Zgodovina nastanka geometrije Lobačevskega je hkrati zgodovina poskusov dokazovanja Evklidovega petega postulata. Ta postulat je eden od aksiomov, ki jih je postavil Evklid kot osnovo za svojo predstavitev geometrije (glej Evklid in njegovi »Elementi«). Peti postulat je zadnji in najbolj kompleksen izmed predlogov, ki jih je Evklid vključil v svojo aksiomatiko geometrije. Spomnimo se formulacije petega postulata: če dve ravni črti seka tretja, tako da je na kateri koli strani vsota notranjih kotov manjša od dveh pravih kotov, potem se na isti strani prvotni ravni črti sekata. Na primer, če na sl. 1 kot je pravi kot in kot je nekoliko manjši od pravega kota, potem se bodo ravne črte zagotovo sekale in desno od ravne črte. Številni Evklidovi izreki (na primer "v enakokrakem trikotniku so osnovni koti enaki") izražajo veliko preprostejša dejstva kot peti postulat. Poleg tega je peti postulat precej težko eksperimentalno preveriti. Dovolj je reči, da če je na sl. 1 razdalja velja za 1 m, kot pa se od ravne črte razlikuje za eno ločno sekundo, potem lahko izračunamo, da se ravne črte sekajo na razdalji več kot 200 km od ravne črte.
Mnogi matematiki, ki so živeli po Evklidu, so poskušali dokazati, da je ta aksiom (peti postulat) odvečen, tj. lahko se dokaže kot izrek, ki temelji na preostalih aksiomih. Torej, v 5. st. Matematik Proclus (prvi komentator Evklidovih del) je naredil tak poskus. Vendar pa je Prokl v svojem dokazu, neopazen zase, uporabil naslednjo izjavo: dve pravokotnici na eno premico po vsej svoji dolžini sta na omejeni razdalji druga od druge (tj. dve premici, pravokotni na tretjo, se ne moreta oddaljiti od vsake drugi za nedoločen čas, kot črte na sliki 2). Toda kljub vsej navidezni vizualni "očitnosti" ta izjava zahteva utemeljitev v strogi aksiomatski predstavitvi geometrije. Pravzaprav je izjava, ki jo je uporabil Prokl, enakovredna petemu postulatu; z drugimi besedami, če ga dodamo preostalim Evklidovim aksiomom kot še en nov aksiom, potem je peti postulat mogoče dokazati (kar je storil Proklo), in če sprejmemo peti postulat, potem lahko izjavo, ki jo je formuliral Prokl, dokazano.
Kritična analiza nadaljnjih poskusov dokazovanja petega postulata je pokazala veliko število podobnih "očitnih" izjav, ki lahko nadomestijo peti postulat v Evklidovi aksiomatiki. Tukaj je nekaj primerov takšnih ekvivalentov petega postulata.
1) Skozi točko znotraj kota, ki je manjši od raztegnjenega, lahko vedno narišete ravno črto, ki seka njegove stranice, tj. ravnih črt na ravnini ni mogoče locirati, kot je prikazano na sl. 3. 2) Obstajata dva podobna trikotnika, ki si med seboj nista enaka. 3) Tri točke, ki se nahajajo na eni strani premice na enaki razdalji od nje (slika 4), ležijo na isti premici. 4) Za vsak trikotnik obstaja opisan krog.
Postopoma postajajo »dokazi« vse bolj sofisticirani in vse globlje v njih se skrivajo subtilni ekvivalenti petega postulata. S priznanjem, da je peti postulat napačen, so matematiki poskušali priti do logičnega protislovja. Prišli so do trditev, ki so bile v pošastnem nasprotju z našo geometrijsko intuicijo, vendar do logičnega protislovja ni prišlo. Ali pa morda na tej poti nikoli ne bomo prišli do protislovja? Ali se lahko zgodi, da bomo z zamenjavo Evklidovega petega postulata z njegovo negacijo (ob ohranitvi preostalih Evklidovih aksiomov) prišli do nove, neevklidske geometrije, ki se v mnogih pogledih ne ujema z našimi običajnimi vizualnimi predstavami, a se vseeno ne vsebuje nobenih logičnih protislovij? Matematiki te preproste, a zelo drzne zamisli niso mogli trpeti dva tisoč let po pojavu Evklidovih elementov.
Prvi, ki je priznal možnost obstoja neevklidske geometrije, v kateri je peti postulat nadomeščen z njegovo negacijo, je bil K. F. Gauss. Dejstvo, da je imel Gauss ideje neevklidske geometrije, je bilo odkrito šele po znanstvenikovi smrti, ko so začeli preučevati njegove arhive. Briljantni Gauss, čigar mnenje so vsi poslušali, si ni upal objaviti svojih rezultatov o neevklidski geometriji, ker se je bal, da bi bil napačno razumljen in vpleten v polemiko.
XIX stoletje prinesel rešitev uganke petega postulata. Do tega odkritja je neodvisno od Gaussa prišel tudi naš rojak, profesor Kazanske univerze N. I. Lobačevski. Tako kot njegovi predhodniki je Lobačevski sprva poskušal potegniti različne posledice iz zanikanja petega postulata v upanju, da bo prej ali slej prišel do protislovja. Vendar pa je dokazal veliko desetin izrekov, ne da bi razkril logična protislovja. In potem je Lobačevski prišel do ugibanja o konsistentnosti geometrije, v kateri je bil peti postulat nadomeščen z njegovo negacijo. Lobačevski je to geometrijo imenoval imaginarna. Lobačevski je svoje raziskave orisal v številnih delih, začenši leta 1829. Toda matematični svet ni sprejel idej Lobačevskega. Znanstveniki niso bili pripravljeni na idejo, da bi lahko obstajala drugačna geometrija kot evklidska. In samo Gauss je izrazil svoj odnos do znanstvenega podviga ruskega znanstvenika: leta 1842 je dosegel izvolitev N. I. Lobačevskega za dopisnega člana Gottingenskega kraljevega znanstvenega društva. To je edina znanstvena čast, ki je pripadla Lobačevskemu v času njegovega življenja. Umrl je, ne da bi dosegel priznanje svojih idej.
Ko govorimo o geometriji Lobačevskega, je nemogoče ne omeniti še enega znanstvenika, ki si skupaj z Gaussom in Lobačevskim deli zasluge za odkritje neevklidske geometrije. Bil je madžarski matematik J. Bolyai (1802-1860). Njegov oče, slavni matematik F. Bolyai, ki je vse življenje delal na teoriji vzporednic, je verjel, da rešitev tega problema presega človeške moči, in je želel svojega sina zaščititi pred neuspehi in razočaranji. V enem izmed svojih pisem mu je zapisal: »Šel sem skozi vso brezupno temo te noči in vanjo zakopal vsako luč, vsako radost življenja ... to ti lahko prikrajša ves tvoj čas, zdravje, mir, vse sreča tvojega življenja ...« Toda Janos se ni zmenil za očetova opozorila. Kmalu je mladi znanstvenik neodvisno od Gaussa in Lobačevskega prišel do istih idej. V dodatku k očetovi knjigi, izdani leta 1832, je J. Bolyai podal samostojno predstavitev neevklidske geometrije.
Geometrija Lobačevskega (ali geometrija Lobačevskega Bolyaija, kot jo včasih imenujejo) ohranja vse izreke, ki jih je v evklidski geometriji mogoče dokazati brez uporabe petega postulata (ali vzporednega aksioma enega od ekvivalentov petega postulata - ti so vključeni v šolske učbenike dnevi). Na primer: navpični koti so enaki; kota na dnu enakokrakega trikotnika sta enaka; iz dane točke se lahko spusti samo ena navpičnica na dano premico; ohranjeni so tudi znaki enakosti trikotnikov itd., spremenjeni pa so izreki, v dokazu katerih je uporabljen aksiom vzporednosti. Izrek o vsoti kotov trikotnika je prvi izrek šolskega tečaja, katerega dokaz uporablja aksiom vzporednosti. Tu nas čaka prvo »presenečenje«: v geometriji Lobačevskega je vsota kotov katerega koli trikotnika manjša od 180°.
