Cantorjev aksiom za realna števila. Osnova analize

15. Če sta neprazni množici A in B realnih števil taki, da za katerokoli in velja neenakost a< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

Aksiom popolnosti velja le v R.

Lahko se dokaže, da lahko med katera koli neenaka racionalna števila vedno vstavite neenako racionalno število.

Iz zgoraj navedenih aksiomov je mogoče sklepati na edinstvenost ničle in ena, obstoj in edinstvenost razlike in količnika. Naj dodatno opozorimo na lastnosti neenakosti, ki se pogosto uporabljajo v različnih transformacijah:

1. Če a< b, с < d , то a+c < b+d.

2. Če a< b, то –a >–b.

3. Če je a > 0, b< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (Slednje velja tudi za a > 0, b > 0.)

4. Če je 0< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. Če a< b, c >0, nato ac< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. Če je 0< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. Za poljubna pozitivna števila a in b obstaja število nО N tako, da je na > b (aksiom Arhimed, za odseke dolžine a, b, na).

Za numerične nize se uporabljajo naslednji zapisi:

n – množica naravnih števil;

Z – množica celih števil;

Q – množica racionalnih števil;

jaz – množica iracionalnih števil;

R – niz realnih števil;

R + – množica realnih pozitivnih števil;

R_ – množica realnih negativnih števil;

R 0 – množica realnih nenegativnih števil;

C je množica kompleksnih števil (definicija in lastnosti te množice so obravnavane v razdelku 1.1).

Uvedimo pojem omejenosti na množici realnih števil. Aktivno bo uporabljen v nadaljnjih razpravah.

Množico bomo imenovali OMEJENA ZGORAJ (SPOD), če obstaja tako realno število M ( m ) da vsak element izpolnjuje neenakost:

Število M imenujemo ZGORNJA MEJA MNOŽICE A, število m pa – SPODNJA MEJA tega niza.

Zgoraj in spodaj omejeno množico imenujemo omejena.

Kup n naravna števila so spodaj omejena, zgoraj pa ne. Niz celih števil Z ni omejeno ne spodaj ne zgoraj.

Če upoštevamo množico površin poljubnih trikotnikov, včrtanih v krog premera D , potem je od spodaj omejen z ničlo in od zgoraj – območje katerega koli mnogokotnika, ki vključuje krog (zlasti območje opisanega kvadrata, enako D 2 ).

Vsaka zgoraj (spodaj) omejena množica ima neskončno veliko zgornjih (spodnjih) ploskev. Potem, ali obstaja najmanjša od vseh zgornjih meja in največja od vseh spodnjih meja?

Poklicali bomo številko supremum množice, omejene zgoraj AÌ R , Če:

1. je ena od zgornjih meja niza A ;

2. je najmanjša zgornja meja niza A . Z drugimi besedami, realno število je supremum množice AÌ R , Če:

Sprejeto poimenovanje

Vnesite na enak način: – infimuma spodaj omejene množice A in ustrezne oznake

V latinščini: supremum - najvišji, infimum - najnižji.

Točne ploskve niza mu lahko pripadajo ali pa tudi ne.

TEOREM. Neprazna množica realnih števil, omejena zgoraj (spodaj), ima zgornjo (spodnjo) mejo.

Ta izrek bomo sprejeli brez dokaza. Na primer, če je , potem se zgornja meja lahko šteje za številko 100, spodnja - 10 in . Če, potem. V drugem primeru natančne meje ne pripadajo tej množici.

Na množici realnih števil lahko ločimo dve disjunktni podmnožici algebrskih in transcendentalnih števil.

ALGEBRSKA ŠTEVILA so števila, ki so koreni polinoma

katerih koeficienti – cela števila.

V višji algebri je dokazano, da je množica kompleksnih korenin polinoma končna in enaka n. (Kompleksna števila so posplošitev realnih števil). Množica algebrskih števil je števna . Vključuje vsa racionalna števila, od števil oblike

zadovoljiti enačbo

Dokazano je tudi, da obstajajo algebrska števila, ki niso radikali racionalnih števil. Ta zelo pomemben rezultat je ustavil neplodne poskuse iskanja rešitev enačb stopnje, višje od štiri, v radikalih. Stoletja stara iskanja algebraistov, ki so preučevali ta problem, je povzel francoski matematik E. Galois, ki je nesmiselno umrl pri 21 letih. Njegova znanstvena dela obsegajo le 60 strani, a so bila sijajen prispevek k razvoju matematike.

Mladenič, ki je strastno in nenadzorovano ljubil to znanost, je dvakrat poskušal vstopiti v najprestižnejšo izobraževalno ustanovo v Franciji v tistem času. – Politehnična šola – neuspešno. Začel študirati na privilegirani višji šoli – izključen zaradi spora z direktorjem. Ko je postal politični zapornik, potem ko je nastopil proti Louisu Philippu, je iz zapora na pariško akademijo znanosti prenesel rokopis s študijo rešitve enačbe v radikalih. Akademija je to delo zavrnila. Absurdna smrt v dvoboju je končala življenje tega izjemnega človeka.

Množica, ki je razlika med množicami realnih in algebrskih števil, se imenuje množica TRANSCENDENTNIH ŠTEVIL . Očitno je, da vsako transcendentno število ne more biti koren polinoma s celimi koeficienti.

Hkrati je dokazovanje transcendentnosti posameznih števil povzročalo ogromne težave.

Šele leta 1882 je profesor na Univerzi v Konigsbergu F. Lindemann uspel dokazati transcendenco števila, iz česar je postalo jasno, da je nemogoče rešiti problem kvadrature kroga (konstruirati kvadrat z območje danega kroga z uporabo šestila in ravnila). Vidimo, da se ideje algebre, analize in geometrije medsebojno prepletajo.

Aksiomatska uvedba realnih števil še zdaleč ni edina. Ta števila lahko uvedemo s kombiniranjem niza racionalnih in iracionalnih števil ali kot neskončne decimalke ali z rezanjem niza racionalnih števil.

*1) To gradivo je vzeto iz 7. poglavja knjige:

L.I. Lurie OSNOVE VIŠJE MATEMATIKE / Učbenik / M.: Založniška in trgovska družba "Dashkov in Co", - 2003, - 517 str.

Definicija ugnezdenih segmentov. Dokaz Cauchy-Cantorjeve leme o ugnezdenih segmentih.

Vsebina

Definiranje ugnezdenih vrstic

Naj sta a in b dve realni števili (). Naj gre . Množico števil x, ki zadoščajo neenačbam, imenujemo odsek s končnima točkama a in b. Segment je označen na naslednji način: .

Zaporedje številskih segmentov

imenovano zaporedje ugnezdeni segmenti, če je vsak naslednji segment vsebovan v prejšnjem:
.
To pomeni, da so konci segmentov povezani z neenakostmi:
.

Lema o ugnezdenih segmentih (Cauchy-Cantorjev princip)

Za vsako zaporedje ugnezdenih segmentov obstaja točka, ki pripada vsem tem segmentom.
Če se dolžine segmentov nagibajo k nič:
,
potem je takšna točka edina.

Ta lema se imenuje tudi izrek o ugnezdenem segmentu oz Cauchy-Cantorjev princip.

Dokaz

Za dokaz prvi del leme, uporabimo aksiom popolnosti realnih števil.

Aksiom popolnosti realnih števil kot sledi. Naj sta množici A in B dve podmnožici realnih števil, tako da za poljubna dva elementa in ti množici velja neenakost. Potem obstaja realno število c, tako da za vse veljajo naslednje neenakosti:
.

