Prova do teorema de Lobachevsky sobre linhas paralelas. Aplicações práticas da geometria Lobachevsky

A história da criação da geometria de Lobachevsky é ao mesmo tempo a história das tentativas de provar o quinto postulado de Euclides. Este postulado é um dos axiomas estabelecidos por Euclides como base para a sua apresentação da geometria (ver Euclides e os seus “Elementos”). O quinto postulado é a última e mais complexa das proposições incluídas por Euclides na sua axiomática da geometria. Lembremos a formulação do quinto postulado: se duas retas são cruzadas por uma terceira de modo que em qualquer lado dela a soma dos ângulos internos seja menor que dois ângulos retos, então no mesmo lado as retas originais se cruzam. Por exemplo, se na Fig. 1 ângulo é um ângulo reto, e o ângulo é um pouco menor que um ângulo reto, então as linhas retas certamente se cruzarão e à direita da linha reta. Muitos dos teoremas de Euclides (por exemplo, “em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais”) expressam fatos muito mais simples do que o quinto postulado. Além disso, é bastante difícil verificar experimentalmente o quinto postulado. Basta dizer que se na Fig. 1 distância é considerada igual a 1 m, e o ângulo difere da linha reta em um segundo de arco, então podemos calcular que as linhas retas se cruzam a uma distância de mais de 200 km da linha reta.

Muitos matemáticos que viveram depois de Euclides tentaram provar que este axioma (quinto postulado) é supérfluo, ou seja, pode ser provado como um teorema baseado nos axiomas restantes. Então, no século V. BC. O matemático Proclo (o primeiro comentarista das obras de Euclides) fez tal tentativa. Porém, em sua prova, Proclo, despercebido por si mesmo, usou a seguinte afirmação: duas perpendiculares a uma linha reta em todo o seu comprimento estão a uma distância limitada uma da outra (ou seja, duas linhas retas perpendiculares à terceira não podem se afastar uma da outra outras indefinidamente, como as linhas da Fig. 2). Mas apesar de toda a aparente “obviedade” visual, esta afirmação requer justificação numa apresentação axiomática estrita da geometria. Na verdade, a afirmação utilizada por Proclus equivale ao quinto postulado; em outras palavras, se for adicionado ao resto dos axiomas de Euclides como outro novo axioma, então o quinto postulado pode ser provado (que foi o que Proclo fez), e se o quinto postulado for aceito, então a afirmação formulada por Proclo pode ser comprovado.

Uma análise crítica de novas tentativas de provar o quinto postulado revelou um grande número de afirmações “óbvias” semelhantes que podem substituir o quinto postulado na axiomática de Euclides. Aqui estão alguns exemplos de tais equivalentes do quinto postulado.

1) Através de um ponto dentro de um ângulo menor que o desdobrado, você sempre pode traçar uma linha reta cruzando seus lados, ou seja, linhas retas em um plano não podem ser localizadas como mostrado na Fig. 3. 2) Existem dois triângulos semelhantes que não são iguais entre si. 3) Três pontos localizados em um lado de uma linha a uma distância igual dela (Fig. 4) estão na mesma linha. 4) Para cada triângulo existe um círculo circunscrito.

Gradualmente, as “provas” tornam-se cada vez mais sofisticadas, e equivalentes sutis do quinto postulado ficam cada vez mais escondidos nelas. Ao admitir que o quinto postulado era falso, os matemáticos tentaram chegar a uma contradição lógica. Chegaram a afirmações que contradiziam monstruosamente a nossa intuição geométrica, mas nenhuma contradição lógica foi alcançada. Ou talvez nunca chegaremos a uma contradição neste caminho? Será que, ao substituir o quinto postulado de Euclides pela sua negação (preservando ao mesmo tempo o resto dos axiomas de Euclides), chegaremos a uma nova geometria não-euclidiana, que em muitos aspectos não concorda com as nossas representações visuais habituais, mas, no entanto, não concorda? não contém nenhuma contradição lógica? Os matemáticos não poderiam sofrer com esta ideia simples, mas muito ousada, durante dois mil anos após o aparecimento dos Elementos de Euclides.

O primeiro a admitir a possibilidade da existência de uma geometria não euclidiana, em que o quinto postulado é substituído pela sua negação, foi K. F. Gauss. O fato de Gauss ser dono das ideias da geometria não euclidiana só foi descoberto após a morte do cientista, quando seus arquivos começaram a ser estudados. O brilhante Gauss, cujas opiniões todos ouviam, não se atreveu a publicar os seus resultados sobre geometria não euclidiana, por medo de ser mal compreendido e envolvido em controvérsias.

Século XIX trouxe uma solução para o enigma do quinto postulado. Nosso compatriota, professor da Universidade de Kazan, NI Lobachevsky, também fez essa descoberta independentemente de Gauss. Como seus antecessores, Lobachevsky inicialmente tentou tirar várias consequências da negação do quinto postulado, esperando que mais cedo ou mais tarde chegasse a uma contradição. No entanto, ele provou muitas dezenas de teoremas sem revelar contradições lógicas. E então Lobachevsky propôs um palpite sobre a consistência da geometria, em que o quinto postulado foi substituído por sua negação. Lobachevsky chamou essa geometria de imaginária. Lobachevsky delineou a sua investigação numa série de obras, começando em 1829. Mas o mundo matemático não aceitou as ideias de Lobachevsky. Os cientistas não estavam preparados para a ideia de que poderia haver uma geometria diferente da euclidiana. E apenas Gauss expressou sua atitude em relação ao feito científico do cientista russo: ele conseguiu a eleição de N. I. Lobachevsky como membro correspondente da Royal Scientific Society de Göttingen em 1842. Esta é a única honra científica que Lobachevsky recebeu durante sua vida. Ele morreu sem alcançar o reconhecimento de suas ideias.

Falando sobre a geometria de Lobachevsky, é impossível não mencionar outro cientista que, junto com Gauss e Lobachevsky, compartilha o mérito da descoberta da geometria não euclidiana. Foi o matemático húngaro J. Bolyai (1802-1860). Seu pai, o famoso matemático F. Bolyai, que trabalhou toda a sua vida na teoria das paralelas, acreditava que a solução para esse problema estava além das forças humanas e queria proteger seu filho de fracassos e decepções. Em uma de suas cartas, ele lhe escreveu: “Atravessei toda a escuridão desesperadora desta noite e enterrei nela toda luz, toda alegria da vida... isso pode privá-lo de todo o seu tempo, saúde, paz, tudo. a felicidade da sua vida...” Mas Janos não deu ouvidos aos avisos do pai. Logo o jovem cientista, independentemente de Gauss e Lobachevsky, chegou às mesmas ideias. No apêndice do livro de seu pai, publicado em 1832, J. Bolyai fez uma apresentação independente da geometria não euclidiana.

A geometria de Lobachevsky (ou geometria de Lobachevsky Bolyai, como às vezes é chamada) preserva todos os teoremas que na geometria euclidiana podem ser provados sem usar o quinto postulado (ou o axioma paralelo de um dos equivalentes do quinto postulado - incluídos nos livros escolares estes dias). Por exemplo: os ângulos verticais são iguais; os ângulos na base de um triângulo isósceles são iguais; de um determinado ponto, apenas uma perpendicular pode ser baixada até uma determinada linha; também são preservados os sinais de igualdade dos triângulos, etc., mas os teoremas, em cuja prova é utilizado o axioma do paralelismo, são modificados. O teorema da soma dos ângulos de um triângulo é o primeiro teorema do curso escolar, cuja prova utiliza o axioma do paralelismo. Aqui nos espera a primeira “surpresa”: na geometria de Lobachevsky, a soma dos ângulos de qualquer triângulo é menor que 180°.

Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente iguais a dois ângulos de outro triângulo, então na geometria euclidiana os terceiros ângulos também são iguais (tais triângulos são semelhantes). Não existem tais triângulos na geometria de Lobachevsky. Além disso, na geometria de Lobachevsky existe um quarto critério para a igualdade dos triângulos: se os ângulos de um triângulo são correspondentemente iguais aos ângulos de outro triângulo, então estes triângulos são iguais.

A diferença entre 180° e a soma dos ângulos de um triângulo na geometria de Lobachevsky é positiva; é chamado de defeito deste triângulo. Acontece que nesta geometria a área de um triângulo está notavelmente relacionada ao seu defeito: , onde e significam a área e o defeito do triângulo, e o número depende da escolha das unidades para medir áreas e ângulos.

Seja agora algum ângulo agudo (Fig. 5). Na geometria de Lobachevsky, você pode escolher um ponto no lado tal que a perpendicular ao lado não cruze com o outro lado do ângulo. Este fato apenas confirma que o quinto postulado não é satisfeito: a soma dos ângulos é menor que o ângulo desdobrado, mas as retas não se cruzam. Se você começar a aproximar o ponto de , então haverá um ponto tão “crítico” que a perpendicular ao lado ainda não cruza com o lado, mas para qualquer ponto situado entre e , a perpendicular correspondente cruza com o lado. Eles são retos e cada vez mais próximos um do outro, mas não possuem pontos em comum. Na Fig. 6 estas linhas são mostradas separadamente; Lobachevsky chama precisamente essas linhas retas que se aproximam sem limites de paralelas em sua geometria. E Lobachevsky chama duas perpendiculares a uma linha reta (que se afastam indefinidamente uma da outra, como na Fig. 2) de linhas retas divergentes. Acontece que isso limita todas as possibilidades de arranjo de duas retas no plano de Lobachevsky: duas retas divergentes ou se cruzam em um ponto, ou são paralelas (Fig. 6), ou são divergentes (neste caso elas têm um único comum perpendicular, Fig. 2).

Na Fig. 7, a perpendicular ao lado do ângulo não se cruza com o lado, e as retas são simétricas às retas em relação a. Além disso, , então é perpendicular ao segmento no meio e, da mesma forma, perpendicular ao segmento no meio. Essas perpendiculares não se cruzam e, portanto, não há ponto igualmente distante dos pontos, ou seja, um triângulo não tem circunferência circunscrita.

Na Fig. A Figura 8 mostra uma variante interessante do arranjo de três linhas retas no plano de Lobachevsky: cada duas delas são paralelas (apenas em direções diferentes). E na Fig. 9 todas as linhas são paralelas entre si na mesma direção (um feixe de linhas paralelas). Linha vermelha na fig. 9 é “perpendicular” a todas as retas traçadas (ou seja, a tangente a esta reta em qualquer ponto é perpendicular à reta que passa por ). Essa linha é chamada de círculo limite ou horociclo. As linhas retas do feixe considerado são, por assim dizer, seus “raios”, e o “centro” do círculo limite fica no infinito, uma vez que os “raios” são paralelos. Ao mesmo tempo, o círculo limite não é uma linha reta, é “curvo”. E outras propriedades que uma linha reta tem na geometria euclidiana, na geometria de Lobachevsky, revelam-se inerentes a outras linhas. Por exemplo, um conjunto de pontos localizados em um lado de uma determinada linha a uma determinada distância dela, na geometria de Lobachevsky, é uma linha curva (é chamada de equidistante).

NIKOLAI IVANOVICH LOBACHEVSKY (1792-1856) A partir dos 14 anos, a vida de N. I. Lobachevsky esteve ligada à Universidade de Kazan. Seus anos de estudante coincidiram com um período próspero na história da universidade. Havia alguém com quem aprender matemática; Entre os professores, destacou-se M.F. Bartels, companheiro dos primeiros passos da matemática de K. F. Gauss. Desde 1814, Lobachevsky leciona na universidade: dá palestras sobre matemática, física, astronomia, dirige o observatório e dirige a biblioteca. Durante vários anos foi eleito reitor da Faculdade de Física e Matemática. Em 1827 teve início o período de 19 anos de seu reitorado contínuo. Tudo teve que começar de novo: engajar-se na construção, atrair novos professores, mudar o regime estudantil. Isso levou quase todo o tempo. No início de fevereiro de 1826, ele submeteu à universidade o manuscrito “Uma exposição concisa dos elementos da geometria com uma prova rigorosa do teorema das paralelas”, e em 11 de fevereiro fez um relatório em uma reunião do Conselho Universitário. Na verdade, não se tratava de provar o quinto postulado de Euclides, mas de construir uma geometria na qual a sua negação ocorresse, ou seja, sobre a prova de sua não derivabilidade dos axiomas restantes. Provavelmente nenhum dos presentes poderia seguir a linha de pensamento de Lobachevsky. A comissão criada de membros do Conselho não se pronunciou durante vários anos. Em 1830, o Kazansky Vestnik publicou a obra “Sobre os Princípios da Geometria”, que é um extrato de um relatório do Conselho. Para entender a situação, decidiram contar com a ajuda da capital: em 1832 o artigo foi enviado para São Petersburgo. E aqui ninguém entendeu nada, o trabalho foi classificado como sem sentido. Não se deve julgar os cientistas russos com demasiada severidade: em nenhum lugar do mundo os matemáticos estavam ainda preparados para aceitar as ideias da geometria não-euclidiana. Nada poderia abalar a confiança de Lobachevsky em sua correção. Há 30 anos continua a desenvolver a sua geometria, tenta tornar a sua apresentação mais acessível e publica obras em francês e alemão. Gauss leu a versão alemã da apresentação e, claro, entendeu perfeitamente o autor. Ele leu suas obras em russo e as apreciou em cartas aos seus alunos, mas Gauss não apoiou publicamente a nova geometria. NI Lobachevsky ascendeu a altos cargos, recebeu um grande número de encomendas, gozava do respeito dos que o rodeavam, mas estes preferiram não falar da sua geometria, mesmo nos dias em que Kazan se despediu dele. Pelo menos mais vinte anos se passaram antes que a geometria de Lobachevsky ganhasse direitos de cidadania em matemática.

Abordamos brevemente apenas alguns fatos da geometria de Lobachevsky, sem mencionar muitos outros teoremas muito interessantes e significativos (por exemplo, a circunferência e a área de um círculo de raio aqui crescem dependendo da lei exponencial). Existe a convicção de que esta teoria, rica em factos muito interessantes e significativos, é de facto consistente. Mas esta convicção (que foi partilhada por todos os três criadores da geometria não-euclidiana) não substitui a prova de consistência.

Para obter tal comprovação foi necessária a construção de um modelo. E Lobachevsky entendeu isso bem e tentou encontrá-la.

Mas o próprio Lobachevsky não podia mais fazer isso. A construção de tal modelo (ou seja, a prova da consistência da geometria de Lobachevsky) coube aos matemáticos da geração seguinte.

Em 1868, o matemático italiano E. Beltrami examinou uma superfície côncava chamada pseudoesfera (Fig. 10) e provou que a geometria de Lobachevsky opera nesta superfície! Se desenharmos as linhas mais curtas (“geodésicas”) nesta superfície e medirmos distâncias ao longo dessas linhas, fizermos triângulos a partir dos arcos dessas linhas, etc., então acontece que todas as fórmulas da geometria de Lobachevsky são implementadas exatamente (em particular , a soma dos ângulos de qualquer triângulo menor que 180°). É verdade que nem todo o plano de Lobachevsky é realizado na pseudoesfera, mas apenas uma parte limitada dele, mas ainda assim esta foi a primeira brecha na parede vazia do não reconhecimento de Lobachevsky. E dois anos depois, o matemático alemão F. Klein (1849-1925) propôs outro modelo do plano de Lobachevsky.

