Que tipo de igualdade é chamada de identidade. Identidades, definição, notação, exemplos

12.09.202227.05.2017

Ambas as partes são expressões idênticas. As identidades são divididas em alfabéticas e numéricas.

Expressões de identidade

Duas expressões algébricas são chamadas idêntico(ou identicamente igual), se para quaisquer valores numéricos das letras elas tiverem o mesmo valor numérico. Estas são, por exemplo, expressões:

x(5 + x) e 5 x + x 2

Ambas as expressões apresentadas, para qualquer valor x serão iguais entre si, portanto podem ser chamados de idênticos ou identicamente iguais.

Expressões numéricas iguais entre si também podem ser chamadas de idênticas. Por exemplo:

20 - 8 e 10 + 2

Identidades de letras e números

Identidade literalé uma igualdade válida para quaisquer valores das letras nela incluídas. Em outras palavras, uma igualdade em que ambos os lados são expressões identicamente iguais, por exemplo:

(a + b)eu = sou + bm
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Identidade numéricaé uma igualdade contendo apenas números expressos em algarismos, em que ambos os lados possuem o mesmo valor numérico. Por exemplo:

4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50

Transformações idênticas de expressões

Todas as operações algébricas são uma transformação de uma expressão algébrica em outra idêntica à primeira.

Ao calcular o valor de uma expressão, abrindo parênteses, colocando um fator comum fora dos colchetes e, em vários outros casos, algumas expressões são substituídas por outras que são identicamente iguais a elas. A substituição de uma expressão por outra, identicamente igual a ela, é chamada transformação idêntica da expressão ou simplesmente transformando a expressão. Todas as transformações de expressão são executadas com base nas propriedades das operações com números.

Vamos considerar a transformação idêntica de uma expressão usando o exemplo de retirar o fator comum dos colchetes:

10x - 7x + 3x = (10 - 7 + 3)x = 6x

AULA Nº 3 Prova de identidade

Objetivo: 1. Repetir as definições de identidade e expressões identicamente iguais.

2.Introduzir o conceito de transformação idêntica de expressões.

3. Multiplicando um polinômio por um polinômio.

4. Fatoração de um polinômio usando o método de agrupamento.

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Existem muitos conceitos em matemática. Um deles é a identidade.

Uma identidade é uma igualdade válida para todos os valores das variáveis nela incluídas. Já conhecemos algumas identidades.

Por exemplo, todo mundo fórmulas de multiplicação abreviadas são identidades.

Fórmulas de multiplicação abreviadas

1. (a ± b)2 = a 2 ± 2 ab + b 2,

2. (a ± b)3 = a 3±3 a 2b + 3ab 2 ± b 3,

3. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b),

4. a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ab + b 2).

Provar identidade- isto significa estabelecer que para qualquer valor de variável válido, o seu lado esquerdo é igual ao lado direito.

Na álgebra, existem várias maneiras diferentes de provar identidades.

Métodos para provar identidades

lado esquerdo da identidade.

o lado direito da identidade.

lados esquerdo e direito da identidade.

Do lado direito da identidade subtraímos o lado esquerdo.

O lado direito é subtraído do lado esquerdo da identidade.

Deve-se lembrar também que a identidade é válida apenas para valores permitidos das variáveis.

Como você pode ver, existem várias maneiras. Qual método escolher em um determinado caso depende da identidade que você precisa provar. Ao provar várias identidades, você ganhará experiência na escolha de um método de prova.

Uma identidade é uma equação satisfeita de forma idêntica, ou seja, válida para quaisquer valores admissíveis das variáveis nela incluídas. Provar uma identidade significa estabelecer que para todos os valores admissíveis das variáveis, seus lados esquerdo e direito são iguais.
Maneiras de provar a identidade:
1. Realize transformações no lado esquerdo e finalmente obtenha o lado direito.
2. Realize transformações no lado direito e finalmente obtenha o lado esquerdo.
3. Transforme separadamente os lados direito e esquerdo e obtenha a mesma expressão no primeiro e no segundo caso.
4. Componha a diferença entre os lados esquerdo e direito e, como resultado de suas transformações, obtenha zero.
Vejamos alguns exemplos simples

Exemplo 1. Prove a identidade x·(a+b) + a·(b-x) = b·(a+x).

Solução.

Como o lado direito tem uma expressão pequena, vamos tentar transformar o lado esquerdo da igualdade.

x·(a+b) + a·(b-x) = x·a +x·b + a·b – a·x.

Vamos apresentar termos semelhantes e retirar o fator comum do colchete.

x a + x b + a b – a x = x b + a b = b (a + x).

Descobrimos que o lado esquerdo após as transformações tornou-se igual ao lado direito. Portanto, essa igualdade é uma identidade.

Exemplo 2. Prove a identidade: a²+7·a + 10 = (a+5)·(a+2).

