A trigonometrikus függvények értéktáblázata

jegyzet. Ez a trigonometrikus függvényértékek táblázata a √ jelet használja a négyzetgyök megjelenítésére. Törtszám jelzéséhez használja a "/" szimbólumot.

Lásd még hasznos anyagok:

Mert trigonometrikus függvény értékének meghatározása, keresse meg a trigonometrikus függvényt jelző egyenes metszéspontjában. Például szinusz 30 fok - megkeressük a sin (szinusz) fejlécű oszlopot, és megtaláljuk ennek a táblázatoszlopnak a metszéspontját a „30 fokos” sorral, a metszéspontjuknál olvassuk le az eredményt - az egyik felét. Hasonlóképpen találjuk koszinusz 60 fokok, szinusz 60 fokok (még egyszer a sin oszlop és a 60 fokos egyenes metszéspontjában a sin 60 = √3/2 értéket találjuk) stb. A szinuszok, koszinuszok és más „népszerű” szögek érintőinek értékei ugyanúgy megtalálhatók.

Szinusz pi, koszinusz pi, tangens pi és egyéb szögek radiánban

Az alábbi koszinuszokat, szinuszokat és érintőket tartalmazó táblázat alkalmas olyan trigonometrikus függvények értékének meghatározására is, amelyek argumentuma radiánban megadva. Ehhez használja a szögértékek második oszlopát. Ennek köszönhetően átválthatja a népszerű szögek értékét fokról radiánra. Például keressük meg az első sorban a 60 fokos szöget, és olvassuk le alatta az értékét radiánban. 60 fok egyenlő π/3 radiánnal.

A pi szám egyértelműen kifejezi a kerületnek a szög mértékétől való függését. Így a pi radián 180 fokkal egyenlő.

Bármely pi-ben (radiánban) kifejezett szám könnyen átváltható fokokká, ha a pi (π)-t 180-ra cseréljük..

Példák:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
így a pi szinusza megegyezik 180 fokos szinuszával, és egyenlő nullával.

2. Koszinusz pi.
cos π = cos 180 = -1
így a pi koszinusza megegyezik 180 fokos koszinuszával, és egyenlő mínusz eggyel.

3. Érintő pi
tg π = tg 180 = 0
így a pi érintő megegyezik a 180 fokos érintővel, és egyenlő nullával.

Szinusz, koszinusz, érintő értékek táblázata 0 - 360 fokos szögekhez (közös értékek)

szög α értéke (fok)	szög α értéke radiánban (a pi-n keresztül)	bűn (sinus)	kötözősaláta (koszinusz)	tg (tangens)	ctg (kotangens)	mp (metsző)	cosec (koszekáns)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ha a trigonometrikus függvények értéktáblázatában a függvény értéke helyett kötőjel van feltüntetve (tangens (tg) 90 fok, kotangens (ctg) 180 fok), akkor a szög fokmértékének adott értékéhez a függvény nincs konkrét értéke. Ha nincs kötőjel, a cella üres, ami azt jelenti, hogy még nem adtuk meg a szükséges értéket. Érdekelnek bennünket, hogy a felhasználók milyen lekérdezésekre keresnek fel minket, és új értékekkel egészítik ki a táblázatot, annak ellenére, hogy a legáltalánosabb szögértékek koszinuszainak, szinuszainak és érintőinek aktuális adatai elégségesek a legtöbb megoldáshoz. problémákat.

A sin, cos, tg trigonometrikus függvények értéktáblázata a legnépszerűbb szögekhez
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 fok
(numerikus értékek „a Bradis táblázatok szerint”)

α szög értéke (fok)	α szög értéke radiánban	bűn (szinusz)	cos (koszinusz)	tg (érintő)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

A szinusz az egyik alapvető trigonometrikus függvény, amelynek használata nem korlátozódik csupán a geometriára. A trigonometrikus függvények számítására szolgáló táblázatok, mint például a mérnöki számológépek, nem mindig vannak kéznél, és a szinusz kiszámítására néha szükség van különféle problémák megoldásához. Általában a szinusz kiszámítása segít megszilárdítani a rajzkészségeket és a trigonometrikus azonosságok ismeretét.

Játékok vonalzóval és ceruzával

Egy egyszerű feladat: hogyan találjuk meg a papírra rajzolt szög szinuszát? A megoldáshoz rendszeres vonalzóra, háromszögre (vagy iránytűre) és ceruzára lesz szüksége. A szög szinuszának kiszámításának legegyszerűbb módja, ha egy derékszögű háromszög távolabbi lábát elosztjuk a hosszú oldallal - a hipotenuzszal. Így először be kell fejeznie a hegyesszöget egy derékszögű háromszög alakjához úgy, hogy az egyik sugárra merőleges vonalat húz a szög csúcsától tetszőleges távolságra. Pontosan 90°-os szöget kell fenntartanunk, amihez szükségünk van egy irodai háromszögre.

Az iránytű használata kicsit pontosabb, de több időt vesz igénybe. Az egyik sugáron meg kell jelölnie 2 pontot egy bizonyos távolságban, be kell állítania az iránytű sugarát, amely megközelítőleg megegyezik a pontok közötti távolsággal, és ezeken a pontokon félköröket kell rajzolni középpontokkal, amíg el nem éri a vonalak metszéspontját. Köreink metszéspontjait egymással összekötve szigorú merőlegest kapunk a szögünk sugarára, nem kell mást tenni, mint meghosszabbítani az egyenest addig, amíg egy másik sugárral nem metszi.

A kapott háromszögben vonalzóval kell megmérni a sarokkal szemközti oldalt és az egyik sugár hosszú oldalát. Az első és a második méret aránya a hegyesszög szinuszának kívánt értéke lesz.

