Najprej splošna formula. Morda ne bo vsem takoj jasno ... ja, Karlsson je z vami - praktični primeri bodo vse razjasnili! umirjeno Samo mir.

Oglejmo si določen integral, kjer je funkcija zvezna na intervalu. Razdelimo segment na enaka segmenti:
. V tem primeru je očitno: (spodnja meja integracije) in (zgornja meja integracije). Točke imenovan tudi vozlišča.

Nato lahko približno izračunamo določeni integral po trapezni formuli:
, Kje:
– dolžina vsakega od majhnih segmentov oz korak;
– vrednosti integranda v točkah .

Primer 1

Izračunajte približno določen integral z uporabo trapezne formule. Rezultate zaokrožite na tri decimalna mesta.

a) Delitev segmenta integracije na 3 dele.
b) Delitev segmenta integracije na 5 delov.

rešitev:
a) Posebej za lutke sem prvo točko povezal z risbo, ki je jasno prikazala princip metode. Če je težko, poglejte risbo, ko komentirate, tukaj je njen del:

Glede na pogoj mora biti segment integracije razdeljen na 3 dele, tj.
Izračunajmo dolžino vsakega predelnega segmenta: . Parameter, spomnim vas, se tudi imenuje korak.

Koliko točk (particijskih vozlišč) bo? tam bo še en kot število segmentov:

Tako se splošna formula trapezov zmanjša na prijetno velikost:

Za izračune lahko uporabite običajni mikrokalkulator:

Upoštevajte to, v skladu s pogoji problema morajo biti vsi izračuni zaokroženi na 3. decimalno mesto.

Končno:

Naj vas spomnim, da je dobljena vrednost približna vrednost površine (glejte sliko zgoraj).

b) Integracijski odsek razdelimo na 5 enakih delov, tj. Zakaj je to potrebno? Da preprečimo, da bi Phobos-Grunt padel v ocean, s povečanjem števila segmentov povečamo natančnost izračunov.

Če , ima trapezna formula naslednjo obliko:

Poiščimo korak razdelitve:
, kar pomeni, da je dolžina vsakega vmesnega segmenta 0,6.

Pri dokončanju naloge je priročno formalizirati vse izračune z uporabo tabele za izračun:

V prvo vrstico napišemo "števec"

Mislim, da lahko vsak vidi, kako nastane druga vrstica - najprej zapišemo spodnjo mejo integracije, preostale vrednosti dobimo z zaporednim dodajanjem koraka.

Mislim, da so skoraj vsi razumeli načelo, po katerem se izpolni spodnja vrstica. Na primer, če , potem . Kot pravijo, štejte, ne bodite leni.

Kot rezultat:

No, res je pojasnilo, in to resno!
Če za 3 predelne segmente, potem za 5 segmentov. Tako lahko z veliko mero zaupanja trdimo vsaj to.

Primer 2

Izračunajte približno določen integral z uporabo trapezne formule natančno na dve decimalni mesti (do 0,01).

rešitev: Skoraj ista naloga, vendar v nekoliko drugačni formulaciji. Temeljna razlika od primera 1 je, da mi ne vemo, NA KOLIKO segmentov moramo razdeliti segment integracije, da dobimo dve pravilni decimalni mesti? Z drugimi besedami, ne poznamo pomena .

Obstaja posebna formula, ki vam omogoča, da določite število predelnih segmentov, da zagotovite zahtevano natančnost, vendar jo je v praksi pogosto težko uporabiti. Zato je koristno uporabiti poenostavljen pristop.

Prvič, segment integracije je razdeljen na več velikih segmentov, običajno 2-3-4-5. Razdelimo na primer segment integracije na istih 5 delov. Formula je že znana:

In korak je seveda tudi znan:

Postavlja pa se še eno vprašanje: na katero številko je treba zaokrožiti rezultate? Pogoj ne pove nič o tem, koliko decimalk je treba pustiti. Splošno priporočilo je: zahtevani natančnosti morate dodati 2-3 števke. V tem primeru je zahtevana natančnost 0,01. Po priporočilu bomo za decimalno vejico pustili pet znakov za decimalno vejico (možni so bili štirje):

Kot rezultat:

Po primarnem rezultatu število segmentov dvojno. V tem primeru je treba razdeliti na 10 segmentov. In ko število segmentov raste, pride na misel svetla misel, da sem nekako utrujen od tikanja s prsti v mikrokalkulatorju. Zato še enkrat predlagam prenos in uporabo mojega polavtomatskega kalkulatorja (povezava na začetku lekcije).

Za trapezno formulo ima naslednjo obliko:

V papirni različici lahko vnos varno premaknete v naslednjo vrstico.

Izračunajmo korak razdelitve:

Povzemimo rezultate izračuna v tabeli:


Ko končate v zvezku, je koristno spremeniti dolgo mizo v dvonadstropno mizo.

Kako izračunati določen integral
z uporabo trapezne formule in Simpsonove metode?

Numerične metode so precej velik del višje matematike in resni učbeniki na to temo vsebujejo na stotine strani. V praksi testne naloge tradicionalno predlagajo reševanje nekaterih problemov z uporabo numeričnih metod, eden od pogostih problemov pa je približen izračun. določeni integrali. V tem članku si bom ogledal dve metodi za približen izračun določenega integrala - trapezna metoda in Simpsonova metoda.

Kaj morate vedeti, da obvladate te metode? Morda se sliši smešno, a integralov morda sploh ne znate jemati. In sploh ne razumete, kaj so integrali. Od tehničnih sredstev boste potrebovali mikrokalkulator. Da, da, čakajo nas rutinski šolski izračuni. Še bolje, prenesite moj polavtomatski kalkulator za trapezoidno metodo in Simpsonovo metodo. Kalkulator je napisan v Excelu in bo za več desetkrat zmanjšal čas, potreben za reševanje in dokončanje nalog. Za lutke Excel je priložen video priročnik! Mimogrede, prvi video posnetek z mojim glasom.