Solução:

Neste exemplo, você pode proceder da seguinte maneira. Vamos abrir os colchetes do lado direito da igualdade.

(a+5)·(a+2) = (a²) + 5·a +2·a +10 = a²+7·a + 10.

Vemos que após as transformações, o lado direito da igualdade passou a ser igual ao lado esquerdo da igualdade. Portanto, essa igualdade é uma identidade.

“A substituição de uma expressão por outra identicamente igual a ela é chamada de transformação idêntica da expressão”

Descubra qual igualdade é uma identidade:

1. - (a – c) = - a – c;

2. 2 · (x + 4) = 2x – 4;

3. (x – 5) · (-3) = - 3x + 15.

4. рху (- р2 x2 y) = - р3 x3 y3.

“Para provar que alguma igualdade é uma identidade, ou, como se costuma dizer, para provar uma identidade, utilizam-se transformações idênticas de expressões”

Uma igualdade que é verdadeira para quaisquer valores das variáveis é chamada identidade. Para provar que alguma igualdade é uma identidade, ou, como se costuma dizer, para que provar identidade, use transformações idênticas de expressões.
Vamos provar a identidade:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3)(y - 5) + 1 Transforme o lado esquerdo desta igualdade:
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5(x -3) +1 = (y - 5)(x - 3) + 1 Como resultado transformação de identidade do lado esquerdo do polinômio obtivemos seu lado direito e assim provamos que esta igualdade é identidade.
Para provas de identidade transforme seu lado esquerdo em direito ou seu lado direito em esquerdo, ou mostre que os lados esquerdo e direito da igualdade original são identicamente iguais à mesma expressão.

Multiplicando um polinômio por um polinômio

Vamos multiplicar o polinômio a+b para um polinômio c + d. Vamos compor o produto desses polinômios:
(a+b)(c+d).
Vamos denotar o binômio a+b carta x e transforme o produto resultante de acordo com a regra de multiplicação de um monômio por um polinômio:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
Em expressão xc + xd. vamos substituir x polinomial a+b e novamente use a regra para multiplicar um monômio por um polinômio:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd.
Então: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.
Produto de polinômios a+b E c + d nós o representamos como um polinômio ac + bc + ad + bd. Este polinômio é a soma de todos os monômios obtidos pela multiplicação de cada termo do polinômio a+b para cada termo do polinômio c + d.
Conclusão: o produto de quaisquer dois polinômios pode ser representado como um polinômio.
Regra: Para multiplicar um polinômio por um polinômio, você precisa multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo de outro polinômio e adicionar os produtos resultantes.
Observe que ao multiplicar um polinômio contendo eu termos para um polinômio contendo n termos no produto, antes de trazer termos semelhantes, o resultado deve ser homem membros. Isso pode ser usado para controle.

Fatorando um polinômio usando o método de agrupamento:

Anteriormente, fomos apresentados à fatoração de um polinômio retirando o fator comum dos colchetes. Às vezes é possível fatorar um polinômio usando outro método - agrupamento de seus membros.
Vamos fatorar o polinômio
ab - 2b + 3a - 6 Vamos agrupá-lo de forma que os termos de cada grupo tenham um fator comum e retire esse fator dos colchetes:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Cada termo da expressão resultante tem um fator comum (a - 2). Vamos tirar esse fator comum dos colchetes:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b +3)(a - 2) Como resultado, fatoramos o polinômio original:
ab - 2b + 3a - 6 = (b +3)(a - 2) O método que usamos para fatorar o polinômio é chamado método de agrupamento.
Expansão polinomial ab - 2b + 3a - 6 a fatoração pode ser feita agrupando seus termos de forma diferente:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a(b + 3) -2(b + 3) = (a - 2)(b + 3)

Repita:

1. Métodos de prova de identidades.

2. O que é chamado de transformação de identidade de uma expressão.

3. Multiplicando um polinômio por um polinômio.

4. Fatoração de um polinômio usando o método de agrupamento

aquilo pelo qual uma coisa é absolutamente semelhante a outra. A compreensão geralmente envolve incluir (“identificar”) novos conhecimentos naquilo que já sabemos. É neste sentido que a identidade é a forma de toda compreensão. Meyerson viu na síntese de todo o conhecimento sobre o universo, na sua redução à identidade, o ideal da ciência: precisamente, a ciência deveria resultar numa única fórmula (representada hoje pela fórmula da relatividade), da qual podemos derivar todas as particularidades. leis da ciência. Este ideal parece ser mais filosófico do que científico, porque o progresso científico conduz antes a uma diversificação infinita dos métodos da ciência (especialização), e o seu objectivo imediato é a eterna possibilidade de conhecer novos objectos em vez da unificação dos métodos (este trabalho de a unificação é o objetivo reflexões sobre ciência, epistemologia).