Uporabimo ta aksiom. Naj bo množica A množica levih končnih točk odsekov in naj bo množica B množica desnih končnih točk. Potem velja neenakost med katerimakoli dvema elementoma teh množic. Potem iz aksioma o popolnosti realnih števil sledi, da obstaja število c tako, da za vse n veljajo naslednje neenakosti:
.
To pomeni, da točka c pripada vsem segmentom.

Dokažimo drugi del leme.

Pustiti . Glede na definicijo limite zaporedja to pomeni, da za vsako pozitivno število obstaja naravno število N, odvisno od ε, tako da za vsa naravna števila n > N velja neenakost
(1) .

Predpostavimo nasprotno. Naj obstajata dve različni točki c 1 in c 2 , c 1 ≠ c 2, ki pripada vsem segmentom. To pomeni, da za vse n veljajo naslednje neenakosti:
;
.
Od tod
.
Z uporabo (1) imamo:
.
Ta neenakost mora veljati za vse pozitivne vrednosti ε. Sledi, da
c 1 = c 2.

Lema je dokazana.

Komentiraj

Obstoj točke, ki pripada vsem odsekom, izhaja iz aksioma popolnosti, ki velja za realna števila. Ta aksiom ne velja za racionalna števila. Zato tudi lema ugnezdenega segmenta ne velja za množico racionalnih števil.

Na primer, segmente lahko izberemo tako, da se levi in ​​desni konec konvergirata k iracionalnemu številu. Potem bi vsako racionalno število, ko n narašča, vedno izpadlo iz sistema segmentov. Edino število, ki pripada celotnemu segmentu, je iracionalno število.

Reference:
O.V. Besov. Predavanja iz matematične analize. 1. del. Moskva, 2004.

Aksiom kontinuitete (popolnosti). $A\backslash podmnožica\backslash mathbb(R)$ in $B\backslash subset\backslash mathbb(R)$ $a\; \backslash in\; A$ in $b\; \backslash v\; B$ neenakost velja $a\backslash leqslant\; b$, obstaja tako realno število $\backslash xi$ to je za vse $a\; \backslash in\; A$ in $b\; \backslash v\; B$ obstaja razmerje

$a\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; b$

Če realna števila obravnavamo kot točke na premici, se zdi ta trditev očitna. Če dva sklopa $A$ in $B$ so takšni, da na številski premici vsi elementi enega od njih ležijo levo od vseh elementov drugega, potem obstaja število $\backslash xi$, delitev ti dve množici, torej ležita desno od vseh elementov $A$(razen morda zelo $\backslash xi$) in levo od vseh elementov $B$(enaka izjava o omejitvi odgovornosti).

Tu je treba opozoriti, da kljub »očitnosti« te lastnosti ne velja vedno za racionalna števila. Na primer, upoštevajte dva sklopa:

A = \(x \in \mathbb(Q): x > 0, \; x^2< 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x >0,\; x^2 > 2\)

To je enostavno videti za vse elemente $a\; \backslash in\; A$ in $b\; \backslash v\; B$ neenakost velja . Vendar racionalnoštevilke $\backslash xi$, ki ločuje ta dva niza, ne obstaja. Pravzaprav je ta številka lahko le $\backslash sqrt(2)$, vendar ni racionalno.

Vloga aksioma kontinuitete pri konstrukciji matematične analize

Pomen aksioma kontinuitete je takšen, da je brez njega stroga konstrukcija matematične analize nemogoča. Za ponazoritev predstavljamo nekaj temeljnih izjav analize, katerih dokaz temelji na kontinuiteti realnih števil:

• (Weierstrassov izrek). Vsako omejeno monotono naraščajoče zaporedje konvergira
• (Bolzano-Cauchyjev izrek). Funkcija, ki je neprekinjena na segmentu in ima na svojih koncih vrednosti različnih predznakov, izgine v neki notranji točki segmenta.
• (Obstoj potenčne, eksponentne, logaritemske in vseh trigonometričnih funkcij v celotnem »naravnem« domeni definicije). Na primer, dokazano je, da za vsako $a\; >\; 0$ in celota $n\backslash geqslant\; 1$ obstaja $\backslash sqrt[n](a)$, torej rešitev enačbe $x^n=a,\; x>0$. To vam omogoča, da določite vrednost izraza $a^x$ za vse racionalne $x$:

$a^(m/n)\; =\; \backslash levo(\backslash sqrt[n](a)\backslash desno)^m$

Končno, spet zahvaljujoč zveznosti številske premice, lahko določimo vrednost izraza $a^x$že za poljubno $x\backslash v\backslash R$. Podobno je z uporabo lastnosti kontinuitete dokazan obstoj števila $\backslash log\_(a)(b)$ za katero koli $a,b\; >0,\; a\backslash neq\; 1$.

Dolgo zgodovinsko obdobje so matematiki dokazovali izreke iz analize, na »subtilnih mestih«, ki so se nanašali na geometrijsko utemeljitev, pogosteje pa so jih povsem preskočili, saj je bilo očitno. Nadvse pomemben koncept kontinuitete je bil uporabljen brez jasne definicije. Šele v zadnji tretjini 19. stoletja je nemški matematik Karl Weierstrass aritmetiziral analizo in zgradil prvo strogo teorijo realnih števil kot neskončnih decimalnih ulomkov. Predlagal je klasično definicijo meje v jeziku $\backslash varepsilon\; -\; \backslash delta$, je dokazal številne izjave, ki so pred njim veljale za "očitne", in s tem dokončal gradnjo temeljev matematične analize.

Kasneje so bili predlagani drugi pristopi k določanju realnega števila. Pri aksiomatskem pristopu je kontinuiteta realnih števil izrecno poudarjena kot ločen aksiom. V konstruktivnih pristopih k teoriji realnega števila, na primer pri konstruiranju realnih števil z uporabo Dedekindovih odsekov, je lastnost kontinuitete (v takšni ali drugačni formulaciji) dokazana kot izrek.

Druge formulacije lastnosti kontinuitete in enakovredni stavki

Obstaja več različnih izjav, ki izražajo lastnost zveznosti realnih števil. Vsako od teh načel je mogoče uporabiti kot osnovo za konstrukcijo teorije realnega števila kot aksioma kontinuitete, vse druge pa lahko izpeljemo iz nje. To vprašanje je podrobneje obravnavano v naslednjem razdelku.

Kontinuiteta po Dedekindu

Dedekind obravnava vprašanje kontinuitete realnih števil v svojem delu "Kontinuiteta in iracionalna števila". V njej primerja racionalna števila s točkami na premici. Kot je znano, lahko vzpostavimo korespondenco med racionalnimi števili in točkami na premici, ko na premici izberemo začetno točko in mersko enoto segmentov. Z uporabo slednjega za vsako racionalno število $a$ zgradite ustrezen segment in ga postavite na desno ali levo, odvisno od tega, ali obstaja $a$ pozitivno ali negativno število, dobite točko $str$, ki ustreza številki $a$. Torej za vsako racionalno število $a$ ena in samo ena točka se ujema $str$ na ravni črti.

Izkaže se, da je na premici neskončno veliko točk, ki ne ustrezajo nobenemu racionalnemu številu. Na primer, točka, dobljena z narisom dolžine diagonale kvadrata, zgrajenega na enotskem segmentu. Tako območje racionalnih števil tega nima popolnost, oz kontinuiteta, ki je neločljivo povezana z ravno črto.