Keresse meg a szinuszát 90°-nál nagyobb szög esetén

Tompaszög esetén a feladat nem sokkal nehezebb. A csúcsból ellentétes irányú sugarat kell rajzolnunk egy vonalzó segítségével, hogy egyenes vonalat képezzünk a minket érdeklő szög egyik sugarával. Az így kapott hegyesszöget a fent leírtak szerint kell kezelni; a szomszédos szögek szinuszai, amelyek együtt 180°-os fordított szöget alkotnak, egyenlőek.

Szinusz számítása más trigonometrikus függvényekkel

A szinusz kiszámítása akkor is lehetséges, ha a szög egyéb trigonometrikus függvényeinek értékei vagy legalább a háromszög oldalainak hossza ismert. A trigonometrikus azonosságok ebben segítenek nekünk. Nézzük a gyakori példákat.

Hogyan találjuk meg a szinust egy ismert szög koszinuszával? A Pitagorasz-tételen alapuló első trigonometrikus azonosság kimondja, hogy az azonos szögű szinusz és koszinusz négyzeteinek összege eggyel egyenlő.

Hogyan találjuk meg a szinust ismert szög érintővel? Az érintőt úgy kapjuk meg, hogy a távoli oldalt elosztjuk a közeli oldallal, vagy elosztjuk a szinust a koszinusszal. Így a szinusz a koszinusz és az érintő szorzata lesz, a szinusz négyze pedig ennek a szorzatnak a négyzete. A koszinusz négyzetét az egység és a négyzetes szinusz különbségével helyettesítjük az első trigonometrikus azonosság szerint, és egyszerű manipulációkkal az egyenletet az érintőn keresztüli négyzetes szinusz kiszámítására redukáljuk; ennek megfelelően a szinusz kiszámításához ki kell bontani a kapott eredmény gyökerét.

Hogyan találjuk meg a szinust egy ismert szög kotangensével? A kotangens értéke kiszámítható úgy, hogy a szöghez legközelebb eső láb hosszát elosztjuk a távolabbi hosszával, valamint elosztjuk a koszinuszát a szinuszossal, vagyis a kotangens az érintő relatív relatív függvénye. A szinusz kiszámításához a tg α = 1 / ctg α képlet segítségével számíthatja ki az érintőt, és használja a második lehetőség képletét. Az érintővel analógiával egy közvetlen képletet is levezethet, amely így fog kinézni.

Hogyan találjuk meg a háromszög három oldalának szinuszát

Van egy képlet bármely háromszög ismeretlen oldalának hosszának meghatározására, nem csak egy derékszögű háromszögre, két ismert oldalból, a szemközti szög koszinuszának trigonometrikus függvényével. Így néz ki.

Nos, a szinusz tovább számítható a koszinuszból a fenti képletek szerint.

Az óra céljai:

A fő didaktikai cél: mérlegelni minden lehetséges módot ennek az egyenletnek a megoldására.

Oktatási: trigonometrikus egyenletek megoldásának új technikáinak elsajátítása kreatív helyzetben tartott szemináriumi óra példáján.

Fejlesztő: trigonometrikus egyenletek megoldásának általános technikáinak kialakítása; a tanulók mentális működésének javítása; a szóbeli monológ matematikai beszéd készségeinek fejlesztése trigonometrikus egyenlet megoldásának bemutatásakor.

Pedagógusok: önállóság és kreativitás fejlesztése; hozzájárulnak ahhoz, hogy az iskolásokban kialakuljon a vágy és az igény, hogy általánosítsák a vizsgált tényeket.

Kérdések a felkészüléshez és a szeminárium további megbeszéléséhez.

Minden tanulót csoportokra osztanak (2-4 fő) a tanulók összlétszámától és egyéni képességeitől, vágyaitól függően. Önállóan határozzák meg a tanórai szemináriumon való felkészülés és előadás témáját. A csoportból egy fő beszél, a többi tanuló pedig szükség esetén részt vesz a kiegészítésekben, hibajavításokban.

Idő szervezése.

Tájékoztatjuk a hallgatókat:

Az óra témája:

„A sin x - cos x = 1 trigonometrikus egyenlet megoldásának különböző módjai

Forma: lecke - szeminárium.

Epigraph a leckéhez:

„Egy nagy tudományos felfedezés megoldást ad egy nagy problémára, de minden probléma megoldásában van egy szemcsés felfedezés. Lehet, hogy a megoldandó probléma szerény, de ha megkérdőjelezi kíváncsiságát és találékonyságra kényszerít, és ha egyedül oldja meg, akkor megtapasztalhatja azt a lelki feszültséget, amely a felfedezéshez vezet, és élvezheti a győzelem örömét.”

(D. Polya)

Az óra céljai:

a) mérlegelje ugyanazon egyenlet különböző módon történő megoldásának lehetőségét;
b) megismeri a trigonometrikus egyenletek megoldásának különféle általános technikáit;
c) új anyag tanulmányozása (segédszög bevezetése, univerzális helyettesítés).

Szeminárium terve

1. Az egyenlet redukálása homogén egyenletté a szinusz és a koszinusz tekintetében.
2. Az egyenlet bal oldalának faktorálása.
3. Segédszög bevezetése.
4. A trigonometrikus függvények különbségének (vagy összegének) szorzattá alakítása.
5. Az egyik függvény másodfokú egyenletére való redukció.
6. Állítsa négyzetre az egyenlet mindkét oldalát.
7. Minden függvény kifejezése tg x-en keresztül (univerzális helyettesítés).
8. Az egyenlet grafikus megoldása.

