Inverz függvény bemutatása egy algebra órához (10. évfolyam) a témában. Kölcsönös funkciók A „Kölcsönös funkciók” lecke módszertani fejlesztése című dokumentum tartalmának megtekintése

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Inverz függvény

Ismételjük meg: Ha a valós számok egy bizonyos halmazából minden x érték egy bizonyos f szabály szerint egy y számhoz kapcsolódik, akkor azt mondják, hogy ezen a halmazon adott egy függvény. D(f) – a függvény definíciós tartománya; x – független változó vagy argumentum; y – függő változó; az y=f(x), x ϵ X összes érték halmazát a függvény értéktartományának nevezzük, és E(f)-nek jelöljük.

Feladat Legyen adott az y=f(x) függvény. Keresse meg a függvény értékét az x=x 0 pontban Például: Keresse meg az y=5x+7 függvény értékét az x=7 pontban. y(7)=5∙7+7 Válasz: y(7)=42 =35+7=42 Közvetlen feladat Legyen adott az y=f(x) függvény. Keresse meg az argumentum értékét az y=y 0 pontban Például: Adott az y= 5x+7 függvény. Keresse meg annak az argumentumnak az értékét, amelynél y=22. 22=5x+7 5x=22-7 5 x=15 x=15:5 x =3 Válasz: y(3)=22 Fordítva

Feladat Legyen adott a mozgási sebesség változásának törvénye az idő függvényében Határozza meg a sebesség változásának törvényét! Megoldás: 0 – gt = gt = – 0 t= Invertibilis függvény Inverz függvénye

Ha egy függvény minden y értékét csak egy x értékre veszi fel, akkor ezt a függvényt invertálhatónak nevezzük. Legyen ez egy invertálható függvény. Ekkor a függvény minden egyes értékkészlete egy adott számnak felel meg a definíciós tartományból, így ez a megfelelés határozza meg a függvényt, amelyet mi jelölünk. Cseréljük fel és: Egy függvényt egy függvény inverzének nevezünk. Kijelöl.

Példa Keresse meg egy függvény inverz függvényét Megoldás: Válasz:

y x 5 0 D(y)= (; 5) E(y)= (; 0) y 0 5 x D(y)= (; 0) E(y)= (; 5)

Az inverz függvények tulajdonságai: Az inverz függvény definíciós tartománya egybeesik az eredeti függvény értékkészletével, az inverz függvény értékkészlete pedig az eredeti függvény definíciós tartományával. függvény invertálható: a) ha a függvény növekszik, akkor a vele fordított függvény is növekszik; b) ha egy függvény csökken, akkor az inverz függvénye is csökken.

Példa Mutassuk meg, hogy egy függvénynek van inverz függvénye, és keresse meg annak analitikai kifejezését. Megoldás: A függvény R-vel növekszik. Ez azt jelenti, hogy az inverz függvény létezik R-en. Oldjuk meg a relatív egyenletet. Kapjunk, Cseréljünk helyet és kapjuk: Ez a szükséges inverz függvény.

Példa Adott egy függvény, bizonyítsd be, hogy van rá inverz függvény, írd fel az inverz függvény analitikai kifejezését a formába, és készítsd el az inverz függvény grafikonját.

Megoldás: Egy függvény növekszik az intervallumon keresztül, ami azt jelenti, hogy inverz függvénye van. Az egyenletből azt kapjuk, hogy: vagy. Csak a függvényértékek tartoznak az intervallumhoz.

Helyet cserélünk és megkapjuk Ennek a függvénynek a grafikonját a függvény grafikonjából kapjuk az egyenes körüli szimmetria segítségével.

Mohrenschildt I.K. csoport 1.45.36 Frunzensky kerületi Iskola 314. számú Tanár O.P. Koroleva Szentpétervár 2006 * St. Petersburg INFORMÁCIÓS Technológiák és Távközlési KÖZPONT KÖLCSÖNÖS INVERZ FUNKCIÓK

Exponenciális és logaritmikus függvények Trigonometrikus függvények

Alapvető definíciók Példa egyenletekre Inverz függvények grafikonjai Exponenciális és logaritmikus függvények Szinusz és arkoszinusz függvények Koszinusz és arkkoszinusz függvények Érintő és arctangens függvények Kotangens és arckotangens függvények Tesztforrások Tartalom Befejezés

Invertálható függvény Ha egy y=f (x) függvény minden értékét csak egy x értékre veszi fel, akkor ezt a függvényt invertálhatónak nevezzük. Egy ilyen függvénynél kifejezhetjük az argumentumértékek inverz függőségét a függvényértékektől.

