Pri proučevanju enačb premice na ravnini in v tridimenzionalnem prostoru se opiramo na vektorsko algebro. Pri tem sta še posebej pomembna usmerjevalni vektor premice in normalni vektor premice. V tem članku si bomo podrobneje ogledali vektor normalne črte. Začnimo z definicijo normalnega vektorja premice in navedimo primere in grafične ponazoritve. Nato bomo prešli na iskanje koordinat normalnega vektorja premice z uporabo znanih enačb premice in prikazali podrobne rešitve nalog.
Navigacija po straneh.
Vektor normalne črte - definicija, primeri, ilustracije.
Za razumevanje gradiva morate jasno razumeti premico, ravnino in poznati osnovne definicije, povezane z vektorji. Zato priporočamo, da si najprej osvežite spomin na snov v člankih: premica na ravnini, premica v prostoru, ideja ravnine in.
Dajmo definicijo vektorja normalne črte.
Opredelitev.
Vektor normalne črte je vsak neničelni vektor, ki leži na kateri koli premici, pravokotni na dano.
Iz definicije normalnega vektorja premice je razvidno, da obstaja neskončno število normalnih vektorjev dane premice.
Definicija normalnega vektorja premice in definicija smernega vektorja premice nam omogočata sklepati, da je vsak normalni vektor dane premice pravokoten na kateri koli smerni vektor te premice.
Navedimo primer vektorja normalne črte.
Naj Oxyja dajo na letalo. Eden od niza normalnih vektorjev koordinatne premice Ox je koordinatni vektor. Dejansko vektor ni nič in leži na koordinatni premici Oy, ki je pravokotna na os Ox. Množico vseh normalnih vektorjev koordinatne premice Ox v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy lahko podamo kot 
.
V pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz v tridimenzionalnem prostoru je normalni vektor premice Oz vektor . Koordinatni vektor je tudi normalni vektor premice Oz. Očitno bo vsak neničelni vektor, ki leži v kateri koli ravnini, pravokotni na os Oz, normalni vektor premice Oz.
Koordinate normalnega vektorja premice - iskanje koordinat normalnega vektorja premice z uporabo znanih enačb te premice.
Če upoštevamo črto v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy, potem bo ustrezala enačbi črte na ravnini neke vrste, normalni vektorji črte pa bodo določeni z njihovimi koordinatami (glej članek). To postavlja vprašanje: "kako najti koordinate normalnega vektorja premice, ko poznamo enačbo te premice"?
Poiščimo odgovor na vprašanje, zastavljeno za premice, določene na ravnini z enačbami različnih vrst.
Če je premica na ravnini določena s splošno enačbo premice oblike 
, potem koeficienta A in B predstavljata ustrezni koordinati normalnega vektorja te premice.
Primer.
Poiščite koordinate nekega normalnega vektorja 
.
rešitev.
Ker je premica podana s splošno enačbo, lahko takoj zapišemo koordinate njenega normalnega vektorja - to sta ustrezna koeficienta pred spremenljivkama x in y. To pomeni, da ima normalni vektor črte koordinate.
odgovor:
Eno od števil A ali B v splošni enačbi premice je lahko enako nič. To te ne bi smelo motiti. Poglejmo si primer.
Primer.
Določite poljuben vektor normalne črte.
rešitev.
Dobili smo nepopolno splošno enačbo premice. Lahko se prepiše v obliki 
, od koder so takoj vidne koordinate vektorja normale te premice: .
odgovor:
Enačbo premice v odsekih oblike ali enačbo premice s kotnim koeficientom zlahka reduciramo na splošno enačbo premice, od koder najdemo koordinate normalnega vektorja te premice.
Primer.
Poiščite koordinate normalnega vektorja premice.
rešitev.
Zelo enostavno je preiti iz enačbe premice v segmentih na splošno enačbo premice: 
. Posledično ima normalni vektor te premice koordinate .
odgovor:
Če je premica določena s kanonično enačbo premice na ravnini oblike ali parametričnimi enačbami premice na ravnini oblike 
, potem je koordinate normalnega vektorja nekoliko težje dobiti. Iz teh enačb se takoj vidijo koordinate usmerjevalnega vektorja premice - . In vam omogoča, da najdete koordinate normalnega vektorja te črte.
Koordinate normalnega vektorja premice lahko dobite tudi tako, da kanonično enačbo premice ali parametrične enačbe premice reducirate na splošno enačbo. Če želite to narediti, naredite naslednje transformacije: 
Na vas je, da se odločite, kateri način vam je ljubši.
