POTENCNE VRSTE Abelov izrek. Interval in polmer konvergence potenčne vrste Enakomerna konvergenca potenčne vrste in zveznost njene vsote Integracija potenčne vrste Diferenciacija potenčne vrste Taylorjev niz Pogoji za razgradljivost funkcije v Taylorjev niz elementarnih funkcij Tabela razteg v potenci vrsta (Maclaurinova serija) osnovnih elementarnih funkcij.
Abelov izrek. Interval in polmer konvergence potenčne vrste Potenčna vrsta je funkcionalna vrsta oblike (o ali tipa (2), kjer so koeficienti konstante. Niz (2) s formalno zamenjavo x - x<> na x zmanjša na serijo (1). Potenčna vrsta (1) vedno konvergira v točki x = 0, vrsta (2) pa v točki x0, njuna vsota v teh točkah pa je enaka ω. Primer. Vrstice so položene. Ugotovimo obliko konvergenčnega območja potenčne vrste. Izrek 1 (Abel). Če potenčna vrsta konvergira pri, potem konvergira absolutno za vse x, tako da če potenčna vrsta divergira pri x = xi, potem divergira pri katerem koli x, za katerega Naj stopenjska vrsta KONVERGIRA pri. številska vrsta konvergira POTENCNE VRSTE Abelov izrek. Interval in polmer konvergence potenčne vrste Enakomerna konvergenca potenčne vrste in zveznost njene vsote Integracija potenčne vrste Diferenciacija potenčne vrste Taylorjev niz Pogoji za razgradljivost funkcije v Taylorjev niz elementarnih funkcij Tabela razteg v potenci vrsta (Maclaurinova serija) osnovnih elementarnih funkcij. Iz tega sledi, da a pomeni, da obstaja število, tako da je M za vse n. Razmislite o vrsti kjer in ocenite njen skupni člen. Imamo whered= . Toda vrsta je sestavljena iz členov geometrijske progresije z imenovalcem q, kar pomeni, da konvergira. Na podlagi primerjalnega kriterija 2. vrstica |с„:гп| konvergira v kateri koli točki x, za katero. Posledično je potenčna vrsta absolutno konvergentna ZA. Naj bodo zdaj potenčne vrste točke O), ki ločujejo intervale divergence od intervala konvergence. Velja naslednji izrek. Izrek 2. Naj potenčna vrsta konvergira v točki x Φ 0. Potem ali ta vrsta konvergira absolutno v vsaki točki na številski premici ali pa obstaja število R > O, tako da vrsta absolutno konvergira in divergira v Diverge. Abs. konvergira divergira d Sl. 1 Opredelitev. Interval konvergence potenčne vrste je interval (-R, R), kjer je R > 0, tako da v vsaki točki x € (-R, R) vrsta konvergira absolutno, v točkah x pa tako, da |i| > R, serija se razhaja. Število R imenujemo polmer konvergence potenčne vrste. Komentiraj. Kar zadeva konce konvergenčnega intervala (-R, R), so možni naslednji trije primeri: i) potenčna vrsta konvergira v točki x = -R in v točki x = R, 2) potenčna vrsta divergira na obeh točkah, 3) potenčna vrsta konvergira na enem koncu konvergenčnega intervala in divergira na drugem. Komentiraj. Potenčna vrsta, pri kateri ima hof 0 enak polmer konvergence kot serija, upoštevajte vrsto, sestavljeno iz absolutnih vrednosti členov te vrste, z uporabo D'Alembertovega testa za to vrsto. ugotovimo. Iz tega sledi, da bo vrsta (4) konvergirala, če in divergirala, če. Potenčna vrsta konvergira absolutno za vse x, tako da divergira pri. Z določitvijo polmera konvergence ugotovimo, da je radij konvergence potenčne vrste mogoče najti tudi z uporabo formule, če obstaja končna meja, ki jo je mogoče enostavno dobiti z uporabo Cauchyjevega kriterija. Če potenčna vrsta konvergira samo v točki x = 0, pravimo, da je njen polmer konvergence R = 0 (to je mogoče na primer, ko je lim L^D = oo ali Če potenčna vrsta konvergira v vseh točkah realna os, potem predpostavimo, da je R = + oo (to se zgodi na primer, ko je lim n^p = 0 ali Konvergenčno območje potenčne vrste je lahko interval ( ali segment [ ali eden od pol -intervali (x0 - R, x0 + D) ali [. Če je R = + oo, bo območje konvergence serije celotna numerična os, tj. interval (-oo, +oo). poiščite območje konvergence potenčne vrste, morate najprej izračunati njen polmer konvergence R (na primer z eno od zgornjih formul) in s tem poiskati interval konvergence točke O), ki ločuje intervale divergenca od intervala konvergence.Naslednji izrek konvergira v točki x 0. Takrat ali obstaja število R > tako da niz absolutno konvergira in divergira pri |. Abs. konvergira razhaja Definicija. Interval konvergence potenčne vrste je interval (-R, R), kjer je R > 0, tako da v vsaki točki x € (-R, R) vrsta konvergira absolutno, v točkah x pa tako, da |i| > R, serija se razhaja. Število R imenujemo polmer konvergence potenčne vrste. Komentiraj. Kar zadeva konce konvergenčnega intervala (-R, R), so možni naslednji trije primeri: i) potenčna vrsta konvergira v točki x = -R in v točki x = R, 2) potenčna vrsta divergira na obeh točkah, 3) potenčna vrsta konvergira na enem koncu konvergenčnega intervala in divergira na drugem. Komentiraj. Potenčna vrsta, pri kateri ima hof 0 enak polmer konvergence kot serija, upoštevajte vrsto, sestavljeno iz absolutnih vrednosti členov te vrste, z uporabo D'Alembertovega testa za to vrsto. iz tega sledi, da vrsta (4) konvergira, če \, in divergira, če, to pomeni, da potenčna vrsta konvergira absolutno