Deixe as funções terem derivadas do limite (n-1).

Considere o determinante: (1)

W(x) é chamado de determinante de Wronski para funções.

Teorema 1. Se as funções são linearmente dependentes no intervalo (a, b), então seu Wronskiano W(x) é identicamente igual a zero neste intervalo.

Prova. De acordo com as condições do teorema, a relação é satisfeita

, (2) onde nem todos são iguais a zero. Deixar . Então

(3). Diferenciamos essa identidade n-1 vezes e,

Substituindo, em vez disso, os valores obtidos no determinante de Wronsky,

Nós temos:

(4).

No determinante de Wronski, a última coluna é uma combinação linear das n-1 colunas anteriores e é, portanto, igual a zero em todos os pontos do intervalo (a, b).

Teorema 2. Se as funções y1,…, yn são soluções linearmente independentes da equação L[y] = 0, cujos coeficientes são contínuos no intervalo (a, b), então o Wronskiano dessas soluções é diferente de zero em cada ponto do intervalo (a,b).

Prova. Vamos supor o contrário. Existe X0, onde W(X0)=0. Vamos criar um sistema de n equações

(5).

Obviamente, o sistema (5) tem uma solução diferente de zero. Deixe (6).

Vamos fazer uma combinação linear de soluções y1,…, yn.

Y(x) é uma solução para a equação L[y] = 0. Além disso, . Em virtude do teorema da unicidade, a solução da equação L[y] = 0 com zero condições iniciais só pode ser zero, ou seja, .

Obtemos a identidade onde nem todos são iguais a zero, o que significa que y1,..., yn são linearmente dependentes, o que contradiz as condições do teorema. Consequentemente, não existe tal ponto onde W(X0)=0.

Com base no Teorema 1 e no Teorema 2, a seguinte afirmação pode ser formulada. Para que n soluções da equação L[y] = 0 sejam linearmente independentes no intervalo (a, b), é necessário e suficiente que seu Wronskiano não desapareça em nenhum ponto deste intervalo.

As seguintes propriedades óbvias do Wronskiano também decorrem dos teoremas provados.

1. Se o Wronskiano de n soluções para a equação L[y] = 0 for igual a zero em um ponto x = x0 do intervalo (a, b), no qual todos os coeficientes pi(x) são contínuos, então é igual a zero em todos os pontos deste intervalo.
2. Se o Wronskiano de n soluções para a equação L[y] = 0 for diferente de zero em um ponto x = x0 do intervalo (a, b), então será diferente de zero em todos os pontos desse intervalo.

Assim, para a linearidade de n soluções independentes da equação L[y] = 0 no intervalo (a, b), em que os coeficientes da equação рi(x) são contínuos, é necessário e suficiente que seu Wronskiano seja diferente de zero pelo menos em um ponto deste intervalo.

Uma condição necessária e suficiente para a dependência linear de dois

vetores é sua colinearidade.

2. Produto escalar- uma operação sobre dois vetores, cujo resultado é um escalar (número) que não depende do sistema de coordenadas e caracteriza os comprimentos dos vetores fatoriais e o ângulo entre eles. Esta operação corresponde à multiplicação comprimento dado vetor x em projeção outro vetor y para um determinado vetor x. Esta operação é geralmente considerada comutativa e linear em cada fator.

Propriedades do produto escalar:

3. Três vetores (ou mais) são chamados coplanar, se eles, reduzidos a uma origem comum, estiverem no mesmo plano.

Uma condição necessária e suficiente para a dependência linear de três vetores é a sua coplanaridade.Quaisquer quatro vetores são linearmente dependentes. Base no espaço é qualquer triplo ordenado de vetores não coplanares. Uma base no espaço permite que cada vetor seja associado exclusivamente a um triplo ordenado de números - os coeficientes da representação desse vetor em uma combinação linear de vetores de base. Pelo contrário, associamos um vetor a cada tripla ordenada de números usando uma base se fizermos uma combinação linear. Uma base ortogonal é chamada ortonormal , se seus vetores tiverem comprimento igual a um. Para uma base ortonormal no espaço, a notação é frequentemente usada. Teorema: Numa base ortonormal, as coordenadas dos vetores são as projeções ortogonais correspondentes deste vetor nas direções dos vetores coordenados. Triplo de vetores não coplanares a, b, c chamado certo, se o observador de sua origem comum ignorar as extremidades dos vetores a, b, c na ordem dada parece ocorrer no sentido horário. De outra forma a, b, c - deixou três. Todos os triplos de vetores à direita (ou à esquerda) são chamados igualmente orientado. Um sistema de coordenadas retangulares em um plano é formado por dois eixos coordenados mutuamente perpendiculares BOI E OI. Os eixos coordenados se cruzam no ponto Ó, que é chamada de origem, a direção positiva é escolhida em cada eixo. EM lado direito sistema de coordenadas, a direção positiva dos eixos é escolhida de modo que quando o eixo é direcionado OI para cima, eixo BOI olhou para a direita.

Quatro cantos (I, II, III, IV) formados pelos eixos coordenados X"X E S"S, são chamados de ângulos coordenados ou quadrantes(ver Fig. 1).

se os vetores e relativos a uma base ortonormal no plano têm coordenadas e, respectivamente, então o produto escalar desses vetores é calculado pela fórmula

4. Produto vetorial de dois vetores a e bé uma operação sobre eles, definida apenas no espaço tridimensional, cujo resultado é vetor com o seguinte

propriedades:

O significado geométrico do produto vetorial de vetores é a área de um paralelogramo construído sobre vetores. Uma condição necessária e suficiente para a colinearidade de um vetor diferente de zero e de um vetor é a existência de um número que satisfaça a igualdade.

