Naj imajo funkcije odvode limite (n-1).

Upoštevajte determinanto: (1)

W(x) imenujemo determinanta Wronskega za funkcije.

1. izrek.Če so funkcije linearno odvisne v intervalu (a, b), potem je njihov Wronskian W(x) v tem intervalu identično enak nič.

Dokaz. Po pogojih izreka je relacija izpolnjena

, (2) kjer niso vsi enaki nič. Pustiti . Potem

(3). To identiteto razlikujemo n-1-krat in,

Namesto tega zamenjamo svoje dobljene vrednosti v determinanto Wronskyja,

dobimo:

(4).

V determinanti Wronskega je zadnji stolpec linearna kombinacija prejšnjih n-1 stolpcev in je zato enak nič na vseh točkah v intervalu (a, b).

2. izrek.Če so funkcije y1,…, yn linearno neodvisne rešitve enačbe L[y] = 0, katerih vsi koeficienti so zvezni v intervalu (a, b), potem je Wronskian teh rešitev različen od nič v vsaki točki interval (a, b).

Dokaz. Predpostavimo nasprotno. Obstaja X0, kjer je W(X0)=0. Ustvarimo sistem n enačb

(5).

Očitno ima sistem (5) različno rešitev. Naj (6).

Naredimo linearno kombinacijo rešitev y1,…, yn.

Y(x) je rešitev enačbe L[y] = 0. Poleg tega je . Na podlagi izreka o edinstvenosti je lahko rešitev enačbe L[y] = 0 z ničelnimi začetnimi pogoji samo nič, tj.

Dobimo identiteto, kjer niso vse enake nič, kar pomeni, da so y1,..., yn linearno odvisni, kar je v nasprotju s pogoji izreka. Posledično ne obstaja točka, kjer je W(X0)=0.

Na podlagi izreka 1 in izreka 2 je mogoče formulirati naslednjo trditev. Da bi bilo n rešitev enačbe L[y] = 0 linearno neodvisnih v intervalu (a, b), je nujno in zadostno, da njihov Wronskian ne izniči v nobeni točki tega intervala.

Iz dokazanih izrekov izhajajo tudi naslednje očitne lastnosti Wronskiana.

1. Če je Wronskian n rešitev enačbe L[y] = 0 enak nič v eni točki x = x0 iz intervala (a, b), v katerem so vsi koeficienti pi(x) zvezni, potem je enak nič na vseh točkah tega intervala.
2. Če je Wronskian n rešitev enačbe L[y] = 0 različen od nič v eni točki x = x0 iz intervala (a, b), potem je različen od nič v vseh točkah tega intervala.

Tako je za linearnost n neodvisnih rešitev enačbe L[y] = 0 v intervalu (a, b), v katerem so koeficienti enačbe рi(x) zvezni, nujno in zadostno, da je njihov wronskian različen od nič vsaj v eni točki tega intervala.

Nujen in zadosten pogoj za linearno odvisnost dveh

vektorjev je njihova kolinearnost.

2. Skalarni produkt- operacija na dveh vektorjih, katere rezultat je skalar (število), ki ni odvisen od koordinatnega sistema in označuje dolžine vektorjev faktorjev in kot med njimi. Ta operacija ustreza množenju dolžina dani vektor x na projekcija drug vektor y na dani vektor x. Ta operacija se običajno šteje za komutativno in linearno v vsakem faktorju.

Lastnosti pikčastega produkta:

3. Imenujejo se trije vektorji (ali več). komplanaren, če ležijo v isti ravnini, reducirani na skupni izvor.

Nujen in zadosten pogoj za linearno odvisnost treh vektorjev je njihova komplanarnost.Kateri koli štirje vektorji so linearno odvisni. Osnova v prostoru je vsaka urejena trojka nekoplanarnih vektorjev. Osnova v prostoru omogoča, da je vsak vektor edinstveno povezan z urejenim trojčkom števil – koeficienti reprezentacije tega vektorja v linearni kombinaciji baznih vektorjev. Nasprotno, vsaki urejeni trojki števil povežemo vektor z bazo, če naredimo linearno kombinacijo. Ortogonalna baza se imenuje ortonormalno , če so njegovi vektorji po dolžini enaki ena. Za ortonormirano bazo v prostoru se pogosto uporablja zapis. Izrek: V ortonormirani bazi so koordinate vektorjev ustrezne pravokotne projekcije tega vektorja na smeri koordinatnih vektorjev. Trojka nekoplanarnih vektorjev a, b, c klical prav, če opazovalec iz njihovega skupnega izhodišča obide konce vektorjev a, b, c v danem vrstnem redu se zdi, da se zgodi v smeri urinega kazalca. V nasprotnem primeru a, b, c - levo tri. Imenujejo se vse desne (ali leve) trojke vektorjev enako usmerjeni. Pravokotni koordinatni sistem na ravnini tvorita dve med seboj pravokotni koordinatni osi OX in ojoj. Koordinatni osi se sekata v točki O, ki se imenuje izhodišče, je na vsaki osi izbrana pozitivna smer. IN desnostranski koordinatnem sistemu je pozitivna smer osi izbrana tako, da ko je os usmerjena ojoj gor, os OX pogledal na desno.

Štirje vogali (I, II, III, IV), ki jih tvorijo koordinatne osi X"X in Y"Y, imenujemo koordinatni koti oz kvadrantih(glej sliko 1).

če imata vektorja in glede na ortonormirano osnovo na ravnini koordinate in se skalarni produkt teh vektorjev izračuna po formuli

4. Navzkrižni produkt dveh vektorjev a in b je operacija na njih, definirana le v tridimenzionalnem prostoru, katere rezultat je vektor z naslednjim

lastnosti:

Geometrijski pomen vektorskega produkta vektorjev je površina paralelograma, zgrajenega na vektorjih. Nujen in zadosten pogoj za kolinearnost vektorja, ki ni nič, in vektorja je obstoj števila, ki zadošča enakosti.

