Bevezetés Projektem problémája, hogy az egységes államvizsga sikeres letételéhez különféle egyenletrendszerek megoldásának képessége szükséges, és a középiskolai tanfolyamon nincs elég idejük ennek a kérdésnek a mélyebb megértésére. Munka célja: felkészítés az egységes államvizsga sikeres letételére. A munka céljai: Bővítse tudását a „szimmetria” fogalmához kapcsolódó matematikai területen. Fejlessze matematikai kultúráját a „szimmetria” fogalmának használatával, amikor szimmetrikusnak nevezett egyenletrendszereket, valamint más matematikai problémákat old meg.
A szimmetria fogalma. Szimmetria - (ógörög συμμετρία), tág értelemben - megváltoztathatatlanság bármilyen átalakítás alatt. Például egy test gömbszimmetriája azt jelenti, hogy a test megjelenése nem változik meg, ha tetszőleges szögben elforgatjuk a térben. A kétoldali szimmetria azt jelenti, hogy a jobb és a bal oldal egy síkhoz képest ugyanúgy néz ki.
Feladatok megoldása szimmetria segítségével. 1. feladat Két ember felváltva tesz le egyforma érméket egy kerek asztalra, és az érmék ne takarják el egymást. Az veszít, aki nem tud mozdulni. Ki nyer, ha helyesen játszanak? (Más szóval, melyik játékosnak van nyerő stratégiája?)
Szimmetrikus rendszerek megoldási módszerei. A szimmetrikus rendszereket változók változtatásával lehet megoldani, amelyeket az alapszimmetrikus polinomok játszanak le. Két ismeretlen x és y egyenlet szimmetrikus rendszerét u = x + y, v = xy helyettesítésével oldjuk meg.
2. számú példa 3 x 2y – 2xy + 3xy 2 = 78, 2x – 3xy + 2y + 8 = 0 Az alapvető szimmetrikus polinomok segítségével a rendszer a következő formában írható fel: 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8 . Ha a második egyenletből u = kifejezést adunk, és behelyettesítjük az első egyenletbe, 9v2–28v – 156 = 0 értéket kapunk. Ennek az egyenletnek a gyökei v 1 = 6 és v 2 = - lehetővé teszik, hogy megtaláljuk a megfelelő értékeket u1 = 5, u2= - az u = kifejezésből.
Oldjuk meg most a következő rendszerhalmazt. Oldjuk meg most az x + y = 5, és x + y = - , xy = 6 xy = - rendszerek következő halmazát. x = 5 – y, és y = -x -, xy = 6 xy = -. x = 5 – y, és y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = - . x = 5 – y, és y = -x -, y 1 = 3, y 2 = 2 x 1 = , x 2 = - x 1 = 2, x 2 = 3 és x 1 = , x 2 = - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = - , y 2= Válasz: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).
A szimmetrikus rendszerek megoldásában használt tételek. 1. Tétel (a szimmetrikus polinomokról) Két változóban lévő tetszőleges szimmetrikus polinom ábrázolható két alapvető szimmetrikus polinom függvényeként, azaz bármely f (x, y) szimmetrikus polinomhoz két φ (u) változó függvénye. , v) olyan, hogy
2. tétel (a szimmetrikus polinomokról) 2. tétel (a szimmetrikus polinomokról) Bármely szimmetrikus polinom három változóban ábrázolható három fő szimmetrikus polinom függvényében: Más szóval, bármely f (x, y) szimmetrikus polinomra van három változó θ (u, v, w) ilyen függvénye, amely
Bonyolultabb szimmetrikus rendszerek - a modult tartalmazó rendszerek: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y – 1 | = 2. Tekintsük ezt a rendszert külön x-re< 1 и при х ≥ 1.
Если х < 1, то:
а) при у < х система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
b) x ≤ y esetén< 1 система принимает вид
б) при х ≤ у < 1 система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1.
Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
в) при у ≥ 1 (тогда у >x) a rendszer - x + y + y 2 = 3, - x + 1 + y – 1 = 2, vagy - x + y + y 2 = 3, x – y = - 2 alakot ölti, ahonnan találjuk x 1 = - 3, y 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 1. A második számpár a vizsgált területhez tartozik, vagyis ennek a rendszernek a megoldása.
