Sot në klasë do të shikojmë renditje strikte Dhe përcaktim i rreptë i kufirit të një funksioni, dhe gjithashtu të mësojnë të zgjidhin problemet përkatëse të një natyre teorike. Artikulli është menduar kryesisht për studentët e vitit të parë të shkencave natyrore dhe specialiteteve inxhinierike, të cilët filluan të studiojnë teorinë e analizës matematikore dhe hasën vështirësi në të kuptuarit e këtij seksioni të matematikës së lartë. Përveç kësaj, materiali është mjaft i aksesueshëm për nxënësit e shkollave të mesme.
Gjatë viteve të ekzistencës së faqes, kam marrë një duzinë letrash me përafërsisht këtë përmbajtje: "Nuk e kuptoj mirë analizën matematikore, çfarë të bëj?", "Nuk e kuptoj fare matematikën, jam duke menduar të lë studimet, etj. Dhe vërtet, është matani ai që e hollon shpesh grupin studentor pas seancës së parë. Pse është ky rasti? Sepse tema është e paimagjinueshme komplekse? Aspak! Teoria e analizës matematikore nuk është aq e vështirë sa është e veçantë. Dhe ju duhet ta pranoni dhe ta doni atë për atë që është =)
Le të fillojmë me rastin më të vështirë. Gjëja e parë dhe më e rëndësishme është që ju të mos hiqni dorë nga studimet. Kuptoni saktë, gjithmonë mund të hiqni dorë;-) Sigurisht, nëse pas një ose dy viti ndiheni të sëmurë nga specialiteti juaj i zgjedhur, atëherë po, duhet të mendoni për këtë (dhe mos u zemëro!) për ndryshimin e aktivitetit. Por tani për tani ia vlen të vazhdohet. Dhe ju lutemi harroni frazën "Unë nuk kuptoj asgjë" - nuk ndodh që ju të mos kuptoni asgjë.
Çfarë duhet të bëni nëse teoria është e keqe? Kjo, nga rruga, vlen jo vetëm për analizën matematikore. Nëse teoria është e keqe, atëherë së pari ju duhet të përqendroheni SERIOZË në praktikë. Në këtë rast, dy detyra strategjike zgjidhen menjëherë:
– Së pari, një pjesë e konsiderueshme e njohurive teorike u shfaqën përmes praktikës. Dhe kjo është arsyeja pse shumë njerëz e kuptojnë teorinë përmes ... - kjo është e drejtë! Jo, jo, nuk po mendon për këtë =)
– Dhe, së dyti, aftësitë praktike me shumë mundësi do t'ju "tërheqin" në provim, edhe nëse... por le të mos emocionohemi kaq shumë! Gjithçka është reale dhe gjithçka mund të "ngritet" në një kohë mjaft të shkurtër. Analiza matematikore është seksioni im i preferuar i matematikës së lartë, dhe për këtë arsye unë thjesht nuk mund të mos ju jap një dorë ndihmëse:
Në fillim të semestrit të parë, zakonisht mbulohen kufijtë e sekuencës dhe kufijtë e funksionit. Nuk e kuptoni se çfarë janë këto dhe nuk dini si t'i zgjidhni ato? Filloni me artikullin Kufijtë e funksionit, në të cilin vetë koncepti shqyrtohet "në gishta" dhe analizohen shembujt më të thjeshtë. Më pas, punoni me mësime të tjera mbi këtë temë, duke përfshirë një mësim rreth brenda sekuencave, mbi të cilin në fakt kam formuluar tashmë një përkufizim të rreptë.
Cilat simbole përveç shenjave të pabarazisë dhe modulit dini?
– një shkop i gjatë vertikal lexon kështu: "ashtu ajo", "ashtu ajo", "ashtu ajo" ose "ashtu ajo", në rastin tonë, padyshim, ne po flasim për një numër - pra "të tillë";
– për të gjitha “en” më të mëdha se ;
– shenja e modulit nënkupton distancën, d.m.th. kjo hyrje na tregon se distanca midis vlerave është më e vogël se epsilon.
Epo, a është e vështirë vdekjeprurëse? =)
Pas zotërimit të praktikës, mezi pres t'ju shoh në paragrafin tjetër:
Dhe në fakt, le të mendojmë pak - si të formulojmë një përkufizim të rreptë të sekuencës? ...Gjëja e parë që të vjen ndërmend në botë mësim praktik: "kufiri i një sekuence është numri me të cilin anëtarët e sekuencës afrohen pafundësisht".
Mirë, le ta shkruajmë pasues :
Nuk është e vështirë ta kuptosh këtë pasues 
afrohen pafundësisht afër numrit –1, dhe termave me numër çift 
- në "një".
Apo ndoshta ka dy kufij? Por atëherë pse asnjë sekuencë nuk mund të ketë dhjetë apo njëzet prej tyre? Ju mund të shkoni larg në këtë mënyrë. Në këtë drejtim, është logjike të supozohet se nëse një sekuencë ka një kufi, atëherë ajo është unike.
shënim : sekuenca nuk ka kufi, por prej saj mund të dallohen dy nënsekuenca (shih më lart), secila prej të cilave ka kufirin e vet.
Kështu, përkufizimi i mësipërm rezulton të jetë i paqëndrueshëm. Po, funksionon për raste si (të cilën nuk e përdora si duhet në shpjegimet e thjeshtuara të shembujve praktikë), por tani duhet të gjejmë një përkufizim të rreptë.
Përpjekja e dytë: “kufiri i një sekuence është numri të cilit i afrohen TË GJITHË anëtarët e sekuencës, me përjashtim ndoshta të tyre final sasive." Kjo është më afër të vërtetës, por ende jo plotësisht e saktë. Kështu, për shembull, sekuenca 
gjysma e termave nuk i afrohen fare zeros - ato janë thjesht të barabarta me të =) Nga rruga, "drita ndezëse" në përgjithësi merr dy vlera fikse.
Formulimi nuk është i vështirë për t'u sqaruar, por më pas lind një pyetje tjetër: si të shkruhet përkufizimi në simbole matematikore? Bota shkencore luftoi me këtë problem për një kohë të gjatë derisa situata u zgjidh maestro i famshëm, e cila, në thelb, zyrtarizoi analizën matematikore klasike me gjithë ashpërsinë e saj. Cauchy sugjeroi operacion rrethinat , e cila e avancoi ndjeshëm teorinë.
Konsideroni një pikë dhe atë arbitrare- rrethinat:
Vlera e "epsilon" është gjithmonë pozitive, dhe, për më tepër, ne kemi të drejtë ta zgjedhim vetë. Le të supozojmë se në këtë lagje ka shumë anëtarë (jo domosdoshmërisht të gjitha) disa sekuencë. Si të shënohet fakti që për shembull termi i dhjetë është në lagje? Le të jetë në anën e djathtë të saj. Atëherë distanca ndërmjet pikave dhe duhet të jetë më e vogël se “epsilon”: . Sidoqoftë, nëse "x e dhjeta" ndodhet në të majtë të pikës "a", atëherë diferenca do të jetë negative, dhe për këtë arsye shenja duhet t'i shtohet asaj. modul: .
Përkufizimi: një numër quhet kufiri i një sekuence nëse për çdo rrethinat e saj (i parazgjedhur) ekziston një numër natyror i tillë që TE GJITHA anëtarët e sekuencës me numra më të lartë do të jenë brenda lagjes:
Ose shkurt: nëse
Me fjalë të tjera, sado e vogël të marrim vlerën "epsilon", herët a vonë "bishti i pafund" i sekuencës do të jetë PLOTËSISHT në këtë lagje.
Për shembull, "bishti i pafund" i sekuencës do të hyjë PLOTËSISHT në çdo lagje të vogël arbitrarisht të pikës . Pra, kjo vlerë është kufiri i sekuencës sipas përkufizimit. Më lejoni t'ju kujtoj se një sekuencë kufiri i së cilës është zero quhet pafundësisht i vogël.
Duhet të theksohet se për një sekuencë nuk është më e mundur të thuhet "bisht i pafund" do të hyjë“- anëtarët me numra tek janë në fakt të barabartë me zero dhe “mos shko askund” =) Prandaj në përkufizim përdoret folja “do të shfaqet”. Dhe, sigurisht, anëtarët e një sekuence si kjo gjithashtu "nuk shkojnë askund". Nga rruga, kontrolloni nëse numri është kufiri i tij.
Tani do të tregojmë se sekuenca nuk ka kufi. Konsideroni, për shembull, një lagje të pikës . Është absolutisht e qartë se nuk ka një numër të tillë pas të cilit TË GJITHA termat do të përfundojnë në një lagje të caktuar - termat tek gjithmonë do të "kalojnë" në "minus një". Për një arsye të ngjashme, nuk ka kufi në pikë.