Najprej se vprašajmo: zakaj sploh potrebujemo približne izračune? Zdi se, da lahko najdete antiderivacijo funkcije in uporabite Newton-Leibnizovo formulo ter izračunate natančno vrednost določenega integrala. Za odgovor na vprašanje si takoj oglejmo demo primer s sliko.

Izračunaj določen integral

Vse bi bilo v redu, vendar v tem primeru integral ni vzet - pred vami je nevzet integral, t.i. integralni logaritem. Ali ta integral sploh obstaja? Na risbi ponazorimo graf funkcije integranda:

Vse je vredu. Integrand je zvezen na segmentu, določeni integral pa je številčno enak osenčenemu območju. Samo en ulov je: integrala ni mogoče vzeti. In v takih primerih na pomoč priskočijo numerične metode. V tem primeru se težava pojavi v dveh formulacijah:

1) Približno izračunaj določen integral , rezultat zaokrožite na določeno decimalno mesto. Na primer do dve decimalni mesti, do tri decimalna mesta itd. Predpostavimo, da je približen odgovor 5,347. Pravzaprav morda ni povsem pravilno (v resnici je recimo natančnejši odgovor 5,343). Naša naloga je samo to da zaokrožite rezultat na tri decimalna mesta.

2) Približno izračunaj določen integral, z določeno natančnostjo. Na primer, izračunajte določen integral približno z natančnostjo 0,001. Kaj to pomeni? To pomeni, da moramo najti približno vrednost, ki modulo (tako ali drugače) se od resnice razlikuje za največ 0,001.

Obstaja več osnovnih metod za približen izračun določenega integrala, ki se pojavi v problemih:

Integracijski segment razdelimo na več delov in izdelamo stopničasto figuro, ki je po površini blizu želenega območja:

Ne sodite strogo po risbah, natančnost ni idealna - le pomagajo razumeti bistvo metod.

Ideja je podobna. Integracijski segment je razdeljen na več vmesnih segmentov, graf funkcije integranda pa se približa prekinjena črta vrstica:

Tako je naše območje (modro senčenje) aproksimirano z vsoto ploščin trapezov (rdeče). Od tod tudi ime metode. Preprosto je videti, da metoda trapeza daje veliko boljši približek kot metoda pravokotnika (z enakim številom predelnih segmentov). In seveda več manjših vmesnih segmentov upoštevamo, večja bo natančnost. Metodo trapeza občasno najdemo v praktičnih nalogah in v tem članku bomo obravnavali več primerov.

Simpsonova metoda (metoda parabole). To je naprednejša metoda - graf integranda ni aproksimiran z zlomljeno črto, temveč z majhnimi parabolami. Malih parabol je toliko, kolikor je vmesnih segmentov. Če vzamemo iste tri segmente, potem bo Simpsonova metoda dala še natančnejši približek kot metoda pravokotnika ali metoda trapeza.

Ne vidim smisla v konstruiranju risbe, saj bo vizualni približek prekrit z grafom funkcije (zlomljena črta prejšnjega odstavka - in tudi takrat je skoraj sovpadala).

Problem izračuna določenega integrala z uporabo Simpsonove formule je najbolj priljubljena naloga v praksi. Metodi parabole bo namenjena precejšnja pozornost.

Kako izračunati določen integral z uporabo trapezne metode?

Najprej splošna formula. Morda ne bo vsem takoj jasno ... ja, Karlsson je z vami - praktični primeri bodo vse razjasnili! umirjeno Samo mir.

Oglejmo si določen integral, kjer je funkcija zvezna na intervalu. Razdelimo segment na enaka segmenti:
. V tem primeru je očitno: (spodnja meja integracije) in (zgornja meja integracije). Točke imenovan tudi vozlišča.

Nato lahko približno izračunamo določeni integral po trapezni formuli:
, Kje:
korak;
– vrednosti integranda v točkah .

Primer 1

Izračunajte približno določen integral z uporabo trapezne formule. Rezultate zaokrožite na tri decimalna mesta.

a) Delitev segmenta integracije na 3 dele.
b) Delitev segmenta integracije na 5 delov.

rešitev:
a) Posebej za lutke sem prvo točko povezal z risbo, ki je jasno prikazala princip metode. Če je težko, poglejte risbo, ko komentirate, tukaj je njen del:

Glede na pogoj mora biti segment integracije razdeljen na 3 dele, tj.
Izračunajmo dolžino vsakega predelnega segmenta: . Parameter, spomnim vas, se tudi imenuje korak.

Koliko točk (particijskih vozlišč) bo? tam bo še en kot število segmentov:

No, splošna formula trapeza se zmanjša na prijetno velikost:

Za izračune lahko uporabite običajni mikrokalkulator:

Upoštevajte to, v skladu s pogoji problema morajo biti vsi izračuni zaokroženi na 3. decimalno mesto.

Končno:

Z geometrijskega vidika smo izračunali vsoto ploščin treh trapezov (glej sliko zgoraj).

b) Integracijski odsek razdelimo na 5 enakih delov, tj. Zakaj je to potrebno? Da preprečimo, da bi Phobos-Grunt padel v ocean, s povečanjem števila segmentov povečamo natančnost izračunov.

Če , ima trapezna formula naslednjo obliko:

Poiščimo korak razdelitve:
, kar pomeni, da je dolžina vsakega vmesnega segmenta 0,6.

Pri dokončanju naloge je priročno formalizirati vse izračune z uporabo tabele za izračun:

V prvo vrstico napišemo "števec"

Mislim, da lahko vsak vidi, kako nastane druga vrstica - najprej zapišemo spodnjo mejo integracije, preostale vrednosti dobimo z zaporednim dodajanjem koraka.

Mislim, da so skoraj vsi razumeli načelo, po katerem se izpolni spodnja vrstica. Na primer, če , potem . Kot pravijo, štejte, ne bodite leni.

Kot rezultat:

No, res je pojasnilo, in to resno! Če je bila za 3 segmente particije približna vrednost, potem za 5 segmentov . Tako lahko z veliko mero zaupanja trdimo vsaj to.