Pokažimo rešitve na primerih.
Primer.
Poiščite vektor normalne črte 
.
rešitev.
Smerni vektor je raven je vektor. Vektor normalne črte je pravokoten na vektor, potem je enak nič: 
. Iz te enakosti, ki daje n x poljubno različno realno vrednost, najdemo n y. Naj bo torej n x =1 
, zato ima normalni vektor prvotne premice koordinate .
Druga rešitev.
Preidimo s kanonične enačbe premice na splošno enačbo: . Zdaj so postale vidne koordinate normalnega vektorja te premice.
odgovor:
Metode za definiranje ravnine.
Medsebojna razporeditev ravnin.
Dve ravnini v prostoru lahko sovpadata. V tem primeru imata vsaj tri skupne točke.
Dve ravnini v prostoru se lahko sekata. Presek dveh ravnin je premica, kar določa aksiom: če imata ravnini skupno točko, potem imata skupno premico, na kateri ležijo vse skupne točke teh ravnin.
V tem primeru se pojavi koncept kota med sekajočima se ravninama. Posebej zanimiv je primer, ko je kot med ravninama devetdeset stopinj. Take ravnine imenujemo pravokotne.
Končno sta lahko dve ravnini v prostoru vzporedni, torej nimata skupnih točk.
Zanimivi so tudi primeri, ko se več ravnin seka vzdolž ene premice in se več ravnin seka v eni točki.
Naštejmo glavne načine za določitev določene ravnine v prostoru.
Prvič, ravnino lahko definiramo tako, da določimo tri točke v prostoru, ki ne ležijo na isti premici. Ta metoda temelji na aksiomu: skozi vse tri točke, ki ne ležijo na isti premici, poteka ena sama ravnina.
Če je pravokotni koordinatni sistem fiksiran v tridimenzionalnem prostoru in je ravnina določena z določitvijo koordinat njenih treh različnih točk, ki ne ležijo na isti premici, potem lahko zapišemo enačbo ravnine, ki poteka skozi tri dane točke.
Naslednja dva načina definiranja ravnine sta posledica prejšnjega. Temeljijo na posledicah iz aksioma o ravnini, ki poteka skozi tri točke:
· ravnina, in to le ena, poteka skozi premico in točko, ki na njej ne leži;
Ena sama ravnina poteka skozi dve sekajoči se premici.
Četrti način določanja ravnine v prostoru temelji na določanju vzporednih premic. Spomnimo se, da se dve premici v prostoru imenujeta vzporedni, če ležita v isti ravnini in se ne sekata. Tako bomo z navedbo dveh vzporednih premic v prostoru določili edino ravnino, v kateri ti premici ležita.
Če je v tridimenzionalnem prostoru glede na pravokotni koordinatni sistem določena ravnina na naveden način, potem lahko sestavimo enačbo za ravnino, ki poteka skozi dve vzporedni premici.
Znak vzporednosti dveh ravnin nam daje še en način za določitev ravnine. Spomnimo se formulacije te lastnosti: če sta dve sekajoči se premici ene ravnine vzporedni z dvema premicama druge ravnine, potem sta ti ravnini vzporedni. Zato lahko določimo določeno ravnino, če določimo točko, skozi katero poteka, in ravnino, s katero je vzporedna.
Pri pouku geometrije v srednji šoli se dokazuje naslednji izrek: skozi fiksno točko v prostoru poteka ena sama ravnina, pravokotna na dano premico. Tako lahko določimo ravnino, če določimo točko, skozi katero poteka, in nanjo pravokotno premico.
Če je pravokotni koordinatni sistem fiksiran v tridimenzionalnem prostoru in je ravnina določena na naveden način, potem je mogoče sestaviti enačbo za ravnino, ki poteka skozi dano točko pravokotno na dano ravno črto.
Namesto premice, pravokotne na ravnino, lahko določite enega od normalnih vektorjev te ravnine. V tem primeru je mogoče zapisati splošno enačbo ravnine.
Dobro razumevanje ravne črte se začne od trenutka, ko se poleg njene podobe hkrati pojavijo slike njenega vodilnega in normalnega vektorja. Podobno mora biti, ko se nanašamo na ravnino v prostoru, predstavljena skupaj z normalnim vektorjem. Zakaj? Da, ker je v mnogih primerih bolj priročno uporabiti normalni vektor ravnine kot samo ravnino.
Najprej bomo podali definicijo normalnega vektorja ravnine, podali primere normalnih vektorjev in potrebne grafične ponazoritve. Nato bomo ravnino postavili v pravokotni koordinatni sistem v tridimenzionalnem prostoru in se iz njene enačbe naučili določiti koordinate normalnega vektorja ravnine.