Le ta konsolidojmë materialin me praktikën:
Shembulli 1
Vërtetoni se kufiri i sekuencës është zero. Specifikoni numrin pas të cilit të gjithë anëtarët e sekuencës garantohen të jenë brenda çdo lagjeje arbitrare të vogël të pikës.
shënim : Për shumë sekuenca, numri natyror i kërkuar varet nga vlera - pra shënimi .
Zgjidhje: konsideroni arbitrare A ka ndonjë numër – i tillë që të gjithë anëtarët me numër më të lartë do të jenë brenda kësaj lagje:
Për të treguar ekzistencën e numrit të kërkuar, ne e shprehim atë përmes .
Meqenëse për çdo vlerë të "en", shenja e modulit mund të hiqet:
Ne përdorim veprime "shkollë" me pabarazi që i përsërita në klasë Pabarazitë lineare Dhe Funksioni Domain. Në këtë rast, një rrethanë e rëndësishme është se "epsilon" dhe "en" janë pozitive:
Meqenëse po flasim për numra natyrorë në të majtë, dhe ana e djathtë është përgjithësisht e pjesshme, ajo duhet të rrumbullakohet:
shënim : ndonjëherë një njësi shtohet në të djathtë për të qenë në anën e sigurt, por në realitet kjo është e tepërt. Duke folur relativisht, nëse e dobësojmë rezultatin duke rrumbullakosur poshtë, atëherë numri më i afërt i përshtatshëm ("tre") do të plotësojë ende pabarazinë origjinale.
Tani shikojmë pabarazinë dhe kujtojmë atë që kemi konsideruar fillimisht arbitrare-lagje, d.m.th. "epsilon" mund të jetë i barabartë me kushdo një numër pozitiv.
konkluzioni: për çdo lagje arbitrare të vogël të një pike, u gjet vlera 
. Kështu, një numër është kufiri i një sekuence sipas përkufizimit. Q.E.D.
Nga rruga, nga rezultati i marrë 
një model natyror është qartë i dukshëm: sa më i vogël të jetë lagja, aq më i madh është numri, pas së cilës TË GJITHË anëtarët e sekuencës do të jenë në këtë lagje. Por sado i vogël të jetë "epsiloni", do të ketë gjithmonë një "bisht të pafund" brenda dhe jashtë - edhe nëse është i madh, megjithatë. final numri i anëtarëve.
Si janë përshtypjet tuaja? =) Jam dakord që është pak e çuditshme. Por rreptësisht! Ju lutemi rilexoni dhe mendoni përsëri për gjithçka.
Le të shohim një shembull të ngjashëm dhe të njihemi me teknika të tjera teknike:
Shembulli 2
Zgjidhje: sipas përkufizimit të një sekuence është e nevojshme të vërtetohet se (thuaj me zë!!!).
Le të shqyrtojmë arbitrare- fqinjësia e pikës dhe kontrolli, a ekziston numër natyror - i tillë që për të gjithë numrat më të mëdhenj vlen pabarazia e mëposhtme: 
Për të treguar ekzistencën e një , ju duhet të shprehni "en" përmes "epsilon". Ne thjeshtojmë shprehjen nën shenjën e modulit: 
Moduli shkatërron shenjën minus: 
Emëruesi është pozitiv për çdo "en", prandaj, shkopinjtë mund të hiqen:
Përzier: 
Tani duhet të nxjerrim rrënjën katrore, por kapja është se për disa "epsilon" ana e djathtë do të jetë negative. Për të shmangur këtë telash le të forcohemi pabarazia sipas modulit: 
Pse mund të bëhet kjo? Nëse, duke folur relativisht, rezulton se , atëherë kushti gjithashtu do të plotësohet. Moduli mund vetëm të rritet numri i kërkuar, dhe kjo do të na përshtatet edhe neve! Përafërsisht, nëse i qindëshi është i përshtatshëm, atëherë i përshtatet edhe dyqindëshi! Sipas përkufizimit, ju duhet të tregoni vetë fakti i ekzistencës së numrit(të paktën disa), pas së cilës të gjithë anëtarët e sekuencës do të jenë në lagjen -. Nga rruga, kjo është arsyeja pse ne nuk kemi frikë nga rrumbullakimi përfundimtar i anës së djathtë lart.
Nxjerrja e rrënjës: 
Dhe rrethoni rezultatin: 
konkluzioni: sepse vlera "epsilon" u zgjodh në mënyrë arbitrare, më pas për çdo lagje arbitrare të vogël të pikës u gjet vlera 
, i tillë që për të gjithë numrat më të mëdhenj të jetë pabarazia 
. Kështu, 
a-paror. Q.E.D.
Unë këshilloj sidomos të kuptuarit e forcimit dhe dobësimit të pabarazive është një teknikë tipike dhe shumë e zakonshme në analizën matematikore. E vetmja gjë që duhet të monitoroni është korrektësia e këtij apo atij veprimi. Kështu, për shembull, pabarazia 
në asnjë rrethanë nuk është e mundur liroj, duke zbritur, të themi, një: 
Përsëri, me kusht: nëse numri përshtatet saktësisht, atëherë ai i mëparshmi mund të mos përshtatet më.
Shembulli i mëposhtëm për një zgjidhje të pavarur:
Shembulli 3
Duke përdorur përkufizimin e një sekuence, provoni se 
Një zgjidhje dhe përgjigje e shkurtër në fund të mësimit.
Nëse sekuenca pafundësisht i madh, atëherë përkufizimi i një kufiri formulohet në mënyrë të ngjashme: një pikë quhet kufi i një sekuence nëse për ndonjë, aq i madh sa të duash numër, ka një numër të tillë që për të gjithë numrat më të mëdhenj, pabarazia do të plotësohet. Numri thirret afërsia e pikës "plus pafundësi":
Me fjalë të tjera, pavarësisht se sa e madhe është vlera që marrim, "bishti i pafund" i sekuencës do të shkojë domosdoshmërisht në lagjen - të pikës, duke lënë vetëm një numër të kufizuar termash në të majtë.
Shembull standard:
Dhe stenografi: nëse
Për rastin, shkruani vetë përkufizimin. Versioni i saktë është në fund të mësimit.
Pasi të keni marrë kokën rreth shembujve praktikë dhe të keni kuptuar përkufizimin e kufirit të një sekuence, mund t'i drejtoheni literaturës për llogaritjen dhe/ose fletoren tuaj të leksioneve. Unë rekomandoj shkarkimin e vëllimit 1 të Bohan (më e thjeshtë - për studentët me korrespondencë) dhe Fichtenholtz (më hollësisht dhe në detaje). Midis autorëve të tjerë, unë rekomandoj Piskunov, kursi i të cilit synohet në universitetet teknike.
Mundohuni të studioni me ndërgjegje teoremat që kanë të bëjnë me kufirin e sekuencës, provat e tyre, pasojat. Në fillim, teoria mund të duket "e turbullt", por kjo është normale - thjesht duhet të mësoheni me të. Dhe shumë do të marrin edhe një shije për të!
Përkufizim rigoroz i kufirit të një funksioni
Le të fillojmë me të njëjtën gjë - si ta formulojmë këtë koncept? Përkufizimi verbal i kufirit të një funksioni është formuluar shumë më thjeshtë: "një numër është kufiri i një funksioni nëse me "x" priret të (si majtas ashtu edhe djathtas), vlerat përkatëse të funksionit priren në » (shiko vizatimin). Gjithçka duket se është normale, por fjalët janë fjalë, kuptimi është kuptimi, një ikonë është një ikonë dhe nuk ka mjaft shënime të rrepta matematikore. Dhe në paragrafin e dytë do të njihemi me dy qasje për zgjidhjen e kësaj çështje.
Lëreni funksionin të përcaktohet në një interval të caktuar, me përjashtim të mundshëm të pikës. Në literaturën arsimore përgjithësisht pranohet se funksioni aty Jo përcaktuar: 
Kjo zgjedhje thekson thelbi i kufirit të një funksioni: "x" pafundësisht afër qasjet dhe vlerat përkatëse të funksionit janë pafundësisht afër te . Me fjalë të tjera, koncepti i një kufiri nuk nënkupton "qasje të saktë" ndaj pikave, por domethënë përafrim pafundësisht i afërt
, nuk ka rëndësi nëse funksioni është i përcaktuar në pikë apo jo.
Përkufizimi i parë i kufirit të një funksioni, jo çuditërisht, është formuluar duke përdorur dy sekuenca. Së pari, konceptet janë të lidhura, dhe së dyti, kufijtë e funksioneve zakonisht studiohen pas kufijve të sekuencave. 
