Poleg povezave, ki smo jo odkrili v kompleksnem območju med trigonometričnimi in eksponentnimi funkcijami (Eulerjeve formule)
v kompleksni domeni obstaja taka zelo preprosta povezava med trigonometričnimi in hiperboličnimi funkcijami.
Spomnimo se, da po definiciji:
Če v identiteti (3) naredimo zamenjavo s then na desni strani, dobimo enak izraz, ki je na desni strani identitete, iz česar sledi enakost levih strani. Enako velja za identiteti (4) in (2).
Če oba dela identitete (6) razdelimo na ustrezne dele identitete (5) in obratno (5) z (6), dobimo:
Podobna zamenjava v identitetah (1) in (2) ter primerjava z identitetama (3) in (4) da:
Končno iz identitet (9) in (10) ugotovimo:
Če v identitetah (5)-(12) postavimo, kjer je x realno število, tj. menimo, da je argument čisto imaginaren, potem dobimo še osem identitet med trigonometričnimi funkcijami čisto imaginarnega argumenta in ustreznimi hiperboličnimi funkcijami realnega argumenta, kot tudi med hiperboličnimi funkcijami čisto imaginarnega argumenta in ustreznimi trigonometričnimi funkcijami realnega argumenta:
Nastale relacije omogočajo prehod od trigonometričnih funkcij k hiperboličnim in od
hiperbolične funkcije v trigonometrične z zamenjavo imaginarnega argumenta z realnim. Lahko se oblikujejo kot naslednje pravilo:
Če želite preiti s trigonometričnih funkcij namišljenega argumenta na hiperbolične ali, nasprotno, s hiperboličnih funkcij namišljenega argumenta na trigonometrične, je treba namišljeno enoto sinusa in tangensa odstraniti iz predznaka funkcije, za kosinus pa ga je treba popolnoma zavreči.
Vzpostavljena povezava je izjemna predvsem v tem, da nam omogoča, da dobimo vse relacije med hiperboličnimi funkcijami iz znanih relacij med trigonometričnimi funkcijami tako, da slednje nadomestimo s hiperboličnimi funkcijami
Pokažimo vam, kako je. se izvaja.
Vzemimo za primer osnovno trigonometrično identiteto
in vstavite vanj, kjer je x realno število; dobimo:
Če v tej identiteti nadomestimo sinus in kosinus s hiperboličnim sinusom in kosinusom v skladu s formulami, potem dobimo ali in to je glavna istovetnost med predhodno izpeljanimi na drugačen način.
Na podoben način lahko izpeljemo vse druge formule, vključno s formulami za hiperbolične funkcije vsote in razlike argumentov, dvojne in polovične argumente itd., s čimer iz običajne trigonometrije dobimo »hiperbolično trigonometrijo«.
, stran 611 Osnovne funkcije kompleksne spremenljivke
Spomnimo se definicije kompleksnega eksponenta – . Potem
Razširitev serije Maclaurin. Konvergenčni polmer te serije je +∞, kar pomeni, da je kompleksna eksponenta analitična na celotni kompleksni ravnini in
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
Prva enakost tukaj izhaja na primer iz izreka o člen za členom diferenciacije potenčne vrste.
11.1 Trigonometrične in hiperbolične funkcije
Sinus kompleksne spremenljivke imenovana funkcija
Kosinus kompleksne spremenljivke obstaja funkcija
Hiperbolični sinus kompleksne spremenljivke je definiran takole:
Hiperbolični kosinus kompleksne spremenljivke-- to je funkcija
Opozorimo na nekatere lastnosti na novo uvedenih funkcij.
A.Če x∈ ℝ, potem cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.
B. Med trigonometričnimi in hiperboličnimi funkcijami obstaja naslednja povezava:
cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.
B. Osnovne trigonometrične in hiperbolične identitete:
cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.
Dokaz glavne hiperbolične identitete.
Glavna trigonometrična identiteta izhaja iz glavne hiperbolične identitete ob upoštevanju povezave med trigonometričnimi in hiperboličnimi funkcijami (glej lastnost B)
G Adicijske formule:
Še posebej,
D. Za izračun odvodov trigonometričnih in hiperboličnih funkcij je treba uporabiti izrek o člen za členom diferenciacije potenčne vrste. Dobimo:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.