Se dois vetores são definidos por suas coordenadas cartesianas retangulares, ou mais precisamente, representados por uma base vortonormada

e o sistema de coordenadas é destro, então seu produto vetorial tem a forma

Para lembrar esta fórmula, é conveniente usar o determinante:

5. Produto misto vetores - o produto escalar de um vetor e o produto vetorial de vetores e :

Às vezes é chamado produto escalar triplo vetores, provavelmente devido ao fato de o resultado ser um escalar (mais precisamente, um pseudoescalar).

Significado geométrico: O módulo do produto misto é numericamente igual ao volume do paralelepípedo formado pelos vetores.

Quando dois fatores são reorganizados, o produto misto muda de sinal para o oposto:

Com um rearranjo cíclico (circular) de fatores, o produto misto não muda:

O produto misto é linear em qualquer fator.

O produto misto é zero se e somente se os vetores forem coplanares.

1. Condição para coplanaridade de vetores: Três vetores são coplanares se e somente se seu produto misto for zero.

§ Um triplo de vetores contendo um par de vetores colineares é coplanar.

§ Produto misto de vetores coplanares. Este é um critério para a coplanaridade de três vetores.

§ Os vetores coplanares são linearmente dependentes. Este também é um critério de coplanaridade.

§ Existem números reais tais que para coplanares, exceto nos casos de ou. Esta é uma reformulação da propriedade anterior e também um critério de coplanaridade.

§ No espaço tridimensional, 3 vetores não coplanares formam uma base. Ou seja, qualquer vetor pode ser representado na forma: . Então serão coordenadas nesta base.

O produto misto no sistema de coordenadas cartesianas corretas (em base ortonormal) é igual ao determinante da matriz composta por vetores e:

§ 6. Equação geral (completa) do plano

onde e são constantes e ao mesmo tempo não são iguais a zero; em forma vetorial:

onde é o vetor raio do ponto, o vetor é perpendicular ao plano (vetor normal). Cossenos de direção vetor:

Se um dos coeficientes de uma equação plana for zero, a equação é chamada incompleto. Quando o plano passa pela origem das coordenadas, quando (ou , ) o plano é paralelo ao eixo (respectivamente ou ). Quando (, ou) o plano é paralelo ao plano (respectivamente ou).

§ Equação de um plano em segmentos:

onde , , são os segmentos cortados pelo plano nos eixos e.

§ Equação de um plano passando por um ponto perpendicular ao vetor normal :

em forma vetorial:

(produto misto de vetores), caso contrário

§ Equação plana normal (normalizada)

§ O ângulo entre dois planos. Se as equações de P. forem dadas na forma (1), então

Se estiver na forma vetorial, então

§ Os planos são paralelos, Se

Ou (produto vetorial)

§ Os planos são perpendiculares, Se

Ou . (Produto escalar)

7. Equação de um plano passando por três pontos dados , não deitado na mesma linha reta:

8. A distância de um ponto a um plano é a menor das distâncias entre este ponto e os pontos do plano. Sabe-se que a distância de um ponto a um plano é igual ao comprimento da perpendicular traçada deste ponto ao plano.

§ Desvio de ponto do plano dado pela equação normalizada

Se e a origem das coordenadas estiverem em lados diferentes do plano, no caso oposto . A distância de um ponto a um plano é

§ A distância do ponto ao plano especificado pela equação é calculada pela fórmula:

9. Bando de aviões- equação de qualquer gráfico que passa pela linha de intersecção de dois planos

onde α e β são quaisquer números que não sejam simultaneamente zero.

Para que os três planos definidos por suas equações gerais A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 relativo ao PDSC pertencente a uma cesta, própria ou imprópria, é necessário e suficiente que o posto da matriz seja igual a dois ou a um.
Teorema 2. Sejam dois planos π 1 e π 2 dados em relação ao PDSC por suas equações gerais: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 = 0. Para que o plano π 3, definido em relação ao PDSC pela sua equação geral A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0, pertença à viga formada pelos planos π 1 e π 2, é é necessário e suficiente que o lado esquerdo da equação do plano π 3 seja representado como uma combinação linear dos lados esquerdos das equações dos planos π 1 e π 2.

10.Equação paramétrica vetorial de uma reta no espaço:

onde está o vetor raio de algum ponto fixo M 0 situado em uma linha é um vetor diferente de zero colinear a esta linha e é o vetor raio de um ponto arbitrário na linha.

Equação paramétrica de uma reta no espaço:

M

Equação canônica da reta no espaço:

onde estão as coordenadas de algum ponto fixo M 0 deitado em linha reta; - coordenadas do vetor colineares a esta linha.

Equação vetorial geral de uma reta no espaço:

Como uma linha reta é a intersecção de dois planos diferentes não paralelos, definidos respectivamente pelas equações gerais:

então a equação da linha reta pode ser dada pelo sistema destas equações:

O ângulo entre os vetores de direção e será igual ao ângulo entre as retas. O ângulo entre os vetores é encontrado usando o produto escalar. cosA=(ab)/IaI*IbI

O ângulo entre uma linha reta e um plano é encontrado pela fórmula:

onde (A;B;C;) coordenadas do vetor normal do plano
(l;m;n;) coordenadas do vetor de direção da linha

Condições para paralelismo de duas linhas:

a) Se as retas são dadas pelas equações (4) com coeficiente angular, então a condição necessária e suficiente para seu paralelismo é a igualdade de seus coeficientes angulares:

k 1 = k 2 . (8)

b) Para o caso em que as retas são dadas por equações na forma geral (6), uma condição necessária e suficiente para o seu paralelismo é que os coeficientes das coordenadas atuais correspondentes em suas equações sejam proporcionais, ou seja,