Klein pega um círculo e considera as transformações projetivas do plano (ver Geometria projetiva) que mapeiam o círculo sobre si mesmo. Klein chama o interior de um círculo de “plano” e considera as transformações projetivas indicadas como “movimentos” desse “plano”. Além disso, Klein considera cada corda do círculo (sem extremidades, uma vez que apenas os pontos internos do círculo são considerados) como uma “linha reta”. Como os “movimentos” são transformações projetivas, os “diretos” tornam-se “diretos” durante esses “movimentos”. Agora neste “plano” podemos considerar segmentos, triângulos, etc. Duas figuras são chamadas “iguais” se uma delas pode ser transferida para a outra por algum “movimento”. Assim, são introduzidos todos os conceitos mencionados nos axiomas da geometria, sendo possível verificar o cumprimento dos axiomas neste modelo. Por exemplo, é óbvio que existe apenas uma “linha reta” passando por quaisquer dois pontos (Fig. 11). Pode-se observar também que por um ponto que não pertence a uma “reta” passa um número infinito de “retas” que não se cruzam. Verificações adicionais mostram que no modelo de Klein todos os outros axiomas da geometria de Lobachevsky também são satisfeitos. Em particular, para qualquer “reta” (isto é, corda de um círculo) e qualquer ponto desta “reta” existe um “movimento” que a transfere para outra dada reta com um ponto marcado nela. Isso nos permite verificar o cumprimento de todos os axiomas da geometria de Lobachevsky.

Outro modelo de geometria de Lobachevsky foi proposto pelo matemático francês A. Poincaré (1854-1912). Ele também considera o interior de um determinado círculo; Ele considera arcos “retos” de círculos que tocam os raios nos pontos de intersecção com o limite do círculo (Fig. 12). Sem falar detalhadamente dos “movimentos” do modelo de Poincaré (serão transformações circulares, em particular inversões em relação às “retas”, transformando o círculo em si mesmo), limitar-nos-emos a indicar a Fig. 13, mostrando que neste modelo o axioma euclidiano do paralelismo não tem lugar. É interessante que neste modelo um círculo (euclidiano) localizado dentro de um círculo acabe sendo um “círculo” no sentido da geometria de Lobachevsky; círculo tocando o limite. Então a luz irá (de acordo com o princípio de Fermat sobre o tempo mínimo de movimento ao longo da trajetória da luz) se propagar precisamente ao longo das “linhas retas” do modelo considerado. A luz não pode atingir a fronteira em um tempo finito (já que ali sua velocidade diminui para zero) e, portanto, este mundo será percebido por seus “habitantes” como infinito, e em suas métricas e propriedades coincidentes com o plano de Lobachevsky.

Posteriormente, outros modelos da geometria de Lobachevsky foram propostos. Estes modelos finalmente estabeleceram a consistência da geometria de Lobachevsky. Assim, foi demonstrado que a geometria de Euclides não é a única possível. Isso teve um grande impacto progressivo no desenvolvimento da geometria e da matemática em geral.

E no século XX. descobriu-se que a geometria de Lobachevsky não é importante apenas para a matemática abstrata, como uma das geometrias possíveis, mas também está diretamente relacionada às aplicações da matemática à física. Descobriu-se que a relação entre espaço e tempo, descoberta nas obras de H. Lorentz, A. Poincaré, A. Einstein, G. Minkowski e descrita no âmbito da teoria da relatividade especial, está diretamente relacionada com a geometria de Lobachevsky. Por exemplo, nos cálculos dos sincrofasotrons modernos, são usadas fórmulas geométricas de Lobachevsky.

A geometria de Lobachevsky é uma teoria geométrica baseada nas mesmas premissas básicas da geometria euclidiana comum, com exceção do axioma das paralelas, que é substituído pelo axioma das paralelas de Lobachevsky. O axioma euclidiano sobre paralelas afirma: através de um ponto que não está em uma determinada linha, passa apenas uma linha reta que está com a linha dada no mesmo plano e não a intercepta. Na geometria de Lobachevsky, o seguinte axioma é aceito: através de um ponto que não está em uma determinada linha, passam pelo menos duas linhas que estão com uma determinada linha no mesmo plano e não a interceptam. Parece que este axioma contradiz ideias extremamente familiares. No entanto, tanto este axioma como toda a geometria de Lobachevsky têm um significado muito real. A geometria de Lobachevsky foi criada e desenvolvida por N. I. Lobachevsky, que relatou sobre ela pela primeira vez em 1826. A geometria de Lobachevsky é chamada de geometria não-euclidiana, embora o termo “geometria não-euclidiana” geralmente receba um significado mais amplo, incluindo aqui e outras teorias que surgiram após a geometria de Lobachevsky e também com base em mudanças nas premissas básicas da geometria euclidiana. A geometria de Lobachevsky é especificamente chamada de geometria hiperbólica não euclidiana (em oposição à geometria elíptica de Riemann).

A geometria de Lobachevsky é uma teoria rica em conteúdo e tem aplicação tanto na matemática quanto na física. O seu significado histórico reside no facto de, através da sua construção, Lobachevsky ter mostrado a possibilidade de uma geometria diferente da euclidiana, o que marcou uma nova era no desenvolvimento da geometria e da matemática em geral (ver Geometria). Do ponto de vista moderno, podemos dar, por exemplo, a seguinte definição de Lobachevsky de geometria em um plano: nada mais é do que geometria dentro de um círculo em um plano comum (euclidiano), apenas expresso de uma maneira especial. Ou seja, consideraremos um círculo em um plano comum (Fig. 1) e chamaremos seu interior, ou seja, o círculo, com exceção do círculo que o limita, de “plano”. O ponto do “plano” será o ponto dentro do círculo. Chamaremos qualquer corda (por exemplo, a, b, b`, MN) de “reta” (com as extremidades excluídas, já que a circunferência do círculo está excluída do “plano”). Chamemos de “movimento” qualquer transformação de um círculo em si mesmo, que transforma acordes em acordes.

Conseqüentemente, as figuras dentro de um círculo que são transformadas umas nas outras por tais transformações são chamadas iguais. Acontece então que qualquer fato geométrico descrito em tal linguagem representa um teorema ou axioma da geometria de Lobachevsky. Em outras palavras, cada afirmação da geometria de Lobachevsky no plano nada mais é do que uma afirmação da geometria euclidiana relativa a figuras dentro de um círculo, apenas recontado nos termos indicados. O axioma euclidiano sobre paralelas claramente não é satisfeito aqui, uma vez que através do ponto O, que não está em uma dada corda a (ou seja, uma “linha reta”), passa qualquer número de cordas (“linhas retas”) que fazem não o cruze (por exemplo, b, b`). Da mesma forma, a geometria de Lobachevsky no espaço pode ser definida como a geometria dentro da bola, expressa em termos apropriados (“linhas retas” - cordas, “planos” - seções planas do interior da bola, figuras “iguais” - aquelas que são traduzidas uns nos outros por transformações que transformam a própria bola e os acordes em acordes). Assim, a geometria de Lobachevsky tem um significado completamente real e é tão consistente quanto a geometria de Euclides. A descrição dos mesmos fatos em termos diferentes ou, inversamente, a descrição de fatos diferentes nos mesmos termos é um traço característico da matemática. Aparece claramente, por exemplo, quando a mesma reta é dada em coordenadas diferentes por equações diferentes ou, pelo contrário, a mesma equação em coordenadas diferentes representa retas diferentes.