Če sta dva kota enega trikotnika enaka dvema kotoma drugega trikotnika, potem so v evklidski geometriji tudi tretji koti enaki (taki trikotniki so podobni). V geometriji Lobačevskega takih trikotnikov ni. Poleg tega v geometriji Lobačevskega obstaja četrti kriterij za enakost trikotnikov: če so koti enega trikotnika ustrezno enaki kotom drugega trikotnika, potem so ti trikotniki enaki.
Razlika med 180° in vsoto kotov trikotnika v geometriji Lobačevskega je pozitivna; imenujemo jo defekt tega trikotnika. Izkazalo se je, da je v tej geometriji območje trikotnika izjemno povezano z njegovo napako: 
, kjer in pomenita ploščino in defekt trikotnika, število pa je odvisno od izbire enot za merjenje ploščin in kotov.
Naj bo zdaj nek oster kot (slika 5). V geometriji Lobačevskega lahko izberete točko na strani tako, da se pravokotnica na stranico ne seka z drugo stranjo kota. To dejstvo samo potrjuje, da peti postulat ni izpolnjen: vsota kotov in je manjša od raztegnjenega kota, vendar se ravne črte ne sekajo. Če začnete točko približevati , potem bo tako "kritična" točka, da se pravokotnica na stranico še vedno ne seka s stranico, toda za katero koli točko, ki leži med in , se ustrezna pravokotnica seka s stranico. Sta ravni in vse bližje drug drugemu, vendar nimata skupnih točk. Na sl. 6 te vrstice so prikazane ločeno; Lobačevski prav takšne ravne črte, ki se ena drugi neskončno približujejo, v svoji geometriji imenuje vzporedne. In Lobačevski imenuje dve pravokotnici na eno ravno črto (ki se neomejeno oddaljujeta druga od druge, kot na sliki 2) razhajajoči se ravni črti. Izkazalo se je, da to omejuje vse možnosti za razporeditev dveh črt na ravnini Lobačevskega: dve divergentni črti se bodisi sekata v eni točki, ali sta vzporedni (slika 6), ali pa sta divergentni (v tem primeru imata eno samo skupno točko). pravokotno, slika 2).
Na sl. 7, pravokotnica na stranico kota ne seka stranico, ravne črte pa so simetrične ravnim črtam glede na . Nadalje, , Tako je pravokotna na segment v svoji sredini in podobno, pravokotna na segment v svoji sredini. Ti navpičnici se ne sekata, zato ni točke, ki bi bila enako oddaljena od točk, tj. trikotnik nima opisanega kroga.
Na sl. Slika 8 prikazuje zanimivo različico razporeditve treh ravnih črt na ravnini Lobačevskega: vsaki dve sta vzporedni (samo v različnih smereh). In na sl. 9 so vse premice med seboj vzporedne v isti smeri (snop vzporednih premic). Rdeča črta na sl. 9 je "pravokotna" na vse narisane premice (tj. tangenta na to premico v kateri koli točki je pravokotna na premico, ki poteka skozi ). Ta črta se imenuje mejni krog ali horocikel. Ravne črte obravnavanega žarka so tako rekoč njegovi "polmeri", "središče" mejnega kroga pa leži v neskončnosti, saj so "polmeri" vzporedni. Hkrati mejni krog ni ravna črta, je "ukrivljen". In druge lastnosti, ki jih ima ravna črta v evklidski geometriji, se v geometriji Lobačevskega izkažejo za neločljivo povezane z drugimi črtami. Na primer, niz točk, ki se nahajajo na eni strani dane črte na dani razdalji od nje, je v geometriji Lobačevskega ukrivljena črta (imenuje se ekvidistanta).
|
NIKOLAJ IVANOVIČ LOBAČEVSKI
Od 14. leta je bilo življenje N. I. Lobačevskega povezano z univerzo v Kazanu. Njegova študentska leta so sovpadala z uspešnim obdobjem v zgodovini univerze. Matematike se je bilo od koga učiti; Med profesorji je izstopal M.F. Bartelsa, sopotnika prvih korakov v matematiki K. F. Gaussa. Od leta 1814 je Lobačevski poučeval na univerzi: predaval je matematiko, fiziko, astronomijo, vodil observatorij in vodil knjižnico. Več let je bil izvoljen za dekana Fakultete za fiziko in matematiko. Leta 1827 se je začelo 19-letno obdobje njegovega neprekinjenega rektorovanja. Vse je bilo treba začeti znova: ukvarjati se z gradnjo, pritegniti nove profesorje, spremeniti študentski režim. To je trajalo skoraj ves čas. V začetku februarja 1826 je univerzi predložil rokopis "Strnjena razlaga elementov geometrije s strogim dokazom vzporednega izreka", 11. februarja pa je podal poročilo na seji univerzitetnega sveta. Pravzaprav ni šlo za dokazovanje Evklidovega petega postulata, temveč za konstrukcijo geometrije, v kateri pride do njegove negacije, tj. o dokazu njegove neizpelljivosti iz preostalih aksiomov. Verjetno nihče od prisotnih ni mogel slediti toku misli Lobačevskega. Ustanovljena komisija članov Sveta več let ni podala mnenja. Leta 1830 je Kazansky Vestnik objavil delo "O načelih geometrije", ki je izvleček iz poročila Sveta. Da bi razumeli situacijo, so se odločili uporabiti pomoč kapitala: leta 1832 je bil članek poslan v Sankt Peterburg. In tukaj nihče ni razumel ničesar; delo je bilo označeno kot nesmiselno. Ruskih znanstvenikov ne smemo soditi prestrogo: nikjer na svetu matematiki še niso bili pripravljeni sprejeti idej neevklidske geometrije. Nič ni moglo omajati zaupanja Lobačevskega v njegov prav. 30 let še naprej razvija svojo geometrijo, poskuša narediti svojo predstavitev bolj dostopno in objavlja dela v francoščini in nemščini. Gauss je prebral nemško verzijo predstavitve in avtorja seveda odlično razumel. Svoja dela je bral v ruščini in jih cenil v pismih svojim študentom, vendar Gauss ni javno podprl nove geometrije. N. I. Lobačevski se je povzpel do visokih činov, prejel je veliko naročil, užival je spoštovanje okolice, a o njegovi geometriji raje niso govorili niti v tistih dneh, ko se je Kazan poslovil od njega. Minilo je še vsaj dvajset let, preden si je geometrija Lobačevskega pridobila državljanske pravice v matematiki. |
Na kratko smo se dotaknili le nekaterih dejstev geometrije Lobačevskega, ne da bi omenili številne druge zelo zanimive in pomembne izreke (na primer, obseg in površina kroga polmera tukaj rasteta glede na eksponentni zakon). Obstaja prepričanje, da je ta teorija, bogata z zelo zanimivimi in pomenljivimi dejstvi, dejansko konsistentna. Toda to prepričanje (ki so ga delili vsi trije ustvarjalci neevklidske geometrije) ne nadomesti dokaza konsistentnosti.
Za pridobitev takega dokaza je bilo treba zgraditi model. In Lobačevski je to dobro razumel in jo je poskušal najti.
Toda sam Lobačevski tega ni mogel več storiti. Konstrukcija takega modela (tj. dokaz konsistentnosti geometrije Lobačevskega) je pripadla matematikom naslednje generacije.
Leta 1868 je italijanski matematik E. Beltrami pregledal konkavno površino, imenovano psevdosfera (slika 10) in dokazal, da na tej površini deluje geometrija Lobačevskega! Če na to površino narišemo najkrajše črte (»geodeze«) in merimo razdalje vzdolž teh črt, naredimo trikotnike iz lokov teh črt itd., potem se izkaže, da so vse formule geometrije Lobačevskega natančno izvedene (zlasti , vsota kotov katerega koli trikotnika, manjšega od 180°). Res je, da na psevdosferi ni realizirana celotna ravnina Lobačevskega, ampak le njen omejen del, a vseeno je bila to prva prelomnica v praznem zidu neprepoznavanja Lobačevskega. Dve leti pozneje je nemški matematik F. Klein (1849-1925) predlagal še en model ravnine Lobačevskega.