Condições para perpendicularidade de duas retas:

a) No caso em que as retas são dadas pelas equações (4) com coeficiente angular, uma condição necessária e suficiente para sua perpendicularidade é que seus coeficientes angulares sejam inversos em magnitude e opostos em sinal, ou seja,

b) Se as equações das retas são dadas na forma geral (6), então a condição para sua perpendicularidade (necessária e suficiente) é satisfazer a igualdade

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

Uma linha é chamada perpendicular a um plano se for perpendicular a qualquer linha deste plano. Se uma linha é perpendicular a cada uma das duas linhas que se cruzam em um plano, então ela é perpendicular a esse plano. Para que uma reta e um plano sejam paralelos, é necessário e suficiente que o vetor normal ao plano e o vetor direção da reta sejam perpendiculares. Para isso é necessário que seu produto escalar seja igual a zero.

Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares, é necessário e suficiente que o vetor normal ao plano e o vetor diretor da reta sejam colineares. Esta condição é satisfeita se o produto vetorial desses vetores for igual a zero.

12. No espaço, a distância de um ponto a uma reta dada por uma equação paramétrica

pode ser encontrado como a distância mínima de um determinado ponto a um ponto arbitrário em uma linha. Coeficiente t este ponto pode ser encontrado pela fórmula

Distância entre linhas cruzadasé chamado de comprimento de sua perpendicular comum. É igual à distância entre planos paralelos que passam por essas linhas.

Observe que a seguir, sem perda de generalidade, consideraremos o caso de vetores no espaço tridimensional. Em um plano, a consideração dos vetores é realizada de forma semelhante. Conforme observado acima, todos os resultados conhecidos do curso de álgebra linear para vetores algébricos podem ser transferidos para o caso especial de vetores geométricos. Isso é o que faremos.

Deixe os vetores serem fixos.

Definição. A soma, onde estão alguns números, é chamada de combinação linear de vetores. Neste caso, chamaremos esses números de coeficientes da combinação linear.

Estaremos interessados ​​na questão da possibilidade de uma combinação linear ser igual ao vetor zero. De acordo com as propriedades e axiomas dos espaços vetoriais, torna-se óbvio que para qualquer sistema de vetores existe um conjunto trivial (zero) de coeficientes para os quais esta igualdade é válida:

Surge a questão sobre a existência, para um determinado sistema de vetores, de um conjunto não trivial de coeficientes (entre os quais existe pelo menos um coeficiente diferente de zero), para o qual a referida igualdade é válida. De acordo com isso, distinguiremos entre sistemas linearmente dependentes e independentes.

Definição. Um sistema de vetores é chamado linearmente independente se existe um conjunto de números entre os quais existe pelo menos um diferente de zero, tal que a combinação linear correspondente é igual ao vetor zero:

Um sistema de vetores é chamado linearmente independente se a igualdade

só é possível no caso de um conjunto trivial de coeficientes:

Listamos as propriedades básicas de sistemas linearmente dependentes e independentes, comprovadas no curso de álgebra linear.

1. Qualquer sistema de vetores contendo um vetor zero é linearmente dependente.

2. Deixe o sistema de vetores ter um subsistema linearmente dependente. Então todo o sistema também é linearmente dependente.

3. Se um sistema de vetores é linearmente independente, então qualquer um dos seus subsistemas também é linearmente independente.

4. Se em um sistema de vetores existem dois vetores, um dos quais é obtido do outro multiplicando-se por um certo número, então todo o sistema é linearmente dependente.

Teorema (critério de dependência linear). Um sistema de vetores é linearmente dependente se e somente se um dos vetores deste sistema puder ser representado como uma combinação linear dos demais vetores do sistema.

Tendo em conta o critério de colinearidade de dois vetores, pode-se argumentar que o critério de sua dependência linear é a sua colinearidade. Para três vetores no espaço, a seguinte afirmação é verdadeira.

Teorema (critério de dependência linear de três vetores geométricos). Três vetores e são linearmente dependentes se e somente se forem coplanares.

Prova.

Necessidade. Sejam os vetores , e linearmente dependentes. Vamos provar sua coplanaridade. Então, de acordo com o critério geral de dependência linear dos vetores algébricos, afirmamos que um dos vetores indicados pode ser representado como uma combinação linear dos demais vetores. Deixe, por exemplo,

Se todos os três vetores , e forem aplicados a uma origem comum, então o vetor coincidirá com a diagonal de um paralelogramo construído nos vetores e . Mas isso significa que os vetores , e estão no mesmo plano, ou seja, coplanar.

Adequação. Sejam os vetores e coplanares. Vamos mostrar que eles são linearmente dependentes. Em primeiro lugar, consideremos o caso em que qualquer par desses vetores é colinear. Neste caso, de acordo com o teorema anterior, o sistema de vetores , , contém um subsistema linearmente dependente e, portanto, é ele próprio linearmente dependente de acordo com a propriedade de 2 sistemas de vetores linearmente dependentes e independentes. Suponhamos agora que nenhum par de vetores em consideração seja colinear. Vamos transferir todos os três vetores para um plano e trazê-los para uma origem comum. Vamos desenhar linhas retas paralelas aos vetores e passando pelo final do vetor. Denotemos por uma letra o ponto de intersecção de uma reta paralela ao vetor com a reta sobre a qual o vetor se encontra, e pela letra o ponto de intersecção da reta paralela ao vetor com a reta sobre a qual o vetor se encontra. Pela definição da soma dos vetores, obtemos:

.