za vse x, tako da divergira za \. Z definiranjem polmera konvergence dobimo, da je R = £, t.j. POTENCNE VRSTE Abelov izrek. Interval in polmer konvergence potenčne vrste Enakomerna konvergenca potenčne vrste in zveznost njene vsote Integracija potenčne vrste Diferenciacija potenčne vrste Taylorjev niz Pogoji za razgradljivost funkcije v Taylorjev niz elementarnih funkcij Tabela razteg v potenci vrsta (Maclaurinova serija) osnovnih elementarnih funkcij. Polmer konvergence potenčne vrste je mogoče najti tudi z uporabo formule, če obstaja končna meja, ki jo je mogoče enostavno dobiti s Cauchyjevim testom. Če potenčna vrsta konvergira samo v točki x = 0, potem pravimo, da je njen polmer konvergence R = 0 (to je mogoče npr., ko je lim b^D = oo oz. Če potenčna vrsta konvergira v vseh točkah realne osi, potem predpostavimo, da je R = +oo (to se zgodi na primer, ko je območje konvergence potenčne vrste lahko interval ( ali segment ] ali eden od polintervalov (x0 - R,x0 + D) ali [. Če je R = +oo, bo območje konvergence niza celotna numerična os, tj. interval (-oo, +oo). potenčne vrste, morate najprej izračunati njen polmer konvergence R (na primer z uporabo ene od zgornjih formul) in s tem poiskati interval konvergence, v katerem serija konvergira absolutno, nato pa raziskati konvergenco serije na koncih konvergence. interval - v točkah x = xo - R, x = xq + R. Primer 1. Poiščite območje konvergence potenčne vrste M 1) Če želite najti polmer konvergence R te serije, je priročno uporabiti formulo (3). Nekako bomo imeli Vrsta absolutno konvergira na intervalu 2) Preučimo konvergenco vrste (6) na koncih konvergenčnega intervala. Če postavimo x = -1, dobimo številsko vrsto, katere divergenca je očitna (potreben kriterij za konvergenco ni izpolnjen: . Za x - 1 dobimo številsko vrsto, ki ne obstaja, kar pomeni, da ta vrsta divergira. Torej, območje konvergence serije (6) je interval. Primer 2. Poiščite območje konvergence serije M 1) Polmer konvergence najdemo s formulo (3). Serija (7) absolutno konvergira na intervalu, od koder Ko dobimo numerično vrsto, ki divergira (harmonična vrsta). Pri x = 0 bomo imeli številsko vrsto, ki je pogojno konvergentna. Tako serija (7) konvergira v območju. Primer 3. Poiščite interval konvergence serije Ker je = , potem za iskanje polmera konvergence uporabimo formulo. To pomeni, da ta serija konvergira za vse vrednosti x, tj. območje konvergence je interval Primer 4. Poiščite interval konvergence niza, potem dobimo Enakost R = 0 pomeni, da niz (8) konvergira le v točki. To pomeni, da je območje konvergence tega potenčnega niza sestavljeno iz ene točke §2. Enakomerna konvergenca potenčne vrste in zveznost njene vsote Izrek 1. Potenčna vrsta konvergira absolutno in enakomerno na katerem koli segmentu, ki ga vsebuje interval konvergence vrste Let. Potem za vse w, ki izpolnjujejo pogoj, in za vsak n =. bo imel. Ker pa številska vrsta konvergira, potem po Weierstrassovem kriteriju ta potenčna vrsta konvergira absolutno in enakomerno na segmentu. Izrek 2. Vsota potenčne vrste je zvezna v vsaki točki x njenega konvergenčnega intervala (4) Vsako točko x iz konvergenčnega intervala (-D, R) lahko zapremo v določen segment, na katerem dana vrsta enakomerno konvergira. Ker so členi niza zvezni, bo njegova vsota S(x) zvezna na intervalu [-a, a] in torej v točki x. Integracija potenčnih vrst. Izrek 3 (o integraciji po členih potenčne vrste) Potenčno vrsto lahko integriramo člen za členom v njegovem konvergenčnem intervalu (-R, R ), R > O, in polmer konvergence vrste, dobljen s členom za členom integracija je enaka tudi R. Zlasti za vsak x iz intervala (-R, R) velja naslednja formula: Vsako točko x iz konvergenčnega intervala (-D, R) lahko zapremo v nek segment [-a, a], kjer bo ta vrsta enakomerno konvergirala, in ker so členi serije zvezni, jo je mogoče integrirati člen za članom, na primer v območju od 0 do x poglavja XVIII, Poiščimo polmer konvergence R" dobljene vrste POTENCNE VRSTE Abelov izrek. Interval in polmer konvergence potenčne vrste Enakomerna konvergenca potenčne vrste in zveznost njene vsote Integracija potenčne vrste Diferenciacija potenčne vrste Taylorjev niz Pogoji za razgradljivost funkcije v Taylorjev niz elementarnih funkcij Tabela razteg v potenci vrsta (Maclaurinova serija) osnovnih elementarnih funkcij. pod dodatnim pogojem obstoja končne meje R. Ime Torej se polmer konvergence potenčne vrste med integracijo ne spreminja. Komentiraj. Trditev izreka ostane veljavna za R = +oo. §4. Diferenciacija potenčnih vrst. Izrek 4 (o člen za členom diferenciacije potenčnih vrst). Potenčno vrsto je mogoče razlikovati po členih v kateri koli točki x njenega konvergenčnega intervala. 4 Naj bo R konvergenčni polmer niza in R" konvergenčni polmer niza. Predpostavimo, da obstaja (končen ali neskončen) Poiščimo polmer B niza, kjer imamo. Tako sta konvergenčna radija niza (1) in (2) enaka. 