Klein vzame krog in obravnava projektivne transformacije ravnine (glej Projektivna geometrija), ki preslikajo krog nase. Klein imenuje notranjost kroga "ravnina" in meni, da so navedene projektivne transformacije "gibanja" te "ravnine". Nadalje Klein meni, da je vsaka tetiva kroga (brez koncev, saj so vzete le notranje točke kroga) "ravna črta". Ker so »gibanja« projektivne transformacije, se »neposredna« med temi »premiki« spremenijo v »direktna«. Zdaj v tej "ravnini" lahko obravnavamo segmente, trikotnike itd. Dve figuri se imenujeta "enaki", če se ena od njiju lahko prenese na drugo z nekim "gibom". Tako so uvedeni vsi koncepti, omenjeni v aksiomih geometrije, in je mogoče preveriti izpolnjevanje aksiomov v tem modelu. Na primer, očitno je, da obstaja samo ena "ravna črta", ki poteka skozi kateri koli dve točki (slika 11). Prav tako je razvidno, da skozi točko, ki ne pripada "premici", poteka neskončno število "premic", ki se ne sekajo. Nadaljnje preverjanje pokaže, da so v Kleinovem modelu izpolnjeni tudi vsi drugi aksiomi geometrije Lobačevskega. Zlasti za vsako "ravno črto" (tj. tetivo kroga) in katero koli točko te "ravne črte" obstaja "gibanje", ki jo prenese na drugo dano ravno črto z označeno točko. To nam omogoča, da preverimo izpolnjevanje vseh aksiomov geometrije Lobačevskega.
Drugi model geometrije Lobačevskega je predlagal francoski matematik A. Poincaré (1854-1912). Upošteva tudi notranjost določenega kroga; Upošteva "ravne" loke krogov, ki se dotikajo polmerov v točkah presečišča z mejo kroga (slika 12). Ne da bi podrobneje govorili o "gibanjih" v Poincaréjevem modelu (to bodo krožne transformacije, zlasti inverzije glede na "ravne črte", ki preoblikujejo krog samega sebe), se bomo omejili na označevanje sl. 13, ki kaže, da v tem modelu evklidski aksiom vzporednosti nima mesta. Zanimivo je, da se v tem modelu krog (evklidski), ki se nahaja znotraj kroga, izkaže za "krog" v smislu geometrije Lobačevskega; krog, ki se dotika meje. Takrat se bo svetloba (v skladu s Fermatovim načelom o minimalnem času gibanja vzdolž svetlobne trajektorije) širila natančno vzdolž »ravnih črt« obravnavanega modela. Svetloba ne more doseči meje v končnem času (saj se njena hitrost tam zmanjša na nič), zato bodo njegovi »prebivalci« ta svet dojemali kot neskončen, po svoji metriki in lastnostih pa sovpadal z ravnino Lobačevskega.
Kasneje so bili predlagani drugi modeli geometrije Lobačevskega. Ti modeli so končno vzpostavili doslednost geometrije Lobačevskega. Tako se je pokazalo, da Evklidova geometrija ni edina možna. To je imelo velik progresivni vpliv na nadaljnji razvoj geometrije in matematike nasploh.
In v 20. stoletju. ugotovljeno je bilo, da geometrija Lobačevskega ni pomembna le za abstraktno matematiko, kot ena od možnih geometrij, ampak je neposredno povezana tudi z aplikacijami matematike v fiziki. Izkazalo se je, da je odnos med prostorom in časom, odkrit v delih H. Lorentza, A. Poincaréja, A. Einsteina, G. Minkowskega in opisan v okviru posebne teorije relativnosti, neposredno povezan z geometrijo Lobačevskega. Na primer, pri izračunih sodobnih sinhrofazotronov se uporabljajo geometrijske formule Lobačevskega.
Geometrija Lobačevskega je geometrijska teorija, ki temelji na istih osnovnih premisah kot običajna evklidska geometrija, z izjemo vzporednega aksioma, ki ga nadomesti vzporedni aksiom Lobačevskega. Evklidski aksiom o vzporednicah pravi: skozi točko, ki ne leži na dani premici, poteka samo ena premica, ki leži z dano premico v isti ravnini in je ne seka. V geometriji Lobačevskega je namesto tega sprejet naslednji aksiom: skozi točko, ki ne leži na dani premici, potekata vsaj dve premici, ki ležita z dano premico v isti ravnini in je ne sekata. Zdi se, da je ta aksiom v nasprotju z zelo znanimi idejami. Kljub temu imata tako ta aksiom kot celotna geometrija Lobačevskega zelo resničen pomen. Geometrijo Lobačevskega je ustvaril in razvil N. I. Lobačevski, ki je o njej prvi poročal leta 1826. Geometrijo Lobačevskega imenujemo neevklidska geometrija, čeprav ima izraz »neevklidska geometrija« običajno širši pomen, vključno s temi in drugimi teorijami, ki so se pojavile po geometriji Lobačevskega in tudi na podlagi sprememb v osnovnih premisah evklidske geometrije. Geometrija Lobačevskega se posebej imenuje hiperbolična neevklidska geometrija (v nasprotju z Riemannovo eliptično geometrijo).
Geometrija Lobačevskega je vsebinsko bogata teorija in se uporablja tako v matematiki kot fiziki. Njegov zgodovinski pomen je v tem, da je Lobačevski z njegovo konstrukcijo pokazal možnost geometrije, drugačne od evklidske, kar je zaznamovalo novo obdobje v razvoju geometrije in matematike nasploh (glej Geometrija). S sodobnega vidika lahko damo na primer naslednjo definicijo Lobačevskega geometrije na ravnini: to ni nič drugega kot geometrija znotraj kroga na navadni (evklidski) ravnini, le izražena na poseben način. Obravnavali bomo namreč krožnico na navadni ravnini (sl. 1) in njeno notranjost, torej krog, z izjemo kroga, ki ga omejuje, poimenovali »ravnina«. Točka "ravnine" bo točka znotraj kroga. Vsako tetivo (na primer a, b, b`, MN) bomo imenovali "ravna" (brez koncev, saj je obseg kroga izključen iz "ravnine"). "Gibanje" imenujemo vsako preoblikovanje kroga vase, ki pretvarja tetive v tetive.
V skladu s tem se številke znotraj kroga, ki se s takšnimi transformacijami spremenijo ena v drugo, imenujejo enake. Potem se izkaže, da vsako geometrijsko dejstvo, opisano v takem jeziku, predstavlja teorem ali aksiom geometrije Lobačevskega. Z drugimi besedami, vsaka izjava geometrije Lobačevskega na ravnini ni nič drugega kot izjava evklidske geometrije, ki se nanaša na figure znotraj kroga. samo predelano v navedenih terminih. Evklidski aksiom o vzporednicah tukaj očitno ni izpolnjen, saj skozi točko O, ki ne leži na dani tetivi a (tj. »premici«), poteka poljubno število tetiv (»premic«), ki ga ne sekajo (na primer b, b`). Podobno lahko geometrijo Lobačevskega v prostoru opredelimo kot geometrijo znotraj krogle, izraženo z ustreznimi izrazi ("ravne črte" - tetive, "ravnine" - ravni odseki notranjosti krogle, "enake" figure - tiste, ki so prevedene drug v drugega s transformacijami, ki spreminjajo kroglo samo in akorde v akorde). Geometrija Lobačevskega ima torej povsem resničen pomen in je enako dosledna kot Evklidova geometrija. Opisovanje istih dejstev z različnimi izrazi ali, nasprotno, opisovanje različnih dejstev z istimi izrazi je značilna lastnost matematike. Jasno se pojavi na primer, ko je ista premica podana v različnih koordinatah z različnimi enačbami ali, nasprotno, ista enačba v različnih koordinatah predstavlja različne premice.