O surgimento da geometria de Lobachevsky

A fonte da geometria de Lobachevsky foi a questão do axioma das paralelas, também conhecido como postulado V de Euclides (sob este número a afirmação equivalente ao axioma das paralelas acima aparece na lista de postulados nos Elementos de Euclides). Este postulado, pela sua complexidade em comparação com outros, tem suscitado tentativas de comprovação com base em outros postulados.

Aqui está uma lista incompleta de cientistas que estiveram envolvidos na prova do quinto postulado antes do século 19: o antigo matemático grego Ptolomeu (século 2), Proclo (século 5) (a prova de Proclo é baseada na suposição de que a distância entre dois paralelos é finito), Ibn al-Haytham do Iraque (final do século 10 - início do século 11) (Ibn al-Haytham tentou provar o postulado V, com base na suposição de que o fim de um movimento perpendicular a uma linha descreve uma linha reta), tadjique matemático Omar Khayyam (2ª metade do século XI - início do século XII), matemático azerbaijano Nasireddin Tuey (século XIII) (Khayyam e Nasireddin, ao provarem o postulado V, partiram do pressuposto de que duas linhas convergentes não podem, após continuação, tornar-se divergentes sem interseção ), o matemático alemão C. Clavius ​​​​(Schlüssel, 1574), os matemáticos italianos P. Cataldi (que publicou pela primeira vez um trabalho inteiramente dedicado à questão dos paralelos em 1603), G. Borelli (1658), G. Vitale (1680) , matemático inglês J. Wallis (1663, publicado em 1693) (Wallis baseia a prova do postulado V na suposição de que para cada figura existe uma figura semelhante a ela, mas não igual). As provas dos geômetras listadas acima resumiram-se à substituição do postulado V por outra suposição que parecia mais óbvia.

O matemático italiano G. Saccheri (1733) tentou provar o postulado V por contradição. Tendo aceitado uma proposta que contradizia o postulado de Euclides, Saccheri desenvolveu dela consequências bastante extensas. Tendo erroneamente reconhecido algumas dessas consequências como levando a contradições, Saccheri concluiu que o postulado de Euclides havia sido provado. O matemático alemão I. Lambert (por volta de 1766, publicado em 1786) empreendeu uma pesquisa semelhante, mas não repetiu os erros de Saccheri, mas admitiu a sua impotência para detectar uma contradição lógica no sistema que construiu. Tentativas de provar o postulado também foram feitas no século XIX. Aqui vale destacar o trabalho do matemático francês A. Legendre; uma de suas provas (1800) baseia-se na suposição de que através de cada ponto dentro de um ângulo agudo uma linha reta pode ser traçada cruzando ambos os lados do ângulo, ou seja, como todos os seus antecessores, ele substituiu o postulado por outra suposição. Os matemáticos alemães F. Schweickart (1818) e F. Taurinus (1825) chegaram bastante perto da construção da geometria de Lobachevsky, mas não tinham uma ideia claramente expressa de que a teoria que delinearam seria logicamente tão perfeita como a geometria de Euclides.

A questão do postulado V de Euclides, que ocupou os geômetras por mais de dois mil anos, foi resolvida por Lobachevsky. Esta solução resume-se ao facto de o postulado não poder ser provado com base noutras premissas da geometria euclidiana e de que a suposição de um postulado oposto ao postulado de Euclides permite construir uma geometria tão significativa como a euclidiana e livre. das contradições. Lobachevsky fez um relatório sobre isso em 1826, e em 1829-30 publicou a obra “Sobre os Princípios da Geometria”, delineando sua teoria. Em 1832, foi publicado o trabalho do matemático húngaro J. Bolyai com conteúdo semelhante. Como se descobriu mais tarde, o matemático alemão K. F. Gauss também teve a ideia da possibilidade da existência de geometria não euclidiana consistente, mas escondeu-a por medo de ser mal interpretada. Embora a geometria de Lobachevsky tenha se desenvolvido como uma teoria especulativa e o próprio Lobachevsky a tenha chamado de “geometria imaginária”, foi Lobachevsky quem a considerou não como um jogo da mente, mas como uma possível teoria das relações espaciais. Contudo, a prova da sua consistência foi dada posteriormente, quando foram indicadas as suas interpretações e a questão do seu real significado, a consistência lógica, foi completamente resolvida.

A geometria de Lobachevsky estuda as propriedades do “plano de Lobachevsky”(em planimetria) e “espaço de Lobachevsky” (em estereometria). O plano de Lobachevsky é um plano (conjunto de pontos) no qual se definem as retas, bem como os movimentos das figuras (ao mesmo tempo - distâncias, ângulos, etc.), sujeito a todos os axiomas da geometria euclidiana, com o exceção do axioma das paralelas, que é substituído pelo axioma de Lobachevsky acima. O espaço de Lobachevsky é definido de maneira semelhante. A tarefa de esclarecer o real significado da geometria de Lobachevsky era encontrar modelos do plano e do espaço de Lobachevsky, ou seja, encontrar tais objetos nos quais as disposições adequadamente interpretadas da planimetria e estereometria da geometria de Lobachevsky seriam realizadas.

Apresentamos vários fatos da geometria de Lobachevsky que a distinguem da geometria de Euclides e foram estabelecidos pelo próprio Lobachevsky

1) Na geometria de Lobachevsky não existem triângulos semelhantes, mas sim desiguais; Os triângulos são congruentes se seus ângulos forem iguais. Portanto, existe uma unidade absoluta de comprimento, ou seja, um segmento que se distingue pelas suas propriedades, assim como um ângulo reto se distingue pelas suas propriedades. Tal segmento pode servir, por exemplo, como lado de um triângulo regular com uma determinada soma de ângulos.

2) A soma dos ângulos de qualquer triângulo é menor que p e pode ser arbitrariamente próxima de zero. Isto é diretamente visível no modelo de Poincaré. A diferença p - (a + b + g), onde a, b, g são os ângulos do triângulo, é proporcional à sua área.

3) Pelo ponto O, que não pertence a uma dada reta a, passa um número infinito de retas que não cruzam a e estão no mesmo plano com ela; entre eles há dois extremos b, b`, que são chamados de paralelos à linha reta a no sentido de Lobachevsky. Nos modelos de Klein (Poincaré), eles são representados como cordas (arcos circulares) que possuem uma extremidade comum com a corda (arco) (que, por definição do modelo, é excluída, portanto essas retas não possuem pontos comuns) (Fig. 1.3). Seu ângulo entre a reta b (ou b`) e a perpendicular de O a a é o chamado. ângulo de paralelismo - à medida que o ponto O se afasta da reta, ele diminui de 90° para 0° (no modelo de Poincaré, os ângulos no sentido usual coincidem com os ângulos no sentido de Lobachevsky, e portanto este fato pode ser visto diretamente sobre ele). O paralelo b de um lado (e b` do lado oposto) aproxima-se assintoticamente de a e, por outro lado, afasta-se infinitamente dele (nos modelos, as distâncias são difíceis de determinar e, portanto, esse fato não é diretamente visível).

4) Se as linhas retas têm uma perpendicular comum, então elas divergem infinitamente dela em ambas as direções. A qualquer uma delas é possível restaurar perpendiculares que não atingem a outra reta.

5) Uma linha com distâncias iguais de uma linha reta não é uma linha reta, mas uma curva especial chamada equidistante ou hiperciclo.

6) O limite dos círculos de raio infinitamente crescente não é uma linha reta, mas uma curva especial chamada círculo limite, ou horociclo.

