitrário. As seguintes frases são equivalentes:

1. $\backslash mathsf(R)$(como um conjunto linearmente ordenado) é Dedekind completo
2. Para $\backslash mathsf(R)$ cumpriu o princípio de Arquimedes E princípio dos segmentos aninhados
3. Para $\backslash mathsf(R)$ o princípio Heine-Borel é cumprido
4. Para $\backslash mathsf(R)$ o princípio de Bolzano-Weierstrass é cumprido

Comente. Como pode ser visto no teorema, o princípio de segmentos aninhados em si não é equivalente Princípio da continuidade de Dedekind. O princípio de segmentos aninhados decorre do princípio de continuidade de Dedekind, mas, pelo contrário, é necessário exigir adicionalmente que o campo ordenado $\backslash mathsf(R)$ satisfez o axioma de Arquimedes

A prova dos teoremas acima pode ser encontrada nos livros da bibliografia fornecida abaixo.

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Notas

Literatura

• Kudryavtsev, L. D. Curso de análise matemática. - 5ª ed. - M.: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1.
• Fikhtengolts, G. M. Fundamentos da análise matemática. - 7ª ed. - M.: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.
• Dedekind, R.= Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4ª edição revisada. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.
• Zorich, V. A. Analise matemática. Parte I. - Ed. 4º, corrigido .. - M .: "MTsNMO", 2002. - 657 p. - ISBN 5-94057-056-9.
• Continuidade de funções e domínios numéricos: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3ª ed. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 p.

Um trecho caracterizando a Continuidade do conjunto de números reais

- Então é disso que eu sinto pena - dignidade humana, paz de espírito, pureza, e não suas costas e testas, que, por mais que você açoite, por mais que você se barbeie, todas permanecerão as mesmas costas e testas.
“Não, não e mil vezes não, nunca vou concordar com você”, disse Pierre.