Primer 2

Izračunajte približno določen integral z uporabo trapezne formule natančno na dve decimalni mesti (do 0,01).

rešitev: Skoraj ista naloga, vendar v nekoliko drugačni formulaciji. Temeljna razlika od primera 1 je, da mi ne vemo, NA KOLIKO segmentov moramo razdeliti segment integracije, da dobimo dve pravilni decimalni mesti? Z drugimi besedami, ne poznamo pomena .

Obstaja posebna formula, ki vam omogoča, da določite število predelnih segmentov, da zagotovite zahtevano natančnost, vendar jo je v praksi pogosto težko uporabiti. Zato je koristno uporabiti poenostavljen pristop.

Prvič, segment integracije je razdeljen na več velikih segmentov, običajno 2-3-4-5. Razdelimo na primer segment integracije na istih 5 delov. Formula je že znana:

In korak je seveda tudi znan:

Postavlja pa se še eno vprašanje: na katero številko je treba zaokrožiti rezultate? Pogoj ne pove nič o tem, koliko decimalk je treba pustiti. Splošno priporočilo je: zahtevani natančnosti morate dodati 2-3 števke. V tem primeru je zahtevana natančnost 0,01. Po priporočilu bomo za decimalno vejico pustili pet znakov za decimalno vejico (možni so bili štirje):

Kot rezultat:
, označimo približek z .

Po primarnem rezultatu število segmentov dvojno. V tem primeru je treba razdeliti na 10 segmentov. In ko število segmentov raste, pride na misel svetla misel, da sem nekako utrujen od tikanja s prsti v mikrokalkulatorju. Zato še enkrat predlagam prenos in uporabo mojega polavtomatskega kalkulatorja (povezava na začetku lekcije).

Za trapezno formulo ima naslednjo obliko:

V papirni različici lahko vnos varno premaknete v naslednjo vrstico.

Izračunajmo korak razdelitve:

Povzemimo rezultate izračuna v tabeli:


Ko končate v zvezku, je koristno spremeniti dolgo mizo v dvonadstropno mizo.

Kot rezultat:

Zdaj pa izračunajmo razliko med približki:

Tukaj uporabljamo znak modula, saj nas zanima absolutna razlika, in ne kateri rezultat je večji in kateri manjši.

Kar se tiče nadaljnjih dejanj, sem osebno v praksi naletel na 2 rešitvi:

1) Prva metoda je "direktna primerjava". Ker je nastala napaka ocene več od zahtevane natančnosti: , potem je potrebno še enkrat podvojiti število segmentov particije do in izračunati . Z uporabo Excelovega kalkulatorja lahko dobite končni rezultat v nekaj sekundah: . Zdaj ponovno ocenimo napako: . Prejeta ocena manj od zahtevane natančnosti: , torej so izračuni zaključeni. Ostane le še zaokrožiti zadnji (najbolj natančen) rezultat na dve decimalni mesti in podati odgovor.

2) Druga, bolj učinkovita metoda temelji na uporabi t.i Rungejeva pravila, po katerem se zmotimo pri oceni določenega integrala za največ . V našem problemu: torej ni potrebe po izračunu. Vendar pa je hitrost rešitve v tem primeru prišla na račun natančnosti: . Kljub temu je ta rezultat sprejemljiv, saj je naša »meja napake« točno ena stotinka.

Kaj izbrati? Osredotočite se na svojo metodo poučevanja ali učiteljeve želje.

odgovor: natančno do 0,01 (z uporabo Rungejevega pravila).

Primer 3

Izračunajte približno določen integral z uporabo trapezne formule z natančnostjo 0,001.

Tukaj je spet integralni integral (skoraj integralni kosinus). V vzorčni rešitvi je prvi korak razdeljen na 4 segmente, tj. Celovita rešitev in približni vzorec končnega dizajna na koncu lekcije.

Kako izračunati določen integral z uporabo Simpsonove formule?

Če ste na tej strani iskali samo Simpsonovo metodo, toplo priporočam, da najprej preberete začetek lekcije in si ogledate vsaj prvi primer. Iz razloga, ker bo veliko idej in tehnik podobnih trapezni metodi.

Spet začnimo s splošno formulo
Oglejmo si določen integral, kjer je funkcija zvezna na intervalu. Razdelimo segment na celo količino enaka segmenti. Sodo število segmentov je označeno z .

V praksi so segmenti lahko:
dva:
štiri:
osem:
deset:
dvajset:
Druge možnosti se ne spomnim.

Pozor!Število razumemo kot ENO ŠTEVILO. to je PREPOVEDANO JE zmanjšati, na primer, za dva, dobiti . Zapis samo pomeni, da je število segmentov celo. In o kakršnih koli znižanjih ni govora

Torej, naša particija izgleda takole:

Izrazi so podobni tistim pri trapezni metodi:
Točke se imenujejo vozlišča.

Simpsonova formula za približen izračun določenega integrala ima naslednjo obliko:
, Kje:
– dolžina vsakega od majhnih segmentov oz korak;
– vrednosti integranda v točkah.

Če podrobno opišem ta kup, bom podrobneje analiziral formulo:
– vsota prve in zadnje vrednosti integranda;
– vsota izrazov z celo indeksi se pomnožijo z 2;
– vsota izrazov z Čuden indeksi se pomnožijo s 4.

Primer 4

Izračunajte približno določen integral z uporabo Simpsonove formule z natančnostjo 0,001. Začnite deliti z dvema segmentoma

Integral je, mimogrede, spet nerešljiv.

rešitev: Takoj vas opozorim na vrsto naloge - treba je izračunati določen integral z določeno natančnostjo. Kaj to pomeni, smo že komentirali na začetku članka, pa tudi s konkretnimi primeri v prejšnjem odstavku. Tako kot pri trapezni metodi obstaja formula, ki vam bo takoj omogočila določitev zahtevanega števila segmentov (vrednost »en«), da zagotovite zahtevano natančnost. Res je, morali boste najti četrto odvodnjo in rešiti ekstremni problem. Tisti, ki so me razumeli in cenili količino dela, so se nasmehnili. Vendar to ni smešno; iskanje četrtega odvoda takšne funkcije integranda ne bo več mega-piflar, ampak klinični psihopat. Zato se v praksi skoraj vedno uporablja poenostavljena metoda ocenjevanja napak.