2.1. Normalni ravninski vektor - definicija, primeri, ilustracije.
Opredelitev. Vektor normalne ravnine je vsak neničelni vektor, ki leži na premici, pravokotni na dano ravnino.
Iz definicije sledi, da obstaja neskončno število normalnih vektorjev dane ravnine.
Ker vsi normalni vektorji dane ravnine ležijo na vzporednih premicah, so vsi normalni vektorji ravnine kolinearni. Z drugimi besedami, če je normalni vektor ravnine, potem je vektor za neko različno od nič realno vrednost t tudi normalni vektor ravnine.
Upoštevati je treba tudi, da lahko vsak normalni vektor ravnine obravnavamo kot smerni vektor premice, pravokotne na to ravnino.
Množici normalnih vektorjev vzporednih ravnin sovpadata, saj je premica, pravokotna na eno od vzporednih ravnin, pravokotna tudi na drugo ravnino.
Iz definicije pravokotnih ravnin in definicije normalnega vektorja ravnine sledi, da so normalni vektorji pravokotnih ravnin pravokotni.
Primer normalnega ravninskega vektorja. Naj bo pravokotni koordinatni sistem Oxyz fiksiran v tridimenzionalnem prostoru. Koordinatni vektorji so normalni vektorji ravnin Oyz, Oxz in Oxy. To drži, ker so vektorji različni od nič in ležijo na koordinatnih premicah Ox, Oy oziroma Oz, ki so pravokotne na koordinatne ravnine Oyz, Oxz oziroma Oxy.
2.2. Koordinate normalnega vektorja ravnine - iskanje koordinat normalnega vektorja ravnine z uporabo enačbe ravnine.
Poiščimo koordinate normalnega vektorja ravnine, če je znana enačba ravnine v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz.
Splošna enačba ravnine oblike določa v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz ravnino, katere normalni vektor je vektor . Torej, da bi našli koordinate normalnega vektorja ravnine, je dovolj, da imamo pred očmi splošno enačbo te ravnine.
Primer. Poiščite koordinate poljubnega normalnega vektorja ravnine.
rešitev. Podana nam je splošna enačba ravnine, koeficienti spremenljivk x, y in z predstavljajo ustrezne koordinate vektorja normale te ravnine. Zato je eden od normalnih vektorjev dane ravnine. Množico vseh normalnih vektorjev te ravnine lahko podamo kot , kjer je t poljubno realno število, ki ni nič.
Primer. Ravnina je podana z enačbo. Določite koordinate njegovih smernih vektorjev.
rešitev. Dobili smo nepopolno enačbo ravnine. Da bi bile koordinate njenega smernega vektorja vidne, enačbo prepišemo v obliki . Tako ima normalni vektor te ravnine koordinate , množica vseh normalnih vektorjev pa bo zapisana kot .
Enačba ravnine v segmentih oblike , tako kot splošna enačba ravnine, vam omogoča, da takoj zapišete enega od normalnih vektorjev te ravnine - ima koordinate.
Na koncu bomo rekli, da je z uporabo normalnega vektorja ravnine mogoče rešiti različne probleme. Najpogostejše so naloge dokazovanja vzporednosti ali pravokotnosti ravnin, naloge sestavljanja enačbe ravnine ter naloge iskanja kota med ravninama in iskanja kota med premico in ravnino.
Višja matematika I.
Možnost 2.13
1.(C03.RP) Sestavite enačbo premice, ki poteka skozi točko, pravokotno na premico 
.
Vektor 
- vektor normalne črte 
,
Zapišimo enačbo AB:
odgovor: 
.
2.(8T3.RP) Sestavite splošno enačbo za premico, ki poteka skozi točko 
in presečišče črt 
in 
.
Poiščite koordinate točke IN– točka presečišča črt 
in 
:
pomnožil drugo enačbo z -2 in ju zdaj seštel
Imamo koordinate. IN(
).
Zapišimo enačbo AB:
odgovor: 
.
3.(T43.RP) Napišite splošno enačbo ravnine, ki poteka skozi točke 
,
pravokotno na ravnino 
.