Nastanek geometrije Lobačevskega
Vir geometrije Lobačevskega je bilo vprašanje aksioma vzporednic, ki je znano tudi kot Evklidov postulat V (pod to številko se na seznamu postulatov v Evklidovih Elementih pojavi izjava, ki je enakovredna zgornjemu aksiomu vzporednic). Ta postulat je zaradi svoje kompleksnosti v primerjavi z drugimi povzročil poskuse dokazovanja na podlagi drugih postulatov.
Tukaj je nepopoln seznam znanstvenikov, ki so sodelovali pri dokazovanju petega postulata pred 19. stoletjem: starogrški matematik Ptolomej (2. stoletje), Proklo (5. stoletje) (Proklov dokaz temelji na predpostavki, da je razdalja med dvema vzporednima je končen), Ibn al-Haytham iz Iraka (konec 10. - zgodnje 11. stoletje) (Ibn al-Haytham je poskušal dokazati postulat V, ki temelji na predpostavki, da konec premikajoče se pravokotnice na črto opisuje ravno črto), tadžikistanski matematik Omar Khayyam (2. polovica 11. - zgodnje 12. stoletje), azerbajdžanski matematik Nasireddin Tuey (13. stoletje) (Hayyam in Nasireddin sta pri dokazovanju postulata V izhajala iz predpostavke, da dve konvergentni premici po nadaljevanju ne moreta postati divergentni brez presečišča ), nemški matematik C. Clavius (Schlüssel, 1574), italijanski matematiki P. Cataldi (ki je leta 1603 prvič objavil delo, v celoti posvečeno vprašanju vzporednic), G. Borelli (1658), G. Vitale (1680) , angleški matematik J. Wallis (1663, objavljeno 1693) (Wallis temelji dokaz postulata V na predpostavki, da za vsako figuro obstaja figura, ki ji je podobna, vendar ne enaka). Zgoraj našteti dokazi geometrov so se zmanjšali na zamenjavo postulata V z drugo predpostavko, ki se je zdela bolj očitna.
Italijanski matematik G. Saccheri (1733) je poskušal dokazati postulat V s protislovjem. Ko je Saccheri sprejel predlog, ki je bil v nasprotju z Evklidovim postulatom, je iz njega razvil precej obsežne posledice. Ko je nekatere od teh posledic pomotoma prepoznal kot vodilne v protislovja, je Saccheri sklenil, da je bil Evklidov postulat dokazan. Nemški matematik I. Lambert (okoli 1766, objavljeno 1786) se je lotil podobnih raziskav, vendar ni ponovil Saccherijevih napak, ampak je priznal svojo nemoč, da bi zaznal logično protislovje v sistemu, ki ga je zgradil. Postulat so poskušali dokazati tudi v 19. stoletju. Tukaj velja omeniti delo francoskega matematika A. Legendra; eden od njegovih dokazov (1800) temelji na predpostavki, da lahko skozi vsako točko znotraj ostrega kota potegnemo premico, ki seka obe strani kota, tj. kot vsi njegovi predhodniki je postulat nadomestil z drugo predpostavko. Nemška matematika F. Schweickart (1818) in F. Taurinus (1825) sta se precej približala konstrukciji geometrije Lobačevskega, vendar nista imela jasno izražene ideje, da bi bila teorija, ki sta jo začrtala, logično tako popolna kot Evklidova geometrija.
Vprašanje Evklidovega V postulata, ki je geometre zaposlovalo več kot dva tisoč let, je razrešil Lobačevski. Ta rešitev se spušča v dejstvo, da postulata ni mogoče dokazati na podlagi drugih premis evklidske geometrije in da predpostavka postulata, nasprotnega postulatu Evklida, omogoča konstruiranje geometrije, ki je tako smiselna kot evklidska in prosta iz protislovij. Lobačevski je o tem poročal leta 1826, v letih 1829-30 pa je objavil delo "O načelih geometrije", v katerem je predstavil svojo teorijo. Leta 1832 je s podobno vsebino izšlo delo madžarskega matematika J. Bolyaija. Kot se je kasneje izkazalo, je tudi nemški matematik K. F. Gauss prišel na idejo o možnosti obstoja dosledne neevklidske geometrije, vendar jo je skril zaradi strahu, da bi bil napačno razumljen. Čeprav se je geometrija Lobačevskega razvila kot špekulativna teorija in jo je sam Lobačevski poimenoval »imaginarna geometrija«, je bil Lobačevski tisti, ki je ni obravnaval kot igro uma, temveč kot možno teorijo prostorskih odnosov. Dokaz o njeni konsistentnosti pa je bil podan pozneje, ko so bile nakazane njene interpretacije in je bilo vprašanje njenega pravega pomena, logične konsistentnosti, povsem razrešeno.
Geometrija Lobačevskega proučuje lastnosti "ravnine Lobačevskega"(v planimetriji) in "prostor Lobačevskega" (v stereometriji). Ravnina Lobačevskega je ravnina (množica točk), v kateri so definirane ravne črte, pa tudi premiki figur (hkrati - razdalje, koti itd.), Za katere veljajo vsi aksiomi evklidske geometrije, z izjema je vzporedni aksiom, ki je nadomeščen z zgornjim aksiomom Lobačevskega. Prostor Lobačevskega je definiran na podoben način. Naloga razjasnitve pravega pomena geometrije Lobačevskega je bila najti modele ravnine in prostora Lobačevskega, to je najti takšne objekte, v katerih bi se uresničile ustrezno interpretirane določbe planimetrije in stereometrije geometrije Lobačevskega.
Naj predstavimo nekaj dejstev geometrije Lobačevskega, ki jo razlikujejo od Evklidove geometrije in jih je ugotovil sam Lobačevski
1) V geometriji Lobačevskega ni podobnih, vendar neenakih trikotnikov; Trikotnika sta skladna, če sta njuna kota enaka. Zato obstaja absolutna enota dolžine, tj. segment, ki se razlikuje po svojih lastnostih, tako kot se pravi kot razlikuje po svojih lastnostih. Tak segment lahko služi na primer kot stranica pravilnega trikotnika z dano vsoto kotov.
2) Vsota kotov katerega koli trikotnika je manjša od p in je lahko poljubno blizu nič. To je neposredno vidno v Poincaréjevem modelu. Razlika p - (a + b + g), kjer so a, b, g koti trikotnika, je sorazmerna z njegovo ploščino.
3) Skozi točko O, ki ne leži na dani premici a, teče neskončno število ravnih črt, ki ne sekajo a in so z njim v isti ravnini; med njimi sta dva skrajna b, b`, ki ju imenujemo vzporedna ravni črti a v smislu Lobačevskega. V Kleinovih (Poincaréjevih) modelih so upodobljene kot tetive (krožni loki), ki imajo s tetivo (lokom) skupni konec (ki je po definiciji modela izključen, zato te premice nimajo skupnih točk) ( Slika 1.3). Njegov kot med premico b (ali b`) in navpičnico iz O na a je t.i. kot vzporednosti - ko se točka O odmika od premice, se zmanjša od 90° do 0° (v Poincaréjevem modelu koti v običajnem pomenu sovpadajo s koti v smislu Lobačevskega, zato je to dejstvo razvidno neposredno na njej). Vzporednik b na eni strani (in b` na nasprotni strani) se asimptotično približuje a, na drugi strani pa se od nje neskončno oddaljuje (v modelih je razdalje težko določiti, zato to dejstvo ni neposredno vidno).
4) Če imajo ravne črte skupno navpičnico, se od nje neskončno razhajajo v obe smeri. Na katero koli od njih je mogoče obnoviti pravokotnice, ki ne segajo do druge črte.
5) Črta, ki je enako oddaljena od ravne črte, ni ravna črta, temveč posebna krivulja, imenovana ekvidistanta ali hipercikel.