2) enakomerno konvergirajo na kateremkoli intervalu [-a, a|, kjer so vsi členi niza (2) zvezni in so izpeljanke ustreznih členov niza (1). Poglavje XVIII je enakost izpolnjena na intervalu [-a, a). Zaradi poljubnosti a je zadnja enakost izpolnjena tudi na intervalu ]G) SpXn na intervalu if na tem intervalu označena vrsta konvergira in je njena vsota enaka /(x): Najprej dokažimo, da funkcija /(x) ne more imeti dveh različnih razširitev v potenčni vrsti oblike Izrek 5. Če funkcijo f(x) na intervalu (-R, R) razširimo v potenčno vrsto (1), potem je ta razširitev enolična, tj. koeficienti vrste (1) so enolično določeni iz njene vsote. Naj funkcijo v intervalu razširimo v konvergentno potenčno vrsto. Če n-krat diferenciramo to vrsto, dobimo. Ko je x = 0, dobimo od koder so torej koeficienti potenčne vrste (1) s formulo (2) enolično določeni. Komentiraj. Če funkcijo /(x) razširimo v potenčno vrsto po potencah razlike x-zq, potem so koeficienti c„ te vrste določeni s formulami. Naj ima funkcija / odvode vseh vrst, tj. je neskončno diferencibilna v točki w. Sestavimo formalno potenčno vrsto za to funkcijo z izračunom njenih koeficientov z uporabo formule (3). §5. Opredelitev. Taylorjevo vrsto funkcije /(x) glede na točko x0 imenujemo potenčna vrsta oblike (tukaj. Koeficiente te vrste ... imenujemo Taylorjevi koeficienti funkcije. Za xo = 0 je Taylorjeva vrsta se imenuje Maclaurinova vrsta iz izreka 5. Če je na intervalu funkcija /(x) razširjena v potenčno vrsto, je ta vrsta Taylorjeva vrsta funkcije /(x). Primer 1. Razmislite o funkciji in poiščite njene odvode za z O, ta funkcija ima odvode vseh vrst, ki jih najdemo po običajnih pravilih in na splošno, kjer je Pjn (i) polinom stopnje 3n glede na. do j. Pokažimo zdaj, da ima ta funkcija v točki 2 tudi odvode poljubnega reda in so vsi enaki nič. Na podlagi definicije odvoda imamo (pri izračunu limita smo uporabili Rhopitalovo pravilo) Na podoben način lahko dokažemo, da ima podana funkcija odvode vseh vrst na številski osi. Očitno imamo , je vsota tega niza identično enaka nič, medtem ko sama funkcija f( x) ni identično enaka nič. ^ Ko govorimo o kompleksni analizi (analitičnosti), si velja zapomniti ta primer: funkcija, navzven povsem spodobna, kaže muhast značaj na realni osi, kar je posledica težav na imaginarni osi. Serija, formalno zgrajena v primeru za dano neskončno diferencialno funkcijo, konvergira, vendar njena vsota ne sovpada z vrednostmi te funkcije za x Φ 0. V zvezi s tem se pojavi naravno vprašanje: pod kakšnimi pogoji naj funkcija f( x) zadošča na intervalu (xo - R, xo + R), tako da ga je mogoče razširiti v Taylorjevo vrsto, ki konvergira k njemu? Pogoji za razširitev funkcije v Taylorjevo vrsto Zaradi enostavnosti bomo obravnavali potenčno vrsto oblike m. e. serija Maclaurin. Izrek 7. Da se funkcija f(x) razširi v potenčni niz na intervalu (-R, R), je potrebno in zadostuje, da ima na tem intervalu funkcija f(x) odvode vseh vrst in da je v njegovi Taylorjevi formuli ostanek izraz Rn(x) težil k ničli za vse m Nujnost. Naj bo na intervalu (funkcija f(x) razširjena v potenčno vrsto, tj. vrsta (2) konvergira in je njena vsota enaka f(x). Potem je po izreku 4 in njegovi posledici funkcija f(x) ima na intervalu (-R , R) odvode /(n^(x) vseh vrst. Po izreku 5 (formula (2)) imajo koeficienti serije (2) obliko, tj. lahko zapišemo enakost Zaradi konvergenca tega niza na intervalu (-R, R ) njegov ostanek 0 teži k ničli za vse x. Naj ima funkcija f(r) na intervalu (-R, R) odvode vseh redov in v njeni Taylorjevi formuli ostanek Rn(x) 0 za katerikoli x. Ker je za n -» oo zapisana formula (). 4) pomeni, da Taylorjev niz funkcije f(x) konvergira na intervalu (-Δ , R) in je njegova vsota funkcija f(x). primerni za praktično uporabo, so opisani z naslednjim izrekom 8. Da bi funkcijo f(x) na intervalu (-R, R) bilo mogoče dovolj razširiti v potenčno vrsto, da je imela funkcija f(x) odvode vseh vrst na tem intervalu in da je obstajala konstanta M > O, taka da. Naj ima funkcija f(x) odvode vseh vrst na intervalu (-D, R). Potem lahko zanjo formalno zapišemo Taylorjev niz. Dokažimo, da konvergira k funkciji f(x). Da bi to naredili, je dovolj pokazati, da se preostali člen v Taylorjevi formuli (1) nagiba k ničli kot n oo za vse x € (-Δ, R). Dejansko glede na to). Številska vrsta konvergira na podlagi D'Alembertovega kriterija: na podlagi nujnega kriterija konvergence. Iz neenakosti (3) dobimo! Čeprav je funkcija M, iz § b. Taylorjeve vrste elementarnih funkcij Oglejmo si nize razširitev osnovnih elementarnih funkcij. 