Če sta dva vektorja definirana s svojimi pravokotnimi kartezičnimi koordinatami, ali natančneje, predstavljena z vortonormirano bazo

in je koordinatni sistem desnoročen, ima njihov vektorski produkt obliko

Če si želite zapomniti to formulo, je priročno uporabiti determinanto:

5. Mešani izdelek vektorji - skalarni produkt vektorja in vektorski produkt vektorjev in :

Včasih se imenuje trojni skalarni produkt vektorjev, najverjetneje zaradi dejstva, da je rezultat skalar (natančneje psevdoskalar).

Geometrijski pomen: Modul mešanega produkta je številčno enak prostornini paralelepipeda, ki ga sestavljajo vektorji.

Ko se dva faktorja prerazporedita, mešani produkt spremeni predznak v nasprotni:

S ciklično (krožno) preureditvijo faktorjev se mešani produkt ne spremeni:

Mešani produkt je linearen v katerem koli faktorju.

Mešani produkt je enak nič, če in samo če sta vektorja koplanarna.

1. Pogoj za koplanarnost vektorjev: Trije vektorji so komplanarni, če in samo, če je njihov mešani produkt enak nič.

§ Trojka vektorjev, ki vsebuje par kolinearnih vektorjev, je komplanarna.

§ Mešani produkt koplanarnih vektorjev. To je merilo za komplanarnost treh vektorjev.

§ Koplanarni vektorji so linearno odvisni. To je tudi merilo za koplanarnost.

§ Obstajajo realna števila, taka da za komplanar, razen v primerih ali. To je preoblikovanje prejšnje lastnosti in tudi kriterij koplanarnosti.

§ V 3-dimenzionalnem prostoru tvorijo osnovo 3 nekoplanarni vektorji. To pomeni, da je vsak vektor mogoče predstaviti v obliki: . Potem bodo koordinate v tej osnovi.

Mešani produkt v desnem kartezičnem koordinatnem sistemu (v ortonormirani bazi) je enak determinanti matrike, sestavljene iz vektorjev in:

§ 6. Splošna enačba (popolna) ravnine

kjer sta in sta konstanti, hkrati pa nista enaki nič; v vektorski obliki:

kjer je radij vektor točke, je vektor pravokoten na ravnino (normalni vektor). Smerni kosinus vektor:

Če je eden od koeficientov v enačbi ravnine enak nič, se enačba pokliče nepopolna. Ko gre ravnina skozi koordinatno izhodišče, ko je (ali , ) ravnina vzporedna z osjo (oziroma ). Ko je ( , ali ) ravnina vzporedna z ravnino (oziroma ali ).

§ Enačba ravnine v segmentih:

kjer so , , segmenti, ki jih ravnina odseka na oseh in .

§ Enačba ravnine, ki poteka skozi točko pravokotno na normalni vektor :

v vektorski obliki:

(mešani produkt vektorjev), drugače

§ Normalna (normalizirana) enačba ravnine

§ Kot med dvema ravninama.Če so P.-jeve enačbe podane v obliki (1), potem

Če je v vektorski obliki, potem

§ Ravnine so vzporedne, Če

Ali (vektorski izdelek)

§ Ravnine so pravokotne, Če

ali . (Skalarni produkt)

7. Enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke , ne ležijo na isti premici:

8. Razdalja od točke do ravnine je najmanjša od razdalj med to točko in točkami ravnine. Znano je, da je razdalja od točke do ravnine enaka dolžini navpičnice, ki je iz te točke narisana na ravnino.

§ Točkovno odstopanje iz ravnine, podane z normalizirano enačbo

Če in izhodišče koordinat ležita na različnih straneh ravnine, v nasprotnem primeru . Razdalja od točke do ravnine je

§ Razdalja od točke do ravnine, ki jo določa enačba, se izračuna po formuli:

9. Kup letal- enačba katere koli ploskve, ki poteka skozi presečišče dveh ravnin

kjer sta α in β poljubni števili, ki nista hkrati nič.

Da bi bile tri ravnine, definirane s svojimi splošnimi enačbami A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 glede na PDSC pripadal enemu svežnju, pravilnemu ali nepravilnemu, je nujno in zadostno, da je rang matrike enak bodisi dve ali ena.
Izrek 2. Naj sta dve ravnini π 1 in π 2 podani glede na PDSC z njunima splošnima enačbama: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 = 0. Da bi ravnina π 3, definirana glede na PDSC s splošno enačbo A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0, pripadala žarku, ki ga tvorita ravnini π 1 in π 2, je je potrebno in zadostno, da je bila leva stran enačbe ravnine π 3 predstavljena kot linearna kombinacija levih strani enačb ravnin π 1 in π 2.

10.Vektorska parametrična enačba premice v vesolju:

kjer je radij vektor neke fiksne točke M 0, ki leži na premici, je neničelni vektor, kolinearen tej premici, in je polmerni vektor poljubne točke na premici.

Parametrična enačba premice v vesolju:

M

Kanonična enačba premice v vesolju:

kje so koordinate neke fiksne točke M 0 leži na ravni črti; - koordinate vektorja kolinearne na to premico.

Splošna vektorska enačba premice v vesolju:

Ker je ravna črta presečišče dveh različnih nevzporednih ravnin, opredeljenih s splošnimi enačbami:

potem lahko enačbo premice določimo s sistemom teh enačb:

Kot med smernima vektorjema in bo enak kotu med ravnima črtama. Kot med vektorji najdemo s skalarnim produktom. cosA=(ab)/IaI*IbI

Kot med premico in ravnino najdemo po formuli:

kjer (A;B;C;) koordinate normalnega vektorja ravnine
(l;m;n;) koordinate smernega vektorja premice

Pogoji za vzporednost dveh premic:

a) Če so premice podane z enačbami (4) s kotnim koeficientom, potem je nujen in zadosten pogoj za njihovo vzporednost enakost njihovih kotnih koeficientov:

k 1 = k 2 . (8)

b) Za primer, ko so premice podane z enačbami v splošni obliki (6), je nujen in zadosten pogoj za njihovo vzporednost ta, da so koeficienti za ustrezne trenutne koordinate v njihovih enačbah sorazmerni, tj.