Ha x ≥ 1, akkor: Ha x ≥ 1, akkor: a) x > y és y< 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 – у = 1 = 2,
или
х – у + у 2= 3,
х – у = 2,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы;
б) при х >y és y ≥ 1 a rendszer a következő alakot veszi fel: x – y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2, vagy x – y + y 2 = 3, x + y = 4, ahonnan x-et találunk = 1, y = 3. Ez a számpár nem tartozik a vizsgált területhez;
c) x ≤ y (akkor y ≥ 1) esetén a rendszer c) x ≤ y (akkor y ≥ 1) alakját veszi fel a rendszer - x + y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2, vagy - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, ahonnan x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Ezek a számpárok nem tartoznak a kérdéses régióhoz. így x 1 = - 1, y 1 = 1; x 2 = 1, y 2 = - 1. Válasz: (- 1; 1); (tizenegy).
Összegzés A matematika fejleszti az emberi gondolkodást, megtanít különböző megoldásokat találni a logikán keresztül. Így, miután megtanultam a szimmetrikus rendszereket megoldani, rájöttem, hogy nem csak konkrét példák kiegészítésére, hanem különféle problémák megoldására is használhatók. Úgy gondolom, hogy a projekt nem csak nekem jelenthet hasznot. Azok számára, akik szintén szeretnének megismerkedni ezzel a témával, jó asszisztens lesz a munkám.
A felhasznált irodalom listája: Bashmakov M.I., „Algebra és az elemzés kezdetei”, 2. kiadás, Moszkva, „Prosveshchenie”, 1992, 350 pp. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., „Algebra és elemi függvények”, kézikönyv; harmadik, átdolgozott és bővített kiadás; Kijev, Naukova, Dumka, 1987, 648 pp. Sharygin I.F., „Matematika középiskolásoknak”, Moszkva, „Drofa” kiadó, 1995, 490 oldal Internetes források: http://www.college. ru/
A munka felhasználható leckékhez és beszámolókhoz a "Matematika" témában
A kész matematikai prezentációkat vizuális segédeszközként használják, amely lehetővé teszi a tanár vagy a szülő számára, hogy a tankönyvből diák és táblázatok segítségével demonstrálja a tanult témát, példákat mutasson be problémák és egyenletek megoldására, valamint tesztelje a tudást. Az oldal ezen részében számos kész matematikai prezentációt találhat és letölthet 1., 2., 3., 4., 5., 6. osztályos diákok számára, valamint felsőfokú matematikai előadásokat egyetemisták számára.
Tehát megkapjuk az egyenletet 
Emlékezzünk vissza a polinomok racionális gyökére vonatkozó tételre (2.1.5. pont). Egyenletünk racionális gyökereit a –4 szám osztói között kell keresni. Az összes osztón végignézve meg vagyunk győződve arról, hogy az egyenletnek nincs racionális gyökere. Ez a tétel azonban nem a gyökerek létezésének tétele volt. Ez a tétel csak a következőket mondta ki: ha egy egész együtthatós polinomnak vannak racionális gyökei (de még mindig lehetséges, hogy NEM léteznek), akkor ezeknek a gyökeknek valamilyen speciális alakjuk lesz. Ez a tétel nem írja le azt az esetet, amikor nincsenek racionális gyökerek.
Próbáljuk meg megtalálni az eredeti rendszer egyenletének gyökereit az irracionális számok között. Ehhez azonban szükség lesz némi kreativitásra: a szimmetrikus rendszerek szokásos helyettesítése itt nyilvánvalóan nem működik.
A második egyenletet kockává emelve a következőket kapjuk: így Vieta tétele alapján és a másodfokú egyenlet gyökei így és innen,
Az egyenletrendszerek megoldásának további irodalmának tanulmányozása során egy új típusú rendszerre bukkantam - a szimmetrikusra. És kitűztem magam elé egy célt:
Foglalja össze az „Egyenletrendszerek” témával kapcsolatos tudományos információkat.
Megérteni és megtanulni megoldani új változók bevezetésével;
3) Tekintsük a szimmetrikus egyenletrendszerekhez kapcsolódó alapvető elméleteket!
4) Tanuljon meg szimmetrikus egyenletrendszereket megoldani.
Egyenletrendszerek megoldásának története.
Az ismeretlenek lineáris egyenletekből való eltávolítását régóta alkalmazzák. A 17-18. V. a kizárási technikákat Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange fejlesztette ki.
A modern jelölésben a két ismeretlennel rendelkező két lineáris egyenlet rendszerének alakja: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 Ennek a rendszernek a megoldásait képletekkel fejezzük ki.
a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1
A 17. században megalkotott koordináta-módszernek köszönhetően. Fermat és Descartes segítségével lehetővé vált az egyenletrendszerek grafikus megoldása.
3-2. évezredben írt óbabiloni szövegekben. e. , sok olyan problémát tartalmaz, amelyek egyenletrendszerek felépítésével megoldhatók, amelyekbe másodfokú egyenleteket is bevezetnek.
1. példa:
Összeadtam a két négyzetem területeit: 25. A második négyzet oldala egyenlő az első oldalával és még 5. A megfelelő egyenletrendszer a megfelelő jelölésben így néz ki: x2 + y2 = 25, y = x = 5
Diophantus, akinek nem volt jelölése sok ismeretlenre, nagy erőfeszítéseket tett, hogy az ismeretlent úgy válassza ki, hogy a rendszer megoldását egyetlen egyenlet megoldására redukálja.
2. példa:
"Keress két természetes számot, tudva, hogy az összegük 20, a négyzetösszege pedig 208."
A feladatot úgy is megoldottuk, hogy felállítottunk egy egyenletrendszert, x + y = 20, de megoldottuk x2 + y2 = 208
Diophantus, a szükséges számok különbségének felét választva ismeretlennek, i.e.
(x – y) = z, + (x + y) = 10
2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- nem teljesíti a feladat feltételeit, ezért ha z = 2x = 12, és y = 8
Algebrai egyenletrendszer fogalmai.
Sok feladatban több ismeretlen mennyiséget is meg kell találni, tudva, hogy a segítségükkel képződött más mennyiségek (az ismeretlenek függvényei) egyenlők egymással vagy adott mennyiségekkel. Nézzünk egy egyszerű példát.
Egy 2400 m2 alapterületű téglalap alakú telek 200 m hosszú kerítéssel van bekerítve. keresse meg a telek hosszát és szélességét. Valójában ennek a problémának az „algebrai modellje” két egyenletből és egy egyenlőtlenségből álló rendszer.
Az esetleges egyenlőtlenségeket mindig szem előtt kell tartani. Amikor egyenletrendszerek összeállításával kapcsolatos problémákat old meg. De a lényeg az, hogy magukat az egyenleteket oldjuk meg. Mesélek az alkalmazott módszerekről.
Kezdjük a definíciókkal.
Az egyenletrendszer több (egynél több) egyenlet halmaza, amelyeket kapcsos kapcsos zárójel köt össze.
A kapcsos kapcsos zárójel azt jelenti, hogy a rendszer összes egyenletét egyszerre kell végrehajtani, és azt mutatja, hogy meg kell találni egy számpárt (x; y), amely minden egyenletet valódi egyenlőséggé alakít.
Egy rendszer megoldása egy x és y számpár, amely ebbe a rendszerbe behelyettesítve minden egyenletét helyes numerikus egyenlőséggé alakítja.
Egy egyenletrendszer megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldását, vagy megállapítjuk, hogy egyik sem létezik.
Helyettesítési módszer.
A helyettesítés módja az, hogy az egyik egyenletben az egyik változót egy másikkal fejezzük ki. A kapott kifejezést behelyettesítjük egy másik egyenlettel, amely egy változós egyenletté válik, majd megoldódik. Ennek a változónak a kapott értékeit behelyettesítjük az eredeti rendszer bármely egyenletébe, és megtaláljuk a második változót.
Algoritmus.
1. Fejezd ki y-t x-szel a rendszer egyik egyenletéből.
2. Helyettesítse be a kapott kifejezést y helyett a rendszer egy másik egyenletébe.
3. Oldja meg a kapott egyenletet x-re!
4. Helyettesítsük be egymás után a harmadik lépésben talált egyenlet gyökeinek mindegyikét x helyett az első lépésben kapott y–x kifejezésbe.
5) Írja le a választ értékpárok formájában (x; y).
1. példa y = x – 1,
Helyettesítsük be y = x - 1-et a második egyenletbe, 5x + 2 (x - 1) = 16-ot kapunk, ahonnan x = 2. Helyettesítsük be az így kapott kifejezést az első egyenletbe: y = 2 - 1 = 1.
Válasz: (2; 1).
2. példa:
8y – x = 4, 1) 2 (8y – 4) – 21y = 2
2х – 21у = 2 16у – 8 – 21у = 2
5y = 10 x = 8y – 4, y = -2
2х – 21у = 2
2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8y – 4, x = -20
2 (8y – 4) – 21y = 2 x = 8y – 4, y = -2 x = -20, y = -2
Válasz: (-20; -2).
3. példa: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2
X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – másodfokú egyenlet y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8
Ezért (-2; -4); (4; 8) – ennek a rendszernek a megoldásai.
Hozzáadás módja.
Az összeadás módszere az, hogy ha egy adott rendszer olyan egyenletekből áll, amelyeket összeadva egy változóval egyenletet alkotnak, akkor ennek az egyenletnek a megoldásával megkapjuk az egyik változó értékét. A második változó értéke megtalálható, mint a helyettesítési módszernél.
Algoritmus rendszerek megoldásához az összeadás módszerével.
1. Egyenlítse ki az egyik ismeretlen együtthatójának moduljait!
2. A kapott egyenletek összeadásával vagy kivonásával keressen egy ismeretlent.
3. A talált értéket behelyettesítve az eredeti rendszer egyik egyenletébe, keresse meg a második ismeretlent.
1. számú példa. Oldja meg az egyenletrendszert az összeadás módszerével: x + y = 20, x – y = 10
Az első egyenletből kivonva a másodikat, azt kapjuk
Adjuk meg a második kifejezésből x = 20 - y
Helyettesítse y = 5-öt ebbe a kifejezésbe: x = 20 – 5 x = 15.
Válasz: (15; 5).
2. példa:
Ábrázoljuk a javasolt rendszer egyenleteit differencia formájában, megkapjuk
7y = 21, ahonnan y = 3
Helyettesítsük be ezt az értéket a rendszer második egyenletéből kifejezett x =-be, így x = 4-et kapunk.
Válasz: (4; 3).
3. példa:
2x + 11y = 15,
10x – 11 év = 9
Ezeket az egyenleteket összeadva a következőt kapjuk:
2x + 10x = 15 + 9
12x = 24 x = 2, ezt az értéket behelyettesítve a második egyenletbe, a következőt kapjuk:
10 * 2 – 11y = 9, ahonnan y = 1.
Ennek a rendszernek a megoldása a (2; 1) pár.
Grafikus módszer egyenletrendszerek megoldására.
Algoritmus.
1. Készítsen grafikonokat az egyes rendszeregyenletekről.
2. Határozza meg a megszerkesztett egyenesek metszéspontjának koordinátáit!
A vonalak kölcsönös elrendezésének esete egy síkon.
1. Ha az egyenesek metszik egymást, azaz van egy közös pontjuk, akkor az egyenletrendszernek egy megoldása van.
2. Ha az egyenesek párhuzamosak, azaz nincs közös pontjuk, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása.
3. Ha az egyenesek egybeesnek, azaz sok pontjuk van, akkor az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.
1. példa:
Oldja meg grafikusan az x – y = -1 egyenletrendszert,
Fejezzük ki y-t az első és a második egyenletből: y = 1 + x, y = 4 – 2x x
Készítsünk grafikonokat az egyes rendszeregyenletekről:
1) y = 1 + x – a függvény grafikonja az x 0 1 (1; 2) y 1 2 egyenes
2) y = 4 – 2x – a függvény grafikonja az x 0 1 y 4 2 egyenes
Válasz: (1; 2).
2. példa: y x + 2y = 6,
4y = 8 – 2x x y = , y = y = - a függvény grafikonja az x 0 2 y 3 2 y = - a függvény grafikonja az x 0 2 y 2 1 egyenes
Válasz: nincsenek megoldások.
3. példa: y x - 2y = 2,
3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - a függvény grafikonja az x 0 2 y -1 0 egyenes
Válasz: a rendszernek végtelen számú megoldása van.
Új változók bevezetésének módszere.
Az új változók bevezetésének módja az, hogy egy új változót csak egy egyenletbe viszünk be, vagy mindkét egyenlethez egyszerre két új változót, majd az egyenletet vagy egyenleteket az új változókra vonatkozóan megoldjuk, ezután marad egy egyszerűbb rendszer megoldása. egyenletek közül, amelyekből megtaláljuk a kívánt megoldást.
1. példa:
X + y = 5
Jelöljük = z, akkor =.
Az első egyenlet z + = formájú lesz, ekvivalens: 6z – 13 + 6 = 0. A kapott egyenlet megoldása után z = ; z =. Ekkor = vagy =, vagyis az első egyenlet két egyenletre bomlik, ezért két rendszerünk van:
X + y = 5 x + y = 5
Ezen rendszerek megoldásai az adott rendszer megoldásai.
Az első rendszer megoldása a (2; 3) pár, a második pedig a (3; 2) pár.
Ezért a + =, x + y = 5 rendszer megoldásai
A párok (2; 3); (3; 2)
2. példa:
Legyen = X, a = Y.
X = , 5 * - 2U = 1
5Х – 2У = 1 2,5 (8 – 3У) – 2У = 1
20 – 7,5 U – 2U = 1
X = , -9,5U = -19
5 * - 2U = 1 U = 2
Fordított cserét végzünk.
2 x = 1, y = 0,5
Válasz: (1; 0,5).
Szimmetrikus egyenletrendszerek.
Az n ismeretlent tartalmazó rendszert szimmetrikusnak nevezzük, ha nem változik az ismeretlenek átrendezésekor.
Két ismeretlen x és y egyenlet szimmetrikus rendszerét u = x + y, v = xy helyettesítésével oldjuk meg. Megjegyzendő, hogy a szimmetrikus rendszerekben előforduló kifejezéseket u-val és v-vel fejezzük ki. Adjunk néhány olyan példát, amelyek kétségtelenül érdekesek sok szimmetrikus rendszer megoldásához: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u (u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v stb.
Az x y, z ismeretlenek három egyenletének szimmetrikus rendszerét x + y + z = u, xy + yz + xz = w helyettesítésével oldjuk meg. Ha u, v, w megtalálható, akkor egy t2 – ut2 + vt – w = 0 köbegyenletet állítunk össze, amelynek t1, t2, t3 gyökei különböző permutációkban az eredeti rendszer megoldásai. Az ilyen rendszerekben a leggyakoribb kifejezéseket u, v, w a következőképpen fejezzük ki: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w
1. példa: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4
Legyen x + y = u, xy = v.
u2 – v = 13, u = 4
16 – v = 13, u = 4 v = 3, u = 4
Fordított cserét végzünk.
Válasz: (1; 3); (3; 1).
2. példa: x3 + y3 = 28, x + y = 4
Legyen x + y = u, xy = v.
u3 – 3uv = 28, u = 4
64 – 12 v = 28, u = 4
12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4
Fordított cserét végzünk.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
Válasz: (1; 3); (3; 1).
3. példa: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13
Legyen x =y = u, xy =v.
u + v = 7, u2 - v = 13 u2 - v = 13 u2 - 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 - u, u (u + 1) =20 u2 - v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4
Fordított cserét végzünk.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
Válasz: (1; 3); (3; 1).
4. példa: x + y = 5, x3 + y3 = 65
Legyen x + y = u, xy = v.
u = 5, u3 - 3uv = 65 u3 - 3uv = 65 125 - 15v = 65
15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4
Fordított cserét végzünk.
x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4
Válasz: (4; 1); (14).
5. példa: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23
Változtassuk meg az ismeretleneket, a rendszer u2 + v = 49, u + v = 23 alakot ölt.
Ezeket az egyenleteket összeadva u2 + u – 72 = 0 u1 = 8, u2 = -9 gyököket kapunk. Ennek megfelelően v1 = 15, v2 = 32. Marad az x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32 rendszerek halmazának megoldása.
Az x + y = 8 rendszernek vannak megoldásai: x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.
Az x + y = -9 rendszernek nincsenek valós megoldásai.
Válasz: (3; 5), (5; 3).
6. számú példa. Oldja meg az egyenletrendszert!
2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0
Az u = y + x és v = xy fő szimmetrikus polinomok felhasználásával a következő egyenletrendszert kapjuk
2u2 – 7v = 16, u + v = -3
A rendszer második egyenletéből a v = -3 – u kifejezést behelyettesítve az első egyenletbe, a következő 2u2 + 7u + 5 = 0 egyenletet kapjuk, melynek gyökerei u1 = -1 és u2 = -2,5; és ennek megfelelően a v1 = -2 és v2 = -0,5 értékeket v = -3 – u-ból kapjuk.
Most már meg kell oldani a következő rendszerek halmazát: x + y = -1, és x + y = -2,5, xy = -2 xy = -0,5
Ennek a rendszerhalmaznak, tehát az eredeti rendszernek (ekvivalenciájuk miatt) megoldásai a következők: (1; -2), (-2; 1), (;).
7. példa:
3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,
2x – 3xy + 2y + 8 = 0
Alapvető szimmetrikus polinomok segítségével a rendszer a következő formában írható fel
3uv – 2v = 78,
Ha a második egyenletből u = kifejezést adunk és behelyettesítjük az első egyenletbe, 9v2 – 28v – 156 = 0 eredményt kapunk. Ennek az egyenletnek a gyökei v1 = 6 és v2 = - lehetővé teszik, hogy megtaláljuk a megfelelő u1 = 5 értékeket, u2 = - az u = kifejezésből.
Most oldjuk meg az x + y = 5, és x + y = -, xy = 6 xy = - rendszerek következő halmazát.
x = 5 – y, és y = -x -, xy = 6 xy = -.
x = 5 – y, és y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = -.
x = 5 – y és y = -x - , y1 = 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 és x1 = , x2 = - y1 = 3, y2 =2 y1 = -, y2 =
Válasz: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).
Következtetés.
A cikk írása során megismerkedtem különböző típusú algebrai egyenletrendszerekkel. Összefoglaló tudományos információk az „Egyenletrendszerek” témában.
Rájöttem, és megtanultam megoldani új változók bevezetésével;
Áttekintette a szimmetrikus egyenletrendszerekhez kapcsolódó alapvető elméleteket
Megtanulta szimmetrikus egyenletrendszerek megoldását.
Az óra céljai:
- nevelési: homogén egyenletet tartalmazó egyenletrendszerek, szimmetrikus egyenletrendszerek megoldásának oktatása;
- fejlesztés: a gondolkodás, a figyelem, a memória fejlesztése, a fő dolog kiemelésének képessége;
- nevelési: kommunikációs készségek fejlesztése.
Az óra típusa: lecke az új anyagok tanulásáról.
Az alkalmazott oktatási technológiák:
- csoportokban dolgoznak;
- tervezési módszer.
Felszerelés: számítógép, multimédiás projektor.
Egy héttel az óra előtt a diákok kreatív feladatokhoz kapnak témákat (lehetőségek szerint).
I lehetőség. Szimmetrikus egyenletrendszerek. Megoldások.
lehetőség II. Homogén egyenletet tartalmazó rendszerek. Megoldások.
Minden tanulónak további oktatási irodalom felhasználásával meg kell találnia a megfelelő oktatási anyagot, ki kell választania egy egyenletrendszert és meg kell oldania.
Mindegyik lehetőségből egy diák multimédiás prezentációt készít a kreatív feladat témájában. A tanár szükség esetén tanácsot ad a tanulóknak.
I. A tanulók tanulási tevékenységének motiválása
Tanár megnyitó beszéde
Az előző leckében egyenletrendszerek megoldását néztük meg ismeretlenek helyettesítésével. Nincs általános szabály az új változók kiválasztására. Azonban kétféle egyenletrendszert lehet megkülönböztetni, ha van ésszerű változóválasztás:
- szimmetrikus egyenletrendszerek;
- egyenletrendszerek, amelyek közül az egyik homogén.
II. Új anyagok tanulása
A 2. lehetőség tanulói beszámolnak házi feladatukról.
1. A „Homogén egyenletet tartalmazó rendszerek” (1. prezentáció) multimédiás prezentáció diákjainak bemutatása.
2. Dolgozzon diákpárokban, akik ugyanannál az asztalnál ülnek: a 2. lehetőség egyik tanulója elmagyarázza az asztalszomszédjának egy homogén egyenletet tartalmazó rendszer megoldását.
Diákjelentés az 1. lehetőségről.
1. A „Szimmetrikus egyenletrendszerek” multimédiás prezentáció (2. prezentáció) diákjainak bemutatása.
A tanulók a füzetükbe írják:
2. Dolgozzon diákpárokban, akik ugyanannál az asztalnál ülnek: az 1. lehetőség egyik tanulója elmagyarázza az asztalszomszédjának a szimmetrikus egyenletrendszer megoldását.
III. A tanult anyag megerősítése
Csoportos munkavégzés (a szomszédos asztaloknál ülő tanulók 4 fős csoportba egyesülnek).
A 6 csoport mindegyike elvégzi a következő feladatot.
Határozza meg a rendszer típusát és oldja meg:
A tanulók csoportosan elemzik a rendszereket, meghatározzák azok típusát, majd a frontális munka során megbeszélik a rendszerek megoldásait.
rendszer
szimmetrikus, vezessünk be új változókat x+y=u, xy=v
b) rendszer
homogén egyenletet tartalmaz.
A számpár (0;0) nem megoldása a rendszernek.
IV. A tanulók tudásának nyomon követése
Önálló munka opciókkal.
Oldja meg az egyenletrendszert:
A tanulók füzeteiket ellenőrzésre átadják a tanárnak.
V. Házi feladat
1. Minden tanuló kitöltötte.
Oldja meg az egyenletrendszert:
2. „Erős” tanulók adják elő.
Oldja meg az egyenletrendszert:
VI. Óra összefoglalója
Kérdések:
Milyen típusú egyenletrendszereket tanult az órán?
Milyen egyenletrendszer-megoldási módszert alkalmaznak ezek megoldására?
A tanulók által az óra során kapott osztályzatok jelentése.
1.
Az egyenleteket ún 3. fokú szimmetrikus egyenletek, ha megvan a forma
ax 3 + bx 2 + bx + a = 0.
Az ilyen típusú egyenletek sikeres megoldásához hasznos ismerni és használni a reciprok egyenletek alábbi egyszerű tulajdonságait:
A) Bármely páratlan fokú reciprok egyenlet gyöke mindig -1.
Valóban, ha a bal oldalon lévő tagokat a következőképpen csoportosítjuk: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, akkor el lehet távolítani a közös tényezőt, pl. (x + 1)(ax 2 + (b – a)x + a) = 0, ezért
x + 1 = 0 vagy ax 2 + (b – a)x + a = 0, az első egyenlet bizonyítja a minket érdeklő állítást.
b) A reciprok egyenletnek nincs nullával egyenlő gyöke.
V) Ha egy páratlan fokú polinomot osztunk (x + 1-gyel), a hányados ismét egy ismétlődő polinom, és ezt indukcióval igazoljuk.
Példa.
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.
Megoldás.
Az eredeti egyenletnek szükségszerűen x = -1 gyöke van, ezért az x 3 + 2x 2 + 2x + 1-et elosztjuk (x + 1) -vel a Horner-séma szerint:
| . |
1 |
2 |
2 |
1 |
| -1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1) (x 2 + x + 1) = 0.
Az x 2 + x + 1 = 0 másodfokú egyenletnek nincs gyöke.
Válasz: -1.
2.
Az egyenleteket ún 4. fokú szimmetrikus egyenletek, ha megvan a forma
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
Megoldási algoritmus hasonló egyenletek:
A) Osszuk el az eredeti egyenlet mindkét oldalát x 2-vel. Ez a művelet nem vezet a gyökér elvesztéséhez, mert x = 0 nem megoldása az adott egyenletre.
b) Csoportosítással hozza az egyenletet a következő alakba:
a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
V) Adjon meg egy új ismeretlent: t = (x + 1/x).
Végezzük el a transzformációt: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Ha most x 2 + 1/x 2-t fejezünk ki, akkor t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2.
G) Oldja meg a kapott másodfokú egyenletet új változókban:
at 2 + bt + c – 2a = 0.
d) Hajtsa végre a fordított helyettesítést.
Példa.
6x 4 - 5x 3 - 38x 2 - 5x + 6 = 0.
Megoldás.
6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.
6 (x 2 + 1/x 2) – 5 (x + 1/x) – 38 = 0.
Írja be t: helyettesítés (x + 1/x) = t. Helyettesítés: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, van:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 vagy t = 10/3.
Térjünk vissza az x változóhoz. A fordított behelyettesítés után megoldjuk a két eredményül kapott egyenletet:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 vagy x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 – 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 vagy x = 1/3.
Válasz: -2; -1/2; 1/3; 3.
Bizonyos típusú magasabb fokú egyenletek megoldási módszerei
1. Egyenletek, amelyeknek van formája (x + a) n + (x + b) n = c, t = x + (a + b)/2 helyettesítésével oldjuk meg. Ezt a módszert hívják szimmetrizáló módszer.
Egy ilyen egyenletre példa az (x + a) 4 + (x + b) 4 = c alakú egyenlet.
Példa.
(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.
Megoldás.
Elvégezzük a fent említett helyettesítést:
t = x + (3 + 1)/2 = x + 2, egyszerűsítés után: x = t – 2.
(t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272.
A zárójeleket képletekkel eltávolítva a következőt kapjuk:
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 – 270 = 0.
t 4 + 6t 2 – 135 = 0.
t 2 = 9 vagy t 2 = -15.
A második egyenlet nem ad gyöket, de az elsőből t = ±3.
Fordított behelyettesítés után azt kapjuk, hogy x = -5 vagy x = 1.
Válasz: -5; 1.
Az ilyen egyenletek megoldására gyakran hatékony az egyenlet bal oldalának faktorálási módszere.
2. Az alak egyenletei (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, ahol a + d = c + b.
Az ilyen egyenletek megoldásának technikája a zárójelek részleges kinyitása, majd egy új változó bevezetése.
Példa.
(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 24.
Megoldás.
Kiszámoljuk: 1 + 4 = 2 + 3. Csoportosítsd párokba a zárójeleket:
((x + 1) (x + 4)) ((x + 2) (x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.
Ha az x 2 + 5x + 4 = t behelyettesítést elvégezzük, megkapjuk az egyenletet
t(t + 2) = 24, ez négyzet:
t 2 + 2t – 24 = 0.
t = -6 vagy t = 4.
A fordított helyettesítés végrehajtása után könnyen megtaláljuk az eredeti egyenlet gyökereit.
Válasz: -5; 0.
3. Az alak egyenletei (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = Ax 2, ahol ad = cb.
A megoldási módszer a zárójelek részleges kinyitása, mindkét oldal elosztása x 2-vel, és egy másodfokú egyenletsor megoldása.
Példa.
(x + 12) (x + 2) (x + 3) (x + 8) = 4x 2.
Megoldás.
A bal oldal első két és utolsó két zárójelét megszorozva a következőt kapjuk:
(x 2 + 14x + 24) (x 2 + 11x + 24) = 4x 2. Oszd x 2 ≠ 0-val.
(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. (x + 24/x) = t behelyettesítve a másodfokú egyenlethez jutunk:
(t + 14) (t + 11) = 4;
t 2 + 25x + 150 = 0.
t = 10 vagy t = 15.
Ha a fordított helyettesítést x + 24/x = 10 vagy x + 24/x = 15 -re tesszük, megtaláljuk a gyököket.
Válasz: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4.
Oldja meg a (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1 egyenletet.
Megoldás.
Ezt az egyenletet nehéz azonnal osztályozni és megoldási módot választani. Ezért először transzformáljuk a négyzetek és a kockák különbségének felhasználásával:
((3x + 5) 2 – 4x 2) + ((x + 6) 3 – 1) = 0. Ekkor a közös tényező kivételével egy egyszerű egyenlethez jutunk:
(x + 5) (x 2 + 18x + 48) = 0.
Válasz: -5; -9 ± √33.
Feladat.
Szerkesszünk meg egy harmadik fokú polinomot, amelyben egy 4-gyel egyenlő gyök 2-vel egyenlő, a gyök pedig -2-vel.
Megoldás.
f(x)/((x – 4) 2 (x + 2)) = q(x) vagy f(x) = (x – 4) 2 (x + 2) q(x).
Az első két zárójelet megszorozva és hasonló tagokat hozva a következőt kapjuk: f(x) = (x 3 – 6x 2 + 32)q(x).
x 3 – 6x 2 + 32 egy harmadfokú polinom, ezért q(x) valamilyen szám R(azaz igazi). Legyen q(x) egy, akkor f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
Válasz: f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell egyenleteket megoldani?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.