Začnimo se odločati. Če imamo dva segmenta particije, potem bodo vozlišča še en: . In Simpsonova formula ima zelo kompaktno obliko:

Izračunajmo korak razdelitve:

Izpolnimo tabelo za izračun:

Naj še enkrat komentiram, kako je izpolnjena tabela:

V zgornjo vrstico zapišemo “števec” indeksov

V drugo vrstico najprej zapišemo spodnjo mejo integracije, nato pa zaporedno dodajamo korak.

V tretjo vrstico vnesemo vrednosti integranda. Na primer, če , potem . Koliko decimalnih mest naj pustim? Dejansko pogoj spet ne pove nič o tem. Princip je enak kot pri trapezni metodi, gledamo zahtevano natančnost: 0,001. In dodajte dodatne 2-3 števke. To pomeni, da morate zaokrožiti na 5-6 decimalnih mest.

Kot rezultat:

Primarni rezultat je bil prejet. zdaj dvojnoštevilo segmentov do štiri: . Simpsonova formula za to particijo ima naslednjo obliko:

Izračunajmo korak razdelitve:

Izpolnimo tabelo za izračun:


Torej:

Poiščimo absolutno vrednost razlike med približki:

Rungejevo pravilo za Simpsonovo metodo je zelo okusno. Če pri uporabi metoda srednjega pravokotnika in trapezoidni metodi imamo tretjinsko "odpustek", zdaj pa kar eno petnajstino:
, in natančnost tukaj ne trpi več:

Za popolnost pa bom podal tudi "preprosto" rešitev, kjer morate narediti dodaten korak: ker je potrebna večja natančnost: , potem je treba ponovno podvojiti število segmentov: .

Simpsonova formula skokovito raste:

Izračunajmo korak:

In znova izpolnite tabelo za izračun:

Torej:

Upoštevajte, da je priporočljivo, da tukaj podrobneje opišete izračune, saj je Simpsonova formula precej okorna in če takoj udarite:
, potem bo ta pijača izgledala kot kramp. In ob podrobnejšem zapisu bo imel učitelj dober vtis, da ste dobro uro vestno brisali tipke mikrokalkulatorja. Podrobni izračuni za "težke" primere so na voljo v mojem kalkulatorju.

Ocenjujemo napako:

Napaka je manjša od zahtevane natančnosti: . Preostane le, da vzamemo najbolj natančen približek, ga zaokrožimo na tri decimalna mesta in zapišemo:

Odgovori: natančno do 0,001

Primer 5

Izračunajte približno določen integral z uporabo Simpsonove formule z natančnostjo 0,0001. Začnite deliti z dvema segmentoma

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Približni vzorec končne zasnove in odgovor na koncu lekcije.

V zadnjem delu lekcije si bomo ogledali še nekaj običajnih primerov.

Primer 6

Izračunaj približno vrednost določenega integrala z uporabo Simpsonove formule, pri čemer segment integracije razdelimo na 10 delov. Izračuni morajo biti opravljeni natančno na tretjo decimalno mesto.

Danes se bomo seznanili z drugo metodo numerične integracije, trapezoidno metodo. Z njegovo pomočjo bomo izračunali določene integrale z dano stopnjo natančnosti. V prispevku bomo opisali bistvo metode trapeza, analizirali izpeljavo formule, primerjali metodo trapeza z metodo pravokotnika ter zapisali oceno absolutne napake metode. Vsak razdelek bomo ilustrirali s primeri za globlje razumevanje snovi.

Recimo, da moramo približno izračunati določen integral ∫ a b f (x) d x , katerega integrand y = f (x) je zvezen na intervalu [ a ; b ] . Če želite to narediti, razdelite segment [a; b ] na več enakih intervalov dolžine h s točkami a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Poiščimo particijski korak: h = b - a n. Določimo vozlišča iz enakosti x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n.

Na elementarnih segmentih obravnavamo integrand funkcije x i-1; x i, i = 1, 2, . . , n.

Ker n neskončno narašča, vse primere reduciramo na štiri najpreprostejše možnosti:

Izberimo segmente x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n. Zamenjajmo funkcijo y = f (x) na vsakem od grafov z ravnim odsekom, ki poteka skozi točke s koordinatami x i - 1 ; f x i - 1 in x i; f x i. Na slikah jih označimo z modro barvo.

Vzemimo izraz f (x i - 1) + f (x i) 2 · h kot približno vrednost integrala ∫ x i - 1 x i f (x) d x. Tisti. vzemimo ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .

Poglejmo, zakaj se metoda numerične integracije, ki jo preučujemo, imenuje trapezna metoda. Za to moramo ugotoviti, kaj zapisana približna enakost pomeni z geometričnega vidika.

Da bi izračunali površino trapeza, je treba polovične vsote njegovih baz pomnožiti z njegovo višino. V prvem primeru je površina ukrivljenega trapeza približno enaka trapezu z osnovami f (x i - 1), f (x i) višina h. V četrtem primeru, ki ga obravnavamo, je podani integral ∫ x i - 1 x f (x) d x približno enak površini trapeza z osnovami - f (x i - 1), - f (x i) in višino h, ki ga je treba vzeti z znakom "-". Da bi izračunali približno vrednost določenega integrala ∫ x i - 1 x i f (x) d x v drugem in tretjem od obravnavanih primerov, moramo najti razliko v ploščinah rdečega in modrega območja, ki smo jih označili z šrafura na spodnji sliki.

Naj povzamemo. Bistvo trapezne metode je naslednje: določen integral ∫ a b f (x) d x lahko predstavimo kot vsoto integralov oblike ∫ x i - 1 x i f (x) d x na vsakem elementarnem segmentu in v kasnejši približni zamenjavi ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.