Splošna enačba ravnine je A(x-x 1 )+B(y-y 1 )+C(z-z 1 ) =0
M 1 (4,-3,3), potem lahko zapišemo:
A(x-4)+B(y+3)+C(z-3)=0
Ker ravnina gre skozi točko M 2 (1,1,-2), potem lahko zapišemo:
A(x-1)+B(y-1)+C(z+2)=0
Želena ravnina je pravokotna na ravnino, podano z enačbo: Glede na pogoj pravokotnosti ravnin:
A 1 A 2 +B 1 B 2 +C 1 C 2 =0
1 × A+(-3)× B+5× C=0
A=3B-5C
Nadomestimo v spodnjo enačbo
4.(303) Poišči razdaljo od točke 
na ravno črto 
.
Poiščite presečišče navpičnice, ki poteka skozi točko A. Pokličimo jo N(x, l, z) .
AN:3(x-2)+4(y+1)+2z=0 3x+4y+2z-2=0
Parametrične enačbe premice imajo obliko:
T. N(4,-3,1)
5.(5B3.RP) Poiščite te vrednosti parametrov 
in 
, za katere ravne črte 
in 
vzporedno.
Za izračun vektorja smeri uporabimo formulo:
Izračunajmo vektor smeri premice
Ker A||B
Dobimo sistem enačb:
Odgovor: A=0, B=-1.
6.(733) Neposredno 
vzporedna z ravnino, seka premico 
in gre skozi točko 
. Poiščite ordinato presečišča premice z ravnino 
.
Bomo našli k:
Zapišimo parametrične enačbe premice:
Zamenjajmo x,y,z v enačbo L in dobite vrednost t.
T. IN(8;-8;5) pripada L
Zapišimo parametrične enačbe L:
Zamenjajmo te vrednosti v enačbo:
Poiščite ordinato presečišča 
Odgovor: -2,5.
7. (983). Poiščite polmer kroga s središčem v točki 
, če se dotakne črte 
.
Da bi našli polmer kroga, lahko najdete razdaljo od točke A do dane črte in ta razdalja bo enaka polmeru.
Uporabimo formulo:
8. Dana krivulja.
8.1. Dokaži, da je ta krivulja elipsa.
8.2.(TT3.RP) Poiščite koordinate središča njegove simetrije.
8.3.(4B3.RP) Poiščite njegovo veliko in malo pol os krivulje.
8.4.(2P3) Zapišite enačbo goriščne osi.
8.5. Konstruirajte to krivuljo.
Kanonična enačba elipse ima obliko
Pripravimo enačbo krivulje v kanonično obliko:
Ker ne vsebuje tega, kar iščete xy, potem ostanemo v starem koordinatnem sistemu.
Vzemite točko za nov začetek 
, uporabite formule za transformacijo koordinat 
To ustreza splošni obliki enačbe elipse, v kateri je velika pol os 4 in mala pol os 2.
Vektorji žariščnega radija dane elipse ustrezajo enačbi
9. Dana krivulja 
.
9.1. Dokaži, da je ta krivulja parabola.
9.2.(L33). Poiščite vrednost njegovega parametra 
.
9.3.(2T3.RP). Poiščite koordinate njenega vrha.
9.4.(7B3). Napišite enačbo njegove simetrijske osi.
9.5. Konstruirajte to krivuljo.
Kanonična enačba parabole je: y 2 =2px
V našem primeru
Tisti. ta krivulja je parabola, simetrična glede na ordinatno os.
V tem primeru 2р=-12
p=-6, zato so veje parabole obrnjene navzdol.
Vrh parabole je v točki (-3;-2)
Enačba simetrijske osi te parabole: x=-3
10. Dana krivulja.
10.1. Dokaži, da je ta krivulja hiperbola.
10.2.(793.RP). Poiščite koordinate njegovega simetrijskega središča.
10.3.(8D3.RP). Poiščite realne in namišljene pol-osi.
10.4.(PS3.RP). Napišite enačbo goriščne osi.
10.5. Konstruirajte to krivuljo.
Kanonična enačba hiperbole ima obliko 
Transformirajmo enačbo z uporabo formul za vrtenje koordinatne osi:
Dobimo: 
Poiščimo l iz pogoja:
tiste. izenačimo koeficient pri x`y` na nič
rešitve normalno
Osnovni izobraževalni program osnovnega splošnega izobraževanja kazalo
Glavni izobraževalni program... Vektorji. Dolžina (modul) vektor. Enakopravnost vektorji. kolinearni vektorji. Koordinate vektor. Množenje vektor po številu, znesku vektorji, razgradnja vektor ... rešitev otrokove razvojne naloge, ki manjkajo v vsebini izobraževanja Globa ...
Izobraževalni program osnovnega splošnega izobraževanja (FSOS LLC)
Izobraževalni program... vektorji neposredno rešitve... zagotavljanje racionalne organizacije motoričnega režima, normalno fizični razvoj in motorična pripravljenost...