Példa egy adott függvény inverz felépítésére Speciális eset Adott függvény y=3x+5 Egyenlet x-hez Cserélje ki x-et y-ra Az (1) és (2) függvények kölcsönösen inverzek. Általános eset y=f (x) egy invertálható függvény Az x= g (y) függvény definiálva van ) Cserélje x helyett y y= g(x) Az y=f (x) és y= g(x) függvények kölcsönösen inverzek

Inverz függvények grafikonjai OOF OPF OOF OOF X Y X Y

Exponenciális és logaritmikus függvények y=log a x y=a x y=x a>1

A sin x és arcsin x függvények Tekintsük az y=sin x függvényt a szakaszon A függvény monoton növekszik. OPF [-1;1]. Az y= arcsin x függvény az y=sinx függvény inverze. [ -  ;  ] 2 2

A cos x és arccos x függvények Tekintsük az y=co s x függvényt a szakaszon A függvény monoton csökken. OPF [-1;1]. Az y=arccos x függvény az y=co sx függvény inverze.

tg x és arctg x függvények Tekintsük az intervallumon az y= tg x függvényt, amely monoton módon növekszik. OZF – R készlet. Az y= arctan x függvény az y= tan x függvény inverze. (-  ; ) 2 2

A ctg x és arcctg x függvények Tekintsük az y= ctg x függvényt a (0; ) intervallumon. A funkció monoton csökken. OSF készlet R. Az inverz függvény y = arcctg x.

Teszt a „Kölcsönösen inverz függvények” témában 1. kérdés 2. kérdés 3. kérdés 4. kérdés 4. kérdés 5. kérdés Befejezés Befejezés

1. kérdés A kölcsönösen inverz függvények grafikonjai szimmetrikusan helyezkednek el a koordinátarendszerben a következőkhöz képest: Koordináták eredete Egyenes y=x Tengelyek OY Tengelyek OX

2. kérdés Hogyan függ össze az eredeti definíciós tartománya és az inverz függvény értéktartománya? Ugyanaz Independent

3. kérdés Melyik függvény a logaritmikus függvény inverze? Teljesítmény Lineáris Quadratic Exponenciális

4. kérdés Az y=arcctg x függvény az y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x függvény inverze

5. kérdés A „Kölcsönösen inverz függvények” témakör: Elemi Kedvencem Könnyen érthető

Hurrá! Hurrá! Hurrá! Szép volt, tudós!

A válasz helytelen Ismételje meg az elejétől!

Rossz! Felháborít a válaszod!

Források Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov és társai – 12. kiadás. – M.: Nevelés, 2004. – 384 p. Az algebra tanulása és az elemzés kezdete 10-11. osztályban: Könyv. tanároknak / N.E. Fedorova, M.V. Tkachev. – 2. kiadás. – M.: Nevelés, 2004. – 205 p. Didaktikai anyagok az algebráról és az elemzés kezdeteiről 10. évfolyamhoz: Kézikönyv tanároknak / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwartzburd. – 2. kiadás, átdolgozva. – M.: Nevelés, 1998. -143 p. Inverz trigonometrikus függvények grafikonjai http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

Az óra céljai:

Nevelési:

Nevelési:

Nevelési:

A dokumentum tartalmának megtekintése
„A Kölcsönös funkciók” óra módszertani fejlesztése”

Óra a 10. osztályban „Kölcsönös függvények” témában

(Alimova Sh.A. programja szerint)

Az óra típusa: kombinált.

Az óra céljai:

Nevelési:

Ismételje meg és foglalja össze a tanulók tudását a 9. osztályban tanult „Funkció” témában.

Ismerkedjen meg a kölcsönösen inverz függvényekkel, tanulmányozza az inverz függvény létezésének feltételeit és tulajdonságait, tanulja meg az inverz függvények grafikonjainak felépítését.

Nevelési:

Fejleszteni a tanulók kreatív és szellemi tevékenységét, intellektuális tulajdonságait: a probléma „látásának” képességét.

Fejlessze azt a képességet, hogy világosan és világosan kifejezze gondolatait, kutassa, elemezze, összehasonlítsa és következtetéseket vonjon le.

A tanulók érdeklődésének fejlesztése az önálló kreativitás iránt.

Fejleszti a tanulók térbeli képzeletét.

Nevelési:

A rendelkezésre álló információkkal való munka képességének fejlesztése szokatlan helyzetben.

Nevelje a pontosságot és a lelkiismeretességet.

Esztétikai nevelés biztosítása.

Felszerelés:

• multimédiás projektor;

  órakiegészítés: (Prezentáció) – elektronikus médián;

Az oktatás eszközei: számítógépek, Excel program, médiaprojektor, diabemutató.

Demók: egy koordináta-rendszerben felépített függvények grafikonjai.

Az oktatási tevékenység szervezésének formái: egyéni, párbeszéd, diaszöveggel végzett munka, kutatómunka jegyzetfüzetben.

Mód: vizuális, verbális, grafikus, kutatás.

Az óra lépései:

Óracélok kitűzése és tanulási tevékenységek motiválása. 2 perc

A „Függvények és grafikonjaik” témakörben tárgyalt anyag ismétlése. 10 perc

Az új anyag magyarázatának szakasza.10 perc

Operatív és végrehajtó rész. Konszolidációs szakasz.10 perc

Tudásvizsgálat (feladatlap teszttel papíron)5 perc

Házi feladat. 1 perc

Reflektív-értékelő szakasz. 2 perc

Az órák alatt.

1. A tanár bevezető beszéde. Bemutatkozó beszélgetés. A tanulók pszichológiai hangulata.

A mai óra nem egészen szokványos: Jelena Semenovna matematikatanárnő a Platoshin középiskolából, a vendégek az Ön iskolájának és a permi régió oktatási osztályának matematikatanárjai és módszertanosai.