Konsideroni sekuencën pikë(jo në vizatim) , që i përket intervalit dhe i ndryshëm nga , e cila konvergon
te . Pastaj vlerat përkatëse të funksionit formojnë gjithashtu një sekuencë numerike, anëtarët e së cilës ndodhen në boshtin e ordinatave. për çdo Kufiri i një funksioni sipas Heine 
sekuenca pikash(që i përkasin dhe i ndryshëm nga)
, e cila konvergon në pikën, sekuenca përkatëse e vlerave të funksionit konvergjon në.
Eduard Heine është një matematikan gjerman. ...Dhe nuk ka nevojë të mendosh diçka të tillë, ka vetëm një homoseksual në Evropë - Gay-Lussac =) U krijua përkufizimi i dytë i kufirit... po, po, keni të drejtë. Por së pari, le të kuptojmë dizajnin e tij. Konsideroni një fqinjësi arbitrare të pikës(lagjja "e zezë") . Bazuar në paragrafin e mëparshëm, hyrja do të thotë se disa vlera
funksioni ndodhet brenda lagjes “epsilon”. Tani gjejmë -lagje që i përgjigjet -lagjes së dhënë(vizatoni mendërisht vija me pika të zeza nga e majta në të djathtë dhe më pas nga lart poshtë) . Vini re se vlera është zgjedhur përgjatë gjatësisë së segmentit më të vogël, në këtë rast - përgjatë gjatësisë së segmentit më të shkurtër të majtë. Për më tepër, "mjedra" - lagja e një pike mund të zvogëlohet, pasi në përkufizimin e mëposhtëm vetë fakti i ekzistencës është i rëndësishëm
kjo lagje. Dhe, në mënyrë të ngjashme, shënimi do të thotë se një vlerë është brenda lagjes "delta". Kufiri i funksionit Cauchy për çdo : një numër quhet kufiri i një funksioni në një pikë nëse të parazgjedhura lagje, (e vogel sa te duash) ekziston -lagja e pikës, E TIJ (i perket) të përfshira në këtë fushë: (shigjeta të kuqe)– KËshtu që MENJËHERË vlerat përkatëse të funksionit janë të garantuara për të hyrë në -lagje: (shigjeta blu).
Më duhet t'ju paralajmëroj se për hir të qartësisë, kam improvizuar pak, kështu që mos e teproni =)
Hyrja e shkurtër: , nëse
Cili është thelbi i përkufizimit? Në mënyrë figurative, duke ulur pafundësisht lagjen, ne i “shoqërojmë” vlerat e funksionit deri në kufirin e tyre, duke mos u lënë atyre alternativë për t'iu afruar diku tjetër. Mjaft e pazakontë, por përsëri e rreptë! Për të kuptuar plotësisht idenë, rilexoni formulimin përsëri.
! Kujdes: nëse ju duhet vetëm të formuloni Përkufizimi i Heine ose thjesht Përkufizim cauchy ju lutem mos harroni domethënëse komente paraprake: "Konsideroni një funksion që përcaktohet në një interval të caktuar, me përjashtim të mundshëm të një pike". Këtë e kam thënë një herë në fillim dhe nuk e kam përsëritur çdo herë.
Sipas teoremës përkatëse të analizës matematikore, përkufizimet Heine dhe Cauchy janë ekuivalente, por opsioni i dytë është më i famshmi. (ende do!), i cili quhet edhe "kufiri i gjuhës":
Shembulli 4
Duke përdorur përkufizimin e kufirit, provoni këtë 
Zgjidhje: funksioni përcaktohet në të gjithë vijën numerike përveç pikës. Duke përdorur përkufizimin, vërtetojmë ekzistencën e një kufiri në një pikë të caktuar.
shënim : vlera e lagjes “delta” varet nga “epsilon”, pra edhe emërtimi
Le të shqyrtojmë arbitrare-rrethina. Detyra është të përdoret kjo vlerë për të kontrolluar nëse a ekziston-rrethina, -lagja e pikës,, e cila nga pabarazia 
pason pabarazia 
.
Duke supozuar se, ne transformojmë pabarazinë e fundit: 
(zgjeroi trinomin kuadratik)
Përkufizimi i kufijve të sekuencës dhe funksionit, vetitë e kufijve, kufijtë e parë dhe të dytë të shquar, shembuj.
Numër konstant A thirrur limit sekuencat(x n), nëse për çdo numër pozitiv arbitrarisht të vogël ε > 0 ekziston një numër N i tillë që të gjitha vlerat x n, për të cilat n>N, plotësojnë pabarazinë
Shkruajeni si më poshtë: ose x n → a.
Pabarazia (6.1) është ekuivalente me pabarazinë e dyfishtë
a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, duke u nisur nga ndonjë numër n>N, shtrihen brenda intervalit (a-ε , a+ε), d.m.th. bien në çdo ε-lagje të vogël të pikës A.
Një sekuencë që ka një kufi quhet konvergjente, ndryshe - divergjent.
Koncepti i një kufiri funksioni është një përgjithësim i konceptit të një kufiri sekuence, pasi kufiri i një sekuence mund të konsiderohet si kufiri i një funksioni x n = f(n) i një argumenti numër të plotë n.
Le të jepet funksioni f(x) dhe le të jetë a - pikë kufitare domeni i përkufizimit të këtij funksioni D(f), d.m.th. një pikë e tillë, çdo fqinjësi e së cilës përmban pika të bashkësisë D(f) të ndryshme nga a. Pika a mund ose nuk mund t'i përkasë grupit D(f).
Përkufizimi 1. Numri konstant A quhet limit funksione f(x) në x→ a, nëse për ndonjë sekuencë (x n ) të vlerave të argumentit që synojnë A, sekuencat përkatëse (f(x n)) kanë të njëjtin kufi A.
Ky përkufizim quhet përcaktimi i kufirit të një funksioni sipas Heine, ose " në gjuhën e renditjes”.
Përkufizimi 2. Numri konstant A quhet limit funksione f(x) në x→a, nëse jepet një numër pozitiv arbitrar, arbitrarisht i vogël ε, mund të gjejmë δ të tillë >0 (në varësi të ε) që për të gjithë x, i shtrirë në ε-lagjen e numrit A, d.m.th. Për x, duke kënaqur pabarazinë
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε
Ky përkufizim quhet duke përcaktuar kufirin e një funksioni sipas Cauchy, ose “në gjuhën ε - δ"
Përkufizimet 1 dhe 2 janë ekuivalente. Nëse funksioni f(x) si x → a ka limit, e barabartë me A, kjo shkruhet në formë
Në rast se sekuenca (f(x n)) rritet (ose zvogëlohet) pa kufi për ndonjë metodë të përafrimit x në kufirin tuaj A, atëherë do të themi se funksioni f(x) ka kufi i pafund, dhe shkruani në formën:
Një ndryshore (d.m.th. një sekuencë ose funksion) kufiri i së cilës është zero quhet pafundësisht i vogël.
Quhet një ndryshore, kufiri i së cilës është i barabartë me pafundësinë pafundësisht i madh.
Për të gjetur kufirin në praktikë, përdoren teoremat e mëposhtme.
Teorema 1 . Nëse ekziston çdo kufi
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Koment. Shprehjet e formës 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ janë të pasigurta, për shembull, raporti i dy sasive pafundësisht të vogla ose pafundësisht të mëdha, dhe gjetja e një kufiri të këtij lloji quhet "zbulim i pasigurisë".
Teorema 2.
ato. mund të shkohet në kufirin bazuar në fuqinë me një eksponent konstant, në veçanti, 
Teorema 3.
(6.11)
Ku e» 2.7 - baza e logaritmit natyror. Formulat (6.10) dhe (6.11) quhen kufiri i parë i shquar dhe kufiri i dytë i shquar.
Pasojat e formulës (6.11) përdoren gjithashtu në praktikë:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
në veçanti kufiri,
Nëse x → a dhe në të njëjtën kohë x > a, atëherë shkruani x →a + 0. Nëse, veçanërisht, a = 0, atëherë në vend të simbolit 0+0 shkruani +0. Në mënyrë të ngjashme, nëse x→a dhe në të njëjtën kohë x 
. Funksioni f(x) thirret të vazhdueshme në pikën x 0 nëse kufiri
(6.15)
Kushti (6.15) mund të rishkruhet si:
pra, kalimi në kufi nën shenjën e një funksioni është i mundur nëse ai është i vazhdueshëm në një pikë të caktuar.
Nëse shkelet barazia (6.15), atëherë themi se në x = x o funksionin f(x) Ajo ka boshllëk Konsideroni funksionin y = 1/x. Fusha e përcaktimit të këtij funksioni është bashkësia R, me përjashtim të x = 0. Pika x = 0 është një pikë kufitare e bashkësisë D(f), pasi në çdo fqinjësi të saj, d.m.th. në çdo interval të hapur që përmban pikën 0 ka pika nga D(f), por ajo vetë nuk i përket këtij grupi. Vlera f(x o)= f(0) është e padefinuar, pra në pikën x o = 0 funksioni ka një ndërprerje.