Formula trapezne metode

Spomnimo se na peto lastnost določenega integrala: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Da bi dobili formulo trapezne metode, je treba namesto integralov ∫ x i - 1 x i f (x) d x nadomestiti njihove približne vrednosti: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Definicija 1

Formula trapezne metode:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Ocena absolutne napake trapezne metode

Ocenimo absolutno napako trapezne metode na naslednji način:

Definicija 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Grafična ponazoritev trapezne metode je prikazana na sliki:

Primeri izračunov

Oglejmo si primere uporabe trapezne metode za približen izračun določenih integralov. Posebno pozornost bomo namenili dvema vrstama nalog:

• izračun določenega integrala po trapezni metodi za dano particijsko številko segmenta n;
• iskanje približne vrednosti določenega integrala z določeno natančnostjo.

Za dani n morajo biti vsi vmesni izračuni izvedeni z dovolj visoko stopnjo natančnosti. Natančnost izračunov mora biti večja, čim večji je n.

Če imamo določeno natančnost pri izračunu določenega integrala, potem je treba vse vmesne izračune izvesti za dva ali več velikostnih redov natančneje. Na primer, če je natančnost nastavljena na 0,01, potem izvedemo vmesne izračune z natančnostjo 0,0001 ali 0,00001. Pri velikih n je treba vmesne izračune opraviti še z večjo natančnostjo.

Oglejmo si zgornje pravilo s primerom. Če želite to narediti, primerjajte vrednosti določenega integrala, izračunanega po Newton-Leibnizovi formuli in pridobljene s trapezoidno metodo.

Torej, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.

Primer 1

Z uporabo trapezne metode izračunamo določen integral ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x za n, ki je enak 10.

rešitev

Formula za trapezoidno metodo je ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Za uporabo formule moramo izračunati korak h z uporabo formule h = b - a n, določiti vozlišča x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n, izračunajte vrednosti funkcije integranda f (x) = 7 x 2 + 1.

Korak delitve se izračuna na naslednji način: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0. 5. Za izračun integranda na vozliščih x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n bomo vzeli štiri decimalna mesta:

i = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0,5) = 7 0,5 2 + 1 = 5,6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692

V tabelo vnesemo rezultate izračuna:

jaz	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x i	0	0 . 5	1	1 , 5	2	2 , 5	3	3 , 5	4	4 , 5	5
f (x i)	7	5 , 6	3 , 5	2 , 1538	1 , 4	0 , 9655	0 , 7	0 , 5283	0 , 4117	0 , 3294	0 , 2692

Dobljene vrednosti nadomestimo s formulo trapezne metode: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5,6 + 3,5 + 2,1538 + 1,4 + 0,9655 + 0,7 + 0,5283 + 0,4117 + 0,3294 + 0,2692 = 9,6117

Primerjajmo naše rezultate z rezultati, izračunanimi po Newton-Leibnizovi formuli. Dobljene vrednosti sovpadajo na stotinke.

odgovor:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Primer 2

S trapezoidno metodo izračunamo vrednost določenega integrala ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x z natančnostjo 0,01.

rešitev

Glede na pogoj naloge a = 1; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0,01.

Poiščimo n, ki je enak številu razdelitvenih točk integracijskega segmenta, z uporabo neenačbe za oceno absolutne napake δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . To bomo storili na naslednji način: poiskali bomo vrednosti n, za katere velja neenakost m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01. Glede na n nam bo trapezna formula dala približno vrednost določenega integrala z dano natančnostjo.

Najprej poiščemo največjo vrednost modula drugega odvoda funkcije na intervalu [ 1 ; 2].

f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Druga odvodna funkcija je kvadratna parabola f "" (x) = x 2 . Iz njegovih lastnosti vemo, da je pozitiven in narašča na intervalu [1; 2]. V zvezi s tem je m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

V danem primeru je postopek iskanja m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) se je izkazalo za precej preprosto. V zapletenih primerih lahko za izvedbo izračunov uporabite največjo in najmanjšo vrednost funkcije. Po preučitvi tega primera bomo predstavili alternativno metodo za iskanje m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Zamenjajmo dobljeno vrednost v neenačbo m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0,01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5,7735

Število elementarnih intervalov, na katere je razdeljen segment integracije n, je naravno število. Za obnašanje izračuna vzamemo n enako šest. Ta vrednost n nam bo omogočila, da dosežemo določeno natančnost trapezne metode z minimalnimi izračuni.

Izračunajmo korak: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Poiščimo vozlišča x i = a + i · h, i = 1, 0, . . . , n , določimo vrednosti integranda na teh vozliščih:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0,5266. . . i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1,9833

Rezultate izračuna zapišemo v obliki tabele:

jaz	0	1	2	3	4	5	6
x i	1	7 6	4 3	3 2	5 3	11 6	2
f x i	0 , 4	0 , 5266	0 , 6911	0 , 9052	1 , 1819	1 , 5359	1 , 9833

Zamenjajmo dobljene rezultate v trapezoidno formulo:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0,5266 + 0,6911 + 0,9052 + 1,1819 + 1,5359 + 1,9833 ≈ 1,0054

Za primerjavo izračunamo prvotni integral z uporabo Newton-Leibnizove formule:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Kot lahko vidite, smo dosegli dobljeno natančnost izračuna.

Odgovor: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1,0054

Za integrande kompleksne oblike iskanje števila n iz neenačbe za oceno absolutne napake ni vedno enostavno. V tem primeru bo primerna naslednja metoda.

Približno vrednost določenega integrala, ki smo ga dobili s trapezno metodo za n vozlišč, označimo z I n. Izberimo poljubno število n. S formulo trapezne metode izračunamo začetni integral za eno (n = 10) in dvojno (n = 20) število vozlišč in poiščemo absolutno vrednost razlike med obema dobljenima približnima vrednostma I 20 - jaz 10.