A leckében Önnek és nekem meg kell ismételnünk és általánosítanunk kell a tanulók 9. osztályban tanult „függvény” témában szerzett ismereteit, meg kell ismerkednünk a kölcsönösen inverz függvényekkel, tanulmányoznunk kell az inverz függvény létezésének feltételeit és tulajdonságait, meg kell tanulnunk, hogyan inverz függvények grafikonjainak felépítéséhez. Sok sikert és eredményes munkát kívánunk egymásnak.

2. A „Függvények és grafikonjaik” témakörben tárgyalt anyag ismétlése. Bemutatás.

Dia 2-10. Frontális munka az osztállyal.

3. Új anyag tanulmányozása. Oktatási beszélgetés kutatási és demonstrációs elemekkel (11-24. dia)

4.

Példa a függőségre. Minden függvényérték egy argumentumértéknek felel meg.

Az ilyen függvényeknél kifejezhető az argumentumértékek inverz függősége a függvényértékektől.

Gyakorlat.

Keresse meg a reciprok függvények definíciós tartományát és értéktartományát.

4. Az ismeretek megszilárdítása.

5. Tudáskontroll.

6. Házi feladat: tanulmány 46-50. old. 132. sz., 133., 134. sz.

7. Reflektív-értékelő szakasz.

A lecke során megtanultam……………………………….

Az óra alatt érdekelt ……………………….

Bonyolult volt………………………………………….

Az órán megszerzett tudást hasznosítani tudom………………………………………………

Az óra céljai:

Nevelési:

• új témában fejlesszen ismereteket a programanyagnak megfelelően;
• tanulmányozza egy függvény reverzibilitásának tulajdonságát, és tanítsa meg egy adott függvény inverz függvényének megtalálását;

Fejlődési:

• fejleszteni az önkontroll készségeket, az érdemi beszédet;
• sajátítsa el az inverz függvény fogalmát, és tanuljon meg módszereket az inverz függvény megtalálására;

Oktatási: kommunikációs kompetencia fejlesztése.

Felszerelés: számítógép, projektor, vetítővászon, interaktív tábla SMART Board, szórólapok (önálló munka) csoportmunkához.

Az órák alatt.

1. Szervezeti mozzanat.

Cél – a tanulók felkészítése az órai munkára:

A távollévők meghatározása,

A tanulók munkakedvének megteremtése, figyelemszervezés;

Mondja el az óra témáját és célját!

2. A tanulók alapismereteinek frissítése. Frontális felmérés.

Cél - megalapozza a tanult elméleti anyag helyességét, tudatosságát, a lefedett anyag ismétlődését.<Приложение 1 >

Az interaktív táblán egy függvény grafikonja látható a tanulók számára. A tanár megfogalmaz egy feladatot - vegye figyelembe egy függvény grafikonját, és sorolja fel a függvény vizsgált tulajdonságait. A hallgatók felsorolják egy függvény tulajdonságait a kutatási tervnek megfelelően. A tanár a függvény grafikonjától jobbra felírja a megnevezett tulajdonságokat egy markerrel az interaktív táblára.

Funkció tulajdonságai:

A tanulmány végén a tanár beszámol arról, hogy ma az órán megismerkednek egy függvény másik tulajdonságával - a visszafordíthatósággal. Az új anyag értelmes tanulmányozása érdekében a tanár felkéri a gyerekeket, hogy ismerkedjenek meg azokkal a fő kérdésekkel, amelyekre a tanulóknak meg kell válaszolniuk az óra végén. A kérdéseket egy normál táblára írják, és minden diák megkapja őket szóróanyagként (az óra előtt szétosztva)

1. Melyik függvényt nevezzük invertálhatónak?
2. Megfordítható bármely függvény?
3. Melyik függvényt nevezzük a nullapont inverzének?
4. Hogyan függ össze a definíciós tartomány és egy függvény értékkészlete és inverze?
5. Ha egy függvényt analitikusan adunk meg, hogyan definiálható az inverz függvény egy képlettel?
6. Ha egy függvényt grafikusan adunk meg, hogyan ábrázoljuk az inverz függvényét?

3. Új anyag magyarázata.

Cél - a programanyagnak megfelelően új témában tudást generálni; tanulmányozza egy függvény reverzibilitásának tulajdonságát, és tanítsa meg egy adott függvény inverz függvényének megtalálását; érdemi beszéd kialakítása.

A tanár az anyagot a bekezdésben foglaltaknak megfelelően mutatja be. Az interaktív táblán a tanár összehasonlítja két olyan függvény grafikonját, amelyek definíciós tartománya és értékkészlete megegyezik, de az egyik függvény monoton, a másik nem, így megismerteti a tanulókkal az invertálható függvény fogalmát. .

A tanár ezután megfogalmazza az invertálható függvény definícióját, és az interaktív táblán egy monoton függvény grafikonjával bizonyítja az invertálható függvény tételét.

1. definíció: Az y=f(x), x X függvényt meghívjuk megfordítható, ha valamelyik értékét az X halmaznak csak egy pontjában veszi fel.

Tétel: Ha egy y=f(x) függvény monoton egy X halmazon, akkor invertálható.