7) O limite das esferas de raio infinitamente crescente não é um plano, mas uma superfície especial - uma esfera limitante, ou horosfera; É notável que a geometria euclidiana se mantenha firme nisso. Isso serviu de base para Lobachevsky derivar fórmulas de trigonometria.

8) A circunferência de um círculo não é proporcional ao raio, mas cresce mais rápido.

9) Quanto menor for a área no espaço ou no plano de Lobachevsky, menos as relações geométricas nesta área diferem das relações da geometria euclidiana. Podemos dizer que em uma região infinitesimal ocorre a geometria euclidiana. Por exemplo, quanto menor o triângulo, menos a soma dos seus ângulos difere de p; quanto menor o círculo, menos a razão entre seu comprimento e raio difere de 2p, etc. Diminuir a área é formalmente equivalente a aumentar a unidade de comprimento, portanto, com um aumento ilimitado na unidade de comprimento, as fórmulas de geometria de Lobachevsky giram em fórmulas da geometria euclidiana. A geometria euclidiana é, neste sentido, um caso “limite” da geometria de Lobachevsky.

A geometria de Lobachevsky continua a ser desenvolvida por muitos geômetras; estuda: resolução de problemas de construção, poliedros, sistemas regulares de figuras, teoria geral de curvas e superfícies, etc. Vários geômetras também desenvolveram a mecânica no espaço de Lobachevsky. Esses estudos não encontraram aplicação direta na mecânica, mas deram origem a ideias geométricas frutíferas. Em geral, a geometria de Lobachevsky é um vasto campo de estudo, como a geometria de Euclides.

O axioma euclidiano sobre paralelas (mais precisamente, uma das afirmações equivalentes a ele, na presença de outros axiomas) pode ser formulado da seguinte forma:

O axioma de Lobachevsky é uma negação exata do axioma de Euclides (se todos os outros axiomas forem satisfeitos), uma vez que o caso em que nenhuma linha reta que se encontra com a linha dada no mesmo plano e não a cruza passa por um ponto que não está em uma determinada linha é excluído devido aos axiomas restantes (axiomas da geometria absoluta). Assim, por exemplo, a geometria esférica e a geometria Riemanniana, na qual quaisquer duas linhas se cruzam e, portanto, nem o axioma das paralelas de Euclides nem o axioma de Lobachevsky são satisfeitos, não são compatíveis com a geometria absoluta.

A geometria de Lobachevsky tem amplas aplicações tanto na matemática quanto na física. Seu significado histórico e filosófico reside no fato de que com sua construção Lobachevsky mostrou a possibilidade de uma geometria diferente da euclidiana, o que marcou uma nova era no desenvolvimento da geometria, da matemática e das ciências em geral.

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✪ Geometrias não euclidianas. Um pouco sobre ciência #Ciência

✪ Teoria geral da relatividade | geometria hiperbólica | 1 | também conhecida como geometria Lobachevsky

✪ Geometria não euclidiana. Parte 2. História da matemática

Legendas

História

Tentativas de provar o quinto postulado

O ponto de partida da geometria de Lobachevsky foi o postulado V de Euclides - um axioma equivalente ao axioma das paralelas. Foi incluído na lista de postulados dos Elementos de Euclides. A relativa complexidade e falta de intuição da sua formulação deram origem a um sentimento da sua natureza secundária e deram origem a tentativas de derivá-lo como um teorema do resto dos postulados de Euclides.

Entre os muitos que tentaram provar o quinto postulado estavam, em particular, os seguintes cientistas proeminentes.

• Os matemáticos gregos antigos Ptolomeu (século II) e Proclo (século V) (com base na suposição de que a distância entre dois paralelos é finita).
• Ibn al-Haytham do Iraque (finais - primeiros séculos) (com base na suposição de que o fim de um movimento perpendicular a uma linha reta descreve uma linha reta).
• Os matemáticos iranianos Omar Khayyam (2ª metade - início do século XII) e Nasir ad-Din at-Tusi (século XIII) (com base no pressuposto de que duas linhas convergentes não podem, quando continuadas, tornar-se divergentes sem intersecção).
• A primeira tentativa na Europa que conhecemos para provar o axioma do paralelismo de Euclides foi proposta por Gersonides (também conhecido como Levi ben Gershom, século XIV) que viveu na Provença (França). Sua prova baseou-se na afirmação de que existe um retângulo.
• O matemático alemão Clavius ​​​​().
• Matemáticos italianos
  • Cataldi (pela primeira vez em 1603 publicou uma obra inteiramente dedicada à questão dos paralelos).
  • Borelli (), G. Vitale ().
• O matemático inglês Wallis (, publicado em) (baseou-se na suposição de que para cada figura existe uma figura semelhante, mas não igual).
• O matemático francês Legendre () (com base na suposição de que através de cada ponto dentro de um ângulo agudo pode-se traçar uma linha reta que cruza ambos os lados do ângulo; ele também fez outras tentativas de prova).

Durante essas tentativas, as provas do quinto postulado da matemática introduziram (explícita ou implicitamente) alguma nova afirmação que lhes parecia mais óbvia.

Foram feitas tentativas de usar prova por contradição:

• O matemático italiano Saccheri () (tendo formulado uma afirmação contraditória ao postulado, derivou uma série de consequências e, reconhecendo erroneamente algumas delas como contraditórias, considerou o postulado comprovado),
• O matemático alemão Lambert (sobre, publicado em) (depois de realizar pesquisas, ele admitiu que não conseguiu detectar contradições no sistema que havia construído).

Por fim, começou a surgir o entendimento de que era possível construir uma teoria baseada no postulado oposto:

• Os matemáticos alemães Schweickart () e Taurinus () (no entanto, eles não perceberam que tal teoria seria logicamente igualmente harmoniosa).

Criando Geometria Não Euclidiana

Lobachevsky em seu trabalho “Sobre os Princípios da Geometria” (), seu primeiro trabalho publicado sobre geometria não-euclidiana, afirmou claramente que o quinto postulado não pode ser provado com base em outras premissas da geometria euclidiana, e que a suposição de um postulado oposto ao postulado de Euclides permite construir uma geometria tão significativa e livre de contradições como a euclidiana.

Ao mesmo tempo e de forma independente, Janos Bolyai chegou a conclusões semelhantes, e Karl Friedrich Gauss chegou a tais conclusões ainda antes. No entanto, os escritos de Bolyai não atraíram a atenção e ele logo abandonou o assunto, enquanto Gauss geralmente se abstinha de publicar, e suas opiniões só podem ser julgadas a partir de algumas cartas e anotações de diário. Por exemplo, numa carta de 1846 ao astrônomo G. H. Schumacher, Gauss falou do trabalho de Lobachevsky da seguinte forma:

Esta obra contém os fundamentos da geometria que deveria ter ocorrido e, além disso, teria constituído um todo estritamente consistente, se a geometria euclidiana não fosse verdadeira... Lobachevsky a chama de “geometria imaginária”; Vocês sabem que há 54 anos compartilho as mesmas opiniões com algum desenvolvimento, que não quero mencionar aqui; Assim, não encontrei nada realmente novo para mim na obra de Lobachevsky. Mas no desenvolvimento do assunto o autor não seguiu o caminho que eu mesmo segui; foi feito com maestria por Lobachevsky com um verdadeiro espírito geométrico. Considero-me obrigado a chamar a sua atenção para este trabalho, que provavelmente lhe proporcionará um prazer absolutamente excepcional.