Če je absolutna vrednost razlike med obema dobljenima približnima vrednostma manjša od zahtevane natančnosti I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Če je absolutna vrednost razlike med obema dobljenima približnima vrednostma večja od zahtevane natančnosti, je potrebno ponoviti korake z dvakratnim številom vozlišč (n = 40).

Ta metoda zahteva veliko količino izračunov, zato je za prihranek časa pametno uporabiti računalniško tehnologijo.

Rešimo problem z zgornjim algoritmom. Zaradi prihranka časa bomo opustili vmesne izračune po trapezni metodi.

Primer 3

Izračunati je treba določeni integral ∫ 0 2 x e x d x po trapezni metodi z natančnostjo 0,001.

rešitev

Vzemimo n enako 10 in 20. Z uporabo trapezne formule dobimo I 10 = 8,4595380, I 20 = 8,4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, kar zahteva nadaljnje izračune.

Vzemimo n enako 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, kar prav tako zahteva nadaljnje izračune.

Vzemimo n enako 80: I 80 = 8, 3901585.

I 80 - I 40 = 8,3901585 - 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, kar zahteva še eno podvojitev števila vozlišč.

Vzemimo n enako 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8,3893317 - 8,3901585 = 0,0008268< 0 , 001

Približno vrednost prvotnega integrala lahko dobimo tako, da I 160 = 8, 3893317 zaokrožimo na tisočinke: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.

Za primerjavo izračunajmo prvotni določeni integral z uporabo Newton-Leibnizove formule: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. Zahtevana natančnost je bila dosežena.

Odgovor: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Napake

Vmesni izračuni za določitev vrednosti določenega integrala se večinoma izvajajo približno. To pomeni, da se z večanjem n računska napaka začne kopičiti.

Primerjajmo ocene absolutnih napak trapezne metode in metode povprečnega pravokotnika:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

Metoda pravokotnika za dani n z enako količino računskega dela daje polovično napako. Zaradi tega je metoda bolj zaželena v primerih, ko so znane vrednosti funkcije v srednjih segmentih osnovnih segmentov.

V primerih, ko funkcije, ki jih je treba integrirati, niso določene analitično, ampak kot niz vrednosti v vozliščih, lahko uporabimo trapezoidno metodo.

Če primerjamo natančnost metode trapeza in metode desnega in levega pravokotnika, potem je prva metoda boljša od druge v natančnosti rezultata.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

vaje.

5.1 Izračunajte s kvadraturno formulo pravokotnikov pri n= 3 integral in primerjajte z natančno vrednostjo integrala:

A), jaz= 1; b) , jaz= ln 2;

V), jaz= ; G), jaz= 0,75.

5.2 Izračunajte s kvadraturno formulo pravokotnikov pri n= 5 integral in oceni napako integracije:

5.3 Določite število vozlišč n, ki ga je treba uporabiti za izračun integrala s formulo pravokotnika z natančnostjo 0,01:

A) ; b) ; V) ; G) .

5.4 Izračunajte integral z uporabo kvadraturne formule pravokotnikov z natančnostjo 0,01:

Razmislite o določenem integralu jaz(6) in narišite funkcijo integranda (slika 17). Razdelimo segment integracije na n enake segmente s točkami , kjer (slika 17).

Slika 17

f( X 1)

f( X 2)

f( x i)

f( x n -1)

f( x n)

f( X 0)

f( x i - 1)

f( x n- 2)

x 0

x 1

x 2

x i- 1

x i

xn-1

x n

x n- 2

A

b

X

pri

O

Dolžina vsakega predelnega segmenta. V tem primeru je očitno, da bo za razdelitvene točke veljala naslednja relacija:

in x 0 = a in x n = b.

Povežimo točke grafa funkcije s koordinatami z odseki. Kot rezultat dobimo lomljeno črto, ki je graf delno linearne funkcije (slika 17). Na vsakem od razdelkov je funkcija podana s formulo

V točkah ima enake vrednosti kot funkcija:

tiste. funkcija izvede kosovno linearno interpolacijo funkcije na segmentu (slika 17).

Izračunajmo integral:

Ta rezultat ima preprost geometrijski pomen: lik, ki je spodaj omejen z odsekom osi Oh, od zgoraj z segmentom funkcije (13), s strani z navpičnimi ravnimi črtami in , je trapez z osnovama dolžine in in višine h, katerega površina je določena s formulo (14) (slika 17).

Integral funkcije po celotnem segmentu je vsota integralov (14):

Kvadraturna formula

podaja približno vrednost integrala jaz:

kjer je preostali člen (posebna oznaka). V kvadraturni formuli (16), ki se imenuje trapezoidna kvadraturna formula , vozlišča so točke , utežni faktorji so vsi, razen dveh za in , enaki in enaki , in utežni koeficienti za in so enaki . Z natančnostjo formula (16) izraža površino krivuljnega trapeza, ki ustreza integralu jaz, skozi vsoto ploščin trapezov (14) (slika 17).

Formulo (7) ali (7ʹ) za količino smo sestavili kot integralno vsoto. Pri izpeljavi formule (15) za ni bil uporabljen koncept integralne vsote, lahko pa jo obravnavamo tudi kot integralno vsoto. Posledično, če je funkcija integrabilna na , potem je na podlagi definicije določenega integrala

tiste. konvergenčni pogoji za trapezoidno kvadraturno formulo (16) so v tem primeru izpolnjeni.

Mejne relacije (17) dokazujejo temeljno možnost izračuna določenega integrala poljubne integrabilne funkcije s trapezoidno metodo s poljubno natančnostjo. ε z izbiro številke n točke delitve segmenta in ustrezen korak h.

Oglejmo si glavno vprašanje, povezano z organizacijo pravega računalniškega procesa: kaj je treba vzeti n da bi dosegli zahtevano natančnost pri izračunu določenega integrala (6) ε . Da bi to naredili, je treba oceniti preostali rok (napaka). V zvezi s tem mora biti integrand ne le integrabilen, ampak tudi dvakrat zvezno diferenciabilen na intervalu. Če so izpolnjeni vsi zgoraj opisani pogoji, potem za preostalo obdobje velja naslednja ocena:

Kje M– pozitivno število, ki izpolnjuje pogoj (11).