Como o vetor é colinear ao vetor diferente de zero, então existe um número real tal que

De considerações semelhantes segue-se que existe um número real tal que

Como resultado teremos:

Então, a partir do critério geral para a dependência linear dos vetores algébricos, obtemos que os vetores , , são linearmente dependentes. ■

Teorema (dependência linear de quatro vetores). Quaisquer quatro vetores são linearmente dependentes.

Prova. Em primeiro lugar, consideremos o caso em que qualquer triplo dos quatro vetores indicados é coplanar. Neste caso, este triplo é linearmente dependente de acordo com o teorema anterior. Portanto, de acordo com a propriedade de 2 sistemas de vetores linearmente dependentes e independentes, todo o quarteto é linearmente dependente.

Agora suponhamos que entre os vetores em consideração nenhum triplo de vetores seja coplanar. Vamos trazer todos os quatro vetores , , , para uma origem comum e desenhar no final dos planos vetoriais paralelos aos planos definidos pelos pares de vetores , ; , ; , . Os pontos de intersecção dos planos indicados com as retas sobre as quais se encontram os vetores , e, serão denotados pelas letras , e , respectivamente. Da definição da soma dos vetores segue que

que, levando em consideração o critério geral de dependência linear dos vetores algébricos, indica que todos os quatro vetores são linearmente dependentes. ■

Definição 18.2 Sistema de funçõesf, ..., fpchamadoeueu- neip o h e em e com e m sobre o intervalo(A, (3), se algum não trivial 5 uma combinação linear dessas funções é igual a zero neste intervalo de forma idêntica:

Definição 18.3 Sistema vetorial f1, ..., Diz-se que x n é linear em a b i c i m se alguma combinação linear não trivial desses vetores for igual ao vetor marcador:

eu Para evitar confusão, a seguir denotaremos o número do componente vetorial (função vetorial) pelo subscrito e o número do próprio vetor (se houver vários desses vetores) pelo índice superior.

“Lembramos que uma combinação linear é chamada de não trivial se nem todos os coeficientes nela contidos forem zero.

Definição 18.4 O sistema de funções vetoriais x 1 ^),..., x n (t) é chamado linear h e dentro e com e no intervalo,(A, /3), se alguma combinação linear não trivial dessas funções vetoriais for identicamente igual ao vetor zero neste intervalo:

É importante compreender a ligação entre estes três conceitos (dependência linear de funções, vetores e funções vetoriais) entre si.

Em primeiro lugar, se apresentarmos a fórmula (18.6) de forma expandida (lembrando que cada um dos x g (1)é um vetor)

então acaba sendo equivalente ao sistema de igualdades

significando a dependência linear dos i-ésimos componentes no sentido da primeira definição (como funções). Eles dizem que a dependência linear das funções vetoriais os acarreta componente por componente dependência linear.

O inverso, de modo geral, não é verdadeiro: basta considerar o exemplo de um par de funções vetoriais

Os primeiros componentes dessas funções vetoriais simplesmente coincidem, o que significa que são linearmente dependentes. Os segundos componentes são proporcionais, isto é. também são linearmente dependentes. No entanto, se tentarmos construir a sua combinação linear, que é identicamente igual a zero, então a partir da relação

obtemos o sistema imediatamente

que tem uma solução única S - S-2 - 0. Assim, nossas funções vetoriais são linearmente independentes.

Qual é a razão desta estranha propriedade? Qual é o truque que permite construir funções vetoriais linearmente independentes a partir de funções obviamente dependentes?

Acontece que a questão toda não está tanto na dependência linear dos componentes, mas na proporção de coeficientes necessária para obter zero. No caso de dependência linear de funções vetoriais, o mesmo conjunto de coeficientes serve a todos os componentes, independentemente do número. Mas no exemplo que demos, um componente exigia uma proporção de coeficientes e outro exigia outra. Portanto, o truque é realmente simples: para obter uma dependência linear de funções vetoriais como um todo a partir de uma dependência linear “em termos de componentes”, é necessário que todos os componentes sejam linearmente dependentes “na mesma proporção”.

Passemos agora ao estudo da conexão entre a dependência linear de funções vetoriais e vetores. Aqui é quase óbvio que da dependência linear das funções vetoriais segue-se que para cada fixo t* vetor

será linearmente dependente.

O inverso, de modo geral, não é válido: da dependência linear dos vetores para cada t A dependência linear das funções vetoriais não segue. Isso é fácil de ver usando o exemplo de duas funções vetoriais

No t = 1, t = 2 e t = 3 obtemos pares de vetores

respectivamente. Cada par de vetores é proporcional (com coeficientes 1,2 e 3, respectivamente). É fácil entender que para qualquer valor fixo t* nosso par de vetores será proporcional ao coeficiente t*.

Se tentarmos construir uma combinação linear de funções vetoriais que seja identicamente igual a zero, então os primeiros componentes já nos dão a relação

o que só é possível se COM = COM2 = 0. Assim, nossas funções vetoriais revelaram-se linearmente independentes. Novamente, a explicação para este efeito é que no caso de dependência linear de funções vetoriais, o mesmo conjunto de constantes Cj serve todos os valores t, e no nosso exemplo para cada valor t era necessária uma proporção específica entre os coeficientes.

Dependência linear e independência linear de vetores.
Base de vetores. Sistema de coordenadas afins

Há um carrinho de chocolates no auditório, e cada visitante hoje receberá um lindo casal - geometria analítica com álgebra linear. Este artigo abordará duas seções da matemática superior ao mesmo tempo e veremos como elas coexistem em um invólucro. Faça uma pausa, coma um Twix! ... caramba, que monte de bobagens. Embora, ok, não vou pontuar, no final, você deve ter uma atitude positiva em relação aos estudos.