6 Ta funkcija ima odvode vseh vrst na intervalu (- poljubno število in zato lahko eksponentno funkcijo ex razširimo v Taylorjev niz na katerem koli intervalu (-a, a) in s tem na celotni osi Ox. Ker , potem dobimo niz Če v razširitvi (1) zamenjamo x z -a*, potem imamo. Ta funkcija ima odvode poljubnega reda, in tako je po izreku 8 funkcija sin x razširjena v Taylorjev niz, ki konvergira k to na intervalu (-oo, +oo). Ker ima ta vrsta naslednjo obliko: Polmer konvergence vrste Podobno dobimo, da - poljubno realno število Ta funkcija zadošča razmerju in pogoju. Iskali bomo potenčno vrsto, katere vsota 5(x) zadošča razmerje (4) in pogoj 5(0) = 1. Postavimo Od tod najdemo. Zamenjavo razmerij (5) in (6) v formulo (4) bomo imeli. Izenačenje koeficientov za iste potence x na levi in desni strani enakosti, dobimo od koder najdemo POTENCNE VRSTE Abelov izrek. Interval in polmer konvergence potenčne vrste Enakomerna konvergenca potenčne vrste in zveznost njene vsote Integracija potenčne vrste Diferenciacija potenčne vrste Taylorjev niz Pogoji za razgradljivost funkcije v Taylorjev niz elementarnih funkcij Tabela razteg v potenci vrsta (Maclaurinova serija) osnovnih elementarnih funkcij. Če nadomestimo te vrednosti koeficientov v razmerje (5), dobimo serijo konvergence serije (7) v primeru, ko a ni naravno število. Imamo Torej, serija (7) konvergira pri. e. na intervalu. Dokažimo, da je vsota 5(g) serije (7) na intervalu (-1,1) enaka (1 + g)°. Če želite to narediti, razmislite o razmerju. Ker 5(x) ustreza razmerju (potem za odvod funkcije φ(x) dobimo: za. Iz tega sledi, da. Zlasti za x = 0 imamo in zato, ali The Nastala serija se imenuje binom, njeni koeficienti pa binomski koeficienti. Opomba: Če je a naravno število (o = z), bo funkcija (1 + z)a polinom n-te stopnje in Dn(x) =. 0 za vse n > a. Za a = -1 bomo imeli z zamenjavo x z -x, dobimo razširitev te funkcije v potenco x; ) v mejah enakosti (11) velja v intervalu x x -x, dobimo vrsto. Možno je dokazati, da enakost (11) velja tudi za x = 1: Tabela razširitev v potenčno vrsto (. Maclaurinove vrste) glavnih elementarnih funkcij lahko dobimo razširitve v potenčne vrste zapletenejših funkcij. Primer 1. Razširite funkcijo 4 v potenčne vrste točka xq = 2, torej v potencah razlike z -2. Transformirajmo to funkcijo tako, da bomo lahko uporabili vrsto (10) za funkcijo, ki jo imamo. Zamenjava x v formuli (10) s ^. dobimo I I. Ta razširitev je veljavna, ko je izpolnjena katera koli enakovredna neenakost. Primer 2. Razširite funkcijo na potence x z uporabo formule (10). 4 Če imenovalec razširimo na faktorje, to racionalno funkcijo predstavimo kot razliko dveh preprostih ulomkov. Po enostavnih transformacijah dobimo 1 Na vsak člen na desni strani enačbe (13) uporabimo formulo (10), s katero dobimo potenčne vrste: Vrsta (14) konvergira za \ in vrsta (15) konvergira za 2 . Oba niza (14) in (15) bosta istočasno konvergirala za \. Ker vrsti (14) in (15) konvergirata v intervalu (-1,1), ju lahko odštevamo člen za členom. Kot rezultat dobimo želeno potenčno vrsto, katere polmer konvergence je enak R = 1. Ta vrsta absolutno konvergira za primer 3. Razširimo funkcijo arcsin x v Taylorjevo vrsto v okolici točke xo = 0. 4 Znano je, da Uporabi za funkcijo (formulo (8) in zamenjaj x v njej z -x2. Posledično za dobimo Integracija obeh strani zadnje enakosti od nič do x (integracija po členih je zakonita , ker potenčna vrsta enakomerno konvergira na poljubnem segmentu s končnimi točkami v točkah 0 in x, ki ležijo v intervalu (-1,1)), ugotovimo ali Tako končno dobimo, da lahko za izračun uporabimo Razširitev v potenčne vrste integrali, ki jih ni mogoče izraziti v končni obliki z elementarnimi funkcijami Primer 4. Izračunaj integral (sinus integrala), Vemo, da se protiodvod za funkcijo ^ ne izrazi z elementarnimi funkcijami vrsto, pri čemer izkoristimo dejstvo, da Iz enakosti (16) ugotovimo, da velja delitev vrste (16) s t za t φ O Enakost (17) velja tudi, če predpostavimo, da je za t = O razmerje - = 1. Tako serija (17) konvergira za vse vrednosti. Če jo integriramo člen za členom, dobimo. Primer 5. Izračunajte integral Tukaj tudi antiodvod za integrand e ni elementarna funkcija. Za izračun integrala zamenjamo s formulo. Dobimo. Integriramo obe strani te enakosti v območju od 0 do x: Ta vrsta konvergira za kateri koli r (njen polmer konvergence R = +oo) in ima izmenično predznak za vaje. Poiščite območje konvergence potenčnih vrst: Naslednje funkcije razširite v vrsto Macloreia in označite območja konvergence dobljene vrste: Navodilo. Uporabite tabelo. S pomočjo tabele razširi dane funkcije v Taylorjevo vrsto po potencah x - x0 in navedi intervale konvergence dobljene vrste.
Upoštevajte funkcionalni niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+u_(3) (x ) +...$, katerega člani so funkcije ene neodvisne spremenljivke x. Vsota prvih n členov niza $S_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+...+u_(n) (x)$ je delni vsoto te funkcionalne serije. Splošni izraz $u_(n) (x)$ je funkcija x, definirana v neki domeni. Oglejmo si funkcionalno vrsto v točki $x=x_(0) $. Če ustrezen številski niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x_(0))$ konvergira, tj. obstaja omejitev delnih vsot tega niza$\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x_(0))=S(x_(0))$(kjer je $S( x_(0) )
Definicija 2
Območje konvergence funkcionalnega niza $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ je množica vseh vrednosti x, za katere funkcionalni niz konvergira. Konvergenčno območje, sestavljeno iz vseh konvergenčnih točk, je označeno z $D(x)$. Upoštevajte, da $D(x)\subset $R.