Pogoji pravokotnosti dveh ravnih črt:

a) V primeru, ko so premice podane z enačbami (4) s kotnim koeficientom, je nujen in zadosten pogoj za njihovo pravokotnost ta, da so njihovi kotni koeficienti inverzni po velikosti in nasprotnega predznaka, tj.

b) Če so enačbe premic podane v splošni obliki (6), potem je pogoj za njihovo pravokotnost (potrebno in zadostno) izpolnjevanje enakosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

Premica se imenuje pravokotna na ravnino, če je pravokotna na katero koli premico v tej ravnini. Če je premica pravokotna na vsako od dveh sekajočih se premic ravnine, potem je pravokotna na to ravnino. Da sta premica in ravnina vzporedni, je nujno in zadostno, da sta normalni vektor na ravnino in smerni vektor premice pravokotna. Za to je potrebno, da je njihov skalarni produkt enak nič.

Da sta premica in ravnina pravokotni, je nujno in zadostno, da sta normalni vektor na ravnino in smerni vektor premice kolinearna. Ta pogoj je izpolnjen, če je bil vektorski produkt teh vektorjev enak nič.

12. V prostoru razdalja od točke do premice, podana s parametrično enačbo

lahko najdemo kot najmanjšo razdaljo od dane točke do poljubne točke na premici. Koeficient t to točko je mogoče najti s formulo

Razdalja med križnimi črtami imenujemo dolžina njune skupne navpičnice. Enaka je razdalji med vzporednima ravninama, ki potekata skozi te premice.

Upoštevajte, da bomo v nadaljevanju brez izgube splošnosti obravnavali primer vektorjev v tridimenzionalnem prostoru. Na ravnini se upoštevanje vektorjev izvaja podobno. Kot je navedeno zgoraj, lahko vse rezultate, znane iz predmeta linearne algebre za algebraične vektorje, prenesemo na poseben primer geometrijskih vektorjev. To bomo storili.

Naj bodo vektorji fiksni.

Opredelitev. Vsoto , kjer so nekatera števila, imenujemo linearna kombinacija vektorjev. V tem primeru bomo te številke imenovali koeficienti linearne kombinacije.

Zanimalo nas bo vprašanje možnosti, da je linearna kombinacija enaka ničelnemu vektorju. V skladu z lastnostmi in aksiomi vektorskih prostorov postane očitno, da za vsak sistem vektorjev obstaja trivialna (ničelna) množica koeficientov, za katere velja ta enakost:

Postavlja se vprašanje o obstoju za dani sistem vektorjev netrivialne množice koeficientov (med katerimi je vsaj en neničelni koeficient), za katere omenjena enakost velja. V skladu s tem bomo razlikovali med linearno odvisnimi in neodvisnimi sistemi.

Opredelitev. Sistem vektorjev imenujemo linearno neodvisen, če obstaja niz števil, med katerimi je vsaj eno različno od nič, tako da je ustrezna linearna kombinacija enaka ničelnemu vektorju:

Sistem vektorjev imenujemo linearno neodvisen, če velja enakost

možno le v primeru trivialnega niza koeficientov:

Naj naštejemo osnovne lastnosti linearno odvisnih in neodvisnih sistemov, dokazane pri tečaju linearne algebre.

1. Vsak sistem vektorjev, ki vsebuje ničelni vektor, je linearno odvisen.

2. Naj ima sistem vektorjev linearno odvisen podsistem. Potem je celoten sistem tudi linearno odvisen.

3. Če je sistem vektorjev linearno neodvisen, potem je tudi katerikoli njegov podsistem linearno neodvisen.

4. Če v sistemu vektorjev obstajata dva vektorja, od katerih enega dobimo iz drugega z množenjem z določenim številom, potem je celoten sistem linearno odvisen.

Izrek (merilo linearne odvisnosti). Sistem vektorjev je linearno odvisen, če in samo če je enega od vektorjev tega sistema mogoče predstaviti kot linearno kombinacijo preostalih vektorjev sistema.

Ob upoštevanju kriterija kolinearnosti dveh vektorjev lahko trdimo, da je kriterij njune linearne odvisnosti njuna kolinearnost. Za tri vektorje v prostoru velja naslednja trditev.

Izrek (kriterij linearne odvisnosti treh geometrijskih vektorjev). Trije vektorji in so linearno odvisni, če in samo če so komplanarni.

Dokaz.

Nujnost. Naj sta vektorja , in linearno odvisna. Dokažimo njihovo koplanarnost. Nato po splošnem kriteriju linearne odvisnosti algebraičnih vektorjev trdimo, da lahko enega od navedenih vektorjev predstavimo kot linearno kombinacijo preostalih vektorjev. Naj npr.

Če se vsi trije vektorji , in uporabijo v skupnem izhodišču, bo vektor sovpadal z diagonalo paralelograma, zgrajenega na vektorjih in . Toda to pomeni, da vektorji , in ležijo v isti ravnini, tj. komplanaren.

Ustreznost. Naj bosta vektorja , in komplanarna. Pokažimo, da sta linearno odvisna. Najprej si oglejmo primer, ko je katerikoli par teh vektorjev kolinearen. V tem primeru po prejšnjem izreku sistem vektorjev , , vsebuje linearno odvisen podsistem in je zato tudi sam linearno odvisen glede na lastnost 2 linearno odvisnih in neodvisnih sistemov vektorjev. Naj zdaj noben par obravnavanih vektorjev ni kolinearen. Prenesimo vse tri vektorje v eno ravnino in jih pripeljemo v skupno izhodišče. Narišimo ravne črte vzporedne z vektorji in skozi konec vektorja. Označimo s črko presečišče premice, vzporedne vektorju, s premico, na kateri leži vektor, s črko pa presečišče premice, vzporedne vektorju, s premico, na kateri leži vektor. Z definicijo vsote vektorjev dobimo:

.

Ker je vektor kolinearen vektorju, ki ni nič, potem obstaja realno število, tako da

Iz podobnih premislekov sledi, da obstaja realno število tako, da

Kot rezultat bomo imeli:

Nato iz splošnega kriterija za linearno odvisnost algebraičnih vektorjev dobimo, da so vektorji , , linearno odvisni. ■

Izrek (linearna odvisnost štirih vektorjev). Kateri koli štirje vektorji so linearno odvisni.