Dependência linear de vetores, independência vetorial linear, base de vetores e outros termos não têm apenas uma interpretação geométrica, mas, sobretudo, um significado algébrico. O próprio conceito de “vetor” do ponto de vista da álgebra linear nem sempre é o vetor “comum” que podemos representar em um plano ou no espaço. Você não precisa procurar muito para obter provas, tente desenhar um vetor de espaço pentadimensional . Ou o vetor meteorológico, que acabei de procurar no Gismeteo: temperatura e pressão atmosférica, respectivamente. O exemplo, claro, está incorreto do ponto de vista das propriedades do espaço vetorial, mas, mesmo assim, ninguém proíbe formalizar esses parâmetros como um vetor. Respiração do outono...

Não, não vou aborrecê-lo com teoria, espaços vetoriais lineares, a tarefa é entender definições e teoremas. Os novos termos (dependência linear, independência, combinação linear, base, etc.) aplicam-se a todos os vetores do ponto de vista algébrico, mas serão dados exemplos geométricos. Assim, tudo fica simples, acessível e claro. Além dos problemas de geometria analítica, consideraremos também alguns problemas típicos de álgebra. Para dominar o material, é aconselhável se familiarizar com as aulas Vetores para manequins E Como calcular o determinante?

Dependência linear e independência de vetores planos.
Base plana e sistema de coordenadas afins

Vamos considerar o plano da mesa do seu computador (apenas uma mesa, mesinha de cabeceira, chão, teto, o que você quiser). A tarefa consistirá nas seguintes ações:

1) Selecione a base do plano. Grosso modo, um tampo de mesa tem comprimento e largura, então é intuitivo que serão necessários dois vetores para construir a base. Um vetor claramente não é suficiente, três vetores são demais.

2) Com base na base selecionada definir sistema de coordenadas(grade de coordenadas) para atribuir coordenadas a todos os objetos na mesa.

Não se surpreenda, a princípio as explicações estarão nos dedos. Além disso, no seu. Por favor coloque dedo indicador esquerdo na borda da mesa para que ele olhe para o monitor. Este será um vetor. Agora coloque dedo mindinho direito na borda da mesa da mesma forma - de forma que fique direcionado para a tela do monitor. Este será um vetor. Sorria, você está ótima! O que podemos dizer sobre vetores? Vetores de dados colinear, que significa linear expressos um através do outro:
, bem, ou vice-versa: , onde está algum número diferente de zero.

Você pode ver uma foto dessa ação em aula. Vetores para manequins, onde expliquei a regra para multiplicar um vetor por um número.

Seus dedos estabelecerão a base no plano da mesa do computador? Obviamente não. Vetores colineares viajam para frente e para trás sozinho direção, e um plano tem comprimento e largura.

Tais vetores são chamados linearmente dependente.

Referência: As palavras “linear”, “linearmente” denotam o fato de que em equações e expressões matemáticas não existem quadrados, cubos, outras potências, logaritmos, senos, etc. Existem apenas expressões e dependências lineares (1º grau).

Dois vetores planos linearmente dependente se e somente se eles são colineares.

Cruze os dedos sobre a mesa para que haja entre eles qualquer ângulo diferente de 0 ou 180 graus. Dois vetores planoslinear Não dependente se e somente se eles não são colineares. Então, a base é obtida. Não há necessidade de ficar envergonhado porque a base acabou sendo “distorcida” por vetores não perpendiculares de comprimentos diferentes. Muito em breve veremos que não apenas um ângulo de 90 graus é adequado para sua construção, e não apenas vetores unitários de igual comprimento

Qualquer vetor plano o único jeitoé expandido de acordo com a base:
, onde estão os números reais. Os números são chamados coordenadas vetoriais nesta base.

Também se diz que vetorapresentado como combinação linear vetores de base. Ou seja, a expressão é chamada decomposição vetorialpor base ou combinação linear vetores de base.

Por exemplo, podemos dizer que o vetor é decomposto ao longo de uma base ortonormal do plano, ou podemos dizer que é representado como uma combinação linear de vetores.

Vamos formular definição de base formalmente: A base do aviãoé chamado de par de vetores linearmente independentes (não colineares), , em que qualquer um vetor plano é uma combinação linear de vetores de base.

Um ponto essencial da definição é o fato de os vetores serem tomados em uma determinada ordem. Bases – são duas bases completamente diferentes! Como se costuma dizer, você não pode substituir o dedo mínimo da mão esquerda no lugar do dedo mínimo da mão direita.

Descobrimos a base, mas não basta definir uma grade de coordenadas e atribuir coordenadas a cada item da mesa do seu computador. Por que não é suficiente? Os vetores são livres e vagam por todo o plano. Então, como você atribui coordenadas a esses pequenos pontos sujos na mesa que sobraram de um fim de semana agitado? É necessário um ponto de partida. E tal marco é um ponto familiar a todos - a origem das coordenadas. Vamos entender o sistema de coordenadas:

Começarei com o sistema “escolar”. Já na aula introdutória Vetores para manequins Destaquei algumas diferenças entre o sistema de coordenadas retangulares e a base ortonormal. Aqui está a imagem padrão:

Quando eles falam sobre sistema de coordenadas retangulares, na maioria das vezes eles significam a origem, os eixos coordenados e a escala ao longo dos eixos. Tente digitar “sistema de coordenadas retangulares” em um mecanismo de busca e você verá que muitas fontes falarão sobre eixos de coordenadas familiares da 5ª à 6ª série e como plotar pontos em um plano.

Por outro lado, parece que um sistema de coordenadas retangulares pode ser completamente definido em termos de uma base ortonormal. E isso é quase verdade. A redação é a seguinte:

origem, E ortonormal a base está definida Sistema de coordenadas planas retangulares cartesianas . Ou seja, o sistema de coordenadas retangulares definitivamenteé definido por um único ponto e dois vetores ortogonais unitários. É por isso que você vê o desenho que dei acima - em problemas geométricos, tanto os vetores quanto os eixos coordenados são frequentemente (mas nem sempre) desenhados.