6) Meja krogov z neskončno naraščajočim polmerom ni ravna črta, temveč posebna krivulja, imenovana mejni krog ali horocikel.
7) Meja krogel neskončno naraščajočega polmera ni ravnina, temveč posebna površina - omejevalna krogla ali horosfera; Zanimivo je, da evklidska geometrija drži. To je Lobačevskemu služilo kot osnova za izpeljavo trigonometričnih formul.
8) Obseg kroga ni sorazmeren s polmerom, ampak raste hitreje.
9) Čim manjša je površina v prostoru ali na ravnini Lobačevskega, tem manj se geometrijske relacije v tej ploskvi razlikujejo od relacij evklidske geometrije. Lahko rečemo, da se v infinitezimalnem območju odvija evklidska geometrija. Na primer, manjši ko je trikotnik, manj se vsota njegovih kotov razlikuje od p; manjši kot je krog, manj se razmerje med njegovo dolžino in polmerom razlikuje od 2p itd. Zmanjšanje površine je formalno enakovredno povečanju dolžinske enote, zato se z neomejenim povečanjem dolžinske enote geometrijske formule Lobačevskega obrnejo v formule evklidske geometrije. Evklidska geometrija je v tem smislu "omejni" primer geometrije Lobačevskega.
Geometrijo Lobačevskega še naprej razvijajo številni geometri; proučuje: reševanje konstrukcijskih problemov, poliedre, pravilne sisteme likov, splošno teorijo krivulj in ploskev itd. Številni geometri so razvijali tudi mehaniko v prostoru Lobačevskega. Te študije niso našle neposredne uporabe v mehaniki, vendar so dale povod za plodne geometrijske ideje. Na splošno je geometrija Lobačevskega obsežno področje študija, kot je Evklidova geometrija.
Evklidski aksiom o vzporednicah (natančneje ena od izjav, ki mu je enaka, ob prisotnosti drugih aksiomov) je mogoče formulirati na naslednji način:
Aksiom Lobačevskega je natančna negacija Evklidovega aksioma (če so izpolnjeni vsi drugi aksiomi), saj v primeru, ko nobena premica, ki leži z dano premico v isti ravnini in je ne seka, ne poteka skozi točko, ki ne leži na dani premici je izključen zaradi preostalih aksiomov (aksiomov absolutne geometrije). Tako na primer sferična geometrija in Riemannova geometrija, v kateri se kateri koli dve premici sekata in zato nista izpolnjena niti Evklidov vzporedni aksiom niti aksiom Lobačevskega, nista združljivi z absolutno geometrijo.
Geometrija Lobačevskega ima široko uporabo v matematiki in fiziki. Njegov zgodovinski in filozofski pomen je v tem, da je Lobačevski z njegovo konstrukcijo pokazal možnost geometrije, drugačne od evklidske, kar je pomenilo novo dobo v razvoju geometrije, matematike in znanosti nasploh.
Enciklopedični YouTube
1 / 5
✪ #177. GEOMETRIJA LOBAČEVSKEGA (sovjetski filmski trak)
✪ Neevklidska geometrija. 1. del. Zgodovina matematike
✪ Neevklidske geometrije. Nekaj o znanosti #Science
✪ Splošna relativnost | hiperbolična geometrija | 1 | aka geometrija Lobačevskega
✪ Neevklidska geometrija. 2. del. Zgodovina matematike
Podnapisi
Zgodba
Poskusi dokazovanja petega postulata
Izhodišče geometrije Lobačevskega je bil Evklidov V postulat – aksiom, enak vzporednemu aksiomu. Vključen je bil na seznam postulatov v Evklidovih Elementih. Relativna zapletenost in neintuitivnost njegove formulacije je povzročila občutek njegove sekundarne narave in povzročila poskuse, da bi ga kot izrek izpeljali iz preostalih Evklidovih postulatov.
Med številnimi, ki so poskušali dokazati peti postulat, so bili zlasti naslednji ugledni znanstveniki.
- Starogrška matematika Ptolomej (2. stoletje) in Proklo (5. stoletje) (na podlagi predpostavke, da je razdalja med dvema vzporednima končna).
- Ibn al-Haytham iz Iraka (pozno - zgodnje stoletje) (temelji na predpostavki, da konec premikajoče se pravokotnice na ravno črto opisuje ravno črto).
- Iranska matematika Omar Khayyam (2. polovica - začetek 12. stoletja) in Nasir ad-Din at-Tusi (13. stoletje) (na podlagi predpostavke, da dve konvergentni črti ne moreta, če se nadaljujeta, postati divergentni brez preseka).
- Prvi nam znani poskus dokazovanja Evklidovega aksioma paralelizma v Evropi je predlagal Gersonid (alias Levi ben Gershom, 14. stoletje), ki je živel v Provansi (Francija). Njegov dokaz je temeljil na trditvi, da pravokotnik obstaja.
- Nemški matematik Clavius ().
- italijanski matematiki
- Cataldi (prvič leta 1603 je objavil delo, ki je v celoti posvečeno vprašanju vzporednic).
- Borelli (), G. Vitale ().
- Angleški matematik Wallis (, objavljen v) (je temeljil na predpostavki, da za vsako figuro obstaja podobna, a ne enaka figura).
- Francoski matematik Legendre () (temelji na predpostavki, da lahko skozi vsako točko znotraj ostrega kota narišemo ravno črto, ki seka obe strani kota; imel je tudi druge poskuse dokazovanja).
Med temi poskusi so dokazi petega postulata matematike uvedli (eksplicitno ali implicitno) neko novo izjavo, ki se jim je zdela bolj očitna.
Izvedeni so bili poskusi uporabe dokaza s protislovjem:
- Italijanski matematik Saccheri () (ko je oblikoval izjavo, ki je v nasprotju s postulatom, je izpeljal številne posledice in, ker je nekatere pomotoma prepoznal kot protislovne, je postulat štel za dokazanega),
- Nemški matematik Lambert (o, objavljeno v) (po opravljeni raziskavi je priznal, da ne more zaznati protislovij v sistemu, ki ga je zgradil).
Končno se je začelo pojavljati razumevanje, da je mogoče zgraditi teorijo, ki temelji na nasprotnem postulatu:
- nemška matematika Schweickart () in Taurinus () (vendar se nista zavedala, da bi bila takšna teorija logično prav tako harmonična).
Ustvarjanje neevklidske geometrije
Lobačevski je v svojem delu O načelih geometrije (), svojem prvem objavljenem delu o neevklidski geometriji, jasno izjavil, da petega postulata ni mogoče dokazati na podlagi drugih premis evklidske geometrije in da je predpostavka postulata V nasprotju z Evklidovim postulatom omogoča konstruiranje geometrije, ki je prav tako smiselna in brez protislovij, kot je evklidska.
Istočasno in neodvisno je do podobnih ugotovitev prišel Janos Bolyai, še prej pa Karl Friedrich Gauss. Vendar Bolyaijevo pisanje ni vzbudilo pozornosti in je temo kmalu opustil, Gauss pa se je na splošno vzdržal objavljanja, o njegovih pogledih pa je mogoče soditi le po nekaj pismih in dnevniških zapisih. Na primer, v pismu iz leta 1846 astronomu G. H. Schumacherju je Gauss o delu Lobačevskega govoril takole:
To delo vsebuje temelje geometrije, ki bi se morala zgoditi in bi poleg tega sestavljala strogo konsistentno celoto, če evklidska geometrija ne bi bila resnična ... Lobačevski jo imenuje "imaginarna geometrija"; Veste, da že 54 let delim iste nazore z nekaj razvoja, ki ga tukaj nočem omenjati; Tako v delu Lobačevskega zase nisem našel ničesar novega. A avtor pri razvoju teme ni šel po poti, po kateri sem hodil sam; izdelal jo je mojstrsko Lobačevski v pravem geometrijskem duhu. Mislim, da sem dolžan, da vas opozorim na to delo, ki vam bo verjetno v naravnost izjemno veselje.