Como resultado, Lobachevsky atuou como o primeiro propagandista mais brilhante e consistente da nova geometria. Embora a geometria de Lobachevsky tenha se desenvolvido como uma teoria especulativa, e o próprio Lobachevsky a tenha chamado de “geometria imaginária”, foi ele quem primeiro a propôs abertamente, não como um jogo da mente, mas como uma teoria possível e útil das relações espaciais. Contudo, a prova da sua consistência foi dada posteriormente, quando foram indicadas as suas interpretações (modelos).

Declaração da geometria de Lobachevsky

Nestes trabalhos, Beltrami deu uma prova geométrica transparente da consistência da nova geometria, ou mais precisamente, de que a geometria de Lobachevsky é inconsistente se e somente se a geometria de Euclides for inconsistente. Lobachevsky também tinha essa prova, mas era mais complicada, em uma direção o modelo do plano euclidiano na geometria de Lobachevsky foi construído usando um modelo como o de Beltrami, na outra direção foi analiticamente.

ln ⁡ (A N A M B M B N) (\displaystyle \ln \left((\frac (AN)(AM))(\frac (BM)(BN))\right))

No absoluto externo, a geometria do espaço anti-de-Sitter é realizada.

Modelo conformal-euclidiano

Outro modelo do plano Lobachevsky proposto por Beltrami.

O interior de um círculo é tomado como o plano de Lobachevsky, os arcos de círculos perpendiculares ao círculo de um determinado círculo e seus diâmetros são considerados retos, e por movimentos - transformações obtidas por combinações de inversões em relação a círculos cujos arcos servem como retos linhas.

O modelo de Poincaré é notável porque descreve ângulos como ângulos comuns.

Superfície de curvatura negativa constante

Outra definição analítica da geometria de Lobachevsky é que a geometria de Lobachevsky é definida como a geometria de um espaço Riemanniano de curvatura negativa constante. Esta definição foi devolvida em 1854 por Riemann e incluía o modelo de geometria de Lobachevsky como geometria em superfícies de curvatura constante. Contudo, Riemann não conectou diretamente suas construções com a geometria de Lobachevsky, e seu relatório no qual as relatou não foi compreendido e foi publicado somente após sua morte (em 1868).

Conteúdo da geometria de Lobachevsky

Lobachevsky construiu sua geometria a partir de conceitos geométricos básicos e de seu axioma, e provou teoremas utilizando o método geométrico, semelhante ao que é feito na geometria de Euclides. A base foi a teoria das retas paralelas, pois é aqui que começa a diferença entre a geometria de Lobachevsky e a geometria de Euclides. Todos os teoremas independentes do axioma das paralelas são comuns a ambas as geometrias; formam a chamada geometria absoluta, que inclui, por exemplo, sinais de igualdade de triângulos. Seguindo a teoria das paralelas, outras seções foram construídas, incluindo a trigonometria e os princípios da geometria analítica e diferencial.

Apresentamos (em notação moderna) vários factos da geometria de Lobachevsky que a distinguem da geometria de Euclides e foram estabelecidos pelo próprio Lobachevsky.

Através do ponto P, não mentindo nesta linha R(veja a figura), existem infinitas linhas retas que não se cruzam R e estar no mesmo plano com ele; entre eles há dois extremos x, sim, que são chamados assintoticamente paralelo(às vezes apenas paralelo) reto R e o resto - ultraparalelo.

Canto θ (\ displaystyle \ theta) entre perpendiculares PB de P sobre R e cada um dos assintoticamente paralelos (chamados ângulo de paralelismo) à medida que o ponto se afasta P de uma linha reta diminui de 90° para 0° (no modelo de Poincaré, os ângulos no sentido usual coincidem com os ângulos no sentido de Lobachevsky e, portanto, esse fato pode ser visto diretamente nele). Paralelo x de um lado (e sim do oposto) se aproxima assintoticamente A, e por outro lado, afasta-se infinitamente dele (nos modelos, as distâncias são difíceis de determinar e, portanto, esse fato não é diretamente visível).

Para um ponto localizado a uma distância de uma determinada linha PB = uma(ver figura), Lobachevsky deu uma fórmula para o ângulo de paralelismo P(a) :

θ = Π (a) = 2 arctg ⁡ e − a q (\displaystyle \theta =\Pi (a)=2\operatorname (arctg) ~e^(-(\frac (a)(q))))

Aqui q- alguma constante associada à curvatura do espaço de Lobachevsky. Pode servir como uma unidade absoluta de comprimento, semelhante à forma como o raio de uma esfera ocupa uma posição especial na geometria esférica.

Se as retas têm uma perpendicular comum, então elas são ultraparalelas, ou seja, divergem infinitamente dela em ambas as direções. A qualquer uma delas é possível restaurar perpendiculares que não atingem a outra reta.

Na geometria de Lobachevsky não existem triângulos semelhantes, mas sim desiguais; Os triângulos são congruentes se seus ângulos forem iguais.

A soma dos ângulos de qualquer triângulo é menor π (\ displaystyle \ pi ) e pode ser arbitrariamente próximo de zero (a diferença entre 180° e a soma dos ângulos do triângulo ABC na geometria de Lobachevsky é positiva - é chamada de defeito deste triângulo). Isto é diretamente visível no modelo de Poincaré. Diferença δ = π − (α + β + γ) (\displaystyle \delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma)), Onde α (\ displaystyle \ alfa), β (\ displaystyle \ beta), γ (\ displaystyle \ gama)- ângulos de um triângulo, proporcionais à sua área:

S = q 2 ⋅ δ (\displaystyle S=q^(2)\cdot \delta )

A fórmula mostra que existe uma área máxima de um triângulo, e este é um número finito: π q 2 (\ displaystyle \ pi q ^ (2)).

Uma linha de distâncias iguais de uma linha reta não é uma linha reta, mas uma curva especial chamada equidistante, ou hiperciclo.

O limite dos círculos de raio infinitamente crescente não é uma linha reta, mas uma curva especial chamada círculo limite, ou horociclo.

O limite das esferas de raio infinitamente crescente não é um plano, mas uma superfície especial - uma esfera limitante, ou horosfera; É notável que a geometria euclidiana se mantenha firme nisso. Isso serviu de base para Lobachevsky derivar fórmulas de trigonometria.

A circunferência de um círculo não é proporcional ao raio, mas cresce mais rápido. Em particular, na geometria de Lobachevsky o número π (\ displaystyle \ pi ) não pode ser definido como a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro.

Quanto menor for a área no espaço ou no plano de Lobachevsky, menos as relações geométricas nesta área diferem das relações da geometria euclidiana. Podemos dizer que em uma região infinitesimal ocorre a geometria euclidiana. Por exemplo, quanto menor o triângulo, menos a soma dos seus ângulos difere da π (\ displaystyle \ pi ); quanto menor o círculo, menos a relação entre seu comprimento e raio difere de 2 π (\ displaystyle 2 \ pi ), etc. Reduzir a área equivale formalmente a aumentar a unidade de comprimento, portanto, com um aumento ilimitado na unidade de comprimento, as fórmulas da geometria de Lobachevsky se transformam em fórmulas da geometria euclidiana. A geometria euclidiana é, neste sentido, um caso “limite” da geometria de Lobachevsky.

Preenchendo o plano e o espaço com politopos regulares

O plano de Lobachevsky pode ser ladrilhado não apenas com triângulos, quadrados e hexágonos regulares, mas também com quaisquer outros polígonos regulares. Neste caso, pelo menos 7 triângulos, 5 quadrados, 4 pentágonos ou hexágonos, ou 3 polígonos com mais de 6 lados devem convergir para um vértice do parquet. Ou seja, o número de tesselações diferentes é infinito e usando o símbolo Schläfli ( convergindo em um vértice M coisas N-gons) todas as tesselações do plano Lobachevsky podem ser escritas da seguinte forma:

• (3, 7), (3, 8),…, isto é (3, M), Onde M≥7;
• (4, 5), (4, 6),…, isto é (4, M), Onde M≥5;
• (5, 4), (5, 5),…, isto é (5, M), Onde M≥4;
• (6, 4), (6, 5),…, isto é (6, M), Onde M≥4;
• (N, M), onde N≥7, M≥3.