Acho que todo mundo entende que usar um ponto (origem) e uma base ortonormal QUALQUER PONTO no avião e QUALQUER VETOR no avião coordenadas podem ser atribuídas. Falando figurativamente, “tudo em um avião pode ser numerado”.

Os vetores de coordenadas devem ser unitários? Não, eles podem ter um comprimento arbitrário diferente de zero. Considere um ponto e dois vetores ortogonais de comprimento arbitrário diferente de zero:

Tal base é chamada ortogonal. A origem das coordenadas com vetores é definida por uma grade de coordenadas, e qualquer ponto do plano, qualquer vetor tem suas coordenadas em uma determinada base. Por exemplo, ou. A inconveniência óbvia é que os vetores coordenados em geral têm comprimentos diferentes além da unidade. Se os comprimentos forem iguais à unidade, então a base ortonormal usual é obtida.

! Observação : na base ortogonal, assim como abaixo nas bases afins do plano e do espaço, são consideradas unidades ao longo dos eixos CONDICIONAL. Por exemplo, uma unidade ao longo do eixo x contém 4 cm, uma unidade ao longo do eixo das ordenadas contém 2 cm, esta informação é suficiente para, se necessário, converter coordenadas “não padronizadas” em “nossos centímetros habituais”.

E a segunda questão, que na verdade já foi respondida, é se o ângulo entre os vetores da base deve ser igual a 90 graus? Não! Como afirma a definição, os vetores de base devem ser apenas não colinear. Conseqüentemente, o ângulo pode ser qualquer coisa, exceto 0 e 180 graus.

Um ponto no plano chamado origem, E não colinear vetores, , definir sistema de coordenadas planas afins :

Às vezes, esse sistema de coordenadas é chamado oblíquo sistema. Como exemplos, o desenho mostra pontos e vetores:

Como você entende, o sistema de coordenadas afins é ainda menos conveniente: as fórmulas para comprimentos de vetores e segmentos, que discutimos na segunda parte da lição, não funcionam nele Vetores para manequins, muitas fórmulas deliciosas relacionadas a produto escalar de vetores. Mas são válidas as regras para somar vetores e multiplicar um vetor por um número, fórmulas para dividir um segmento nesta relação, bem como alguns outros tipos de problemas que consideraremos em breve.

E a conclusão é que o caso especial mais conveniente de um sistema de coordenadas afins é o sistema retangular cartesiano. É por isso que você precisa vê-la com mais frequência, meu querido. ...Porém, tudo nesta vida é relativo - há muitas situações em que um ângulo oblíquo (ou algum outro, por exemplo, polar) sistema de coordenadas. E os humanóides podem gostar de tais sistemas =)

Vamos passar para a parte prática. Todos os problemas desta lição são válidos tanto para o sistema de coordenadas retangulares quanto para o caso afim geral. Não há nada complicado aqui, todo o material é acessível até para um aluno.

Como determinar a colinearidade de vetores planos?

Coisa típica. Para que dois vetores planos eram colineares, é necessário e suficiente que suas coordenadas correspondentes sejam proporcionais Essencialmente, este é um detalhamento coordenada por coordenada do relacionamento óbvio.

Exemplo 1

a) Verifique se os vetores são colineares .
b) Os vetores formam uma base? ?

Solução:
a) Vamos descobrir se existe para vetores coeficiente de proporcionalidade, tal que as igualdades sejam satisfeitas:

Com certeza vou falar sobre a versão “afeta” da aplicação desta regra, que funciona muito bem na prática. A ideia é fazer imediatamente a proporção e ver se está correta:

Vamos fazer uma proporção a partir das proporções das coordenadas correspondentes dos vetores:

Vamos encurtar:
, portanto, as coordenadas correspondentes são proporcionais, portanto,

A relação poderia ser feita ao contrário; esta é uma opção equivalente:

Para o autoteste, você pode usar o fato de que os vetores colineares são expressos linearmente entre si. Neste caso, as igualdades ocorrem . Sua validade pode ser facilmente verificada através de operações elementares com vetores:

b) Dois vetores planos formam uma base se não forem colineares (linearmente independentes). Examinamos vetores para colinearidade . Vamos criar um sistema:

Da primeira equação segue que, da segunda equação segue que, o que significa o sistema é inconsistente(sem soluções). Assim, as coordenadas correspondentes dos vetores não são proporcionais.

Conclusão: os vetores são linearmente independentes e formam uma base.

Uma versão simplificada da solução é assim:

Vamos fazer uma proporção a partir das coordenadas correspondentes dos vetores :
, o que significa que esses vetores são linearmente independentes e formam uma base.

Normalmente esta opção não é rejeitada pelos revisores, mas surge um problema nos casos em que algumas coordenadas são iguais a zero. Assim: . Ou assim: . Ou assim: . Como trabalhar com proporção aqui? (na verdade, você não pode dividir por zero). É por esta razão que chamei a solução simplificada de “atrevida”.

Responder: a) , b) forma.

Um pequeno exemplo criativo para sua própria solução:

Exemplo 2

Em que valor do parâmetro estão os vetores serão colineares?

Na solução amostral, o parâmetro é encontrado por meio da proporção.

Existe uma maneira algébrica elegante de verificar a colinearidade dos vetores. Vamos sistematizar nosso conhecimento e adicioná-lo como o quinto ponto:

Para dois vetores planos, as seguintes afirmações são equivalentes:

2) os vetores formam uma base;
3) os vetores não são colineares;

+ 5) o determinante composto pelas coordenadas desses vetores é diferente de zero.