Excelente definição

Definição incompleta ↓

IDENTIDADE

O conceito de T. é o principal. o conceito de filosofia, lógica e matemática, portanto inclui todas as dificuldades associadas ao esclarecimento e definição dos conceitos iniciais (básicos, fundamentais) da ciência. No complexo de questões relacionadas ao conceito de T., duas merecem atenção especial: a questão de T. "...em si. Reconhecemos que ele existe ou não o reconhecemos?" (Platão, Phaed. 74 b; tradução russa. Soch., vol. 2, 1970) e a questão do T. das coisas. (T. as coisas são geralmente expressas pelo símbolo "=", que é encontrado pela primeira vez em R. Record em seu "The whetstone of witte", L., 1557.) A primeira dessas questões faz parte da questão de ontológico. status de objetos abstratos (ver, por exemplo, Relação, Universais), o segundo tem independência. significado. Não importa como essas questões sejam resolvidas na filosofia, para a lógica e a matemática sua solução é sempre equivalente a resolver a questão da definição do conceito de T. No entanto, não é difícil ser convencido analisando qualquer uma das definições lógicas (matemáticas) conhecidas. de T (em vez do método de fundamentação) que “a ideia T”. e de uma forma ou de outra um certo "conceito de T." - Isto não é a mesma coisa. A ideia de T. é precedida por qualquer definição do conceito (predicado) de T., bem como pelo conceito de “coisas idênticas” introduzido pela definição. Isso se deve ao fato de que o julgamento sobre T. k.-l. objetos sempre pressupõe que alguma outra identificação, auxiliar, mas necessária - e de forma alguma estranha a esse julgamento - já foi realizada (ou deveria ser realizada). É em conexão com o problema das “identificações admissíveis” que essa filosofia. a análise pode servir como um pré-requisito útil para lógica e matemática. análise do conceito T. O princípio da individuação. De acordo com a filosofia t.zr. deve-se distinguir entre ontológico e epistemológico. e semântico problemas de T. coisas. O problema ontológico de T. é o problema das coisas de T. “em si” ou em si – de acordo com sua “situação interna” (G. Cantor). É colocado e decidido com base no princípio da individuação (principium individuationis): tudo no universo é unidade. coisa; duas coisas diferentes, cada uma das quais seria a mesma coisa que a outra, não existem. É “...de acordo com os princípios da individuação, que procedem da matéria” que aceitamos que “...toda coisa auto-existente, composta de matéria e forma, é composta de forma individual e matéria individual” (Thomas Tomás de Aquino, citado no livro.: "Antologia da Filosofia Mundial", vol. 1, parte 2, M., 1969, pp. 847, 862). O princípio da individuação não contém qualquer indicação de como individuar os objetos do universo ou como eles são individuados “em si”, uma vez que este já é o caso; apenas postula a possibilidade abstrata de tal individuação. E isso é natural, desde que o entendamos como um princípio puramente ontológico. A questão de como individualizar os objetos do universo já é epistemológica. pergunta. Mas, neste caso, nenhuma individualização possível nos leva além daquele intervalo de abstração, que define o universo do raciocínio (ver Universo). Embora o princípio da individuação seja uma filosofia antiga. declaração sobre o mundo, seus análogos podem ser encontrados em teorias científicas (modernas) (matemáticas, físicas, etc.). A este respeito, podemos referir-nos à ideia de pontos “substanciais” ou mundiais (pontos espaciais em um determinado momento) no “mundo Minkowski” quadridimensional (abstrato) e à ideia relacionada de um espaço modelo temporal da ciência física. realidade, que nos permite individualizar cada um dos seus objetos, ou no princípio de Pauli, ou, finalmente, na hipótese de G. Cantor de que quaisquer dois elementos de um conjunto arbitrário são distinguíveis um do outro. Poderíamos até considerar que o princípio da individuação está subjacente a toda a literatura clássica. matemática com seu postulado – em certo sentido ontológico – “autoevidente” de um continuum numérico ordenado (por magnitude). O princípio de T. indistinguível. Aceitando o princípio da individuação, nós, no entanto, tanto na prática cotidiana quanto na teoria, identificamos constantemente vários objetos, ou seja, falamos sobre objetos diferentes como se fossem a mesma coisa. A abstração da identificação do diferente que surge foi claramente notada pela primeira vez por Leibniz em seu famoso princípio de T. indiscernibles (Princicipium identitatis indiscernibilium). A aparente contradição entre o princípio da individuação e o princípio de T. indiscernibles é fácil de explicar. Uma contradição surge apenas quando, acreditando que, por exemplo, xey são coisas diferentes, na formulação do princípio de T. indistinguíveis se quer dizer sua indistinguibilidade absoluta, ou ontológica, ou seja, quando eles pensam que a indistinguibilidade de x e y pressupõe que xey “por si mesmos” são indistinguíveis por qualquer critério. No entanto, se tivermos em mente a indistinguibilidade relativa, ou