Dokaz. Najprej si oglejmo primer, ko je katera koli trojka od navedenih štirih vektorjev komplanarna. V tem primeru je ta trojka linearno odvisna v skladu s prejšnjim izrekom. Zato je v skladu z lastnostjo 2 linearno odvisnih in neodvisnih sistemov vektorjev celoten kvartet linearno odvisen.

Zdaj predpostavimo, da med obravnavanimi vektorji nobena trojka vektorjev ni koplanarna. Spravimo vse štiri vektorje , , , v skupno izhodišče in narišimo skozi konce vektorskih ravnin vzporedno z ravninami, ki jih določajo pari vektorjev , ; , ; , . Točke presečišča navedenih ravnin z ravnimi črtami, na katerih ležijo vektorji , in , bodo označene s črkami , oz. Iz definicije vsote vektorjev sledi, da

kar ob upoštevanju splošnega kriterija linearne odvisnosti algebraičnih vektorjev kaže, da so vsi štirje vektorji linearno odvisni. ■

Opredelitev 18.2 Funkcijski sistemf, ..., f strklicalli- neip o h in v in z in m. o th na intervalu(A, (3), če je nekaj netrivialnega 5 linearna kombinacija teh funkcij je enaka nič na tem intervalu:

Opredelitev 18.3 Vektorski sistem f 1, ..., x n pravimo, da je linearen v a b i c i m, če je neka netrivialna, linearna kombinacija teh vektorjev enaka vektorju krogle:

L V izogib zmedi bomo v nadaljevanju številko vektorske komponente (vektorske funkcije) označevali z indeksom, številko samega vektorja (če je takih vektorjev več) pa z zgornjim indeksom.

»Spomnimo vas, da se linearna kombinacija imenuje netrivialna, če niso vsi koeficienti v njej nič.

Opredelitev 18.4 Sistem vektorskih funkcij x 1 ^),..., x n (t) imenujemo linearni h in v in z in v intervalu,(A, /3), če je neka netrivialna linearna kombinacija teh vektorskih funkcij identično enaka ničelnemu vektorju na tem intervalu:

Pomembno je razumeti povezavo med temi tremi koncepti (linearna odvisnost funkcij, vektorjev in vektorskih funkcij) med seboj.

Najprej, če predstavimo formulo (18.6) v razširjeni obliki (ne pozabimo, da je vsak od x g (1) je vektor)

potem se izkaže, da je enakovreden sistemu enačb

kar pomeni linearno odvisnost i-tih komponent v smislu prve definicije (kot funkcij). Pravijo, da jih linearna odvisnost vektorskih funkcij vključuje komponento za komponento linearna odvisnost.

Obratno, na splošno, ne drži: dovolj je, da razmislimo o primeru para vektorskih funkcij

Prve komponente teh vektorskih funkcij preprosto sovpadajo, kar pomeni, da so linearno odvisne. Druge komponente so sorazmerne, tj. so tudi linearno odvisne. Če pa poskušamo sestaviti njihovo linearno kombinacijo, ki je identično enaka nič, potem iz relacije

takoj dobimo sistem

ki ima edinstveno rešitev S - S-2 - 0. Tako so naše vektorske funkcije linearno neodvisne.

Kaj je razlog za to čudno lastnost? Kakšen je trik, ki vam omogoča, da sestavite linearno neodvisne vektorske funkcije iz očitno odvisnih funkcij?

Izkazalo se je, da celotno bistvo ni toliko v linearni odvisnosti komponent, temveč v razmerju koeficientov, ki so potrebni za pridobitev ničle. V primeru linearne odvisnosti vektorskih funkcij isti niz koeficientov služi vsem komponentam ne glede na število. Toda v primeru, ki smo ga dali, je ena komponenta zahtevala en delež koeficientov, druga pa drugega. Torej je trik pravzaprav preprost: da bi dobili linearno odvisnost vektorskih funkcij kot celote iz "komponentno" linearne odvisnosti, je potrebno, da so vse komponente linearno odvisne "v enakem razmerju".

Preidimo zdaj na preučevanje povezave med linearno odvisnostjo vektorskih funkcij in vektorjev. Tukaj je skoraj očitno, da iz linearne odvisnosti vektorskih funkcij sledi, da za vsako fiksno t* vektor

bo linearno odvisna.

Obratno, splošno gledano, ne velja: iz linearne odvisnosti vektorjev za vsakega t Linearna odvisnost vektorskih funkcij ne sledi. To je enostavno videti na primeru dveh vektorskih funkcij

pri t=1, t=2 in t=3 dobimo pare vektorjev

oz. Vsak par vektorjev je sorazmeren (s koeficienti 1, 2 oziroma 3). To je enostavno razumeti za katero koli fiksno t* naš par vektorjev bo sorazmeren s koeficientom t*.

Če poskušamo sestaviti linearno kombinacijo vektorskih funkcij, ki je identično enaka nič, potem nam že prve komponente dajo razmerje

kar je mogoče le, če Z = Z2 = 0. Tako se je izkazalo, da so naše vektorske funkcije linearno neodvisne. Ponovno je razlaga za ta učinek ta, da v primeru linearne odvisnosti vektorskih funkcij isti niz konstant Cj služi vsem vrednostim t, in v našem primeru za vsako vrednost t potrebno je bilo določeno razmerje med koeficienti.

Linearna odvisnost in linearna neodvisnost vektorjev.
Osnova vektorjev. Afini koordinatni sistem

V avditoriju je voziček s čokoladami, vsak današnji obiskovalec pa bo dobil sladek parček - analitično geometrijo z linearno algebro. Ta članek se bo dotaknil dveh delov višje matematike hkrati in videli bomo, kako sobivata v enem ovoju. Oddahnite si, pojejte Twix! ...prekleto, kakšen kup neumnosti. Čeprav, v redu, ne bom točkoval, na koncu bi morali imeti pozitiven odnos do študija.