À noite, o príncipe Andrei e Pierre entraram em uma carruagem e dirigiram para as montanhas carecas. O príncipe Andrei, olhando para Pierre, ocasionalmente interrompia o silêncio com discursos que provavam que ele estava de bom humor.
Ele lhe contou, apontando para os campos, sobre suas melhorias econômicas.
Pierre ficou em silêncio sombrio, respondendo em monossílabos e parecia imerso em seus próprios pensamentos.
Pierre pensou que o príncipe Andrei estava infeliz, que estava enganado, que não conhecia a verdadeira luz e que Pierre deveria ajudá-lo, iluminá-lo e criá-lo. Mas assim que Pierre descobriu como e o que diria, teve a premonição de que o príncipe Andrei abandonaria tudo em seus ensinamentos com uma palavra, com um argumento, e teve medo de começar, com medo de expor seu amado santuário ao possibilidade de ridículo.
“Não, por que você acha”, Pierre começou de repente, abaixando a cabeça e assumindo a forma de um touro, por que você acha? Você não deveria pensar assim.
– No que estou pensando? O príncipe Andrew perguntou surpreso.
- Sobre a vida, sobre o propósito de uma pessoa. Não pode ser. Foi o que eu pensei, e isso me salvou, sabe de uma coisa? maçonaria. Não, você não sorri. A Maçonaria não é uma seita religiosa, nem uma seita ritual, como eu pensava, mas a Maçonaria é a melhor, a única expressão dos melhores e eternos aspectos da humanidade. - E ele começou a explicar ao Príncipe Andrei a Maçonaria, como ele a entendia.
Ele disse que a Maçonaria é o ensino do Cristianismo, livre de grilhões estatais e religiosos; a doutrina da igualdade, fraternidade e amor.
– Só a nossa santa irmandade tem um sentido real na vida; todo o resto é um sonho”, disse Pierre. - Você entende, meu amigo, que fora desta união tudo está cheio de mentiras e inverdades, e concordo com você que não resta mais nada para uma pessoa inteligente e gentil, desde que, como você, viva sua vida, tentando apenas para não interferir com os outros. Mas assimila para ti as nossas convicções básicas, junta-te à nossa irmandade, entrega-te a nós, deixa-te conduzir, e agora sentir-te-ás, como eu senti, parte desta enorme cadeia invisível, cujo início está escondido no céu, - disse Pierre.
O príncipe Andrei, silenciosamente, olhando à sua frente, ouviu o discurso de Pierre. Várias vezes, sem ouvir o barulho da carruagem, pediu a Pierre palavras inéditas. Pelo brilho especial que se iluminou nos olhos do Príncipe Andrei, e pelo seu silêncio, Pierre viu que suas palavras não eram em vão, que o Príncipe Andrei não o interromperia e não riria de suas palavras.
Eles dirigiram até um rio inundado, que tiveram que atravessar de balsa. Enquanto a carruagem e os cavalos eram instalados, eles foram para a balsa.
O príncipe Andrei, apoiado na grade, olhou silenciosamente ao longo da inundação brilhando com o sol poente.
- Bem, o que você acha disso? - perguntou Pierre, - por que você está calado?
- O que eu penso? Eu ouvi você. Tudo isso é assim - disse o príncipe Andrei. - Mas você diz: junte-se à nossa irmandade, e mostraremos a você o propósito da vida e o propósito do homem, e as leis que regem o mundo. Mas quem somos nós? Por que você sabe tudo? Por que eu sou o único que não vê o que você vê? Você vê o reino da bondade e da verdade na terra, mas eu não o vejo.
Pierre o interrompeu. Você acredita em uma vida futura? - ele perguntou.
- Para a próxima vida? - repetiu o príncipe Andrei, mas Pierre não lhe deu tempo de responder e interpretou essa repetição como uma negação, principalmente porque conhecia as antigas convicções ateístas do príncipe Andrei.
– Você diz que não pode ver o reino da bondade e da verdade na terra. E eu não o vi, e você não pode vê-lo se olhar para nossa vida como o fim de tudo. Na terra, precisamente nesta terra (Pierre apontou para o campo), não há verdade - tudo é mentira e maldade; mas no mundo, no mundo inteiro, existe um reino de verdade, e agora somos os filhos da terra e para sempre os filhos do mundo inteiro. Não sinto em minha alma que faço parte desse todo vasto e harmonioso? Não sinto que estou neste vasto e inumerável número de seres nos quais o Divino se manifesta - o poder mais alto, como você gosta - que sou um elo, um passo dos seres inferiores aos superiores. Se eu vejo, vejo claramente esta escada que leva da planta ao homem, então por que deveria supor que esta escada é interrompida comigo e não leva cada vez mais longe? Sinto que não só não posso desaparecer, como nada no mundo desaparece, mas que sempre serei e sempre fui. Sinto que além de mim, espíritos vivem acima de mim e que há verdade neste mundo.
“Sim, este é o ensinamento de Herder”, disse o príncipe Andrei, “mas não isso, minha alma, vai me convencer, mas a vida e a morte, é isso que convence. É convincente que você veja uma criatura querida por você, que está ligada a você, diante de quem você era culpado e esperava se justificar (o príncipe Andrei tremeu em sua voz e se afastou) e de repente essa criatura sofre, sofre e deixa de ser ... Por que? Não pode ser que não haja resposta! E eu acredito que ele é... Isso é o que convence, é o que me convence - disse o príncipe Andrei.
"Bem, sim, sim", disse Pierre, "não é isso que eu digo também!"
- Não. Digo apenas que não são os argumentos que o convencem da necessidade de uma vida futura, mas quando você caminha pela vida de mãos dadas com uma pessoa, e de repente essa pessoa desaparece no nada, e você mesmo para diante desse abismo e olhe para ele. E eu olhei...
- Bem, e daí! Você sabe o que existe e o que é alguém? Existe uma vida futura. Alguém é Deus.
O príncipe Andrew não respondeu. A carruagem e os cavalos há muito foram trazidos para o outro lado e já estavam deitados, e o sol já havia desaparecido pela metade, e a geada da noite cobria as poças perto da balsa com estrelas, e Pierre e Andrei, para surpresa dos lacaios, cocheiros e carregadores, ainda estavam de pé na balsa e conversando.
- Se existe um Deus e existe uma vida futura, então existe a verdade, existe a virtude; e a maior felicidade do homem é lutar para alcançá-los. Devemos viver, devemos amar, devemos acreditar - disse Pierre - que não vivemos agora apenas neste pedaço de terra, mas vivemos e viveremos para sempre lá em tudo (apontou para o céu). O príncipe Andrei ficou encostado na amurada da balsa e, ouvindo Pierre, sem tirar os olhos, olhou para o reflexo vermelho do sol sobre a inundação azul. Pierre fica em silêncio. Estava completamente quieto. A balsa havia pousado há muito tempo e apenas as ondas da corrente com um som fraco atingiram o fundo da balsa. Parecia ao príncipe Andrei que esse enxágue das ondas estava dizendo às palavras de Pierre: "É verdade, acredite nisso."
O príncipe Andrei suspirou e, com um olhar radiante, infantil e terno, olhou para o ruborizado, entusiasmado, mas ainda tímido de Pierre diante de seu amigo superior.
“Sim, se fosse esse o caso!” - ele disse. “No entanto, vamos nos sentar”, acrescentou o príncipe Andrei e, saindo da balsa, olhou para o céu, que Pierre lhe apontou, e pela primeira vez, depois de Austerlitz, viu aquele céu alto e eterno, que ele viu deitado no campo de Austerlitz, e algo adormecido há muito tempo, algo que havia de melhor nele, de repente despertou alegre e jovem em sua alma. Esse sentimento desapareceu assim que o príncipe Andrei voltou às condições habituais de vida, mas ele sabia que esse sentimento, que não sabia como desenvolver, vivia nele. O encontro com Pierre foi para o príncipe Andrei uma época a partir da qual, embora na aparência fosse a mesma, mas no mundo interior, começou sua nova vida.