Bizonyíték:

1. Hagyja a függvényt y=f(x)-vel nő x elengedni x 1 ≠ x 2- a halmaz két pontja x.
2. Hogy pontos legyek, hadd x 1< x 2.
   Aztán attól, hogy x 1< x 2 ezt követi f(x 1) < f(x 2).
3. Így az argumentum különböző értékei a függvény különböző értékeinek felelnek meg, pl. a függvény invertálható.

(A tételbizonyítás előrehaladtával a tanár egy marker segítségével minden szükséges magyarázatot készít a rajzon)

Az inverz függvény definíciójának megfogalmazása előtt a tanár megkéri a tanulókat, hogy határozzák meg, hogy a javasolt függvények közül melyik invertálható? Az interaktív tábla függvénygrafikonokat jelenít meg, és számos analitikusan meghatározott függvényt ír:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

A tanár bemutatja az inverz függvény definícióját.

2. definíció: Legyen az invertálható függvény y=f(x) a készleten meghatározott xÉs E(f)=Y. Párosítsuk mindegyiket y tól től Y ez az egyetlen értelme x, ahol f(x)=y. Ekkor kapunk egy függvényt, amelyen van definiálva Y, A x– funkció tartomány

Ez a funkció ki van jelölve x=f -1 (y)és a függvény inverzének nevezzük y=f(x).

A tanulókat arra kérik, hogy vonjanak le következtetést a definíciós tartomány és az inverz függvények értékkészlete közötti kapcsolatról.

Annak a kérdésnek a megfontolására, hogy miként találhatjuk meg egy adott függvény inverzét, a tanár vonzott két diákot. Előző nap a gyerekek egy feladatot kaptak a tanártól, hogy önállóan elemezzék egy adott függvény inverz függvényének megtalálásának analitikai és grafikus módszereit. A tanár tanácsadóként működött közre a tanulók leckére való felkészítésében.

Üzenet az első diáktól.

Megjegyzés: a függvény monotonitása az elegendő az inverz függvény létezésének feltétele. De nem szükséges feltétel.

A tanuló példákat hozott különböző helyzetekre, amikor egy függvény nem monoton, hanem invertálható, amikor egy függvény nem monoton és nem invertálható, amikor monoton és invertálható.

Ezután a hallgató megismerteti a tanulókkal az analitikusan megadott inverz függvény megtalálásának módszerét.

Algoritmus keresése

1. Ügyeljen arra, hogy a funkció monoton legyen.
2. Fejezd ki az x változót y-val!
3. Változók átnevezése. x=f -1 (y) helyett y=f -1 (x)

Ezután két példát old meg, hogy megtalálja egy adott függvény inverz függvényét.

1. példa: Mutassuk meg, hogy az y=5x-3 függvényre van inverz függvény, és keressük meg annak analitikai kifejezését.

Megoldás. Az y=5x-3 lineáris függvény R-en van definiálva, R-n növekszik, értéktartománya pedig R. Ez azt jelenti, hogy az inverz függvény létezik R-en. Az analitikai kifejezésének megtalálásához oldja meg az y=5x- egyenletet. 3 x; kapunk Ez a szükséges inverz függvény. Meghatározott és növekszik R-en.

2. példa: Mutassuk meg, hogy az y=x 2, x≤0 függvényre van inverz függvény, és keressük meg annak analitikai kifejezését.

A függvény folytonos, definíciós tartományában monoton, ezért invertálható. A definíciós tartományok és a függvény értékkészleteinek elemzése után megfelelő következtetést vonunk le az inverz függvény analitikai kifejezéséről.

A második tanuló prezentációt tart kb grafikus az inverz függvény megtalálásának módszere. Magyarázata során a tanuló használja az interaktív tábla lehetőségeit.

Ahhoz, hogy az y=f -1 (x) függvény grafikonját az y=f(x) függvényre fordítottan kapjuk meg, az y=f(x) függvény grafikonját az egyeneshez képest szimmetrikusan kell átalakítani. y=x.

Az interaktív táblán történő magyarázat során a következő feladatot hajtjuk végre:

Szerkessze meg egy függvény gráfját és inverz függvényének grafikonját ugyanabban a koordinátarendszerben. Írja fel az inverz függvény analitikai kifejezését.

4. Új anyag elsődleges konszolidációja.

Cél - megállapítsa a tanult anyag megértésének helyességét és tudatosságát, azonosítsa az anyag elsődleges megértésének hiányosságait, és javítsa ki azokat.

A tanulókat párokra osztják. Feladatlapokat kapnak, amelyekben párban végzik a munkát. A munka elvégzésének ideje korlátozott (5-7 perc). Egy tanulópár dolgozik a számítógépen, a projektor ezalatt kikapcsol, a többi gyerek pedig nem látja, hogyan dolgoznak a számítógépen.

Az idő végén (feltételezzük, hogy a tanulók többsége befejezte a munkát) a tanulók munkája megjelenik az interaktív táblán (a kivetítő újra bekapcsol), ahol az ellenőrzés során kiderül, hogy a feladat helyesen lett kitöltve párban. Szükség esetén a tanár javító, magyarázó munkát végez.

Önálló munka párban<2. függelék >

5. Óra összefoglalója. Az előadás előtt feltett kérdésekkel kapcsolatban. Az óra érdemjegyeinek kihirdetése.

