Junto com a conexão que descobrimos na região complexa entre funções trigonométricas e exponenciais (fórmulas de Euler)
no domínio complexo existe uma conexão muito simples entre funções trigonométricas e hiperbólicas.
Lembre-se que, de acordo com a definição:
Se na identidade (3) fizermos uma substituição por então no lado direito, obteremos a mesma expressão que está no lado direito da identidade, da qual segue a igualdade dos lados esquerdos. O mesmo vale para as identidades (4) e (2).
Ao dividir ambas as partes da identidade (6) nas partes correspondentes da identidade (5) e, inversamente, (5) por (6), obtemos:
Uma substituição semelhante nas identidades (1) e (2) e comparação com as identidades (3) e (4) dá:
Finalmente, a partir das identidades (9) e (10) encontramos:
Se nas identidades (5)-(12) colocarmos onde x é um número real, ou seja, considerarmos o argumento como puramente imaginário, então obteremos mais oito identidades entre funções trigonométricas de um argumento puramente imaginário e as funções hiperbólicas correspondentes do argumento real, bem como entre funções hiperbólicas de um argumento puramente imaginário e as funções trigonométricas correspondentes do argumento real:
As relações resultantes permitem passar das funções trigonométricas às hiperbólicas e das
funções hiperbólicas para trigonométricas com a substituição do argumento imaginário por um real. Eles podem ser formulados como a seguinte regra:
Para passar das funções trigonométricas do argumento imaginário para as hiperbólicas ou, inversamente, das funções hiperbólicas do argumento imaginário para as trigonométricas, a unidade imaginária do seno e da tangente deve ser retirada do sinal da função, e para o cosseno deve ser descartado completamente.
A ligação estabelecida é notável, em particular, porque nos permite obter todas as relações entre funções hiperbólicas a partir das relações conhecidas entre funções trigonométricas, substituindo estas últimas por funções hiperbólicas
Vamos mostrar como é. está sendo feito.
Tomemos por exemplo a identidade trigonométrica básica
e coloque onde x é um número real; Nós temos:
Se nesta identidade substituirmos seno e cosseno por seno e cosseno hiperbólico de acordo com as fórmulas, então obtemos ou e esta é a identidade principal entre anteriormente derivada de uma maneira diferente.
De maneira semelhante, você pode derivar todas as outras fórmulas, incluindo fórmulas para funções hiperbólicas de soma e diferença de argumentos, argumentos duplos e meios, etc., obtendo assim “trigonometria hiperbólica” da trigonometria comum.
, página 611 Funções básicas de uma variável complexa
Lembremos a definição de um expoente complexo –. Então
Expansão da série Maclaurin. O raio de convergência desta série é +∞, o que significa que a exponencial complexa é analítica em todo o plano complexo e
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
A primeira igualdade aqui decorre, por exemplo, do teorema da diferenciação termo a termo de uma série de potências.
11.1 Funções trigonométricas e hiperbólicas
Seno de uma variável complexa função chamada
Cosseno de uma variável complexa existe uma função
Seno hiperbólico de uma variável complexaé definido assim:
Cosseno hiperbólico de uma variável complexa- esta é uma função
Observemos algumas propriedades das funções recém-introduzidas.
A. Se x∈ ℝ, então cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.
B. Existe a seguinte conexão entre funções trigonométricas e hiperbólicas:
cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.
B. Identidades trigonométricas e hiperbólicas básicas:
cos 2 z+sen 2 z=1; corr 2 z-sh 2 z=1.
Prova da identidade hiperbólica principal.
A identidade trigonométrica principal segue da identidade hiperbólica principal quando se leva em conta a conexão entre funções trigonométricas e hiperbólicas (ver propriedade B)
G Fórmulas de adição:
Em particular,
D. Para calcular as derivadas de funções trigonométricas e hiperbólicas, deve-se aplicar o teorema da diferenciação termo a termo de uma série de potências. Nós temos:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.
E. As funções cos z, ch z são pares e as funções sin z, sin z são ímpares.
J. (Frequência) A função e z é periódica com período 2π i. As funções cos z, sin z são periódicas com período de 2π, e as funções ch z, sin z são periódicas com período de 2πi. Além disso,
Aplicando as fórmulas de soma, obtemos
Z. Expansão em partes reais e imaginárias:
Se uma função analítica de valor único f(z) mapeia bijetivamente um domínio D em um domínio G, então D é chamado de domínio univalente.
E. Região D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Prova. Da relação (5) segue-se que o mapeamento exp:D k → ℂ é injetivo. Seja w qualquer número complexo diferente de zero. Então, resolvendo as equações e x =|w| e e iy =w/|w| com variáveis reais x e y (y é escolhido no meio intervalo); às vezes levado em consideração... ... Dicionário Enciclopédico F.A. Brockhaus e I.A. Efrom
Funções inversas às funções hiperbólicas (Ver funções hiperbólicas) sh x, ch x, th x; eles são expressos por fórmulas (leia-se: área seno hiperbólica, área cosseno hiperbólica, área tangente... ... Grande Enciclopédia Soviética
Funções inversas a hiperbólicas. funções; expresso por fórmulas... Ciência natural. dicionário enciclopédico
Funções hiperbólicas inversas são definidas como funções inversas de funções hiperbólicas. Essas funções determinam a área do setor da hipérbole unitária x2 − y2 = 1 da mesma forma que as funções trigonométricas inversas determinam o comprimento... ... Wikipedia
Livros
- Funções hiperbólicas, Yanpolsky A.R.. O livro descreve as propriedades das funções hiperbólicas e hiperbólicas inversas e fornece relações entre elas e outras funções elementares. Aplicações de funções hiperbólicas a...
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS— O seno hiperbólico (sh x) e o cosseno (сh x) são definidos pelas seguintes igualdades:
A tangente hiperbólica e a cotangente são definidas por analogia com a tangente trigonométrica e a cotangente:
A secante hiperbólica e a cossecante são definidas de forma semelhante:
As seguintes fórmulas se aplicam:
As propriedades das funções hiperbólicas são em muitos aspectos semelhantes às de (ver). As equações x=cos t, y=sin t definem o círculo x²+y² = 1; as equações x=сh t, y=sh t definem a hipérbole x² - y²=1. Assim como as funções trigonométricas são determinadas a partir de um círculo de raio unitário, as funções hiperbólicas são determinadas a partir de uma hipérbole isósceles x² - y²=1. O argumento t é a área dupla do triângulo curvilíneo sombreado OME (Fig. 48), da mesma forma que para funções circulares (trigonométricas) o argumento t é numericamente igual à área dupla do triângulo curvilíneo OKE (Fig. 49):
para um círculo
para hipérbole
Os teoremas de adição para funções hiperbólicas são semelhantes aos teoremas de adição para funções trigonométricas:
Essas analogias são facilmente vistas se tomarmos a variável complexa r como argumento x. As funções hiperbólicas estão relacionadas às funções trigonométricas pelas seguintes fórmulas: sh x = - i sin ix, cosh x = cos ix, onde i é um dos valores da raiz √-1. Funções hiperbólicas sh x, assim como ch x: podem assumir quaisquer valores grandes (portanto, naturalmente, unidades grandes) em contraste com as funções trigonométricas sin x, cos x, que para valores reais não podem ser maiores que um em valor absoluto.
As funções hiperbólicas desempenham um papel na geometria de Lobachevsky (ver), são utilizadas no estudo da resistência dos materiais, na engenharia elétrica e em outros ramos do conhecimento. Também existem notações para funções hiperbólicas na literatura, como sinh x; сosh x; valeu x.