Linearna odvisnost vektorjev, linearna vektorska neodvisnost, osnova vektorjev in drugi izrazi nimajo le geometrične razlage, ampak predvsem algebrski pomen. Sam koncept "vektorja" z vidika linearne algebre ni vedno "navaden" vektor, ki ga lahko upodabljamo na ravnini ali v prostoru. Za dokaz vam ni treba iskati daleč, poskusite narisati vektor petdimenzionalnega prostora . Ali vremenski vektor, po katerega sem pravkar šel na Gismeteo: temperatura oziroma atmosferski tlak. Primer seveda ni pravilen z vidika lastnosti vektorskega prostora, vendar kljub temu nihče ne prepoveduje formalizacije teh parametrov kot vektorja. Dih jeseni...

Ne, ne bom vas dolgočasil s teorijo, linearni vektorski prostori, naloga je razumeti definicije in izreki. Novi izrazi (linearna odvisnost, neodvisnost, linearna kombinacija, baza itd.) veljajo za vse vektorje z algebraičnega vidika, vendar bodo navedeni geometrijski primeri. Tako je vse preprosto, dostopno in jasno. Poleg problemov analitične geometrije bomo obravnavali tudi nekatere tipične algebrske probleme. Za obvladovanje gradiva je priporočljivo, da se seznanite z lekcijami Vektorji za lutke in Kako izračunati determinanto?

Linearna odvisnost in neodvisnost ravninskih vektorjev.
Ravninska baza in afini koordinatni sistem

Razmislimo o ravnini vaše računalniške mize (samo miza, nočna omarica, tla, strop, karkoli želite). Naloga bo sestavljena iz naslednjih dejanj:

1) Izberite ravninsko osnovo. Grobo rečeno, mizna plošča ima dolžino in širino, zato je intuitivno, da bosta za izdelavo osnove potrebna dva vektorja. En vektor očitno ni dovolj, trije vektorji so preveč.

2) Na podlagi izbrane podlage nastavite koordinatni sistem(koordinatna mreža), da dodelite koordinate vsem predmetom na mizi.

Ne bodite presenečeni, sprva bodo pojasnila na prstih. Še več, na tvojem. Prosimo postavite levi kazalec na robu mizne plošče, tako da gleda v monitor. To bo vektor. Zdaj mesto desni mezinec na rob mize na enak način - tako, da je usmerjen v zaslon monitorja. To bo vektor. Nasmej se, izgledaš super! Kaj lahko rečemo o vektorjih? Podatkovni vektorji kolinearni, kar pomeni linearni izraženi drug skozi drugega:
, no, ali obratno: , kjer je neko število različno od nič.

Sliko tega dejanja si lahko ogledate v razredu. Vektorji za lutke, kjer sem razložil pravilo množenja vektorja s številom.

Ali bodo vaši prsti postavili podlago na ravnino računalniške mize? Očitno ne. Kolinearni vektorji potujejo naprej in nazaj čez sam smer, ravnina pa ima dolžino in širino.

Takšni vektorji se imenujejo linearno odvisen.

Referenca: Besede "linearno", "linearno" označujejo dejstvo, da v matematičnih enačbah in izrazih ni kvadratov, kock, drugih potenc, logaritmov, sinusov itd. Obstajajo samo linearni (1. stopnje) izrazi in odvisnosti.

Dva ravninska vektorja linearno odvisenče in samo če so kolinearni.

Prekrižajte prste na mizi, tako da je med njimi kakršen koli kot, ki ni 0 ali 180 stopinj. Dva ravninska vektorjalinearni ne odvisni, če in samo če niso kolinearni. Torej, osnova je pridobljena. Ni vam treba biti nerodno, da se je osnova izkazala za "poševno" z nepravokotnimi vektorji različnih dolžin. Kmalu bomo videli, da za njegovo konstrukcijo ni primeren samo kot 90 stopinj in ne le enotski vektorji enake dolžine

Kaj ravninski vektor edina pot se razširi glede na osnovo:
, kjer so realna števila. Številke se imenujejo vektorske koordinate v tej osnovi.

Rečeno je tudi, da vektorpredstavljen kot linearna kombinacija bazni vektorji. To pomeni, da se izraz imenuje vektorska dekompozicijapo osnovi oz linearna kombinacija bazni vektorji.

Na primer, lahko rečemo, da je vektor razčlenjen vzdolž ortonormirane baze ravnine, ali pa lahko rečemo, da je predstavljen kot linearna kombinacija vektorjev.

Oblikujmo opredelitev osnove formalno: Osnova letala imenujemo par linearno neodvisnih (nekolinearnih) vektorjev, , pri čemer kaj ravninski vektor je linearna kombinacija baznih vektorjev.

Bistvena točka definicije je dejstvo, da so vektorji vzeti v določenem vrstnem redu. Baze – to sta dve popolnoma različni podlagi! Kot pravijo, ne morete zamenjati mezinca leve roke namesto mezinca desne roke.

Osnovo smo ugotovili, vendar ni dovolj, da nastavite koordinatno mrežo in vsakemu predmetu na računalniški mizi dodelite koordinate. Zakaj ni dovolj? Vektorji so prosti in se sprehajajo po celotni ravnini. Kako torej dodeliti koordinate tistim malim umazanim madežem na mizi, ki so ostali od divjega vikenda? Potrebno je izhodišče. In tak mejnik je točka, ki jo poznajo vsi - izvor koordinat. Razumejmo koordinatni sistem:

Začel bom s "šolskim" sistemom. Že v uvodni uri Vektorji za lutke Poudaril sem nekaj razlik med pravokotnim koordinatnim sistemom in ortonormirano bazo. Tukaj je standardna slika:

Ko govorijo o pravokotni koordinatni sistem, potem največkrat pomenijo izhodišče, koordinatne osi in merilo po oseh. Poskusite v iskalnik vnesti "pravokotni koordinatni sistem" in videli boste, da vam bodo številni viri povedali o koordinatnih oseh, poznanih iz 5.-6. razreda, in o tem, kako narisati točke na ravnini.