Funkcijska vrsta konvergira v domeni $D(x)$, če za katerikoli $x\in D(x)$ konvergira kot številska vrsta in je njena vsota neka funkcija $S(x)$. To je tako imenovana limitna funkcija zaporedja $\left\(S()_(n) (x)\right\)$: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_( n) (x) =S(x)$.
Kako najti območje konvergence funkcionalnega niza $D(x)$? Uporabite lahko znak, podoben d'Alembertovemu znaku. Za niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ sestavimo $u_(n+1) (x)$ in upoštevamo limit za fiksni x: $ \mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right|=\left|l(x )\desno|. Potem je $D(x)$ rešitev neenačbe $\left|l(x)\right|
Primer 1
Poiščite območje konvergence serije $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $.
rešitev. Označimo $u_(n) (x)=\frac(x^(n) )(n) $, $u_(n+1) (x)=\frac(x^(n+1) )(n +1 ) $. Sestavimo in izračunajmo limit $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right| =\ mathop(\lim )\limits_(n\to \infty) \left|\frac(x^(n+1) \cdot n)(x^(n) \cdot (n+1)) \desno| =\ levo|x\desno|$, potem je območje konvergence vrste določeno z neenakostjo $\left|x\right|
če $x=1$, $u_(n) (1)=\frac(1)(n) $, potem dobimo divergentno vrsto $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac (1)(n)\, $;
če je $x=-1$, $u_(n) (-1)=\frac((-1)^(n) )(n) $, potem niz $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\frac((-1)^(n) )(n) \, \, $ pogojno konvergira (z uporabo Leibnizovega kriterija).
Tako ima območje konvergence $D(x)$ serije $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $ oblika:$- 1\le x
Lastnosti potenčnih vrst
Razmislite o potenčnem nizu $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $, katerega konvergenčni interval je $(-R;\, R)$, potem je vsota potenčna vrsta $ S(x)$ je definirana za vse $x\in (-R;R)$ in lahko zapišemo enakost $S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^ (n)$.
Lastnost 1. Potenčna vrsta $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $ absolutno konvergira v katerem koli intervalu $\, \, \subset \, (-R;R)$ , ki leži v konvergenčnem intervalu, in je vsota potenčne vrste $S(x)$ zvezna funkcija za vse $x\in $.
Lastnost 2. Če je segment $\, \, \podmnožica \, (-R;R)$, potem lahko potenčne vrste integriramo po členih od a do b, tj. če
$S(x)=\sum \meje _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) =a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2 ) +...$, torej
$\int \limits _(a)^(b)S(x)\, (\rm d)x =\sum \limits _(n=0)^(\infty )\int \limits _(a)^ (b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x=\int \meje _(a)^(b)a_(0) (\rm d)x +\int \meje _( a)^(b)a_(1) x\, (\rm d)x +...+\int \meje _(a)^(b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x +...$.
V tem primeru se polmer konvergence ne spremeni:
kjer so $a"_(n) =\frac(a_(n) )(n+1) $ koeficienti integrirane serije.
Nepremičnina 3. Vsota potenčne vrste je funkcija, ki ima v konvergenčnem intervalu odvode poljubnega reda. Izpeljanke vsote potenčne vrste bodo vsote vrst, dobljene iz dane potenčne vrste z diferenciacijo po členih ustrezno število krat, konvergenčni radiji takšnih vrst pa bodo enaki kot pri originalna serija.
Če je $S(x)=a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2) +...+a_(n) x^(n) +...=\vsota \meje _(n=0)^(\infty )\, a_(n) \cdot x^(n) $,potem $S"(x)=a_(1) +2a_(2) x+...+na_( n) x^(n-1) +...=\vsota \meje _(n=1)^(\infty )\, n\cdot a_(n) \cdot x^(n-1) $,$ S""(x)=2a_(2) +6a_(3) x+...+n(n-1)a_(n) x^(n-2) +...=\vsota \meje _(n =2)^(\infty )\, n\cdot (n-1)\cdot a_(n) \cdot x^(n-2) $, ... itd.
Primeri
Serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )n!\; x^(n) $ konvergira samo v točki $x=0$; niz se razhaja v vseh ostalih točkah. $V:\levo\(0\desno\).$
Niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(x^(n) )(n $ сходится во всех точках оси, $V=R$.!}
Niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) x^(n) )(n) $ konvergira v območju $V=(-1, \, 1]$.
Niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n+\cos x) $ divergira na vseh točkah osi $V=$$\emptyset$.
Opredelitev. Funkcionalna serija oblike
Kje 
... so realna števila, imenovana potenčne vrste.
Območje absolutne konvergence vrste je interval 
, kjer je številka R– polmer konvergence.
Naj ima potenčna vrsta polmer konvergence R> 0. Potem veljajo naslednje trditve:
1. Vsota serije je zvezna funkcija od x v celotnem konvergenčnem intervalu.
2. Niz enakomerno konvergira na kateri koli segment, kjer 
.
3. Serijo je mogoče integrirati člen za členom preko katerega koli segmenta, ki leži znotraj intervala.
4. Serijo je mogoče na kateri koli točki razlikovati po členih 
kolikokrat želite.
Opombe:
1. Pri integraciji ali diferenciranju potenčnih vrst po členih dobimo nove potenčne vrste, njihov konvergenčni polmer pa ostane enak.
2. Polmer konvergence potenčne serije je mogoče najti z eno od formul:
, (10)
(11)
pod pogojem, da navedene meje obstajajo, je koeficient serije.
Problem 17.31
Poiščite vsoto serije 
.
rešitev:
Metoda I. Poiščimo interval konvergence vrste:
, , 
.
Poenostavimo racionalni ulomek 
, 
.
Potem lahko serijo predstavi z razliko dveh serij:
Konvergenca vsakega od njih ostaja enaka (to preverite sami). Zato se zgodi enakost. Označimo vsoti vrst z oz., zahtevano vsoto pa z , .