Cada mosaico ( N , M ) (\estilo de exibição \esquerda\(N,M\direita\)) requer um tamanho de unidade estritamente definido N-gon, em particular, sua área deve ser igual a:

S ( N ; M ) = q 2 π (N − 2 − 2 N M) (\displaystyle S_(\left\(N;M\right\))=q^(2)\pi \left(N-2- 2(\frac (N)(M))\direita))

Ao contrário do espaço comum (espaço euclidiano tridimensional), que pode ser preenchido com poliedros regulares de apenas uma maneira (8 cubos em um vértice ou quatro em uma aresta (4,3,4)), o espaço tridimensional de Lobachevsky pode ser lado a lado com poliedros regulares, como em um avião, de inúmeras maneiras. Usando o símbolo Schläfli ( N , M , P ) (\estilo de exibição \esquerda\(N,M,P\direita\))(converge em um vértice M coisas N-gons, e cada aresta converge P poliedros) todos os ladrilhos podem ser escritos da seguinte forma: [ ]

• (3,3,6), (3,3,7), ..., isto é (3,3, P), Onde P≥6;
• (4,3,5), (4,3,6), ..., isto é (4,3, P), Onde P≥5;
• (3,4,4), (3,4,5), ..., isto é (3,4, P), Onde P≥4;
• (5,3,4), (5,3,5),…. Isto é (5.3, P), Onde P≥4;
• (3,5,3), (3,5,4), ..., isto é (3,5, P), Onde P≥3.

Os poliedros de tais partições podem ter volume infinito, com exceção de um número finito de partições de espaço em poliedros regulares com volume finito:

• (3,5,3) (três icosaedros por aresta)
• (4,3,5) (cinco cubos por aresta)
• (5,3,4) (quatro dodecaedros por aresta)
• (5,3,5) (cinco dodecaedros por aresta)

Além disso, existem 11 maneiras de preencher o espaço de Lobachevsky com horosferas em mosaico regulares ((3,4,4), (3,3,6), (4,3,6), (5,3,6), (4 ,4, 3), (6,3,3), (6,3,4), (6,3,5), (6,3,6), (4,4,4), (3,6 ,3) ). [ ]

Formulários

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (\estilo de exibição x^(2)+y^(2)+z^(2)=c^(2)t^(2)) quando dividido por t 2 (\estilo de exibição t^(2)), isto é, para a velocidade da luz, dá v x 2 + v y 2 + v z 2 = c 2 (\displaystyle v_(x)^(2)+v_(y)^(2)+v_(z)^(2)=c^(2))- equação de uma esfera no espaço com coordenadas v x (\estilo de exibição v_(x)), v e (\estilo de exibição v_(y)), v z (\estilo de exibição v_(z))- componentes da velocidade ao longo dos eixos X, no, z(em “espaço de velocidade”).

Avião Lobachevsky

Geometria de Lobachevsky (geometria hiperbólica ouço)) é uma das geometrias não euclidianas, uma teoria geométrica baseada nas mesmas premissas básicas da geometria euclidiana comum, com exceção do axioma das paralelas, que é substituído pelo axioma das paralelas de Lobachevsky.

O axioma euclidiano sobre estados paralelos:

através de um ponto que não está em uma determinada linha, passa apenas uma linha reta que está no mesmo plano com a linha dada e não a intercepta.

Na geometria de Lobachevsky, o seguinte axioma é aceito:

através de um ponto que não está em uma determinada reta passam pelo menos duas retas que estão no mesmo plano da reta dada e não a interceptam.

A geometria de Lobachevsky tem amplas aplicações tanto na matemática quanto na física. Seu significado histórico reside no fato de que com sua construção Lobachevsky mostrou a possibilidade de uma geometria diferente da euclidiana, o que marcou uma nova era no desenvolvimento da geometria e da matemática em geral.

História

Tentativas de provar o quinto postulado

O ponto de partida da geometria de Lobachevsky foi o postulado V de Euclides - um axioma equivalente ao axioma das paralelas. Foi incluído na lista de postulados dos Elementos de Euclides). A relativa complexidade e falta de intuição da sua formulação deu origem a um sentimento da sua natureza secundária e deu origem a tentativas de derivá-la do resto dos postulados de Euclides.

Entre aqueles que tentaram provar estavam os seguintes cientistas:

• antigos matemáticos gregos Ptolomeu (século II), Proclo (século V) (com base na suposição da finitude da distância entre dois paralelos),
• Ibn al-Haytham do Iraque (finais - primeiros séculos) (com base na suposição de que o fim de um movimento perpendicular a uma linha reta descreve uma linha reta),
• Os matemáticos iranianos Omar Khayyam (2ª metade - início do século XII) e Nasir ad-Din at-Tusi (século XIII) (com base na suposição de que duas linhas convergentes não podem, quando continuadas, tornar-se divergentes sem interseção),
• O matemático alemão Clavius ​​​​(),
• Matemáticos italianos
  • Cataldi (pela primeira vez em 1603 publicou uma obra inteiramente dedicada à questão dos paralelos),
• O matemático inglês Wallis (, publicado em) (com base na suposição de que para cada figura existe uma figura semelhante, mas não igual),
• O matemático francês Legendre () (com base na suposição de que através de cada ponto dentro de um ângulo agudo pode-se traçar uma linha reta que cruza ambos os lados do ângulo; ele também fez outras tentativas de prova).

Durante essas tentativas, a prova do quinto postulado da matemática introduziu alguma nova afirmação que lhes parecia mais óbvia.

Foram feitas tentativas de usar prova por contradição:

• O matemático italiano Saccheri () (tendo formulado uma afirmação contraditória ao postulado, derivou uma série de consequências e, reconhecendo erroneamente algumas delas como contraditórias, considerou o postulado comprovado),
• O matemático alemão Lambert (sobre, publicado em) (após realizar pesquisas, ele admitiu que não conseguiu detectar contradições no sistema que construiu).

Por fim, começou a surgir o entendimento de que era possível construir uma teoria baseada no postulado oposto:

• Os matemáticos alemães F. Schweickart () e Taurinus () (no entanto, eles não perceberam que tal teoria seria logicamente igualmente harmoniosa).

Criando Geometria Não Euclidiana

Lobachevsky em seu trabalho “Sobre os Princípios da Geometria” (), seu primeiro trabalho publicado sobre geometria não euclidiana, afirmou claramente que o postulado V não pode ser provado com base em outras premissas da geometria euclidiana, e que a suposição de um postulado oposto ao postulado de Euclides permite construir uma geometria tão significativa, como a euclidiana, e livre de contradições.