Po drugi strani pa se zdi, da lahko pravokotni koordinatni sistem v celoti definiramo z ortonormirano bazo. In to je skoraj res. Besedilo je naslednje:

izvor, In ortonormalno osnova je postavljena Kartezični pravokotni ravninski koordinatni sistem . To je pravokotni koordinatni sistem zagotovo definirana z eno samo točko in dvema enotskima ortogonalnima vektorjema. Zato vidite risbo, ki sem jo dal zgoraj - v geometrijskih problemih so pogosto (vendar ne vedno) narisani tako vektorji kot koordinatne osi.

Mislim, da vsi razumejo to uporabo točke (izvora) in ortonormirane osnove KATERAKOLI TOČKA na ravnini in KATERIKOLI VEKTOR na ravnini lahko dodelite koordinate. Figurativno povedano, »vse na letalu je mogoče prešteti«.

Ali morajo biti koordinatni vektorji enotni? Ne, lahko imajo poljubno različno dolžino. Razmislite o točki in dveh pravokotnih vektorjih poljubne dolžine, ki ni enaka nič:

Takšna osnova se imenuje pravokoten. Izhodišče koordinat z vektorji je določeno s koordinatno mrežo in vsaka točka na ravnini, vsak vektor ima svoje koordinate v dani bazi. Na primer oz. Očitna neprijetnost je, da koordinatni vektorji na splošno imajo različne dolžine razen enote. Če so dolžine enake enoti, dobimo običajno ortonormirano osnovo.

! Opomba : v ortogonalni bazi, kot tudi spodaj v afinih bazah ravnine in prostora, upoštevamo enote vzdolž osi POGOJNO. Na primer, ena enota vzdolž osi x vsebuje 4 cm, ena enota vzdolž ordinatne osi pa 2 cm, ta podatek je dovolj, da po potrebi pretvorimo "nestandardne" koordinate v "naše običajne centimetre".

In drugo vprašanje, na katerega smo pravzaprav že odgovorili, je, ali mora biti kot med baznima vektorjema enak 90 stopinj? ne! Kot navaja definicija, morajo biti bazni vektorji samo nekolinearni. Skladno s tem je lahko kot karkoli razen 0 in 180 stopinj.

Poklicana točka na ravnini izvor, In nekolinearni vektorji, , set afini ravninski koordinatni sistem :

Včasih se tak koordinatni sistem imenuje poševno sistem. Kot primere so na risbi prikazane točke in vektorji:

Kot razumete, je afini koordinatni sistem še manj priročen, formule za dolžine vektorjev in segmentov, o katerih smo razpravljali v drugem delu lekcije, v njem ne delujejo Vektorji za lutke, številne okusne formule, povezane z skalarni produkt vektorjev. Vendar veljajo pravila za dodajanje vektorjev in množenje vektorja s številom, formule za delitev segmenta v tej relaciji, pa tudi nekatere druge vrste problemov, ki jih bomo kmalu obravnavali.

In sklep je, da je najprimernejši poseben primer afinega koordinatnega sistema kartezični pravokotni sistem. Zato jo moraš največkrat videti, draga moja. ...Vendar je vse v tem življenju relativno - veliko je situacij, v katerih poševni kot (ali kakšen drug, npr. polarni) koordinatni sistem. In humanoidom bi bili takšni sistemi morda všeč =)

Preidimo na praktični del. Vse težave v tej lekciji veljajo tako za pravokotni koordinatni sistem kot za splošni afini primer. Tu ni nič zapletenega, vse gradivo je dostopno tudi šolarju.

Kako ugotoviti kolinearnost ravninskih vektorjev?

Tipična stvar. Za dva ravninska vektorja bile kolinearne, je nujno in zadostno, da so njihove ustrezne koordinate sorazmerne V bistvu je to podrobnost očitnega razmerja po koordinatah.

Primer 1

a) Preverite, če sta vektorja kolinearna .
b) Ali vektorji tvorijo osnovo? ?

rešitev:
a) Ugotovimo, ali obstaja za vektorje sorazmernostni koeficient, tako da so izpolnjene enakosti:

Vsekakor vam bom povedal o "foppish" različici uporabe tega pravila, ki v praksi deluje precej dobro. Ideja je, da takoj sestavite delež in preverite, ali je pravilen:

Naredimo sorazmerje iz razmerij ustreznih koordinat vektorjev:

Skrajšajmo:
, zato so ustrezne koordinate sorazmerne, torej

Razmerje bi lahko postavili obratno; to je enakovredna možnost:

Za samotestiranje lahko uporabite dejstvo, da so kolinearni vektorji linearno izraženi drug skozi drugega. V tem primeru pride do enakosti . Njihovo veljavnost lahko enostavno preverimo z osnovnimi operacijami z vektorji:

b) Dva ravninska vektorja tvorita bazo, če nista kolinearna (linearno neodvisna). Vektorje preverjamo glede kolinearnosti . Ustvarimo sistem:

Iz prve enačbe sledi , iz druge enačbe pa , kar pomeni sistem je nedosleden(brez rešitev). Tako ustrezne koordinate vektorjev niso sorazmerne.

Zaključek: vektorja sta linearno neodvisna in tvorita bazo.

Poenostavljena različica rešitve je videti takole:

Iz pripadajočih koordinat vektorjev naredimo razmerje :
, kar pomeni, da so ti vektorji linearno neodvisni in tvorijo bazo.

Običajno te možnosti recenzenti ne zavrnejo, problem pa nastane v primerih, ko so nekatere koordinate enake nič. Všečkaj to: . ali takole: . ali takole: . Kako delati s sorazmerjem tukaj? (dejansko ne morete deliti z ničlo). Iz tega razloga sem poenostavljeno rešitev poimenoval "foppish".

odgovor: a), b) oblika.

Majhen ustvarjalni primer za lastno rešitev:

Primer 2

Pri kateri vrednosti parametra so vektorji bodo kolinearni?

V vzorčni raztopini parameter najdemo z deležem.