E. Funkciji cos z, ch z sta sodi, funkciji sin z, sin z pa lihi.
J. (pogostost) Funkcija e z je periodična s periodo 2π i. Funkciji cos z, sin z sta periodični s periodo 2π, funkciji ch z, sin z pa sta periodični s periodo 2πi. Še več,
Z uporabo formul za vsoto dobimo
Z. Razčlenitve na realne in imaginarne dele:
Če analitična funkcija z eno vrednostjo f(z) bijektivno preslika domeno D na domeno G, potem D imenujemo enovalentna domena.
IN. Območje D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Dokaz. Iz relacije (5) sledi, da je preslikava exp:D k → ℂ injektivna. Naj bo w poljubno kompleksno število, ki ni nič. Nato rešimo enačbe e x =|w| in e iy =w/|w| z realnima spremenljivkama x in y (y je izbran iz polintervala); včasih pride v poštev..... Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Efron
Funkcije, inverzne hiperboličnim funkcijam (glej Hiperbolične funkcije) sh x, ch x, th x; izraženi so s formulami (beri: ploščina sinus hiperbolična, ploščina kosinus hiperbolična, ploščina tangenta... ... Velika sovjetska enciklopedija
Funkcije inverzne na hiperbolične. funkcije; izraženo s formulami... Naravoslovje. enciklopedični slovar
Inverzne hiperbolične funkcije so definirane kot inverzne funkcije hiperboličnih funkcij. Te funkcije določajo ploščino sektorja enotske hiperbole x2 − y2 = 1 na enak način kot inverzne trigonometrične funkcije določajo dolžino... ... Wikipedia
knjige
- Hiperbolične funkcije, Yanpolsky A.R. Knjiga opisuje lastnosti hiperboličnih in inverznih hiperboličnih funkcij ter podaja razmerja med njimi in drugimi osnovnimi funkcijami. Uporaba hiperboličnih funkcij na...
HIPERBOLIČNE FUNKCIJE— Hiperbolični sinus (sh x) in kosinus (сh x) sta opredeljena z naslednjimi enakostmi:
Hiperbolični tangens in kotangens sta definirana po analogiji s trigonometričnim tangensom in kotangensom:
Hiperbolični sekans in kosekans sta definirana podobno:
Uporabljajo se naslednje formule:
Lastnosti hiperboličnih funkcij so v marsičem podobne lastnostim (glej). Enačbi x=cos t, y=sin t določata krog x²+y² = 1; enačbi x=сh t, y=sh t določata hiperbolo x² - y²=1. Tako kot so trigonometrične funkcije določene iz kroga enotskega polmera, so hiperbolične funkcije določene iz enakokrake hiperbole x² - y²=1. Argument t je dvojna ploščina osenčenega krivočrtnega trikotnika OME (sl. 48), podobno kot je za krožne (trigonometrične) funkcije argument t številčno enak dvojni ploščini krivočrtnega trikotnika OKE (sl. 49):
za krog
za hiperbolo
Adicijski izreki za hiperbolične funkcije so podobni adicijskim izrekom za trigonometrične funkcije:
Te analogije zlahka vidimo, če vzamemo kompleksno spremenljivko r kot argument x. Hiperbolične funkcije so povezane s trigonometričnimi funkcijami z naslednjimi formulami: sh x = - i sin ix, cosh x = cos ix, kjer je i ena od vrednosti. korena √-1. Hiperbolične funkcije sh x, kot tudi ch x: lahko sprejmejo poljubne velike vrednosti (torej seveda velike enote) v nasprotju s trigonometričnimi funkcijami sin x, cos x, ki za realne vrednosti ne morejo biti večje od ena v absolutna vrednost.
Hiperbolične funkcije igrajo vlogo v geometriji Lobačevskega (glej), uporabljajo se pri študiju trdnosti materialov, v elektrotehniki in drugih vejah znanja. V literaturi obstajajo tudi oznake za hiperbolične funkcije, kot je sinh x; сosh x; tgh x.