Poiščimo vsoto prve vrstice:
Z diferenciranjem vrste po členih znotraj konvergenčnega intervala dobimo: ; je geometrijsko napredovanje z imenovalcem .
Ko napredovanje konvergira, , , in vsota je: 
; 
. Zdaj z integracijo na segmentu, ki leži znotraj konvergenčnega intervala, dobimo:
.
Poiščimo vsoto druge vrstice:
Naredimo pretvorbo:
Vsoto vrste v oklepaju označimo z in diferenciramo v intervalu:
– tudi to je geometrijsko napredovanje.
, , 
;
.
Torej je vsota izvirne serije:
oz
Za .
II metoda. Brez ponavljanja podrobnosti prve metode, povezane s konvergenčnim intervalom te serije, predlagamo drugo možnost za rešitev problema. Vsoto serije označimo z: 
.
Pomnožite s to serijo: 
. Dvakrat ločimo nastalo serijo:
,
Predstavlja geometrijsko napredovanje z imenovalcem 
, Potem 
. Integrirajmo na segment:
Z integracijo po delih dobimo:
Za 
.
Problem 18.31
Poiščite vsoto serije 
.
rešitev:
Ta vrsta konvergira v intervalu (to preverite sami). Prepišemo ga tako, da ga predstavimo kot vsoto treh nizov:
To je mogoče, ker ima vsaka serija enako območje konvergence - interval. Označimo vsote treh nizov z , , oz., zahtevano vsoto pa z .
kot vsota členov geometrijske progresije z imenovalcem 
Naredimo pretvorbo:
Označimo z vsoto serije .
Z integracijo tega niza člen za členom na segmentu znotraj konvergenčnega intervala dobimo:
Če želite najti, morate razlikovati ulomek:
.
torej 
.
Zdaj pa poiščimo:
Dajmo iz oklepaja:
Označimo z vsoto serije v oklepaju. Potem
V teh oklepajih je vrsta, katere vsota je najdena: 
. Dobimo: 
.
Ampak 
, 
. Nato vsota prvotne serije
Torej, 
Za 
.
Serija Taylor
Opredelitev. Vrsti 
se imenuje Taylorjeva potenčna vrsta za funkcijo.
Funkcijo je mogoče razširiti v Taylorjevo vrsto, če ima v obravnavani točki odvode vseh vrst in če se preostali člen v točki nagiba k ničli. Taylorjevo serijo včasih imenujemo Maclaurinova serija.
Izrek
Če je funkcija razširjena v potenčno vrsto, potem je zanjo ta vrsta edinstvena in je Taylorjeva vrsta.
Opomba. Z iskanjem zaporednih derivatov funkcije in njihovih vrednosti v točki lahko napišemo Taylorjevo serijo. Toda preučevanje preostalega izraza predstavlja velike težave. Zato gredo pogosto v drugo smer: uporabljajo že pripravljene razširitve osnovnih elementarnih funkcij v potenčne vrste v kombinaciji s pravili seštevanja, odštevanja, množenja vrst in izreki o njihovi integraciji in diferenciaciji, kot je bilo prikazano npr. v nalogah 17.31 in 18.31.
Problem 19.31
Razširite funkcijo 
v seriji Taylor v močeh.
rešitev:
X 0 = 0. Uporabimo opombo. Ker
potem je funkcija poenostavljena, če uporabimo metodo nedoločenih koeficientov:
.
Vsota členov geometrijske progresije z imenovalcem je enaka: 
. V našem primeru 
. – polmer konvergence te vrste. Izraz
Če seštejemo vrstice, dobimo: oz 
, kjer je splošno območje konvergence. v celoti leži v območju konvergence vrste.
Če želite izračunati ta integral z natančnostjo 0,001, morate vzeti dva njegova člena v dobljeni seriji (0,0005<0,001) (см. задачу 9.31).
torej
Vprašanja za samotestiranje
Serije številk
1. Podajte definicije konvergentnih in divergentnih vrst.
2. Formulirajte potrebno merilo za konvergenco vrste.
3. Oblikujte zadostne znake konvergence vrst s pozitivnimi členi: primerjava vrst s pozitivnimi členi; d'Alembertov znak; radikalni Cauchyjev test, integralni Cauchyjev test.
4. Podajte definicijo absolutno konvergentne vrste. Navedite lastnosti absolutno konvergentnih vrst.
5. Oblikujte Leibnizovo merilo.
Funkcionalna serija
6. Določite območje konvergence funkcionalne vrste.
7. Katero vrsto imenujemo enakomerno konvergentna?
8. Oblikujte Weierstrassov test.
9. Pogoji za razgradljivost funkcije v Taylorjevo vrsto.
10. Formulirajte izreke o integraciji in diferenciaciji potenčnih vrst.
11. Razložite metodo približnega izračuna določenih integralov s pomočjo nizov.
1. Kudrjavcev L.D. Kratek tečaj matematične analize. – M.: Nauka, 1989. – 736 str.
2. Bugrov Y.S. Diferencialni in integralni račun / Ya.S. Bugrov, S.M. Nikolski. – M.: Nauka, 1984. – 432 str.
3. Shmelev P.A. Teorija nizov v problemih in vajah. – M.: Višja šola, 1983. – 176 str.
4. Piskunov N.S. Diferencialni in integralni račun za fakultete. T. 2. – M.: Nauka, 1985. – 576 str.
5. Fikhtengolts G.M. Tečaj diferencialni in integralni račun. T. 2. – M.: Fizmatgiz, 1962. – 808 str.
6. Zaporozhets G.I. Priročnik za reševanje problemov matematične analize. – M.: Višja šola, 1966. – 460 str.
7. Kuznecov L.A. Zbirka nalog iz višje matematike (TR). – M.: Višja šola, 1983. – 174 str.
8. Danko P.E. Višja matematika v vajah in nalogah. 2. del /P.E. Danko, A.G. Popov, T.Y. Koževnikova. – M.: Višja šola, 1986. – 415 str.