Já estava escurecendo quando o príncipe Andrei e Pierre chegaram à entrada principal da casa de Lysogorsky. Enquanto eles subiam, o príncipe Andrei com um sorriso chamou a atenção de Pierre para o tumulto ocorrido na varanda dos fundos. Uma velha curvada com uma mochila nas costas e um homem baixo de túnica preta e cabelos compridos, vendo uma carruagem entrando, correram para correr de volta pelo portão. Duas mulheres correram atrás deles, e as quatro, olhando para a carruagem, correram assustadas pela varanda dos fundos.
“Estas são as máquinas de Deus”, disse o príncipe Andrei. Eles nos levaram para seu pai. E esta é a única coisa em que ela não o obedece: ele manda conduzir esses andarilhos e ela os aceita.
- O que é o povo de Deus? Pierre perguntou.
O príncipe Andrei não teve tempo de responder. Os servos saíram ao seu encontro e ele perguntou onde estava o velho príncipe e em quanto tempo o esperavam.
O velho príncipe ainda estava na cidade e eles o esperavam a cada minuto.
O príncipe Andrei conduziu Pierre aos seus aposentos, que sempre o esperavam em perfeita ordem na casa do pai, e ele próprio foi ao berçário.
“Vamos até minha irmã”, disse o príncipe Andrei, voltando para Pierre; - Eu não a vi ainda, ela agora está se escondendo e sentada com seu povo de Deus. Sirva-a bem, ela ficará envergonhada e você verá o povo de Deus. C "est curieux, ma parole. [Isso é curioso, honestamente.]
- Qu "est ce que c" est que [O que é] o povo de Deus? Pierre perguntou.
- Mas você vai ver.
A princesa Mary ficou muito envergonhada e corou em alguns pontos quando eles entraram nela. Em seu quarto aconchegante com luminárias em frente aos estojos de ícones, no sofá, no samovar, sentava-se ao lado dela um menino de nariz comprido e cabelos compridos, e de batina monástica.
Numa poltrona, ao lado dele, sentava-se uma velha enrugada e magra, com uma expressão mansa de rosto de criança.
- Andre, pourquoi ne pas m "avoir prevenu? [Andrey, por que não me avisaram?] - ela disse com reprovação mansa, parada na frente de seus errantes, como uma galinha na frente das galinhas.
– Charmee de vous voir. Je suis tres content de vous voir, [Muito feliz em vê-lo. Estou tão feliz em vê-lo,] ela disse a Pierre, enquanto ele beijava sua mão. Ela o conheceu quando criança, e agora sua amizade com Andrei, seu infortúnio com sua esposa e, o mais importante, seu rosto simples e gentil a cativaram. Ela olhou para ele com seus olhos lindos e radiantes e parecia dizer: "Eu te amo muito, mas por favor não ria dos meus." Depois de trocarem as primeiras frases de saudação, sentaram-se.
“Ah, e Ivanushka está aqui”, disse o príncipe Andrei, apontando com um sorriso para o jovem andarilho.
– André! disse a princesa Mary suplicante.
- Il faut que vous sachiez que c "est une femme, [Saiba que isso é uma mulher] - disse Andrei a Pierre.
André, au nom de Dieu! [Andrey, pelo amor de Deus!] - repetiu a princesa Marya.
Era evidente que a atitude zombeteira do príncipe Andrei para com os errantes e a intercessão inútil da princesa Maria por eles eram relações habituais e estabelecidas entre eles.
- Mais, ma bonne amie, - disse o príncipe Andrei, - vous devriez au contraire m "etre reconaissante de ce que j" explique a Pierre votre intimite avec ce jeune homme ... [Mas, meu amigo, você deveria me agradecer que explico a Pierre sua proximidade com este jovem.]
– Vrayment? [Sério?] - disse Pierre com curiosidade e seriedade (pelo que a princesa Mary ficou especialmente grata a ele), olhando através dos óculos para o rosto de Ivanushka, que, percebendo que se tratava dele, olhou para todos com olhos astutos.
A princesa Marya ficou desnecessariamente envergonhada por seu próprio povo. Eles não hesitaram em nada. A velha, baixando os olhos, mas olhando de soslaio para os recém-chegados, virando a xícara de cabeça para baixo em um pires e colocando um pedaço de açúcar mordido ao lado dela, calma e imóvel, sentou-se em sua cadeira, esperando que lhe oferecessem mais chá. Ivanushka, bebendo de um pires, olhou para os jovens com olhos astutos e femininos por baixo das sobrancelhas.
- Onde, em Kyiv foi? O príncipe Andrei perguntou à velha.
- Houve, pai, - respondeu a velha loquazmente, - no próprio Natal, ela foi homenageada com os santos, segredos celestiais dos santos. E agora de Kolyazin, pai, uma grande graça se abriu ...
- Bem, Ivanushka está com você?
“Estou andando sozinho, ganha-pão”, disse Ivanushka, tentando falar em voz baixa. - Somente em Yukhnov eles concordaram com Pelageyushka ...
Pelageyushka interrompeu seu camarada; Ela parecia querer contar o que via.
- Em Kolyazin, pai, uma grande graça se abriu.
- Bem, novas relíquias? perguntou o príncipe André.
"Chega, Andrei", disse a princesa Mary. - Não me diga, Pelageushka.
- Não ... o que você é, mãe, por que não contar? Eu amo ele. Ele é gentil, exigido por Deus, ele me deu, um benfeitor, rublos, eu me lembro. Como eu estava em Kiev, Kiryusha, o santo tolo, me disse - verdadeiramente um homem de Deus, ele anda descalço no inverno e no verão. Por que você está andando, ele diz, fora do seu lugar, vá para Kolyazin, há um ícone milagroso, a Mãe Santíssima Virgem Maria abriu. A partir dessas palavras me despedi dos santos e fui...
Todos ficaram em silêncio, um andarilho falou em voz medida, puxando o ar.
- Meu pai, as pessoas vieram a mim e dizem: uma grande graça se abriu, na Mãe Santíssima Virgem Maria cai de sua bochecha ...
"Bem, bem, bem, você me contará mais tarde", disse a princesa Marya, corando.
“Deixe-me perguntar a ela,” disse Pierre. - Você mesmo viu? - ele perguntou.
- Como, pai, ela mesma foi homenageada. O brilho em seu rosto é como a luz do céu, e da bochecha da mãe escorre e escorre ...
“Mas isso é um engano”, disse Pierre ingenuamente, ouvindo atentamente o andarilho.
“Ah, pai, do que você está falando!” - Pelageyushka disse com horror, voltando-se para a princesa Marya em busca de proteção.
“Eles estão enganando o povo”, repetiu.
- Senhor Jesus Cristo! – cruzou disse o estranho. “Oh, não fale, pai. Então um anaral não acreditou, disse: “os monges estão enganando”, mas como ele disse, ficou cego. E ele sonhou que a mãe Pecherskaya veio até ele e disse: "Confie em mim, eu vou te curar." Então ele começou a pedir: me leve e me leve até ela. Estou falando a verdade, eu mesmo vi. Trouxeram-no cego direto para ela, subiram, caíram, disseram: “cura! Eu darei a você, ele diz, no que o rei reclamou. Eu mesmo vi, pai, a estrela está embutida nisso assim. Bem, já amanheceu! É errado dizer isso. Deus vai punir ”, ela se dirigiu a Pierre instrutivamente.
- Como a estrela se encontrou na imagem? Pierre perguntou.
- Você fez sua mãe um general? - disse o príncipe Andrei sorrindo.
Pelageushka de repente empalideceu e juntou as mãos.
"Pai, pai, peque em você, você tem um filho!" ela falou, de repente mudando de palidez para uma cor brilhante.
- Pai, o que você disse, Deus te perdoe. - Ela se benzeu. “Deus, perdoe-o. Mãe, o que é isso? ... - ela se virou para a princesa Marya. Ela se levantou e quase chorando começou a pegar sua bolsa. Ela estava evidentemente assustada e envergonhada por desfrutar das bênçãos da casa onde eles podiam dizer isso, e era uma pena que agora ela tivesse que ser privada das bênçãos desta casa.
- Bem, o que você está procurando? - disse a princesa Mary. Por que você veio até mim?...
"Não, estou brincando, Pelageushka", disse Pierre. - Princesse, ma parole, je n "ai pas voulu l" offerr, [Princesa, eu realmente não queria ofendê-la,] acabei de ofender. Não pense, eu estava brincando - disse ele, sorrindo timidamente e querendo se desculpar por sua culpa. - Afinal, sou eu, e ele só estava brincando.
Pelageyushka parou incrédula, mas havia tanta sinceridade de arrependimento no rosto de Pierre, e o príncipe Andrei olhou tão humildemente para Pelageyushka e depois para Pierre que ela gradualmente se acalmou.