Respectivamente, as seguintes afirmações opostas são equivalentes:
1) os vetores são linearmente dependentes;
2) os vetores não formam base;
3) os vetores são colineares;
4) os vetores podem ser expressos linearmente entre si;
+ 5) o determinante composto pelas coordenadas desses vetores é igual a zero.

Eu realmente espero que agora você já entenda todos os termos e declarações que encontrou.

Vamos dar uma olhada mais de perto no novo quinto ponto: dois vetores planos são colineares se e somente se o determinante composto pelas coordenadas dos vetores dados for igual a zero:. Para aplicar esse recurso, é claro, você precisa ser capaz de encontrar determinantes.

Vamos decidir Exemplo 1 da segunda maneira:

a) Calculemos o determinante formado pelas coordenadas dos vetores :
, o que significa que esses vetores são colineares.

b) Dois vetores planos formam uma base se não forem colineares (linearmente independentes). Vamos calcular o determinante composto por coordenadas vetoriais :
, o que significa que os vetores são linearmente independentes e formam uma base.

Responder: a) , b) forma.

Parece muito mais compacto e bonito do que uma solução com proporções.

Com a ajuda do material considerado, é possível estabelecer não só a colinearidade dos vetores, mas também comprovar o paralelismo de segmentos e retas. Consideremos alguns problemas com formas geométricas específicas.

Exemplo 3

Os vértices de um quadrilátero são dados. Prove que um quadrilátero é um paralelogramo.

Prova: Não há necessidade de criar desenho no problema, pois a solução será puramente analítica. Vamos lembrar a definição de paralelogramo:
Paralelogramo É chamado um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos aos pares.

Assim, precisamos provar:
1) paralelismo de lados opostos e;
2) paralelismo de lados opostos e.

Nós provamos:

1) Encontre os vetores:

2) Encontre os vetores:

O resultado é o mesmo vetor (“de acordo com a escola” – vetores iguais). A colinearidade é bastante óbvia, mas é melhor formalizar a decisão de forma clara, com arranjo. Vamos calcular o determinante composto por coordenadas vetoriais:
, o que significa que esses vetores são colineares e .

Conclusão: Os lados opostos de um quadrilátero são paralelos aos pares, o que significa que é um paralelogramo por definição. QED.

Mais figuras boas e diferentes:

Exemplo 4

Os vértices de um quadrilátero são dados. Prove que um quadrilátero é um trapézio.

Para uma formulação mais rigorosa da prova, é melhor, claro, obter a definição de trapézio, mas basta simplesmente lembrar sua aparência.

Esta é uma tarefa para você resolver sozinho. Solução completa no final da lição.

E agora é hora de passar lentamente do avião para o espaço:

Como determinar a colinearidade de vetores espaciais?

A regra é muito semelhante. Para que dois vetores espaciais sejam colineares é necessário e suficiente que suas coordenadas correspondentes sejam proporcionais.

Exemplo 5

Descubra se os seguintes vetores espaciais são colineares:

A) ;
b)
V)

Solução:
a) Vamos verificar se existe um coeficiente de proporcionalidade para as coordenadas correspondentes dos vetores:

O sistema não tem solução, o que significa que os vetores não são colineares.

“Simplificado” é formalizado pela verificação da proporção. Nesse caso:
– as coordenadas correspondentes não são proporcionais, o que significa que os vetores não são colineares.

Responder: os vetores não são colineares.

b-c) Estes são pontos para decisão independente. Experimente de duas maneiras.

Existe um método para verificar a colinearidade de vetores espaciais por meio de um determinante de terceira ordem; esse método é abordado no artigo Produto vetorial de vetores.

Semelhante ao caso plano, as ferramentas consideradas podem ser utilizadas para estudar o paralelismo de segmentos espaciais e retas.

Bem-vindo à segunda seção:

Dependência linear e independência de vetores no espaço tridimensional.
Base espacial e sistema de coordenadas afins

Muitos dos padrões que examinamos no avião serão válidos para o espaço. Tentei minimizar as notas teóricas, pois a maior parte das informações já foi mastigada. Porém, recomendo que você leia atentamente a parte introdutória, pois novos termos e conceitos irão aparecer.

Agora, em vez do plano da mesa do computador, exploramos o espaço tridimensional. Primeiro, vamos criar sua base. Alguém agora está dentro de casa, alguém está fora, mas em qualquer caso, não podemos escapar das três dimensões: largura, comprimento e altura. Portanto, para construir uma base, serão necessários três vetores espaciais. Um ou dois vetores não bastam, o quarto é supérfluo.

E novamente nos aquecemos nos dedos. Por favor, levante sua mão e espalhe-a em diferentes direções polegar, indicador e dedo médio. Serão vetores, olham em direções diferentes, têm comprimentos diferentes e ângulos diferentes entre si. Parabéns, a base do espaço tridimensional está pronta! Aliás, não há necessidade de demonstrar isso aos professores, por mais que você torça os dedos, mas não há como escapar das definições =)

A seguir, vamos nos fazer uma pergunta importante: quaisquer três vetores formam uma base do espaço tridimensional? Pressione três dedos firmemente na parte superior da mesa do computador. O que aconteceu? Três vetores estão localizados no mesmo plano e, grosso modo, perdemos uma das dimensões - a altura. Tais vetores são coplanar e é bastante óbvio que a base do espaço tridimensional não foi criada.

Deve-se notar que os vetores coplanares não precisam estar no mesmo plano, eles podem estar em planos paralelos (só não faça isso com os dedos, só Salvador Dali fez isso =)).