Funksioni f(x) thirret e vazhdueshme në të djathtë në pikën x o nëse kufiri
Dhe e vazhdueshme në të majtë në pikë x o, nëse kufiri
Vazhdimësia e një funksioni në një pikë xoështë e barabartë me vazhdimësinë e saj në këtë pikë si djathtas ashtu edhe majtas.
Në mënyrë që funksioni të jetë i vazhdueshëm në pikë xo, për shembull, në të djathtë, është e nevojshme, së pari, që të ketë një kufi të fundëm, dhe së dyti, që ky kufi të jetë i barabartë me f(x o). Prandaj, nëse të paktën një nga këto dy kushte nuk plotësohet, atëherë funksioni do të ketë një ndërprerje.
1. Nëse kufiri ekziston dhe nuk është i barabartë me f(x o), atëherë thonë se funksionin f(x) në pikën x o ka këputje e llojit të parë, ose kërcim.
2. Nëse kufiri është +∞ ose -∞ ose nuk ekziston, atëherë thonë se në pikë xo funksioni ka një ndërprerje lloji i dytë.
Për shembull, funksioni y = ctg x si x → +0 ka një kufi të barabartë me +∞, që do të thotë se në pikën x=0 ka një ndërprerje të llojit të dytë. Funksioni y = E(x) (pjesë e plotë e x) në pikat me abshisa të tëra ka ndërprerje të llojit të parë, ose kërcime.
Një funksion që është i vazhdueshëm në çdo pikë të intervalit quhet të vazhdueshme V . Një funksion i vazhdueshëm përfaqësohet nga një kurbë solide.
Shumë probleme që lidhen me rritjen e vazhdueshme të disa sasive çojnë në kufirin e dytë të jashtëzakonshëm. Detyra të tilla, për shembull, përfshijnë: rritjen e depozitave sipas ligjit të interesit të përbërë, rritjen e popullsisë së vendit, kalbjen e substancave radioaktive, përhapjen e baktereve etj.
Le të shqyrtojmë shembull i Ya. I. Perelman, duke dhënë një interpretim të numrit e në problemin e interesit të përbërë. Numri e ka një kufi 
. Në bankat e kursimeve, paratë e interesit i shtohen kapitalit fiks çdo vit. Nëse aderimi bëhet më shpesh, atëherë kapitali rritet më shpejt, pasi një sasi më e madhe përfshihet në formimin e interesit. Le të marrim një shembull thjesht teorik, shumë të thjeshtuar. Le të depozitohen 100 mohues në bankë. njësi bazuar në 100% në vit. Nëse paratë e interesit i shtohen kapitalit fiks vetëm pas një viti, atëherë deri në këtë periudhë 100 den. njësi do të kthehet në 200 njësi monetare. Tani le të shohim se në çfarë do të kthehen 100 mohimet. njësitë, nëse paratë e interesit i shtohen kapitalit fiks çdo gjashtë muaj. Pas gjashtë muajsh, 100 den. njësi do të rritet me 100 × 1,5 = 150, dhe pas gjashtë muajsh të tjerë - me 150 × 1,5 = 225 (den. njësi). Nëse aderimi bëhet çdo 1/3 e vitit, atëherë pas një viti 100 den. njësi do të kthehet në 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (den. njësi). Ne do të rrisim kushtet për shtimin e parave të interesit në 0,1 vit, në 0,01 vit, në 0,001 vit, etj. Pastaj nga 100 den. njësi pas një viti do të jetë:
100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. njësi),
100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. njësi),
100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. njësi).
Me një ulje të pakufizuar të kushteve për shtimin e interesit, kapitali i akumuluar nuk rritet pafundësisht, por i afrohet një kufiri të caktuar të barabartë me afërsisht 271. Kapitali i depozituar me 100% në vit nuk mund të rritet më shumë se 2,71 herë, edhe nëse interesi i përllogaritur. i shtoheshin kryeqytetit çdo sekondë për shkak të limitit
Shembulli 3.1. Duke përdorur përkufizimin e kufirit të një sekuence numrash, provoni se sekuenca x n =(n-1)/n ka një kufi të barabartë me 1.
Zgjidhje. Duhet të vërtetojmë se, pavarësisht se çfarë marrim ε > 0, për të ekziston një numër natyror N i tillë që për të gjithë n > N pabarazia |x n -1|< ε
Merrni çdo ε > 0. Meqenëse x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, atëherë për të gjetur N mjafton të zgjidhet pabarazia 1/n<ε. Отсюда n>1/ε dhe, si rrjedhim, N mund të merret si pjesë e plotë e 1/ε N = E(1/ε). Në këtë mënyrë kemi vërtetuar se kufiri .
Shembulli 3.2. Gjeni kufirin e një sekuence të dhënë nga një term i zakonshëm
.
Zgjidhje. Le të zbatojmë kufirin e teoremës së shumës dhe të gjejmë kufirin e secilit term. Si n → ∞, numëruesi dhe emëruesi i çdo termi priren në pafundësi, dhe ne nuk mund të zbatojmë drejtpërdrejt teoremën e kufirit të herësit. Prandaj, së pari ne transformohemi x n, duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin e anëtarit të parë me n 2, dhe e dyta në n. Pastaj, duke zbatuar kufirin e herësit dhe kufirin e teoremës së shumës, gjejmë:
Shembulli 3.3. 
. Gjej .
Këtu kemi përdorur kufirin e teoremës së shkallës: kufiri i një shkalle është i barabartë me shkallën e kufirit të bazës.
Shembulli 3.4. Gjej ( 
).
Zgjidhje. Është e pamundur të zbatohet teorema e kufirit të diferencës, pasi kemi një pasiguri të formës ∞-∞. Le të transformojmë formulën e termit të përgjithshëm:
Shembulli 3.5. Është dhënë funksioni f(x)=2 1/x. Vërtetoni se nuk ka kufi.
Zgjidhje. Le të përdorim përkufizimin 1 të kufirit të një funksioni përmes një sekuence. Le të marrim një sekuencë ( x n ) që konvergohet në 0, d.m.th. Le të tregojmë se vlera f(x n)= sillet ndryshe për sekuenca të ndryshme. Le të jetë x n = 1/n. Natyrisht, atëherë kufiri 
Le të zgjedhim tani si x n një sekuencë me një term të përbashkët x n = -1/n, që gjithashtu priret në zero. 
Prandaj nuk ka kufi.
Shembulli 3.6. Vërtetoni se nuk ka kufi.
Zgjidhje. Le të jetë x 1 , x 2 ,..., x n ,... një sekuencë për të cilën
. Si sillet sekuenca (f(x n)) = (sin x n) për x n të ndryshme → ∞
Nëse x n = p n, atëherë sin x n = mëkat (f n) = 0 për të gjithë n dhe kufiri Nëse
x n =2 p n+ p /2, pastaj sin x n = sin(2 p n+ p /2) = mëkat p /2 = 1 për të gjithë n dhe për këtë arsye kufiri. Pra nuk ekziston.
Janë dhënë formulimet e teoremave kryesore dhe vetitë e sekuencave numerike që kanë një kufi. Përmban një përkufizim të sekuencës dhe kufirit të saj. Janë marrë në konsideratë veprimet aritmetike me sekuenca, vetitë që lidhen me pabarazitë, kriteret e konvergjencës, vetitë e sekuencave infinitimale dhe pafundësisht të mëdha.
përmbajtjaVetitë e kufijve të fundëm të sekuencave
Vetitë themelore
Një pikë a është një kufi i një sekuence nëse dhe vetëm nëse ka jashtë çdo lagjeje të kësaj pike numër i kufizuar i elementeve sekuencat ose grupi bosh.
Nëse numri a nuk është kufiri i sekuencës, atëherë ekziston një fqinjësi e pikës a përtej së cilës ka numër i pafund i elementeve të sekuencës.
Teorema e unicitetit për kufirin e një sekuence numrash. Nëse një sekuencë ka një kufi, atëherë ajo është unike.
Nëse një sekuencë ka një kufi të fundëm, atëherë ai kufizuar.
Nëse secili element i sekuencës e barabartë me të njëjtin numër C: atëherë kjo sekuencë ka një kufi të barabartë me numrin C.
Nëse sekuenca shtoni, hidhni ose ndryshoni m elementët e parë, atëherë kjo nuk do të ndikojë në konvergjencën e tij.
Dëshmitë e vetive themelore jepen në faqe
Vetitë themelore të kufijve të fundëm të sekuencave >>>.
Veprimet aritmetike me kufij
Le të ketë kufij të fundëm të të dy sekuencave dhe . Dhe le të jetë C një konstante, domethënë një numër i dhënë. Pastaj
;
;
;
, Nëse .
Në rastin e një herësi, supozohet se për të gjitha n.
Nese atehere.
Vërtetimet e vetive aritmetike jepen në faqe
Vetitë aritmetike të kufijve të fundëm të sekuencave >>>.
Vetitë që lidhen me pabarazitë
Nëse elementet e një sekuence, duke filluar nga një numër i caktuar, plotësojnë pabarazinë, atëherë kufiri a i kësaj sekuence plotëson edhe pabarazinë.
Nëse elementet e vargut, duke filluar nga një numër i caktuar, i përkasin një intervali (segmenti) të mbyllur, atëherë këtij intervali i përket edhe kufiri a: .
Nëse dhe dhe elementet e sekuencave, duke filluar nga një numër i caktuar, plotësojnë pabarazinë , atëherë .
Nëse dhe, duke filluar nga një numër, , atëherë .
Në veçanti, nëse, duke u nisur nga një numër, , atëherë
nese atehere ;
nese atehere .
Nëse dhe, atëherë.
Lëre të jetë. < b Nese nje , atëherë ekziston një numër natyror N i tillë që për të gjithë n> N
qëndron pabarazia. jepen në faqe
Vërtetimet e vetive që lidhen me pabarazitë
Vetitë e kufijve të sekuencës që lidhen me pabarazitë >>>.
Sekuenca pafundësisht të mëdha dhe pafundësisht të vogla
Sekuencë infiniteminale.
Një sekuencë pafundësisht e vogël është një sekuencë kufiri i së cilës është zero: Shuma dhe diferenca
i një numri të fundëm sekuencash infinitimale është një sekuencë infinite vogël. Produkt i një sekuence të kufizuar
në infinitimale është një sekuencë infinite vogël. Prodhimi i një numri të fundëm
sekuenca infinitimale është një sekuencë infinitimale.
Në mënyrë që një sekuencë të ketë një kufi a, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që , ku të jetë një sekuencë pafundësisht e vogël. jepen në faqe
Vërtetimet e vetive të sekuencave infiniteminale
Sekuenca pafundësisht të vogla - përkufizimi dhe vetitë >>>.
Sekuencë pafundësisht e madhe.
Një sekuencë pafundësisht e madhe është një sekuencë që ka një kufi pafundësisht të madh. Kjo do të thotë, nëse për çdo numër pozitiv ka një numër natyror N, në varësi të , i tillë që për të gjithë numrat natyrorë të jetë pabarazia
.
Në këtë rast ata shkruajnë
Ose në.
Ata thonë se priret në pafundësi.
.
Nëse, duke u nisur nga një numër N, atëherë
.
Nëse sekuenca është pafundësisht e madhe, atëherë, duke u nisur nga një numër N, përcaktohet një sekuencë që është pafundësisht e vogël. Nëse është një sekuencë pafundësisht e vogël me elementë jo zero, atëherë sekuenca është pafundësisht e madhe.
Nëse sekuenca është pafundësisht e madhe dhe sekuenca është e kufizuar, atëherë
.
Nëse vlerat absolute të elementeve të sekuencës janë të kufizuara nga poshtë me një numër pozitiv () dhe është një infinit i vogël me elementë të pabarabartë me zero, atëherë
.
Ne detaje përkufizimi i një sekuence pafundësisht të madhe me shembuj jepet në faqe
Përkufizimi i një sekuence pafundësisht të madhe >>>.
Provat e vetive të sekuencave pafundësisht të mëdha jepen në faqe
Vetitë e sekuencave pafundësisht të mëdha >>> .
Kriteret e konvergjencës së sekuencës
Sekuenca monotone
Një sekuencë rreptësisht në rritje është një sekuencë për të cilën të gjithë elementët plotësojnë pabarazitë e mëposhtme:.
Pabarazi të ngjashme përcaktojnë sekuenca të tjera monotonike.
Sekuenca rreptësisht zbritëse:
.
Sekuenca jo-zvogëluese:
.
Sekuenca jo në rritje:
.
Nga kjo rrjedh se një sekuencë rreptësisht në rritje nuk është gjithashtu në rënie. Një sekuencë rreptësisht në rënie nuk është gjithashtu në rritje.
Një sekuencë monotonike është një sekuencë që nuk zvogëlohet ose nuk rritet.
Një sekuencë monotonike është e kufizuar në të paktën njërën anë nga vlera . Një sekuencë që nuk zvogëlohet kufizohet më poshtë: . Një sekuencë jo në rritje është e kufizuar nga lart: .
Teorema e Weierstrass. Në mënyrë që një sekuencë jo-zitëse (jo rritje) të ketë një kufi të fundëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të kufizohet nga lart (nga poshtë). Këtu M është një numër.
Meqenëse çdo sekuencë jo-zvogëluese (jo rritje) është e kufizuar nga poshtë (nga lart), teorema e Weierstrass mund të riformulohet si më poshtë:
Që një sekuencë monotonike të ketë një kufi të fundëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të jetë i kufizuar: .
Sekuencë monotonike e pakufizuar ka një kufi të pafund, të barabartë për një sekuencë që nuk zvogëlohet dhe nuk rritet.
Vërtetim i teoremës së Weierstrass dhënë në faqe
Teorema e Weierstrass mbi kufirin e një sekuence monotone >>>.
Kriteri Cauchy për konvergjencën e sekuencës
Gjendje cauchyKonsistenca kënaq Gjendje cauchy, nëse për ndonjë ka një numër natyror të tillë që për të gjithë numrat natyrorë n dhe m që plotësojnë kushtin, pabarazia vlen
.
Një sekuencë themelore është një sekuencë që kënaq Gjendje cauchy.
Kriteri Cauchy për konvergjencën e sekuencës. Në mënyrë që një sekuencë të ketë një kufi të fundëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të plotësojë kushtin Cauchy.
Vërtetimi i kriterit të konvergjencës së Cauchy dhënë në faqe
Kriteri Cauchy për konvergjencën e sekuencës >>>.
Pasojat
Teorema Bolzano-Weierstrass. Nga çdo sekuencë e kufizuar mund të nxirret një nënsekuencë konvergjente. Dhe nga çdo sekuencë e pakufishme - një nënsekuencë pafundësisht e madhe që konvergon në ose në .
Vërtetimi i teoremës Bolzano-Weierstrass dhënë në faqe
Teorema Bolzano–Weierstrass >>>.
Përkufizimet, teoremat dhe vetitë e nënsekuencave dhe kufijve të pjesshëm diskutohen në faqe
Nënsekuenca dhe kufijtë e pjesshëm të sekuencave >>>.
Referencat:
CM. Nikolsky. Kursi i analizës matematikore. Vëllimi 1. Moskë, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Kursi i analizës matematikore. Vëllimi 1. Moskë, 2003.
V.A. Zorich. Analiza matematikore. Pjesa 1. Moskë, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Bazat e analizës matematikore. Pjesa 1. Moskë, 2005.
Matematika është shkenca që ndërton botën. Si shkencëtarët ashtu edhe njerëzit e zakonshëm - askush nuk mund të bëjë pa të. Së pari, fëmijët e vegjël mësohen të numërojnë, pastaj të mbledhin, të zbresin, të shumëzojnë dhe të pjesëtojnë me shkollën e mesme, simbolet e shkronjave hyjnë në lojë dhe në shkollën e mesme ato nuk mund të shmangen më.
Por sot do të flasim për atë që bazohet e gjithë matematika e njohur. Rreth një bashkësie numrash të quajtur "kufijtë e sekuencës".
Cilat janë sekuencat dhe ku është kufiri i tyre?
Kuptimi i fjalës "sekuencë" nuk është i vështirë për t'u interpretuar. Ky është një rregullim i gjërave ku dikush ose diçka ndodhet në një rend ose radhë të caktuar. Për shembull, radha për biletat në kopshtin zoologjik është një sekuencë. Dhe mund të ketë vetëm një! Nëse, për shembull, shikoni radhën në dyqan, kjo është një sekuencë. Dhe nëse një person nga kjo radhë largohet papritmas, atëherë kjo është një radhë tjetër, një renditje tjetër.
Fjala "kufi" gjithashtu interpretohet lehtësisht - është fundi i diçkaje. Sidoqoftë, në matematikë, kufijtë e sekuencave janë ato vlera në vijën numerike në të cilën priret një sekuencë numrash. Pse përpiqet dhe nuk përfundon? Është e thjeshtë, vija e numrave nuk ka fund, dhe shumica e sekuencave, si rrezet, kanë vetëm një fillim dhe duken kështu:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Prandaj, përkufizimi i një sekuence është një funksion i argumentit natyror. Me fjalë më të thjeshta, kjo është një seri anëtarësh të një grupi të caktuar.
Si ndërtohet sekuenca e numrave?
Një shembull i thjeshtë i një sekuence numrash mund të duket kështu: 1, 2, 3, 4, …n…
Në shumicën e rasteve, për qëllime praktike, sekuencat ndërtohen nga numrat, dhe çdo anëtar tjetër i serisë, le ta shënojmë X, ka emrin e vet. Për shembull:
x 1 është anëtari i parë i sekuencës;
x 2 është termi i dytë i sekuencës;
x 3 është termi i tretë;
x n është termi i n-të.
Në metodat praktike, sekuenca jepet me një formulë të përgjithshme në të cilën ka një variabël të caktuar. Për shembull:
X n =3n, atëherë vetë seria e numrave do të duket kështu:
Vlen të kujtohet se kur shkruani sekuenca në përgjithësi, mund të përdorni çdo shkronjë latine, jo vetëm X. Për shembull: y, z, k, etj.
Progresioni aritmetik si pjesë e sekuencave
Përpara se të kërkoni për kufijtë e sekuencave, këshillohet që të zhyteni më thellë në vetë konceptin e një serie të tillë numrash, të cilin të gjithë e hasën kur ishin në shkollën e mesme. Një progresion aritmetik është një seri numrash në të cilët diferenca midis termave ngjitur është konstante.
Problemi: “Le të jetë 1 = 15, dhe hapi i progresionit të serisë së numrave d = 4. Ndërtoni 4 termat e parë të kësaj serie"
Zgjidhje: a 1 = 15 (sipas kushtit) është termi i parë i progresionit (seri numrash).
dhe 2 = 15+4=19 është termi i dytë i progresionit.
dhe 3 =19+4=23 është termi i tretë.
dhe 4 =23+4=27 është termi i katërt.
Megjithatë, duke përdorur këtë metodë është e vështirë të arrihen vlera të mëdha, për shembull deri në 125. . Sidomos për raste të tilla, është nxjerrë një formulë e përshtatshme për praktikë: a n =a 1 +d(n-1). Në këtë rast, një 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.
Llojet e sekuencave
Shumica e sekuencave janë të pafundme, ia vlen t'i mbani mend për pjesën tjetër të jetës. Ekzistojnë dy lloje interesante të serive të numrave. E para jepet me formulën a n =(-1) n. Matematikanët shpesh e quajnë këtë sekuencë një flasher. Pse? Le të kontrollojmë serinë e numrave të saj.
1, 1, -1, 1, -1, 1, etj. Me një shembull si ky, bëhet e qartë se numrat në sekuenca mund të përsëriten lehtësisht.
Sekuenca faktoriale. Është e lehtë të merret me mend - formula që përcakton sekuencën përmban një faktorial. Për shembull: a n = (n+1)!
Atëherë sekuenca do të duket si kjo:
a 2 = 1x2x3 = 6;
dhe 3 = 1x2x3x4 = 24, etj.
Një sekuencë e përcaktuar nga një progresion aritmetik quhet pafundësisht zvogëluese nëse pabarazia -1 plotësohet për të gjitha termat e saj. dhe 3 = - 1/8, etj. Madje ekziston një sekuencë që përbëhet nga i njëjti numër. Pra, n =6 përbëhet nga një numër i pafund gjashtëshe. Kufijtë e sekuencës kanë ekzistuar prej kohësh në matematikë. Sigurisht, ata meritojnë modelin e tyre kompetent. Pra, është koha për të mësuar përkufizimin e kufijve të sekuencës. Së pari, le të shohim kufirin për një funksion linear në detaje: Është e lehtë të kuptohet se përkufizimi i kufirit të një sekuence mund të formulohet si më poshtë: ky është një numër i caktuar të cilit i afrohen pafundësisht të gjithë anëtarët e sekuencës. Një shembull i thjeshtë: a x = 4x+1. Pastaj vetë sekuenca do të duket kështu. 5, 9, 13, 17, 21…x… Kështu, kjo sekuencë do të rritet pafundësisht, që do të thotë se kufiri i saj është i barabartë me pafundësinë si x→∞, dhe duhet të shkruhet kështu: Nëse marrim një sekuencë të ngjashme, por x tenton në 1, marrim: Dhe seria e numrave do të jetë si kjo: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, etj. Çdo herë që ju duhet të zëvendësoni numrin më afër një (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Nga kjo seri është e qartë se kufiri i funksionit është pesë. Nga kjo pjesë vlen të kujtohet se cili është kufiri i një sekuence numerike, përkufizimi dhe metoda për zgjidhjen e problemeve të thjeshta. Pasi të keni ekzaminuar kufirin e një sekuence numrash, përkufizimin dhe shembujt e tij, mund të vazhdoni në një temë më komplekse. Absolutisht të gjitha kufijtë e sekuencave mund të formulohen me një formulë, e cila zakonisht analizohet në semestrin e parë. Pra, çfarë do të thotë ky grup shkronjash, modulesh dhe shenjash pabarazie? ∀ është një sasior universal, duke zëvendësuar frazat "për të gjithë", "për gjithçka", etj. ∃ është një sasior ekzistencial, në këtë rast do të thotë se ka një vlerë N që i përket bashkësisë së numrave natyrorë. Një shkop i gjatë vertikal pas N do të thotë se grupi i dhënë N është "i tillë". Në praktikë, mund të nënkuptojë "i tillë", "i tillë", etj. Për të përforcuar materialin, lexoni formulën me zë të lartë. Metoda e gjetjes së kufirit të sekuencave, e cila u diskutua më lart, megjithëse e thjeshtë për t'u përdorur, nuk është aq racionale në praktikë. Mundohuni të gjeni kufirin për këtë funksion: Nëse zëvendësojmë vlera të ndryshme të "x" (duke u rritur çdo herë: 10, 100, 1000, etj.), atëherë marrim ∞ në numërues, por edhe ∞ në emërues. Kjo rezulton në një fraksion mjaft të çuditshëm: Por a është vërtet kështu? Llogaritja e kufirit të një sekuence numrash në këtë rast duket mjaft e lehtë. Do të mund të lihej gjithçka ashtu siç është, sepse përgjigja është gati dhe është marrë në kushte të arsyeshme, por ka një mënyrë tjetër konkretisht për raste të tilla. Së pari, le të gjejmë shkallën më të lartë në numëruesin e fraksionit - kjo është 1, pasi x mund të përfaqësohet si x 1. Tani le të gjejmë shkallën më të lartë në emërues. Gjithashtu 1. Le të ndajmë numëruesin dhe emëruesin me variablin në shkallën më të lartë. Në këtë rast, pjesëtojeni thyesën me x 1. Më pas, do të gjejmë se në çfarë vlere priret çdo term që përmban një ndryshore. Në këtë rast, fraksionet merren parasysh. Si x→∞, vlera e çdo thyese tenton në zero. Kur dorëzoni punën tuaj me shkrim, duhet të bëni shënimet e mëposhtme: Kjo rezulton në shprehjen e mëposhtme: Sigurisht, thyesat që përmbajnë x nuk u bënë zero! Por vlera e tyre është aq e vogël sa është plotësisht e lejueshme të mos merret parasysh në llogaritje. Në fakt, x nuk do të jetë kurrë e barabartë me 0 në këtë rast, sepse nuk mund të pjesëtosh me zero. Supozoni se profesori ka në dispozicion një sekuencë komplekse, të dhënë, padyshim, nga një formulë po aq komplekse. Profesori e ka gjetur përgjigjen, por a është e saktë? Në fund të fundit, të gjithë njerëzit bëjnë gabime. Auguste Cauchy dikur doli me një mënyrë të shkëlqyer për të provuar kufijtë e sekuencave. Metoda e tij quhej manipulim i lagjes. Supozoni se ekziston një pikë e caktuar a, fqinjësia e saj në të dy drejtimet në vijën numerike është e barabartë me ε ("epsilon"). Meqenëse ndryshorja e fundit është distanca, vlera e saj është gjithmonë pozitive. Tani le të përcaktojmë disa sekuencë x n dhe supozojmë se termi i dhjetë i sekuencës (x 10) përfshihet në afërsinë e a. Si mund ta shkruajmë këtë fakt në gjuhën matematikore? Le të themi se x 10 është në të djathtë të pikës a, pastaj distanca x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Tani është koha për të shpjeguar në praktikë formulën e diskutuar më lart. Është e drejtë të quajmë një numër të caktuar a pikën fundore të një sekuence nëse për cilindo nga kufijtë e tij plotësohet pabarazia ε>0, dhe e gjithë lagja ka numrin e vet natyror N, të tillë që të gjithë anëtarët e sekuencës me numra më të lartë do të jetë brenda sekuencës |x n - a|< ε. Me një njohuri të tillë është e lehtë të zgjidhësh kufijtë e sekuencës, të vërtetosh ose të hedhësh poshtë përgjigjen e gatshme. Teoremat mbi kufijtë e sekuencave janë një komponent i rëndësishëm i teorisë, pa të cilin praktika është e pamundur. Ekzistojnë vetëm katër teorema kryesore, duke kujtuar të cilat mund ta bëjnë procesin e zgjidhjes ose të vërtetimit shumë më të lehtë: Ndonjëherë ju duhet të zgjidhni një problem të anasjelltë, për të vërtetuar një kufi të caktuar të një sekuence numerike. Le të shohim një shembull. Vërtetoni se kufiri i sekuencës së dhënë nga formula është zero. Sipas rregullit të diskutuar më sipër, për çdo sekuencë pabarazia |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Le të shprehim n përmes "epsilon" për të treguar ekzistencën e një numri të caktuar dhe për të vërtetuar praninë e një kufiri të sekuencës. Në këtë pikë, është e rëndësishme të mbani mend se "epsilon" dhe "en" janë numra pozitivë dhe nuk janë të barabartë me zero. Tani është e mundur që të vazhdohen transformimet e mëtejshme duke përdorur njohuritë për pabarazitë e marra në shkollën e mesme. Si rezulton që n > -3 + 1/ε. Meqenëse ia vlen të kujtojmë se po flasim për numra natyrorë, rezultati mund të rrumbullakohet duke e vendosur në kllapa katrore. Kështu, u vërtetua se për çdo vlerë të lagjes “epsilon” të pikës a = 0, u gjet një vlerë e tillë që të plotësohej pabarazia fillestare. Nga këtu mund të themi me siguri se numri a është kufiri i një sekuence të caktuar. Q.E.D. Kjo metodë e përshtatshme mund të përdoret për të vërtetuar kufirin e një sekuence numerike, pavarësisht sa kompleks mund të jetë në shikim të parë. Gjëja kryesore nuk është të frikësoheni kur të shihni detyrën. Ekzistenca e një kufiri të qëndrueshmërisë nuk është e nevojshme në praktikë. Mund të hasësh lehtësisht seri numrash që vërtet nuk kanë fund. Për shembull, e njëjta "dritë ndezëse" x n = (-1) n. është e qartë se një sekuencë e përbërë nga vetëm dy shifra, të përsëritura në mënyrë ciklike, nuk mund të ketë një kufi. E njëjta histori përsëritet me sekuenca të përbëra nga një numër, ato thyesore, me pasiguri të çdo renditjeje gjatë llogaritjeve (0/0, ∞/∞, ∞/0, etj.). Sidoqoftë, duhet të mbahet mend se llogaritjet e pasakta ndodhin gjithashtu. Ndonjëherë kontrollimi i dyfishtë i zgjidhjes suaj do t'ju ndihmojë të gjeni kufirin e sekuencës. Disa shembuj të sekuencave dhe metodave për zgjidhjen e tyre u diskutuan më lart, dhe tani le të përpiqemi të marrim një rast më specifik dhe ta quajmë atë një "sekuencë monotonike". Përkufizim: çdo sekuencë me të drejtë mund të quhet në rritje monotonike nëse për të vlen pabarazia e rreptë x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Së bashku me këto dy kushte, ekzistojnë edhe pabarazi të ngjashme jo strikte. Në përputhje me rrethanat, x n ≤ x n +1 (rend jo-zvogëlues) dhe x n ≥ x n +1 (sekuencë jo në rritje). Por është më e lehtë për ta kuptuar këtë me shembuj. Sekuenca e dhënë me formulën x n = 2+n formon serinë e mëposhtme të numrave: 4, 5, 6, etj. Ky është një sekuencë në rritje monotonike. Dhe nëse marrim x n =1/n, marrim seritë: 1/3, ¼, 1/5, etj. Kjo është një sekuencë monotonike në rënie. Një sekuencë e kufizuar është një sekuencë që ka një kufi. Një sekuencë konvergjente është një seri numrash që kanë një kufi infinite vogël. Kështu, kufiri i një sekuence të kufizuar është çdo numër real ose kompleks. Mos harroni se mund të ketë vetëm një kufi. Kufiri i një sekuence konvergjente është një sasi infinitimale (reale ose komplekse). Nëse vizatoni një diagram sekuence, atëherë në një pikë të caktuar do të duket se konvergohet, ka tendencë të kthehet në një vlerë të caktuar. Prandaj emri - sekuencë konvergjente. Mund të ketë ose jo një kufi për një sekuencë të tillë. Së pari, është e dobishme të kuptoni se kur ekziston, nga këtu mund të filloni kur provoni mungesën e një kufiri. Ndër sekuencat monotonike, dallohen konvergjente dhe divergjente. Konvergjent është një sekuencë që formohet nga bashkësia x dhe ka një kufi real ose kompleks në këtë bashkësi. Divergjente është një sekuencë që nuk ka kufi në grupin e saj (as real as kompleks). Për më tepër, sekuenca konvergjon nëse, në një paraqitje gjeometrike, kufijtë e saj të sipërm dhe të poshtëm konvergjojnë. Kufiri i një sekuence konvergjente mund të jetë zero në shumë raste, meqenëse çdo sekuencë infinitimale ka një kufi të njohur (zero). Çfarëdo sekuence konvergjente që merrni, ato janë të gjitha të kufizuara, por jo të gjitha sekuencat e kufizuara konvergojnë. Shuma, diferenca, prodhimi i dy sekuencave konvergjente është gjithashtu një sekuencë konvergjente. Megjithatë, herësi mund të jetë edhe konvergjent nëse është i përcaktuar! Kufijtë e sekuencës janë po aq domethënës (në shumicën e rasteve) sa shifrat dhe numrat: 1, 2, 15, 24, 362, etj. Rezulton se disa operacione mund të kryhen me kufizime. Së pari, si shifrat dhe numrat, kufijtë e çdo sekuence mund të shtohen dhe zbriten. Bazuar në teoremën e tretë mbi kufijtë e sekuencave, vlen barazia e mëposhtme: kufiri i shumës së sekuencave është i barabartë me shumën e kufijve të tyre. Së dyti, bazuar në teoremën e katërt mbi kufijtë e sekuencave, barazia e mëposhtme është e vërtetë: kufiri i prodhimit të numrit të n-të të sekuencave është i barabartë me produktin e kufijve të tyre. E njëjta gjë vlen edhe për pjesëtimin: kufiri i herësit të dy sekuencave është i barabartë me herësin e kufijve të tyre, me kusht që kufiri të mos jetë zero. Në fund të fundit, nëse kufiri i sekuencave është i barabartë me zero, atëherë do të rezultojë pjesëtimi me zero, gjë që është e pamundur. Duket se kufiri i sekuencës numerike tashmë është diskutuar në disa detaje, por fraza të tilla si numrat "pafundësisht të vegjël" dhe "pafundësisht të mëdhenj" përmenden më shumë se një herë. Natyrisht, nëse ka një sekuencë 1/x, ku x→∞, atëherë një fraksion i tillë është infinit i vogël, dhe nëse e njëjta sekuencë, por kufiri tenton në zero (x→0), atëherë thyesa bëhet një vlerë pafundësisht e madhe. Dhe sasi të tilla kanë karakteristikat e tyre. Vetitë e kufirit të një sekuence që ka ndonjë vlerë të vogël ose të madhe janë si më poshtë: Në fakt, llogaritja e kufirit të një sekuence nuk është një detyrë aq e vështirë nëse dini një algoritëm të thjeshtë. Por kufijtë e qëndrueshmërisë janë një temë që kërkon vëmendje dhe këmbëngulje maksimale. Natyrisht, mjafton thjesht të kuptojmë thelbin e zgjidhjes së shprehjeve të tilla. Duke filluar nga pak, mund të arrini lartësi të mëdha me kalimin e kohës. Është dhënë përkufizimi i kufirit të fundëm të një sekuence. Diskutohen vetitë e ndërlidhura dhe përkufizimi ekuivalent. Jepet një përkufizim që pika a nuk është kufiri i sekuencës. Janë konsideruar shembuj në të cilët vërtetohet ekzistenca e një kufiri duke përdorur përkufizimin. Shiko gjithashtu: Kufiri i sekuencës - teorema dhe veti themelore Këtu do të shikojmë përkufizimin e kufirit të fundëm të një sekuence. Rasti i një sekuence që konvergohet në pafundësi diskutohet në faqen "Përkufizimi i një sekuence pafundësisht të madhe". Le të transformojmë pabarazinë: Nga përkufizimi rrjedh se nëse një sekuencë ka një kufi a, atëherë pavarësisht se çfarë fqinjësie ε të pikës a zgjedhim, përtej kufijve të saj mund të ketë vetëm një numër të kufizuar elementësh të sekuencës, ose aspak (një bosh grup). Dhe çdo ε-lagje përmban një numër të pafund elementësh. Në fakt, pasi kemi dhënë një numër të caktuar ε, ne kemi në këtë mënyrë numrin . Pra, të gjithë elementët e vargut me numra, sipas përkufizimit, janë të vendosur në ε - fqinjësi të pikës a . Elementet e parë mund të vendosen kudo. Kjo do të thotë, jashtë lagjes ε nuk mund të ketë më shumë se elementë - domethënë një numër i kufizuar. Vëmë re gjithashtu se ndryshimi nuk duhet të priret në mënyrë monotone në zero, domethënë të ulet gjatë gjithë kohës. Mund të priret në zero në mënyrë jo monotonike: mund të rritet ose të ulet, duke pasur maksimum lokal. Megjithatë, këto maksimum, ndërsa n rritet, duhet të priren në zero (ndoshta edhe jo në mënyrë monotonike). Duke përdorur simbolet logjike të ekzistencës dhe universalitetit, përkufizimi i një kufiri mund të shkruhet si më poshtë: Tani merrni parasysh pohimin e kundërt se numri a nuk është kufiri i sekuencës. Numri a nuk është kufiri i sekuencës, nëse ka të tillë që për çdo numër natyror n ka një m të tillë natyror > n, Çfarë Le ta shkruajmë këtë deklaratë duke përdorur simbole logjike. Deklarata se numri a nuk është kufiri i sekuencës, do të thotë se Le të shohim një shembull. Le të jepet një sekuencë me një element të përbashkët Tani do ta tregojmë këtë, duke iu përmbajtur rreptësisht deklaratës (2). Pika nuk është një kufi i sekuencës (3), pasi ekziston e tillë që, për çdo n natyrore, ka një tek për të cilën vlen pabarazia Mund të tregohet gjithashtu se çdo pikë a nuk mund të jetë kufi i kësaj sekuence. Ne gjithmonë mund të zgjedhim një ε - fqinjësi të pikës a që nuk përmban as pikën 0 as pikën 2. Dhe pastaj jashtë lagjes së zgjedhur do të ketë një numër të pafund elementësh të sekuencës. Mund të japim një përkufizim ekuivalent të kufirit të një sekuence nëse zgjerojmë konceptin e ε - fqinjësi. Ne do të marrim një përkufizim ekuivalent nëse, në vend të një lagje ε, ai përmban ndonjë fqinjësi të pikës a. Një fqinjësi e një pike është çdo interval i hapur që përmban atë pikë. Matematikisht lagja e një pike përkufizohet si më poshtë: , ku ε 1
dhe ε 2
- numra pozitivë arbitrarë. Atëherë përkufizimi ekuivalent i kufirit është si më poshtë. Kufiri i një sekuence është një numër a nëse për çdo fqinjësi të saj ka një numër natyror N i tillë që të gjithë elementët e vargut me numra i përkasin kësaj lagjeje. Ky përkufizim mund të paraqitet edhe në formë të zgjeruar. Kufiri i një sekuence është një numër a nëse për çdo numër pozitiv dhe ka një numër natyror N në varësi dhe të tillë që mosbarazimet të jenë për të gjithë numrat natyrorë Le të vërtetojmë se dy përkufizimet e kufirit të një sekuence të paraqitur më sipër janë ekuivalente. Le të jetë numri a kufiri i sekuencës sipas përkufizimit të parë. Kjo do të thotë se ekziston një funksion, kështu që për çdo numër pozitiv ε plotësohen pabarazitë e mëposhtme: Le të tregojmë se numri a është kufiri i sekuencës sipas përkufizimit të dytë. Kjo do të thotë, ne duhet të tregojmë se ekziston një funksion i tillë që për çdo numër pozitiv ε 1
dhe ε 2
plotësohen pabarazitë e mëposhtme: Le të kemi dy numra pozitivë: ε 1
dhe ε 2
. Dhe le të jetë ε më i vogli prej tyre: . Pastaj; Por pabarazitë janë të kënaqura për . Atëherë pabarazitë (5) plotësohen edhe për . 1
dhe ε 2
.
Tani le të jetë numri a kufiri i sekuencës sipas përkufizimit të dytë. Kjo do të thotë se ekziston një funksion i tillë që për çdo numër pozitiv ε 1
dhe ε 2
plotësohen pabarazitë e mëposhtme: Le të tregojmë se numri a është kufiri i sekuencës sipas përkufizimit të parë. Për ta bërë këtë ju duhet të vendosni. Atëherë kur vlejnë pabarazitë e mëposhtme: Vërtetoni atë. Duke përdorur përkufizimin e kufirit të një sekuence, provoni se Le të shkruajmë përkufizimin e kufirit të një sekuence: Futni numra pozitivë dhe: Kjo do të thotë, për çdo pozitiv, ne mund të marrim çdo numër natyror më të madh ose të barabartë me: Ne prezantojmë shënimin , . Le të shkruajmë përkufizimin e kufirit të një sekuence: Kjo do të thotë, për çdo pozitiv, ne mund të marrim çdo numër natyror më të madh ose të barabartë me: Duke përdorur përkufizimin e kufirit të një sekuence, provoni se Le të shkruajmë përkufizimin e kufirit të një sekuence: Futni numra pozitivë dhe: Kjo do të thotë, për çdo pozitiv, ne mund të marrim çdo numër natyror më të madh ose të barabartë me: Referencat: Përcaktimi i kufirit të sekuencës
Emërtimi i përgjithshëm për kufirin e sekuencave
Pasiguria dhe siguria e kufirit
Çfarë është një lagje?
Teorema
Vërtetimi i sekuencave
Apo ndoshta ai nuk është atje?
Sekuenca monotonike
Kufiri i një sekuence konvergjente dhe të kufizuar
Kufiri i një sekuence monotonike
Veprime të ndryshme me limite
Vetitë e sasive të sekuencës
Llojet kryesore të pabarazive dhe vetitë e tyre
| x n - a|< ε
.
Këtu x n është elementi i sekuencës me numër n. Kufiri i sekuencës shënohet si më poshtë:
.
Në këtë rast ata shkruajnë
;
;
.
(1)
.
Përcaktimi që a nuk është një kufi
.
(2)
.
ju mund të zgjidhni një ε - lagje të tillë të pikës a, jashtë së cilës do të ketë një numër të pafund elementësh të sekuencës.
(3)
Çdo fqinjësi e një pike përmban një numër të pafund elementësh. Megjithatë, kjo pikë nuk është kufiri i sekuencës, pasi çdo fqinjësi e pikës përmban gjithashtu një numër të pafund elementësh. Le të marrim ε - një fqinjësi e një pike me ε = 1
. Ky do të jetë intervali (-1, +1)
. Këtij intervali i përkasin të gjithë elementët përveç të parit me n çift. Por të gjithë elementët me n tek janë jashtë këtij intervali, pasi plotësojnë pabarazinë x n > 2
. Meqenëse numri i elementeve tek është i pafund, do të ketë një numër të pafund elementësh jashtë lagjes së zgjedhur. Prandaj, pika nuk është kufiri i sekuencës.
.
Përkufizimi ekuivalent i kufirit të sekuencës
.
Vërtetimi i ekuivalencës së përkufizimeve
(4)
në .
(5)
në .
.
; . Le ta përdorim këtë në (5):
Kjo do të thotë, ne kemi gjetur një funksion për të cilin pabarazitë (5) janë të kënaqura për çdo numër pozitiv ε
(5)
në .
.
Kjo korrespondon me përkufizimin e parë me .
Është vërtetuar ekuivalenca e përkufizimeve.Shembuj
Shembulli 1
(1)
.
Në rastin tonë;
.
.
Le të përdorim vetitë e pabarazive. Atëherë nëse dhe , atëherë
.
.
Pastaj
në .
Kjo do të thotë se numri është kufiri i sekuencës së dhënë:
.
Shembulli 2
.
(1)
.
Në rastin tonë, ;
.
.
Le të përdorim vetitë e pabarazive. Atëherë nëse dhe , atëherë
.
.
Pastaj
në .
.
Shembulli 3
.
Le të transformojmë ndryshimin:
.
Për n natyrore = 1, 2, 3, ...
ne kemi:
.
(1)
.
Futni numra pozitivë dhe:
.
Atëherë nëse dhe , atëherë
.
.
Ku
në .
Kjo do të thotë se numri është kufiri i sekuencës:
.
Shembulli 4
.
(1)
.
Në rastin tonë, ;
.
.
Atëherë nëse dhe , atëherë
.
.
Pastaj
në .
Kjo do të thotë se numri është kufiri i sekuencës:
.
L.D. Kudryavtsev. Kursi i analizës matematikore. Vëllimi 1. Moskë, 2003.
CM. Nikolsky. Kursi i analizës matematikore. Vëllimi 1. Moskë, 1983.