Primer osnovnega izobraževalnega programa
Program... vektorji, vzpostavite pravokotnost neposredno. Diplomant bo imel možnost: obvladati vektorsko metodo za rešitve... zagotavljanje racionalne organizacije motoričnega režima, normalno fizični razvoj in motorična pripravljenost...
Naravnost na letalu.
Splošna enačba premice.
Preden uvedemo splošno enačbo premice na ravnini, uvedimo splošno definicijo premice.
Opredelitev. Enačba oblike
F (x,y )=0 (1)
imenovana enačba črte L v danem koordinatnem sistemu, če koordinate temu ustrezajo X in pri katera koli točka, ki leži na premici L, in ne izpolnjujejo koordinat katere koli točke, ki ne leži na tej premici.
Stopnja enačbe (1) določa vrstni red. Rekli bomo, da enačba (1) določa (nastavlja) premico L.
Opredelitev. Enačba oblike
Ah+Bu+C=0 (2)
za poljubne koeficiente A, IN, Z (A in IN niso hkrati enake nič) določajo določeno premico v pravokotnem koordinatnem sistemu. Ta enačba se imenuje splošna enačba premice.
Enačba (2) je enačba prve stopnje, torej je vsaka premica premica prvega reda in obratno, vsaka premica prvega reda je premica.
Oglejmo si tri posebne primere, ko je enačba (2) nepopolna, tj. nekateri koeficienti so nič.
1) Če С=0, potem ima enačba obliko Ah+Wu=0 in določa premico, ki poteka skozi izhodišče koordinat, ker koordinate (0,0) zadovoljiti to enačbo.
2) Če B=0 (A≠0), potem ima enačba obliko Ах+С=0 in določa premico, vzporedno z ordinatno osjo. Reševanje te enačbe za spremenljivko X dobimo enačbo oblike x=a, Kje a=-C/A, A- velikost segmenta, ki ga odseka ravna črta na abscisni osi. če a=0 (С=0 OU(slika 1a). Torej ravna črta x=0 določa ordinatno os.
3) Če A=0 (B≠0), potem ima enačba obliko Wu+C=0 in določa ravno črto, vzporedno z osjo x. Reševanje te enačbe za spremenljivko pri dobimo enačbo oblike y=b, Kje b = -С/В, b- velikost segmenta, ki odreže ravno črto na ordinatni osi. če b =0 (С=0), potem premica sovpada z osjo Oh(slika 1b). Torej ravna črta y=0 definira os x.
A) b)
Enačba premice v segmentih.
Naj bo podana enačba Ah+Bu+C=0 pod pogojem, da nobeden od koeficientov ni nič. Prenesimo koeficient Z na desno stran in delite s -Z oba dela.
Z uporabo zapisa, uvedenega v prvem odstavku, dobimo enačbo ravne črte " v segmentih»:
To ime ima zaradi številk A in b so vrednosti segmentov, ki jih ravna črta odreže na koordinatnih oseh.
Primer 2x-3y+6=0. Sestavite enačbo »v odsekih« za to premico in sestavite to premico.
rešitev
Če želite zgraditi to ravno črto, narišite na os Oh odsek črte a=-3, in na osi OU odsek črte b =2. Skozi dobljene točke narišemo premico (slika 2).
Enačba premice s kotnim koeficientom.
Naj bo podana enačba Ah+Bu+C=0 pod pogojem, da koeficient IN ni enako nič. Izvedimo naslednje transformacije
Enačba (4), kjer k =-A/B, se imenuje enačba ravne črte z naklonom k.
Opredelitev. Kot nagiba dano naravnost do osi Oh pokličimo kot α , na katero naj se zavrti os Oh tako da njena pozitivna smer sovpada z eno od smeri premice.
Tangens kota naklona premice na os Oh enaka naklonu, tj. k =tgα. Dokažimo to –A/B res enakovredni k. Iz pravokotnega trikotnika ΔOAV(slika 3) izražamo tgα, Izvedimo potrebne transformacije in dobimo:
Q.E.D.
če k =0, potem je premica vzporedna z osjo Oh, njegova enačba pa ima obliko y=b.
Primer. Ravna črta je podana s splošno enačbo 4x+2y-2=0. Napišite enačbo z naklonom za to premico.
rešitev. Izvedimo transformacije, podobne zgoraj opisanim, dobimo:
Kje k=-2, b=1.
Enačba premice, ki poteka skozi dano točko z danim naklonom.