Definição: vetores são chamados coplanar, se houver um plano ao qual eles sejam paralelos. É lógico acrescentar aqui que se tal plano não existir, então os vetores não serão coplanares.

Três vetores coplanares são sempre linearmente dependentes, isto é, eles são expressos linearmente um através do outro. Para simplificar, imaginemos novamente que eles estão no mesmo plano. Em primeiro lugar, os vetores não são apenas coplanares, mas também colineares, então qualquer vetor pode ser expresso por meio de qualquer vetor. No segundo caso, se, por exemplo, os vetores não são colineares, então o terceiro vetor é expresso através deles de forma única: (e por que é fácil adivinhar a partir dos materiais da seção anterior).

A afirmação oposta também é verdadeira: três vetores não coplanares são sempre linearmente independentes, isto é, eles não são de forma alguma expressos um através do outro. E, obviamente, apenas esses vetores podem formar a base do espaço tridimensional.

Definição: A base do espaço tridimensionalé chamado de triplo de vetores linearmente independentes (não coplanares), tomado em uma determinada ordem, e qualquer vetor de espaço o único jeitoé decomposto em uma determinada base, onde estão as coordenadas do vetor nesta base

Deixe-me lembrá-lo que também podemos dizer que o vetor é representado na forma combinação linear vetores de base.

O conceito de sistema de coordenadas é introduzido exatamente da mesma maneira que para o caso plano; um ponto e quaisquer três vetores linearmente independentes são suficientes:

origem, E não coplanar vetores, tomado em uma determinada ordem, definir sistema de coordenadas afins do espaço tridimensional :

Claro, a grade de coordenadas é “oblíqua” e inconveniente, mas, mesmo assim, o sistema de coordenadas construído nos permite definitivamente determinar as coordenadas de qualquer vetor e as coordenadas de qualquer ponto no espaço. Semelhante a um plano, algumas fórmulas que já mencionei não funcionarão no sistema de coordenadas afins do espaço.

O caso especial mais familiar e conveniente de um sistema de coordenadas afins, como todos adivinham, é sistema de coordenadas espaciais retangulares:

Um ponto no espaço chamado origem, E ortonormal a base está definida Sistema de coordenadas espaciais retangulares cartesianas . Imagem familiar:

Antes de passarmos às tarefas práticas, vamos sistematizar novamente as informações:

Para três vetores espaciais, as seguintes afirmações são equivalentes:
1) os vetores são linearmente independentes;
2) os vetores formam uma base;
3) os vetores não são coplanares;
4) os vetores não podem ser expressos linearmente entre si;
5) o determinante, composto pelas coordenadas desses vetores, é diferente de zero.

Acho que as afirmações opostas são compreensíveis.

A dependência/independência linear dos vetores espaciais é tradicionalmente verificada usando um determinante (ponto 5). As restantes tarefas práticas serão de marcada natureza algébrica. É hora de pendurar o bastão de geometria e empunhar o taco de beisebol da álgebra linear:

Três vetores do espaço são coplanares se e somente se o determinante composto pelas coordenadas dos vetores dados for igual a zero: .

Gostaria de chamar a atenção para uma pequena nuance técnica: as coordenadas dos vetores podem ser escritas não apenas em colunas, mas também em linhas (o valor do determinante não mudará por causa disso - veja as propriedades dos determinantes). Mas é muito melhor em colunas, pois é mais benéfico para resolver alguns problemas práticos.

Para aqueles leitores que se esqueceram um pouco dos métodos de cálculo de determinantes, ou talvez tenham pouca compreensão deles, recomendo uma de minhas lições mais antigas: Como calcular o determinante?

Exemplo 6

Verifique se os seguintes vetores formam a base do espaço tridimensional:

Solução: Na verdade, toda a solução se resume ao cálculo do determinante.

a) Vamos calcular o determinante composto por coordenadas vetoriais (o determinante é revelado na primeira linha):

, o que significa que os vetores são linearmente independentes (não coplanares) e formam a base do espaço tridimensional.

Responder: esses vetores formam uma base

b) Este é um ponto para decisão independente. Solução completa e resposta no final da lição.

Existem também tarefas criativas:

Exemplo 7

Em que valor do parâmetro os vetores serão coplanares?

Solução: Os vetores são coplanares se e somente se o determinante composto pelas coordenadas desses vetores for igual a zero:

Essencialmente, você precisa resolver uma equação com um determinante. Descemos até os zeros como pipas nos jerboas - é melhor abrir o determinante na segunda linha e nos livrar imediatamente dos pontos negativos:

Realizamos ainda mais simplificações e reduzimos a questão à equação linear mais simples:

Responder: no

É fácil verificar aqui; para fazer isso, você precisa substituir o valor resultante no determinante original e certificar-se de que , abrindo-o novamente.

Concluindo, consideraremos outro problema típico, de natureza mais algébrica e tradicionalmente incluído em um curso de álgebra linear. É tão comum que merece um tema próprio:

Prove que 3 vetores formam a base do espaço tridimensional
e encontre as coordenadas do 4º vetor nesta base

Exemplo 8

Vetores são fornecidos. Mostre que os vetores formam uma base no espaço tridimensional e encontre as coordenadas do vetor nesta base.

Solução: Primeiro, vamos lidar com a condição. Por condição, são dados quatro vetores e, como você pode ver, eles já possuem coordenadas em alguma base. O que é essa base não nos interessa. E o seguinte é interessante: três vetores podem muito bem formar uma nova base. E a primeira etapa coincide completamente com a solução do Exemplo 6; é necessário verificar se os vetores são verdadeiramente linearmente independentes:

Vamos calcular o determinante composto por coordenadas vetoriais:

, o que significa que os vetores são linearmente independentes e formam a base do espaço tridimensional.