O andarilho se acalmou e, retomando a conversa, falou longamente sobre o padre Amphilochius, que tinha uma vida tão santa que sua mão cheirava a mão, e como os monges que ela conheceu em sua última viagem a Kiev deram a ela o as chaves das cavernas e como ela, levando biscoitos com ela, passou dois dias em cavernas com santos. “Vou rezar para um, vou ler, vou para outro. Pine, vou beijar de novo; e tal, mãe, silêncio, tanta graça que você nem quer sair para a luz de Deus.
Pierre a ouviu com atenção e seriedade. O príncipe Andrei saiu da sala. E depois dele, deixando o povo de Deus terminar o chá, a princesa Maria conduziu Pierre para a sala.
“Você é muito gentil,” ela disse a ele.
“Ah, eu realmente não pensei em ofendê-la, pois entendo e aprecio muito esses sentimentos!
A princesa Mary olhou para ele em silêncio e sorriu com ternura. “Afinal, eu te conheço há muito tempo e te amo como um irmão”, disse ela. Como você encontrou o André? ela perguntou apressadamente, não lhe dando tempo para dizer nada em resposta às suas amáveis ​​palavras. “Ele me preocupa muito. Sua saúde é melhor no inverno, mas na primavera passada a ferida abriu e o médico disse que ele deveria se tratar. E moralmente, tenho muito medo por ele. Ele não é um personagem como nós, mulheres, para sofrer e chorar sua dor. Ele carrega dentro de si. Hoje ele está alegre e animado; mas foi a sua chegada que teve tanto efeito sobre ele: ele raramente é assim. Se você pudesse convencê-lo a ir para o exterior! Ele precisa de atividade, e essa vida tranquila e tranquila o está arruinando. Outros não percebem, mas eu vejo.
Às 10 horas os garçons correram para a varanda, ouvindo os sinos da carruagem do velho príncipe se aproximando. O príncipe Andrei e Pierre também saíram para a varanda.
- Quem é? perguntou o velho príncipe, saindo da carruagem e adivinhando Pierre.
– AI está muito feliz! beijo - disse ele, sabendo quem era o jovem desconhecido.
O velho príncipe estava de bom humor e tratou Pierre com gentileza.
Antes do jantar, o príncipe Andrei, voltando ao escritório de seu pai, encontrou o velho príncipe em uma discussão acalorada com Pierre.
Pierre argumentou que chegaria o tempo em que não haveria mais guerra. O velho príncipe, provocando, mas não zangado, o desafiou.
- Deixe o sangue sair das veias, despeje água, então não haverá guerra. Bobagem de mulher, bobagem de mulher ”, disse ele, mas ainda deu um tapinha carinhoso no ombro de Pierre e se aproximou da mesa em que o príncipe Andrei, aparentemente não querendo entrar em uma conversa, separava os papéis trazidos pelo príncipe do cidade. O velho príncipe se aproximou dele e começou a falar sobre negócios.
- O líder, conde Rostov, não entregou metade do povo. Ele veio para a cidade, decidiu chamar para jantar, - eu pedi a ele um jantar assim ... Mas olhe para este ... Bem, irmão, - o príncipe Nikolai Andreevich voltou-se para o filho, batendo no ombro de Pierre, - muito bem seu amigo, me apaixonei por ele! Despede-me. O outro fala palavrões, mas eu não quero ouvir, mas ele mente e me inflama, velho. Bem, vá, vá, - disse ele, - talvez eu venha, vou sentar na sua ceia. Aposto novamente. Ame minha tola, princesa Mary ”, gritou ele para Pierre da porta.
Pierre apenas agora, em sua visita às Montanhas Carecas, apreciou toda a força e encanto de sua amizade com o Príncipe Andrei. Esse encanto se expressava não tanto em suas relações consigo mesmo, mas nas relações com todos os parentes e familiares. Pierre, com o velho e severo príncipe e com a mansa e tímida princesa Mary, apesar de mal os conhecer, imediatamente se sentiu um velho amigo. Todos eles já o amavam. Não apenas a princesa Mary, subornada por sua atitude mansa para com os errantes, olhou para ele com os olhos mais radiantes; mas o pequeno príncipe Nikolai, de um ano, como seu avô o chamava, sorriu para Pierre e foi para seus braços. Mikhail Ivanovich, m lle Bourienne olhou para ele com sorrisos alegres quando conversou com o velho príncipe.