Za določeno natančnost ε pogoj (18) omogoča določitev števila vozlišč n, ki ga moramo uporabiti pri izračunu določenega integrala (6). Če želite to narediti, je dovolj, da uporabite relacijo

Primer 1. Izračunajte s kvadraturno formulo trapezov pri n= 3 integral

Primerjajte z natančno vrednostjo integrala.

rešitev.

Ker n= 3, nato korak

In glede na to in:

To pomeni, da imamo po formuli (15).

Zato,.

Primerjajmo dobljeno približno vrednost z natančno vrednostjo integrala

odgovor: , .

Primer 2. Določite število vozlišč n, ki ga je treba uporabiti za izračun integrala po trapezni formuli

z natančnostjo 0,01.

rešitev.

Za določitev n, uporabimo relacijo (19)

Glede na pogoje problema in ε = 0,01. Če upoštevamo, da so integrand in njegov prvi in ​​drugi odvod enaki in , potem je na integracijskem intervalu = res. Pomeni M= 1. Kot rezultat dobimo razmerje

Iz katerega ugotavljamo n:

ah, potem ga bomo vzeli n = 6.

Zato, da bi dosegli natančnost ε = 0,01, morate vzeti 7 vozlišč.

odgovor:n = 6.

Primer 3. Izračunajte trapezni integral z uporabo kvadraturne formule

z natančnostjo 0,01.

rešitev.

Najprej določimo število vozlišč n, ki ga je treba uporabiti za izračun integrala. Glede na pogoje problema, ε = 0,01 in . Ker

in za se izvrši

to M= 2. Nadomeščanje vrednosti a, b, ε in M v formuli (12) dobimo razmerje:

Iz katerega bomo našli n.

ah, potem ga bomo vzeli n = 5.

Ker n= 5, nato korak

Poiščimo vrednosti z uporabo relacije

In glede na to, in b :

Zdaj pa izračunajmo vrednosti integranda v točkah , :

To pomeni, da imamo po formuli (15).

Zato,.

odgovor: z natančnostjo 0,01.

Izobraževalne naloge:

• Didaktični namen. Študente seznani z metodami približnega izračuna določenega integrala.
• Izobraževalni namen. Tema te lekcije je velikega praktičnega in izobraževalnega pomena. Najenostavnejši način za pristop k ideji numerične integracije je, da se zanesemo na definicijo določenega integrala kot meje integralnih vsot. Na primer, če vzamemo katero koli dovolj majhno particijo segmenta [ a; b] in zanj sestavimo integralno vsoto, potem lahko njegovo vrednost približno vzamemo kot vrednost ustreznega integrala. Hkrati je pomembno, da hitro in pravilno izvedete izračune z uporabo računalniške tehnologije.

Osnovna znanja in veščine. Razumeti približne metode za izračun določenega integrala z uporabo formul pravokotnika in trapeza.

Zagotavljanje razredov

• Izroček. Kartice-naloge za samostojno delo.
• TSO. Multiprojektor, PC, prenosni računalniki.
• TSO oprema. Predstavitve: “Geometrijski pomen izpeljank”, “Metoda pravokotnikov”, “Metoda trapezov”. (Prezentacije lahko dobite pri avtorju).
• Računalniška oprema: PC, mikrokalkulatorji.
• Smernice

Vrsta lekcije. Integrirana praktična.

Motivacija kognitivne dejavnosti študentov. Zelo pogosto je treba izračunati določene integrale, za katere je nemogoče najti protiodvod. V tem primeru se uporabljajo približne metode za izračun določenih integralov. Včasih se približna metoda uporablja tudi za "vzete" integrale, če izračun po Newton-Leibnizovi formuli ni racionalen. Ideja približnega izračuna integrala je, da se krivulja nadomesti z novo krivuljo, ki ji je dovolj "blizu". Odvisno od izbire nove krivulje se lahko uporabi ena ali druga približna integracijska formula.

Zaporedje lekcije.

1. Formula pravokotnika.
2. Trapezna formula.
3. Rešitev vaj.

Učni načrt

1. Ponovitev temeljnega znanja učencev.

Z učenci ponovimo: osnovne formule integracije, bistvo obravnavanih metod integracije, geometrijski pomen določenega integrala.

1. Opravljanje praktičnega dela.

Rešitev številnih tehničnih problemov se zmanjša na izračun določenih integralov, katerih natančen izraz je zapleten, zahteva dolgotrajne izračune in v praksi ni vedno upravičen. Tukaj je njihova približna vrednost povsem zadostna.

Recimo, da morate izračunati površino, ki jo omejuje črta, katere enačba je neznana. V tem primeru lahko to vrstico zamenjate s preprostejšo, katere enačba je znana. Tako dobljena površina krivuljnega trapeza se vzame kot približna vrednost želenega integrala.

Najenostavnejša približna metoda je metoda pravokotnika. Geometrično je ideja metode izračuna določenega integrala s formulo pravokotnika ta, da je območje krivuljnega trapeza ABCD se nadomesti z vsoto površin pravokotnikov, katerih ena stran je enaka , in drugi - .

Če seštejemo površine pravokotnikov, ki prikazujejo površino ukrivljenega trapeza s pomanjkljivostjo [slika 1], dobimo formulo:

[Slika 1]

potem dobimo formulo:

Če je v presežku

[Slika2],

to

Vrednote y 0, y 1,..., y n ugotovimo iz enakosti , k = 0, 1..., n.Te formule se imenujejo pravokotne formule in dajte približen rezultat. S povečanjem n rezultat postane natančnejši.

Torej, da bi našli približno vrednost integrala, potrebujete:

Če želite najti napako pri izračunu, morate uporabiti formule:

Primer 1. Izračunajte s formulo pravokotnika. Poiščite absolutne in relativne napake izračunov.