Da bi ugotovil, iz česa je sestavljena ta kontinuiteta, Dedekind poda naslednjo pripombo. če $str$ obstaja določena točka na premici, potem vse točke na premici spadajo v dva razreda: točke, ki se nahajajo na levi strani $str$, in točke na desni $str$. Čisto ista točka $str$ lahko poljubno uvrstimo v nižji ali višji razred. Dedekind vidi bistvo kontinuitete v obratnem principu:

Geometrično se zdi ta princip očiten, vendar ga ne moremo dokazati. Dedekind poudarja, da je to načelo v bistvu postulat, ki izraža bistvo lastnosti, pripisane premi, ki jo imenujemo kontinuiteta.

Ta predlog je enakovreden tudi Dedekindovemu načelu kontinuitete. Poleg tega je mogoče pokazati, da izjava izreka o supremumu neposredno sledi iz izjave o izreku o infimumu in obratno (glej spodaj).

Lema o končnem pokrivanju (Heine-Borelovo načelo)

Lema končnega kritja (Heine - Borel). V vsakem sistemu intervalov, ki pokriva segment, obstaja končen podsistem, ki pokriva ta segment.

Lema o mejni točki (Bolzano-Weierstrassovo načelo)

Lema mejne točke (Bolzano - Weierstrass). Vsaka neskončna omejena množica števil ima vsaj eno mejno točko.

Enakovrednost stavkov, ki izražajo kontinuiteto množice realnih števil

Naj podamo nekaj uvodnih pripomb. Po aksiomatski definiciji realnega števila, množica realnih števil zadošča trem skupinam aksiomov. Prva skupina so aksiomi polja. Druga skupina izraža dejstvo, da je množica realnih števil linearno urejena množica in da je relacija reda skladna z osnovnimi operacijami polja. Tako prva in druga skupina aksiomov pomenita, da množica realnih števil predstavlja urejeno polje. Tretjo skupino aksiomov sestavlja en aksiom - aksiom kontinuitete (ali popolnosti).

Da bi pokazali enakovrednost različnih formulacij kontinuitete realnih števil, je treba dokazati, da če ena od teh trditev velja za urejeno polje, potem iz tega sledi veljavnost vseh ostalih.

Izrek. Pustiti $\backslash mathsf(R)$- poljubno linearno urejeno množico. Naslednje izjave so enakovredne:

1. Karkoli že obstajajo neprazne množice $A\backslash podmnožica\backslash mathsf(R)$ in $B\backslash subset\backslash mathsf(R)$, tako da za katera koli dva elementa $a\; \backslash in\; A$ in $b\; \backslash v\; B$ neenakost velja $a\backslash leqslant\; b$, obstaja tak element $\backslash xi\; \backslash in\; \backslash mathsf(R)$ to je za vse $a\; \backslash in\; A$ in $b\; \backslash v\; B$ obstaja razmerje $a\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; b$
2. Za kateri koli del v $\backslash mathsf(R)$ obstaja element, ki proizvaja ta razdelek
3. Vsaka neprazna množica, omejena zgoraj $A\backslash podmnožica\backslash mathsf(R)$ ima supremum
4. Vsaka neprazna množica, omejena od spodaj $A\backslash podmnožica\backslash mathsf(R)$ ima infimum

Kot je razvidno iz tega izreka, ti štirje stavki uporabljajo samo tisto, kar je $\backslash mathsf(R)$ uvedena je linearna relacija reda in struktura polja se ne uporablja. Tako vsak od njih izraža lastnost $\backslash mathsf(R)$ kot linearno urejena množica. Ta lastnost (poljubne linearno urejene množice, ne nujno množice realnih števil) se imenuje kontinuiteta ali popolnost, po Dedekindu.

Dokazovanje enakovrednosti drugih stavkov že zahteva strukturo polja.

Izrek. Pustiti $\backslash mathsf(R)$- poljubno urejeno polje. Naslednji stavki so enakovredni:

1. $\backslash mathsf(R)$(kot linearno urejen niz) je Dedekindov popoln
2. Za $\backslash mathsf(R)$ izpolnjen Arhimedov princip in princip ugnezdenih segmentov
3. Za $\backslash mathsf(R)$ Heine-Borelovo načelo je izpolnjeno
4. Za $\backslash mathsf(R)$ Bolzano-Weierstrassovo načelo je izpolnjeno

Komentiraj. Kot je razvidno iz izreka, sam princip ugnezdenih segmentov ni enakovredno Dedekindov princip kontinuitete. Iz Dedekindovega načela kontinuitete sledi načelo ugnezdenih segmentov, za obratno pa je treba dodatno zahtevati, da urejeno polje $\backslash mathsf(R)$ zadovoljen Arhimedov aksiom

Dokaz zgornjih izrekov lahko najdete v knjigah s spodnjega seznama referenc.

Napišite oceno o članku "Zveznost množice realnih števil"

Opombe

Literatura

• Kudrjavcev, L. D. Tečaj matematične analize. - 5. izd. - M.: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 str. - ISBN 5-7107-4119-1.
• Fikhtengolts, G. M. Osnove matematične analize. - 7. izd. - M.: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 str. - ISBN 5-9221-0196-X.
• Dedekind, R.= Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4. popravljena izd. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 str.
• Zorič, V. A. Matematična analiza. Del I. - Ed. 4., popravljeno M.: "MCNMO", 2002. - 657 str. - ISBN 5-94057-056-9.
• Zveznost funkcij in numerične domene: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor. - 3. izd. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 str.

Odlomek, ki označuje kontinuiteto množice realnih števil

- To mi je torej žal - človeško dostojanstvo, mirna vest, čistost, ne pa njihov hrbet in čelo, ki bosta, ne glede na to, koliko jih postrižeš, ne glede na to, koliko se obriješ, še vedno enaka hrbta in čela. .
"Ne, ne in tisočkrat ne, nikoli se ne bom strinjal s teboj," je rekel Pierre.

Zvečer sta se princ Andrej in Pierre usedla v kočijo in se odpeljala v Plešaste gore. Princ Andrej, ki je pogledal Pierra, je občasno prekinil tišino z govori, ki so dokazovale, da je dobro razpoložen.
Povedal mu je, s kazanjem na polja, o svojih gospodarskih izboljšavah.
Pierre je mračno molčal, odgovarjal enozložno in se je zdel izgubljen v svojih mislih.
Pierre je mislil, da je princ Andrej nesrečen, da se moti, da ne pozna prave luči in da bi moral Pierre priskočiti na pomoč, ga razsvetliti in dvigniti. Toda takoj, ko je Pierre ugotovil, kako in kaj bo povedal, je slutil, da bo princ Andrej z eno besedo, enim argumentom uničil vse v svojem učenju, in bal se je začeti, bal se je izpostaviti svoje ljubljeno svetišče možnosti posmeha.
"Ne, zakaj misliš," je nenadoma začel Pierre, spustil glavo in prevzel videz udarnega bika, zakaj tako misliš? Ne bi smel tako razmišljati.
- O čem razmišljam? « je presenečeno vprašal princ Andrej.
– O življenju, o namenu človeka. Ne more biti. Enako sem mislil in to me je rešilo, veš kaj? prostozidarstvo Ne, ne smej se. Prostozidarstvo ni verska, ne ritualna sekta, kot sem mislil, ampak je prostozidarstvo najboljši, edini izraz najboljših, večnih plati človeštva. - In princu Andreju je začel razlagati prostozidarstvo, kot ga je razumel.
Dejal je, da je prostozidarstvo nauk krščanstva, osvobojeno državnih in verskih spon; učenja o enakosti, bratstvu in ljubezni.
– Samo naše sveto bratstvo ima pravi smisel v življenju; "Vse ostalo so sanje," je rekel Pierre. »Razumeš, prijatelj moj, da je zunaj te zveze vse polno laži in neresnic, in strinjam se s teboj, da inteligentna in prijazna oseba nima druge izbire, kot da živi svoje življenje, tako kot ti, in se trudi le, da se ne vmešava v drugi." Toda usvojite naša osnovna prepričanja, pridružite se naši bratovščini, prepustite se nam, dovolite nam, da vas vodimo, in zdaj se boste počutili, kot sem se jaz, del te ogromne, nevidne verige, katere začetek je skrit v nebesih, je rekel Pierre .
Princ Andrej je tiho, gledal naprej, poslušal Pierrov govor. Večkrat je, ker zaradi hrupa vozička ni mogel slišati, ponovil Pierrove neslišane besede. Po posebnem sijaju, ki je zasvetil v očeh princa Andreja, in po njegovem molku je Pierre videl, da njegove besede niso bile zaman, da ga princ Andrej ne bo prekinil in se ne bo smejal njegovim besedam.
Prispeli so do poplavljene reke, ki so jo morali prečkati s trajektom. Medtem ko so namestili kočijo in konje, so šli na trajekt.
Princ Andrej, naslonjen na ograjo, je tiho gledal vzdolž poplave, ki se je bleščala od zahajajočega sonca.
- No, kaj misliš o tem? - je vprašal Pierre, - zakaj molčiš?
- Kar mislim? Poslušal sem te. "Vse je res," je rekel princ Andrej. "A pravite: pridružite se naši bratovščini in pokazali vam bomo namen življenja in namen človeka ter zakone, ki vladajo svetu." Kdo smo, ljudje? Zakaj veš vse? Zakaj sem edini, ki ne vidi tega, kar vidite vi? Vi vidite kraljestvo dobrote in resnice na zemlji, jaz pa ga ne vidim.
ga je prekinil Pierre. – Ali verjamete v prihodnje življenje? - je vprašal.
- V prihodnje življenje? – je ponovil princ Andrej, vendar mu Pierre ni dal časa za odgovor in je to ponovitev vzel kot zanikanje, še posebej, ker je poznal prejšnja ateistična prepričanja princa Andreja.
– Pravite, da ne vidite kraljestva dobrote in resnice na zemlji. In jaz ga nisem videl in ga ni mogoče videti, če na svoje življenje gledamo kot na konec vsega. Na zemlji, prav na tej zemlji (Pierre je pokazal na polje), ni resnice - vse je laž in zlo; toda na svetu, na vsem svetu, obstaja kraljestvo resnice in zdaj smo otroci zemlje in za vedno otroci vsega sveta. Ali ne čutim v duši, da sem del te ogromne, harmonične celote. Ali ne čutim, da sem v tem ogromnem neštetem številu bitij, v katerih se manifestira božanskost - najvišja moč, kakor hočete - da predstavljam en člen, en korak od nižjih bitij do višjih. Če vidim, jasno vidim to stopnišče, ki vodi od rastline do človeka, zakaj bi potem domneval, da se to stopnišče zlomi z mano in ne vodi naprej in dlje. Čutim, da ne samo da ne morem izginiti, tako kot ne izgine nič na svetu, ampak da vedno bom in vedno sem bil. Čutim, da poleg mene nad mano živijo duhovi in ​​da je na tem svetu resnica.
"Da, to je Herderjev nauk," je rekel princ Andrej, "toda to, moja duša, ni tisto, kar me prepričuje, ampak življenje in smrt, to je tisto, kar me prepričuje." Prepričljivo je, da vidiš bitje, ki ti je drago, ki je povezano s teboj, pred katerim si bil kriv in si upal, da se boš opravičil (glas princa Andreja je zadrhtel in se obrnil stran) in nenadoma to bitje trpi, muči se in preneha biti ... Zakaj? Ne more biti, da ni odgovora! In verjamem, da je ... To je tisto, kar prepriča, to je tisto, kar me je prepričalo,« je dejal princ Andrej.
"No, ja, no," je rekel Pierre, "ali ne govorim o tem!"
- Ne. Pravim samo to, da te o potrebi po prihodnjem življenju ne prepričajo argumenti, ampak ko hodiš po življenju z roko v roki z neko osebo in ta oseba nenadoma izgine neznano kam, sam pa se ustavi pred to brezno in poglej vanj. In sem pogledal...
- No, torej! Veste, kaj je tam in da je nekdo? Tam je prihodnje življenje. Nekdo je Bog.
Princ Andrej ni odgovoril. Kočija in konji so bili že dolgo odpeljani na drugo stran in že položeni, sonce je že izginilo na pol poti in večerna slana je z zvezdami prekrila luže ob trajektu, Pierre in Andrey pa sta na presenečenje lakaji, kočijaži in nosači, so še vedno stali na trajektu in se pogovarjali.
– Če obstaja Bog in obstaja prihodnje življenje, potem obstaja resnica, obstaja krepost; in največja človekova sreča je v prizadevanju, da bi jih dosegel. Moramo živeti, moramo ljubiti, moramo verjeti, je rekel Pierre, da zdaj ne živimo samo na tem koščku zemlje, ampak smo živeli in bomo živeli večno tam v vsem (pokazal je na nebo). Princ Andrej je stal s komolci na ograji trajekta in poslušal Pierra, ne da bi umaknil oči, pogledal rdeči odsev sonca na modri poplavi. Pierre je utihnil. Bilo je popolnoma tiho. Trajekt je že zdavnaj pristal in le valovi toka so s šibkim zvokom udarjali ob dno trajekta. Princu Andreju se je zdelo, da to izpiranje valov pravi Pierrovim besedam: "res je, verjemi."
Princ Andrej je vzdihnil in s sijočim, otroškim, nežnim pogledom pogledal Pierrov zardeli, navdušeni, a vedno bolj plahi obraz pred svojim nadrejenim prijateljem.
- Ja, ko bi le bilo tako! - rekel je. »Vseeno pa gremo sesti,« je dodal princ Andrej in ko je stopil s trajekta, pogledal v nebo, ki mu ga je pokazal Pierre, in prvič po Austerlitzu videl tisto visoko, večno nebo, videl je ležati na austerliškem polju in nekaj, kar je že dolgo zaspalo, nekaj najboljšega v njem, se je nenadoma veselo in mladostno prebudilo v njegovi duši. Ta občutek je izginil takoj, ko se je princ Andrej vrnil v običajne življenjske razmere, vendar je vedel, da ta občutek, ki ga ni vedel, kako razviti, živi v njem. Srečanje s Pierrom je bilo za princa Andreja obdobje, iz katerega se je, čeprav na videz enak, vendar v notranjem svetu, začelo njegovo novo življenje.