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✪ Axiomática dos números reais

✪ Introdução. Números reais | matan #001 | Boris Trushin +

✪ O princípio dos segmentos aninhados | matan #003 | Boris Trushin!

✪ Vários princípios de continuidade | matan #004 | Boris Trushin!

✪ Axioma da continuidade. Princípio de Cantor de cortes aninhados

Legendas

Axioma de continuidade

A proposição a seguir é talvez a mais simples e conveniente para a formulação de aplicações da propriedade de continuidade dos números reais. Na construção axiomática da teoria do número real, esta afirmação, ou equivalente a ela, certamente está incluída no número de axiomas do número real.

Axioma da continuidade (completude). A ⊂ R (\displaystyle A\subconjunto \mathbb (R) ) E B ⊂ R (\displaystyle B\subconjunto \mathbb (R) ) e a desigualdade é satisfeita, existe tal número real ξ (\displaystyle \xi) isso para todos a ∈ A (\displaystyle a\in A) E b ∈ B (\displaystyle b\in B) existe uma relação

Geometricamente, se tratarmos os números reais como pontos em uma reta, essa afirmação parece óbvia. Se dois conjuntos A (\displaystyle A) E B (\displaystyle B) são tais que na linha numérica todos os elementos de um deles estão à esquerda de todos os elementos do segundo, então há um número ξ (\displaystyle \xi), separando esses dois conjuntos, isto é, à direita de todos os elementos A (\displaystyle A)(exceto talvez o ξ (\displaystyle \xi)) e à esquerda de todos os elementos B (\displaystyle B)(mesma cláusula).