Razdelimo segment [ a, b] na več (npr. 6) enakih delov. Potem a = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

f(x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

X	2	2,5	3	3,5	4	4,5
pri	4	6,25	9	12,25	16	20,25

Po formuli (1):

Za izračun relativne napake izračunov je treba najti natančno vrednost integrala:

Izračuni so trajali dolgo in na koncu smo dobili precej grobo zaokroževanje. Za izračun tega integrala z manjšim približkom lahko uporabite tehnične zmogljivosti računalnika.

Če želite poiskati določen integral z metodo pravokotnika, morate vnesti vrednosti integranda f(x) na Excelov delovni list v obsegu X z danim korakom X= 0,1.

1. Izdelava podatkovne tabele (X in f(x)). X f(x). Prepir, in v celici B1 - beseda funkcija2 2,1 ). Nato z izbiro bloka celic A2: A3 z uporabo samodejnega izpolnjevanja dobimo vse vrednosti argumenta (spodnji desni kot bloka povlečemo v celico A32, do vrednosti x=5).
2. Nato vnesemo vrednosti integranda. V celico B2 morate zapisati njeno enačbo. Če želite to narediti, postavite kazalec tabele v celico B2 in vnesite formulo s tipkovnice =A2^2(z angleško razporeditvijo tipkovnice). Pritisnite tipko Vnesite. V celici B2 se pojavi 4 . Zdaj morate kopirati funkcijo iz celice B2. S samodejnim izpolnjevanjem kopirajte to formulo v obseg B2:B32.
   Rezultat bi morala biti tabela podatkov za iskanje integrala.
3. Zdaj je v celici B33 mogoče najti približno vrednost integrala. Če želite to narediti, vnesite formulo v celico B33 = 0,1*, nato pokličite čarovnika za funkcije (s klikom na gumb Vstavi funkcijo v orodni vrstici (f(x)). V pogovornem oknu, ki se prikaže, Čarovnik za funkcije - korak 1 od 2, na levi v polju Kategorija izberite Matematično. Na desni v polju Function je funkcija Sum. pritisni gumb V REDU. Prikaže se pogovorno okno Zneski. V delovno polje z miško vnesemo obseg seštevanja B2:B31. pritisni gumb V REDU. V celici B33 se prikaže približna vrednost želenega integrala s pomanjkljivostjo ( 37,955 ) .

Primerjava dobljene približne vrednosti z resnično vrednostjo integrala ( 39 ), je razvidno, da je napaka aproksimacije metode pravokotnika v tem primeru enaka

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Primer 2. Z metodo pravokotnika izračunajte z danim korakom X = 0,05.

Primerjava dobljene približne vrednosti z resnično vrednostjo integrala , je razvidno, da je napaka aproksimacije metode pravokotnika v tem primeru enaka

Trapezna metoda običajno daje natančnejšo vrednost integrala kot pravokotna metoda. Ukrivljeni trapez nadomestimo z vsoto več trapezov, približno vrednost določenega integrala pa dobimo kot vsoto ploščin trapezov.

[Slika3]

Primer 3. Poiščite z uporabo trapezne metode v korakih X = 0,1.

1. Odprite prazen delovni list.
2. Izdelava podatkovne tabele (X in f(x)). Naj bodo v prvem stolpcu vrednosti X, drugi pa z ustreznimi indikatorji f(x).Če želite to narediti, vnesite besedo v celico A1 Prepir, in v celici B1 - beseda funkcija. Prva vrednost argumenta se vnese v celico A2 - leva meja obsega ( 0 ). Druga vrednost argumenta se vnese v celico A3 - leva meja obsega plus konstrukcijski korak ( 0,1 ). Nato z izbiro bloka celic A2: A3 z uporabo samodejnega izpolnjevanja dobimo vse vrednosti argumenta (spodnji desni kot bloka povlečemo v celico A33, do vrednosti x=3,1).
3. Nato vnesemo vrednosti integranda. V celico B2 morate zapisati njeno enačbo (v primeru sinusa). Da bi to naredili, mora biti kazalec tabele postavljen v celico B2. Tukaj mora biti sinusna vrednost, ki ustreza vrednosti argumenta v celici A2. Za pridobitev sinusne vrednosti bomo uporabili posebno funkcijo: kliknite gumb Vstavi funkcijo v orodni vrstici f(x). V pogovornem oknu, ki se prikaže, Čarovnik za funkcije - korak 1 od 2, na levi v polju Kategorija izberite Matematično. Desno v polju Funkcija - funkcija SIN. pritisni gumb V REDU. Prikaže se pogovorno okno SIN. Z miškinim kazalcem na sivo polje okna, s pritisnjeno levo tipko premaknite polje v desno, da se odpre stolpec s podatki ( A). Vrednost argumenta sinus označimo s klikom na celico A2. pritisni gumb V REDU. V celici B2 se pojavi 0. Zdaj morate kopirati funkcijo iz celice B2. S samodejnim izpolnjevanjem kopirajte to formulo v obseg B2:B33. Rezultat bi morala biti tabela podatkov za iskanje integrala.
4. Zdaj je v celici B34 približno vrednost integrala mogoče najti s trapezoidno metodo. Če želite to narediti, vnesite formulo v celico B34 = 0,1*((B2+B33)/2+, nato pokličite čarovnika za funkcije (s klikom na gumb Vstavi funkcijo v orodni vrstici (f(x)). V pogovornem oknu, ki se prikaže, Čarovnik za funkcije - korak 1 od 2, na levi v polju Kategorija izberite Matematično. Na desni v polju Function je funkcija Sum. pritisni gumb V REDU. Prikaže se pogovorno okno Zneski. V delovno polje z miško vnesite obseg seštevanja B3:B32. pritisni gumb v redu ponovno V REDU. V celici B34 se prikaže približna vrednost želenega integrala s pomanjkljivostjo ( 1,997 ) .

Če primerjamo dobljeno aproksimativno vrednost z resnično vrednostjo integrala, lahko ugotovimo, da je aproksimacijska napaka pravokotne metode v tem primeru povsem sprejemljiva za prakso.

1. Rešitev vaj.