Házi feladat 10. §. 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Az algebra és az elemzés kezdetei. 10. évfolyam 2 részben általános oktatási intézmények számára (profilszint) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova stb.; szerkesztette A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Inverz függvény

A lecke szövege

• Jegyzetek 1-3. lecke (Morozova I. A.)

  A tantárgy neve Algebra és a matematikai elemzés kezdetei 10. osztály UMK Algebra és a matematikai elemzés kezdetei. 10-11 évfolyam. 2 órakor 1. rész Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (alapszint) / A.G. Mordkovich. – 10. kiadás, törölve. – M.: Mnemosyne, 2012. 2. rész. Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (alapszint) / [A.G. Mordkovich et al]; szerkesztette A.G. Mordkovich. – 10. kiadás, törölve. – M.: Mnemosyne, 2012. Alapfokú tanulási szint Óra témája: Inverz függvény. (3 óra) 1. lecke. Az óra célja: ismertesse meg a reverzibilis és inverz függvények fogalmát; bizonyítja be a direkt és inverz függvények monotonitására vonatkozó tételt; egy függvény megfordíthatóságának geometriai jelentésének azonosítása és igazolása Az óra céljai: - az adott függvény inverz függvényének megtalálásának képességének fejlesztése; - fejleszteni kell egy inverz függvény grafikonjának elkészítésének képességét. Tervezett eredmények: Ismerje: reverzibilis függvény definíciója, inverz függvénye, függvény reverzibilitásának jele. Legyen képes: megkeresni egy függvény képletét az adott függvényhez képest; egy adott függvény grafikonjának felhasználásával készítsünk egy inverz függvény grafikonját. Az óra technikai támogatása: számítógép, vetítővászon, projektor, tankönyv. Óra haladása I. Szervezési pillanat. II. Házi feladat ellenőrzése (tanulók számára nehézséget okozó feladatok elemzése) III. Ellenőrző munka. 1. lehetőség 1. Adott egy függvény a) Vizsgálja meg a függvény monotonságát, ha x > 2. b) Határozza meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [–1,5; 1.5]. 2. Vizsgálja meg azt a függvényt, ahol x > 0 a korlátosság. 3. Vizsgálja meg a paritás függvényét. 2. lehetőség 1. Adott egy függvény a) Vizsgálja meg a függvény monotonságát, ha x< 2. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–4,5; –3,1]. 2. Исследуйте функцию где х < 0, на ограниченность. 3. Исследуйте функцию на четность. Вариант 3 1. Дана функция а) Исследуйте функцию на монотонность, если х < –1. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; 0,4]. 2. Исследуйте функцию где х < –1, на ограниченность. 3. Исследуйте функцию на четность. Вариант 4 1. Дана функция а) Исследуйте функцию на монотонность, если х  1. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . 2. Исследуйте функцию где х >2, a korlátozások miatt. 3. Vizsgálja meg a paritás függvényét. A próbamunka 1. és 3. lehetőségének megoldása. Az 1. és 2. lehetőség valamivel egyszerűbb, mint a 3. és 4.. 1. lehetőség 1. Jelöljük a) Ezután csökkentsük a függvényt (–; 2]-vel. b) Mivel a függvény csökken (–∞; 2]-vel, akkor Válasz: a) csökken ; b) unaib. = 12,25; céltalan. = 0,25. 2. ahol x > 0. A függvényt fent az y = 0 egyenes határolja, ami azt jelenti, hogy a függvényt fent az y = 1 egyenes határolja. Válasz: felül határos. 3. – az eredetre szimmetrikus. Ez azt jelenti, hogy a függvény páratlan. Válasz: furcsa. 3. lehetőség 1. a) Jelöljük a gráfot parabolaként, amelynek csúcsa a (–1; –1) pontban van, és a 0x tengelyt az x = 0 és x = –2 pontokban metszi. Ha x > –1, akkor a függvény növekszik. b) A [–2; 0,4] és Válasz: a) növekszik; b) unaib. = 0,96; céltalan. = 0. 2. ahol x< –1. Функция ограничена снизу прямой у = 0, значит, функция ограничена снизу прямой у = 2. Ответ: ограничена снизу. 3. – симметрична относительно начала координат. Если х = 0, то Имеем: значит, функция ни четная, ни нечетная. Ответ: ни четная, ни нечетная. IV. Объяснение нового материала. 1. Для введения понятия обратимой функции можно использовать либо подвижные модели, либо изображение обратимых и необратимых функций на прозрачной пленке, перевернув которую можно показать, как область определения и область значения функции «меняются местами» и в каком случае обеспечивается однозначность обратной функции. 2. Для первичного закрепления материала учащиеся выполняют следующее задание. Среди функций, графики которых изображены на рисунке, укажите обратимые. 3. Теорема 1. Подчеркиваем учащимся, что в теореме сформулирован признак обратимости функции (достаточное условие). В то же время монотонность не является необходимым условием обратимости. Динамическая пауза. V. Формирование умений и навыков. Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на аналитическое задание функции, обратной данной. № 3.1 (а; б), № 3. 2 (а; б). При выполнении этих упражнений следует предупредить формализм в аналитическом задании функции путем простого преобразования уравнения. Учащиеся должны обосновать существование обратной функции. Решение: № 3.1 (б). Линейная функция у = 2 + 4х определена на R, возрастает на R(k  0), E(f) = R. Значит, на R существует обратная функция. – искомая обратная функция, возрастающая на R. Ответ: № 3.2 (б). Функция убывает на всей области определения, значит, существует обратная функция, определенная и убывающая на Ответ: V. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Какая функция называется обратимой? – Сформулируйте признак обратимости функции. –Дайте определение обратной функции. Домашнее задание: № 3.1 (в; г) – № 3.2 (в; г). Урок 2. Цель урока: выявить и обосновать геометрический смысл обратимости функции Задачи урока: - развивать умение находить обратную функцию для заданной; - формировать умение строить график обратной функции. Планируемые результаты: Знать: определение обратимой функция, обратной функции, признак обратимости функции. Уметь: находить формулу функции, обратной данной; строить график обратной функции, используя график данной функции. Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверка домашнего задания (разбор заданий, вызвавших затруднения учащихся) III. Работа в группах. Карточка 1. Карточка 2. IV. Объяснение нового материала. Устанавливая геометрический смысл обратимости функции, учащиеся формулируют способ построения графика обратной функции с помощью преобразования осевой симметрии. Графики функции у = f(х) и обратной функции у = f-1 симметричны относительной прямой у = х. Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f(х) = 2х – 4 обратная функция f-1(x) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х. Функция f-1(x) = 1/2х + 2 обратная по отношению к функции f(х) = 2х - 4. Но и функция f(х) = 2х - 4 является обратной по отношению к функции f-1(x) = 1/2х + 2. Поэтому функции f(х) и f-1(х) корректнее называть взаимообратными. При этом выполнены равенства: f-1(f(х)) = х и f(f-1(x) = x. Динамическая пауза. V. Формирование умений и навыков. Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на построение графика обратной функции с помощью осевой симметрии. № 3.3 (а; б), № 3. 4 (а; б), № 3.5* (а; б). Решение: № 3. 4 (б). Графиком является кубическая парабола, полученная из графика у = х3 сдвигом вправо по оси 0х на 2 единицы. Функция возрастает на R, значит, существует обратная функция, заданная и возрастающая на R. Ответ: V. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Какая функция называется обратимой? – Сформулируйте признак обратимости функции. –Дайте определение обратной функции. – Каков характер монотонности прямой и обратной функций? – Как построить график обратной функции, используя график данной функции? Домашнее задание: № 3.3 (в; г) – № 3.4 (в; г) № 3.5 * (в; г) – по желанию. Урок 3. Цель урока: проверить степень усвоения теоретического материала и умения применять его при выполнении письменной работы Задачи урока: - развивать умение находить обратную функцию для заданной; - развивать умение строить график обратной функции. Планируемые результаты: Знать: определение обратимой функция, обратной функции, признак обратимости функции. Уметь: находить формулу функции, обратной данной; строить график обратной функции, используя график данной функции. Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверка домашнего задания (разбор заданий, вызвавших затруднения учащихся) III. Зачетная работа Вариант 1. Вариант 2. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Какая функция называется обратимой? – Сформулируйте признак обратимости функции. –Дайте определение обратной функции. – Каков характер монотонности прямой и обратной функций? – Как построить график обратной функции, используя график данной функции? Домашнее задание: §3, примеры 1-3.

  Letöltés: Algebra 10kl - Jegyzetek 1-3 lecke (Morozova I. A.).docx

• 1. lecke (Samoilova G. A.)

  Algebra és az elemzés kezdetei, 10. évfolyam UMC: Algebra és az elemzés kezdetei, 10-11. fokozat, A.G. Mordkovich, Moszkva 2013 Tanulási szint: alap Téma: Inverz függvény Összes óraszám: 3 óra Témában: 1. lecke Az óra célja: Oktatási: Az inverz függvény definíciójának bemutatása és megszilárdítása; tanulmányozza egy függvény reverzibilitásának tulajdonságát, és tanítsa meg egy adott függvény inverz függvényének megtalálását; Fejlesztő: fejleszti az önkontroll készségeket, az érdemi beszédet; sajátítsa el az inverz függvény fogalmát, és tanuljon meg módszereket az inverz függvény megtalálására; Oktatási: kommunikációs kompetencia fejlesztése. Az óra céljai: 1. A tanulók megismertetése az invertálható függvényekkel és grafikonjaikkal. 2. Gyarapítsa a hallgatók tapasztalatait új ismeretek megszerzésében a meglévő elméleti ismeretek alapján, valamint a megszokott gyakorlati helyzetek felhasználásával Tervezett eredmények: A téma elsajátítása után a hallgatóknak ismerniük kell: Invertálható függvény definíciója; reverzibilis függvény ábrázolása; példák a funkciókra az életből; összehasonlítás, általánosítás technikái, következtetések levonására való képesség; A téma elsajátítása után a tanulók legyenek képesek: ismereteiket önállóan kiegészíteni, rendszerezni: - reverzibilis függvények grafikonjait felépíteni: - következtetéseket levonni. Az óra technikai támogatása: „Algebra és az elemzés kezdetei” tankönyv. 10. évfolyam (alapszint)” A.G. Mordkovich. Numerikus függvénytáblázatok. Számítógép, projektor, képernyő. Az óra további módszertani és didaktikai támogatása: Módszertani kézikönyv tanároknak „Az Algebra tankönyv óravázlatai és az elemzés kezdete 10-11. évfolyam”, A.G. Mordkovich, Volgograd 2013 Internetes források https:// 1september.ru Az óra tartalma: 1. Szervezési mozzanat 2. Maradék tudás ellenőrzése 3. Új anyag tanulmányozása 4. Konszolidáció 5. Óra összefoglalása 6. Házi feladat felállítása Az óra előrehaladása: 1. Szervezési pont 2 A maradék tudás ellenőrzése 1). A lefedett anyag ismétlése, megszilárdítása 1. Válaszok a házi feladattal kapcsolatos kérdésekre (megoldatlan problémák elemzése). 2. Az anyag asszimilációjának figyelemmel kísérése (önálló munka). 1. lehetőség A függvény tanulmányozása és grafikonjának elkészítése: 3. Új anyag tanulmányozása A függvény analitikus formáját használva az argumentum bármely értékére könnyen megtalálhatjuk az y függvény megfelelő értékét. Gyakran előfordul az inverz probléma: y értéke ismert, és meg kell találni az x argumentum értékét, amelynél ezt elérjük. 1. példa Határozzuk meg az x argumentum értékét, ha a függvény értéke egyenlő: a) 2; b) 7/6; c) 1. A függvény analitikus alakjából fejezzük ki az x változót, és kapjuk: 4xy - 2y = 3x + 1 vagy x(4y - 3) = 2y + 1, ahonnan. Most már egyszerű a probléma megoldása: A függvényt egy függvény inverzének nevezzük. Mivel egy függvény argumentumát x betűvel, a függvény értékét y betűvel szokás jelölni, az inverz függvényt a következő formában írjuk. Adjuk meg a téma tanulmányozásához szükséges fogalmakat. Definíció 1. Egy y = f(x), x ∈ X függvényt invertálhatónak nevezünk, ha bármely értékét az X halmaznak csak egy x pontjában veszi fel (más szóval, ha az argumentum különböző értékei megfelelnek a függvény különböző értékeire). Ellenkező esetben a függvényt irreverzibilisnek nevezzük. 2. példa A függvény minden értéket csak egy x pontban vesz fel, és megfordítható (a grafikon). A függvénynek vannak y értékei (például y = 2), amelyek két különböző x pontban érhetők el, és visszafordíthatatlan (b grafikon). A következő tétel hasznos a téma megvitatása során. 1. Tétel. Ha az y = f(x), ∈ függvény monoton az X halmazon, akkor invertálható. 3. példa Térjünk vissza az előző példához. A függvény csökkenő (monoton) és invertálható a teljes definíciós tartományban. A funkció nem monoton és visszafordíthatatlan. Ez a függvény azonban növekszik a (-∞; -1] és . intervallumokon. Ezért az ilyen intervallumokon a függvény invertálható. Például a függvény invertálható az x [-1;1 ] intervallumon. Definíció 2. Legyen y = f(x), x ∈ X invertálható függvény és E(f) = Y. Rendeljük minden Y-hez x egyedi értékét, amelyre f(x) = y (azaz az f egyenlet egyetlen gyöke (x) = y az x változóhoz képest. Ekkor kapunk egy függvényt, amely az Y halmazon van definiálva (az X halmaz az értéktartománya), ezt a függvényt x – f-1(y) jelöli, y ∈ Y és az y = f(x), x ∈ X függvény inverzének nevezzük. Be Az ábrán az y = f(x) és az x = f-1(y) inverz függvény látható. Az inverz függvények monotonitása azonos. csökken) az Y halmazon. 4. példa A függvény csökken a halmazon és sok értéke van Az inverz függvény is csökken a halmazon és sok értéke van Nyilvánvaló, hogy a függvények és a függvények grafikonjai egybeesnek, mivel ezek a függvények ugyanarra a kapcsolatra vezetnek az x és y változók között: 4xy - 3x - 2y - 1 = 0. Nálunk bevett szokás, hogy egy függvény argumentumát x, a függvény értékét y betűvel jelöljük. Ezért az inverz függvényt y = f-1(x) formában fogjuk felírni (lásd az 1. példát). 3. Tétel. Az y = f(x) függvény és az y = f-1 inverz függvény grafikonjai szimmetrikusak az y = x relatív egyenesre. 5. példa Az y = 2x - 4 függvényre az inverz függvényt találjuk: y + 4 = 2x, ahonnan x = 1/2y + 2. Vezessünk be x ↔ y áttervezéseket, és írjuk fel az inverz függvényt y = 1/2x + 2 alakban. Így az f(x) = 2x – 4 függvény inverz függvénye f-1(x) = 1/ 2x + 2. Ábrázoljuk ezeket a függvényeket. Látható, hogy a grafikonok szimmetrikusak az y = x relatív egyenesre. Az f-1(x) = 1/2x + 2 függvény az f(x) = 2x - 4 függvény inverze. De az f(x) = 2x - 4 függvény az f-1 függvény inverze is. (x) = 1/2x + 2. Ezért helyesebb az f(x) és f-1(x) függvényeket reciproknak nevezni. Ebben az esetben teljesülnek az egyenlőségek: f-1(f(x)) = x és f(f-1(x) = x. 4. Megerősítés 1) Tesztkérdések: 1. Invertibilis és irreverzibilis függvények. 2. Monoton függvény invertálhatósága. 3. Az inverz függvény definíciója. 4. Közvetlen és inverz függvények monotonitása. 5. Közvetlen és inverz függvények grafikonjai. 2) Órabeosztás 3. § 1. sz. a, b pont; 2 (c, d); 3 (a, d); 4 (c, d); 5 (a, c). 5. Óra összefoglaló Milyen újdonságokat tanultál ma az órán? Milyen nehézségekkel találkozott? Vonjon le következtetést a definíciós tartomány és az inverz függvények értékkészlete közötti kapcsolatról. 4. Házi feladat kitűzése 3. § 1. sz. c, d; 2 (a, b); 3 (b, c); 4 (a, b); 5 (b, d).

  Letöltés: Algebra 10kl - 1. lecke (Samoilova G. A.).doc

• 2. lecke (Samoilova G. A.)

  Algebra és az elemzés kezdetei, 10. évfolyam UMC: Algebra és az elemzés kezdetei, 10-11. fokozat, A.G. Mordkovich, Moszkva 2013 Tanulási szint: alap Téma: Inverz függvény Összes óraszám: 3 Témában: 2. óra Az óra célja: Oktatási: az inverz függvény definíciójának megszilárdítása; megszilárdítsa egy függvény reverzibilitási tulajdonságaira vonatkozó ismereteket, és tanítsa meg egy adott függvény inverz függvényének megtalálását; Fejlesztő: fejleszti az önkontroll készségeket, az érdemi beszédet; saját módszerek az inverz függvény megtalálására; Oktatási: kommunikációs kompetencia fejlesztése; Problémakereső munka szervezése a tanulók számára Az óra céljai: 1. Ismertesse meg a tanulókkal az invertálható függvényeket és azok grafikonjait. 2. Gyarapítsa a hallgatók tapasztalatait új ismeretek megszerzésében a meglévő elméleti ismeretek alapján, valamint a megszokott gyakorlati helyzetek felhasználásával Tervezett eredmények: A téma elsajátítása után a hallgatóknak ismerniük kell: Invertálható függvény definíciója; reverzibilis függvény ábrázolása; példák a funkciókra az életből; összehasonlítás, általánosítás technikái. A téma elsajátítása után a tanuló legyen képes: - tudásának önálló feltöltésére, rendszerezésére: - reverzibilis függvények grafikonjainak felépítésére: - következtetések levonására. Az óra technikai támogatása: „Algebra és az elemzés kezdetei” tankönyv. 10. évfolyam (alapszint)” A.G. Mordkovich. Numerikus függvénytáblázatok. Számítógép, projektor, képernyő. Az óra további módszertani és didaktikai támogatása: Módszertani kézikönyv tanároknak „Az Algebra tankönyv óravázlatai és az elemzés kezdete 10-11. évfolyam”, A.G. Mordkovich, Volgograd 2013 Internetes források https:// 1september.ru Az óra tartalma: 1. Szervezési mozzanat 2. Házi feladat ellenőrzése 3. A tanult anyag összevonása 4. Tesztmunka 5. Óraösszefoglaló 6. Házi feladat felállítása 1. Szervezési momentum. A tanár elmondja a tanulóknak a témát, az óra célját és az eléréséhez szükséges eszközöket. 2. Házi feladat ellenőrzése 1) A nehézséget okozó feladatok megoldása a táblánál történik 2) A téma elméleti részének frontális áttekintése Kérdések: 1. Melyik függvényt nevezzük reverzibilisnek? 2. Megfordítható bármely függvény? 3. Melyik függvényt nevezzük egy adott függvény inverzének? 4. Hogyan függ össze egy függvény definíciós tartománya, értékkészlete és inverz függvénye? 5. Ha egy függvényt analitikusan adunk meg, hogyan definiálható az inverz függvény egy képlettel? 6. Ha egy függvényt grafikusan adunk meg, hogyan ábrázoljuk az inverz függvényét? 3. A tanult anyag összevonása 1) Az elkészült rajzon való munka (egy numerikus függvény tulajdonságainak megismétlése). Az interaktív táblán egy függvény grafikonja látható a tanulók számára. A tanár megfogalmaz egy feladatot - vegye figyelembe egy függvény grafikonját, és sorolja fel a függvény vizsgált tulajdonságait. A hallgatók felsorolják egy függvény tulajdonságait a kutatási tervnek megfelelően. A tanuló a függvény grafikonjától jobbra egy jelölővel írja fel a megnevezett tulajdonságokat az interaktív táblára. A függvény tulajdonságai: 1. D(f) = [-4;], E(y) = be és bekapcsolva is [-1;0] 6. ynaib- nem létezik ynaim=0 x=0-nál 7. xmax = -1 ,ymax = 2 xmin = -2, ymin = 1 xmin = 0, ymin = 0 8. Konvex lefelé -on, konvex felfelé -on. 2) Tekintsük a függvényt, és keressük meg az inverzét. (Deszkán dolgozni, füzetbe tervezni). Adott függvény y=x2,x∈)