Deve-se notar aqui que, apesar da "obviedade" dessa propriedade, para números racionais ela nem sempre é satisfeita. Por exemplo, considere dois conjuntos:

A = ( x ∈ Q: x > 0 , x 2< 2 } , B = { x ∈ Q: x >0 , x 2 > 2 ) (\displaystyle A=\(x\in \mathbb (Q) :x>0,\;x^(2)<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^(2)>2\))

É fácil ver que para quaisquer elementos a ∈ A (\displaystyle a\in A) E b ∈ B (\displaystyle b\in B) a desigualdade a< b {\displaystyle a. No entanto racional números ξ (\displaystyle \xi), separando esses dois conjuntos, não existe. Com efeito, este número só pode ser 2 (\displaystyle (\sqrt (2))), mas não é racional.

O papel do axioma da continuidade na construção da análise matemática

O significado do axioma da continuidade é tal que sem ele é impossível uma construção rigorosa da análise matemática. Para ilustrar, apresentamos várias afirmações fundamentais de análise, cuja prova é baseada na continuidade dos números reais:

• (Teorema de Weierstrass). Toda sequência monotonicamente crescente limitada converge
• (Teorema Bolzano - Cauchy). Uma função contínua em um segmento que assume valores de sinais diferentes em suas extremidades desaparece em algum ponto interior do segmento
• (Existência de potência, exponencial, logarítmica e todas as funções trigonométricas em todo o domínio "natural" de definição). Por exemplo, prova-se que para cada a > 0 (\displaystyle a>0) e inteiro n ⩾ 1 (\displaystyle n\geqslant 1) existe a n (\displaystyle (\sqrt[(n)](a))), ou seja, a solução da equação x n = a , x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). Isso permite que você determine o valor da expressão para todos os racionais x (\displaystyle x):

A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\right)^(m))

Finalmente, novamente devido à continuidade da reta numérica, pode-se determinar o valor da expressão a x (\displaystyle a^(x)) já por arbitrário x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R) ). Da mesma forma, usando a propriedade da continuidade, provamos a existência do número log a ⁡ b (\displaystyle \log _(a)(b)) para qualquer a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

Por um longo período histórico, os matemáticos provaram teoremas a partir da análise, em “lugares finos” referindo-se à justificação geométrica, e mais frequentemente omitindo-os por completo, já que era óbvio. O conceito essencial de continuidade foi utilizado sem qualquer definição clara. Foi apenas no último terço do século XIX que o matemático alemão Karl Weierstrass produziu a aritmetização da análise, construindo a primeira teoria rigorosa dos números reais como frações decimais infinitas. Ele propôs a definição clássica do limite na linguagem ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta ), comprovou uma série de afirmações que antes dele eram consideradas “óbvias”, e assim completou a construção dos fundamentos da análise matemática.

Mais tarde, outras abordagens para a definição de um número real foram propostas. Na abordagem axiomática, a continuidade dos números reais é explicitamente destacada como um axioma separado. Em abordagens construtivas para a teoria de um número real, por exemplo, ao construir números reais usando seções de Dedekind, a propriedade de continuidade (em uma formulação ou outra) é provada como um teorema.

Outras Declarações da Propriedade de Continuidade e Proposições Equivalentes

Existem várias declarações diferentes que expressam a propriedade de continuidade dos números reais. Cada um desses princípios pode ser tomado como base para construir a teoria do número real como um axioma de continuidade, e todos os outros podem ser derivados dele. Essa questão é discutida com mais detalhes na próxima seção.

Continuidade segundo Dedekind

A questão da continuidade dos números reais Dedekind considera em sua obra "Continuidade e números irracionais" . Nele, ele compara números racionais com pontos em uma linha reta. Como você sabe, entre números racionais e pontos de uma reta, você pode estabelecer uma correspondência quando o ponto de partida e a unidade de medida dos segmentos são escolhidos na reta. Com a ajuda deste último, para todo número racional a (\displaystyle a) construir o segmento correspondente, colocando-o à direita ou à esquerda, conforme haja a (\displaystyle a) número positivo ou negativo, ganhe ponto p (\displaystyle p) correspondente ao número a (\displaystyle a). Então todo número racional a (\displaystyle a) corresponde a um e apenas um ponto p (\displaystyle p) em linha reta.

