Triqonometrik və eksponensial funksiyalar (Euler düsturları) arasındakı mürəkkəb bölgədə əlaqə ilə birlikdə kəşf etdik.
mürəkkəb sahədə triqonometrik və hiperbolik funksiyalar arasında belə çox sadə əlaqə var.
Xatırladaq ki, tərifə görə:
Əgər eynilikdə (3) sağ tərəfdə sonra ilə əvəz etsək, sol tərəflərin bərabərliyi gələn eyniliyin sağ tərəfində olan eyni ifadəni alırıq. Eyni şey (4) və (2) şəxsiyyətlər üçün də keçərlidir.
Şəxsiyyətin hər iki hissəsini (6) eyniliyin uyğun hissələrinə (5) və əksinə (5) (6) bölməklə əldə edirik:
(1) və (2) identifikasiyalarında oxşar əvəzetmə və eyniliklər (3) və (4) ilə müqayisə aşağıdakıları verir:
Nəhayət, (9) və (10) şəxsiyyətlərdən biz tapırıq:
Əgər (5)-(12) eyniliklərində x-in həqiqi ədəd olduğunu qoysaq, yəni arqumenti sırf xəyali hesab etsək, onda biz sırf xəyali arqumentin triqonometrik funksiyaları ilə arqumentin müvafiq hiperbolik funksiyaları arasında daha səkkiz eynilik əldə edirik. real arqument, həmçinin sırf xəyali arqumentin hiperbolik funksiyaları ilə real arqumentin müvafiq triqonometrik funksiyaları arasında:
Nəticədə yaranan əlaqələr triqonometrik funksiyalardan hiperbolik funksiyalara keçməyə imkan verir
xəyali arqumentin real ilə əvəz edilməsi ilə hiperbolik funksiyaları triqonometrik funksiyalara çevirmək. Onlar aşağıdakı qayda kimi tərtib edilə bilər:
Xəyali arqumentin triqonometrik funksiyalarından hiperbolik funksiyalara və ya əksinə, xəyali arqumentin hiperbolik funksiyalarından triqonometrik olanlara keçmək üçün sinus və tangensin xəyali vahidi funksiyanın işarəsindən, kosinus üçün isə götürülməlidir. tamamilə atılmalıdır.
Müəyyən edilmiş əlaqə, xüsusən də, hiperbolik funksiyalar arasındakı bütün əlaqələri triqonometrik funksiyalar arasındakı məlum əlaqələrdən sonuncunu hiperbolik funksiyalarla əvəz etməklə əldə etməyə imkan verməsi ilə diqqəti çəkir.
Bunun necə olduğunu sizə göstərək. edilir.
Məsələn, əsas triqonometrik eyniliyi götürək
və x-in həqiqi ədəd olduğu yerə qoyun; alırıq:
Əgər bu eynilikdə düsturlara uyğun olaraq sinus və kosinusu hiperbolik sinus və kosinusu ilə əvəz etsək, o zaman ya alırıq və bu, əvvəllər fərqli bir şəkildə əldə edilən arasında əsas eynilikdir.
Bənzər şəkildə, siz bütün digər düsturları, o cümlədən arqumentlərin cəmi və fərqinin hiperbolik funksiyaları üçün düsturları, ikiqat və yarım arqumentləri və s. əldə edə bilərsiniz, beləliklə adi triqonometriyadan “hiperbolik triqonometriya” əldə edə bilərsiniz.
, səhifə 611 Kompleks dəyişənin əsas funksiyaları
Mürəkkəb eksponentin tərifini xatırlayaq -. Sonra
Maclaurin seriyasının genişləndirilməsi. Bu seriyanın yaxınlaşma radiusu +∞-dir, yəni kompleks eksponensial bütün kompleks müstəvidə analitikdir və
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
Buradakı birinci bərabərlik, məsələn, dərəcə seriyasının müddət üzrə diferensiallaşdırılması teoremindən irəli gəlir.
11.1 Triqonometrik və hiperbolik funksiyalar
Kompleks dəyişənin sinusu funksiyası adlanır
Kompleks dəyişənin kosinusu funksiyası var
Kompleks dəyişənin hiperbolik sinusu belə müəyyən edilir:
Kompleks dəyişənin hiperbolik kosinusu-- bu funksiyadır
Yeni təqdim edilmiş funksiyaların bəzi xüsusiyyətlərini qeyd edək.
A.Əgər x∈ ℝ, onda cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.
B. Triqonometrik və hiperbolik funksiyalar arasında aşağıdakı əlaqə mövcuddur:
cos iz=ch z; sin iz=iş z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.
B. Əsas triqonometrik və hiperbolik eyniliklər:
cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.
Əsas hiperbolik şəxsiyyətin sübutu.
Əsas triqonometrik eynilik, triqonometrik və hiperbolik funksiyalar arasındakı əlaqəni nəzərə alaraq əsas hiperbolik eynilikdən irəli gəlir (xüsusiyyət B-ə baxın)
G Əlavə düsturlar:
Xüsusilə,
D. Triqonometrik və hiperbolik funksiyaların törəmələrini hesablamaq üçün güc seriyasının müddət üzrə diferensiallaşdırılması teoremini tətbiq etmək lazımdır. Biz əldə edirik:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.