epistemológica, de x e y, por exemplo. sua indistinguibilidade “para nós”, pelo menos aquela que podemos encontrar como resultado de uma comparação praticamente viável de x e y (veja sobre isso no artigo Comparação), então não surge nenhuma contradição. Se distinguirmos entre os conceitos de “coisa”, ou objeto do universo “em si”, e “objeto”, ou objeto do universo no conhecimento, na prática, em relação a outros objetos, então a compatibilidade do princípio de T. indistinguível e o princípio da individuação deveria significar que não existem coisas idênticas, mas existem objetos idênticos. Obviamente, com T. Z., expresso no princípio da individuação, T. parece ser uma abstração e, portanto, uma idealização. No entanto, tem uma base objectiva nas condições de existência das coisas: a prática convence-nos de que existem situações em que coisas “diferentes” se comportam como a “mesma”. Nesse sentido, o princípio de T. indiscernibles expressa o fato empiricamente confirmado, com base na experiência, de nossa atividade abstrativa. Portanto, a “identificação de coisas diferentes”, segundo o princípio de Leibniz, não deve ser entendida como uma simplificação ou engrossamento da realidade, o que não corresponde, de modo geral, à verdadeira ordem da natureza. Intervalo de abstração de identificação. A indistinguibilidade dos objetos identificados de acordo com o princípio de T. indistinguível pode ser expressa operacionalmente - em seu “comportamento”, interpretado em termos de propriedades, e geralmente determinado por um conjunto de certas fixações. condições de indistinguibilidade. Este conjunto de condições (funções ou predicados), em relação às quais s.-l. os objetos do universo são indistinguíveis, determina o intervalo de abstração a partir da identificação desses objetos. Assim, se a propriedade A é definida em um conjunto de objetos e o objeto x a possui, então para identificar x e y no intervalo de abstração definido pela propriedade A, é necessário e suficiente que o objeto y também possua a propriedade A, que pode ser simbolicamente expresso pelo seguinte axioma: A( x)?((x=y)?A(y)). Observe que na presença de informações “redundantes” sobre as diferenças óbvias (naturalmente, “fora” do determinado intervalo de abstração) entre objetos, sua identificação “dentro” do determinado intervalo de abstração pode até parecer paradoxal. Um exemplo típico da teoria dos conjuntos é o paradoxo de Skolem. Se você olhar “de dentro” do intervalo de abstração definido pela propriedade A, então x e y são absolutamente o mesmo objeto, e não dois objetos, como assumido no raciocínio acima. A questão é que raciocinar sobre dois e, portanto, objetos x diferentes só é possível em um determinado metaintervalo, o que também indica a possibilidade de individualizar x e y. Obviamente, a indistinguibilidade de xey é aqui equivalente à sua intercambialidade com respeito à propriedade A, mas, é claro, não com respeito a qualquer propriedade. A este respeito, apontarei a abstração da distinguibilidade real, que decorre do princípio da individuação e está associada a tal interpretação deste princípio, na qual se resume a uma afirmação sobre a existência de condições em que a individuação é sempre viável (por exemplo. , condições em que xey não serão mais intercambiáveis, o que naturalmente nos permitirá falar de sua individualidade). Nesse sentido, o princípio da individuação tem o mesmo caráter do chamado postulados "puros" de existência em matemática, e podem ser considerados como uma abstração da individualização. Sem mencionar a matemática "abstrata". objetos, é óbvio que para físicos “específicos”. objetos da natureza, as condições para a individualização de qualquer um deles nem sempre podem ser encontradas ou indicadas explicitamente na classe. num sentido construtivo. Além disso, a tarefa de encontrá-los é por vezes fundamentalmente impossível, como evidenciado, por exemplo, pelo princípio da “indivisibilidade dos estados quânticos” e pela incerteza resultante, prescrita pela própria natureza, na nossa descrição do “comportamento individual” das partículas elementares. . Aditivos. O intervalo de abstração de identificação pode ser tal (mas não tão amplo quanto desejado) que inclua todos os conceitos (iniciais) (funções ou predicados) da teoria que está sendo considerada em um caso particular. Então dizem que x = y para qualquer conceito A. Nesse caso, tanto o quantificador “para qualquer” quanto T. são de natureza relativa - são identificados pelo conjunto de conceitos da teoria, Este é limitado, por sua vez , pela significância desses conceitos (intervalo de significado) em relação aos objetos do universo de uma determinada teoria. Por exemplo, o predicado “vermelho” não está definido no conjunto dos números naturais e, portanto, as palavras “para qualquer predicado” não podem ser aplicadas a ele quando se fala de T em aritmética. Tais restrições semânticas ocorrem essencialmente sempre nas aplicações da teoria, o que elimina contradições associadas à violação do intervalo de abstração de