Ao mesmo tempo e de forma independente, Janos Bolyai chegou a conclusões semelhantes, e Carl Friedrich Gauss chegou a tais conclusões ainda antes. No entanto, os escritos de Bolyai não atraíram a atenção e ele logo abandonou o assunto, enquanto Gauss geralmente se abstinha de publicar, e suas opiniões só podem ser julgadas a partir de algumas cartas e anotações de diário. Por exemplo, numa carta de 1846 ao astrônomo G. H. Schumacher, Gauss falou do trabalho de Lobachevsky da seguinte forma:

Esta obra contém os fundamentos da geometria que deveria ter ocorrido e, além disso, teria constituído um todo estritamente consistente, se a geometria euclidiana não fosse verdadeira... Lobachevsky a chama de “geometria imaginária”; Você sabe que durante 54 anos (desde 1792) compartilhei as mesmas opiniões com algum desenvolvimento, que não quero mencionar aqui; Assim, não encontrei nada realmente novo para mim na obra de Lobachevsky. Mas no desenvolvimento do assunto o autor não seguiu o caminho que eu mesmo segui; foi feito com maestria por Lobachevsky com um verdadeiro espírito geométrico. Considero-me obrigado a chamar a sua atenção para este trabalho, que provavelmente lhe proporcionará um prazer absolutamente excepcional.

Como resultado, Lobachevsky atuou como o primeiro propagandista mais brilhante e consistente desta teoria.

Embora a geometria de Lobachevsky tenha se desenvolvido como uma teoria especulativa e o próprio Lobachevsky a tenha chamado de “geometria imaginária”, foi Lobachevsky quem a considerou não como um jogo da mente, mas como uma possível teoria das relações espaciais. Contudo, a prova da sua consistência foi dada posteriormente, quando foram indicadas as suas interpretações e a questão do seu real significado, a consistência lógica, foi completamente resolvida.

Declaração da geometria de Lobachevsky

o ângulo é ainda mais difícil.

Modelo Poincaré

Conteúdo da geometria de Lobachevsky

Um lápis de linhas paralelas na geometria de Lobachevsky

Lobachevsky construiu sua geometria a partir de conceitos geométricos básicos e de seu axioma, e provou teoremas utilizando o método geométrico, semelhante ao que é feito na geometria de Euclides. A base foi a teoria das retas paralelas, pois é aqui que começa a diferença entre a geometria de Lobachevsky e a geometria de Euclides. Todos os teoremas que não dependem do axioma das paralelas são comuns a ambas as geometrias e formam a chamada geometria absoluta, que inclui, por exemplo, teoremas sobre a igualdade dos triângulos. Seguindo a teoria das paralelas, outras seções foram construídas, incluindo a trigonometria e os princípios da geometria analítica e diferencial.

Apresentamos (em notação moderna) vários factos da geometria de Lobachevsky que a distinguem da geometria de Euclides e foram estabelecidos pelo próprio Lobachevsky.

Através do ponto P, não mentindo nesta linha R(veja a figura), existem infinitas linhas retas que não se cruzam R e estar no mesmo plano com ele; entre eles há dois extremos x, sim, que são chamados paralelos à linha R no sentido de Lobachevsky. Nos modelos Klein (Poincaré) eles são representados como cordas (arcos circulares) que possuem uma corda (arco) R fim comum (que por definição do modelo está excluído, portanto essas linhas não possuem pontos comuns).

Ângulo entre perpendiculares PB de P sobre R e cada um dos paralelos (chamados ângulo de paralelismo) à medida que o ponto se afasta P de uma linha reta diminui de 90° para 0° (no modelo de Poincaré, os ângulos no sentido usual coincidem com os ângulos no sentido de Lobachevsky e, portanto, esse fato pode ser visto diretamente nele). Paralelo x de um lado (e sim do oposto) se aproxima assintoticamente A, e por outro lado, afasta-se infinitamente dele (nos modelos, as distâncias são difíceis de determinar e, portanto, esse fato não é diretamente visível).

Para um ponto localizado a uma distância de uma determinada linha PB = uma(ver figura), Lobachevsky deu uma fórmula para o ângulo de paralelismo P(a) :

Aqui q- alguma constante associada à curvatura do espaço de Lobachevsky. Pode servir como uma unidade absoluta de comprimento, semelhante à forma como o raio de uma esfera ocupa uma posição especial na geometria esférica.

Se as linhas retas têm uma perpendicular comum, elas divergem infinitamente dela em ambas as direções. A qualquer uma delas é possível restaurar perpendiculares que não atingem a outra reta.

Na geometria de Lobachevsky não existem triângulos semelhantes, mas sim desiguais; Os triângulos são congruentes se seus ângulos forem iguais.

A soma dos ângulos de qualquer triângulo é menor que π e pode ser arbitrariamente próxima de zero. Isto é diretamente visível no modelo de Poincaré. A diferença δ = π − (α + β + γ), onde α, β, γ são os ângulos do triângulo, é proporcional à sua área:

A fórmula mostra que existe uma área máxima de um triângulo, e este é um número finito: π q 2 .

Uma linha de distâncias iguais de uma linha reta não é uma linha reta, mas uma curva especial chamada equidistante, ou hiperciclo.

O limite dos círculos de raio infinitamente crescente não é uma linha reta, mas uma curva especial chamada círculo limite, ou horociclo.

O limite das esferas de raio infinitamente crescente não é um plano, mas uma superfície especial - uma esfera limitante, ou horosfera; É notável que a geometria euclidiana se mantenha firme nisso. Isso serviu de base para Lobachevsky derivar fórmulas de trigonometria.

A circunferência de um círculo não é proporcional ao raio, mas cresce mais rápido. Em particular, na geometria de Lobachevsky, o número π não pode ser definido como a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro.

Quanto menor for a área no espaço ou no plano de Lobachevsky, menos as relações geométricas nesta área diferem das relações da geometria euclidiana. Podemos dizer que em uma região infinitesimal ocorre a geometria euclidiana. Por exemplo, quanto menor o triângulo, menos a soma dos seus ângulos difere de π; quanto menor o círculo, menos a razão entre seu comprimento e raio difere de 2π, etc. Diminuir a área é formalmente equivalente a aumentar a unidade de comprimento, portanto, com um aumento ilimitado na unidade de comprimento, as fórmulas geométricas de Lobachevsky giram nas fórmulas da geometria euclidiana. A geometria euclidiana é, neste sentido, um caso “limite” da geometria de Lobachevsky.

Formulários

• O próprio Lobachevsky aplicou sua geometria ao cálculo de integrais definidas.
• Na teoria das funções de uma variável complexa, a geometria de Lobachevsky ajudou a construir a teoria das funções automórficas. A ligação com a geometria de Lobachevsky foi aqui o ponto de partida da investigação de Poincaré, que escreveu que “a geometria não euclidiana é a chave para a solução de todo o problema”.
• A geometria de Lobachevsky também encontra aplicação na teoria dos números, em seus métodos geométricos, unidos sob o nome de “geometria dos números”.
• Uma estreita ligação foi estabelecida entre a geometria de Lobachevsky e a cinemática da teoria especial (particular) da relatividade. Esta conexão é baseada no fato de que a igualdade que expressa a lei da propagação da luz

quando dividido por t 2, isto é, para a velocidade da luz, dá - equação de uma esfera no espaço com coordenadas v x , v sim , v z- componentes da velocidade ao longo dos eixos X, no, z(em “espaço de velocidade”). As transformações de Lorentz preservam esta esfera e, por serem lineares, transformam espaços de velocidades diretas em retas. Portanto, de acordo com o modelo de Klein, no espaço de velocidades dentro de uma esfera de raio Com, isto é, para velocidades inferiores à velocidade da luz, ocorre a geometria de Lobachevsky.

• A geometria de Lobachevsky encontrou uma aplicação notável na teoria geral da relatividade. Se considerarmos que a distribuição das massas de matéria no Universo é uniforme (esta aproximação é aceitável em escala cósmica), verifica-se que, sob certas condições, o espaço tem geometria de Lobachevsky. Assim, a suposição de Lobachevsky sobre sua geometria como uma possível teoria do espaço real foi justificada.
• Usando o modelo de Klein, é dada uma prova muito simples e curta