9. Bronshtein I.N. Priročnik za matematiko za inženirje in študente / I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev. – M.: Nauka, 1986. – 544 str.
Izobraževalna izdaja
Borodin Nikolaj Pavlovič
mlinski kamen Varvara Viktorovna
Šumetova Ljudmila Viktorovna
Šorkin Vladimir Sergejevič
UČINKI
Izobraževalni in metodološki priročnik
Urednik T.D. Vasiljeva
Tehnični urednik T.P. Prokudina
Orjolska državna tehnična univerza
Licenca ID št. 00670 z dne 01.05.2000
Podpisano v tisk 26. avgusta 2004. Format 60 x 84 1/16.
Offset tisk. Akademska ur. l. 1.9. Pogojno pečica l. 2.4. Naklada 500 izvodov.
Številka naročila.____
Tiskano po končani originalni postavitvi
na tiskarski bazi Državne tehnične univerze Orel,
302030, Orel, ul. Moskovskaja, 65.
Upoštevajte funkcionalni niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+u_(3) (x ) +...$, katerega člani so funkcije ene neodvisne spremenljivke x. Vsota prvih n členov niza $S_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+...+u_(n) (x)$ je delni vsoto te funkcionalne serije. Splošni izraz $u_(n) (x)$ je funkcija x, definirana v neki domeni. Oglejmo si funkcionalno vrsto v točki $x=x_(0) $. Če ustrezen številski niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x_(0))$ konvergira, tj. obstaja omejitev delnih vsot tega niza$\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x_(0))=S(x_(0))$(kjer je $S( x_(0) )
Definicija 2
Območje konvergence funkcionalnega niza $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ je množica vseh vrednosti x, za katere funkcionalni niz konvergira. Konvergenčno območje, sestavljeno iz vseh konvergenčnih točk, je označeno z $D(x)$. Upoštevajte, da $D(x)\subset $R.
Funkcijska vrsta konvergira v domeni $D(x)$, če za katerikoli $x\in D(x)$ konvergira kot številska vrsta in je njena vsota neka funkcija $S(x)$. To je tako imenovana limitna funkcija zaporedja $\left\(S()_(n) (x)\right\)$: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_( n) (x) =S(x)$.
Kako najti območje konvergence funkcionalnega niza $D(x)$? Uporabite lahko znak, podoben d'Alembertovemu znaku. Za niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ sestavimo $u_(n+1) (x)$ in upoštevamo limit za fiksni x: $ \mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right|=\left|l(x )\desno|. Potem je $D(x)$ rešitev neenačbe $\left|l(x)\right|
Primer 1
Poiščite območje konvergence serije $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $.
rešitev. Označimo $u_(n) (x)=\frac(x^(n) )(n) $, $u_(n+1) (x)=\frac(x^(n+1) )(n +1 ) $. Sestavimo in izračunajmo limit $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right| =\ mathop(\lim )\limits_(n\to \infty) \left|\frac(x^(n+1) \cdot n)(x^(n) \cdot (n+1)) \desno| =\ levo|x\desno|$, potem je območje konvergence vrste določeno z neenakostjo $\left|x\right|
če $x=1$, $u_(n) (1)=\frac(1)(n) $, potem dobimo divergentno vrsto $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac (1)(n)\, $;
če je $x=-1$, $u_(n) (-1)=\frac((-1)^(n) )(n) $, potem niz $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\frac((-1)^(n) )(n) \, \, $ pogojno konvergira (z uporabo Leibnizovega kriterija).
Tako ima območje konvergence $D(x)$ serije $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $ oblika:$- 1\le x
Lastnosti potenčnih vrst
Razmislite o potenčnem nizu $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $, katerega konvergenčni interval je $(-R;\, R)$, potem je vsota potenčna vrsta $ S(x)$ je definirana za vse $x\in (-R;R)$ in lahko zapišemo enakost $S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^ (n)$.
Lastnost 1. Potenčna vrsta $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $ absolutno konvergira v katerem koli intervalu $\, \, \subset \, (-R;R)$ , ki leži v konvergenčnem intervalu, in je vsota potenčne vrste $S(x)$ zvezna funkcija za vse $x\in $.
Lastnost 2. Če je segment $\, \, \podmnožica \, (-R;R)$, potem lahko potenčne vrste integriramo po členih od a do b, tj. če
$S(x)=\sum \meje _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) =a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2 ) +...$, torej
$\int \limits _(a)^(b)S(x)\, (\rm d)x =\sum \limits _(n=0)^(\infty )\int \limits _(a)^ (b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x=\int \meje _(a)^(b)a_(0) (\rm d)x +\int \meje _( a)^(b)a_(1) x\, (\rm d)x +...+\int \meje _(a)^(b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x +...$.
V tem primeru se polmer konvergence ne spremeni:
kjer so $a"_(n) =\frac(a_(n) )(n+1) $ koeficienti integrirane serije.
Nepremičnina 3. Vsota potenčne vrste je funkcija, ki ima v konvergenčnem intervalu odvode poljubnega reda. Izpeljanke vsote potenčne vrste bodo vsote vrst, dobljene iz dane potenčne vrste z diferenciacijo po členih ustrezno število krat, konvergenčni radiji takšnih vrst pa bodo enaki kot pri originalna serija.
Če je $S(x)=a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2) +...+a_(n) x^(n) +...=\vsota \meje _(n=0)^(\infty )\, a_(n) \cdot x^(n) $,potem $S"(x)=a_(1) +2a_(2) x+...+na_( n) x^(n-1) +...=\vsota \meje _(n=1)^(\infty )\, n\cdot a_(n) \cdot x^(n-1) $,$ S""(x)=2a_(2) +6a_(3) x+...+n(n-1)a_(n) x^(n-2) +...=\vsota \meje _(n =2)^(\infty )\, n\cdot (n-1)\cdot a_(n) \cdot x^(n-2) $, ... itd.