identificação. Como nas identificações apenas se entendem os predicados de uma dada teoria, o intervalo de abstração da identificação é fixo. Os objetos do universo, indistinguíveis em relação a cada predicado da teoria, são absolutamente indistinguíveis em uma determinada abstração de intervalo e podem ser considerados como o “mesmo” objeto, o que corresponde exatamente à interpretação usual de T. Se em relação a cada um desses predicados todos os objetos do universo são indistinguíveis, então o último em Neste caso, aparecerá para nós como um conjunto de um membro, embora em outro intervalo de abstração possa não ser tal. Portanto, se a condição A é uma tautologia, então na área de assunto implícita todos os objetos são idênticos no intervalo A. Em outras palavras, as tautologias não podem servir como critério para a distinguibilidade dos objetos, elas parecem projetar o universo em um ponto, produzindo uma abstração de identificação de elementos de um conjunto de qualquer potência, “transformando” diferentes elementos no “mesmo” objeto abstrato. Não é surpreendente, portanto, que aos axiomas dos predicados “puros” do cálculo do primeiro estágio se possa adicionar sem contradição a fórmula?xA(x)^/xA(x), expressando a identidade (ou indistinguibilidade absoluta ) de todos os objetos do universo. Aparentemente, esta incompletude do cálculo de predicados puro (lógica elementar) se deve justamente ao seu caráter neo-ontológico. Nos cálculos lógicos aplicados, em particular na teoria dos conjuntos, saindo da esfera da “lógica pura”, somos forçados - para evitar paradoxos - para fixar o intervalo de abstração de identificação . Nestes casos, T., por se tratar de identificações apenas em um determinado sistema de conceitos, pode ser introduzido por uma lista finita de axiomas de T. para funções e predicados específicos da teoria em consideração. Mas postulando assim. certas identificações, nós, por assim dizer, formamos o universo de acordo com o princípio de T. indistinguíveis. Isso significa que o universo, nesse sentido, é epistemológico. um conceito dependente de nossas abstrações. A questão do que é considerado o “mesmo” objeto, qual é o número de indivíduos “diferentes” no domínio do sujeito (qual é o poder do domínio dos indivíduos) é, em certo sentido, uma questão de como nós aplicar nossas abstrações e quais, bem como qual a área objetiva de sua aplicabilidade. Em particular, é sempre uma questão de intervalo de abstração. É por isso que com nosso t.z. uma indicação do intervalo de abstração de identificação na definição de T. deve ser considerada uma condição necessária para a aplicação significativa do “conceito de T”. O conceito de “intervalo de abstração de identificação” é epistemológico. um acréscimo ao conceito de abstração de identificação e, em certo sentido (substantivo), seu esclarecimento. Além disso, ao introduzir o conceito de tecnologia no âmbito da abstração, alcançamos facilmente a generalidade necessária na construção da teoria da tecnologia, evitando a habitual “multiplicação de conceitos” associada à distinção dos termos “idêntico”, “semelhante”, “ igual”, “equivalente”, etc. Em conexão com o acima exposto, a definição do predicado T. na formulação de Hilbert-Bernays, dada, como se sabe, pelas condições: 1) x=x 2) x=y? (A(x)? A(y)), pode ser interpretado de tal forma que a condição 2) expressará os T. objetos do universo no intervalo de abstração determinado pelo conjunto de axiomas especificados pelo esquema de axiomas 2). Quanto à condição 1), então, expressando a propriedade de reflexividade de T., ela corresponde em certo sentido ao princípio da individuação. Pelo menos, é óbvio que o princípio da individuação não implica uma negação da condição x = x, visto que entre o princípio da individuação e a tradição. princípio de T. (T. abstrato - lex identitatis), expresso pela fórmula x = x, existe a seguinte “conexão de significado” definida: se o objeto individual do universo não fosse idêntico a si mesmo, então não seria em si, mas seria outro assunto, o que, claro, leva à negação do princípio da individuação (cf. Engels F.: "... a identidade consigo mesmo desde o início tem como acréscimo necessário a diferença de tudo o mais " – Marx K. e Engels F., Soch., 2ª ed., vol. 20, p. 530). Assim, o princípio da individuação pressupõe a afirmação x = x, que é a sua condição necessária - a base lógica do conceito de indivíduo. Basta afirmar a compatibilidade de x = x com o princípio da individuação para, com base na compatibilidade de 1) e 2), afirmar a compatibilidade do princípio da individuação com o princípio de T. indistinguível, e levando em consideração conta a independência de 1) e 2), para chegar à conclusão sobre a independência destes mesmos princípios, pelo menos neste caso. O fato de o princípio da individuação, no sentido observado acima, corresponder à tradição. A lei de T. (ver Lei da Identidade), é de particular interesse do ponto de vista. problemas de “realização” do T. abstrato na natureza e, portanto. e ontológico. situação das abstrações em geral. O