1. A szót az első résztvevő kapja meg.

A sin x - cos x = 1 egyenletet homogén egyenletté redukáljuk a szinusz és a koszinusz tekintetében.
Bővítsük ki a bal oldalt a kettős argumentumképletek szerint, és a jobb oldalt cseréljük ki egy trigonometrikus egységre, az alap trigonometrikus azonosságot használva:

2 sin cos - cos + sin = sin + cos;

2 sin cos - cos =0 ;
kötözősaláta = 0;
A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla, a többi pedig nem veszíti el jelentését, ezért ebből következik

cos =0; =

= 0 - elsőfokú homogén egyenlet. Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk cos-szal. (cos 0, mert ha cos = 0, akkor sin - 0 = 0 sin = 0, és ez ellentmond a sin + cos = 1 trigonometrikus azonosságnak).

Válasz:
2. A szót a második résztvevő kapja meg.

A sin x - cos x = 1 egyenlet bal oldalának faktorálása.

sin x – (1+ cos x) = 1; az 1+ cos x = 2 képleteket használjuk, kapunk ;
további hasonló:

a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla, és a többi nem veszíti el értelmét, ezért ebből következik

cos =0; =
= 0 - elsőfokú homogén egyenlet. Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk cos-szal. (cos 0, hiszen ha cos = 0, akkor sin - 0 = 0 sin = 0, és ez ellentmond a sin + cos = 1 trigonometrikus azonosságnak)

Azt kapjuk, hogy tg -1 = 0 ; tg = 1; =
Válasz:

3. A szót a harmadik résztvevő kapja meg.

A sin x - cos x = 1 egyenlet megoldása segédszög bevezetésével.

Tekintsük a sin x - cos x = 1 egyenletet. Szorozzuk meg és osszuk el a bal oldalon lévő tagokat
egyenletek . Kapunk és tedd a zárójelen kívülre az egyenlet bal oldalán. Kapunk ; Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát, és használjuk a trigonometrikus függvények táblázatos értékeit. Kapunk ; Alkalmazzuk a szinuszkülönbség képletét.
;

Könnyen megállapítható (trigonometrikus kör segítségével), hogy a kapott megoldás két esetre oszlik:

;

Válasz:

4. A szót a negyedik résztvevő kapja meg.

A sin x - cos x = 1 egyenlet megoldása trigonometrikus függvények különbségének (vagy összegének) szorzattá alakításával.

Írjuk fel az egyenletet a formába a redukciós képlet segítségével . Két szinusz különbségének képletét alkalmazva azt kapjuk, hogy

;

Válasz:

5. A szót az ötödik résztvevő kapja meg.

A sin x - cos x = 1 egyenlet megoldása úgy, hogy az egyik függvény másodfokú egyenletére redukáljuk.

Tekintsük az alapvető trigonometrikus azonosságot , ami következik
Helyettesítsük be a kapott kifejezést ebbe az egyenletbe.
sin x - cos x = 1 ,

Tegyük négyzetre a kapott egyenlet mindkét oldalát:

A megoldási folyamat során az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeltük, ami idegen megoldások megjelenéséhez vezethet, ezért szükséges az igazolás. Csináljuk.

A kapott megoldások egyenértékűek három megoldás kombinálásával:

Az első és a második megoldás egybeesik a korábban kapott megoldással, ezért nem idegenek. Marad a harmadik megoldás ellenőrzése Cseréljük.
Bal oldal:

Jobb oldal: 1.

Megkaptuk: ezért - külső döntés.

Válasz:

6. A szót a hatodik résztvevő kapja meg.

Tegye négyzetre a sin x - cos x = 1 egyenlet mindkét oldalát.

Tekintsük a sin x - cos x = 1 egyenletet. Emeljük négyzetre ennek az egyenletnek mindkét oldalát.

;

Az alap trigonometrikus azonosság és a kettős szög szinusz képlet segítségével kapjuk ; sin 2x = 0 ; . nincs értelme, azaz vagy .

Meg kell vizsgálni, hogy ezek megoldásai-e ennek az egyenletnek. Helyettesítsük be ezeket a megoldásokat az egyenlet bal és jobb oldalára.

Bal oldal: .

Jobb oldal: 1.

1=1-et kaptunk. Ez azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek ez a megoldása.

Válasz:

8. A szót a nyolcadik résztvevő kapja meg.

Tekintsük a sin x - cos x = 1 egyenlet grafikus megoldását.

Írjuk fel a vizsgált egyenletet sin x = 1 + cos x alakban.

Készítsünk függvénygráfokat az Oxy koordinátarendszerben az egyenlet bal és jobb oldalának megfelelő függvényekből. A gráfok metszéspontjainak abszcisszái ennek az egyenletnek a megoldásai.

y = sin x – grafikon: szinuszos.
y = cos x +1 – grafikon: koszinusz hullám y = cos x, 1-gyel felfelé tolva az Oy tengely mentén. A metszéspontok abszcisszái ennek az egyenletnek a megoldásai.

Válasz:

Óra összefoglalója.

A felhasznált irodalom listája:

1. Tatarchenkova S.S. A lecke, mint pedagógiai jelenség - Szentpétervár: Karo, 2005
2. Vygodsky N.V. Az elemi matematika kézikönyve.-M.: Nauka, 1975.
3. Vilenkin N.Ya. és mások.A matematika tankönyv lapjai mögött: Számtan. Algebra. Geometria: Könyv 10-11. osztályos tanulóknak - M.: Nevelés, 1996.
4. Gnedenko B.V. Esszék az oroszországi matematika történetéről - M.: OGIZ, 1946.
5. Depman I.Ya. és mások Egy matematika tankönyv lapjai mögött - M.: Nevelés, 1999.
6. Dorofejev G.V. és mások Matematika: egyetemre lépőknek - M.: Bustard, 2000.
7. Matematika: Nagy enciklopédikus szótár. – M.: TSB, 1998.
8. Mordkovich A.G. stb. Iskolások matematikai kézikönyve. 10-11 évfolyam Az algebra és az elemzés kezdetei. – M.: Akvárium, 1997.
9. 300 versenyfeladat a matematikában. – M.: Rolf, 2000.
10. 3600 probléma az algebráról és az elemzési elvekről. – M.: Túzok, 1999.
11. Iskolai tanterv táblázatokban és képletekben. Nagy univerzális kézikönyv. – M.: Túzok, 1999.
12. Torosyan V.G. Neveléstörténet és pedagógiai gondolkodás: tankönyv. egyetemisták számára. - M.: VLADOS-PRESS Kiadó, 2006.- 351 p.
13. Krylova N.B. A pedagógiai, pszichológiai és erkölcsi támogatás, mint a személyes változások tere a gyermekben és a felnőttben // Osztályfőnök - 2000. - 3. sz. –P.92-103.