Bilo je že temno, ko sta princ Andrej in Pierre prispela do glavnega vhoda v hišo Lysogorsk. Medtem ko sta se približevala, je princ Andrej z nasmehom opozoril Pierra na nemir, ki je nastal na zadnji verandi. Upognjena starka z nahrbtnikom na hrbtu in nizek moški v črni halji z dolgimi lasmi sta, ko sta videla kočijo pripeljala, planila nazaj skozi vrata. Dve ženski sta pritekli za njima in vsi štirje, ki so se ozrli nazaj na voziček, so prestrašeni zbežali na zadnjo verando.
"To so božji stroji," je rekel princ Andrej. "Vzeli so nas za svojega očeta." In to je edina stvar, v kateri ga ne uboga: on ukaže te potepuhe odgnati in ona jih sprejme.
- Kaj so božji ljudje? « je vprašal Pierre.
Princ Andrej mu ni imel časa odgovoriti. Služabniki so mu prišli naproti in vprašal je, kje je stari princ in ali ga kmalu pričakujejo.
Stari princ je bil še vedno v mestu in vsako minuto so ga čakali.
Princ Andrej je odpeljal Pierra do njegove polovice, ki ga je vedno čakala v popolnem redu v očetovi hiši, sam pa je odšel v otroško sobo.
"Pojdimo k moji sestri," je rekel princ Andrej in se vrnil k Pierru; - Nisem je še videl, zdaj se skriva in sedi s svojimi Božjimi ljudmi. Tako ji je prav, osramočena bo, ti pa boš videl božje ljudi. C "est curieux, ma parole. [To je zanimivo, iskreno.]
– Qu"est ce que c"est que [Kaj so] Božji ljudje? - je vprašal Pierre
- Ampak boš videl.
Princesa Marya je bila res osramočena in je postala rdeča na madeže, ko so prišli k njej. V njeni prijetni sobi s svetilkami pred vitrinami, na kavču, za samovarjem, je poleg nje sedel mlad fant z dolgim ​​nosom in dolgimi lasmi, v meniški obleki.
Na bližnjem stolu je sedela zgubana, suha starka s krotkim izrazom na otroškem obrazu.
»Andre, pourquoi ne pas m"avoir prevenu? [Andrej, zakaj me nisi opozoril?]," je rekla s krotkim očitkom in stala pred svojimi potepuhi, kot kokoš pred svojimi kokošmi.
– Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [Zelo me veseli, da te vidim. Tako sem vesela, da te vidim,« je rekla Pierru, medtem ko ji je poljubil roko. Poznala ga je že kot otroka, zdaj pa so jo priljubili njegovo prijateljstvo z Andrejem, njegova nesreča z ženo in, kar je najpomembnejše, njegov prijazen, preprost obraz. Pogledala ga je s svojimi lepimi, sijočimi očmi in kot da bi rekla: "Zelo te imam rada, ampak prosim, ne smej se mojim." Po prvih pozdravnih besedah ​​sta sedla.
"Oh, in Ivanuška je tukaj," je rekel princ Andrej in z nasmehom pokazal na mladega potepuha.
– Andre! - je moledljivo rekla princesa Marya.
»Il faut que vous sachiez que c"est une femme, [Vedi, da je to ženska," je Andrei rekel Pierru.
– Andre, au nom de Dieu! [Andrej, za božjo voljo!] - je ponovila princesa Marya.
Jasno je bilo, da sta posmehljiv odnos princa Andreja do potepuhov in nekoristno posredovanje princese Marije v njihovem imenu znana, ustaljena razmerja med njimi.
»Mais, ma bonne amie,« je rekel princ Andrej, »vous devriez au contraire m"etre reconaissante de ce que j"explique a Pierre votre intimate avec ce jeune homme... [Ampak, prijatelj moj, moral bi mi biti hvaležen da Pierru razložim tvojo bližino s tem mladeničem.]
– Vraiment? [Res?] - je radovedno in resno rekel Pierre (za kar mu je bila princesa Marya še posebej hvaležna), ko je skozi očala pogledal v obraz Ivanuške, ki je, ko je ugotovil, da govorijo o njem, vse pogledal s pretkanimi očmi.
Princesa Marya se je popolnoma zaman osramotila zaradi lastnega ljudstva. Prav nič plašni niso bili. Starka je s povešenimi očmi, a postrani gledala v tiste, ki so vstopili, obrnila skodelico narobe na krožniček in zraven položila odgriznjen kos sladkorja, mirno in nepremično sedela na stolu in čakala, da ji ponudijo še čaj. . Ivanuška, ki je pil iz krožnika, je gledal mlade izpod obrvi s premetenimi, ženskimi očmi.
– Kje, v Kijevu, si bil? « je princ Andrej vprašal starko.
"Bilo je, oče," je zgovorno odgovorila starka, "na sam božič sem bila počaščena s svetniki, da sem priobčevala svete, nebeške skrivnosti." In zdaj se je od Kolyazina, oče, odprla velika milost ...
- No, Ivanuška je s tabo?
"Sam grem, hranilec," je rekel Ivanuška in poskušal govoriti z globokim glasom. - Samo v Yukhnovu sva se s Pelageyushko razumela ...
je prekinila Pelagija svojega tovariša; Očitno je hotela povedati, kaj je videla.
- V Kolyazinu, oče, se je razodela velika milost.
- No, ali so relikvije nove? - je vprašal princ Andrej.
"Dovolj je, Andrej," je rekla princesa Marya. - Ne povej mi, Pelageyushka.
"Ne ... kaj praviš, mati, zakaj mi ne poveš?" Ljubim ga. On je prijazen, naklonjen Bogu, on, dobrotnik, mi je dal rublje, se spomnim. Kako sem bil v Kijevu in mi je povedal sveti norec Kirjuša - pravi božji mož, hodi bos pozimi in poleti. Zakaj hodiš, pravi, ne na tvojem mestu, pojdi v Kolyazin, tam je čudežna ikona, razodela se je Mati Presvete Bogorodice. Iz teh besed sem se poslovil od svetnikov in šel...
Vsi so molčali, en potepuh je govoril z odmerjenim glasom in jemal zrak.
»Oče moj, ljudje so prišli in mi rekli: razodela se je velika milost, Mati Presvete Bogorodice kaplja miro iz svojega lica ...
"Prav, prav, kasneje mi boš povedal," je rekla princesa Marya in zardela.
"Naj jo vprašam," je rekel Pierre. -Si sam videl? - je vprašal.
- Zakaj, oče, ti sam si bil počaščen. Tako sije na njenem obrazu, kot nebeška svetloba, in z maminega lica kar kaplja in kaplja ...
"Toda to je prevara," je naivno rekel Pierre, ki je pozorno poslušal potepuha.
- Oh, oče, kaj praviš! - je z grozo rekla Pelageyushka in se obrnila k princesi Mariji za zaščito.
"Ljudijo zavajajo," je ponovil.
- Gospod Jezus Kristus! – je rekla potepuhinja in se pokrižala. - Oh, ne povej mi, oče. En analar temu ni verjel, rekel je: "Menihi zavajajo," in kot je rekel, je oslepel. In sanjal je, da je mati Pečerska prišla k njemu in rekla: "Zaupaj mi, ozdravila te bom." Zato je začel prositi: vzemi me in me odpelji k njej. Povem vam pravo resnico, sam sem to videl. Pripeljali so ga slepega naravnost k njej, stopil je, padel in rekel: »Zdravi! "Dal ti bom," pravi, "kar ti je dal kralj." Sam sem videl, oče, zvezda je bila vdelana vanj. Pa sem spregledal! Greh je to reči. "Bog bo kaznoval," je poučno nagovorila Pierra.
- Kako se je zvezda znašla na sliki? « je vprašal Pierre.
- Ste svojo mamo naredili za generalko? - je rekel princ Andrej in se nasmejal.
Pelagia je nenadoma prebledela in sklenila roke.
- Oče, oče, to je greh zate, imaš sina! - je spregovorila in se nenadoma spremenila iz blede v svetlo barvo.
- Oče, kaj si rekel? Bog ti odpusti. - pokrižala se je. - Gospod, odpusti mu. Mati, kaj je to?...« se je obrnila k princesi Mariji. Vstala je in skoraj jokajoča začela pakirati torbico. Očitno jo je bilo hkrati strah in sram, da je uživala ugodnosti v hiši, kjer so lahko to govorili, in škoda ji je bilo, da je zdaj morala biti prikrajšana za ugodnosti te hiše.
- No, kakšen lov hočeš? - je rekla princesa Marya. -Zakaj si prišel k meni?...
"Ne, šalim se, Pelagejuška," je rekel Pierre. - Princesse, ma parole, je n"ai pas voulu l"offenser, [Princeska, prav imam, nisem je hotel užaliti,] To sem pravkar naredil. Ne mislite, da sem se šalil,« je rekel in se plaho nasmehnil ter se želel popraviti. - Navsezadnje sem jaz in on se je samo šalil.
Pelagejuška se je nejeverno ustavila, toda Pierrov obraz je pokazal tako iskreno kesanje in princ Andrej je tako ponižno pogledal najprej Pelagejuško, nato Pierra, da se je postopoma umirila.