Naj bo podana točka M 0 (x 0,y 0) ravna črta in njen naklon k. Zapišimo enačbo premice v obliki (4), kjer je b— še neznana številka. Od točke M 0 pripada dani premici, potem njegove koordinate zadoščajo enačbi (4): . Zamenjava izraza za b v (4) dobimo zahtevano enačbo premice:
Primer. Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točko M(1,2) in je nagnjena na os Oh pod kotom 450.
rešitev. k =tgα =tg 45 0 =1. Od tod: .
Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki.
Naj bosta podani dve točki M 1 (x 1,y 1) in M 2 (x 2, y 2). Zapišimo enačbo premice v obliki (5), kjer je kše neznan koeficient:
Od točke M 2 pripada dani premici, potem njegove koordinate zadoščajo enačbi (5): . Če izrazimo od tod in jo nadomestimo v enačbo (5), dobimo zahtevano enačbo:
Če je to enačbo mogoče prepisati v obliki, ki je primernejša za pomnjenje:
Primer. Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točki M 1 (1,2) in M 2 (-2,3)
rešitev. . Z uporabo lastnosti sorazmernosti in izvedemo potrebne transformacije dobimo splošno enačbo ravne črte:
Kot med dvema ravnima črtama
Razmislite o dveh ravnih črtah l 1 in l 2:
l 1: , , In
l 2: , ,
φ je kot med njima (). Iz slike 4 je razvidno: .
Od tod, oz
l 2 sta torej vzporedna φ=0 in tgφ =0. iz formule (7) sledi , od koder k 2 =k 1. Tako je pogoj za vzporednost dveh premic enakost njunih kotnih koeficientov.Če naravnost l 1 in l 2 so pravokotni, torej φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 .. Tako je pogoj za pravokotnost dveh ravnih črt ta, da sta njuna kotna koeficienta inverzna po velikosti in nasprotna po predznaku.
Linearnost enačbe premice in njena obratna enačba.
Smerni in normalni vektorji.
Vektor normalne črteje vsak neničelni vektor, ki leži na kateri koli premici, pravokotni na dano.
Neposredni vektorje vsak neničelni vektor, ki leži na dani premici ali na njej vzporedni premici.
Če želite uporabiti koordinatno metodo, morate dobro poznati formule. Trije so:
Na prvi pogled deluje grozeče, a z le malo vaje bo vse delovalo odlično.
Naloga. Poiščite kosinus kota med vektorjema a = (4; 3; 0) in b = (0; 12; 5).
rešitev. Ker so nam koordinate vektorjev podane, jih nadomestimo v prvo formulo:
Naloga. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) in K = (2; 1; 0), če je znano, da ne poteka skozi poreklo.
rešitev. Splošna enačba ravnine: Ax + By + Cz + D = 0, a ker želena ravnina ne poteka skozi izhodišče koordinat - točko (0; 0; 0) - potem postavimo D = 1. Ker je to ravnina poteka skozi točke M, N in K, potem bi morale koordinate teh točk spremeniti enačbo v pravilno numerično enakost.
Nadomestimo koordinate točke M = (2; 0; 1) namesto x, y in z. Imamo:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;
Podobno za točke N = (0; 1; 1) in K = (2; 1; 0) dobimo naslednje enačbe:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;
Torej imamo tri enačbe in tri neznanke. Sestavimo in rešimo sistem enačb:
Ugotovili smo, da ima enačba ravnine obliko: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.
Naloga. Ravnina je podana z enačbo 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Poiščite koordinate vektorja, pravokotnega na to ravnino.
rešitev. S tretjo formulo dobimo n = (7; − 2; 4) - to je vse!
Izračun vektorskih koordinat
Kaj pa, če v problemu ni vektorjev - obstajajo samo točke, ki ležijo na ravnih črtah, in morate izračunati kot med temi ravnimi črtami? Preprosto je: če poznate koordinate točk - začetek in konec vektorja - lahko izračunate koordinate samega vektorja.
Če želite najti koordinate vektorja, morate od koordinat njegovega konca odšteti koordinate začetka.
Ta izrek deluje enako dobro tako na ravnini kot v prostoru. Izraz "odštej koordinate" pomeni, da se koordinata x druge točke odšteje od koordinate x ene točke, nato pa je treba enako storiti s koordinatama y in z. Tukaj je nekaj primerov:
Naloga. V prostoru so tri točke, ki jih določajo njihove koordinate: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) in C = (− 4; 3; − 2). Poiščite koordinate vektorjev AB, AC in BC.
Razmislite o vektorju AB: njegov začetek je v točki A, njegov konec pa v točki B. Zato moramo, da bi našli njegove koordinate, odšteti koordinate točke A od koordinat točke B:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).