E. cos z, ch z funksiyaları cüt, sin z, sin z funksiyaları isə təkdir.
J. (Tezlik) e z funksiyası 2π i dövrü ilə dövridir. cos z, sin z funksiyaları 2π dövrü ilə dövri, ch z, sin z funksiyaları isə 2πi dövrü ilə dövridir. Üstəlik,
Cəmi düsturları tətbiq edərək əldə edirik
Z. Real və xəyali hissələrə genişlənmə:
Əgər f(z) birqiymətli analitik funksiya D sahəsini G domeninə bijektiv şəkildə uyğunlaşdırırsa, o zaman D univalentlik oblastı adlanır.
VƏ. Region D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Sübut. Münasibətdən (5) belə çıxır ki, eksp:D k → ℂ xəritəçəkmə inyeksiya xarakterlidir. w hər hansı sıfırdan fərqli kompleks ədəd olsun. Sonra e x =|w| tənliklərinin həlli və e iy =w/|w| real dəyişənlərlə x və y (y yarım intervaldan seçilir); bəzən nəzərə alınır...... Ensiklopedik lüğət F.A. Brockhaus və İ.A. Efron
Hiperbolik funksiyalara tərs funksiyalar (Bax: Hiperbolik funksiyalar) sh x, ch x, th x; onlar düsturlarla ifadə edilir (oxu: sahə sinus hiperbolik, sahə kosinusu hiperbolik, sahə tangensi... ... Böyük Sovet Ensiklopediyası
Hiperbolik funksiyaya tərs funksiyalar. funksiyalar; düsturlarla ifadə olunur... Təbiət elmi. ensiklopedik lüğət
Tərs hiperbolik funksiyalar hiperbolik funksiyaların tərs funksiyaları kimi müəyyən edilir. Bu funksiyalar x2 − y2 = 1 hiperbolanın sektorunun sahəsini tərs triqonometrik funksiyaların uzunluğu təyin etdiyi kimi müəyyən edir... ... Wikipedia
Kitablar
- Hiperbolik funksiyalar, Yanpolski A.R.. Kitabda hiperbolik və tərs hiperbolik funksiyaların xassələri təsvir edilir və onlar ilə digər elementar funksiyalar arasında əlaqələr verilir. Hiperbolik funksiyaların tətbiqi...
HİPERBOLİK FUNKSİYALAR— Hiperbolik sinus (sh x) və kosinus (сh x) aşağıdakı bərabərliklərlə müəyyən edilir:
Hiperbolik tangens və kotangens triqonometrik tangens və kotangens ilə analogiya ilə müəyyən edilir:
Hiperbolik sekant və kosekant oxşar şəkildə müəyyən edilir:
Aşağıdakı formulalar tətbiq olunur:
Hiperbolik funksiyaların xassələri bir çox cəhətdən (bax) ilə oxşardır. x=cos t, y=sin t tənlikləri x²+y² = 1 çevrəsini təyin edir; x=сh t, y=sh t tənlikləri x² - y²=1 hiperbolanı təyin edir. Triqonometrik funksiyalar vahid radiuslu çevrədən təyin edildiyi kimi, hiperbolik funksiyalar da x² - y²=1 olan ikitərəfli hiperboladan təyin olunur. Arqument t, OME kölgəli əyri üçbucağının ikiqat sahəsidir (Şəkil 48), dairəvi (triqonometrik) funksiyalar üçün arqument t-nin ədədi olaraq OKE əyri xətti üçbucağın ikiqat sahəsinə bərabər olduğu kimi (Şəkil 48). 49):
bir dairə üçün
hiperbola üçün
Hiperbolik funksiyalar üçün əlavə teoremləri triqonometrik funksiyalar üçün əlavə teoremlərinə bənzəyir:
Bu bənzətmələr r kompleks dəyişənini x arqumenti kimi qəbul etsək asanlıqla görünür.Hiperbolik funksiyalar triqonometrik funksiyalarla aşağıdakı düsturlarla əlaqələndirilir: sh x = - i sin ix, cosh x = cos ix, burada i qiymətlərdən biridir. kökündən √-1. Hiperbolik funksiyalar sh x, həmçinin ch x: real dəyərlər üçün birdən çox ola bilməyən sin x, cos x triqonometrik funksiyalarından fərqli olaraq istənilən böyük dəyərləri (deməli, təbii olaraq böyük vahidlər) qəbul edə bilər. mütləq dəyər.
Hiperbolik funksiyalar Lobaçevski həndəsəsində rol oynayır (bax), materialların möhkəmliyinin öyrənilməsində, elektrotexnika və digər bilik sahələrində istifadə olunur. Ədəbiyyatda sinh x kimi hiperbolik funksiyalar üçün qeydlər də var; соsh x; tgh x.