princípio de T. indistinguível na interpretação dada acima - como o princípio de T. no intervalo da abstração - expressa a ideia epistemológica essencialmente filosófica de T., baseada no conceito de prática. Quanto à matemática, onde de uma forma ou de outra operam com o predicado T., com a condição de que o idêntico possa ser substituído pelo idêntico (ver a Regra de substituição de igual por igual), então aqui, aceitando o princípio da individuação, ou seja, assumindo que todo matemático. o objeto no universo do raciocínio é individual, aparentemente, pode-se facilmente escapar da decisão epistemológica. problemas T., porque nas sentenças matemática. teorias da matemática os objetos aparecem não “por si mesmos”, mas através de seus representantes – os símbolos que os designam. Daí a possibilidade de construções que ignoram essencialmente a condição de individualidade destes objetos; Assim, a conhecida construção de uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números naturais e a sua parte - o conjunto de todos os números pares (paradoxo de Galileu) ignora a singularidade de cada número natural, contentando-se com o T. de seus representantes: caso contrário, como é possível esta construção? Existem muitas construções semelhantes em matemática. Um matemático geralmente atribui o seguinte significado à afirmação “um objeto x é idêntico a um objeto y”: “os símbolos xey denotam o mesmo objeto” ou “o símbolo x denota o mesmo objeto, que é denotado pelo símbolo y .” É óbvio que T. assim entendido refere-se antes à linguagem do cálculo correspondente (em geral a uma linguagem formalizada) e expressa, em essência, um caso de sinonímia linguística, e não de forma alguma uma epistemologia filosófica. o significado de T. Porém, é característico que mesmo neste caso não seja possível evitar a referência. identificação baseada na aplicação do princípio da abstração, uma vez que os sinônimos surgem como resultado da abstração da identificação por designação (ver Sinônimos em lógica). Além disso, ao interpretar o cálculo, qualquer definição semântica de T. como “relações entre expressões da linguagem” deve ser complementada com uma explicação de quê? nesta semântica na formulação de T. as palavras significam "um e o mesmo objeto". A este respeito, é improvável que a formulação do princípio de T., conhecido como Leibniziano-Russeliano (ver Igualdade em lógica e matemática), corresponda à filosofia. t.zr. próprio Leibniz. Sabe-se que Leibniz aceitou o princípio da individuação: “Se dois indivíduos fossem completamente... indistinguíveis em si mesmos, então... neste caso não haveria diferença individual ou indivíduos diferentes” (“Novos Experimentos sobre a Mente Humana” , M.–L., 1936, p. 202). Sabe-se também que qualquer uso não trivial de T., correspondente ao princípio de T. indistinguível, pressupõe que x e y são objetos diferentes, que são apenas relativamente indistinguíveis, indistinguíveis em um certo intervalo de abstração, determinado ou pelo poder de resolução dos nossos meios de discriminação, ou a abstração de identificação que aceitamos, ou, finalmente, dada pela própria natureza. Mas na formulação de Russell, a presença do ilimitado. o quantificador de generalidade sobre a variável predicada, conferindo à definição um caráter absoluto (“absoluto” aqui deve ser entendido como o antípoda da “relatividade” no sentido indicado acima), impõe a ideia de um absoluto. indistinguibilidade de x e y, o que contradiz o princípio da individuação, embora da definição de Russell seja derivada a fórmula x = x, o que, como observado acima, é compatível tanto com o princípio de T. indistinguíveis quanto com o princípio da individuação. À luz da ideia de T., no intervalo da abstração, outro conceito epistemológico fica claro. o papel do princípio da abstração: se na definição de T. um predicado (mesmo arbitrário) caracteriza a classe de abstração de um objeto x, e y é um elemento desta classe, então a identidade de x e y, devido ao princípio da abstração, não implica que x e y devam ser a mesma coisa, o mesmo sujeito na ontologia. senso. Deste ponto de vista, dois objetos do universo, pertencentes à mesma classe de abstração, são considerados como o “mesmo” objeto não no ontológico, mas no epistemológico. sentido: eles são idênticos apenas como representantes abstratos da mesma classe de abstração, e somente nesse sentido são indistinguíveis. Esta é, de fato, a dialética do conceito de T., bem como a resposta à pergunta: “Como podem objetos diferentes ser idênticos?” Aceso.: Zhegalkin I.I., Aritmetização da lógica simbólica, "Coleção matemática", 1929, v. 3–4; Yanovskaya S.?., Sobre as chamadas “definições através da abstração”, no livro: Sáb. artigos sobre filosofia da matemática, M., 1936; Lazarev F.V., Ascensão do abstrato ao concreto, no livro: Sáb. trabalhos de estudantes de pós-graduação e estudantes da Faculdade de Filosofia da Universidade Estadual de Moscou, M., 1962; Weil G., Additions, em: Matemática Combinatória Aplicada, trad. do inglês, M., 1968. M. Novoselov. Moscou.

Vamos começar a falar sobre identidades, definir o conceito, introduzir notações e considerar exemplos de identidades.

O que é identidade

Comecemos pela definição do conceito de identidade.

Definição 1

Uma identidade é uma igualdade verdadeira para quaisquer valores das variáveis. Na verdade, qualquer igualdade numérica é uma identidade.

À medida que analisamos o tema, podemos esclarecer e complementar esta definição. Por exemplo, se recordarmos os conceitos de valores permitidos de variáveis e VA, então a definição de identidade pode ser dada da seguinte forma.

Definição 2

Identidadeé uma verdadeira igualdade numérica, bem como uma igualdade que será verdadeira para todos os valores permitidos das variáveis que fazem parte dela.

Quaisquer valores de variáveis na determinação de uma identidade são discutidos em manuais e livros didáticos de matemática da 7ª série, uma vez que o currículo escolar dos alunos da 7ª série envolve a realização de ações exclusivamente com expressões inteiras (mono e polinômios). Eles fazem sentido para quaisquer valores das variáveis que os compõem.

O programa do 8º ano é ampliado considerando expressões que fazem sentido apenas para os valores das variáveis da DL. Nesse sentido, a definição de identidade muda. Na verdade, a identidade torna-se um caso especial de igualdade, uma vez que nem toda igualdade é uma identidade.

Sinal de identidade

A notação de igualdade pressupõe a presença de um sinal de igual “=”, do qual alguns números ou expressões estão localizados à direita e à esquerda. O sinal de identidade se parece com três linhas paralelas “≡”. Também é chamado de sinal de igual idêntico.

Normalmente, escrever uma identidade não é diferente de escrever uma igualdade comum. O sinal de identidade pode ser usado para enfatizar que não se trata de simples igualdade, mas de identidade.

Exemplos de identidades

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1

Igualdades Numéricas 2 ≡ 2 e - 3 ≡ - 3 são exemplos de identidades. De acordo com a definição dada acima, qualquer igualdade numérica verdadeira é, por definição, uma identidade, e as igualdades dadas são verdadeiras. Eles também podem ser escritos da seguinte forma 2 ≡ 2 e - 3 ≡ - 3 .

Exemplo 2

As identidades podem conter não apenas números, mas também variáveis.

Exemplo 3

Vamos considerar a igualdade 3 (x + 1) = 3 x + 3. Esta igualdade é verdadeira para qualquer valor da variável x. Este fato é confirmado pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Isso significa que a igualdade dada é uma identidade.

Exemplo 4

Vamos pegar a identidade y · (x − 1) ≡ (x − 1) · x: x · y 2: y . Consideremos a faixa de valores permitidos das variáveis x e y. Estes são quaisquer números, exceto zero.

Exemplo 5

Tome as igualdades x + 1 = x − 1, a + 2 b = b + 2 a E | x | =x. Existem vários valores de variáveis para os quais essas igualdades não são verdadeiras. Por exemplo, quando x = 2 igualdade x + 1 = x - 1 se transforma em falsa igualdade 2 + 1 = 2 − 1 . E em geral, igualdade x + 1 = x - 1 não é alcançado para nenhum valor da variável x.

No segundo caso a igualdade uma + 2 b = b + 2 uma false em qualquer caso em que as variáveis a e b tenham valores diferentes. Vamos levar uma = 0 E b = 1 e obtemos uma igualdade incorreta 0 + 2 1 = 1 + 2 0.

Igualdade em que | x |- o módulo da variável x também não é uma identidade, pois não é verdadeiro para valores negativos de x.

Isso significa que as igualdades dadas não são identidades.

Exemplo 6

Em matemática, lidamos constantemente com identidades. Ao registrar ações realizadas com números, trabalhamos com identidades. Identidades são registros de propriedades de poderes, propriedades de raízes e outras.

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Identidade

uma relação entre objetos (reais ou abstratos), que nos permite falar deles como indistinguíveis uns dos outros, em algum conjunto de características (por exemplo, propriedades). Na realidade, todos os objetos (coisas) geralmente diferem uns dos outros em algumas características. Isto não exclui o facto de também terem características comuns. No processo de cognição, identificamos coisas individuais em suas características gerais, combinamos-as em conjuntos de acordo com essas características e formamos conceitos sobre elas com base na abstração da identificação (ver: Abstração). Objetos que são combinados em conjuntos de acordo com algumas propriedades que têm em comum deixam de diferir entre si, pois no processo dessa unificação somos abstraídos de suas diferenças. Em outras palavras, eles se tornam indistinguíveis, idênticos nessas propriedades. Se todas as características de dois objetos aeb fossem idênticas, os objetos se transformariam no mesmo objeto. Mas isso não acontece, porque no processo de cognição identificamos objetos que diferem uns dos outros não em todas as características, mas apenas em algumas. Sem estabelecer identidades e diferenças entre objetos, nenhum conhecimento do mundo que nos rodeia, nenhuma orientação no ambiente que nos rodeia é possível.

Pela primeira vez, na formulação mais geral e idealizada, o conceito de teoria dos dois objetos foi dado por G. W. Leibniz. A lei de Leibniz pode ser declarada da seguinte forma: "x = y se e somente se x tiver todas as propriedades que y possui, e y tiver todas as propriedades que x possui." Em outras palavras, um objeto x pode ser identificado com um objeto y quando absolutamente todas as suas propriedades são iguais. O conceito de T. é amplamente utilizado em várias ciências: matemática, lógica e ciências naturais. Contudo, em todos os casos

sua aplicação, a identidade dos objetos em estudo é determinada não por absolutamente todas as características gerais, mas apenas por algumas, que estão relacionadas aos objetivos de seu estudo, ao contexto da teoria científica dentro da qual esses objetos são estudados.

Dicionário de lógica. - M.: Tumanit, ed. Centro VLADOS. A.A.Ivin, A.L.Nikiforov. 1997 .

Sinônimos:

Veja o que é “identidade” em outros dicionários:

Identidade- Identidade ♦ Identité Coincidência, propriedade de ser igual. Igual a quê? O mesmo que o mesmo, caso contrário não será mais identidade. Assim, identidade é, antes de tudo, a relação de si consigo mesmo (minha identidade sou eu mesmo) ou... Dicionário Filosófico de Sponville

Um conceito que expressa o caso limite de igualdade dos objetos, quando não apenas todas as propriedades genéricas, mas também todas as suas propriedades individuais coincidem. A coincidência de propriedades genéricas (semelhança), de modo geral, não limita o número de equacionados... ... Enciclopédia Filosófica

Cm … Dicionário de sinônimo

A relação entre objetos (objetos da realidade, percepção, pensamento) considerados como um só; caso limite de relação de igualdade. Em matemática, uma identidade é uma equação satisfeita de forma idêntica, ou seja, válida para... ... Grande Dicionário Enciclopédico

IDENTIDADE, a e IDENTIDADE, a, cf. 1. Semelhança completa, coincidência. T. visualizações. 2. (identidade). Em matemática: uma igualdade válida para quaisquer valores numéricos das quantidades nela incluídas. | adj. idêntico, aya, oe e idêntico, aya, oh (para 1... ... Dicionário Explicativo de Ozhegov

identidade- IDENTIDADE é um conceito geralmente representado em linguagem natural na forma "Eu (sou) igual a b, ou "a é idêntico a b", que pode ser simbolizado como "a = b" (tal afirmação é geralmente chamada um T. absoluto), ou na forma... ... Enciclopédia de Epistemologia e Filosofia da Ciência

identidade- (identidade incorreta) e identidade ultrapassada (preservada na fala de matemáticos, físicos)... Dicionário de dificuldades de pronúncia e ênfase na língua russa moderna

E DISTINÇÃO são duas categorias inter-relacionadas de filosofia e lógica. Na definição dos conceitos de T. e R., são utilizados dois princípios fundamentais: o princípio da individuação e o princípio de T. indistinguível. De acordo com o princípio da individuação, que foi significativamente desenvolvido... História da Filosofia: Enciclopédia

Inglês identidade; Alemão Identidade. 1. Em matemática, uma equação válida para todos os valores válidos dos argumentos. 2. O caso limite de igualdade de objetos, quando não apenas todas as propriedades genéricas, mas também todas as suas propriedades individuais coincidem. Antinazi.… … Enciclopédia de Sociologia

- (designação ≡) (identidade, símbolo ≡) Uma equação que é verdadeira para quaisquer valores das variáveis incluídas nela. Assim, z ≡ x + y significa que z é sempre a soma de x e y. Muitos economistas são por vezes inconsistentes e mesmo assim usam o sinal habitual... Dicionário econômico

identidade- identidade, ID de identificação pessoal - [] Tópicos proteção de informações Sinônimos identidade, identificação pessoalID EN identidadeID ... Guia do Tradutor Técnico

Livros

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Diferença e identidade na ontologia grega e medieval, R. A. Loshakov. A monografia examina as principais questões da ontologia grega (aristotélica) e medieval à luz da compreensão do ser como diferença. Isso demonstra a derivada, secundária,...