Potepuh se je pomiril in, vrnjen v pogovor, je dolgo govoril o očetu Amfilohiju, ki je bil tak svetnik življenja, da je njegova roka dišala po dlani, in o tem, kako so ji menihi, ki jih je poznala na zadnji poti v Kijev, dali ključe jam in kako je s seboj vzela ocvirke dva dni preživela v jamah s svetniki. »K enemu bom molil, bral, šel k drugemu. Vzel bom bor, šel bom in še enkrat vzel poljub; in taka tišina, mati, taka milost, da nočeš niti v božjo luč.«
Pierre jo je pozorno in resno poslušal. Princ Andrej je zapustil sobo. In za njim je princesa Marya, ki je pustila božje ljudi, da popijejo čaj, odpeljala Pierra v dnevno sobo.
"Zelo si prijazen," mu je rekla.
- Oh, res nisem mislil, da bi jo užalil, razumem in zelo cenim te občutke!
Princesa Marya ga je tiho pogledala in se nežno nasmehnila. "Navsezadnje te poznam že dolgo in te imam rada kot brata," je rekla. – Kako ste našli Andreja? - je naglo vprašala in mu ni pustila časa, da bi kaj rekel v odgovor na njene prijazne besede. - Zelo me skrbi. Njegovo zdravstveno stanje je pozimi boljše, lani spomladi pa se je rana odprla in zdravnik je rekel, naj gre na zdravljenje. In moralno se zelo bojim zanj. On ni tak značaj, da bi ženske trpele in izjokale svojo žalost. Nosi ga v sebi. Danes je vesel in živahen; a prav tvoj prihod je nanj tako vplival: redkokdaj je tak. Ko bi ga le prepričali, da gre v tujino! Potrebuje aktivnost in to gladko, mirno življenje ga uničuje. Drugi ne opazijo, jaz pa vidim.
Ob 10. uri so natakarji prihiteli na verando, ko so zaslišali zvonce bližajoče se kočije starega princa. Na verando sta šla tudi princ Andrej in Pierre.
- Kdo je to? - je vprašal stari princ, izstopil iz kočije in uganil Pierra.
– AI je zelo vesel! "poljub," je rekel, ko je izvedel, kdo je neznani mladenič.
Stari princ je bil dobre volje in je s Pierrom ravnal prijazno.
Pred večerjo je princ Andrej, ko se je vrnil v očetovo pisarno, našel starega princa v burnem prepiru s Pierrom.
Pierre je trdil, da bo prišel čas, ko ne bo več vojne. Stari princ ga je zbadljivo, a ne jezen, izzival.
- Spustite kri iz svojih žil, natočite malo vode, potem ne bo vojne. »Ženske neumnosti, ženske neumnosti,« je rekel, a vseeno ljubeče potrepljal Pierra po rami in stopil do mize, kjer je princ Andrej, očitno ne želeč, da bi se zapletel v pogovor, prebiral po papirjih, ki jih je princ prinesel iz mesto. Stari knez je pristopil k njemu in se začel pogovarjati o poslu.
- Vodja, grof Rostov, ni izročil polovice ljudi. Prišel sem v mesto, odločil sem se, da ga povabim na večerjo, - dal sem mu takšno večerjo ... Ampak poglej to ... No, brat, - se je knez Nikolaj Andrejič obrnil k sinu in ploskal Pierra po rami, - dobro opravljeno, tvoj prijatelj, ljubil sem ga! Vžge me. Drugi govori pametne stvari, jaz pa nočem poslušati, pa laže in podžiga mene, starega. No, pojdi, pojdi," je rekel, "mogoče pridem in sedim pri tvoji večerji." Spet bom trdil. "Ljubi svojega norca, princesa Marya," je zavpil Pierru od vrat.
Pierre je šele zdaj, ko je obiskal Plešaste gore, cenil vso moč in čar svojega prijateljstva s princem Andrejem. Ta čar se ni izražal toliko v njegovih odnosih s samim seboj, ampak v odnosih z vsemi sorodniki in prijatelji. Pierre se je s starim, strogim princem in s krotko in plaho princeso Marijo, kljub temu, da ju je komaj poznal, takoj počutil kot starega prijatelja. Vsi so ga že imeli radi. Ne samo princesa Marya, podkupljena zaradi njegovega krotkega odnosa do tujcev, ga je pogledala z najbolj žarečim pogledom; toda mali enoletni princ Nikolaj, kot ga je klical dedek, se je nasmehnil Pierru in mu šel v naročje. Mihail Ivanovič, m lle Bourienne, ga je gledal z veselim nasmehom, ko se je pogovarjal s starim princem.

Enciklopedični YouTube

1 / 5

✪ Aksiomatika realnih števil

✪ Uvod. Realna števila | matan #001 | Boris Trushin +

✪ Načelo ugnezdenih segmentov | matan #003 | Boris Trushin!

✪ Različna načela kontinuitete | matan #004 | Boris Trushin!

✪ Aksiom kontinuitete. Cantorjev princip ugnezdenih rezov

Podnapisi

Aksiom kontinuitete

Naslednji stavek je morda najenostavnejša in najbolj priročna formulacija za uporabo lastnosti zveznosti realnih števil. V aksiomatski konstrukciji teorije realnega števila je ta trditev ali njen ekvivalent vsekakor vključena v aksiome realnega števila.

Aksiom kontinuitete (popolnosti). A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R) ) in B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R) ) in neenakost velja, obstaja tako realno število ξ (\displaystyle \xi ) to je za vse a ∈ A (\displaystyle a\in A) in b ∈ B (\displaystyle b\in B) obstaja razmerje

Če realna števila obravnavamo kot točke na premici, se zdi ta trditev očitna. Če dva sklopa A (\displaystyle A) in B (\displaystyle B) so takšni, da na številski premici vsi elementi enega od njih ležijo levo od vseh elementov drugega, potem obstaja število ξ (\displaystyle \xi ), delitev ti dve množici, torej ležita desno od vseh elementov A (\displaystyle A)(razen morda zelo ξ (\displaystyle \xi )) in levo od vseh elementov B (\displaystyle B)(enaka izjava o omejitvi odgovornosti).

Tu je treba opozoriti, da kljub »očitnosti« te lastnosti ne velja vedno za racionalna števila. Na primer, upoštevajte dva sklopa:

A = (x ∈ Q: x > 0, x 2< 2 } , B = { x ∈ Q: x >0 , x 2 > 2 ) (\displaystyle A=\(x\in \mathbb (Q) :x>0,\;x^(2)<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^(2)>2\))

To je enostavno videti za vse elemente a ∈ A (\displaystyle a\in A) in b ∈ B (\displaystyle b\in B) neenakost velja a< b {\displaystyle a. Vendar racionalnoštevilke ξ (\displaystyle \xi ), ki ločuje ta dva niza, ne obstaja. Pravzaprav je ta številka lahko le 2 (\displaystyle (\sqrt (2))), vendar ni racionalno.

Vloga aksioma kontinuitete pri konstrukciji matematične analize

Pomen aksioma kontinuitete je takšen, da je brez njega stroga konstrukcija matematične analize nemogoča. Za ponazoritev predstavljamo nekaj temeljnih izjav analize, katerih dokaz temelji na kontinuiteti realnih števil:

• (Weierstrassov izrek). Vsako omejeno monotono naraščajoče zaporedje konvergira
• (Bolzano-Cauchyjev izrek). Funkcija, ki je neprekinjena na segmentu in ima na svojih koncih vrednosti različnih predznakov, izgine v neki notranji točki segmenta.
• (Obstoj potenčne, eksponentne, logaritemske in vseh trigonometričnih funkcij v celotnem »naravnem« domeni definicije). Na primer, dokazano je, da za vsako a > 0 (\displaystyle a>0) in celota n ⩾ 1 (\displaystyle n\geqslant 1) obstaja a n (\displaystyle (\sqrt[(n)](a))), torej rešitev enačbe x n = a, x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). To vam omogoča, da določite vrednost izraza za vse racionalne x (\displaystyle x):

A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\desno)^(m))

Končno, spet zahvaljujoč zveznosti številske premice, lahko določimo vrednost izraza a x (\displaystyle a^(x))že za poljubno x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R) ). Podobno je z uporabo lastnosti kontinuitete dokazan obstoj števila log a ⁡ b (\displaystyle \log _(a)(b)) za katero koli a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

Dolgo zgodovinsko obdobje so matematiki dokazovali izreke iz analize, na »subtilnih mestih«, ki so se nanašali na geometrijsko utemeljitev, pogosteje pa so jih povsem preskočili, saj je bilo očitno. Nadvse pomemben koncept kontinuitete je bil uporabljen brez jasne definicije. Šele v zadnji tretjini 19. stoletja je nemški matematik Karl Weierstrass aritmetiziral analizo in zgradil prvo strogo teorijo realnih števil kot neskončnih decimalnih ulomkov. Predlagal je klasično definicijo meje v jeziku ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta ), je dokazal številne izjave, ki so pred njim veljale za "očitne", in s tem dokončal gradnjo temeljev matematične analize.

Kasneje so bili predlagani drugi pristopi k določanju realnega števila. Pri aksiomatskem pristopu je kontinuiteta realnih števil izrecno poudarjena kot ločen aksiom. V konstruktivnih pristopih k teoriji realnega števila, na primer pri konstruiranju realnih števil z uporabo Dedekindovih odsekov, je lastnost zveznosti (v takšni ali drugačni obliki) dokazana kot izrek.

Druge formulacije lastnosti kontinuitete in enakovredni stavki

Obstaja več različnih izjav, ki izražajo lastnost zveznosti realnih števil. Vsako od teh načel je mogoče uporabiti kot osnovo za konstrukcijo teorije realnega števila kot aksioma kontinuitete, vse druge pa lahko izpeljemo iz nje. To vprašanje je podrobneje obravnavano v naslednjem razdelku.

Kontinuiteta po Dedekindu

Dedekind obravnava vprašanje kontinuitete realnih števil v svojem delu "Kontinuiteta in iracionalna števila". V njej primerja racionalna števila s točkami na premici. Kot je znano, lahko vzpostavimo korespondenco med racionalnimi števili in točkami na premici, ko na premici izberemo začetno točko in mersko enoto segmentov. Z uporabo slednjega za vsako racionalno število a (\displaystyle a) zgradite ustrezen segment in ga postavite na desno ali levo, odvisno od tega, ali obstaja a (\displaystyle a) pozitivno ali negativno število, dobite točko p (\displaystyle p), ki ustreza številki a (\displaystyle a). Torej za vsako racionalno število a (\displaystyle a) ena in samo ena točka se ujema p (\displaystyle p) na ravni črti.

Izkaže se, da je na premici neskončno veliko točk, ki ne ustrezajo nobenemu racionalnemu številu. Na primer, točka, dobljena z narisom dolžine diagonale kvadrata, zgrajenega na enotskem segmentu. Tako območje racionalnih števil tega nima popolnost, oz kontinuiteta, ki je neločljivo povezana z ravno črto.

Da bi ugotovil, iz česa je sestavljena ta kontinuiteta, Dedekind poda naslednjo pripombo. če p (\displaystyle p) obstaja določena točka na premici, potem vse točke na premici spadajo v dva razreda: točke, ki se nahajajo na levi strani p (\displaystyle p), in točke na desni p (\displaystyle p). Čisto ista točka p (\displaystyle p) lahko poljubno uvrstimo v nižji ali višji razred. Dedekind vidi bistvo kontinuitete v obratnem principu:

Geometrično se zdi ta princip očiten, vendar ga ne moremo dokazati. Dedekind poudarja, da je to načelo v bistvu postulat, ki izraža bistvo lastnosti, pripisane premi, ki jo imenujemo kontinuiteta.

Da bi bolje razumeli bistvo kontinuitete številske premice v smislu Dedekinda, razmislite o poljubnem odseku množice realnih števil, to je delitvi vseh realnih števil na dva neprazna razreda, tako da so vsa števila enega razreda ležijo na številski premici levo od vseh števil drugega. Ti razredi so ustrezno poimenovani nižje in višji razredi razdelki. V teoriji obstajajo 4 možnosti:

1. Nižji razred ima maksimum elementa, višji razred nima minimuma
2. Nižji razred nima maksimalnega elementa, višji razred pa ima minimum
3. Nižji razred ima največ, višji razred pa minimalne elemente
4. Nižji razred nima maksimuma, višji pa minimalnih elementov

V prvem in drugem primeru največji element dna oziroma najmanjši element vrha ustvari ta del. V tretjem primeru imamo skok, in v četrtem - prostora. Tako kontinuiteta številske premice pomeni, da v množici realnih števil ni preskokov ali vrzeli, torej, figurativno rečeno, ni praznin.

Ta predlog je enakovreden tudi Dedekindovemu načelu kontinuitete. Poleg tega je mogoče pokazati, da izjava izreka o supremumu neposredno sledi iz izjave o izreku o infimumu in obratno (glej spodaj).

Lema o končnem pokrivanju (Heine-Borelovo načelo)

Lema končnega kritja (Heine - Borel). V vsakem sistemu intervalov, ki pokriva segment, obstaja končen podsistem, ki pokriva ta segment.