Obstaja eleganten algebrski način preverjanja kolinearnosti vektorjev. Sistematizirajmo svoje znanje in ga dodamo kot peto točko:

Za dva ravninska vektorja sta naslednji trditvi enakovredni:

2) vektorji tvorijo osnovo;
3) vektorja nista kolinearna;

+ 5) determinanta, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, je različna od nič.

Oziroma naslednje nasprotne izjave so enakovredne:
1) vektorji so linearno odvisni;
2) vektorji ne tvorijo osnove;
3) vektorja sta kolinearna;
4) vektorje lahko linearno izrazimo drug skozi drugega;
+ 5) determinanta, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, je enaka nič.

Resnično upam, da do zdaj že razumete vse izraze in izjave, s katerimi ste se srečali.

Oglejmo si podrobneje novo, peto točko: dva ravninska vektorja so kolinearne, če in samo če je determinanta, sestavljena iz koordinat danih vektorjev, enaka nič:. Če želite uporabiti to funkcijo, morate seveda biti sposobni poiščite determinante.

Odločimo se Primer 1 na drugi način:

a) Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz koordinat vektorjev :
, kar pomeni, da so ti vektorji kolinearni.

b) Dva ravninska vektorja tvorita bazo, če nista kolinearna (linearno neodvisna). Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz vektorskih koordinat :
, kar pomeni, da so vektorji linearno neodvisni in tvorijo osnovo.

odgovor: a), b) oblika.

Izgleda veliko bolj kompaktno in lepše kot rešitev s proporci.

S pomočjo obravnavanega materiala je mogoče ugotoviti ne le kolinearnost vektorjev, temveč tudi dokazati vzporednost segmentov in ravnih črt. Razmislimo o nekaj težavah s posebnimi geometrijskimi oblikami.

Primer 3

Podana so oglišča štirikotnika. Dokaži, da je štirikotnik paralelogram.

Dokaz: V problemu ni potrebe po ustvarjanju risbe, saj bo rešitev zgolj analitična. Spomnimo se definicije paralelograma:
Paralelogram Štirikotnik, katerega nasprotne stranice so v parih vzporedne, se imenuje.

Tako moramo dokazati:
1) vzporednost nasprotnih strani in;
2) vzporednost nasprotnih strani in.

Dokazujemo:

1) Poiščite vektorje:

2) Poiščite vektorje:

Rezultat je enak vektor (»po šoli« – enaki vektorji). Kolinearnost je precej očitna, vendar je bolje formalizirati odločitev jasno, z dogovorom. Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz vektorskih koordinat:
, kar pomeni, da so ti vektorji kolinearni in .

Zaključek: Nasprotni strani štirikotnika sta v parih vzporedni, kar pomeni, da je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Več dobrih in drugačnih figur:

Primer 4

Podana so oglišča štirikotnika. Dokaži, da je štirikotnik trapez.

Za strožjo formulacijo dokaza je seveda bolje dobiti definicijo trapeza, vendar je dovolj, da se preprosto spomnite, kako izgleda.

To je naloga, ki jo morate rešiti sami. Celotna rešitev na koncu lekcije.

In zdaj je čas, da se počasi premaknemo iz letala v vesolje:

Kako ugotoviti kolinearnost vesoljskih vektorjev?

Pravilo je zelo podobno. Da sta dva prostorska vektorja kolinearna, je nujno in zadostno, da sta njuni pripadajoči koordinati sorazmerni.

Primer 5

Ugotovite, ali so naslednji prostorski vektorji kolinearni:

A) ;
b)
V)

rešitev:
a) Preverimo, ali obstaja koeficient sorazmernosti za ustrezne koordinate vektorjev:

Sistem nima rešitve, kar pomeni, da vektorji niso kolinearni.

"Poenostavljeno" je formalizirano s preverjanjem deleža. V tem primeru:
– ustrezne koordinate niso proporcionalne, kar pomeni, da vektorji niso kolinearni.

odgovor: vektorji niso kolinearni.

b-c) To so točke za samostojno odločanje. Preizkusite na dva načina.

Obstaja metoda za preverjanje kolinearnosti prostorskih vektorjev prek determinante tretjega reda; ta metoda je obravnavana v članku Vektorski produkt vektorjev.

Podobno kot v ravninskem primeru lahko z obravnavanimi orodji preučujemo vzporednost prostorskih odsekov in ravnih črt.

Dobrodošli v drugi rubriki:

Linearna odvisnost in neodvisnost vektorjev v tridimenzionalnem prostoru.
Prostorska osnova in afini koordinatni sistem

Številni vzorci, ki smo jih pregledali na letalu, bodo veljavni za vesolje. Poskušal sem zmanjšati teoretične opombe, saj je bil levji delež informacij že prežvečen. Priporočam pa, da pozorno preberete uvodni del, saj se bodo pojavili novi izrazi in pojmi.

Zdaj namesto ravnine računalniške mize raziskujemo tridimenzionalni prostor. Najprej ustvarimo njegovo osnovo. Nekdo je zdaj v zaprtih prostorih, nekdo zunaj, v vsakem primeru pa ne moremo ubežati trem dimenzijam: širini, dolžini in višini. Zato bodo za izdelavo osnove potrebni trije prostorski vektorji. En ali dva vektorja nista dovolj, četrti je odveč.

In spet segrejemo na prste. Dvignite roko in jo razširite v različne smeri palec, kazalec in sredinec. To bodo vektorji, gledajo v različne smeri, imajo različne dolžine in imajo različne kote med seboj. Čestitamo, osnova tridimenzionalnega prostora je pripravljena! Mimogrede, tega ni treba dokazovati učiteljem, ne glede na to, kako močno vrtite prste, vendar definicijam ni pobega =)

Nato si zastavimo pomembno vprašanje: ali kateri koli trije vektorji tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora? Trdno pritisnite s tremi prsti na vrh računalniške mize. Kaj se je zgodilo? Trije vektorji se nahajajo v isti ravnini in, grobo rečeno, smo izgubili eno od dimenzij - višino. Takšni vektorji so komplanaren in povsem očitno je, da osnova tridimenzionalnega prostora ni ustvarjena.

Upoštevati je treba, da koplanarnim vektorjem ni treba ležati v isti ravnini, lahko so v vzporednih ravninah (samo tega ne počnite s prsti, to je naredil samo Salvador Dali =)).