Posledično je Lobačevski deloval kot prvi najbolj briljanten in dosleden propagandist nove geometrije. Čeprav se je geometrija Lobačevskega razvila kot špekulativna teorija in jo je sam Lobačevski poimenoval "imaginarna geometrija", je bil on tisti, ki jo je prvi odkrito predlagal ne kot igro uma, temveč kot možno in uporabno teorijo prostorskih odnosov. Vendar pa je bil dokaz o njeni doslednosti podan pozneje, ko so bile navedene njene interpretacije (modeli).
Izjava o geometriji Lobačevskega
V teh delih je Beltrami podal pregleden geometrijski dokaz konsistentnosti nove geometrije, ali natančneje, da je geometrija Lobačevskega nekonsistentna, če in samo če je Evklidova geometrija nekonsistentna. Tudi Lobačevski je imel tak dokaz, vendar je bil bolj zapleten, v eno smer model evklidske ravnine v geometriji Lobačevskega, zgrajen je bil po modelu, kot je Beltramijev, v drugo smer je šlo analitično.
ln (A N A M B M B N) (\displaystyle \ln \left((\frac (AN)(AM))(\frac (BM)(BN))\desno))V zunanjem absolutu se realizira geometrija anti-de-Sitterjevega prostora.
Konformno-evklidski model
Še en model letala Lobačevskega, ki ga je predlagal Beltrami.
Notranjost kroga je vzeta kot ravnina Lobačevskega, loki krogov, ki so pravokotni na krog danega kroga in njegove premere, se štejejo za ravne, s premiki pa - transformacije, dobljene s kombinacijami inverzij glede na kroge, katerih loki služijo kot ravne vrstice.
Poincaréjev model je izjemen po tem, da prikazuje kote kot navadne kote.
Površina konstantne negativne ukrivljenosti
Druga analitična definicija geometrije Lobačevskega je, da je geometrija Lobačevskega definirana kot geometrija Riemannovega prostora konstantne negativne ukrivljenosti. To definicijo je leta 1854 dejansko podal Riemann in je vključevala model geometrije Lobačevskega kot geometrijo na površinah s konstantno ukrivljenostjo. Vendar pa Riemann svojih konstrukcij ni neposredno povezal z geometrijo Lobačevskega in njegovo poročilo, v katerem je o njih poročal, ni bilo razumljeno in je bilo objavljeno šele po njegovi smrti (leta 1868).
Vsebina geometrije Lobačevskega
Lobačevski je zgradil svojo geometrijo, izhajajoč iz osnovnih geometrijskih pojmov in svojega aksioma, ter dokazoval izreke z uporabo geometrijske metode, podobno kot v Evklidovi geometriji. Osnova je bila teorija vzporednih premic, saj se tu začne razlika med geometrijo Lobačevskega in Evklidovo geometrijo. Vsi izreki, neodvisni od vzporednega aksioma, so skupni obema geometrijama; tvorijo tako imenovano absolutno geometrijo, ki vključuje na primer znake enakosti trikotnikov. Po teoriji vzporednic so bili zgrajeni tudi drugi razdelki, vključno s trigonometrijo ter načeli analitične in diferencialne geometrije.
Predstavimo (v sodobnem zapisu) več dejstev geometrije Lobačevskega, ki jo razlikujejo od Evklidove geometrije in jih je ugotovil sam Lobačevski.
Skozi točko p, ki ne leži na tej črti R(glej sliko), obstaja neskončno veliko ravnih črt, ki se ne sekajo R in biti v isti ravnini z njim; med njimi sta dva skrajna x, l, ki se imenujejo asimptotično vzporedno(včasih samo vzporedno) ravno R in ostalo - ultraparalelen.
Kotiček θ (\displaystyle \theta ) med pravokotno P.B. od p na R in vsak od asimptotično vzporednih (imenovanih kot vzporednosti), ko se točka odmika p od premice se zmanjša od 90° do 0° (v Poincaréjevem modelu koti v običajnem pomenu sovpadajo s koti v smislu Lobačevskega, zato je to dejstvo vidno neposredno na njem). Vzporedno x na eni strani (in l od nasprotne) se asimptotično približuje A, po drugi strani pa se neskončno oddaljuje od njega (pri modelih je razdalje težko določiti, zato to dejstvo ni neposredno vidno).
Za točko, ki se nahaja na razdalji od dane črte PB = a(glej sliko) je Lobačevski podal formulo za kot vzporednosti P(a) :
θ = Π (a) = 2 arctg e − a q (\displaystyle \theta =\Pi (a)=2\ime operaterja (arctg) ~e^(-(\frac (a)(q))))Tukaj q- neka konstanta, povezana z ukrivljenostjo prostora Lobačevskega. Lahko služi kot absolutna enota za dolžino, podobno kot polmer krogle zaseda poseben položaj v sferični geometriji.
Če imajo ravne črte skupno navpičnico, potem so ultraparalelne, to pomeni, da se od nje neskončno razlikujejo v obe smeri. Na katero koli od njih je mogoče obnoviti pravokotnice, ki ne segajo do druge črte.
V geometriji Lobačevskega ni podobnih, ampak neenakih trikotnikov; Trikotnika sta skladna, če sta njuna kota enaka.
Vsota kotov katerega koli trikotnika je manjša π (\displaystyle \pi ) in je lahko poljubno blizu nič (razlika med 180° in vsoto kotov trikotnika ABC v geometriji Lobačevskega je pozitivna - imenujemo jo defekt tega trikotnika). To je neposredno vidno v Poincaréjevem modelu. Razlika δ = π − (α + β + γ) (\displaystyle \delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma)), Kje α (\displaystyle \alpha ), β (\displaystyle \beta ), γ (\displaystyle \gamma )- koti trikotnika, sorazmerni z njegovo ploščino:
S = q 2 ⋅ δ (\displaystyle S=q^(2)\cdot \delta )Formula kaže, da obstaja največja površina trikotnika in to je končno število: π q 2 (\displaystyle \pi q^(2)).
Črta, ki je enako oddaljena od ravne črte, ni ravna črta, temveč posebna krivulja, imenovana ekvidistanta oz. hipercikel.
Meja krogov neskončno naraščajočega polmera ni ravna črta, temveč posebna krivulja, imenovana mejni krog, ali horocikel.
Meja krogel neskončno naraščajočega polmera ni ravnina, temveč posebna površina - omejevalna krogla ali horosfera; Zanimivo je, da evklidska geometrija drži. To je Lobačevskemu služilo kot osnova za izpeljavo trigonometričnih formul.
Obseg kroga ni sorazmeren s polmerom, ampak raste hitreje. Zlasti v geometriji Lobačevskega število π (\displaystyle \pi ) ni mogoče opredeliti kot razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom.
Manjša kot je površina v prostoru ali na ravnini Lobačevskega, manj se geometrijske relacije na tem območju razlikujejo od relacij evklidske geometrije. Lahko rečemo, da se v infinitezimalnem območju odvija evklidska geometrija. Na primer, manjši ko je trikotnik, manj se razlikuje vsota njegovih kotov π (\displaystyle \pi ); manjši kot je krog, manj se razlikuje razmerje med njegovo dolžino in polmerom 2 π (\displaystyle 2\pi ), itd. Zmanjšanje površine je formalno enakovredno povečanju enote dolžine, zato se z neomejenim povečanjem enote dolžine formule geometrije Lobačevskega spremenijo v formule evklidske geometrije. Evklidska geometrija je v tem smislu "omejni" primer geometrije Lobačevskega.
Polnjenje ravnine in prostora s pravilnimi politopi
Ravnino Lobačevskega lahko obložite ne le s pravilnimi trikotniki, kvadrati in šesterokotniki, ampak tudi s katerim koli drugim pravilnim poligonom. V tem primeru se mora vsaj 7 trikotnikov, 5 kvadratov, 4 peterokotniki ali šesterokotniki ali 3 mnogokotniki z več kot 6 stranicami zbližati na enem oglišču parketa. To pomeni, da je število različnih teselacij neskončno in z uporabo Schläfli simbola (. ki se zbližajo v eno točko M stvari n-gons) lahko vse teselacije ravnine Lobačevskega zapišemo takole:
- (3, 7), (3, 8), …, torej (3, M), Kje M≥7;
- (4, 5), (4, 6), …, torej (4, M), Kje M≥5;
- (5, 4), (5, 5), …, torej (5, M), Kje M≥4;
- (6, 4), (6, 5), …, torej (6, M), Kje M≥4;
- (N, M), kjer n≥7, M≥3.
Vsaka teselacija ( N , M ) (\displaystyle \levo\(N,M\desno\)) zahteva strogo določeno velikost enote n-gon, zlasti njegova površina mora biti enaka:
S ( N ; M ) = q 2 π (N − 2 − 2 N M) (\displaystyle S_(\levo\(N;M\desno\))=q^(2)\pi \left(N-2- 2(\frac (N)(M))\desno))Za razliko od navadnega prostora (tridimenzionalni evklidski prostor), ki ga je mogoče zapolniti s pravilnimi poliedri le na en način (8 kock na vrhu ali štiri na robu (4,3,4)), lahko tridimenzionalni prostor Lobačevskega popločan s pravilnimi poliedri, tako kot na ravnini, na neskončno veliko načinov. Uporaba simbola Schläfli ( N , M , P ) (\displaystyle \levo\(N,M,P\desno\))(konvergira v eno točko M stvari n-gonov in vsak rob konvergira p poliedri) lahko vse ploščice zapišemo na naslednji način: [ ]
- (3,3,6), (3,3,7), ..., torej (3,3, p), Kje p≥6;
- (4,3,5), (4,3,6), ..., torej (4,3, p), Kje p≥5;
- (3,4,4), (3,4,5), ..., torej (3,4, p), Kje p≥4;
- (5,3,4), (5,3,5), …. To je (5.3, p), Kje p≥4;
- (3,5,3), (3,5,4), ..., torej (3,5, p), Kje p≥3.
Poliedri takšnih razdelkov imajo lahko neskončno prostornino, z izjemo končnega števila razdelitev prostora na pravilne poliedre s končno prostornino:
- (3,5,3) (trije ikozaedri na rob)
- (4,3,5) (pet kock na rob)
- (5,3,4) (štirje dodekaedri na rob)
- (5,3,5) (pet dodekaedrov na rob)
Poleg tega obstaja 11 načinov zapolnitve prostora Lobačevskega s pravilnimi mozaičnimi horosferami ((3,4,4), (3,3,6), (4,3,6), (5,3,6), (4 ,4, 3), (6,3,3), (6,3,4), (6,3,5), (6,3,6), (4,4,4), (3,6) ,3) ). [ ]
Aplikacije
x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (\displaystyle x^(2)+y^(2)+z^(2)=c^(2)t^(2)) ko je deljeno z t 2 (\displaystyle t^(2)), torej za svetlobno hitrost, daje v x 2 + v y 2 + v z 2 = c 2 (\displaystyle v_(x)^(2)+v_(y)^(2)+v_(z)^(2)=c^(2))- enačba krogle v prostoru s koordinatami v x (\displaystyle v_(x)), v y (\displaystyle v_(y)), v z (\displaystyle v_(z))- komponente hitrosti vzdolž osi X, pri, z(v "hitrostnem prostoru").
letalo Lobačevskega
Geometrija Lobačevskega (hiperbolična geometrija poslušaj)) je ena od neevklidskih geometrij, geometrijska teorija, ki temelji na istih osnovnih premisah kot običajna evklidska geometrija, razen vzporednega aksioma, ki ga nadomesti vzporedni aksiom Lobačevskega.
Evklidski aksiom o vzporednicah pravi:
skozi točko, ki ne leži na dani premici, poteka le ena premica, ki leži z dano premico v isti ravnini in je ne seka.
V geometriji Lobačevskega je namesto tega sprejet naslednji aksiom:
skozi točko, ki ne leži na dani premici, potekata vsaj dve premici, ki ležita v isti ravnini z dano premico in je ne sekata.
Geometrija Lobačevskega ima široko uporabo v matematiki in fiziki. Njegov zgodovinski pomen je v tem, da je Lobačevski z njegovo konstrukcijo pokazal možnost geometrije, drugačne od evklidske, kar je pomenilo novo obdobje v razvoju geometrije in matematike nasploh.
Zgodba
Poskusi dokazovanja petega postulata
Izhodišče geometrije Lobačevskega je bil Evklidov V postulat – aksiom, enak vzporednemu aksiomu. Vključen je bil na seznam postulatov v Evklidovih Elementih). Relativna zapletenost in neintuitivnost njegove formulacije je povzročila občutek njegove sekundarne narave in spodbudila poskuse, da bi ga izpeljali iz preostalih Evklidovih postulatov.
Med tistimi, ki so poskušali dokazati, so bili naslednji znanstveniki:
- starogrški matematiki Ptolemaj (II. stoletje), Proklo (V. stoletje) (na podlagi predpostavke o končnosti razdalje med dvema vzporednikoma),
- Ibn al-Haytham iz Iraka (pozno - zgodnja stoletja) (temelji na predpostavki, da konec premikajoče se pravokotnice na ravno črto opisuje ravno črto),
- Iranska matematika Omar Khayyam (2. polovica - začetek 12. stoletja) in Nasir ad-Din at-Tusi (13. stoletje) (temelji na predpostavki, da dve konvergentni črti ne moreta, če se nadaljujeta, postati divergentni brez preseka),
- Nemški matematik Clavius (),
- italijanski matematiki
- Cataldi (prvič leta 1603 je objavil delo, ki je v celoti posvečeno vprašanju vzporednic),
- Angleški matematik Wallis (, objavljeno v) (temelji na predpostavki, da za vsako figuro obstaja podobna, a ne enaka figura),
- Francoski matematik Legendre () (temelji na predpostavki, da lahko skozi vsako točko znotraj ostrega kota narišemo ravno črto, ki seka obe strani kota; imel je tudi druge poskuse dokazovanja).
Med temi poskusi je dokaz petega postulata matematike uvedel nekaj novih izjav, ki so se jim zdele bolj očitne.
Izvedeni so bili poskusi uporabe dokaza s protislovjem:
- Italijanski matematik Saccheri () (ko je oblikoval izjavo, ki je v nasprotju s postulatom, je izpeljal številne posledice in, ker je nekatere pomotoma prepoznal kot protislovne, je postulat štel za dokazanega),
- Nemški matematik Lambert (o, objavljeno v) (po opravljeni raziskavi je priznal, da ni mogel zaznati protislovij v sistemu, ki ga je zgradil).
Končno se je začelo pojavljati razumevanje, da je mogoče zgraditi teorijo, ki temelji na nasprotnem postulatu:
- nemška matematika F. Schweickart () in Taurinus () (vendar se nista zavedala, da bi bila takšna teorija logično prav tako harmonična).
Ustvarjanje neevklidske geometrije
Lobačevski je v svojem delu "O principih geometrije" (), svojem prvem objavljenem delu o neevklidski geometriji, jasno izjavil, da postulata V ni mogoče dokazati na podlagi drugih premis evklidske geometrije in da je predpostavka postulata V nasprotju z Evklidovim postulatom omogoča konstruiranje geometrije, ki je prav tako smiselna, kot je evklidska, in brez protislovij.
Istočasno in neodvisno je do podobnih ugotovitev prišel Janos Bolyai, še prej pa Carl Friedrich Gauss. Vendar Bolyaijevo pisanje ni vzbudilo pozornosti in je temo kmalu opustil, Gauss pa se je na splošno vzdržal objavljanja, o njegovih pogledih pa je mogoče soditi le po nekaj pismih in dnevniških zapisih. Na primer, v pismu iz leta 1846 astronomu G. H. Schumacherju je Gauss o delu Lobačevskega govoril takole:
To delo vsebuje temelje geometrije, ki bi se morala zgoditi in bi poleg tega sestavljala strogo konsistentno celoto, če evklidska geometrija ne bi bila resnična ... Lobačevski jo imenuje "imaginarna geometrija"; Vam je znano, da že 54 let (od 1792) delim iste nazore z nekaterim razvojem, ki ga tukaj nočem omenjati; Tako v delu Lobačevskega zase nisem našel ničesar novega. A avtor pri razvoju teme ni šel po poti, po kateri sem hodil sam; izdelal jo je mojstrsko Lobačevski v pravem geometrijskem duhu. Mislim, da sem dolžan, da vas opozorim na to delo, ki vam bo verjetno v naravnost izjemno veselje.
Posledično je Lobačevski deloval kot prvi najbolj briljanten in dosleden propagandist te teorije.
Čeprav se je geometrija Lobačevskega razvila kot špekulativna teorija in jo je sam Lobačevski poimenoval »imaginarna geometrija«, je bil Lobačevski tisti, ki je ni obravnaval kot igro uma, temveč kot možno teorijo prostorskih odnosov. Dokaz o njeni konsistentnosti pa je bil podan pozneje, ko so bile nakazane njene interpretacije in je bilo s tem povsem razrešeno vprašanje njenega pravega pomena, logične konsistentnosti.
Izjava o geometriji Lobačevskega
kot je še težji.
Poincaréjev model
Vsebina geometrije Lobačevskega
Svinčnik vzporednih črt v geometriji Lobačevskega
Lobačevski je zgradil svojo geometrijo, izhajajoč iz osnovnih geometrijskih pojmov in svojega aksioma, ter dokazoval izreke z uporabo geometrijske metode, podobno kot v Evklidovi geometriji. Osnova je bila teorija vzporednih premic, saj se tu začne razlika med geometrijo Lobačevskega in Evklidovo geometrijo. Vsi izreki, ki niso odvisni od vzporednega aksioma, so skupni obema geometrijama in tvorijo tako imenovano absolutno geometrijo, kamor sodijo na primer izreki o enakosti trikotnikov. Po teoriji vzporednic so bili zgrajeni tudi drugi razdelki, vključno s trigonometrijo ter načeli analitične in diferencialne geometrije.
Predstavimo (v sodobnem zapisu) več dejstev geometrije Lobačevskega, ki jo razlikujejo od Evklidove geometrije in jih je ugotovil sam Lobačevski.
Skozi točko p, ki ne leži na tej črti R(glej sliko), obstaja neskončno veliko ravnih črt, ki se ne sekajo R in biti v isti ravnini z njim; med njimi sta dva skrajna x, l, ki se imenujejo vzporedne s premico R v smislu Lobačevskega. V Kleinovih (Poincaréjevih) modelih so upodobljeni kot tetive (krožni loki), ki imajo tetivo (lok) R skupni konec (ki je po definiciji modela izključen, zato te premice nimajo skupnih točk).
Kot med pravokotnico P.B. od p na R in vsak od vzporednih (imenovanih kot vzporednosti), ko se točka odmika p od premice se zmanjša od 90° do 0° (v Poincaréjevem modelu koti v običajnem pomenu sovpadajo s koti v smislu Lobačevskega, zato je to dejstvo vidno neposredno na njem). Vzporedno x na eni strani (in l od nasprotne) se asimptotično približuje A, po drugi strani pa se neskončno oddaljuje od njega (pri modelih je razdalje težko določiti, zato to dejstvo ni neposredno vidno).
Za točko, ki se nahaja na razdalji od dane črte PB = a(glej sliko) je Lobačevski podal formulo za kot vzporednosti P(a) :
Tukaj q- neka konstanta, povezana z ukrivljenostjo prostora Lobačevskega. Lahko služi kot absolutna enota za dolžino, podobno kot polmer krogle zaseda poseben položaj v sferični geometriji.
Če imajo ravne črte skupno navpičnico, potem se od nje neskončno razhajajo v obe smeri. Na katero koli od njih je mogoče obnoviti pravokotnice, ki ne segajo do druge črte.
V geometriji Lobačevskega ni podobnih, ampak neenakih trikotnikov; Trikotnika sta skladna, če sta njuna kota enaka.
Vsota kotov katerega koli trikotnika je manjša od π in je lahko poljubno blizu nič. To je neposredno vidno v Poincaréjevem modelu. Razlika δ = π − (α + β + γ), kjer so α, β, γ koti trikotnika, je sorazmerna z njegovo ploščino:
Formula kaže, da obstaja največja površina trikotnika in to je končno število: π q 2 .
Črta, ki je enako oddaljena od ravne črte, ni ravna črta, temveč posebna krivulja, imenovana ekvidistanta oz. hipercikel.
Meja krogov neskončno naraščajočega polmera ni ravna črta, temveč posebna krivulja, imenovana mejni krog, ali horocikel.
Meja krogel neskončno naraščajočega polmera ni ravnina, temveč posebna površina - omejevalna krogla ali horosfera; Zanimivo je, da evklidska geometrija drži. To je Lobačevskemu služilo kot osnova za izpeljavo trigonometričnih formul.
Obseg kroga ni sorazmeren s polmerom, ampak raste hitreje. Zlasti v geometriji Lobačevskega števila π ni mogoče opredeliti kot razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom.
Manjša kot je površina v prostoru ali na ravnini Lobačevskega, manj se geometrijske relacije na tem območju razlikujejo od relacij evklidske geometrije. Lahko rečemo, da se v infinitezimalnem območju odvija evklidska geometrija. Na primer, manjši kot je trikotnik, manj se vsota njegovih kotov razlikuje od π; manjši kot je krog, manj se razmerje med njegovo dolžino in polmerom razlikuje od 2π itd. Zmanjšanje površine je formalno enakovredno povečanju dolžinske enote, zato se z neomejenim povečanjem dolžinske enote formule geometrije Lobačevskega obračajo v formule evklidske geometrije. Evklidska geometrija je v tem smislu "omejni" primer geometrije Lobačevskega.
Aplikacije
- Lobačevski je sam uporabil svojo geometrijo za izračun določenih integralov.
- V teoriji funkcij kompleksne spremenljivke je geometrija Lobačevskega pomagala zgraditi teorijo avtomorfnih funkcij. Povezava z geometrijo Lobačevskega je bila tukaj izhodišče raziskav Poincaréja, ki je zapisal, da je »neevklidska geometrija ključ do rešitve celotnega problema«.
- Geometrija Lobačevskega se uporablja tudi v teoriji števil, v njenih geometrijskih metodah, združenih pod imenom "geometrija števil".
- Vzpostavljena je bila tesna povezava med geometrijo Lobačevskega in kinematiko posebne (partikularne) teorije relativnosti. Ta povezava temelji na dejstvu, da enakost izraža zakon širjenja svetlobe
- enačba krogle v prostoru s koordinatami v x
, v l
, v z- komponente hitrosti vzdolž osi X, pri, z(v "hitrostnem prostoru"). Lorentzove transformacije ohranjajo to sfero in, ker so linearne, transformirajo prostore direktnih hitrosti v ravne črte. Zato po Kleinovem modelu v prostoru hitrosti znotraj krogle polmera z, to je za hitrosti, manjše od svetlobne, velja geometrija Lobačevskega. - Geometrija Lobačevskega je našla izjemno uporabo v splošni teoriji relativnosti. Če menimo, da je porazdelitev mase snovi v vesolju enakomerna (ta približek je sprejemljiv v kozmičnem merilu), potem se izkaže, da ima prostor pod določenimi pogoji geometrijo Lobačevskega. Tako je bila domneva Lobačevskega o njegovi geometriji kot možni teoriji realnega prostora upravičena.
- Z uporabo Kleinovega modela je podan zelo preprost in kratek dokaz