Acontece que existem infinitos pontos na reta que não correspondem a nenhum número racional. Por exemplo, um ponto obtido traçando o comprimento da diagonal de um quadrado construído em um segmento unitário. Assim, o reino dos números racionais não tem esse integridade, ou continuidade, que é inerente a uma linha reta.

Para descobrir em que consiste essa continuidade, Dedekind faz a seguinte observação. Se p (\displaystyle p)é um certo ponto da linha, então todos os pontos da linha caem em duas classes: pontos localizados à esquerda p (\displaystyle p), e aponta para a direita p (\displaystyle p). O próprio ponto p (\displaystyle p) podem ser arbitrariamente atribuídos à classe baixa ou alta. Dedekind vê a essência da continuidade no princípio inverso:

Geometricamente, esse princípio parece óbvio, mas não estamos em condições de prová-lo. Dedekind enfatiza que, em essência, esse princípio é um postulado, que expressa a essência daquela propriedade atribuída à linha reta, que chamamos de continuidade.

Para entender melhor a essência da continuidade da reta numérica no sentido de Dedekind, considere uma seção arbitrária do conjunto dos números reais, ou seja, a divisão de todos os números reais em duas classes não vazias, de modo que todos os números de uma classe está na linha numérica à esquerda de todos os números da segunda. Essas classes são nomeadas respectivamente mais baixo E classes altas Seções. Teoricamente, existem 4 possibilidades:

1. A classe baixa tem um elemento máximo, a classe alta não tem um mínimo
2. A classe inferior não tem elemento máximo, enquanto a classe superior tem um mínimo
3. A classe inferior possui um elemento máximo e a classe superior possui um elemento mínimo.
4. A classe inferior não tem máximo e a classe superior não tem mínimo.

No primeiro e segundo casos, o elemento máximo do inferior ou o elemento mínimo do superior, respectivamente, produz esta seção. No terceiro caso temos pular, e na quarta espaço. Assim, a continuidade da linha numérica significa que não há saltos ou lacunas no conjunto dos números reais, ou seja, figurativamente falando, não há vazios.

Esta proposição também é equivalente ao princípio da continuidade de Dedekind. Além disso, pode-se mostrar que a afirmação do teorema mínimo segue diretamente da afirmação do teorema supremo, e vice-versa (veja abaixo).

Lema da cobertura finita (princípio de Heine-Borel)

Lema da Cobertura Finita (Heine - Borel). Em qualquer sistema de intervalos que cobre um segmento, existe um subsistema finito que cobre esse segmento.

Lema do ponto limite (princípio de Bolzano-Weierstrass)

Lema do Ponto Limite (Bolzano - Weierstrass). Todo conjunto infinito de números limitados tem pelo menos um ponto limite.. O segundo grupo expressa o fato de que o conjunto dos números reais é , e a relação de ordem é consistente com as operações básicas do campo. Assim, o primeiro e o segundo grupos de axiomas significam que o conjunto dos números reais é um corpo ordenado. O terceiro grupo de axiomas consiste em um axioma - o axioma da continuidade (ou completude).

Para mostrar a equivalência de várias formulações da continuidade dos números reais, deve-se provar que se uma dessas proposições vale para um corpo ordenado, então todas as outras são verdadeiras.

Teorema. Seja um conjunto arbitrário linear ordenado . As seguintes declarações são equivalentes:

1. Quaisquer que sejam os conjuntos não vazios e B ⊂ R (\displaystyle B\subconjunto (\mathsf (R))), tal que para quaisquer dois elementos a ∈ A (\displaystyle a\in A) E b ∈ B (\displaystyle b\in B) a desigualdade a ⩽ b (\displaystyle a\leqslant b), existe tal elemento ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf (R))) isso para todos a ∈ A (\displaystyle a\in A) E b ∈ B (\displaystyle b\in B) existe uma relação a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
2. Para qualquer seção em R (\displaystyle (\mathsf(R))) há um elemento que produz esta seção
3. Todo conjunto não vazio limitado acima A ⊂ R (\displaystyle A\subconjunto (\mathsf (R))) tem um supremo
4. Todo conjunto não vazio limitado abaixo A ⊂ R (\displaystyle A\subconjunto (\mathsf (R))) tem um ínfimo

Como pode ser visto a partir deste teorema, essas quatro sentenças usam apenas o que está em R (\displaystyle (\mathsf(R))) introduziu uma relação de ordem linear e não usa a estrutura de campo. Assim, cada um deles expressa a propriedade R (\displaystyle (\mathsf(R))) como um conjunto linearmente ordenado. Esta propriedade (de um conjunto arbitrário linearmente ordenado, não necessariamente o conjunto de números reais) é chamada continuidade, ou completude, de acordo com Dedekind.

Provar a equivalência de outras sentenças já requer uma estrutura de campo.