Podobno je začetek vektorja AC ista točka A, konec pa točka C. Zato imamo:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).
Nazadnje, da bi našli koordinate vektorja BC, morate od koordinat točke C odšteti koordinate točke B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).
Odgovor: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)
Bodite pozorni na izračun koordinat zadnjega vektorja BC: veliko ljudi dela napake pri delu z negativnimi števili. To zadeva spremenljivko y: točka B ima koordinato y = − 1, točka C pa koordinato y = 3. Dobimo natanko 3 − (− 1) = 4 in ne 3 − 1, kot mnogi mislijo. Ne delaj takih neumnih napak!
Izračun smernih vektorjev za ravne črte
Če natančno preberete problem C2, boste presenečeni ugotovili, da tam ni vektorjev. Obstajajo samo ravne črte in ravnine.
Najprej si oglejmo ravne črte. Tukaj je vse preprosto: na kateri koli ravni črti sta vsaj dve različni točki in obratno, kateri koli dve različni točki določata edinstveno ravno črto ...
Je kdo razumel napisano v prejšnjem odstavku? Sam tega nisem razumel, zato bom razložil preprosteje: v problemu C2 so premice vedno določene s parom točk. Če uvedemo koordinatni sistem in upoštevamo vektor z začetkom in koncem v teh točkah, dobimo tako imenovani smerni vektor premice:
Zakaj je ta vektor potreben? Dejstvo je, da je kot med dvema ravnima črtama kot med njunima smernima vektorjema. Tako se premaknemo od nerazumljivih ravnih črt do specifičnih vektorjev, katerih koordinate je enostavno izračunati. Kako enostavno je? Oglejte si primere:
Naloga. V kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sta narisani premici AC in BD 1. Poiščite koordinate smernih vektorjev teh premic.
Ker dolžina robov kocke v pogoju ni določena, postavimo AB = 1. Uvedemo koordinatni sistem z izhodiščem v točki A in osmi x, y, z usmerjenimi vzdolž premic AB, AD in AA 1 oz. Enotski segment je enak AB = 1.
Zdaj pa poiščimo koordinate smernega vektorja za premico AC. Potrebujemo dve točki: A = (0; 0; 0) in C = (1; 1; 0). Od tu dobimo koordinate vektorja AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - to je smerni vektor.
Zdaj pa poglejmo ravno črto BD 1. Ima tudi dve točki: B = (1; 0; 0) in D 1 = (0; 1; 1). Dobimo smerni vektor BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).
Odgovor: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)
Naloga. V pravilni trikotni prizmi ABCA 1 B 1 C 1, katere vsi robovi so enaki 1, sta narisani premici AB 1 in AC 1. Poiščite koordinate smernih vektorjev teh premic.
Predstavimo koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, os x sovpada z AB, os z sovpada z AA 1, os y tvori ravnino OXY z osjo x, ki sovpada z ravnino ABC.
Najprej si oglejmo ravno črto AB 1. Tukaj je vse preprosto: imamo točki A = (0; 0; 0) in B 1 = (1; 0; 1). Dobimo smerni vektor AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).
Zdaj pa poiščimo smerni vektor za AC 1. Vse je enako - razlika je le v tem, da ima točka C 1 iracionalne koordinate. Torej je A = (0; 0; 0), torej imamo:
Odgovor: AB 1 = (1; 0; 1);
Majhna, a zelo pomembna opomba o zadnjem primeru. Če začetek vektorja sovpada z izhodiščem koordinat, so izračuni močno poenostavljeni: koordinate vektorja so preprosto enake koordinatam konca. Na žalost to velja le za vektorje. Na primer, pri delu z ravninami prisotnost izvora koordinat na njih samo zaplete izračune.
Izračun normalnih vektorjev za ravnine
Normalni vektorji niso tisti vektorji, ki so v redu ali se počutijo dobro. Po definiciji je normalni vektor (normala) na ravnino vektor, pravokoten na dano ravnino.
Z drugimi besedami, normala je vektor, pravokoten na kateri koli vektor v dani ravnini. Verjetno ste že naleteli na to definicijo - vendar smo namesto vektorjev govorili o ravnih črtah. Vendar je bilo tik zgoraj prikazano, da lahko v problemu C2 operirate s katerim koli priročnim predmetom - naj bo to ravna črta ali vektor.