Ha olyan egységkört készítünk, amelynek középpontja az origóban van, és az argumentumnak tetszőleges értéket állítunk be x 0és számolja a tengelytől Ökör sarok x 0, akkor ez a szög az egységkörön egy bizonyos pontnak felel meg A(1. ábra) és a tengelyre való vetülete Ó lesz pont M. Szakasz hossza OM egyenlő a pont abszcisszájának abszolút értékével A. Adott argumentumérték x 0 függvény értéke leképezve y=cos x 0 mint az abszcissza pontok A. Ennek megfelelően pont BAN BEN(x 0 ;nál nél 0) a függvény grafikonjához tartozik nál nél=cos x(2. ábra). Ha a lényeg A a tengelytől jobbra van OU, Az aktuális szinusz pozitív lesz, de ha balra, akkor negatív lesz. De mindegy, pont A nem hagyhatja el a kört. Ezért a koszinusz –1 és 1 közötti tartományban van:

–1 = cos x = 1.

További elforgatás bármilyen szögben, 2 többszöröse p, visszaadja a pontot A ugyanoda. Ezért a funkció y = kötözősaláta xp:

kötözősaláta( x+ 2p) = cos x.

Ha az argumentum két értékét vesszük, abszolút értékben egyenlő, de előjelben ellentétes, xÉs - x, keresse meg a kör megfelelő pontjait Egy xÉs A -x. ábrán látható. 3 a tengelyre való vetületüket Ó ugyanaz a pont M. Ezért

kötözősaláta(- x) = cos ( x),

azok. koszinusz páros függvény, f(–x) = f(x).

Ez azt jelenti, hogy feltárhatjuk a függvény tulajdonságait y=cos x a szegmensen , majd vegye figyelembe annak paritását és periodicitását.

Nál nél x= 0 pont A a tengelyen fekszik Ó, abszcisszán 1, ezért cos 0 = 1. Növekvéssel x pont A felfelé és balra mozog a kör körül, a vetülete természetesen csak balra van, és x = p/2 koszinusz egyenlővé válik 0-val. Pont A ebben a pillanatban felemelkedik maximális magasságára, majd tovább halad balra, de már lefelé halad. Abszcisszája addig csökken, amíg el nem éri a legkisebb értéket, amely egyenlő –1 at x= p. Így az intervallumon a függvény nál nél=cos x monoton 1-ről –1-re csökken (4., 5. ábra).

A koszinusz paritásából az következik, hogy a [– p, 0] a függvény monoton módon növekszik –1-ről 1-re, és nulla értéket vesz fel x =–p/2. Ha több időszakot vesz fel, hullámos görbét kap (6. ábra).

Tehát a funkció y=cos x pontokban nulla értéket vesz fel x= p/2 + kp, Ahol k – tetszőleges egész szám. A pontoknál az 1-gyel egyenlő maximumot érik el x= 2kp, azaz 2-es lépésekben p, és pontokban –1-gyel egyenlő minimumok x= p + 2kp.

Függvény y = sin x.

Az egységkör sarkán x A 0 egy pontnak felel meg A(7. ábra), és a tengelyre való vetülete OU lesz pont N.Z függvény értéke y 0 = bűn x 0 pont ordinátájaként határozzuk meg A. Pont BAN BEN(sarok x 0 ,nál nél 0) a függvény grafikonjához tartozik y= bűn x(8. ábra). Egyértelmű, hogy a funkció y = bűn x periodikus, periódusa 2 p:

bűn( x+ 2p) = bűn ( x).

Két argumentumérték esetén xÉs - , megfelelő pontjainak vetületei Egy xÉs A -x tengelyenként OU ponthoz képest szimmetrikusan helyezkedik el RÓL RŐL. Ezért

bűn(- x) = –sin ( x),

azok. a szinusz páratlan függvény, f(– x) = –f( x) (9. ábra).

Ha a lényeg A ponthoz képest elforgatni RÓL RŐL szögben p/2 az óramutató járásával ellentétes irányban (más szóval, ha a szög xértékkel növeljük p/2), akkor az új pozícióban lévő ordinátája egyenlő lesz a régi abszcisszával. Ami azt jelenti

bűn( x+ p/2) = cos x.

Ellenkező esetben a szinusz egy „késői” koszinusz p/2, mivel bármely koszinusz érték „megismétlődik” a szinuszban, amikor az argumentum ennyivel nő p/2. Egy szinuszgráf felépítéséhez pedig elegendő a koszinusz gráfot eltolni p/2 jobbra (10. kép). A szinusz egy rendkívül fontos tulajdonságát fejezi ki az egyenlőség

Az egyenlőség geometriai jelentése az ábrán látható. 11. Itt X - ez egy fél ív AB, mint a X - a megfelelő akkord fele. Nyilvánvaló, hogy ahogy közelednek a pontok AÉs BAN BEN az akkord hossza egyre inkább megközelíti az ív hosszát. Ugyanebből az ábrából könnyen levezethető az egyenlőtlenség

|bűn x| x|, bármelyikre igaz x.