Opredelitev: imenujemo vektorje komplanaren, če obstaja ravnina, s katero sta vzporedni. Tu je logično dodati, da če taka ravnina ne obstaja, potem vektorji ne bodo koplanarni.

Trije komplanarni vektorji so vedno linearno odvisni, to pomeni, da so linearno izraženi drug skozi drugega. Za poenostavitev si znova predstavljajmo, da ležijo v isti ravnini. Prvič, vektorji niso samo koplanarni, lahko so tudi kolinearni, potem je kateri koli vektor lahko izražen s katerim koli vektorjem. V drugem primeru, če na primer vektorji niso kolinearni, je tretji vektor izražen skozi njih na edinstven način: (in zakaj je enostavno uganiti iz materialov v prejšnjem razdelku).

Prav tako velja nasprotna trditev: trije nekoplanarni vektorji so vedno linearno neodvisni, to pomeni, da se nikakor ne izražata drug skozi drugega. In seveda le taki vektorji lahko tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora.

Opredelitev: Osnova tridimenzionalnega prostora imenujemo trojka linearno neodvisnih (nekomplanarnih) vektorjev, vzeti v določenem vrstnem redu, in poljuben vektor prostora edina pot je razčlenjen po dani bazi, kjer so koordinate vektorja v tej bazi

Naj vas spomnim, da lahko tudi rečemo, da je vektor predstavljen v obliki linearna kombinacija bazni vektorji.

Pojem koordinatnega sistema uvedemo na popolnoma enak način kot za ravninski primer; zadostuje ena točka in poljubni trije linearno neodvisni vektorji:

izvor, In nekoplanarni vektorji, vzeti v določenem vrstnem redu, set afini koordinatni sistem tridimenzionalnega prostora :

Seveda je koordinatna mreža "poševna" in neprijetna, vendar nam kljub temu izdelani koordinatni sistem omogoča zagotovo določiti koordinate poljubnega vektorja in koordinate poljubne točke v prostoru. Podobno kot na ravnini nekatere formule, ki sem jih že omenil, ne bodo delovale v afinem koordinatnem sistemu prostora.

Najbolj znan in priročen poseben primer afinega koordinatnega sistema, kot vsi ugibajo, je koordinatni sistem pravokotnega prostora:

Točka v prostoru, imenovana izvor, In ortonormalno osnova je postavljena Kartezični pravokotni prostorski koordinatni sistem . Znana slika:

Preden preidemo na praktične naloge, znova sistematizirajmo informacije:

Za tri prostorske vektorje so naslednje izjave enakovredne:
1) vektorja sta linearno neodvisna;
2) vektorji tvorijo osnovo;
3) vektorja nista koplanarna;
4) vektorjev ni mogoče linearno izraziti drug skozi drugega;
5) determinanta, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, je različna od nič.

Mislim, da so nasprotne trditve razumljive.

Linearno odvisnost/neodvisnost prostorskih vektorjev tradicionalno preverjamo z determinanto (točka 5). Preostale praktične naloge bodo izrazito algebraične narave. Čas je, da obesimo geometrijsko palico in vihtimo bejzbolski kij linearne algebre:

Trije vektorji prostora so komplanarne, če in samo če je determinanta, sestavljena iz koordinat danih vektorjev, enaka nič: .

Rad bi vas opozoril na majhno tehnično nianso: koordinate vektorjev lahko zapišete ne samo v stolpce, ampak tudi v vrstice (vrednost determinante se zaradi tega ne bo spremenila - glejte lastnosti determinant). Vendar je veliko bolje v stolpcih, saj je bolj uporabno za reševanje nekaterih praktičnih problemov.

Za tiste bralce, ki so že malce pozabili metode izračunavanja determinant ali pa jih morda sploh ne razumejo, priporočam eno svojih najstarejših lekcij: Kako izračunati determinanto?

Primer 6

Preverite, ali so naslednji vektorji osnova tridimenzionalnega prostora:

rešitev: Pravzaprav se celotna rešitev zmanjša na izračun determinante.

a) Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz vektorskih koordinat (determinanta je razkrita v prvi vrstici):

, kar pomeni, da so vektorji linearno neodvisni (ne koplanarni) in tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora.

Odgovori: ti vektorji tvorijo osnovo

b) To je točka za neodvisno odločitev. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Obstajajo tudi ustvarjalne naloge:

Primer 7

Pri kateri vrednosti parametra bodo vektorji komplanarni?

rešitev: Vektorji so komplanarni, če in samo če je determinanta, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, enaka nič:

V bistvu morate rešiti enačbo z determinanto. Na ničle se spuščamo kot zmaji na jerboe - najbolje je odpreti determinanto v drugi vrstici in se takoj znebiti minusov:

Izvedemo nadaljnje poenostavitve in zadevo reduciramo na najpreprostejšo linearno enačbo:

Odgovori: pri

Tukaj je enostavno preveriti; za to morate dobljeno vrednost nadomestiti z izvirno determinanto in se prepričati, da , ponovno odpiranje.

Na koncu bomo preučili še en tipičen problem, ki je bolj algebrske narave in je tradicionalno vključen v tečaj linearne algebre. Tako pogosta je, da si zasluži svojo temo:

Dokaži, da trije vektorji tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora
in v tej bazi poišči koordinate 4. vektorja

Primer 8

Vektorji so podani. Pokažite, da vektorji tvorijo bazo v tridimenzionalnem prostoru in poiščite koordinate vektorja v tej bazi.

rešitev: Najprej se posvetimo stanju. Po pogoju so podani štirje vektorji, ki imajo, kot vidite, že koordinate v neki bazi. Kakšna je ta osnova, nas ne zanima. In zanimivo je naslednje: trije vektorji lahko tvorijo novo osnovo. In prva stopnja popolnoma sovpada z rešitvijo primera 6; treba je preveriti, ali so vektorji resnično linearno neodvisni:

Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz vektorskih koordinat:

, kar pomeni, da so vektorji linearno neodvisni in tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora.