Derivação da fórmula de Thomson de três maneiras. Circuito oscilatório

A fórmula do caminho é a fórmula da vida A vida é uma viagem ao canto mais desconhecido do mundo inteiro - Você mesmo. Ninguém conhece seus limites. E tenho certeza de que não há nenhum. Não sei o que levarei comigo pelo caminho, o que vou abrir mão, o que não vou notar, o que vou chorar, rir, me arrepender. EU

Se compararmos a Fig. Foto dos anos 50. 17, que mostra as oscilações de um corpo sobre molas, não é difícil estabelecer uma grande semelhança em todas as etapas do processo. É possível compilar uma espécie de “dicionário” com o qual a descrição das vibrações elétricas pode ser imediatamente traduzida em uma descrição das vibrações mecânicas e vice-versa. Este é o dicionário.

Experimente reler o parágrafo anterior com este “dicionário”. No momento inicial, o capacitor é carregado (o corpo é desviado), ou seja, o sistema recebe um suprimento de energia elétrica (potencial). A corrente começa a fluir (o corpo adquire velocidade), após um quarto do período a corrente e a energia magnética são maiores, e o capacitor é descarregado, a carga nele é zero (a velocidade do corpo e sua energia cinética são o maior, e o corpo passa pela posição de equilíbrio), etc.

Observe que a carga inicial do capacitor e, portanto, a tensão nele é criada pela força eletromotriz da bateria. Por outro lado, a deflexão inicial do corpo é criada por uma força aplicada externamente. Assim, a força que atua sobre um sistema oscilatório mecânico desempenha um papel semelhante à força eletromotriz que atua sobre um sistema oscilatório elétrico. Nosso “dicionário” pode, portanto, ser complementado com outra “tradução”:

7) força, 7) força eletromotriz.

A semelhança dos padrões de ambos os processos vai além. As vibrações mecânicas são amortecidas devido ao atrito: a cada vibração, parte da energia é convertida em calor devido ao atrito, de modo que a amplitude torna-se cada vez menor. Da mesma forma, a cada recarga do capacitor, parte da energia atual é convertida em calor, liberado devido à presença de resistência no fio da bobina. Portanto, as oscilações elétricas no circuito também são amortecidas. A resistência desempenha o mesmo papel para as vibrações elétricas que o atrito desempenha para as vibrações mecânicas.

Em 1853 O físico inglês William Thomson (Lord Kelvin, 1824-1907) mostrou teoricamente que as oscilações elétricas naturais em um circuito composto por um capacitor e um indutor são harmônicas, e seu período é expresso pela fórmula

( - em Henry, - em farads, - em segundos). Esta fórmula simples e muito importante é chamada de fórmula de Thomson. Os próprios circuitos oscilatórios com capacitância e indutância também são frequentemente chamados de Thomsonianos, uma vez que Thomson foi o primeiro a fornecer a teoria das oscilações elétricas em tais circuitos. Recentemente, o termo “-circuit” (e similarmente “-circuit”, “-circuit”, etc.) tem sido cada vez mais utilizado.

Comparando a fórmula de Thomson com a fórmula que determina o período de oscilações harmônicas de um pêndulo elástico (§ 9), vemos que a massa do corpo desempenha o mesmo papel que a indutância, e a rigidez da mola desempenha o mesmo papel que o recíproco da capacitância (). De acordo com isso, em nosso “dicionário” a segunda linha pode ser escrita assim:

2) rigidez da mola 2) o recíproco da capacitância do capacitor.

Ao selecionar diferentes e, você pode obter quaisquer períodos de oscilações elétricas. Naturalmente, dependendo do período das oscilações elétricas, é necessário utilizar vários métodos de observação e registro (oscilografia). Se tomarmos, por exemplo, e , então o período será

ou seja, as oscilações ocorrerão com uma frequência de cerca de . Este é um exemplo de vibrações elétricas cuja frequência está na faixa de áudio. Essas vibrações podem ser ouvidas por meio de um telefone e registradas em um osciloscópio de loop. Um osciloscópio eletrônico permite digitalizar essas oscilações e oscilações de frequência mais alta. A engenharia de rádio utiliza oscilações extremamente rápidas - com frequências de muitos milhões de hertz. Um osciloscópio electrónico permite-nos observar a sua forma, assim como podemos ver a forma das oscilações do pêndulo usando o traço de um pêndulo numa placa fuliginosa (§ 3). A oscilografia de oscilações elétricas livres com uma única excitação de um circuito oscilatório geralmente não é utilizada. O fato é que o estado de equilíbrio do circuito se estabelece em apenas alguns períodos, ou, na melhor das hipóteses, em várias dezenas de períodos (dependendo da relação entre a indutância do circuito, sua capacitância e resistência). Se, digamos, o processo de amortecimento praticamente termina em 20 períodos, então no exemplo acima de um circuito com períodos de 1, toda a explosão de oscilações livres levará apenas e será muito difícil seguir o oscilograma com simples observação visual. O problema é facilmente resolvido se todo o processo - desde a excitação das oscilações até sua quase completa extinção - for repetido periodicamente. Ao tornar a tensão de varredura do osciloscópio eletrônico também periódica e síncrona com o processo de excitação das oscilações, forçaremos o feixe de elétrons a “desenhar” repetidamente o mesmo oscilograma no mesmo local da tela. Com repetições suficientemente frequentes, a imagem observada na tela geralmente parecerá ininterrupta, ou seja, veremos uma curva imóvel e imutável, cuja ideia é dada na Fig. 49, b.

No circuito de comutação mostrado na Fig. 49a, a repetição repetida do processo pode ser conseguida simplesmente movendo periodicamente a chave de uma posição para outra.

A engenharia de rádio possui métodos de comutação elétrica muito mais avançados e rápidos para isso, utilizando circuitos com tubos de vácuo. Mas mesmo antes da invenção dos tubos de vácuo, foi inventado um método engenhoso de repetir periodicamente a excitação de oscilações amortecidas em um circuito, baseado no uso de uma carga de faísca. Devido à simplicidade e clareza deste método, iremos abordá-lo com alguns detalhes.

Arroz. 51. Esquema de excitação de faíscas de oscilações no circuito

O circuito oscilatório é interrompido por um pequeno vão (faísca 1), cujas extremidades são conectadas ao enrolamento secundário do transformador elevador 2 (Fig. 51). A corrente do transformador carrega o capacitor 3 até que a tensão no centelhador se torne igual à tensão de ruptura (ver Volume II, §93). Nesse momento, ocorre uma descarga de faísca no centelhador, que fecha o circuito, pois a coluna de gás altamente ionizado no canal de faísca conduz corrente quase tão bem quanto o metal. Nesse circuito fechado, ocorrerão oscilações elétricas, conforme descrito acima. Embora o centelhador conduza bem a corrente, o enrolamento secundário do transformador é praticamente curto-circuitado pela faísca, de modo que toda a tensão do transformador cai em seu enrolamento secundário, cuja resistência é muito maior que a resistência da faísca . Conseqüentemente, com um centelhador bem condutor, o transformador praticamente não fornece energia ao circuito. Pelo fato do circuito possuir resistência, parte da energia oscilatória é gasta no calor Joule, bem como nos processos da faísca, as oscilações morrem e após um curto período de tempo as amplitudes da corrente e da tensão caem tanto que a faísca se apaga. Então as oscilações elétricas param. A partir deste momento, o transformador carrega novamente o capacitor até que ocorra novamente a quebra e todo o processo se repita (Fig. 52). Assim, a formação de uma faísca e sua extinção desempenham o papel de uma chave automática, garantindo a repetição do processo oscilatório.

Arroz. 52. A curva a) mostra como a alta tensão muda no enrolamento secundário aberto do transformador. Nos momentos em que esta tensão atinge a tensão de ruptura, uma faísca salta no centelhador, o circuito fecha, obtém-se um flash de oscilações amortecidas - curvas b)

Se uma onda eletromagnética monocromática plana incide sobre uma partícula livre com carga e massa , então a partícula experimenta aceleração e, portanto, irradia. A direção da radiação não coincide com a direção da onda incidente, mas sua frequência durante o movimento não relativístico coincide com a frequência do campo incidente. Em geral, este efeito pode ser considerado como espalhamento da radiação incidente.

O valor instantâneo da potência de radiação para uma partícula carregada durante o movimento não relativístico é determinado pela fórmula de Larmor (14.21):

onde está o ângulo entre a direção de observação e a aceleração. A aceleração é causada pela ação de uma onda eletromagnética plana incidente. Denotando o vetor de onda por k e o vetor de polarização por

através de , escrevemos o campo elétrico da onda na forma

De acordo com a equação não relativística do movimento, a aceleração é igual a

(14.99)

Se assumirmos que o deslocamento da carga durante o período de oscilação é muito menor que o comprimento de onda, então o quadrado médio da aceleração no tempo será igual a. Neste caso, a potência média emitida por unidade de ângulo sólido é igual a

Como o fenômeno descrito pode ser mais facilmente considerado como espalhamento, é conveniente introduzir a seção transversal efetiva do espalhamento diferencial, definindo-a da seguinte forma:

O fluxo de energia da onda incidente é determinado pelo valor médio temporal do vetor Poynting para uma onda plana, ou seja, é igual a. Assim, de acordo com (14.100), para a seção transversal efetiva diferencial, espalhamento obtemos

Se a onda incidente se propaga na direção do eixo e o vetor de polarização forma um ângulo com o eixo como mostrado na Fig. 14.12, então a distribuição angular é determinada pelo fator

Para radiação incidente não polarizada, o corte de espalhamento diferencial é obtido calculando a média do ângulo, o que leva à relação

Esta é a chamada fórmula de Thomson para o espalhamento da radiação incidente por carga gratuita. Descreve a dispersão dos raios X pelos elétrons ou dos raios y pelos prótons. Angular

A distribuição da radiação é mostrada na Fig. 14.13 (curva sólida). Para a seção transversal de espalhamento efetiva total, a chamada seção transversal de espalhamento Thomson, obtemos

Para elétrons. A quantidade cm, que tem a dimensão do comprimento, é geralmente chamada de raio clássico do elétron, uma vez que uma distribuição uniforme de carga igual à carga do elétron deve ter um raio de tal ordem que sua própria energia eletrostática seja igual a a massa restante do elétron (ver Capítulo 17).

O resultado clássico de Thomson é válido apenas em baixas frequências. Se a frequência с se tornar comparável ao valor, ou seja, se a energia do fóton for comparável ou exceder a energia de repouso, então os efeitos da mecânica quântica começam a ter um efeito significativo. Outra interpretação deste critério é possível: pode-se esperar o aparecimento de efeitos quânticos quando o comprimento de onda da radiação se torna comparável ou menor que o comprimento de onda Compton da partícula. Em altas frequências, a distribuição angular da radiação é mais concentrada na direção do onda incidente, como mostrado pelas curvas pontilhadas na Fig. 14,13; neste caso, porém, a seção transversal da radiação para o ângulo zero coincide sempre com aquela determinada pela fórmula de Thomson.

A seção transversal de espalhamento total acaba sendo menor que a seção transversal de espalhamento de Thomson (14.105). Este é o chamado espalhamento Compton. Para elétrons, é descrito pela fórmula de Klein-Nishina. Aqui apresentamos as expressões assintóticas para referência

a seção transversal de espalhamento total, determinada pela fórmula de Klein-Nishina.

Fórmula de Thomson:

O período de oscilações eletromagnéticas em um circuito oscilatório ideal (ou seja, em um circuito onde não há perda de energia) depende da indutância da bobina e da capacitância do capacitor e é encontrado pela fórmula obtida pela primeira vez em 1853 pelo cientista inglês William Thomson:

A frequência e o período estão relacionados inversamente proporcionais à relação ν = 1/T.

Para aplicação prática, é importante obter oscilações eletromagnéticas não amortecidas, e para isso é necessário reabastecer o circuito oscilante com eletricidade para compensar as perdas.

Para obter oscilações eletromagnéticas contínuas, é utilizado um gerador de oscilação contínua, que é um exemplo de sistema autooscilante.

Veja abaixo “Oscilações elétricas forçadas”

OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS LIVRES NO CIRCUITO

CONVERSÃO DE ENERGIA EM UM CIRCUITO OSCILANTE

Veja acima “Circuito oscilante”

FREQUÊNCIA NATURAL DE OSCILAÇÕES NO CIRCUITO

Veja acima “Circuito oscilante”

OSCILAÇÕES ELÉTRICAS FORÇADAS

ADICIONAR EXEMPLOS DE ESQUEMAS

Se em um circuito que inclui indutância L e capacitância C, um capacitor estiver de alguma forma carregado (por exemplo, conectando brevemente uma fonte de energia), então oscilações amortecidas periódicas aparecerão nele:

você = Umax sin(ω0t + φ) e-αt

ω0 = (Frequência natural das oscilações do circuito)

Para garantir oscilações não amortecidas, o gerador deve incluir um elemento capaz de conectar prontamente o circuito à fonte de energia - um interruptor ou um amplificador.

Para que esta chave ou amplificador abra apenas no momento certo, é necessário feedback do circuito para a entrada de controle do amplificador.