A matematikusok a (*) képletet figyelemre méltó határértéknek nevezik. Ebből különösen az a bűn következik x» x kicsiben x.

Funkciók nál nél= tg x, y=ctg x. A másik két trigonometrikus függvény, az érintő és a kotangens, legkönnyebben a szinusz és a koszinusz általunk már ismert arányaként határozható meg:

A szinuszhoz és a koszinuszhoz hasonlóan az érintő és a kotangens is periodikus függvények, de periódusuk egyenlő p, azaz feleakkorák a szinusz és a koszinusz. Ennek oka egyértelmű: ha a szinusz és a koszinusz egyaránt előjelet vált, akkor az arányuk nem változik.

Mivel az érintő nevezője koszinuszot tartalmaz, az érintő nincs meghatározva azokon a pontokon, ahol a koszinusz 0 - ha x= p/2 +kp. Minden más ponton monoton növekszik. Közvetlen x= p/2 + kp az érintő esetében függőleges aszimptoták. A pontokon kp az érintő és a meredekség 0, illetve 1 (12. ábra).

A kotangens nincs megadva ott, ahol a szinusz 0 (amikor x = kp). Más pontokon monoton csökken, és egyenes vonalak x = kp – vertikális aszimptotái. A pontokon x = p/2 +kp a kotangens 0 lesz, és ezekben a pontokban a meredekség –1 (13. ábra).

Paritás és periodicitás.

Egy függvényt akkor is hívunk, ha f(–x) = f(x). A koszinusz és a szekáns függvények párosak, a szinusz, az érintő, a kotangens és a koszekáns függvények pedig páratlanok:

sin (–α) = – sin α	tan (–α) = – cser α
cos (–α) = cos α	ctg (–α) = – ctg α
sec (–α) = sec α	cosec (–α) = – cosec α

A pontok szimmetriájából a paritási tulajdonságok következnek P a és R- a (14. ábra) a tengelyhez képest x. Ilyen szimmetria mellett a pont ordinátája előjelet vált (( x;nál nél) megy ( x; –у)). Minden függvény - periodikus, szinusz, koszinusz, szekáns és koszekáns - periódusa 2 p, és érintő és kotangens - p:

bűn (α + 2 kπ) = sin α	cos(α+2 kπ) = cos α
tg(α+ kπ) = tan α	kiságy(α+ kπ) = cotg α
mp (α + 2 kπ) = sec α	cosec(α+2 kπ) = cosec α

A szinusz és koszinusz periodicitása abból következik, hogy minden pont P a+2 kp, Ahol k= 0, ±1, ±2,…, egybeesik, az érintő és a kotangens periodicitása pedig abból adódik, hogy a pontok P a+ kp váltakozva essen a kör két, egymással átlósan ellentétes pontjába, és ugyanazt a pontot adja az érintőtengelyen.

A trigonometrikus függvények főbb tulajdonságait egy táblázatban foglalhatjuk össze:

Funkció	Tartomány	Többféle jelentés	Paritás	A monoton területek ( k= 0, ± 1, ± 2,…)
bűn x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	páratlan	-vel növekszik x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), ponttal csökken x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2)
kötözősaláta x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	még	Növeli a x O((2 k – 1) p, 2kp), csökken a x O(2 kp, (2k + 1) p)
tg x	x № p/2 + p k	(–Ґ , +Ґ )	páratlan	-vel növekszik x O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)
ctg x	x № p k	(–Ґ , +Ґ )	páratlan	órakor csökken x RÓL RŐL ( kp, (k + 1) p)
mp x	x № p/2 + p k	(–Ґ , –1] ÉS [+1, +Ґ )	még	Növeli a x O(2 kp, (2k + 1) p), csökken a x O((2 k– 1) p , 2 kp)
cosec x	x № p k	(–Ґ , –1] ÉS [+1, +Ґ )	páratlan	-vel növekszik x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), ponttal csökken x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2)

Redukciós képletek.

Ezen képletek szerint az a, ahol argumentum trigonometrikus függvényének értéke p/2 a p , az a argumentumfüggvény értékére redukálható, ahol 0 a p /2, akár azonos, akár kiegészítője.

Érv b	-a	+ a	p-a	p+ a	+ a	+ a	2p-a
bűn b	cos a	cos a	bűn a	–sin a	– mivel a	– mivel a	–sin a
cos b	bűn a	–sin a	– mivel a	– mivel a	–sin a	bűn a	cos a

Ezért a trigonometrikus függvények táblázataiban az értékek csak hegyesszögekre vannak megadva, és elegendő például a szinuszra és az érintőre korlátozni magunkat. A táblázat csak a leggyakrabban használt szinusz- és koszinuszképleteket tartalmazza. Ezekből könnyen beszerezhető az érintő és a kotangens képlete. Amikor függvényt öntünk az űrlap argumentumából kp/2 ± a, ahol k– egy egész szám, az a argumentum függvényében:

1) a függvény neve mentésre kerül, ha k páros, és "kiegészítő"-re változik, ha k páratlan;

2) a jobb oldali előjel egybeesik a pontban lévő redukálható függvény előjelével kp/2 ± a, ha az a szög hegyes.

Például ctg leadásakor (a – p/2) Gondoskodunk arról, hogy a – p/2 0-nál a p /2 a negyedik kvadránsban van, ahol a kotangens negatív, és az 1. szabály szerint megváltoztatjuk a függvény nevét: ctg (a – p/2) = –tg a .

Összeadási képletek.

Képletek több szöghez.