Lema o mejni točki (Bolzano-Weierstrassovo načelo)

Lema mejne točke (Bolzano - Weierstrass). Vsaka neskončna omejena množica števil ima vsaj eno mejno točko.. Druga skupina izraža dejstvo, da je množica realnih števil , vrstni odnos pa je skladen z osnovnimi operacijami polja. Tako prva in druga skupina aksiomov pomenita, da množica realnih števil predstavlja urejeno polje. Tretjo skupino aksiomov sestavlja en aksiom - aksiom kontinuitete (ali popolnosti).

Da bi pokazali enakovrednost različnih formulacij kontinuitete realnih števil, je treba dokazati, da če ena od teh trditev velja za urejeno polje, potem iz tega sledi veljavnost vseh ostalih.

Izrek. Naj bo poljubna linearno urejena množica. Naslednje izjave so enakovredne:

1. Ne glede na neprazne množice in B ⊂ R (\displaystyle B\subset (\mathsf (R))), tako da za katera koli dva elementa a ∈ A (\displaystyle a\in A) in b ∈ B (\displaystyle b\in B) neenakost velja a ⩽ b (\displaystyle a\leqslant b), obstaja tak element ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf (R))) to je za vse a ∈ A (\displaystyle a\in A) in b ∈ B (\displaystyle b\in B) obstaja razmerje a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
2. Za kateri koli del v R (\displaystyle (\mathsf (R))) obstaja element, ki proizvaja ta razdelek
3. Vsaka neprazna množica, omejena zgoraj A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R))) ima supremum
4. Vsaka neprazna množica, omejena od spodaj A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R))) ima infimum

Kot je razvidno iz tega izreka, ti štirje stavki uporabljajo samo tisto, kar je R (\displaystyle (\mathsf (R))) uvedena je linearna relacija reda in struktura polja se ne uporablja. Tako vsak od njih izraža lastnost R (\displaystyle (\mathsf (R))) kot linearno urejena množica. Ta lastnost (poljubne linearno urejene množice, ne nujno množice realnih števil) se imenuje kontinuiteta ali popolnost, po Dedekindu.

Dokazovanje enakovrednosti drugih stavkov že zahteva strukturo polja.

Izrek. Pustiti R (\displaystyle (\mathsf (R)))- poljubno urejeno polje. Naslednji stavki so enakovredni:

Komentiraj. Kot je razvidno iz izreka, sam princip ugnezdenih segmentov ni enakovredno Dedekindov princip kontinuitete. Iz Dedekindovega principa kontinuitete sledi princip ugnezdenih segmentov, za obratno pa je treba dodatno zahtevati, da urejeno polje .

§ 7 . Osnova analize, 4

Popolnost množice realnih števil.

7.1. Uvod.

Opredelitev. Z realnim številom a razumemo ekvivalenčni razred a temeljnih zaporedij racionalnih števil.

Opredelitev. Kup R ekvivalenčne razrede temeljnih zaporedij racionalnih števil bomo imenovali množica realnih števil.

1) lim a n = a Û " 0< eÎR$ po n("ne n, n ³ p) Þ |a n - a| £e

2) vsako zaporedje (a n), ki je konvergentno, je tudi temeljno

" 0 < eÎR$ po n((" mÎ n, "nÎ n, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £e)

Naravno je, da poskusimo, po analogiji s §6, uporabiti postopek faktorizacije za množico osnovnih zaporedij realnih števil. Ali ne bi dobili nabora ekvivalenčnih razredov temeljnih zaporedij realnih števil, ki vsebuje nabor R kot svojo podmnožico?

Izkazalo se je, da ne.

V tem razdelku bomo ugotovili izjemno lastnost: lastnost popolnosti množice realnih števil, ki je sestavljena iz dejstva, da vsako temeljno zaporedje realnih števil konvergira v R.

7.2. Približevanje realnih števil z decimalnimi ulomki.

Opredelitev. Zaporedje (q n) je omejeno, če je $ 0< MÎQ, to (" nО n|q n | £M)

1. izrek. Vsako osnovno zaporedje racionalnih števil je omejeno.

Dokaz. Naj bo (q n) temeljno zaporedje racionalnih števil, potem na podlagi fundamentalnosti za e=1 obstaja tako pO n, Kaj:

$ po N:((" m ³ p) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p -fiks, potem " n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

Res: |q n | = |q n -q p +q p | £ |q n -q p | + |q p | Þ |q n | £ 1 + |q p |.

Ob predpostavki M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) dobimo: " nО n|q n | £ M.ð

V klavzuli 6.3. unarna relacija "biti pozitiven" je bila določena na nizu. Dogovorimo se, da napišemo »>0«. Potem je a ³ 0 Û (a > 0 ali a = 0).

Izrek 2 . Naj osnovno zaporedje (q n) racionalnih števil predstavlja realno število a, potem:

a) ($ p 1 O n, $MО Q("ne n, " n ³ p 1) Þ |q n | £ M) Þ a £ M.

b) ($ p 2 O n, $mO Q("ne n, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

Dokaz. Ker je " n³p 1 q n -M £ 0, potem temeljno zaporedje q n -M - razlika med temeljnim zaporedjem (q n) in konstantnim zaporedjem M ne more biti pozitivno zaporedje, saj je ničelno ali negativno.

Zato realno število (a-M), ki ga predstavlja to zaporedje, ne more biti pozitivno, tj. a-M £ 0, tj. a£M.

Podobno se obravnava b).

Izrek 3 . Osnovno zaporedje (q n) racionalnih števil predstavlja realno število a, če in samo če je " 0 R$pо n da "nÎ n in n³p neenakost |q n -a| £e:

(q n)Îa Û " 0< eÎR$ po n("ne n, n³p) Þ |q n -a| £e.

Dokaz. Dokazali bomo samo nujnost. Očitno je, da "eÎ R$ e 1 O Q(e 1 £e)

Naj bo temeljno zaporedje (q n) racionalnih števil predstavnik števila a.

Po pogoju je temeljna, t.j. "0< eÎQ$ po n("ne N,"mÎ n, n³p, m³p) Þ |q n -q n | £e/2.

Popravimo n³p, potem dobimo temeljno zaporedje (q m -q n): (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; .. .).

Vsi členi tega zaporedja za m³p izpolnjujejo neenakost: |q m -q n |£ e/2.

Po izreku 2 je realno število, ki ga predstavlja to zaporedje | a-q n | £e/2.

| a-q n | £ e O R"n³p.

Izrek 4 . Ne glede na realno število a vedno obstaja celo število M, tako da je izpolnjena neenakost M£a

(" aÎ R$! MÎ Z(M £ a< M+1))

Dokaz.

Korak 1. Dokaz obstoja.

Naj osnovno zaporedje (q n) racionalnih števil predstavlja realno število a: ((q n)Îa). Po izreku 1 $ LО Z 0, tako da "nО n q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L).

Po izreku 3 (q n)Îa Û " e>0, eО R$ po n: ((" nO n, n³p) Þ ½q n -a½ £ e).

Potem je " n³p ½a½=½a- q n + q n ½£½a- q n½+½ q n½£ e + L.

½a½ £ e + L Û -L-e £ a £ L+e.

Ker e je poljubno število >0, potem –L £ a £ L. Po tem je očitno, da -1-L< a < L+1.

Nato med končno množico celih števil: -L-1, -L, -L+1, …, -1, 0, +1, …, L, L+1, najdemo prvištevilo M+1, za katero je izpolnjen pogoj a< M+1.

Potem število M ne zadošča neenakosti M £ a< M+1, т.е. такое число M существует.

Korak 2. Dokaz edinstvenosti.4