Um gerador de tensão senoidal tipo LC deve ter três componentes principais:

Circuito ressonante

Amplificador ou interruptor (em um tubo de vácuo, transistor ou outro elemento)

Opinião

Consideremos a operação de tal gerador.

Se o capacitor C for carregado e recarregado através da indutância L de tal forma que a corrente no circuito flua no sentido anti-horário, ocorre um e no enrolamento que possui acoplamento indutivo com o circuito. d.s., transistor de bloqueio T. O circuito está desconectado da fonte de alimentação.

No próximo meio ciclo, quando o capacitor é recarregado, uma fem é induzida no enrolamento do acoplamento. de sinal diferente e o transistor abre ligeiramente, a corrente da fonte de alimentação passa para o circuito, recarregando o capacitor.

Se a quantidade de energia que entra no circuito for menor que as perdas nele contidas, o processo começará a desaparecer, embora mais lentamente do que na ausência de um amplificador.

Com a mesma reposição e consumo de energia, as oscilações não são amortecidas e, se a recarga do circuito ultrapassar as perdas nele contidas, as oscilações tornam-se divergentes.

Para criar uma natureza não amortecida de oscilações, geralmente é usado o seguinte método: em pequenas amplitudes de oscilações no circuito, uma corrente de coletor do transistor é fornecida de modo que a reposição de energia exceda seu consumo. Como resultado, as amplitudes de oscilação aumentam e a corrente do coletor atinge o valor da corrente de saturação. Um aumento adicional na corrente de base não leva a um aumento na corrente do coletor e, portanto, o aumento na amplitude de oscilação é interrompido.

CORRENTE ELÉTRICA ALTERNADA

GERADOR DE CORRENTE ALTERNADA (classe 11, página 131)

EMF de um quadro girando em um campo

Alternador.

Em um condutor que se move em um campo magnético constante, um campo elétrico é gerado e ocorre uma fem induzida.

O elemento principal do gerador é uma estrutura girando em um campo magnético por um motor mecânico externo.

Vamos encontrar a fem induzida em um referencial de tamanho a x b girando com frequência angular ω em um campo magnético com indução B.

Seja na posição inicial o ângulo α entre o vetor de indução magnética B e o vetor de área do quadro S igual a zero. Nesta posição não ocorre separação de cargas.

Na metade direita do quadro, o vetor velocidade é codirecional ao vetor de indução e na metade esquerda é oposto a ele. Portanto, a força de Lorentz que atua sobre as cargas no referencial é zero

Quando a estrutura é girada em um ângulo de 90°, ocorre separação de carga nas laterais da estrutura sob a influência da força de Lorentz. A mesma fem induzida ocorre nos lados 1 e 3 do quadro:

εi1 = εi3 = υBb

A separação de cargas nos lados 2 e 4 é insignificante e, portanto, a fem induzida que surge nelas pode ser desprezada.

Levando em consideração o fato de que υ = ω a/2, a fem total induzida no referencial:

εi = 2 εi1 = ωBΔS

A fem induzida no quadro pode ser encontrada na lei da indução eletromagnética de Faraday. O fluxo magnético através da área do quadro rotativo muda com o tempo dependendo do ângulo de rotação φ = peso entre as linhas de indução magnética e o vetor de área.

Quando a bobina gira com uma frequência n, o ângulo j muda de acordo com a lei j = 2πnt, e a expressão para o fluxo assume a forma:

Φ = BDS cos(peso) = BDS cos(2πnt)

De acordo com a lei de Faraday, mudanças no fluxo magnético criam uma fem induzida igual a menos a taxa de variação do fluxo:

εi = - dΦ/dt = -Φ’ = BSω sin(ωt) = εmax sin(wt) .

onde εmax = wBDS - EMF máximo induzido no quadro

Consequentemente, a mudança na fem induzida ocorrerá de acordo com a lei harmônica.

Se, usando anéis coletores e escovas deslizando ao longo deles, as extremidades da bobina forem conectadas a um circuito elétrico, então, sob a influência da fem indutiva, que muda ao longo do tempo de acordo com uma lei harmônica, ocorrerão oscilações elétricas forçadas na intensidade da corrente. no circuito elétrico - corrente alternada.

Na prática, um EMF senoidal é excitado não pela rotação de uma bobina em um campo magnético, mas pela rotação de um ímã ou eletroímã (rotor) dentro do estator - enrolamentos estacionários enrolados em núcleos de aço.

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