Ezek a képletek közvetlenül az összeadási képletekből származnak:

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

A cos 3a képletét François Viète használta a köbös egyenlet megoldása során. Ő volt az első, aki kifejezéseket talált a cos-ra n a és bűn n a, amelyeket később egyszerűbb módon Moivre képletéből kaptunk.

Ha az a-t /2-re cseréli a dupla argumentumú képletekben, akkor azok félszög képletekre konvertálhatók:

Univerzális helyettesítési képletek.

Ezekkel a képletekkel ugyanazon argumentum különböző trigonometrikus függvényeit tartalmazó kifejezés átírható egyetlen tg függvény racionális kifejezéseként (a /2), ez hasznos lehet néhány egyenlet megoldásánál:

Képletek összegek termékekké és termékek összegekké alakításához.

A számítógépek megjelenése előtt ezeket a képleteket a számítások egyszerűsítésére használták. A számításokat logaritmikus táblázatok, majd később - diaszabályok segítségével végezték, mert a logaritmusok a legalkalmasabbak a számok szorzására, ezért az összes eredeti kifejezést a logaritmizáláshoz kényelmes formába hoztuk, pl. munkákhoz, például:

2 bűn a sin b = cos ( a–b) – cos ( a+b);

2cos a kötözősaláta b=cos( a–b) + cos ( a+b);

2 bűn a kötözősaláta b= sin( a–b) + bűn ( a+b).

Az érintő és a kotangens függvények képletei a fentiekből nyerhetők.

Fokozatcsökkentési képletek.

A többszörös argumentumképletekből a következő képletek származnak:

sin 2 a = (1 – cos 2a)/2;	cos 2 a = (1 + cos 2a )/2;
sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4;	cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a )/4.

Ezekkel a képletekkel a trigonometrikus egyenletek alacsonyabb fokú egyenletekre redukálhatók. Ugyanígy levezethetünk redukciós képleteket a szinusz és a koszinusz magasabb hatványaira.

Trigonometrikus függvények deriváltjai és integráljai
(bűn x)` = cos x;	(kötözősaláta x)` = –bűn x;
(tg x)` = ;	(ctg x)` = – ;
t bűn x dx= –cos x + C;	t cos x dx= bűn x + C;
t tg x dx= –ln|cos x| + C;	t ctg x dx = ln|sin x| + C;

Minden trigonometrikus függvény definíciós tartományának minden pontjában folytonos és végtelenül differenciálható. Ráadásul a trigonometrikus függvények deriváltjai trigonometrikus függvények, és integrálva trigonometrikus függvényeket vagy logaritmusaikat is megkapjuk. A trigonometrikus függvények racionális kombinációinak integráljai mindig elemi függvények.

Trigonometrikus függvények ábrázolása hatványsorok és végtelen szorzatok formájában.

Minden trigonometrikus függvény hatványsorokban bővíthető. Ebben az esetben a függvények sin x bcos x sorokban jelennek meg. konvergens minden értékre x:

Ezek a sorozatok felhasználhatók a bűn közelítő kifejezéseinek megszerzésére xés cos x kis értékeknél x:

at | x| p/2;

0-nál x| p

(B n – Bernoulli-számok).

sin függvények xés cos x végtelen szorzat formájában ábrázolható:

Trigonometrikus rendszer 1, cos x,bűn x, cos 2 x, bűn 2 x,¼, cos nx,bűn nx, ¼, a [– p, p] egy ortogonális függvényrendszer, amely lehetővé teszi a függvények trigonometrikus sorozatok formájában történő ábrázolását.

a valós argumentum megfelelő trigonometrikus függvényeinek analitikus folytatásaként vannak definiálva a komplex síkban. Igen, bűn zés cos z definiálható a bűn sorozataival xés cos x, ha ahelyett x fel z:

Ezek a sorozatok az egész síkon összefolynak, tehát bűn zés cos z- teljes funkciók.

Az érintőt és a kotangenst a következő képletek határozzák meg:

tg függvények zés ctg z– meromorf függvények. tg oszlopok zés sec z– egyszerű (1. rendű) és pontokon elhelyezkedő z = p/2 + pn, oszlopok ctg zés cosec z– szintén egyszerű és pontokon elhelyezkedő z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Valamennyi képlet, amely egy valós argumentum trigonometrikus függvényeire érvényes, az összetettre is érvényes. Különösen,

bűn(- z) = –bűn z,

kötözősaláta(- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg(- z) = –ctg z,

azok. páros és páratlan paritás megmarad. A képletek is mentésre kerülnek

bűn( z + 2p) = bűn z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

azok. a periodicitás is megmarad, és a periódusok ugyanazok, mint a valódi argumentum függvényeinél.

A trigonometrikus függvények egy tisztán képzeletbeli argumentum exponenciális függvényében fejezhetők ki:

Vissza, e iz cos-ban kifejezve zés a bűn z képlet szerint:

e iz=cos z + én bűn z

Ezeket a képleteket Euler-képleteknek nevezzük. Leonhard Euler 1743-ban fejlesztette ki őket.

A trigonometrikus függvények hiperbolikus függvényekkel is kifejezhetők:

z = –én SH iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

ahol sh, ch és th hiperbolikus szinusz, koszinusz és érintő.

Komplex argumentum trigonometrikus függvényei z = x + iy, Ahol xÉs y– valós számok, valós argumentumok trigonometrikus és hiperbolikus függvényeivel fejezhetők ki, például:

bűn( x + iy) = bűn x ch y + én kötözősaláta x SH y;

kötözősaláta( x + iy) = cos x ch y + én bűn x SH y.