Primeri
Serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )n!\; x^(n) $ konvergira samo v točki $x=0$; niz se razhaja v vseh ostalih točkah. $V:\levo\(0\desno\).$
Niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(x^(n) )(n $ сходится во всех точках оси, $V=R$.!}
Niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) x^(n) )(n) $ konvergira v območju $V=(-1, \, 1]$.
Niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n+\cos x) $ divergira na vseh točkah osi $V=$$\emptyset$.
Elementi pomenske strukture
Pomenska struktura stavka.
(to vprašanje je za samostojno študijo!)
Ta vrsta analize povezuje pomensko organizacijo stavka z njegovo formalno organizacijo. Ta smer je predstavila koncept semantične strukture stavka (predvsem N.Yu. Shvedova).
Strukturni diagram ima svojo semantiko, ki jo tvorijo formalni pomeni komponent, pravila njihove leksikalne vsebine in medsebojno razmerje komponent (v neenokomponentnih shemah).
Jezikovni pomen določenega stavka, zgrajenega po enem ali drugem vzorcu, nastane z medsebojnim delovanjem semantike tega vzorca in leksikalne semantike tistih besed, ki so zavzele položaje njegovih sestavin: Študent piše; otrok se razveseli splošne semantike MSS (»razmerje med osebkom in njegovim predikativnim atributom – dejanje ali procesno stanje«), v prvem primeru je pomen »razmerje med subjektom in njegovim specifičnim dejanjem«, v drugem primer - "odnos med subjektom in njegovim čustvenim stanjem" .
Funkcionalni nizi oblike, kjer sta (koeficienti niza) in (središče niza) konstanti, spremenljivka, se imenujejo potenčne vrste. Jasno je, da če se naučimo izračunati območje konvergence potenčne vrste (s središčem), potem lahko zlahka najdemo območje konvergence izvirne vrste. Zato bomo v nadaljevanju, če ni navedeno drugače, obravnavali potenčne vrste obrazca.
Abelov izrek.Če potenčna vrsta konvergira v točki, potem konvergira absolutno in v intervalu, določena vrsta konvergira enakomerno.
Dokaz. Ker niz konvergira, je torej njegov skupni člen omejen, tj. obstaja takšna konstanta, da
Naj bo zdaj. Potem bomo imeli
Ker geometrijska progresija konvergira (), je s prvim primerjalnim izrekom konvergiran tudi prvi del izreka.
Ker glede na dokazano niz konvergira in majorizira kot (glej) niz, potem po Weierstrassovem izreku zadnji niz enakomerno konvergira pri Izrek je popolnoma dokazan.
Iz Abelovega izreka sledi, da lahko interval razširjamo, dokler ne pride trenutek, ko se serija v točki razide (ali pa do tega trenutka sploh ne pride, tj.). Takrat bo naveden interval konvergenčno območje niza. Vsaka potenčna vrsta torej nima za svoje konvergenčno območje poljubno množico, temveč natanko interval. Dajmo natančnejšo definicijo konvergenčnega intervala.
Definicija 2.Številka je poklicana polmer konvergence niz, če znotraj intervala ta niz konvergira absolutno, zunaj segmenta pa se razhaja. V tem primeru se kliče interval konvergenčni interval vrstica.
Upoštevajte, da pri navedeni potenčni vrsti konvergira samo v točki in v njej konvergira v vseh realnih Naslednji primeri kažejo, da ti primeri niso izključeni: Primer vrste z neničelnim končnim polmerom konvergence je lahko geometrijska progresija. Upoštevajte tudi, da lahko na meji konvergenčnega intervala potenčne vrste konvergirajo in divergirajo. Na primer, niz pogojno konvergira v točki in razhaja v točki
Iz lastnosti enakomerno konvergentnih funkcionalnih vrst (teoremi 1-3) se enostavno izpeljejo naslednje lastnosti potenčnih vrst.
Izrek 4.Naj bo polmer konvergence potenčne vrste. Potem veljajo naslednje trditve:
1. Vsota dane potenčne vrste je zvezna v intervalu konvergence;
2. Če je polmer konvergence potenčne vrste, bo imela serija odvodov enak konvergenčni polmer. Iz tega sledi, da je potenčno vrsto mogoče diferencirati kolikorkrat želimo (tj. njena vsota je neskončno diferencibilna v interval konvergence) in enakost velja
3. Potenčno vrsto je mogoče integrirati na katerikoli segment, ki leži znotraj njegovega konvergenčnega intervala, tj.
Dokaz, na primer, prva lastnost bo takšna. Naj bo poljubna točka konvergenčnega intervala . Obkrožimo to točko s simetričnim odsekom. Po Abelovem izreku niz enakomerno konvergira na odseku, zato je njegova vsota zvezna na označenem odseku, zato je lastnost 1 dokazana. Preostale lastnosti našega izreka dokažemo podobno.
Zdaj pa izračunajmo polmer konvergence potenčne vrste iz njenih koeficientov.
Izrek 4 . Naj bo izpolnjen vsaj eden od naslednjih pogojev:
a) obstaja (končna ali neskončna) meja
b) obstaja (končna ali neskončna) meja (predpostavlja se, da obstaja takšno število).
Potem je število polmer konvergence niza.
Dokaz Naredimo to za primer a). Uporabimo Cauchyjev test za modularno vrsto: V skladu z navedenim testom serija konvergira absolutno, če je število, tj. če Če tj. če se potem navedena serija razhaja. Zato je polmer konvergence vrste. Izrek je dokazan.
Opomba 1. Izrek 1-4 lahko prenesemo praktično brez spreminjanja formulacije na potenčne vrste oblike (z rahlo spremembo, da je v tem primeru domena konvergence interval).
Primer 1. Poiščite območje konvergence serije ( naloga 10, T.R., Kuznecov L.A.)
rešitev. Uporabimo analogijo a) Cauchyjevega izreka: polmer konvergence dane serije. To pomeni, da se serija popolnoma zbliža v regiji
Preučimo konvergenco vrste na koncih intervala. Imamo
razhaja, saj
razhaja, saj
Posledično je območje konvergence prvotne serije interval.