Teorema. Deixar R (\displaystyle (\mathsf(R)))- um campo ordenado arbitrário. As seguintes frases são equivalentes:

Comente. Como pode ser visto no teorema, o princípio de segmentos aninhados em si não é equivalente Princípio da continuidade de Dedekind. O princípio de segmentos aninhados decorre do princípio de continuidade de Dedekind, mas, pelo contrário, é necessário exigir adicionalmente que o campo ordenado .

§ 7 . Fundamento da Análise, 4

Completude do conjunto dos números reais.

7.1. Introdução.

Definição. Por número real a entendemos a classe de equivalência a de sequências fundamentais de números racionais.

Definição. Um monte de R classes de equivalência de sequências fundamentais de números racionais serão chamadas de conjunto dos números reais.

1) lim a n = a Û " 0< eÎR$ pО N(" nО N, n ³ p) Þ |a n - a| £ e

2) toda sequência (an) que é convergente também é fundamental

" 0 < eÎR$ pО N(("mО N, " nО N, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £ e)

É natural tentar, por analogia com §6, aplicar o procedimento de fatoração ao conjunto das sequências fundamentais dos números reais. Não teríamos um conjunto de classes de equivalência de sequências fundamentais de números reais contendo o conjunto R como seu próprio subconjunto?

Acontece que não.

Neste §, uma propriedade notável será estabelecida: a propriedade de completude do conjunto dos números reais, que consiste no fato de que qualquer sequência fundamental de números reais converge em R.

7.2. Aproximação de números reais por frações decimais.

Definição. A sequência (q n) é limitada se $ 0< MÎQ, que (" nО N|q n | £M)

Teorema 1. Toda sequência fundamental de números racionais é limitada.

Prova. Seja (q n) uma sequência fundamental de números racionais, então, devido à natureza fundamental, para e=1 existe tal pн N, O que:

$ pО N:((" m ³ p) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p - fixo, então " n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

De fato: |q n | = |qn -qp +qp | £ |q n -q p | + |q p | z |q n | £ 1 + |q p |.

Definindo como M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) obtemos: " ní N|q n | £ M.ð

Na cláusula 6.3. a relação unária “ser positivo” foi dada no set. Concordamos em escrever “>0“. Então a ³ 0 w (a > 0 ou a = 0).

Teorema 2 . Deixe a sequência fundamental (q n) de números racionais representar um número real a, então:

a) ($ p 1 О N, $ MO Q(" nО N, " n ³ p 1) z |q n | £ M) z a £ M.

b) ($ p 2 О N, $ mО Q(" nО N, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

Prova. Como " n³p 1 q n -M £ 0, então a sequência fundamental q n -M - a diferença entre a sequência fundamental (q n) e a sequência constante M não pode ser uma sequência positiva, pois é zero ou negativa.

Portanto, o número real (a-M) representado por essa sequência não pode ser positivo, ou seja, a-M £ 0, ou seja a e M.

Da mesma forma, b) é considerado.

Teorema 3 . A sequência fundamental (q n) de números racionais representa um número real a se e somente se " 0 R$ po N, que "nО N e n³p a desigualdade |q n -a| £e:

(q n)нa ы " 0< eÎR$ pО N(" nО N, n³p) Þ |q n -a| £ e.

Prova. Vamos apenas provar a necessidade. É óbvio que "e R$ e 1 О Q(e1£e)

Seja a sequência fundamental (q n) dos números racionais um representante do número a.

Por suposição, é fundamental, ou seja, "0< eÎQ$ pО N(" nО N,"mО N, n³p, m³p) Þ |q n -q n | £e/2.

Fixe n³p, então obtemos a sequência fundamental (q m -q n): (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; ...) .

Todos os termos desta sequência para m³p satisfazem a desigualdade: |q m -q n |£ e/2.

Pelo Teorema 2, o número real representado por esta sequência | a-q n | £e/2.

| a-q n | £ e О R"n³p.

Teorema 4 . Qualquer que seja o número real a, sempre haverá um inteiro M tal que a desigualdade M £ a

(" aО R$! MO Z(M £ a< M+1))

Prova.

Passo 1. Prova de existência.

Seja a sequência fundamental (q n) dos números racionais um número real a: ((q n)ía). Em virtude do Teorema 1, $ Lн Z0, tal que "ní N q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L).

Pelo Teorema 3 (q n)нa ы " e>0, eн R$ pО N: ((" nО N, n³p) z 1q n -a1 £ e).

Então " n³p ½a1=½a- q n + q n ½ £½a- q n ½+½ q n ½ £ e + L.

½a1 £ e + L w -L-e £ a £ L+e.

Porque e é um número arbitrário >0, então –L £ a £ L. Depois disso, é óbvio que -1-L< a < L+1.

Então, entre o conjunto finito de inteiros: -L-1, -L, -L+1, ..., -1, 0, +1, ..., L, L+1, encontramos primeiro número M+1 para o qual a condição a< M+1.

Então o número M não satisfaz a desigualdade M £ a< M+1, т.е. такое число M существует.

Etapa 2. Prova de unicidade.4