Egy összetett argumentum szinusza és koszinusza abszolút értékben 1-nél nagyobb valós értékeket vehet fel. Például:

Ha egy ismeretlen szög a trigonometrikus függvények argumentumaként lép be egy egyenletbe, akkor az egyenletet trigonometrikusnak nevezzük. Az ilyen egyenletek olyan gyakoriak, hogy módszereik a megoldások nagyon részletesek és gondosan kidolgozottak. VAL VEL Különböző technikák és képletek segítségével a trigonometrikus egyenletek a forma egyenleteire redukálódnak f(x)= a, Ahol f– a legegyszerűbb trigonometrikus függvények bármelyike: szinusz, koszinusz, érintő vagy kotangens. Ezután fejezze ki az érvet x ezt a függvényt ismert értékén keresztül A.

Mivel a trigonometrikus függvények periodikusak, ugyanaz A az értéktartományból végtelen sok értéke van az argumentumnak, és az egyenlet megoldásai nem írhatók fel egyetlen függvényként A. Ezért a fő trigonometrikus függvények definíciójának tartományában kiválasztunk egy szakaszt, amelyben az összes értékét felveszi, mindegyik csak egyszer, és ebben a szakaszban a vele fordított függvény található. Az ilyen függvényeket úgy jelöljük, hogy az eredeti függvény nevéhez hozzáadjuk az ív (ív) előtagot, és inverz trigonometrikusnak nevezzük. függvények vagy egyszerűen ívfüggvények.

Inverz trigonometrikus függvények.

A bűnért x, kötözősaláta x, tg xés ctg x inverz függvények definiálhatók. Ennek megfelelően arcsinnel jelöljük x(olvasd el "arcsine" x"), arcos x, arctan xés arcctg x. Értelemszerűen arcsin x van ilyen szám y, Mit

bűn nál nél = x.

Hasonlóan más inverz trigonometrikus függvényekhez is. De ez a meghatározás némi pontatlanságtól szenved.

Ha a bűnt tükrözi x, kötözősaláta x, tg xés ctg x a koordinátasík első és harmadik negyedének felezőszögéhez képest, akkor a függvények periodicitásuk miatt kétértelművé válnak: végtelen számú szög felel meg ugyanannak a szinusznak (koszinusz, érintő, kotangens).

A kétértelműség elkerülése érdekében a görbe egy szakasza, amelynek szélessége p, ebben az esetben szükséges, hogy az argumentum és a függvény értéke között egy-egy megfeleltetés maradjon fenn. A koordináták origójához közeli területek kerülnek kiválasztásra. A sine in „Egy-egy intervallumnak” a [– p/2, p/2], amelyen a szinusz monoton –1-ről 1-re nő, a koszinusznál – a szakasz, az érintőnél és a kotangensnél az intervallumok (– p/2, p/2) és (0, p). Az intervallum minden görbéje a felezőszöghöz képest tükröződik, és most inverz trigonometrikus függvények határozhatók meg. Például legyen megadva az argumentum értéke x 0,úgy, hogy 0 Ј x 0 Ј 1. Ezután a függvény értéke y 0 = arcsin x 0 csak egy értelme lesz nál nél 0 , oly módon, hogy - p/2 Ј nál nél 0 Ј p/2 és x 0 = bűn y 0 .

Így az arcszinusz az arcsin függvénye A, a [–1, 1] intervallumon definiálva, és mindegyikre egyenlő A ilyen értékre, p/2 a p /2 hogy sin a = A. Nagyon kényelmes egy egységkörrel ábrázolni (15. ábra). Mikor | a| 1 egy körön két pont van ordinátával a, szimmetrikusan a tengelyre u. Az egyik megfelel a szögnek a= arcsin A, a másik pedig a sarok p - a. VAL VEL a szinusz periodicitásának figyelembe vétele, a sin egyenlet megoldása x= A a következőképpen van írva:

x =(–1)n arcsin a + 2p n,

Ahol n= 0, ±1, ±2,...

Más egyszerű trigonometrikus egyenletek is megoldhatók hasonló módon:

kötözősaláta x = a, –1 =a= 1;

x =±arcos a + 2p n,

Ahol P= 0, ±1, ±2,... (16. ábra);

tg x = a;

x= arctan a + p n,

Ahol n = 0, ±1, ±2,... (17. ábra);

ctg x= A;

x= arcctg a + p n,

Ahol n = 0, ±1, ±2,... (18. ábra).

Az inverz trigonometrikus függvények alapvető tulajdonságai:

arcsin x(19. ábra): definíciós tartomány – szegmens [–1, 1]; hatótávolság - [- p/2, p/2], monoton növekvő függvény;

arccos x(20. ábra): definíciós tartomány – szegmens [–1, 1]; hatótávolság - ; monotonan csökkenő funkció;

arctg x(21. ábra): definíciós tartomány – minden valós szám; értéktartomány – intervallum (– p/2, p/2); monoton növekvő funkció; egyenes nál nél= –p/2 és y = p /2 – vízszintes aszimptoták;

arcctg x(22. ábra): definíciós tartomány – minden valós szám; értéktartomány – intervallum (0, p); monotonan csökkenő funkció; egyenes y= 0 és y = p– vízszintes aszimptoták.