Naj vas še enkrat spomnim, da je vsaka ravnina v prostoru določena z enačbo Ax + By + Cz + D = 0, kjer so A, B, C in D nekateri koeficienti. Ne da bi pri tem izgubili splošnost rešitve, lahko predpostavimo, da je D = 1, če ravnina ne poteka skozi izhodišče, ali D = 0, če gre. V vsakem primeru so koordinate vektorja normale na to ravnino enake n = (A; B; C).
Ravnino lahko torej uspešno nadomestimo tudi z vektorjem - to isto normalo. Vsako ravnino v prostoru določajo tri točke. O tem, kako najti enačbo ravnine (in s tem normalo), smo razpravljali že na samem začetku članka. Vendar ta postopek mnogim povzroča težave, zato bom dal še nekaj primerov:
Naloga. V kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je narisan prerez A 1 BC 1. Poiščite normalni vektor za ravnino tega odseka, če je izhodišče koordinat v točki A, osi x, y in z pa sovpadajo z robovi AB, AD in AA 1.
Ker ravnina ne poteka skozi izhodišče, je njena enačba videti takole: Ax + By + Cz + 1 = 0, tj. koeficient D = 1. Ker ta ravnina poteka skozi točke A 1, B in C 1, koordinate teh točk spremenijo enačbo ravnine v pravilno numerično enakost.
A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;
Podobno za točki B = (1; 0; 0) in C 1 = (1; 1; 1) dobimo naslednje enačbe:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;
Toda koeficienta A = − 1 in C = − 1 že poznamo, zato je treba najti koeficient B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.
Dobimo enačbo ravnine: − A + B − C + 1 = 0. Zato sta koordinati normalnega vektorja enaki n = (− 1; 1; − 1).
Naloga. V kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je prerez AA 1 C 1 C. Poiščite normalni vektor za ravnino tega odseka, če je izhodišče koordinat v točki A in osi x, y in z sovpadajo z robovi AB, AD in AA 1 oz.
V tem primeru poteka ravnina skozi izhodišče, zato je koeficient D = 0, enačba ravnine pa je videti takole: Ax + By + Cz = 0. Ker ravnina poteka skozi točki A 1 in C, so koordinate te točke spremenijo enačbo ravnine v pravilno numerično enakost.
Nadomestimo koordinate točke A 1 = (0; 0; 1) namesto x, y in z. Imamo:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;
Podobno za točko C = (1; 1; 0) dobimo enačbo:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;
Postavimo B = 1. Potem je A = − B = − 1, enačba celotne ravnine pa ima obliko: − A + B = 0. Zato sta koordinati normalnega vektorja enaki n = (− 1 ; 0).
Na splošno morate pri zgornjih težavah sestaviti sistem enačb in ga rešiti. Dobili boste tri enačbe in tri spremenljivke, vendar bo v drugem primeru ena od njih prosta, tj. vzeti poljubne vrednosti. Zato imamo pravico postaviti B = 1 – brez poseganja v splošnost rešitve in pravilnost odgovora.
Zelo pogosto morate pri problemu C2 delati s točkami, ki razpolovijo odsek. Koordinate takih točk je enostavno izračunati, če so znane koordinate koncev segmenta.
Torej, naj bo segment definiran s svojimi konci - točkami A = (x a; y a; z a) in B = (x b; y b; z b). Potem lahko koordinate sredine segmenta - označimo s točko H - najdemo s formulo:
Z drugimi besedami, koordinate sredine segmenta so aritmetična sredina koordinat njegovih koncev.
Naloga. Enotska kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je postavljena v koordinatni sistem tako, da so osi x, y in z usmerjene vzdolž robov AB, AD in AA 1, izhodišče pa sovpada s točko A. Točka K je sredina roba A 1 B 1 . Poiščite koordinate te točke.
Ker je točka K sredina segmenta A 1 B 1, so njene koordinate enake aritmetični sredini koordinat koncev. Zapišimo koordinate koncev: A 1 = (0; 0; 1) in B 1 = (1; 0; 1). Zdaj pa poiščimo koordinate točke K:
Naloga. Enotska kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je postavljena v koordinatni sistem tako, da so osi x, y in z usmerjene vzdolž robov AB, AD in AA 1, izhodišče pa sovpada s točko A. Poiščite koordinate točke L, v kateri sekata diagonali kvadrata A 1 B 1 C 1 D 1 .
Iz tečaja planimetrije vemo, da je presečišče diagonal kvadrata enako oddaljeno od vseh njegovih oglišč. Zlasti A 1 L = C 1 L, tj. točka L je sredina segmenta A 1 C 1. Toda A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), tako da imamo:
Odgovor: L = (0,5; 0,5; 1)