Mert komplex argumentum trigonometrikus függvényei sin zés cos z(ellentétben a valódi argumentum függvényeivel) felvesz minden összetett értéket, akkor az egyenletek sin z = aés cos z = a bármilyen komplexumra van megoldása egy xÉs y valós számok, egyenlőtlenségek érvényesek

½| e\e y–e y| ≤|bűn z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

ebből at y® Ґ aszimptotikus képletek következnek (egyenletesen a x)

|bűn z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

A trigonometrikus függvények először a csillagászati ​​és geometriai kutatások kapcsán jelentek meg. A háromszög és a kör szakaszainak arányai, amelyek lényegében trigonometrikus függvények, már a 3. században megtalálhatók. időszámításunk előtt e. az ókori görög matematikusok munkáiban – Eukleidész, Arkhimédész, Pergai Apollóniosz és mások azonban ezek az összefüggések nem képezték önálló vizsgálati tárgyat, így nem vizsgálták a trigonometrikus függvényeket mint olyanokat. Eredetileg szegmensnek tekintették őket, és ebben a formában Arisztarchosz (Kr. e. 4. század vége – 3. század második fele), Hipparkhosz (Kr. e. 2. század), Menelaosz (Kr. u. 1. század) és Ptolemaiosz (Kr. u. 2. század) használta őket. gömbháromszögek megoldása. Ptolemaiosz összeállította az első akkordtáblázatot a hegyesszögek 30"-kénti 10 –6 pontossággal. Ez volt az első szinusztáblázat. Arányként a sin a függvény már Aryabhatában (V. század vége) megtalálható. A tg a és ctg a függvények al- Battaniban (9. század 2. fele - 10. század eleje) és Abul-Vefában (10. század) találhatók, aki a sec a-t és a cosec a-t is használja... Aryabhata már ismerte a képletet ( sin 2 a + cos 2 a) = 1, valamint a sin és cos félszög képletei, amelyek segítségével szinusztáblázatokat építettem a 3°45"-os szögekre; a trigonometrikus függvények ismert értékei alapján a legegyszerűbb argumentumokhoz. Bhaskara (XII. század) módszert adott az 1-es táblázatok összeadási képletekkel történő összeállítására. A különféle argumentumok trigonometrikus függvényeinek összegének és különbségének szorzattá alakítására szolgáló képleteket Regiomontanus (15. század) és J. Napier származtatta az utóbbi logaritmus-feltalálása (1614) kapcsán. Regiomontan adott egy táblázatot a szinusz értékeiről 1"-ben. A trigonometrikus függvények hatványsorokká való kiterjesztését I. Newton (1669) érte el. A trigonometrikus függvények elméletét L. Euler hozta modern formába ( 18. század). Ő birtokolja a valódi és összetett érvekre vonatkozó definíciójukat, a ma már elfogadott szimbolikát, amely kapcsolatot teremt a szinusz- és koszinuszrendszer exponenciális függvényével és ortogonalitásával.

Az alapvető trigonometriai képletek olyan képletek, amelyek kapcsolatot létesítenek az alapvető trigonometrikus függvények között. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens számos kapcsolaton keresztül kapcsolódnak egymáshoz. Az alábbiakban bemutatjuk a fő trigonometrikus képleteket, és a kényelem kedvéért cél szerint csoportosítjuk őket. Ezekkel a képletekkel szinte bármilyen problémát megoldhat egy szabványos trigonometriai kurzusból. Azonnal jegyezzük meg, hogy az alábbiakban csak magukat a képleteket mutatjuk be, és nem azok következtetését, amelyeket külön cikkekben tárgyalunk.

A trigonometria alapvető azonosságai

A trigonometrikus azonosságok kapcsolatot biztosítanak egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, lehetővé téve, hogy egy függvényt egy másikkal fejezzünk ki.

Trigonometrikus azonosságok

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 2 α

Ezek az azonosságok közvetlenül következnek az egységkör, a szinusz (sin), koszinusz (cos), érintő (tg) és kotangens (ctg) definícióiból.

Redukciós képletek

A redukciós képletek lehetővé teszik a tetszőleges és tetszőlegesen nagy szögekkel végzett munka helyett a 0 és 90 fok közötti szögek közötti munkavégzést.

Redukciós képletek

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + = - 2 π z cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z =, cos π z π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = -s π z π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z =, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 π = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

A redukciós képletek a trigonometrikus függvények periodicitásának következményei.

Trigonometrikus összeadási képletek

Az összeadási képletek a trigonometriában lehetővé teszik a szögek összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényének kifejezését e szögek trigonometrikus függvényében.

Trigonometrikus összeadási képletek

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Összeadási képletek alapján több szög trigonometrikus képlete származik.

Több szög képlete: dupla, hármas stb.

Dupla és hármas szög képletek

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α t g 2 α mellett = t g 2 α - 1 2 · t g α esetén sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - tg 3 α 1 - g 3 α t = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Félszög képletek

A trigonometriában a félszög-képletek a kettősszög-képletek következményei, és a félszög alapfüggvényei és a teljes szög koszinusza közötti kapcsolatot fejezik ki.

Félszög képletek

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Fokozatcsökkentési képletek

Fokozatcsökkentési képletek

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

A számítások során gyakran kényelmetlen nehézkes erőkkel dolgozni. A fokcsökkentési képletek lehetővé teszik a trigonometrikus függvény mértékének csökkentését tetszőleges nagyról az elsőre. Íme az általános véleményük:

A fokcsökkentési képletek általános képe

mert még n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

páratlan n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Trigonometrikus függvények összege és különbsége

A trigonometrikus függvények különbsége és összege szorzatként ábrázolható. A szinuszok és koszinuszok különbségeinek faktorálása nagyon kényelmes a trigonometrikus egyenletek megoldásához és a kifejezések egyszerűsítéséhez.

Trigonometrikus függvények összege és különbsége

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 β cos α - 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Trigonometrikus függvények szorzata

Ha a függvények összegének és különbségének képlete lehetővé teszi, hogy a szorzatukra lépjen, akkor a trigonometrikus függvények szorzatának képletei fordított átmenetet hajtanak végre - a szorzatból az összegbe. A szinuszok, koszinuszok és szinuszos koszinuszok szorzatának képleteit figyelembe veszik.

Képletek trigonometrikus függvények szorzatára

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Univerzális trigonometrikus helyettesítés

Minden alapvető trigonometrikus függvény - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - kifejezhető a félszög érintőjével.

Univerzális trigonometrikus helyettesítés

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 g = 2 t 1 α 2 2 t g α 2

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt